2019全国高考--圆锥曲线部分汇编
2019高考试题《圆锥曲线》《导数》《解析几何》解析分类汇编19页
2019高考试题解析分类汇编：圆锥曲线一、选择题1．1（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．25B ．45 C ．255D ．4552214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式20022Ax Bx C d A B++=+2222551(2)±=+±．2（2019年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A ．22145x y -=B ．22145x y -= C．22125x y -=D ．22125x y -==． B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．3 3．（2019年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±已知双曲线C ：的离心率为，故有=，所以=，解得=．故C 的渐近线方程为，故选C ．本题考查双曲线的方程以及,,a b c 的计算。
双曲线1C 中，2222cos ,sin a b θθ==，所以21c =，离心率为221c o s e θ=。
2C 中，22222s i n ,s i n t a n a b θθθ==，所以22222s i n s i nt a nt a nc θθθθ=+=。
离心率为2222tan 1sin cos e θθθ==，所以两个双曲线有相同的离心率，选D.4 4．（2019年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ）A ．12B ．32C ．1D ．3B因为抛物线方程为y 2=4x 。
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。
（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。
已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。
P为C上一点，且PF⊥x轴。
过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。
2019年浙江各地高考数学模拟圆锥曲线小题汇编
A 、B
两
点，以
AB
为直径的圆过右焦点 F
，若 FAB
[
,
] ，则此椭圆离心率的取值范围是
12 3
A. [ 2 , 3 1] 2
B.[ 2 , 6 ] 23
C. (0, 2 ] 2
D.[ 6 ,1) 3
【答案】B
【解析】由椭圆的对称性知， | FA | | FB | 2a ，又 | AB | 2c ，
y2 b2
1(a
b 0) 上一点，过点 P 的一条
直线与圆 x2 y2 a2 b2 相交于 A ， B 两点，若存在点 P ，使得 PA PB a2 b2 , 则椭圆
的离心率取值范围为
.
【答案】
2 2
,1
【解析】
做直线 PO ,交圆 O 于点 C, D ,由相交弦定可知 PA PB CP DP ，
e2 e1 的取值范围为
.
【答案】
2 3
,
第 7 页 共 20 页
【解析】
因为 PF1F2 是以 PF1 为底的等腰三角形，所以 F1F2 F2 P 2c ，
由椭圆定义得 PF1 2a 2c ，由双曲线定义得 PF1 2m 2c ，
所以 2a 2m
6 5
1
，所以
c2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
11 5
，离心率
e
66 . 6
第 3 页 共 20 页
7.（1905
宁波中学
T9）设椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1（ a
2019年高考试题汇编：圆锥曲线
2019年高考试题汇编：圆锥曲线方程一．选择题1．（2019•浙江）渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（）A．B．1C．D．2 2．（2019•北京）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b 3．（2019•北京）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的离心率是，则a＝（）A．B．4C．2D．4．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝15．（2019•新课标II）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．86．（2019•新课标Ⅲ）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．3 7．（2019•新课标Ⅰ）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．8．（2019•天津）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（2019•新课标II）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2D．二．填空题10．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．11．（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．12．（2019•北京）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为．13．（2019•浙江）已知椭圆+＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是．14．（2019•新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0，则C的离心率为．15．（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．三．解答题16．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若＝3，求|AB|．17．（2019•北京）已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．18．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE 的面积．19．（2019•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．20．（2019•北京）已知椭圆C：+＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP 与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．21．（2019•浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x 轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求的最小值及此时点G的坐标．22．（2019•天津）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N 在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．23．（2019•天津）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．24．（2019•新课标II）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM 的斜率之积为﹣．记M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．（i）证明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值．25．（2019•新课标II）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．。
2019年数学圆锥曲线分析
2019年高考各地区圆锥曲线汇总（2019，浙江，21）如图，已知点)0,1(F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于Q ，且Q 在F 的右侧，记△AFG ，△CQG的面积分别为21,S S .（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求21S S 的最小值及此时点G 的坐标.解析：（Ⅰ）由题得12=p ，及2=p 所以抛物线的准线方程为12-=-=p x （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的方程为xy 42=设)2,(2t t A ，所以122-=t t k AF ，故121:2+-=y tt x l AF 联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==121422y t t x x y 得04)1(222=---y t t y 设),(22y x B ，),(33y x C 所以422-=⋅y t ，即t y 22-=，又B 在抛物线上，所以221t x =所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-t tB 2,12因为G 为△ABC 的重心，由坐标重心公式得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++322,313322y t t x t t G 由题得0223=+-y t t ，所以t ty 223-=因为C 在抛物线上，所以231⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t x ，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t C 22,12所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,3222224t t t G 因为t t t t t t t k AC 2122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=所以)(22:2t x t t y l AC -=-，令0=y ，得12-=t x 所以()0,12-t Q 由于Q 在F 的右侧，故112>-t ，即22>t |2||13222|212241t tt t S ⋅-+-⋅=t tt t t t S 22322212122422-⋅+---⋅=所以122124242421---=--=t t t t t S S 令)0(22>-=m t m ，22+=m t 所以231324123412342221+=+-≥++-=++-=mm m m m S S 当且仅当3=m 时，不等式取等号所以21S S 的最小值为231+，此时)0,2(Q （2019,全国Ⅰ文，21）已知点B A ,关于坐标原点O 对称，4||=AB ，M 过点B A ,且与直线02=+x 相切.（Ⅰ）若A 在直线上0=+y x ，求M 的半径；（Ⅱ）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MP MA -为定值？并说明理由.解析：（Ⅰ）设圆M 的半径为r由于圆M 经过B A ,，所以圆心M 经过B A ,的垂直平分线，又A 经过0=+y x ，所以圆心M 经过直线xy =设),(a a M ，由于圆M 与2-=x 相切，所以ra =+|2|因为AB 中点O 与M 共线，所以AOMO ⊥由题可知2=AO ，所以2224a r +=联立⎩⎨⎧+==+2224|2|a r r a ，解得当0=a 时，4=r 当4=a 时，6=r 所以圆M 的半径为4或6（Ⅱ）设),(y x M ，由题得rx =+|2|又AO MO ⊥，所以2224ry x =++所以222)2(4+=++x y x ，化简得xy 42=故M 的轨迹为抛物线所以存在定点)0,1(P ，动点A 在直线1-=x ，使得||||MA MP -为定值，定值为0（2019,全国Ⅰ理，19）已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为B A ,，与x 轴的交点为P .（Ⅰ）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；（Ⅱ）若3AP PB = ，求||AB .