基于特殊节点的重心有理插值方法
重心插值配点法及其应用
重心插值配点法及其应用摘要：重心Lagrange插值具有数值稳定性好、计算精度高的优点。
采用重心Lagrange插值近似未知函数，建立未知函数各阶导数的微分矩阵。
采用微分矩阵近似未知函数的导数，利用配点法将控制方程和边界条件离散为代数方程组，通过求解代数方程组，从而可求解偏微分方程。
数值算例表明，重心插值配点法具有原理简单，易于程序实现和数值计算精度高的优点。
关键词：重心Lagrange插值；微分矩阵；配点法Barycentric Lagrange interpolation collocation Method and its ApplicationAbstract：Barycentric Lagrange interpolation collocation method has excellent numerical stability and high accuracy. this paper presents the Barycentric Lagrange interpolation collocation method to get the differentiation Matrix of unknown function. So the control equation can be expressed as linear systems by the collocation method. According to those formulas, differential equations can be soluted. The principle of this method is simple and easy to programming. The accuracy and the numerical stability are very excellent.Key words: Barycentric Lagrange interpolation, differentiation Matrix, collocation method,0 引言具有初、边值条件的常、偏微分方程的解析解常无法通过理论推导获得，一种有效的途径是采用数值求解方法获得具有一定数值精度的近似解，这些数值方法包括：有限差分法、有限单元法、边界单元法、无网格法及一些杂交使用的方法等数值求解方法。
基于上三角域上的形状控制重心混合有理插值
基于上三角域上的形状控制重心混合有理插值赵前进;朱六三【摘要】Barycentric rational interpolation possesses various advantages in comparison with Thiele-type continued fraction, such as good numerical stability, small calculation and arbitrarily high approximation order. At the same time, barycentric rational interpolant had no poles and no unattainable points based on those chosen weights. In this paper, the barycentric-Newton blending rational interpolation was constructed based on the right triangular grid. The optimal model was established by minimizing the Lebesgue constant and using partial derivative, the optimal wights were obtained by solving the optimal model. The method could not only do the interpolation to unknown function but also have effective local control of shape. The numerical example was given to show the effectiveness of the new method.%重心有理插值与Thiele型连分式插值相比，具有数值稳定性好、计算量小、有任意高的逼近阶等优点。
预给极点的最优保形重心有理插值
作者： 赵前进 汪厚田
作者机构： 安徽理工大学理学院,安徽淮南232001
出版物刊名： 皖西学院学报
页码： 1-3页
年卷期： 2014年 第5期
主题词： 有理插值 预给极点 权 Lebesgue常数 保形
摘要：重心形式的有理插值与T hiele型连分式插值等传统的有理插值方法比起来，具有计算量小、数值稳定性好等优点，同时，通过插值权的选取可以使得重心形式的有理插值无极点和不可达点。
本文主要研究预给极点的最优保形重心有理插值。
以Lebesgue常数最小，同时加入保单调的约束条件建立新的优化模型，求得最优插值权。
数值实例说明了新方法的有效性。
重心拉格朗日插值法
重心拉格朗日插值法【引言】插值法是一种数学方法，通过已知数据点的信息，预测和估计未知数据点的值。
拉格朗日插值法是插值法的一种，以其构造简单、插值多项式次数可调等优点被广泛应用。
重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进，具有更高的精度和稳定性。
【重心拉格朗日插值法的定义和性质】重心拉格朗日插值法，又称重心的拉格朗日插值法，是利用重心坐标公式来计算插值节点的方法。
设已知数据点为{Xi, Yi}，i=1,2,...,n，重心拉格朗日插值法的插值节点为{Xj, Yj}，j=1,2,...,n+1，其中Xj 是Yj 的函数。
插值多项式可以表示为：P(x) = ∑Wi*Li(x)其中Wi 是权值，Li(x) 是拉格朗日基函数。
【重心拉格朗日插值法的计算方法】1.插值基函数的构建：根据给定的数据点和插值节点，计算拉格朗日基函数Li(x)。
2.权值的计算：利用重心坐标公式，计算插值节点对应的权值Wi。
3.插值多项式的求解：利用权值和拉格朗日基函数，求解插值多项式P(x)。
【重心拉格朗日插值法与其他插值法的比较】1.与拉格朗日插值法的比较：重心拉格朗日插值法在计算插值节点时引入了重心坐标公式，使得插值多项式的精度更高，稳定性更好。
2.与牛顿插值法的比较：重心拉格朗日插值法与牛顿插值法具有相似的计算过程，但重心拉格朗日插值法在插值节点选择上更具有优势，使得插值多项式的精度更高。
【重心拉格朗日插值法的应用领域】1.数值分析：重心拉格朗日插值法在数值分析中有着广泛的应用，如求解微分方程、插值和拟合等。
2.数据插补：在数据处理中，重心拉格朗日插值法可以用于插补缺失的数据点，提高数据的完整性和准确性。
3.模式识别：在模式识别领域，重心拉格朗日插值法可以用于插值和预测，提高分类和识别的准确性。
【结论】重心拉格朗日插值法是一种改进的拉格朗日插值法，具有较高的精度和稳定性。
在数值分析、数据插补和模式识别等领域有着广泛的应用。
非线性振动分析的重心插值配点法
非线性振动分析的重心插值配点法
李淑萍;王兆清
【期刊名称】《噪声与振动控制》
【年(卷),期】2008(028)004
【摘要】将计算区间采用第二类Chebyshev点离散,利用数值稳定性好、计算精度高的重心Lagrange插值近似未知函数,建立未知函数各阶导数在计算节点上的微分矩阵.利用重心Lagrange插值公式离散非线性振动微分方程为非线性代数方程,采用Newton法求解非线性代数方程.计算得到振动位移后,采用微分矩阵和重心Lagange插值计算非线性振动的速度、加速度和振动周期.采用重心插值配点法计算了Duffing型非线性振动方程和非线性单摆振动方程.数值算例表明本文方法具有计算公式简单、程序实施方便和计算精度高的优点.
【总页数】4页(P49-52)
【作者】李淑萍;王兆清
【作者单位】山东警察学院,治安系,济南,250014;山东建筑大学,工程力学研究所,济南,250101
【正文语种】中文
【中图分类】O322,O241.8
【相关文献】
1.重心插值配点法分析梁屈曲问题 [J], 赵晓伟;鹿晓阳;王磊
2.重心有理插值配点法分析矩形板自由振动 [J], 段英锋;王兆清;林本芳
3.重心插值配点法分析梁弯曲问题 [J], 赵晓伟;鹿晓阳;汪洪星
4.重心有理插值配点法分析压杆稳定问题 [J], 王奇;王兆清
5.圆环变形及屈曲的重心插值配点法分析 [J], 王兆清;李淑萍;唐炳涛
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基于pade逼近的重心有理混合插值新方法
基于pade逼近的重心有理混合插值新方法作者：胡枫来源：《新生代·下半月》2018年第08期【摘要】：文章研究一类新的重心有理混合插值方法，通过选取合适的权函数构造的重心有理插值与逼近在节点处进行组装，新方法与重心有理插值和重心型混合插值相比较，不仅没有极点和不可达点，不需要计算插值节点的函数值且拥有更高的计算精度。
数值例子给出了误差比较，对于新方法的有效性给出了很好的证明。
【关键词】：混合插值重心有理插值逼近误差分析引言重心有理混合插值近些年来越来越成为了研究的热门领域之一，在这些研究中重点关注于重心插值与连分式，和插值多项式的相互混合，同时提出了分叉连分式重心混合有理插值方案來处理二元插值问题。
在本文中，通过选择合适的权函数构造计算简单同时没有极点和不可达点的重心有理插值，在每个插值节点处与被插值函数相应的逼近进行组装建立一种新的重心有理混合插值，与重心型混合有理插值和重心有理插值相比，能达到更高的逼近精度，误差更小。
1.重心有理混合插值新方法对于给定的被插值函数，是区间的一个剖分，考虑下列重心有理插值，（1）有理函数当时满足插值条件，。
（2）在1988年berrut通过选取合适的权函数，。
