基于特殊节点的重心有理插值方法

了新 方法 的有效性 。 关键 词 ： 重心有理插值 ； 插值权 ； 比雪夫点 切 中图分类号 ： ７ ． ２ Ｏ１４ ４ 文献标识码 ： Ａ 文章编 号：０ ６４ ４ （０ １０ —６—３ １ ０—５ ０ ２ １ ）１０ ４０
Ｂａ ｙ ｅ ｒ ｃ ｒ ｔｏ ａ ｎ ｅ ｐｏ ａ ｉ ｎ ｏ ｓ ｅ ｉ ｌｐ ｎ ｓ ｒ ｃ ｎｔ ｉ ａ ｉ ｎ ｌｉ ｔ ｒ ｌ ｔｏ ｎ ｐ ｃ ａ ￣ｉ ｔ
得 到如下 一组 最优 插值 权 ：
Ｗ Ｏ 一 ０． ０１ ０ ， １一 一 ０． ０ ７６ ２， １８ ７ ２ — ０ １ ５ ８， ３ 一 ０ ３６ ２７ ６， ４— ０．１ ９ ２１， ．３ ５１ ６ Ｗ 一 ． ９ ６ Ｗ ８２ ， ３ 叫 ５ － ０ ２ ６ ２７。 一 ．０ ２８ ７
ｃ ｎ ｒｃ ｒ ｔ ｎ ｌ ｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ ｈ ｓ ｄ ｆｅ ｅ ｔ ａ ｃ ｒ ｃ ． Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓ ｉ ｈ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ Ｃ ｅ ｙ ｈ ｖ ｅ ｔ ｉ ａ ｉ ａ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔ ａ ｉ ｒ ｎ ｃ ｕ ａ ｙ ｏ ｏ ｆ ｓ ｄ ｏ ｈ ｅ ｔ ｗｅ ｇ ｔ ｎ ｈ ｈ ｂ ｓ ｅ ｐ ｉ ｔ ，ｔ ｅａ ｃ ｒ ｔ ａ ｙ ｅ ｔ ｉ ａ ｉ ｎ ｌ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔｏ ｓｓ ｕ ｉ ｄ ｏ ｎ ｓ ｈ ｃ ｕ ａ ｅ ｂ ｒ ｃ ｎ ｒｃ ｒ ｔｏ ａ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ ｉ ｔ ｄ ｅ ．Ｔｗｏ ｎ ｍ ｅ ｉａ ｘ ｍ ｐ ｅ ｒ ｉｅ ｏ ｉ ｕ ｒｃ ｌ ａ ｌｓａ ｅｇ ｖ ｎ ｔ ｅ
第１ ９卷 第 １ 期
２１ ０ １年 ２月
安 徽 建 筑 工 业 学 院 学报 （ 然科学版） 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＡｎ ｕ ｎ ｔ ｕ ｅｏ ｃ ｉ ｃｕ ｅ＆ Ｉ ｄ ｓｒ ｏ ｒ ａ ｈ ｉ ｓｉ ｔ ｆＡｒｈｔ ｔ ｒ ｏ Ｉ ｔ ｅ ｎ ｕ ｔｙ
Ｖｏ ． ９ Ｎｏ １ １１ ．
图 ２ 文 献 ［ ］ 法 的插 值 误 差 ４方
例 ２ 取 ， 插值 区间上 的切 比雪 夫点 ： 取
ｚｏ 一 一 １ ０ ０ ００ ０ Ｏ ． ００ Ｏ ０ ００ ＯＯ， ｌ 一 一 ０． ０ ０ ０ ００ ＯＯ， — ０ Ｏ ０Ｏ ０ Ｏ ００ ３一 ５ ００ ０Ｏ ０ Ｏ ｚ２ ．５ ０ Ｏ Ｏ０ Ｏ ０，