解析：（Ⅰ）设直线m y x l +=32:，设),(),,(2211y x B y x A 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y m y x 3322得0322=--m y y 所以⎩⎨⎧-=*=+(**)3)(22121m y y y y由题得254||||21=+⇒=+x x BF AF 252)(322121=++=+m y y x x 所以127=m ，所以12732:+=y x l （Ⅱ）由（Ⅰ）知m y x l +=32:，令0=y ，得m x =所以)0,(m P 由于3AP PB = ，得),(3),(2211y m x y x m -=--即*)*(*321y y -=由(*)和*)*(*得1,321-==y y 代入(**)得1=m 所以31341249414)(11||212212=+⋅+=-+⋅+=m y y y y k AB （2019,全国Ⅱ文，20）已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点，P 为C 上一点,O 为坐标原点.（Ⅰ）若△2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（Ⅱ）如果存在点P ，使得21PF PF ⊥，且△21PF F 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.解析：（Ⅰ）连接1PF ，由题得△2POF 为等边三角形，所以 9021=∠PF F 因为c PF OF ==22，又因为aPF PF 221=+所以ca PF -=21所以2212221F F PF PF =+，即02222=-+a ac c 所以0222=-+e e ，解得13-=e （Ⅱ）设),(00y x P 由题知(*)162||210=c y因为21PF PF ⊥，所以10000-=-⋅+cx y c x y ，即(**)22020c y x =+又因为P 在椭圆上，所以*)*(*1220220=+by a x 又*)*(*(**),(*),可得4=b ，)()(2222022b c a x b a -=-，所以22bc ≥因为3222222=≥+=b c b a ，所以24≥a ，当且仅当c b =取等号所以),24[+∞∈a （2019,全国Ⅱ理，21）已知点)0,2(-A ，)0,2(B ，动点),(y x M 满足直线AM 与BM 的斜率之积为21-，记M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（Ⅱ）过坐标原点的直线交C 于Q P ,两点，点P 在第一象限，x PE ⊥轴，垂足为E 连接QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：△PQG 是直角三角形；（ii ）求△PQG 面积的最大值.解析：（Ⅰ）由题得21-=⋅BM AM k k ，即2122-=-⋅+x y x y 整理得)2|(|12422≠=+x y x 所以C 为椭圆（Ⅱ）（i ）设直线kxy l PQ =:联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=12422y x kx y 得2212k x +±=设)0,(),,(),,(11111x E kx x Q kx x P --所以2211k x kx k QE ==，则)(2:1x x k y l QE -=联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=124)(2221y x x x k y 得=-+-+42)21(121222x k x x k x k 设),(22y x G 所以2121221k x k x x +=+-，即22122)23(k k x x ++=，则21322k x k y +=所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2132212,2)23(k x k k k x G 则k x k k x kx k x k k PG 12)23(212211213-=-++-+=所以1-=⋅PQ PG k k ，所以△PQG 为直角三角形（ii ）不妨设01>x ，0>k ，所以2112||k x PQ +=22122112212|2)23(|1||k k kx k k x x k PG ++=++-+=所以1)1(2)1(8)2)(21()1(82121221||||21222222121+++=+++=++⋅+⋅==kk k k k k k k k k kx k x PG PQ S PQG △令)2(1≥+=t k k t ，所以t t t t S PQG 1281282+=+=△设t t t f 21)(+=，则212)(tt f -='所以当),2(+∞∈t 时0)(>'t f ，)(t f 单调递增所以29)2()(=≥f t f 所以916298=≤PQG S △所以△PQG 面积的最大值为916（2019,全国Ⅲ，21）已知曲线2:2x y C =，D 为直线21-=y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为B A ,.（Ⅰ）证明：直线AB 过定点；（2019,全国Ⅲ文，21（Ⅱ））（Ⅱ）若以)25,0(E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.（2019,全国Ⅲ理，21（Ⅱ））（Ⅲ）若以)25,0(E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积解析：（Ⅰ）设21,(0-x D ，易得直线AB 的方程为210+=x x y 当0=x 时，21=y 所以直线AB 过定点)21,0(（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==21202x x y y x 得01202=--x x x 所以0212x x x =+，121-=x x 121)(2021021+=++=+x x x x y y 所以AB 的中点212,(200+x x P 设该圆的半径为r 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+r x x r x 2202020)25212(12，解得10±=x ，00=x 当00=x 时，2=r ，所以圆的方程为4)25(22=-+y x当10±=x 时，2=r ，所以圆的方程为225(22=-+y x （Ⅲ）=-+=||1||212x x k AB )1(220x +设E 点到直线AB 的距离为1d ，D 点到直线AB 的距离为2d 所以()21||21d d AB S +=由（Ⅱ）知00=x 或10±=x 当00=x 时21:=y l AB 所以2||=AB ，21=d ，12=d 所以33221=⨯⨯=S 当10±=x 时，21:+±=x y l AB 所以4||=AB ，2221=+d d 所以24=S （2019,北京文，19）已知椭圆1:2222=+by a x C 的右焦点为)0,1(，且经过点()1,0A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线)1(:±≠+=t t kx y l 与椭圆C 交于两个不同点Q P ,，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若2||||=ON OM ，求证：直线l 经过定点解析：（Ⅰ）由题得1,1==b c ，所以2=a 所以椭圆C 的方程为1222=+y x （Ⅱ）设),(),,(2211y x Q y x P 111x y k AP -=，所以x x y y l AP 1111:-=-令0=y ，则111y x x -=所以)0,1(11y x M -，同理)0,1(22y x N -联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 1222得0224)12(222=-+++t ktx x k 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+12221242221221k t x x k kt x x 有题得2|1||1|2211=--y x y x 所以212))((22121221=+-++-+t t x x k kt x x k x x 212124)(122212222222222=+-++--++-+-t t k kt k kt k t k k t 整理得0=t 所以kx y l =:，所以l 恒过定点)0,0(（2019,北京理，18）已知抛物线py x C 2:2-=，经过点)1,2(-.（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作直线不为0的直线l 交抛物线C 于N M ,两点，直线1-=y 分别交直线ON OM ,于点A 和B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴的两个定点.解析：（Ⅰ）因为C 经过)1,2(-所以p 24=，即2=p 所以y x C 4:2-=准线方程为1=y （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ，设直线1:-=kx y l MN 联立⎩⎨⎧-=-=yx kx y 412得0442=-+kx x 所以k x x 421-=+，421-=x x 因为11x y k OM =，所以x x y y l OM 11:=令1-=y ，得11y x x -=，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,11y x A 同理⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,22y x B 设y 轴上点),0(t Q ，因为圆经过Q ，所以0QA QB ⋅= 11,1x QA t y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ，22,1x QB t y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以0)1(22121=++t y y x x ，4)1(2=+t 解得3-=t 或1=t 所以以AB 的圆经过y 轴两个定点)1,0(),3,0(-（2019,江苏，17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆22224)1(:a y x F =+-交于点A ，与椭圆C 交于点D ，连接1AF 并延长交圆2F 于点B ，连接2BF 交椭圆C 于点E ，连接1DF .已知251=DF .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求点E 的坐标.解析：（Ⅰ）有题得1=c 因为ab DF 22||=，221=F F 所以425424=+a b ，所以a b 322=又因为222c a b -=，所以02322=--a a ，解得2=a ，3=b 所以椭圆C 的标准方程为13422=+y x （Ⅱ）易得)4,1(A ，所以2241==AF k 所以22:1+=x y l AF 联立⎩⎨⎧=+-+=16)1(2222y x x y 得011652=-+x x 所以511-=B A x x ，即511-=B x ，512-=B y 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--512,511B ，则4351115122=+=BF k ，所以)1(43:2-=x y l BF 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+)1(4313422x y y x 得013672=--x x 解得1-=x 或713=x 因为E 是直线2BF 与椭圆的交点，所以1-=x 所以23-=y ，所以E 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,1（2019,天津文，19）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知||2||3OB OA =（O 为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为43的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4=x 上，且AP OC //，求椭圆的方程.