建立了无极点且便于计算的重心有理插值，下面考虑对被插值函数展开成形式幂级数，（3）定义有理函数。
（4）是由形式幂级数决定的阶逼近式，其中是次数不超过的多项式，是次数不超过的多项式，且满足。
各项系数算法如下所示（5）由上可知有理函数与被插值函数的前次形式幂级数展开在处完全相等，即（6）于是我们构造基于逼近的重心有理混合插值新方法如下，，（7）2.数值例子定义在的实值函数为了便于讨论，选取10个插值节点如下，，，，，，，，，。
对应函数值有，，，，，，，，，。
由上述插值数据构造满足插值条件的重心有理插值，重心型混合有理插值和本文中提到的在插值节点处基于逼近重心有理混合插值新方法，，如下所示：重心有理插值。
三维重心插值计算公式
三维重心插值计算公式在计算机图形学和计算机辅助设计领域中，三维重心插值是一种常用的插值方法，用于在三维空间中对数据进行插值和补偿。
三维重心插值是基于三角形网格的，通过计算三角形的重心坐标来实现插值。
在本文中，我们将介绍三维重心插值的计算公式，并讨论其在实际应用中的重要性和优势。
三维重心插值的计算公式如下：假设有一个三角形ABC，其中A、B、C分别为三个顶点，对应的数据值分别为fA、fB、fC。
现在需要在三角形内部的某一点P处进行插值，其重心坐标为(u, v, w)，则P点的插值数值可以通过以下公式计算得出：fP = u fA + v fB + w fC。
其中，u、v、w为P点的重心坐标，满足以下条件：u + v + w = 1。
u、v、w分别为P点到BC、AC、AB三条边的距离与三条边的长度之比。
三维重心插值的计算公式非常简单，但却具有广泛的应用价值。
在实际应用中，三维重心插值可以用于地形数据的插值、图像的纹理映射、三维模型的变形等方面。
下面我们将分别介绍三维重心插值在这些领域中的应用。
首先是地形数据的插值。
在地理信息系统（GIS）中，地形数据通常以离散的高程点数据的形式存在，而实际应用中需要对地形进行连续的插值和补偿。
三维重心插值可以通过对地形数据中的三角形网格进行插值，实现对地形的连续化处理，从而为地形分析和可视化提供了可靠的数据基础。
其次是图像的纹理映射。
在计算机图形学中，三维模型的表面通常需要进行纹理贴图，以增强真实感和细节。
三维重心插值可以用于在三角形网格上对纹理进行插值，从而实现对三维模型表面的纹理映射，提高了渲染效果和真实感。
最后是三维模型的变形。
在计算机辅助设计（CAD）领域中，三维模型的变形是一项重要的技术，可以用于模拟材料的变形和形状的调整。
三维重心插值可以通过对三角形网格进行插值，实现对三维模型的形状变形，为工程设计和仿真分析提供了有效的工具和方法。
总之，三维重心插值作为一种常用的插值方法，在计算机图形学和计算机辅助设计领域具有重要的应用价值。
预给极点的混合有理插值
预给极点的混合有理插值Zhang Yu-wu【摘要】在插值区间的子区间上基于Thiele型连分式构造插值函数,将连分式插值函数嵌入到重心有理插值之中,并结合预给极点的信息构造混合有理插值.新构造的混合有理插值提高了插值精度,数值例子表明新方法具有很好的逼近效果.【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2019(038)005【总页数】4页(P11-14)【关键词】极点;Thiele型连分式;有理函数;逼近【作者】Zhang Yu-wu【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】O24在工程计算中经常会遇到奇异函数的近似计算问题，有理函数插值法是解决此类问题的常用方法. 然而，忽视被插值函数本身的特点，而采用统一格式构造的有理插值函数，其逼近效果往往不尽人意[1-2].本文基于Thiele连分式插值，给出了构造预给极点的混合有理插值新方法，构造的有理插值函数不但满足插值条件，而且具有很好的逼近效果.1 Thiele型连分式插值设{(xi,yi),i=0,1,2,…,n}是被插值函数y=f(x)的n+1个节点，记f(xi)=fi. Thiele连分式插值定义如下[1]：(1)其中φ[x0,x1,…,xk]≠0,∞；k=0,1,2,…,n，为f(x)在节点处的k阶逆差商，使得R(xi)=fi(2)成立.Thiele型连分式插值不需要求解线性方程组也可以构造有理插值函数，而且具有表达式简单、计算方便的优点.2 混合有理插值将一种插值嵌入到另外一种插值中，能够显著地提高插值阶次[3]. Floater和Hormann将插值区间上的多项式插值嵌入到重心有理插值中，构造了高阶重心有理插值，选择不同的参数，可以得到所需要的插值精度[4].设{(xi,fi,),i=0,1,…,n}为给定的节点，fi为对应的函数值，整数d满足0≤d≤n. 对于每一个i=0,1,...,n-d，Ti(x)为点对(xi,fi),(xi+1,fi+1),…,(xi+d,fi+d)上的Thiele型连分式插值，将其嵌入到重心有理插值中，构造如下形式的混合有理插值：(3)其中选择不同的d能够得到一系列混合有理插值函数. 可以证明，由上述方法构造的混合有理插值满足插值条件，恰当的选择参数d，可以获得我们所需要的插值精度.3 预给极点的混合有理插值3.1 基本思想设y=f(x)为被插值函数，sj(j=1,2,…,t)是不含在插值区间内的预给极点，对应的重数记为τj(j=1,2,…,t). Berrut给出了构造预给极点的重心有理插值方法[5]，同样，基于(3)式也可以构造预给极点的混合有理插值函数，方法如下.首先根据预给极点sj(j=1,2,…,t)以及重数τj(j=1,2,…,t)，构造函数p(x)在插值节点处的函数值为(4)令q(x)=f(x)·p(x)，则q(xi)=f(xi)·p(xi),(i=0,1,…n). 记为：qi(i=0,1,2,…,n).然后，将点xi(i=0,1,…,n)与由(4)式得到的qi(i=0,1,…,n)组合，构成新的插值节点{(xi,qi)}(i=0,1,…,n). 在插值区间[x0,xn]上用新的插值节点，选择整数d，构造混合有理插值R*(x)，(5)其中为点对(xi,fi),(xi+1,fi+1),…,(xi+d,fi+d)上的Thiele型连分式插值.最后，通过(6)可以得到混合有理插值R(x).3.2 插值性性质由(5)式和(6)式确定的R(x)满足插值条件，即R(xρ)=fρ,ρ=0,1,…,n.证明记M={0,1,…,n-d}，N={i∈M,ρ-d≤i≤ρ}，根据给定的定义，∀i∈N, 显然有Ti(xρ)=qρ成立. 同时，∀i∈N，ηi(xρ)≠0；∀i∈M/N，ηi(xρ)=0，则R*(xρ)=由(6)式可以得到因而，R(x)满足插值条件.4 数值例子例1 给定插值节点如表1所示，x=2/5、x=1为一重极点，构造有理插值函数R(x). 按照文中的方法，p(x)=(x-2/5)(x-1)，在插值节点处计算q(xi)=f(xi)d(xi)，组成新的插值节{(xi,qi),i=0,1,2,3,4.}如表2所示.利用表2，取d=1,2,3,4.按照(5)式和(6)式，可以构造混合有理插值函数Ri(x)(i=1,2,3,4)如下：表1 插值条件(一)x0=1/2x1=3/5x2=7/10x3=4/5x4=9/10f0=3/2f1=2f2=5/2f3=3f4=7/2 表2 新插值条件x0=1/2x1=3/5x2=7/10x3=4/5x4=9/10q0=-3/40q1=-4/25q2=-9/40q3=-6/25q4=-7/40可以验证Ri(xρ)=fρ，i=1,2,3,4.ρ=0,1,2,3,4.成立，所构造的混合有理函数插值很好地保留了预给极点的信息.例2 设f(x)=ln(5-x)/[(x+1)(x-3)2]，插值节点如表3所示.按照文中的方法，取d=1,2,3,4，可以构造混合有理插值函数Ri(x)(i=1,2,3,4)，分别绘制插值函数Ri(x)(i=1,2,3,4)与被插值函数f(x)的误差图像，如图1～图4所示. 为了说明新方法的有效性，在插值区间[0.5,2.]上构造多项式插值、Thiele型连分式插值、重心有理插值(取权ωi=(-1)i, i=0,1,2,3,4)，分别记为R5(x),R6(x),R7(x). 比较Ri(x)(i=1,2,3,4,5,6,7)在部分点处的误差如表4所示.表3 插值条件(二)x0=0.5x1=1x2=1.5x3=2x4=2.5f0=0.1604349224f1=0.1732867951f2=0. 2227134166f3=0.3662040963f4=1.047189408图1 |R1(x)-f(x)|图像图2 |R2(x)-f(x)|图像图3 |R3(x)-f(x)|图像图4 |R4(x)-f(x)|图像表4 误差比较0.30.81.21.6R1(x)-f(x)0.00023091930.00007330440.00008279540.0000793076R2(x)-f(x)0.00002519320.00000621150.00000541030.0000050861R3(x)-f(x)0.00000103610.00000019710.00000015210.0000001463R4(x)-f(x)0.00000033790.00000006770.00000005460.0000000550R5(x)-f(x)0.06284404810.010********.00680444510.0048901126R6(x)-f(x)0.00160029270.00026524580.00019017170.0001784275R7(x)-f(x)0.0710********.05671853690.0816*******.0674338445由表4可以看出，新方法不论d取何值，得到混合有理插值的逼近效果明显地好于未混合插值的逼近效果.5 结论构造预给极点的混合有理插值，主要根据预给极点的信息得到以及q(x)=f(x)·p(x)，分别计算q(x)在节点处的值qi，利用新的插值节点{(xi,qi)}，选择合适的d构造Thiele型连分式插值，嵌入到重心有理插值之中，可以得到一系列混合有理插值函数. 通过处理预给极点和“嵌入”所构造的混合有理插值满足插值条件，保留了预给极点的特点，提高了插值精度，逼近效果明显的优于传统插值的逼近效果.参考文献【相关文献】[1] 檀结庆, 等. 连分式理论及其应用[M] 北京: 科学出版社，2007.[2] 王仁宏，朱功勤.有理函数逼近及其应用[M] 北京: 科学出版社，2004.[3] 王兆清，李淑萍，唐炳涛.一维重心型插值：公式，算法和应用[J]. 山东建筑大学学报，2007，22(5)：448-453.[4] Floater M S, Kai Hormann. Barycentric rational interpolation with no poles and high rates of approximation[J]. Numerische Mathematik, 2007, 107(2): 315-331.[5] Berrut J P, The Barycentric Weights of Rational Interpolation with Prescribed Poles[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,1997(86): 45-52.。