ｎ作 为 插值 权 ， 来 Ｂ ｒｕ 利 用 特殊 的插 值 节点 后 ｅｒｔ
分 布 等 方 法 ， 改 进 重 心 有 理 函 数 插 值 的 逼 近 来
误差 。 。 ］
在被 插值 函数 是 已知 的连 续 函数 时 ， 文 利 本 用最 优化 方 法计 算 最 优 插 值 权 。具 体 地 说 ， 以插 值 区间上 的切 比雪夫 点 为插 值 节 点 ， 以各 个 插 值 节点处 的权 （ 一０ ｌ … ， 为决 策 变 量 ， ， ， ） 以保
结论 ：
结论 １７： ｛ｚ ，Ｊ ，Ｏ ≤ ｝ ［ 设 （ ，ｆ ） ≤ ］ 为 ＋１个 实数 对 ， 互 不相 同 。｛ ， ＜ｊ Ｗｊ ｏ ≤ ） 为 ＋ １ 个
，
基金项 目： 国家 自然科学基金 （０ ７ ０ ０ ３ ５ ０ ３ ，０ ７ １ ４ ， ６ ９ ３ ５ ，０ ７ ４ １ ６ ８ ３ ４ ） 安徽 省教育厅 自然科学基金项 目（ Ｊ ０ ９ ５ ， Ｊ ０ ７ １３ ， Ｋ ２ ０ Ａ ０ Ｋ ２ ０ Ｂ ７ ）安徽 省优秀人才基金 ， 育部 新世 纪 优 秀人才 支 持计 划 （ Ｃ Ｔ－ ０ — ０ ５ ） 国 家 ８ ３高 技术 研 究 发展 计 划项 目基 金 教 Ｎ Ｅ － ６ ５５ ， ６ （０ ６ Ａ０ Ｚ ０ ）资助。 ２ ０ Ａ １ １４ 作者简介： 吴 军 （ ９３ ， ， １８ 一）男 硕士研究生 ， 主要研究方 向为有理插值与逼近 。
ｓ ｏ ｔ ｅｅｆｃ ｉｅ ｅ ｓｏ ｈ ｅ ｍ ｅｈ ｄ ｈ ｗ ｈ ｆｅ ｔ ｎ ｓ ｆｔ ｅｎ ｗ ｔ ｏ ． ｖ Ｋｅ ｒ ｓ ｈ ｒ ｃ ｎ ｒｃｒ ｔ ｎ ｌｉｔｒ ｏａ ｉｎ；ｗｅｇ ｔ ；Ｃｈ ｂ ｓ ｅ ｏｎ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ａ ｙ ｅ ｔｉ ａ ｉ ａ ｎ ｅｐ ｌｔｏ ｏ ｉｈ ｓ ｅ ｙ ｈ ｖ ｐ ｉｔ
∈
ｚ 一 一 ０． ５１ ６５ ６ ５ ５， Ｘｌ 一 ９ Ｏ５ １ ２９ １ 一 ０ ８ ８ ２ ２ ４ ｚ２ 一 Ｏ ０９ ６ ４ ４ ５， ．５ ７７ ５ ５２ ９２ ７， ＝ ．３ ０１ ９９ ３７ ９ ｚ３ ０， ３４ ０ ０ ０１ ９９ ３７ ９ ｚ５ １ — ２ — ．３ ９ ６ ４ ４ ５， —
进一步得重心有理 函数插值 。插值误差对 比
６ ６
如下：
安徽 建 筑工 业 学院 学报 （ 自然科 学版 ）
第１ ９卷
方面 ， 备 单 元适 应 性 强 ， 具 函数 形 式 规 范统 一 ， 光
滑度高等特点 ， 不失为一种理想的逼近算法。
参考 文献
１ Ｂ ｌ ｎ ｐ ｒ ｅ Ｂ ｒｕ Ｎｏ ｌＢ ｐ ｎ ｎ ｉｌｃ ｎ ａｔ ｓ ｅ ｇ ｒＲ， ｅ ｒ ｔＪＰ， ｅ Ｅｘ ｏ ｅ ｔ ｏ － ｅ ａ
一 Ｃ Ｓ ｎ ，Ｊ一 ０， ， 扎。 Ｏ １… 。
图 １ 新 方 法 的插 值 误 差