解析：（Ⅰ）由题得b a 23=，即2243ba =又因为222cb a +=，所以224ca =所以椭圆的离心率21=e （Ⅱ）设圆心),4(m C ，圆的半径为r由（Ⅰ）得c a 2=，c b 3=，所以椭圆的方程为1342222=+cy c x 设)(43:c x y l +=联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=134)(432222c y c x c x y 得0136722=-+c cx x 解得c x =或c x 713-=当c x =时，c y 23=，满足题意当c x 713-=时，c y 149-=，不符合题意故⎪⎭⎫ ⎝⎛c c P 23,因为AP OC //，所以APOC k k =)0,2()0,(c A a A -⇒-所以cc c m 2234+=，解得2=m 因为圆C 与x 轴相切，所以2=r 所以圆的方程为()()42422=-+-y x又因为圆C 与直线l 相切，所以2534=+c ，解得2=c 所以32,4==b a 所以椭圆的标准方程为1121622=+y x （2019,天津理，18）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上，下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若||||OF ON =（O 为原点），且MN OP ⊥，求直线PB 的斜率.解析：（Ⅰ）由题得55,2==a c b 又因为222c b a +=，可得52=a 所以椭圆的方程为14522=+y x （Ⅱ）由题得)2,0(B ，设),(00y x P 所以002x y k PB -=，所以22:00+-=x x y y l PB 令0=y ，解得0022y x x -=，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2200y x M 因为1||=OF ，N 在y 轴负半轴，且||||ON OF =所以)1,0(-N 由于MN OP ⊥，所以0OP MN ⋅= 则(*)2202020y y x -=因为P 在椭圆上，所以(**)1452020=+y x 由(*)和(**)得710,730200-=±=y x 所以5302±=PB k （2019,上海，20）已知椭圆14822=+y x ，21,F F 为其左、右焦点，直线l 过点2F 且交椭圆于B A ,两点.（Ⅰ）AB 垂直于x 轴，求AB ；（Ⅱ）若 901=∠AB F ，且A 在x 轴上方，求B A ,两点坐标；（Ⅲ）直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N ，问：是否存在直线l ，使得MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.解析：（Ⅰ）由于2,22==b a 所以222282||2===a b AB （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A 由题得120AF AF ⋅= 所以42121=+y x 又因为A 在椭圆上，所以1482121=+y x 联立可得2,011==y x 所以直线AB 的方程为xy -=2联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148222y x x y 得⎩⎨⎧==20y x 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3238y x 所以)2,0(A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,38B （Ⅲ）设直线AB 为myx +=2联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=148222y x my x 得044)2(22=-++my y m 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2424221221m y y m m y y 2111+=x y k AF ，所以)2(2:111++=x x y y l AF 令0=x ，则2211+=x y y 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22,011x y M ，同理⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22,022x y N 所以|16)(4|||8|2222|2|2222|212121221221122111+++-=+-+=+-+=y y m y y m y y x y x y x y x y S MN F △因为||1||11||212212y y m y y k AB -+=-+=，点1F 到直线AB 的距离214m d +=所以||2211y y S AB F -=△由题得||2|16)(4|||8212121221y y y y m y y m y y -=+++-1162162442222=++-++-m m m m 所以|8||2|22m m -=+，解得3±=m所以直线AB 的方程为23+±=y x 故存在直线23:+=y x l 使得MN F AB F S S 11△△=。
2019年高考真题理科数学解析分类汇编10圆锥曲线
2019年高考真题理科数学解析分类汇编10 圆锥曲线一、选择题1.【2018高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.3 B。
2【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(ac bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b ac x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B 2.【2018高考新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.3.【2018高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C. 4.【2018高考四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2019年高考圆锥曲线部分大题解析
2019年高考圆锥曲线部分大题解析1.已知点P在抛物线C:y^2=4x的y轴左侧（不含y轴）一点，且存在不同的两点A、B满足PA、PB的中点均在C上。
1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；对于抛物线C:y^2=4x上的动点P(x,y)，求△PAB面积的取值范围。
2）若P是半椭圆x^2/4+y^2/16=1上的一点，解析：（1）设P(x,y)，A(y1^2/4,y1)，B(y2^2/4,y2)。
由于PA、PB的中点均在C上，因此有：PA: y^2-2yy1+4x-y1^2=0PB: y^2-2yy2+4x-y2^2=0解得y1+y2=2y，y1y2=8x-y^2.因此，PM的斜率为(y1-y2)/(y/2-x)=2(y1-y2)/(y-4x)，而C的导数为dy/dx=2/y，因此PM与C的切线垂直，即PM垂直于y轴。
2）由(1)可知y1+y2=2y，y1y2=8x-y^2.因此，|PM|=1/2√(y1+y2)^2/4-(y/2-x)^2=y^2/2-3x，|y1-y2|=2√(y1y2)=2√(8x-y^2)。
因此，|PM|·|y1-y2|=1/2(y-4x)^2/3，因此△PAB的面积范围为[6√2,15/√2]。
2.已知斜率为k的直线l与椭圆C: 4x^2/3+y^2/4=1交于A、B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)。
1）证明：k<-1/2；2）设F为C的右焦点，P为C上一点且FP+FA+FB=0，证明：FP、FA、FB为等差数列，并求出该数列的公差。
解析：（1）由中点弦公式k=-2m/(4/3)=-(3/2)m，因此k<-1/2.2）由题意知FA+FB=2FM，FP=-2FM，因此P(1,-2m)。
因为点P在椭圆上，代入可得m=3，k=-1/2，即|F P|=2/√5.根据第二定义可知，|FA|=2-2x1/√(16-9x1^2)，|FB|=2-2x2/√(16-9x2^2)，|FA|+|FB|=4-(x1+x2)/√(16-9x1^2)(16-9x2^2)。
2019高考数学圆锥曲线与方程真题汇总(一题不拉)
(2019•上海20)已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B 两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；(2)当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；(3)若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S =V V ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)依题意，2(2,0)F ，当AB x ⊥轴时，则A，(2,B ，得||AB = (2)设1(A x ，1)y ，11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒Q ，∴2212111111(2,)(2,)40AF AF x y x y x y =+-=-+=u u u r u u u u r g g ，又A 在椭圆上，满足2211184x y +=，即22114(1)8x y =-，∴221144(1)08x x -+-=，解得10x =，即(0,2)A ．直线:2AB y x =-+，联立222184y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得8(3B ，2)3-；(3)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(0,)M y ，4(0,)N y ，直线:2l x my =+，则11212121||||2||2F AB S F F y y y y =-=-V g ，1134341||||||2F MN S FO y y y y =-=-V g ． 联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)440m y my ++-=．则12242m y y m +=-+，12242y y m -=+． 由直线1AF 的方程：11(2)2y y x x =++，得M 纵坐标13122y y x =+；由直线1BF 的方程：22(2)2y y x x =++，得N 的纵坐标24222y y x =+． 若11F AB F MNS S =V V ，即12342||||y y y y -=-，121212341212121222228()||||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，12|(4)(4)|4my my ∴++=，21212|4()16|4m y y m y y +++=，代入根与系数的关系，得22244|416|422m m m m m --++=++g，解得m =．∴存在直线20x +-=或20x --=满足题意．(2019•上海12)已知2()||(1,0)1f x a x a x =->>-，()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图象上任意一点P ，在其图象上总存在另一点(Q P 、Q 异于)A ，满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则a = ．【解答】解：由题意，可知： 令2()||01f x a x =-=-，解得：21x a=+，∴点A 的坐标为：2(1a +，0)．则2,11()2,1AAa x x x f x a x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪-+>⎪-⎩…．()f x ∴大致图象如下：由题意，很明显P 、Q 两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P 在左边曲线上，点Q 在右边曲线上．设直线AP 的斜率为k ，则2:(1)AP l y k x a=--． 联立方程：2(1)21y k x ay ax ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，整理，得：222[(2)](1)20kx a k x k a a a +-+++--=．2(2)22P A a k a a x x k a k-+∴+=-=+-．21A x a =+Q ，221P A a ax x a k k∴=+--=-． 