构造给定极点的有理插值新方法
构造给定极点的有理插值新方法张玉武【期刊名称】《《安庆师范学院学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(025)003【总页数】4页(P7-9,15)【关键词】计算数学; 极点; 有理函数; 插值【作者】张玉武【作者单位】六安职业技术学院基础部安徽六安237158【正文语种】中文【中图分类】O24插值法是一种古老的数学方法，基本做法是通过给定已知点的信息，构造一函数，估算其他点处的函数值，常用的插值方法有多项式插值、有理函数插值等。
常用的多项式插值方法有Lagrange插值、New ton插值、Herm ite插值等，它具有结构简单便于构造、插值函数存在且唯一的特点[1]。
对于插值节点较少时效果较好，当等距插值节点增多时，会出现激烈的震荡，产生Runge现象。
有理函数插值常用的有Thiele型连分式插值、重心有理插值等，它比多项式插值要复杂得多，主要表现在有理函数插值未必一定有解、难以避免极点的存在和控制极点位置等。
本文基于多项式插值，给出构造给定极点的有理插值新方法，数值例子表明新方法具有较好的逼近效果。
1 有理函数插值设是被插值函数的个节点，记设所谓有理函数插值就是通过构造有理分式函数满足构造有理插值函数需要通过（1）、（2）式求解线性方程组，计算量较大。
基于逆差商的Thiele型连分式插值是构造有理插值函数常用方法[2]，通过构造如下形式的连分式函数为f(x)在节点处的l阶逆差商，其中，使得成立。
Thiele型连分式插值，不需要求解线性方程组也可以实现有理插值函数的求解，而且具有表达式简单、计算方便的优点，然而，它无法避免极点的出现，也无法控制极点的位置。
对于给定极点的有理插值，朱功勤等[3]、张澜等[4]基于Thiele型连分式插值分别给出了给定极点的有理函数插值的构造方法。
Schneider等给出了重心有理插值方法[5]，其公式为其中称为插值权，若ui≠0，可以使得成立。
Schneide等指出，如果插值函数在上没有极点，那么。
极坐标下薄板弯曲问题的重心有理插值法
极坐标下薄板弯曲问题的重心有理插值法庄美玲;王兆清;张磊;纪思源【摘要】利用重心有理插值配点法(BRICM)研究了极坐标下薄板的弯曲问题,该方法是以重心有理插值近似未知函数强迫微分方程在离散节点处成立,得到微分方程的离散代数方程组,进而采用重心有理插值的微分矩阵将离散代数方程组表达为矩阵的形式.利用置换法施加边界条件,求解微分方程组.数值算例结果表明,该方法在解决极坐标下薄板弯曲问题上公式简单,程序实施方便且计算精度高.【期刊名称】《山东科学》【年(卷),期】2016(029)002【总页数】6页(P82-87)【关键词】极坐标;弯曲问题;重心有理插值;双调和方程;边界值【作者】庄美玲;王兆清;张磊;纪思源【作者单位】山东建筑大学力学研究所,山东济南250101;山东建筑大学力学研究所,山东济南250101;山东建筑大学力学研究所,山东济南250101;山东建筑大学力学研究所,山东济南250101【正文语种】中文【中图分类】O241板是工程中一种常见构件，广泛应用于土木工程、机械工程和航天航空结构等领域。
轴对称薄板常见于喷嘴盖、压力容器的底部、泵膜片、涡轮盘、潜艇舱壁和飞机等诸多结构中，因此,轴对称薄板[1]的研究很具有工程意义。
工程实验是极其费钱、费力又费时的，而且很多工程中的设计几乎不能通过解析方法求解，因此需要一种高精度的数值方法来分析板的弯曲问题。
目前, 重心有理插值配点法(BRICM)已经运用到极坐标下不规则区域的研究[2] ，因此对于轴对称薄板的弯曲问题，BRICM 在工程研究中提供了一种高效且具有学科前沿性的数值方法。
采用BRICM研究均匀、各向同性的弹性板在载荷作用下的弯曲问题[3]，其数值模型是双调和方程的边值问题,可根据板的轴对称特性，化简双调和方程，施加边界条件，并求解方程。
目前，关于板的弯曲变形问题的求解方法主要有有限差分法、有限元法、边界元法、无网格法、微分求积法、傅里叶微分求积法及摄动法(HPM)等。
基于特殊节点的重心有理插值方法
基于特殊节点的重心有理插值方法
吴军;赵前进;郝又平
【期刊名称】《安徽建筑工业学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(019)001
【摘要】重心有理插值精度高,且无极点,采用不同的权得到不同的重心有理插值.本文使用切比雪夫点作为插值节点,选取最优插值权来构造重心有理插值.新方法所得插值具有非常高的精度,通过数值实例表明了新方法的有效性.
【总页数】3页(P64-66)
【作者】吴军;赵前进;郝又平
【作者单位】安徽理工大学,理学院,淮南,232001;安徽理工大学,理学院,淮
南,232001;安徽理工大学,理学院,淮南,232001
【正文语种】中文
【中图分类】O174.42
【相关文献】
1.高精度的复合重心有理Hermite插值方法 [J], 郝又平;赵前进;吴军
2.矩形网格上基于Lebesgue常数最小带缺项的二元重心有理插值 [J], 余乃亮;赵前进
3.一种新的复合重心有理Hermite插值方法 [J], 郝又平;赵前进;吴军
4.上三角网格上基于Lebesgue常数最小带缺项的二元重心有理插值 [J], 余乃亮;赵前进
5.最佳保单调重心有理插值方法 [J], 杜纪亮
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基于切比雪夫节点的重心拉格朗日插值
第22卷第6期2023年11月杭州师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f H a n g z h o uN o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )V o l .22N o .6N o v .2023收稿日期:2022-06-08 修回日期:2022-06-24基金项目:国家自然科学基金项目(11601110).通信作者:赵 易(1976 ),女,教授,博士,主要从事函数逼近论研究.E -m a i l :z h a o yi @h z n u .e d u .c n d o i :10.19926/j.c n k i .i s s n .1674-232X.2022.06.082基于切比雪夫节点的重心拉格朗日插值闫志楠,赵 易(杭州师范大学数学学院,浙江杭州311121)摘 要:文章研究基于第四类切比雪夫节点的重心拉格朗日插值及其相关性质,讨论了重心拉格朗日插值公式的具体构造及其计算速度,推导其在加权L p 范数意义下的逼近阶,选取采样函数利用M a t l a b 绘图并比较插值误差.由图示及数据表可知,误差随采样函数光滑性的增强或插值节点个数的增加而变小.关键词:重心拉格朗日插值;第四类切比雪夫节点;采样函数;插值误差中图分类号:O 174.41 M S C 2020:41A 05;41A 50;65D 05 文献标志码:A文章编号:1674-232X (2023)06-0628-090 引言拉格朗日插值是计算数学中的一类经典算法,其定义如下:p (x )=ðnj =1f j l j (x ),l j (x )=ᵑnk =1,k ʂj (x -x k )ᵑn k =1,k ʂj(x j -xk ).(1)式(1)中的x j 为n 个互异的插值节点,f j 为对应的插值节点函数值或数据列表,则p (x )为n -1次多项式,其中拉格朗日插值函数l j 同为n -1次多项式,且满足l j (x k )=1,j =k ,0,j ʂk,{j ,k =1, ,n .易见p (x )满足插值条件,即p (x j )=f j .许多研究者对拉格朗日插值及其敛散性进行了研究,如文献[1-5].观察拉格朗日插值公式可知,它的计算量比较大,当增加1个节点(x n +1,fn +1)时就需重新整体计算,计算p (x )需O (n 2)次乘法运算和O (n 2)次加法运算,且计算结果不稳定[1].基于这部分原因,研究者们对拉格朗日插值公式进行了修正,例如改进的拉格朗日公式[1]:p (x )=l (x )ðnj =1w jx -x j f j ,(2)其中l (x )=(x -x 1)(x -x 2) (x -x n ),w j =1ᵑk ʂj (x j -x k),j =1,,n .通过对原始拉格朗日公式的修正改写,式(2)的计算量明显减少.其他改进如牛顿插值公式㊁延拓的拉格朗日插值等,可参见文献[6-9].虽然原始的拉格朗日公式计算量较大,但它的优点也十分明显:从其结构来看,拉格朗日基函数l j (x )既不依赖于函数f j ,也不依赖于节点的排列次序,而这正是牛顿插值等公式所不具有的,因此,拉格朗日插值公式在积分方程㊁偏微分方程数值解等领域有着广泛应用[10-12].