如 何选 取插 值权 使得 插值 误差 最 小是 有理 插 值 取得 较 好 逼 近 效 果 的 一 个 关 键 问 题 。 最 初 Ｂ ｒｕ 在文 献［ 中采用 一 （ ）， 一０ １ … ， ｅｒ ｔ 。 ］ 一１ 尼 ， ，
Ｆ ｂ ２ １ ｅ． ０ １
基 于 特 殊 节点 的重 心 有 理 插值 方 法
吴 军 ， 赵 前进 ， 郝又 平
（ 徽理工大学 理学院， 南 安 淮 ２２０） ３ ０ １
摘 要： 重心有理插值精度高 ， 且无极点， 呆用不同的权得到不同的重心有理插值。本文使用切比雪夫点作
为插值节点 ， 选取最优插值权来构造重心有理插值 。新方法所 得插值具 有非常高 的精 度 ， 过数值实例 表明 通
组最 优插 值权 ：
Ｗ ｏ一 ０． ７８ ０５ １一 一 ０ ４１ ２８ ５，叫 ？一 ２ １ ３， ． ８ ３
为 目标 函数 （ 时 ， 此 目标 函数 仅 为权 ， 一０ １ （ ，，
…
，
） 数）对权附加规范化约束 ∑ Ｉ ｊ； 的函 ， ＷＩ
０． ２ ７１ 叫 一 ０． ７９ ３ ８７。 ２ ３８ ４， 一 ０ ７９
提 出了在插 值 区间上 选取 特殊 的插值 节 点来得 到
放宽对有理插值 函数次数 的要求 ， 通过引入不 同 的插值权 ， 构造 了不同的重心有理插值 函数。重 心有 理插 值不 仅 具 有较 好 的逼 近 效果 ， 而且 具 有 很好 的数 值稳 定 性 ［ ， 且 通 过 插 值 权 的适 当选 ５并 ］ 取 可使得 重心 有理 插值 没有极 点 以及 可 以避 免 出 现不 可 达点 。选取 不 同 的插值 权 可得 到不 同 的重 心有 理插 值 。如 何 选 取插 值 节 点 和 插 值权 ， 得 使 重 心有 理插 值 取 得 尽 可 能 好 的 逼 近 效 果 是 关 键
进 一 步得 重心 有理 函数 插值 。插 值 误差 对 比
如下 ：
２ 基 于切 比雪 夫 点 上 的重 心 有 理 插 值 方 法
重 心 Ｌ ｇａｇ 插 值 对 于 常用 的等 距 插 值 节 ａ ｒｎ ｅ 点 是 病 态 的 ， 当 节 点 分 布 密 度 与 函 数 （ 一 但 １
证满 足插值 条件 、 无极 点 、 足结论 ２中插 值权 的 满
符号关系为约束条件， 以插值平方误差最小， 即
０ ≤《 ～
１ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ 。用 Ｌｎ ｏ软件 计算 得 到如 下 ．０ ００ ００ ００ ｉｇ
一
ｍａ － 一ｒ ］ ｍ ｎ ｘ［ （ ） （ ） 厂 一 ｉ
ｖ ｒ ｅ ｃ ｆａ ｌ ｅ ｒｒ ｔ ｎ ｌ ｎ ｅ ｐ ｌｎ ｅ ｗｅ ｎ ｔａ ｓ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｎ ａ ａ ｉ ａ ｔ ｒ ｏ ａ ｔｂ ｔ ｅ ｒ ｎ － ｉ ｏ ｉ
ｆｒ ｄＣ ｅ ｙｈｖｐ ｉｔ［ ］ Ｍａｈｍａｉ ｆ ｏ ｕ ｏｍｅ ｈ ｂ ｓｅ ｏｎｓＪ ． ｔｅ ｔ ｓｏ ｍｐ － ｃ Ｃ
第１ 期 实数 ， 则