再将1P ax k=-代入第一个方程，可得： 2P k y a a=--． ∴点P 的坐标为：(1a k -，2)k a a--．||AP ∴==AP AQ ⊥Q ，∴直线AQ 的斜率为1k -，则12:(1)AQ l y x k a=---．同理类似求点P 的坐标的过程，可得： 点Q 的坐标为：2(1,)ak a ak-+．||AQ ∴===||||AP AQ =Q ，及k 的任意性，可知：224a a=，解得：a =(2019•上海9)过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A ，B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，则λ= ．【解答】解：过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A ，B ，A 在B 上方，依题意：得到：(1A ，2)(1B ，2)-，设点(,)M x y ，所以：M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，则：(x ，)(1y λ=，2)(2)(1λ+-，2)(22λ-=-，4)，代入24y x =，得到：3λ=． 故答案为：3(2019•浙江21)如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ∆的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记AFG ∆，CQG ∆的面积分别为1S ，2S ． (Ⅰ)求p 的值及抛物线的准线方程； (Ⅱ)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【解答】解：(Ⅰ)由抛物线的性质可得：12p=，2p ∴=，∴抛物线的准线方程为1x =-； (Ⅱ)设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，(C C x ，)C y ，重心(G G x ，)G y ，令2A y t =，0t ≠，则2A x t =，由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为2112t x y t -=+，代入24y x =，得：222(1)40t y y t ---=，24B ty ∴=-，即2B y t =-，21(B t ∴，2)t -，又1()3G A B C x x x x =++，1()3G A B C y y y y =++，重心在x 轴上，∴220C t y t -+=，21(()C t t∴-，12())t t -，422222(3t t G t -+，0)，∴直线AC 的方程为222()y t t x t -=-，得2(1Q t -，0)，Q Q 在焦点F 的右侧，22t ∴>，∴424222142442222521|||2|||||223221222211|||||1||2|23A C t t t FG y S t t t t t t S t t QG y t t t t-+--====--+-----g g g g，令22m t =-，则0m >，1221322213433424S m S m m m m m m=-=--=++++++g …，∴当3m =时，12S S 取得最小值为31+，此时(2,0)G ． (2019•浙江15)已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ．【解答】解：椭圆22195x y +=的3a =，5b =，2c =，23e =，设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆，连接AO ，可得||2||4PF AO '==，设P 的坐标为(,)m n ，可得2343m -=，可得32m =-，15n =，由(2,0)F -，可得直线PF 的斜率为 15215322=-+． 另解：由||2||4PF AO '==，||642PF =-=，||24FF c '==，可得416161cos 2244PFF +-'∠==⨯⨯，115sin 116PFF '∠=-=，可得直线PF 的斜率为sin 15cos PFF PFF '∠='∠．故答案为：15．(2019•浙江2)渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( ) A ．22B ．1C ．2D ．2【解答】解：根据渐近线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以2c a = 则该双曲线的离心率为2ce a==，故选：C ． (2019•江苏17)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知152DF =． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．【解答】解：(1)如图，22F A F B =Q ，22F AB F BA ∴∠=∠，22212F A a F D DA F D F D ==+=+Q ，1AD F D ∴=，则11DAF DF A ∠=∠，12DF A F BA ∴∠=∠，则12//F D BF ，1c =Q ，221b a ∴=-，则椭圆方程为222211x y a a +=-，取1x =，得21D a y a -=，则22112a a AD a a a -+=-=． 又152DF =，∴2152a a +=，解得2(0)a a =>．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(2)由(1)知，3(1,)2D ，1(1,0)F -，∴2133224BF DF k k ===，则23:(1)4BF y x =-，联立223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22118390x x --=． 解得11x =-或2137x =(舍)． ∴132y =-．即点E 的坐标为3(1,)2--．(2019•江苏7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．【解答】解：Q 双曲线2221(0)y x b b -=>经过点(3,4)，∴221631b-=，解得22b =，即b ．又1a =，∴该双曲线的渐近线方程是y =．故答案为：y =．(2019•天津文19)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已|2||(OA OB O =为原点)． (Ⅰ)求椭圆的离心率； (Ⅱ)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程．【解答】解：(Ⅰ|2||OA OB =2b =，可得12c e a ==；(Ⅱ)b =，12c a =，即2a c =，b =，可得椭圆方程为2222143x y c c +=，设直线FP 的方程为3()4y x c =+，代入椭圆方程可得2276130x cx c +-=，解得x c =或137cx =-，代入直线PF 方程可得32c y =或914cy =-(舍去)，可得3(,)2c P c ，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，可设(4,)C t ，可得3242ctc c=+，解得2t =，即有(4,2)C ，可得圆的半径为2，由直线FP 和圆C 相切的条件为d r =2=，解得2c =，可得4a =，b =椭圆方程为2211612x y +=．(2019•天津理18)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点)，且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【解答】解：(Ⅰ)由题意可得24b =，即2b =，c e a ==222a b c -=，解得a =，1c =，可得椭圆方程为22154x y +=；(Ⅱ)(0,2)B ，设PB 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程224520x y +=，可得22(45)200k x kx ++=，解得22045k x k =-+或0x =，即有220(45kP k -+，22810)45k k -+，2y kx =+，令0y =，可得2(M k-，0)，又(0,1)N -，OP MN ⊥，可得281011220k k k-=---g ，解得k =可得PB的斜率为 (2019•天津理5文6)已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点)，则双曲线的离心率为( ) ABC ．2D【解答】解：Q 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．(1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-，l Q 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点)，2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24ba=，2b a ∴=，c ∴==，∴双曲线的离心率为ce a=故选：D ．(2019•北京文19)已知椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P 、Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．若||||2OM ON =g，求证：直线l 经过定点． 【解答】解：(Ⅰ)椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．可得1b c ==，a =，则椭圆方程为2212x y +=；(Ⅱ)证明：y kx t =+与椭圆方程2222x y +=联立，可得222(12)4220k x ktx t +++-=，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，△2222164(12)(22)0k t k t =-+->，122412kt x x k+=-+，21222212t x x k -=+，AP的方程为1111y y x x -=+，令0y =，可得111xx y =-，即11(1x M y -，0)； AQ 的方程为2211y y x x -=+，令0y =，可得221x y y =-．即22(1xN y -，0)． 1212121212(1)(1)1()1()()(2)y y y y y y kx t kx t kx kx t --=+-+=+++-++2222222224(1)(12)()()121212t kt t t t k kt k k k k --=+-++--=+++g g ，||||2OM ON =g ，即为1212||211x xy y =--g ，即有22|1|(1)t t -=-，由1t ≠±，解得0t =，满足△0>，即有直线l 方程为y kx =，恒过原点(0,0)．(2019•北京文11)设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 ．【解答】解：如图，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，Q 所求圆的圆心F ，且与准线1x =-相切，∴圆的半径为2． 则所求圆的方程为22(1)4x y -+=． 故答案为：22(1)4x y -+=．(2019•北京文5)已知双曲线2221(0)x y a a-=>，则(a = )AB ．4C ．2D ．12【解答】解：由双曲线2221(0)x y a a -=>，得21b =，又c e a =，得225c a =，即2222215a b a a a ++==，解得214a =，12a =． 故选：D ．(2019•北京理18)已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． (Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程；(Ⅱ)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解答】解：(Ⅰ)抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =，可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；(Ⅱ)证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，可得124x x k +=-，124x x =-，直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-，直线ON 的方程为22y y x x =，即24x y x =-，可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-，可得AB 的中点的横坐标为121142()224k k x x -+==-g ，即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为12||144||222AB x x =-==，可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+，化为224(1)4x kx y -++=，由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．