如何能既保持拉格朗日公式自身的优点,又优化其计算复杂度,成为对该插值方法的一个研究方向.利用等式1=ðnj =1l j (x )=l (x )ðnj =1w j x -xj ,并代入改进的拉格朗日插值公式中:p (x )=l (x )ðnj =1w jx -x j f j l (x )ðnj =1w jx -x j ,即可得重心拉格朗日插值公式[13]p (x )=ðnj =1w jx -x jfjðnj =1w jx -xj ,(3)其中w j =1ᵑk ʂj (x j -x k),j =1,,n .通过在改进的拉格朗日插值公式中加上分母得到重心拉格朗日插值公式,这样的形式事实上变成了有理插值且具有良好对称性,其表达形式更为简洁.同时,注意到式(3)的结构表达,当插入新的节点(x n +1,fn +1)时,计算更为简化.而重心拉格朗日插值公式的数值计算稳定性是其另一个优势[14].本文将选取第四类切比雪夫节点构造具体的重心拉格朗日插值公式,进而研究对f (x )的逼近性质,推导在加权L p 范数意义下的逼近误差估计.最后通过数值模拟,分析基于第四类切比雪夫节点的重心拉格朗日插值公式对采样函数的逼近效果,并通过程序分析计算的复杂度,进一步说明公式的有效性.1 基于第四类切比雪夫节点的重心拉格朗日插值记第四类n 次切比雪夫多项式S n (x )=s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x ),其中x j =c o s 2j π2n +1,j =1, ,n 为S n (x )的零点.由式(3)知,构造第四类切比雪夫节点重心拉格朗日插值公式的关键在于计算出相应的w j .设S n (x )=A n (x -x 1)(x -x 2) (x -x n ),其中x 1,x 2, ,x n 为n 次第四类切比雪夫多项式的零点,由文[15]可知A n =12n ,由于w j =1ᵑk ʂj (x j -x k),j =1,,n ,显然1S n '(x j )与w j 至多相差1个与j 无关的常数A n ,即w j =A n1S n '(x j).具体构造其重心拉格朗日插值公式的过程如下:S n '(x )=s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x)æèçççöø÷÷÷'=926 第6期闫志楠,等:基于切比雪夫节点的重心拉格朗日插值(s i n ((n +12)a r c c o s x ))'㊃s i n (12a r c c o s x )-si n ((n +12)a r c c o s x )㊃(s i n (12a r c c o s x ))'s i n 2(12a r c c o s x )=-(n +12)c o s ((n +12)a r c c o s x )㊃s i n (12a r c c o s x )+12si n ((n +12)a r c c o s x )㊃c o s (12a r c c o s x )1-x 2㊃s i n 2(12a r c c o s x ).现将x j =c o s 2j π2n +1代入S n '(x ),可得S n '(x j )=11-c o s 22j π2n +1㊃-(n +12)c o s ((n +12)2j π2n +1)㊃s i n j π2n +1+12c o s j π2n +1㊃s i n ((n +12)2j π2n +1)s i n 2j π2n +1=1s i n 2j π2n +1㊃12c o s j π2n +1㊃s i n ((n +12)2j π2n +1)-(n +12)c o s ((n +12)2j π2n +1)㊃s i n j π2n +1s i n2j π2n +1=1s i n 2j π2n +1㊃-(n +12)㊃(-1)j ㊃s i n j π2n +1s i n 2j π2n +1=(-1)j +1(n +12)s i n 2j π2n +1㊃s i nj π2n +1.则1S n '(x j )=s i n 2j π2n +1㊃s i n j π2n +1(-1)j +1(n +12)=(-1)j +1㊃2s i n 2j π2n +1㊃s i n j π2n +12n +1.由1S n '(x j )与w j 的关系及重心拉格朗日差值公式(3)可知重心拉格朗日插值公式p (x )具有如下表达:p (x )=ðnj =1A n ㊃22n +1㊃(-1)j +1s i n 2j π2n +1s i n j π2n +1x -x j f j ðn j =1A n ㊃22n +1㊃(-1)j +1s i n 2j π2n +1s i n j π2n +1x -x j =ðnj =1(-1)j +1s i n 2j π2n +1s i n j π2n +1x -x j f j ðn j =1(-1)j +1s i n 2j π2n +1s i n j π2n +1x -x j .2 误差分析对拉格朗日插值的研究较多集中于其发散性质上[16-20],本节研究重心拉格朗日插值公式在L p ,φ意义下的收敛性质.2.1 基础知识设n 为非负整数,记[-1,1]上的n 阶连续可导函数的全体为C (n )[-1,1],特别地,当n =0时,将[-1,1]上连续函数的全体记为C [-1,1].设函数φ(x )ȡ0是(-1,1)上的连续可积函数.对任意f ɪC [-1,1],记fɕ,φ= f φ ɕ=m a x -1ɤx ɤ1f (x )φ(x )为函数f 在[-1,1]上以φ(x )为权的加权L ɕ范数.特别地,当φ(x )=1时,ɕ,φ即为函数f 在[-1,1]上的最大范数,简记为f ɕ.同时,当1ɤp ɤɕ时,对f ɪC [-1,1],定义其在[-1,1]上以φ(x )为权的加权L P 范数36杭州师范大学学报(自然科学版)2023年fp ,φ=ʏ1-1f (x )p φ(x )d x ()1p.特别地,当φ(x )=1时,fp ,φ即为函数f 的L p -范数,简记为f p.2.2 点态估计关于拉格朗日插值多项式p (x ),有以下经典结论.定理1 设f ɪC (n )[-1,1],拉格朗日插值多项式为p (x ),x 1,x 2, ,x n 为插值节点且满足-1ɤx 1ɤx 2ɤ ɤx n ɤ1,则存在ξɪ[-1,1],使得f (x )-p (x )=w n (x )n !f (n )(ξ),其中w n (x )=ᵑnj =1(x -x j).证明过程可参考文献[6].基于第四类切比雪夫节点的拉格朗日插值多项式则有以下更精确的估计.定理2 设f ɪC (n )[-1,1],p (x )是基于第四类切比雪夫多项式零点的拉格朗日插值多项式,x 1,x 2, ,x n 为插值节点且满足-1ɤx 1ɤx 2ɤ ɤx n ɤ1,则有f (x )-p (x )ɤ2n +12n ㊃n !m a x -1ɤx ɤ1f n(x ). 此定理的证明可参考文献[15].2.3 L p ,φ估计定理3 设f ɪC (n )[-1,1],p (x )是基于第四类切比雪夫多项式零点的重心拉格朗日插值多项式,x 1,x 2, ,x n 为上述插值节点且满足-1ɤx 1ɤx 2ɤ ɤx n ɤ1,权φ(x )=O (θp ),则当1ɤp ɤɕ时有f (x )-p (x )p ,φɤM ㊃C 1p ㊃π2n㊃n !,(4)其中x =c o s θ,C 为正的常数,在不同情况下取值可能不同.证明 由φ(x )=O (θp ),可记φ(x )ɤC ㊃θp (C >0);由f ɪC (n )[-1,1],可知 f (n ) ɕɤM ,其中M >0.现对式(4)左边作出估计,可得f (x )-p (x )p ,φ=ᵑnj =1(x -x j )n !㊃f (n )(ξ)p ,φɤM ㊃ᵑnj =1(x -x j )n !p ,φ.(5)为进一步估计式(5),考虑12n㊃S n (x )=12n ㊃s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x )=ᵑnj =1(x -x j ).现主要对S n (x )进行估计,注意到s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x )pp ,φ=ʏ1-1s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x )pφ(x )d x .令x =c o s θ,可得s i n ((n +12)a r c c o s x )s i n (12a r c c o s x )pp ,φ=ʏπ0s i n ((n +12)θ)ps i nθ2p㊃φ(c o s θ)㊃s i n θd θɤʏπ01s i nθ2p㊃φ(c o s θ)㊃s i n θd θɤʏπ0πpθp ㊃φ(c o s θ)㊃s i n θd θɤ136 第6期闫志楠,等:基于切比雪夫节点的重心拉格朗日插值ʏπ0πpθp㊃C㊃θP s i nθdθ=2㊃C㊃πP=C㊃πP.将上述估计代入f(x)-p(x)p,φ,可得f(x)-p(x)p,φɤM㊃C1p㊃π2n㊃n!,即定理得证.注1当φ(x)=(a r c c o s x)p时,符合定理的条件,则估计f(x)-p(x)p,φɤM㊃π2n-1㊃n!成立,其中M为正的常数.定理4设fɪC(n)[-1,1],p(x)是基于第四类切比雪夫多项式零点的重心拉格朗日插值多项式, x1,x2, ,x n为上述插值节点且满足-1ɤx1ɤx2ɤ ɤx nɤ1,权φ(x)=O(θp),则当p=ɕ时有f(x)-p(x)ɕ,φɤCπ2n㊃n!,其中x=c o sθ,C为正的常数.证明由φ(x)=O(θ),可记φ(x)ɤC㊃θ(C>0);由fɪC(n)[-1,1],可知f(n)ɕɤM,其中M>0.现估计f(x)-p(x)ɕ,φ=ᵑn j=1(x-x j)n!㊃f(n)(ξ)ɕ,φɤM㊃ᵑn j=1(x-x j)n!ɕ,φ.