吴 军 ， ： 于特 殊 节点 的 重心有 理插 值 方 法 等 基
６ ５
１通过 Ｌｎ ｏ软 件计 算 可得一 组 最优 插值 权 。 ， ｉｇ
（） 果 叫， ０ 则 存 在 一 有 理 函 数 ｒ ｚ １如 ≠ ， （）
使 得
，
３ 数 值 实 例
例 １ ， 插值 区 间上 的切 比雪夫 点 ： 取 取
问题 。
更精确的插值多项式 ， 又进一步提出了取特定 的 权 并选 取特殊 的插值 节点得 到重 心有理插值 。 １８ 年 Ｗ． ｒｅ 通 过运用更高次数 的有理插 ９４ Ｗｅｎｒ 值 函数第一次给出了重心有理插值方法 ， 文献［］ ６
收 稿 日期 ：０ ０Ｉ一２ ２ １ 一Ｉ１
关于重心有理插值文献［ 给 出了如下两个 ６ ］
１ 引
言
插值方法是各种数值算法 的基础 ， 常用的插 值方法是多项式插值和有理插值 。但是 ， 大量等 距 节点 上 的多项 式 插 值 是 病 态 的 ； 用 的有 理 插 常 值 方法 ， Ｔｈｅｅ型连分 式 插值 等 难 以避免 出现 如 ｉ ｌ 极点 ， 也无法控制极 点的位置 。为此 ， 文献 Ｅ－ ４中 １
ｚ ） １ 成 比例 ， 就 是 节 点 分 布 密 度 在 区 间 的两 －／ ２ 也 端 较 密 ， 间较 稀 疏 时 ， 会 具有 很 好 的插 值 效 中 就 果， 满足 这样 条件 的简 单 节 点 分 布 就有 切 比雪 夫 点 和勒让 德 点 等ｌ 。下 面 讨 论 中 我 们 取 特 殊 ＿ ４ 节点 为第 二类 切 比雪夫 点
Ｒ． 为一 有理 函数 集合 ， 均可 以表 示 为 １式 的重 ） 心有 理插 值形 式 。
结论 ２ ： ｌ ＜ｌ ＜ …＜ ｚ ， ≠０（ ≤ Ｅ 令 ｚ ｚ ｏ １ ｗｊ Ｏ ≤ ， ） 如果 ｒ ｚ 在 区间 Ｅ 。３ ］没有极 点 ， （） ｘ ， ２ 则
ｓｇ ｗｊ － ｓｇｎ ｉｎ 一 ｉ ＋ ， Ｏ ≤ 一 １ １ 。
Ｗ Ｕ ｕ ， Ｚ Ｊ ｎ ＨＡＯ Ｑｉ － ｎ ＨＡＯ ｏ －ｉｇ ａ ｊ ， ｎ ｉ Ｙ ｕｐｎ
（ ｌｅ ｅｏ ｃｅ ｃ ，Ａｎ ｕｉ Ｃｏｌｇ ｆＳ ｉｎ ｅ ｈ Ｕｎｉｅｓｔ ｆＳ ｉｎ ｅＴｅ ｈ ｏｏ ｙ，Ｈ ｕ ｉ ｎ ２ ２ ０ Ｃｈｎ ） ｖ ｒｉｙ ｏ ｃｅ ｃ ｃ ｎ ｌｇ ａｎａ ３ ０ １， ｉａ ຫໍສະໝຸດ ｒ ｘ 一 （ 一
２５ － ＿ － ｊ
Ｊ一 ０ 一 ～ ，
且 ｌ （ ） Ｊ （ （ ｊ 一 ） ｉ Ｌ 一ｆ ；ｆ ｘ ） ｍｒ ｚ
ｉ ｌ
｛
（ ） 之 ， 何 一 个 有 理 函 数 ｒ ） ２反 任 （ ∈Ｒ… ，
为插 值 节 点 。用 Ｌ ｎ ｏ软 件 求 解 优 化 模 型 ｉｇ
Ａｂ ｔａ ｔＢａ ｙ ｅ ｔｉ ａｉｎ ｌ ｎ ｅｐ ｌｔ ｎ ｉ ａ ｃ ｒ ｔ ｎ ａ ｅｎ ｏ ｅ ． Ｆ ｒｄ ｆｅ ｅ ｔｗ ｅｇ ｔ ａ ｙ ｓｒ ｃ ： ｒ ｃ ｎ ｒｃｒ ｔ ａ ｔｒ ｏａ ｉ ｓ ｃ ｕ ａ ｅａ ｄ ｈ ｖ ｏ ｐ ｌｓ ｏ ｉ ｒｎ ｉｈ ，ｂ ｒ — ｏ ｉ ｏ ｆ