(2019•北京理8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【解答】解：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…，解得(0x ∈，所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x >时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=„，(当x y =时取等)，222x y ∴+„，∴，即曲线C 上y ，根据对称性可得：曲线C ②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误． 故选：C ．(2019•北京理4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【解答】解：由题意，12c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，22244a b a ∴-=，即2234a b =． 故选：B ．(2019•新课标Ⅲ文21)已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． (1)证明：直线AB 过定点．(2)若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【解答】(1)证明：设D (t ，−12)，A (x 1，y 1)，则x 12=2y 1，由于y ′＝x ，∴切线DA 的斜率为x 1，故y 1+12x 1−t=x 1，整理得：2tx 1﹣2y 1+1＝0．设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2﹣2y 2+1＝0． 故直线AB 的方程为2tx ﹣2y +1＝0． ∴直线AB 过定点(0，12)；(2)解：由(1)得直线AB 的方程y ＝tx +12． 由{y =tx +12y =x22，可得x 2﹣2tx ﹣1＝0． 于是x 1+x 2=2t ，y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1．设M 为线段AB 的中点，则M (t ，t 2+12)，由于EM →⊥AB →，而EM →=(t ，t 2−2)，AB →与向量(1，t )平行，∴t +(t 2﹣2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1． 当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=4； 当t ＝±1时，|EM →|=√2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=2．(2019•新课标Ⅲ理21)已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． (1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【解答】解：(1)证明：y =x 22的导数为y ′＝x ，设切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即有y 1=x 122，y 2=x 222，切线DA 的方程为y ﹣y 1＝x 1(x ﹣x 1)，即为y ＝x 1x −x 122，切线DB 的方程为y ＝x 2x −x 222，联立两切线方程可得x =12(x 1+x 2)，可得y =12x 1x 2=−12，即x 1x 2＝﹣1，直线AB 的方程为y −x 122=y 1−y 2x 1−x 2(x ﹣x 1)，即为y −x 122=12(x 1+x 2)(x ﹣x 1)，可化为y =12(x 1+x 2)x +12，可得AB 恒过定点(0，12)；(2)法一：设直线AB 的方程为y ＝kx +12，由(1)可得x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣1，AB 中点H (k ，k 2+12)，由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为|EH |，可得|12−52|√1+k 2=√k 2+(k 2−2)2，解得k ＝0或k ＝±1，即有直线AB 的方程为y =12或y ＝±x +12，由y =12可得|AB |＝2，四边形ADBE 的面积为S △ABE +S △ABD =12×2×(1+2)＝3； 由y ＝±x +12，可得|AB |=√1+1•√4+4=4，此时D (±1，−12)到直线AB 的距离为|1+12+12|√2=√2；E (0，52)到直线AB 的距离为|12−52|√2=√2，则四边形ADBE 的面积为S △ABE +S △ABD =12×4×(√2+√2)＝4√2； 法二：(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx +12． 由{y =tx +12y =x22，可得x 2﹣2tx ﹣1＝0． 于是x 1+x 2＝2t ，x 1x 2＝﹣1，y 1+y 2＝t (x 1+x 2)+1＝2t 2+1，|AB |=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1=√t 2+1，d 2=2√t +1．因此，四边形ADBE 的面积S =12|AB |(d 1+d 2)＝(t 2+3)√t 2+1． 设M 为线段AB 的中点，则M (t ，t 2+12)．由于EM →⊥AB →，而EM →=(t ，t 2−2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t +(t 2﹣2)t ＝0．解得t ＝0或t ＝±1．当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4√2． 综上，四边形ADBE 的面积为3或4√2． (2019•新课标Ⅲ理14文15)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为 ． 【解答】解：设M (m ，n )，m ，n ＞0，椭圆C ：x 236+y 220=1的a ＝6，b ＝2√5，c ＝4，e =c a =23，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，△MF 1F 2为等腰三角形，可能|MF 1|＝2c 或|MF 2|＝2c ，即有6+23m ＝8，即m ＝3，n =√15； 6−23m ＝8，即m ＝﹣3＜0，舍去． 可得M (3，√15)． 故答案为：(3，√15)．(2019•新课标Ⅲ文理10)双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A ．3√24B ．3√22 C ．2√2 D ．3√2【解答】解：双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F (√6，0)，渐近线方程为：y =±√22x ，不妨P 在第一象限，可得tan ∠POF =√22，P (√62，√32)，所以△PFO 的面积为：12×√6×√32=3√24． 故选：A ．(2019•新课标Ⅱ文20)已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【解答】解：(1)连接1PF ，由2POF ∆为等边三角形可知在△12F PF 中，1290F PF ∠=︒，2||PF c =，1||PF =，于是122||||1)a PF PF c =+=，故曲线C 的离心率1ce a==． (2)由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在当且仅当：1||2162y c =g ，1y y x c x c=-+-g ，22221x y a b +=，即||16c y =，① 222x y c +=，②22221x y a b +=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c =，故4b =，由②③得22222()a x c b c=-，所以22c b …，从而2222232a b c b =+=…，故a …4b =，a …点P ．所以4b =，a的取值范围为)+∞．(2019•新课标Ⅱ理21)已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．()i 证明：PQG ∆是直角三角形； ()ii 求PQG ∆面积的最大值．【解答】解：(1)由题意得1222y y x x ⨯=-+-，整理得曲线C 的方程：221(0)42x y y +=≠，∴曲线C 是焦点在x 轴上不含长轴端点的椭圆；(2)()i 设0(P x ，0)y ，则0(Q x -，0)y -，0(E x ，0)，(G G x ，)G y ，∴直线QE 的方程为：000()2y y x x x =-，与22142x y +=联立消去y ，得22222220000000(2)280x y x x y x x y x +-+-=，∴2220000220082G x y x x x x y --=+，∴2002200(8)2G y x x x y -=+，∴220000022000(4)()22G G y y x y y x x x x y --=-=+，∴G PG G y y k x x -=-220000220020002200(4)2(8)2y x y y x y x y x x y ---+=--+232300000002320000004282y y x y y x y x x y x x y ----=--- 2200022000(432)2(4)y x y x y x --=--，把220024x y +=代入上式，得2200022000(434)2(442)PG y x x k x y y --+=--+ 20020022y x x y -⨯=00x y =-，0000()1PQ PG y xk k x y ∴⨯=⨯-=-，PQ PG ∴⊥，故PQG ∆为直角三角形； 1()||()2PQG G Q ii S PE x x ∆=⨯- 001()2G y x x =+ 200002200(8)1[]22y x y x x y -=++ 22200000220082122y x y y x x y -++=⨯+ 20002200(4)2y x x x y +=+ 222000002200(2)2y x x y x x y ++=+ 22000022002()2y x x y x y +=+ 220000222200008()(2)(2)y x x y x y x y +=++ 330000442200008()225y x x y x y x y +=++ 0000200008()2()1x y y x x y y x +=++令0000x y t y x =+，则2t …，2881212PQG t S t t t∆==++ 利用“对号”函数1()2f t t t =+在[2，)+∞的单调性可知，19()4(222f t t +==…时取等号)，∴816992PQG S ∆=„(此时00x y =，故PQG ∆面积的最大值为169． (2019•新课标Ⅱ理11文12)设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若||||PQ OF =，则C 的离心率为()ABC ．2D【解答】解：如图，以OF 为直径的圆的方程为220x y cx +-=，又圆O 的方程为222x y a +=，PQ ∴所在直线方程为2a x c=．把2a x c =代入222x y a +=，得2ab PQ c =，再由||||PQ OF =，得2ab c c=，即22244()a c a c -=，22e ∴=，解得e故选：A ．(2019•新课标Ⅱ理8文9)若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则(p = )A ．