为了得到上述估计,考虑12n㊃S n(x)=12n㊃s i n((n+12)a r c c o s x)s i n(12a r c c o s x)=ᵑn j=1(x-x j).对S n(x)进行估计:s i n((n+12)a r c c o s x) s i n(12a r c c o s x)ɕ,φ=m a x-1ɤxɤ1s i n((n+12)a r c c o s x)s i n(12a r c c o s x)㊃φ(x).现令x=c o sθ,可得s i n((n+12)a r c c o s x) s i n(12a r c c o s x)ɕ,φ=m a x0ɤxɤπs i n((n+12)θ)s i nθ2㊃φ(c o sθ)ɤm a x0ɤxɤπ1s i nθ2㊃φ(c o sθ)ɤm a x0ɤxɤππθ㊃φ(c o sθ)ɤCπ,将上述估计代入 f(x)-p(x) ɕ,φ可得f(x)-p(x)ɕ,φɤM㊃Cπ2n㊃n!,定理得证.注2当φ(x)=a r c c o s x时,符合定理的条件,则估计f(x)-p(x)ɕ,φɤM㊃π2n㊃n!成立,其中M 为正的常数.2.4其他结论注意到第三类切比雪夫多项式与第四类切比雪夫多项式具有类似结构,以下探究第三类切比雪夫多项式的逼近性质.236杭州师范大学学报(自然科学版)2023年第三类切比雪夫多项式定义为V n (x )=c o s ((n +12)a r c c o s x )c o s (12a r c c o s x ),将-x 代入V n (x ),且记x =c o s θ,则-x =-c o s θ=c o s (π-θ)(-1ɤx ɤ1),可得V n (-x )=c o s ((n +12)a r c c o s (-x ))c o s (12a r c c o s (-x ))=c o s ((n +12)a r c c o s c o s (π-θ))c o s (12a r c c o s c o s (π-θ))=c o s ((n +12)(π-θ))c o s (12(π-θ))=(-1)ns i n ((n +12)θ)s i n θ2=(-1)nS n (x ). 注意到当n 取偶数时,V n (-x )=S n (x ),因此对上述讨论的第四类切比雪夫多项式满足的逼近性质,V n (-x )也满足,即可得到以下推论.推论1 设f ɪC (n )[-1,1],q (x )是基于V n (-x )多项式零点的重心拉格朗日插值多项式,x 1,x 2, ,x n 为第四类切比雪夫多项式的零点且满足-1ɤx 1ɤx 2ɤ ɤx n ɤ1,权φ(x )=O (θp ),则当1ɤp <ɕ时有f (x )-q (x )p ,φɤM ㊃C 1p ㊃π2n㊃n !,其中n 为偶数,x =c o s θ,C 为正的常数.推论2 设f ɪC (n )[-1,1],q (x )是基于V n (-x )多项式零点的重心拉格朗日插值多项式,x 1,x 2, ,x n 为第四类切比雪夫多项式的零点且满足-1ɤx 1ɤx 2ɤ ɤx n ɤ1,权φ(x )=O (θ),则当p =ɕ时有f (x )-q (x )ɕ,φɤC π2n㊃n !,其中n 为偶数,x =c o s θ,C 为正的常数.3 数值模拟3.1 切比雪夫多项式及其零点图像图1给出了n =10及n =20时第四类切比雪夫多项式及其零点的图像,其中横轴表示x 坐标,纵轴表示y 坐标,*代表第四类切比雪夫多项式的零点.图1 第四类切比雪夫多项式的图像F i g .1 T h e i m a g e o f t h e f o u r t hC h e b y s h e v p o l yn o m i a l 336 第6期闫志楠,等:基于切比雪夫节点的重心拉格朗日插值3.2 重心插值对采样函数的逼近情况分别选取4类函数,得到基于第四类切比雪夫多项式节点的重心拉格朗日公式对各个函数的逼近情况(图2).其中,图2a 2c 选定函数f (x )=x ,图2d 2f 选定函数f (x )=x 1.2,图2g2i 选定函数f (x )2,图 选定函数f (x )11+x5图2 重心公式对4种不同类型函数的逼近情况F i g .2 A p p r o x i m a t i o no f t h e b a r y c e n t r i c f o r m u l a t o f o u r d i f f e r e n t t y pe s of f u n c t i o n s 如图2所示,对于前三类函数,其光滑性不断增强,重心公式对它们的逼近效果也随之愈佳(纵向),且由图可知,重心公式对函数的逼近效果随节点个数的增加逐渐变优(横向).当然,在原始的拉格朗日插值中出现的龙格现象对于某些函数仍会出现,例如f (x )=11+x5,这说明重心拉格朗日插值公式仍有一定局限性.436杭州师范大学学报(自然科学版)2023年3.3 逼近误差分析为更明确地展示逼近效果,设p (x )为基于第四类切比雪夫节点的重心拉格朗日插值,选取函数f (x )=x ,f (x )=x 1.2和f (x )=x 2s i n x ,分析当x 在节点间选取(即不同于第四类切比雪夫节点)时p (x )-f (x )的误差,结果列于表1.表1 f (x )与p (x )的误差T a b .1 T h e e r r o r b e t w e e n f (x )a n d p (x )函数x jf (x )p (x )p (x )-f (x )f (x )=x c o sπ70.9009688679024190.9016655802898806.967123874612735e -04c o s3π140.7818314824680300.781366772007078-4.647104609514230e -04c o s5π140.4338837391175580.433770297768475-1.134413*********e -04c o s3π70.2225209339563140.2241227085377310.001601774581416c o s23π420.1490422661761740.147996939822998-0.001045326353176f (x )=x 1.2c o sπ70.8823720471445760.8827156248730353.435777284587216e -04c o s3π140.7442790340690440.744049787141379-2.292469276646836e -04c o s5π140.3671538181966780.367097774872973-5.604332370512388e -05c o s3π70.1647574451670010.1655488269287267.913817617250241e -04c o s23π420.1018524158219410.101359062303873-4.933535180683957e -04f (x )=x 2s i n x c o sπ70.6363502059479350.6363502106665174.718582635732105e -09c o s3π140.4306820615868630.430682060002041-1.584821940348036e -09c o s5π140.0791420361667020.079142035939921-2.267801363364796e -10c o s3π70.0109275457101180.0109275468755111.165393654842251e -09c o s23π42-0.003298521126757-0.003298522716439-1.589681925592140e -09 注:n =10.3.4 复杂度分析w j 的表达式与计算是重心拉格朗日公式的重点,计算w j 的M a t l a b 代码如下:n =10;x =c o s (2.*pi .*(1:n ) ./(2.*n +1));w=1;j=2;f o r k =1ʒ10i f j ~=k w=w *(x (j )-x (k )); e n de n d 1/w此处以j =2,n =10,x j =c o s 2j π2n +1为例.注意到上述代码中对w j 计算形成了1个循环,这就意味着重心拉格朗日插值公式的运算次数仅需O (n )次,而原始拉格朗日插值公式的运算则需要O (n2)次,通过运算次数的比较,即可说明重心拉格朗日插值公式的计算复杂度优于原始拉格朗日插值公式.536 第6期闫志楠,等:基于切比雪夫节点的重心拉格朗日插值636杭州师范大学学报(自然科学版)2023年参考文献:[1]S C O T TLR.N u m e r i c a l a n a l y s i s[M].P r i n c e t o n:P r i n c e t o nU n i v e r s i t y P r e s s,2011.[2]B Y R N EGJ,M I L L ST M,S M I T HS J.O nL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o nw i t h e q u i d i s t a n t n o d e s[J].B u l l A u s t r a lM a t h S o c,1990,42(1):81-89.[3]E R DÓSP.P r o b l e m s a n d r e s u l t s o n t h e t h e o r y o f i n t e r p o l a t i o n I[J].A c t aM a t hA c a dS c iH u n g,1958,9:381-388.