复变函数课后习题答案(全)

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习题一答案

1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（ 1）

1

（2）

i

2i 1)(i

2)

3

(i

（3）

1

3i （4） i 8

4i

21

i

i

1 i

解：（ 1） z

1 3 2i ，

3 2i 13

因此： Re z

3 , Im z

2 ，

13 13 （ 2） z

i

i 3 i ， (i

1)(i 2)

1

3i

10

因此， Re z

3 , Im z 1 ，

10

10

（ 3） z

1 3i i

i

3 3i 3 5i ，

i 1

2 2

因此， Re z

3 , Im z 5 ，

3

2

（ 4） z

i 8 4i 21

i 1 4i i 1 3i

因此， Re z 1, Im z 3，

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：

（ ） （ ）

1 3i （ ） r (sin i cos )

1 i

2

3

（ 4） r (cos i sin ) （5）1 cos i sin

(0

2 )

解：（ 1） i

cos

i sin

i e 2 2

2

2

2

2

（2） 1

3i

i

2(cos

i sin

)

2e

3

3 3

（ 3） r (sin

i cos ) r[cos(

)

i sin(

)] (

) i

2

re

2

2

（ 4） r (cos i sin ) r[cos( ) i sin( )]

re i

（5）1

cos

i sin

2sin 2

2 2i sin

cos 2

2

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..

3． 求下列各式的值：

（1）( 3 i)5 （ 2） (1

i )100

(1

i)100

（3）

(1

3i )(cos i sin ) （4） (cos5 i sin 5

)2

(1 i )(cos i sin ) (cos3 i sin 3

)3

（5） 3

i

（ ）

1

i

6

解：（ 1） (

3 i )5 [2(cos(

) i sin( ))] 5

6

6

（2） (1 i )100

(1

i)100

(2i )

50

( 2i )

50

2(2)

50

251

（3）

(1

3i )(cos i sin )

(1 i )(cos i sin )

(cos5

i sin 5 ) 2

（4）

i sin 3 )3

(cos3

（5） 3

i

3

cos

i sin

2

2

（6）

1 i

2(cos i sin )

4 4

4． 设 z 1

1 i

, z 2

3 i, 试用三角形式表示 z z 与

z 1

2

1

2

z 2

解： z

cos i sin , z 2 2[cos(

) i sin( )] ，所以

1

4

4

6

6

z 1z 2

2[cos(

) i sin( 4

6 )] 2(cos

12 i sin ) ，

4 6

12

5． 解下列方程：

（1） (z i )5 1（ 2） z 4 a 4 0

( a 0)

解：（ 1） z

i

5

1,由此

z

5

1

i 2

k i

i ， (k

0,1,2,3,4)

e 5

（2） z

4

a 4

4

a 4 (cos

i sin )

..

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a[cos 1

(

2k ) i sin 1

(

2k )] ，当 k

0,1,2,3时，对应的 4 个根分别为：

4

4

a

(1 i ), a ( 1 i), a ( 1 i ), a (1 i)

2 2 2

2

6

x iy, 则

x

y z

x

y

． 证明下列各题：（ 1）设 z

2

证明：首先，显然有 z x 2 y 2

x

y ；

其次，因 x 2

y 2 2 x y , 固此有 2( x 2 y 2 ) ( x

y )2 ,

从而 z

x

2

y

2

x y

2 。

（ 2）对任意复数 z , z , 有 z 1 2 z 1 2

z 2

2 2Re( z 1 z 2 )

z 2

1 2

证明：验证即可，首先左端 ( x 1 x 2 )2 ( y 1 y 2 )2 ，

而右端

x 1

2

y 1

2

x 2 2 y 2 2 2Re[( x 1 iy 1 )( x 2 iy 2 )]

x 12 y 12 x 2 2 y 22 2( x 1x 2

y 1 y 2 ) ( x 1 x 2 )2 ( y 1

y 2 )2 ，

由此，左端 =右端，即原式成立。

（ 3）若 a

bi 是实系数代数方程 a z n

a z n 1

a z a

0 0

1

n 1

的一个根，那么 a

bi 也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则， z

n

( z)n ，

由此得到： a ( z)

n

a ( z)n 1

a z

a

1

n 1

由此说明：若 z 为实系数代数方程的一个根，则 z 也是。结论得证。

（ 4）若 a

1,则 b a, 皆有 a b

a

1 ab

证明：根据已知条件，有 aa

1，因此：

a b a b a b

1

a ，证毕。

1 ab aa ab

a(a

b) a

（ 5）若 a

1, b

1，则有

a b

1

1 ab

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