2B ．3C ．4D ．8【解答】解：由题意可得：23()2pp p -=，解得8p =．故选：D ．(2019•新课标Ⅰ理10文12)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【解答】解：22||2||AF BF =Q ，2||3||AB BF ∴=，又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=，又12||||2BF BF a +=，2||2a BF ∴=，2||AF a ∴=，13||2BF a =，12||||2AF AF a +=Q ，1||AF a ∴=，12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=，在△12BF F 中，由余弦定理可得222134()()22cos 222a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得214202a a a -+=，解得23a =，a ∴=． 222312b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：22132x y +=．故选：B ．(2019•新课标Ⅰ文10)双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C的离心率为( ) A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130︒，得tan130tan50b a -=︒=-︒，则sin50tan50cos50b a ︒=︒=︒，∴2222222222501115050b c a c sin a a a cos cos -︒==-==-︒︒，得22150e cos =︒，1cos50e ∴=︒． 故选：D ．(2019•新课标Ⅰ理19)已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．(1理)若||||4AF BF +=，求l 的方程； (2理)若3AP PB =u u u r u u u r，求||AB ．【解答】解：(1理)设直线l 的方程为3()2y x t =-，将其代入抛物线23y x =得：22999(3)0424x t x t -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1293422934t x x t ++==+，①，212x x t =②，由抛物线的定义可得：1243||||2432AF BF x x p t +=++=++=，解得712t =，直线l 的方程为3728y x =-． (2理)若3AP PB =u u u r u u u r ，则123y y =-，∴1233()3()22x t x t -=-⨯-，化简得1234x x t =-+，③由①②③解得1t =，13x =，213x =，||AB ∴=． (2019•新课标Ⅰ文21)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M e 过点A ，B 且与直线20x +=相切．(1)若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．【解答】解：M Q e 过点A ，B 且A 在直线0x y +=上，∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设M e 的方程为：222()()(0)x a y a R R -+-=>，则 圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离d =，又||4AB =，∴在Rt OMB ∆中，2221(||)2d AB R +=，即224R +=① 又M Q e 与2x =-相切，|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =⎧⎨=⎩或46a R =⎧⎨=⎩，M ∴e 的半径为2或6；(2)Q 线段AB 为M e 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上，设点M的坐标为(,)x y ，则222||||||OM OA MA +=，M Q e 与直线20x +=相切，|||2|MA x ∴=+，22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++，24y x ∴=，M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线，|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+，∴当||||MA MP -为定值时，则点P 与点F 重合，即P的坐标为(1,0)，∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时，||||MA MP -为定值．。
2019年高考文数——圆锥曲线(解答)
2019年高考文数——圆锥曲线1.(19全国一文21.（12分）)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切． （1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．2.(19全国二文20．（12分）)已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．3.(19全国三文21．（12分）)已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．4.(19北京文（19）（本小题14分）)已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．5.(19天津文（19）（本小题满分14分）)设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知||2||OA OB=（O为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且OC AP∥，求椭圆的方程.参考答案：1．解：（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x .因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .2．解：（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C 的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b +=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥时，存在满足条件的点P ．所以4b =，a 的取值范围为)+∞．3．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y - 设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=．所以直线AB 过定点1(0,)2． （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r 22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．4.解：（I ）由题意得，b 2=1，c =1．所以a 2=b 2+c 2=2．所以椭圆C 的方程为2212xy +=．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则直线AP 的方程为1111y y x x -=+．令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-． 由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++- 22222222212||224(1)()(1)1212t k t ktk k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1tt+=-． 又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=-． 解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．5. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c2b =，又由222a b c =+，消去b 得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =.所以，椭圆的离心率为12. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+ 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-.代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-.因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t .因为OC AP ∥，且由（Ⅰ）知( 2 , 0)A c -，故3242c t c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l 相切，2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.。
2019年高考试题汇编理科数学--圆锥曲线
(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（ ）A.1222=+y xB. 12322=+y xC.13422=+y xD.14522=+y x答案： B解答：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又 ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+by a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+yx . (2019全国1)16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=，则C 的离心率为 . 答案：2解答：由112,0F A AB F B F B =⋅=知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，221()1tan 602b e a=+=+︒=.(2019全国1) 19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若3=，求||AB . 答案：（1）07128=+-x y ；（2）3134. 解答：（1）设直线l 的方程为b x y +=23，设),(11y x A ，),(22y x B ， 联立直线l 与抛物线的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>⨯--=∆b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -⨯=+，依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ，即2521=+x x ，故259)33(4=-⨯b ，得87-=b ，满足0>∆，故直线l 的方程为8723-=x y ，即07128=+-x y .（2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ，084>-=∆b ，21<∴b ，221=+y y ，b y y 221=， 3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知23-=b 满足0>∆， ∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB . （2019全国2）8. 若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.8 答案：D 解答：抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p22=，∴8=p .（2019全国2）11. 