[4]G I U L I A N AC,MA S T R O I A N N IG.F o u r i e r a n dL a g r a n g e o p e r a t o r s i n s o m ew e i g h t e dS o b o l e v t y p e s p a c e[J].A c t a S c iM a t h,1995,60: 131-146.[5]E R DÖSP,VÉR T E S I P.O n t h e a l m o s t e v e r y w h e r e d i v e r g e n c e o f L a g r a n g e i n t e r p o l a t o r y p o l y n o m i a l s f o r a r b i t r a r y s y s t e mo f n o d e s[J].A c t aM a t hA c a dS c iH u n g,1980,36(1):71-89.[6]谢庭藩,周颂平.实函数逼近论[M].杭州:杭州大学出版社,1998.[7]G I U L I A N AC,MA S T R O I A N N IG,O C C O R S I O D.C o n v e r g e n c e o f e x t e n d e dL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n[J].M a t hC o m p,1990,55(191): 197-212.[8]G I U L I A N AC,MA S T R O I A N N IG,O C C O R S I OD.U n i f o r mc o n v e r g e n c e o f d e r i v a t i v e s o f e x t e n d e dL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n[J].N u m e rM a t h,1991,60(1):195-218.[9]G I U L I A N A C,MA S T R O I A N N I G,VÉR T E S IP.P o i n t w i s es i m u l t a n e o u sc o n v e r g e n c eo fe x t e n d e d L a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n w i t ha d d i t i o n a l k n o t s[J].M a t hC o m p,1992,59(200):515-531.[10]T I A N Y,X I A N GS H,L I U G D.F a s t c o m p u t a t i o no f t h es p e c t r a l d i f f e r e n t i a t i o nb y t h e f a s tm u l t i p o l em e t h o d[J].C o m p u t M a t hA p p l,2019,78(1):240-253.[11]I R I G O Y E N A.M u l t i d i m e n s i o n a l i n t e r t w i n i n g L e j a s e q u e n c e s a n da p p l i c a t i o n s i nb i d i m e n s i o n a lL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n[J].JA p p r o xT h e o r y,2021,264:105540.[12]W E NJH,Z H A N G M,X I A O W.B u i l d i n g,a p p l i c a t i o n a n d r e a l i z a t i o no f q u a d r a t i c i n t e r p o l a t i o n p o l y n o m i a lw i t hL a g r a n g e s u b s t r a t e[J].P r o c e d i aE n g,2011,15:1732-1736.[13]H E N R I C I P.B a r y c e n t r i c f o r m u l a s f o r i n t e r p o l a t i n g t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s a n d t h e i r c o n j u g a t e s[J].N u m e rM a t h,1979,33(2):225-234.[14]H I G H AM NJ.T h e n u m e r i c a l s t a b i l i t y o f b a r y c e n t r i cL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n[J].I MAJN u m e rA n a l,2004,24(4):547-556.[15]张艳艳,闫超.基于第四类C h e b y s h e v多项式零点的L a g r a n g e插值多项式逼近[J].山东大学学报(理学版),2017,52(8):10-16.[16]L UZK,X I A M.T h e d i v e r g e n c e o fL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n i ne q u i d i s t a n t n o d e s[J].A n a lT h e o r y A p p l,2003,19(2):160-165.[17]R E V E R S M.O n t h e z e r o-d i v e r g e n c e o f e q u i d i s t a n tL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n[J].M o n a t s h e f t eFürM a t h,2000,131(3):215-221.[18]L UZK,G EXF.T h e d i v e r g e n c e o fL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n f o r|x|α[J].A n a lT h e o r y A p p l,2005,21(4):385-394.[19]S U H,X USS.T h e d i v e r g e n c e o f L a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n f o r|x|α(2<α<4)a t e q u i d i s t a n t n o d e s[J].A n a l T h e o r y A p p l,2006,22(2):146-154.[20]T R Y N I N A Y.T h e d i v e r g e n c e o fL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n p r o c e s s e s i ne i g e n f u n c t i o n so f t h eS t u r m-L i o u v i l l e p r o b l e m[J].R u s sM a t h,2010,54(11):66-76.B a r y c e n t r i cL a g r a n g e I n t e r p o l a t i o nB a s e do nC h e b y s h e vN o d e sY A NZ h i n a n,Z H A O Y i(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,H a n g z h o uN o r m a lU n i v e r s i t y,H a n g z h o u311121,C h i n a)A b s t r a c t:T h i s p a p e r s t u d i e s t h e b a r y c e n t r i cL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n a n d i t s r e l a t e d p r o p e r t i e s b a s e d o n t h e f o u r t h t y p e o f C h e b y s h e vn o d e s.T h e c o n c r e t e c o n s t r u c t i o na n d c a l c u l a t i o n c o m p l e x i t y o f t h e b a r y c e n t r i cL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n f o r m a l a r ed i s c u s se d,a n d t h e e r r o r u n d e rw e i g h t e d n o r m i s d e d u c e d.F i n a l l y,t h e i n t e r p o l a t i o nf ig u r e s a r e d e p i c t e d a n d th ei n t e r p o l a t i o ne r r o r s a r ec o m p a r e db y s e l e c t i n g s a m p l i n gf u n c t i o na n du t i l i z i ng M a t l a b.F r o m th e g r a p ha n dt h ed a t at a b l e,i tc a nb e c o n c l u d e d t h a t t h e e r r o r s d e c r e a s ew i t ht h ee n h a n c e m e n t o f t h e s m o o t h n e s so f t h es a m p l i n g f u n c t i o no r t h e i n c r e a s eo f t h e i n t e r p o l a t i o nn o d e sn u m b e r.K e y w o r d s:b a r y c e n t r i cL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n;t h e f o u r t h t y p e o f C h e b y s h e vn o d e s;s a m p l i n g f u n c t i o n;i n t e r p o l a t i o n e r r o r。
极坐标系下弹性问题的重心插值配点法
极坐标系下弹性问题的重心插值配点法李树忱;王兆清;袁超【摘要】针对岩土工程中的孔洞及曲梁问题,提出一种在极坐标系下求解二维弹性问题的重心插值配点法.该方法分别在r和θ方向分别布置m和n个节点,生成求解区域上的节点.以一维重心Lagrange插值的张量积插值形式近似二维弹性问题的位移函数,代入位移表达的平衡方程和边界条件,平衡方程和边界条件分别在所有的计算节点和边界节点上精确成立,得到极坐标下弹性力学平衡方程和边界条件的离散代数表达式.利用一维重心Lagrange插值微分矩阵,将离散的平衡方程和边界条件表达为矩阵形式.利用置换法施加边界条件,求得在计算节点处的位移,进而通过微分矩阵直接求得计算节点处的应力.数值算例表明:极坐标下重心插值配点法具有计算格式简单、程序实施容易和计算精度高的特点.【期刊名称】《中南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(044)005【总页数】10页(P2031-2040)【关键词】弹性问题;极坐标系;重心Lagrange插值;微分矩阵;重心插值配点法;无网格方法【作者】李树忱;王兆清;袁超【作者单位】山东大学岩土与结构工程研究中心,山东济南,250061;山东建筑大学工程力学研究所,山东济南,250101;山东大学岩土与结构工程研究中心,山东济南,250061【正文语种】中文【中图分类】TU443弹性力学是研究岩石变形、断裂破坏问题的重要基础，对于复杂的岩石弹性力学问题一般很难得到问题的解析解，数值计算方法成为一种重要的研究手段。
研究弹性力学问题的基本数值方法有有限元方法和有限差分法。
有限元方法是一种基于低阶多项式插值的Galerkin方法，其计算精度依赖于单元大小和积分点数量的选取；有限差分法采用差分算子近似微分算子，其计算精度依赖于差分步长的大小。
近年来兴起的各种类型无网格方法，在岩石力学领域得到广泛关注[1-3]。
能够采用较少的计算代价，得到问题的高精度数值解，是数值分析领域研究者努力寻求的目标。
基于Lebesgue常数最小的保形重心有理插值
ｒ （ ｚ ） 在区间Ｅ ｘ 。 ， ］ 没 有极 点 ， 则：
ｓ ｉ ｇ ｎ叫 ： 一 ｓ ｉ ｇ ｎ砌 ｌ ， ０≤ ｉ ≤ 一 １
由定 理 １可 知 ， 通 过 使插 值 权 的符 号正 负 相 间可 任何一个插值 有理 函数 ｒ （ ） ∈Ｒ …都可以
表 示 为式 （ ３ ） 的重 心 有 理 插 值 形 式 ， 其 中 Ｒ… 是 由 分 子 次
数 不超 过 ｍ 次 的 和 分母 次 数 不 超 过 次 的 多 项 式 构 成 的
有 理 函数 集 合 。
会 出 现不 可 达 点 。 除 此 之 外 ， Ｓ ｃ ｈ ｎ ｅ ｉ ｄ ｅ和 Ｗ ｅ ｒ ｎ ｅ ｒ给 出 了 重 心 有 理 插 值 函 数 无极 点 的必 要 条件 ， 即定 理 １ 。 定理 １ 令Ｘ ０ ＜ １ ＜ …＜ ， Ｗ ≠ｏ （ Ｏ ≤ ≤ ） ， 如 果
（ ２ ）
等 。具 体 而 言 ， 就 是 以插 值 权 为 决 策 变 量 ， 以Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 常 数 最 小 为 目标 函 数 ， 同时 以 保 证 满 足 插 值 条 件 、 保 证 重 心 有 理 插 值 函数 无 极 点 、 插值 曲 线保 奇 偶 等保 形 条 件 以 及 插
程 中不 需 要 被 插 值 函数 ， 而 且 目标 函数 可 以表 示 为 关 于重 心 权 的 函 数 ］ 。本 文 研 究 最 优 保 形 重 心 有 理 插 值 问 题 ，
如 保 奇偶 、 保 重 心 有理 插值 函 数 曲线 在 两条 已知 曲线 之 间
可见 ， 只要 插值权 均不 为 ０ ， 重 心 有 理 插 值 函数 就 不
基于重心型插值的数值计算方法
Ａ ｕ ｖ ｙ ｏ Ｓ ｒ ｅ ｆＮｕｍ ｅ ｉ ａ ｅ ｈｏ ｓ ｄ ｏ ｒ ｃ ｎ ｒ ｃ Ｉ ｅ ｐ ｌ ｔｏ ｒ ｃ ｌＭ ｔ ｄ Ｂａ ｅ ｎ Ｂａ ｙ ｅ ｔ ｉ ｎｔ ｒ ｏ ａ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆ ａ ｆｅ ｅ ｔａ ｅ ａｉｎ， ｔ ｅ ｏ ｍｕ ａ ｆ ｂａｙ ｅ ｔｉ ｉ ｔｒ ｌ ｔ ｎ ｌ ｍｅ ｔ ｅｈ ｄ ｎ ｒ ｂ ｅ ｏ ｄｉ ｒ ｎ ｉｌ ｑｕ ｔｏ ｆ ｈ ｆ ｒ ｌ ｏ ｒ ｃ ｎｒｅ ｎ ｅｐｏａ ｉ ｅｅ ｎ ｍ ｔ ｏ ａ ｄ ｏ ｄ ｓ ｒ ｔ ｎ ｐｐ ｉｄ ａ ｐ ｏ ｃ ｅ ｆｉ ｉ ａ ｎ ｕ ａｙ ｃ ｎ ｔｏ ｓ ｉｃｅ ｅ ａ ｄ ａ ｌ ｐ ｒ ａ ｈ ｓ ｏ ｎ ｔ ｌａ ｄ ｂｏ ｎｄ ｒ ｏ ｄｉ ｎ ． ｅ ｉ ｉ Ｋ ｅ ｗｏｒ ｙ ｄｓ：ｂ ｒ ｃ ｎ ｒｅ Ｌ ｎ ｒ ｎ ｃ ｎ ｅ ｏａ ｉｎ； ｂ ｒ ｅ ｎ ｒｃ ｒ ｔ ｎ ｌ ｎ ｅ ｏ ａｉ ｎ； ｃ ｌ ｃ ｔ ｎ ａ ｙ ｅ ｔｉ ａ ｇ ａ ｇ ｉ ｔｒ ｌ ｔｏ ｐ ａ ｙ ｅ ｔｉ ａ ｉ ａ ｉ ｔ ｒ ｌｔｏ ｏ ｐ ｏｌ ａ ｉ ｏ ｏ ｍｅｈ ｄ；Ｇａｅ ｋｉ ｔｏ ｔｏ ｌ ｒ ｎ ｍｅｈ ｄ；ｄｉ ｅ ｅ ｔ ｌｍａｒｘ；ｉ ｔａ — ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆ ｒ ｎ ｉ ｔｉ ｆ ａ ｎｉ ｌｂ ｕ ｄ ｒ ａ ｕ ｒ ｂ ｅ ｉ
ｔｐ ｓｏ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔｄ ｎ ｄ ｓｏ ｒ ｃ ｎ ｒｃ ｔｐｅ ｉ ｅｐｏａ ｉｎ． ｅ ａｓ ｎ ｕ ｅ ｂ ｒ ｃ ｎ ｒｅ ｉ ｔｒ ｏ ａｉｎ ｙ ｅ ｆｉｔ ｒ ｏ ａｅ ｏ ｅ ｆｂａｙ ｅ ｔｉ －ｙ ｎｔｒ ｌ ｔ ｏ Ｗ ｌｏ ｉ ｄ ｃ ａ ｙ ｅ ｔｉ ｎ ｅ ｌｔｏ ｐ ｃ ｌｏ ａｉ ｎ ｍｅｈ ｄ ａ ｄ ｂ ｒ ｅ ｎ ｒｃ＇ ｅ ｐｏａｉ ｎ Ｇａｅ ｋ ｎ ｍｅ ｈ ｄ ｆｒｓ ｌ ｉ ｇ ｉ ｔａ ｒｂ ｕｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｏ ｌｃ ｔｏ ｔ ｏ ｎ ａ ｙ ｅ ｔｉ ｉ ｒ ｌ ｔ ｌｒ ｉ ｔ ｏ ｏｖ ｎ ｎｉ ｌｏ ｏ ｄ ｒ ａ ｕ ｎｔ ｏ ｏ ｉ
二元广义重心混合有理插值
二元广义重心混合有理插值石满红【摘要】在广义重心插值、Newton插值和Thiele型连分式插值的基础上,构造二元广义重心混合有理插值,通过定义相应的逆差商给出混合有理插值定理,最后给出误差估计,且通过数值例子验证该算法的有效性和正确性.【期刊名称】《蚌埠学院学报》【年(卷),期】2017(006)001【总页数】4页(P30-33)【关键词】广义重心有理插值;Thiele型连分式插值;逆差商;混合有理插值【作者】石满红【作者单位】安徽科技学院信息与网络工程学院,安徽凤阳233100【正文语种】中文【中图分类】O241.5基于连分式构造的有理函数逼近精度高的优点，因此常常以连分式为框架来构造有理插值函数[1-5]，然而连分式插值计算存在计算量大，可能导致震荡现象等问题。
Floater和Hormann构造广义重心有理插值[6-8]其中，0≤d≤n，pi(x)(i=0,1,…,n-d)为多项式且次数至多为d，在点xi,xi+1，…，xi+d插值f(x)，对(1)式中分式上下同乘(-1)n-d(x-x0)…(x-xn)，则(1)式可表示成其中这种广义重心有理插值可以有效地避免震荡现象，且与重心有理插值相比逼近精度更高。
本文在广义重心插值与Newton插值、Barycentric有理插值、Thiele型连分式插值的基础上，构造二元广义重心混合有理插值，通过定义相应的逆差商给出混合有理插值定理，最后给出误差估计，且通过数值例子验证该算法的有效性和正确性。
对于给定矩形网点和对应函数值f(xi,yj)，构造如下格式二元有理插值函数：任意选定整数d,0≤d≤m，其中为使Rm,n(xs,yt)=f(xs,yt),(s=0,1,…,m;t=0,1,…,n)，引入如下偏逆差商：定义1φ[xp,…,xq,xi,xj;yt]φ[xp,…,xq;yr,…,ys,yt,yl]=将由(6)式-(8)式定义的φ[xp,…,xq;yr,…,ys]称为函数f(x,y)在{xp,…,xq}×{yr,…,ys}上的逆差商。
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Ｂａ ｙ ｅ ｒ ｃ ｒ ｔｏ ａ ｎ ｅ ｐｏ ａ ｉ ｎ ｏ ｓ ｅ ｉ ｌｐ ｎ ｓ ｒ ｃ ｎｔ ｉ ａ ｉ ｎ ｌｉ ｔ ｒ ｌ ｔｏ ｎ ｐ ｃ ａ ￣ｉ ｔ
得 到如下 一组 最优 插值 权 ：