设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF = ，则C 的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 答案:A解答：∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=, 又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=解得2ca=，即2e =.（2019全国2）21. 已知点(2,0),(2,0)A B -，动点(,)M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .①证明：PQG ∆是直角三角形； ②求PQG ∆的面积的最大值. 答案： 见解析 解答：(1)由题意得：1222y y x x ⋅=-+-，化简得： 221(2)42x y x +=≠±，表示焦点在x 轴上的椭圆（不含与x 轴的交点）.(2) ①依题意设111100(,),(,),(,)P x y Q x y G x y --，直线PQ 的斜率为k (0)k > ，则101010101010,PG GQ y y y y y y k k x x x x x x ---+===---+，∴2210221012PG GQy y k k x x -⋅==--， 又1111122GQ EQ y y kk k x x x -====--，∴1PG k k=-， ∴PG PQ ⊥，即PQG ∆是直角三角形.②直线PQ 的方程为(0)y kx x =>，联立22142y kx x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得12122121x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ ， 则直线21111111111:()k PG y x x y x x kx x x k k k k k +=--+=-++=-+， 联立直线PG 和椭圆C ，可得222221122224(1)2(1)(1)40x k x k x x k k k +++-+-=， 则211024(1)2x k x x k ++=+，∴2111012114(1)()222PQGx k S y x x kx k ∆+=+=⋅+ 2222422218()8(1)8(1)1(2)(21)2522()5k k k k k k k k k k k k +++===++++++， 令1t k k=+，则2t ≥，∴2288812(2)5212PQG t t S t t t t∆===-+++， ∵min 19(2)2t t+=， ∴max 16()9PQG S ∆=. （2019全国3）10.双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =则PFO ∆的面积为（ ）A: 4B:2C:D:答案: A解析：由双曲线的方程22042x y -=可得一条渐近线方程为2y x =；在PFO ∆中||||PO PF =过点P 做PH 垂直OF因为tan ∠得到PO =;所以12S PFO ∆==;故选A;（2019全国3）15.设1F、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________.答案：)15,3(解析：已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(.（2019全国3）21.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点.过D 作C 的两条切线,切点分别是A ,B ,（1）证明：直线AB 过定点;（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积. 答案：见解析； 解答：（1）当点D 在1(0,)2-时，设过D 的直线方程为012y k x =-，与曲线C 联立化简得 20210x k x -+=，由于直线与曲线相切，则有20440k ∆=-=，解得01k =±，并求得,A B 坐标分别为11(1,),(1,)22-，所以直线AB 的方程为12y =； 当点D 横坐标不为0时，设直线AB 的方程为y kx m =+（0k ≠），由已知可得直线AB 不过坐标原点即0m ≠，联立直线AB 方程与曲线C 的方程可得，22y kx mx y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消y 并化简得2220x kx m --=，∵有两个交点∴2480k m ∆=+>， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理有，122x x k +=，122x x m =-，由已知可得曲线C 为抛物线等价于函数2()2x f x =的图像，则有()f x x '=，则抛物线在11(,)A x y 上的切线方程为111()y y x x x -=-①， 同理，抛物线在22(,)B x y 上的切线方程为222()y y x x x -=-②， 联立①，②并消去x 可得122112y y y y x x x x ---=-， 由已知可得两条切线的交点在直线12y =-上，则有 22122112112222x x x x x x -----=-，化简得，12212112(1)()2x x x x x x x x --=-，∵0k ≠，∴12x x ≠，即1212112x x x x -=，即为2114m m --=-，解得12m =，经检验12m =满足条件，所以直线AB 的方程为12y kx =+过定点1(0,)2， 综上所述，直线AB 过定点1(0,)2得证.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y kx =+，当0k =时，即直线AB 方程为12y =，此时点D 的坐标为1(0,)2-，以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切于1(0,)2F 恰为AB 中点，此时1123322ADBE S AB ED =⋅=⨯⨯=；当0k ≠时，直线AB 方程与曲线方程联立化简得2210x kx --=，122x x k +=，121x x =-，21221y y k +=+，则AB 中点坐标为21(,)2H k k +，由已知可得EH AB ⊥，即2152210EH k k k k k +-⋅=⋅=--， 解得，1k =±，由对称性不妨取1k =，则直线方程为12y x =+， 求得D 的坐标为1(1,)2-，4AB =，E 到直线AB距离1d ==D 到直线AB距离2d ==则121122ADBE S AB d AB d =⋅+⋅=， 综上所述，四边形ADBE 的面积为3或（2019北京）4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.（2019北京）18.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ONx x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2019天津）5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF=（O 为原点），则双曲线的离心率为C. 2 【答案】D 【解析】 【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
(完整word版)圆锥曲线高考真题汇编(2013--2019新课标卷)(2019)
解析几何高考真题1、【2019年新2文理】若抛物线22y px =(p>0)的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p=( ) A.2 B.3 C.4 D.82、【2019年新2文理】设F 为双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点，若PQ OF =,则C 的离心率为（ ）B.C. 23、【2019新1文理】已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>D 的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线与C的两条渐近线分别交于A,B 两点，若112,0F A AB FB F B =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r，则C 的离心率为________4、【2019新1文理】已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -,过2F 的直线与C 交于A,B 两点2212,AF F B AB BF ==,则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 5、【2019新3文理】10．双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）ABC．D．6、【2019新3文理】15．设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.7、【2018新2文理】5．双曲线，则其渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22221(0,0)x y a ba b-=>>y =y =2y x =y =8、【2018新2理】12．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．9、【2018新2文】11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（） A ． B ．CD10、【2018新1理】8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=（）A ．5B ．6C ．7D ．811、【2018新1理】11．已知双曲线C：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．B ．3C ．D ．412、【2018新1文】4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B．12C D 13、【2018新1文】15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________ 14、【2018新3文理】6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．15、【2018新3理】11．设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）A B ．2 C D16、【2018新3理】16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C PA 12PF F △12120F F P ∠=︒C 231213141F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 12-123FM FN ⋅u u u u r u u u r2213x y -=OMN △3220x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣12F F ，22221x y C a b-=：00a b >>，O 2F C P 1PF =C ()11M -，24C y x =：C k C A两点．若，则________．17、【2018新3文】10．已知双曲线，则点到的渐近线的距离为（） AB ．CD ．18、【2017新2理】9. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BCD 19、【2017新2理】16. 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则FN = ．20、【2017新1理】10．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．1021、【2017新1理】15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。
2019年全国高考数学·分类汇编 专题21 圆锥曲线综合(解析版)