Ｗ Ｏ 一 ０． ０１ ０ ， １一 一 ０． ０ ７６ ２， １８ ７ ２ — ０ １ ５ ８， ３ 一 ０ ３６ ２７ ６， ４— ０．１ ９ ２１， ．３ ５１ ６ Ｗ 一 ． ９ ６ Ｗ ８２ ， ３ 叫 ５ － ０ ２ ６ ２７。 一 ．０ ２８ ７
ｃ ｎ ｒｃ ｒ ｔ ｎ ｌ ｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ ｈ ｓ ｄ ｆｅ ｅ ｔ ａ ｃ ｒ ｃ ． Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓ ｉ ｈ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ Ｃ ｅ ｙ ｈ ｖ ｅ ｔ ｉ ａ ｉ ａ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔ ａ ｉ ｒ ｎ ｃ ｕ ａ ｙ ｏ ｏ ｆ ｓ ｄ ｏ ｈ ｅ ｔ ｗｅ ｇ ｔ ｎ ｈ ｈ ｂ ｓ ｅ ｐ ｉ ｔ ，ｔ ｅａ ｃ ｒ ｔ ａ ｙ ｅ ｔ ｉ ａ ｉ ｎ ｌ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔｏ ｓｓ ｕ ｉ ｄ ｏ ｎ ｓ ｈ ｃ ｕ ａ ｅ ｂ ｒ ｃ ｎ ｒｃ ｒ ｔｏ ａ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ ｉ ｔ ｄ ｅ ．Ｔｗｏ ｎ ｍ ｅ ｉａ ｘ ｍ ｐ ｅ ｒ ｉｅ ｏ ｉ ｕ ｒｃ ｌ ａ ｌｓａ ｅｇ ｖ ｎ ｔ ｅ
第１ ９卷 第 １ 期
２１ ０ １年 ２月
安 徽 建 筑 工 业 学 院 学报 （ 然科学版） 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＡｎ ｕ ｎ ｔ ｕ ｅｏ ｃ ｉ ｃｕ ｅ＆ Ｉ ｄ ｓｒ ｏ ｒ ａ ｈ ｉ ｓｉ ｔ ｆＡｒｈｔ ｔ ｒ ｏ Ｉ ｔ ｅ ｎ ｕ ｔｙ
Ｖｏ ． ９ Ｎｏ １ １１ ．
图 ２ 文 献 ［ ］ 法 的插 值 误 差 ４方
例 ２ 取 ， 插值 区间上 的切 比雪 夫点 ： 取
ｚｏ 一 一 １ ０ ０ ００ ０ Ｏ ． ００ Ｏ ０ ００ ＯＯ， ｌ 一 一 ０． ０ ０ ０ ００ ＯＯ， — ０ Ｏ ０Ｏ ０ Ｏ ００ ３一 ５ ００ ０Ｏ ０ Ｏ ｚ２ ．５ ０ Ｏ Ｏ０ Ｏ ０，
ｎ作 为 插值 权 ， 来 Ｂ ｒｕ 利 用 特殊 的插 值 节点 后 ｅｒｔ
分 布 等 方 法 ， 改 进 重 心 有 理 函 数 插 值 的 逼 近 来
误差 。 。 ］
在被 插值 函数 是 已知 的连 续 函数 时 ， 文 利 本 用最 优化 方 法计 算 最 优 插 值 权 。具 体 地 说 ， 以插 值 区间上 的切 比雪夫 点 为插 值 节 点 ， 以各 个 插 值 节点处 的权 （ 一０ ｌ … ， 为决 策 变 量 ， ， ， ） 以保
结论 ：
结论 １７： ｛ｚ ，Ｊ ，Ｏ ≤ ｝ ［ 设 （ ，ｆ ） ≤ ］ 为 ＋１个 实数 对 ， 互 不相 同 。｛ ， ＜ｊ Ｗｊ ｏ ≤ ） 为 ＋ １ 个
，
基金项 目： 国家 自然科学基金 （０ ７ ０ ０ ３ ５ ０ ３ ，０ ７ １ ４ ， ６ ９ ３ ５ ，０ ７ ４ １ ６ ８ ３ ４ ） 安徽 省教育厅 自然科学基金项 目（ Ｊ ０ ９ ５ ， Ｊ ０ ７ １３ ， Ｋ ２ ０ Ａ ０ Ｋ ２ ０ Ｂ ７ ）安徽 省优秀人才基金 ， 育部 新世 纪 优 秀人才 支 持计 划 （ Ｃ Ｔ－ ０ — ０ ５ ） 国 家 ８ ３高 技术 研 究 发展 计 划项 目基 金 教 Ｎ Ｅ － ６ ５５ ， ６ （０ ６ Ａ０ Ｚ ０ ）资助。 ２ ０ Ａ １ １４ 作者简介： 吴 军 （ ９３ ， ， １８ 一）男 硕士研究生 ， 主要研究方 向为有理插值与逼近 。
ｓ ｏ ｔ ｅｅｆｃ ｉｅ ｅ ｓｏ ｈ ｅ ｍ ｅｈ ｄ ｈ ｗ ｈ ｆｅ ｔ ｎ ｓ ｆｔ ｅｎ ｗ ｔ ｏ ． ｖ Ｋｅ ｒ ｓ ｈ ｒ ｃ ｎ ｒｃｒ ｔ ｎ ｌｉｔｒ ｏａ ｉｎ；ｗｅｇ ｔ ；Ｃｈ ｂ ｓ ｅ ｏｎ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ａ ｙ ｅ ｔｉ ａ ｉ ａ ｎ ｅｐ ｌｔｏ ｏ ｉｈ ｓ ｅ ｙ ｈ ｖ ｐ ｉｔ
∈
ｚ 一 一 ０． ５１ ６５ ６ ５ ５， Ｘｌ 一 ９ Ｏ５ １ ２９ １ 一 ０ ８ ８ ２ ２ ４ ｚ２ 一 Ｏ ０９ ６ ４ ４ ５， ．５ ７７ ５ ５２ ９２ ７， ＝ ．３ ０１ ９９ ３７ ９ ｚ３ ０， ３４ ０ ０ ０１ ９９ ３７ ９ ｚ５ １ — ２ — ．３ ９ ６ ４ ４ ５， —
进一步得重心有理 函数插值 。插值误差对 比
６ ６
如下：
安徽 建 筑工 业 学院 学报 （ 自然科 学版 ）
第１ ９卷
方面 ， 备 单 元适 应 性 强 ， 具 函数 形 式 规 范统 一 ， 光
滑度高等特点 ， 不失为一种理想的逼近算法。
参考 文献
１ Ｂ ｌ ｎ ｐ ｒ ｅ Ｂ ｒｕ Ｎｏ ｌＢ ｐ ｎ ｎ ｉｌｃ ｎ ａｔ ｓ ｅ ｇ ｒＲ， ｅ ｒ ｔＪＰ， ｅ Ｅｘ ｏ ｅ ｔ ｏ － ｅ ａ
一 Ｃ Ｓ ｎ ，Ｊ一 ０， ， 扎。 Ｏ １… 。
图 １ 新 方 法 的插 值 误 差
如 何选 取插 值权 使得 插值 误差 最 小是 有理 插 值 取得 较 好 逼 近 效 果 的 一 个 关 键 问 题 。 最 初 Ｂ ｒｕ 在文 献［ 中采用 一 （ ）， 一０ １ … ， ｅｒ ｔ 。 ］ 一１ 尼 ， ，
Ｆ ｂ ２ １ ｅ． ０ １
基 于 特 殊 节点 的重 心 有 理 插值 方 法
吴 军 ， 赵 前进 ， 郝又 平
（ 徽理工大学 理学院， 南 安 淮 ２２０） ３ ０ １
摘 要： 重心有理插值精度高 ， 且无极点， 呆用不同的权得到不同的重心有理插值。本文使用切比雪夫点作
为插值节点 ， 选取最优插值权来构造重心有理插值 。新方法所 得插值具 有非常高 的精 度 ， 过数值实例 表明 通
组最 优插 值权 ：
Ｗ ｏ一 ０． ７８ ０５ １一 一 ０ ４１ ２８ ５，叫 ？一 ２ １ ３， ． ８ ３
为 目标 函数 （ 时 ， 此 目标 函数 仅 为权 ， 一０ １ （ ，，
…
，
） 数）对权附加规范化约束 ∑ Ｉ ｊ； 的函 ， ＷＩ
０． ２ ７１ 叫 一 ０． ７９ ３ ８７。 ２ ３８ ４， 一 ０ ７９
提 出了在插 值 区间上 选取 特殊 的插值 节 点来得 到
放宽对有理插值 函数次数 的要求 ， 通过引入不 同 的插值权 ， 构造 了不同的重心有理插值 函数。重 心有 理插 值不 仅 具 有较 好 的逼 近 效果 ， 而且 具 有 很好 的数 值稳 定 性 ［ ， 且 通 过 插 值 权 的适 当选 ５并 ］ 取 可使得 重心 有理 插值 没有极 点 以及 可 以避 免 出 现不 可 达点 。选取 不 同 的插值 权 可得 到不 同 的重 心有 理插 值 。如 何 选 取插 值 节 点 和 插 值权 ， 得 使 重 心有 理插 值 取 得 尽 可 能 好 的 逼 近 效 果 是 关 键
进 一 步得 重心 有理 函数 插值 。插 值 误差 对 比
如下 ：
２ 基 于切 比雪 夫 点 上 的重 心 有 理 插 值 方 法
重 心 Ｌ ｇａｇ 插 值 对 于 常用 的等 距 插 值 节 ａ ｒｎ ｅ 点 是 病 态 的 ， 当 节 点 分 布 密 度 与 函 数 （ 一 但 １
证满 足插值 条件 、 无极 点 、 足结论 ２中插 值权 的 满
符号关系为约束条件， 以插值平方误差最小， 即
０ ≤《 ～
１ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ 。用 Ｌｎ ｏ软件 计算 得 到如 下 ．０ ００ ００ ００ ｉｇ
一
ｍａ － 一ｒ ］ ｍ ｎ ｘ［ （ ） （ ） 厂 一 ｉ
ｖ ｒ ｅ ｃ ｆａ ｌ ｅ ｒｒ ｔ ｎ ｌ ｎ ｅ ｐ ｌｎ ｅ ｗｅ ｎ ｔａ ｓ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｎ ａ ａ ｉ ａ ｔ ｒ ｏ ａ ｔｂ ｔ ｅ ｒ ｎ － ｉ ｏ ｉ
ｆｒ ｄＣ ｅ ｙｈｖｐ ｉｔ［ ］ Ｍａｈｍａｉ ｆ ｏ ｕ ｏｍｅ ｈ ｂ ｓｅ ｏｎｓＪ ． ｔｅ ｔ ｓｏ ｍｐ － ｃ Ｃ
第１ 期 实数 ， 则
吴 军 ， ： 于特 殊 节点 的 重心有 理插 值 方 法 等 基
６ ５
１通过 Ｌｎ ｏ软 件计 算 可得一 组 最优 插值 权 。 ， ｉｇ
（） 果 叫， ０ 则 存 在 一 有 理 函 数 ｒ ｚ １如 ≠ ， （）
使 得
，
３ 数 值 实 例
例 １ ， 插值 区 间上 的切 比雪夫 点 ： 取 取
问题 。
更精确的插值多项式 ， 又进一步提出了取特定 的 权 并选 取特殊 的插值 节点得 到重 心有理插值 。 １８ 年 Ｗ． ｒｅ 通 过运用更高次数 的有理插 ９４ Ｗｅｎｒ 值 函数第一次给出了重心有理插值方法 ， 文献［］ ６
收 稿 日期 ：０ ０Ｉ一２ ２ １ 一Ｉ１
关于重心有理插值文献［ 给 出了如下两个 ６ ］
１ 引
言
插值方法是各种数值算法 的基础 ， 常用的插 值方法是多项式插值和有理插值 。但是 ， 大量等 距 节点 上 的多项 式 插 值 是 病 态 的 ； 用 的有 理 插 常 值 方法 ， Ｔｈｅｅ型连分 式 插值 等 难 以避免 出现 如 ｉ ｌ 极点 ， 也无法控制极 点的位置 。为此 ， 文献 Ｅ－ ４中 １
ｚ ） １ 成 比例 ， 就 是 节 点 分 布 密 度 在 区 间 的两 －／ ２ 也 端 较 密 ， 间较 稀 疏 时 ， 会 具有 很 好 的插 值 效 中 就 果， 满足 这样 条件 的简 单 节 点 分 布 就有 切 比雪 夫 点 和勒让 德 点 等ｌ 。下 面 讨 论 中 我 们 取 特 殊 ＿ ４ 节点 为第 二类 切 比雪夫 点