专题21圆锥曲线综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）169.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）1y x =-；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【母题来源三】【2017年高考全国II 理数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u ru u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.【命题意图】（1）掌握直线方程的几种形式，掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程，能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（2）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（3）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.【方法总结】（一）求直线方程的常用方法有（1）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．（3）直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．（4）求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.（二）求圆的方程（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．（三）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且. （四）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. （五）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（六）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学试题】已知点M 为直线1:1l x =-上的动点，()1,0N ，过M 作直线1l 的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）若直线()2:0l y kx m k =+≠与圆()22:36E x y -+=相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线2l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）直线2l 的方程为y =或y =.2．（重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左顶点为(20)M -，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(10)N ，的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当MA MB ⋅u u u r u u u r取得最大值时，求MAB △的面积．【答案】（1）22:142x y C +=；（2 3．【湖南省郴州市2019届高三第二次教学质量监测试卷数学试题】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点.（1）若以A ，B 为直径的圆的方程为22(2)(3)16x y -+-=，求抛物线C 的标准方程； （2）过A ，B 分别作抛物线的切线1l ，2l ，证明：1l ，2l 的交点在定直线上. 【答案】（1）24x y =；（2）见解析.4．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考数学试题】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列． 【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.5．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三)数学（理)试题】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，()02,M y -是C 上一点，且2MF =．（1）求C 的方程；（2）过点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 两点作抛物线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）24x y =；（2）见解析.6．【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若AP PB λ=u u u r u u u r，当0t <时，求λ的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）31,2λ⎛+∈ ⎝⎦.7．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)数学试题】已知椭圆C ：()222211x y a b a b +=>>离心率为2，直线1x =（1）求椭圆方程；（2）设直线y kx m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.8．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，()02,A y 是E 上一点，且2AF =. （1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点.【答案】（1）E 的方程为24x y =；（2）见解析.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019全国高考 - 圆锥曲线部分汇编(2019北京理数) （4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b 2（C ）a =2b（D ）3a =4b(2019北京理数) （18）（本小题14分）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．(2019北京文数) （5）已知双曲线2221x y a-=（a >0）的离心率是5，则a =（A ）6（B ）4（C ）2（D ）12(2019北京文数) （11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． (2019北京文数) （19）（本小题14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．(2019江苏) 7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .(2019江苏) 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．(2019全国Ⅰ理数) 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += (2019全国Ⅰ理数) 16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u ur u u u u r ，则C 的离心率为____________． (2019全国Ⅰ理数) 19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =u u u r u u u r，求|AB |．(2019全国Ⅰ文数) 10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒(2019全国Ⅰ文数)12．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2019全国Ⅰ文数) 21.（12分）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．(2019全国Ⅱ理数)1. 若抛物线13)0(2222=+>=py p x p px y 的焦点是椭圆的一个焦点，则p=________A.2B.3C.4D.8(2019全国Ⅱ理数)8. 设F 为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q两点。
若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为________5.D C.2 3. 2A.B(2019全国Ⅱ理数)11. 设F 为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q 两点。
若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为________5.D C.2 3. 2A.B(2019全国Ⅱ理数)21. (12分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为21-。
记M 的轨迹为曲线C. (1) 求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2) 过坐标原点的直线交C 于P 、Q 两点，点P 在第一象限，轴x ⊥PE ，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G (ⅰ) 证明：△PQG 是直角三角形； (ⅱ) 求△PQG 面积的最大值。
(2019全国Ⅱ文数)9. 若抛物线13)0(2222=+>=py p x p px y 的焦点是椭圆的一个焦点，则p=________ A.2 B.3 C.4 D.8(2019全国Ⅱ文数)12. 设F 为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q 两点。
若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为________5.D C.2 3. 2A.B(2019全国Ⅱ文数)20. （12分）已知F 1,F 2是椭圆C ： x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点， O 为坐标原点。
1）若为等边三角形，求C 的离心率；2）如果存在点P ，使得，且的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围。
(2019全国Ⅱ理数) 10．双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A B ．C ．D ．(2019全国Ⅲ理数) 15．设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.(2019全国Ⅲ理数) 21．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. (2019全国Ⅲ文数)10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52C ．72D ．92(2019全国Ⅲ文数)15．设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.(2019全国Ⅲ文数) 21．（12分）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．(2019天津理数)5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 ABC ．2D(2019天津理数) 18．（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为5．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．(2019天津文数)（6）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 （A（B（C ）2（D(2019天津文数) （19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.(2019浙江) 2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是AB ．1CD ．2(2019浙江)15．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．(2019浙江) 21．（本小题满分15分）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的标准方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．。