第三章幂级数展开

其中 ak
1
2
i
C
(
f ( )
z0 )k 1
d
CR1
R1
z R2 z0
CR2
C
29
说明
(1)与泰勒展开系数不同
an
1 n!
f
(n) (z0 )
(2) Laurent级数展开的唯一性
(3) Laurent级数中的z0点可能是f(z)的奇点，也可能 不是f(z)的奇点
(4) 与泰勒级数定理不一样，我们一般不利用洛朗
收敛与发散
n
若 wn 的前n项和Sn wj 有极限(n→∞),则称
n 1
j 1
该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；
否则称为发散。
2
收敛的充分必要条件
设 wn un ivn (n 1,2, )，则级数 wn 收敛的充
n 1
分必要条件是 un 和 vn都收敛，其中un和 vn皆
已知
ez 1 zk 1 1 z 1 z2 1 z3
k0 k!
1! 2! 3!
将z全换成1/z即得
z
1
ez
k 0
1
1
k
k! z
1 1 1 1! z
1 2!
1 z2
1 3!
1 z3
1
0
即 ez
1 zk
k k !
1 z
34
洛朗级数求解总结
1 1 z z2 z3 1 z
n
9
举例
求级数 z n 的敛散半径及收敛圆
n 1
10
求级数 (1)n1 z2(n1) 的敛散半径收敛圆 n1
11
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
12
可积性
13
第三节 Taylor级数展开
14
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内
Laurent级数展开
（1）1<|z|<∞
f
(
z
)
1
1 z
2
的定义域是
z 1
1 z 中心为z=0，因此是要将
f(z)展开成z的幂级数
1
-1
1
1<|z|< ∞
1
z2 1
z2
1
1
1 z2
1 z2
1 k k0 z2
1 z2
1 z4
1 z6
L
32
0 z 1 2中心为z=1，因此是要将
f(z)展开成(z－1)的幂级数
双边幂级数在收敛环内绝对一致收敛。
26
正幂部分 an (z z0 )n n0
R1
z0
|z-z0|<R1
负幂部分 an (z z0 )n
n1
1 z z0
R2 z0
R2<|z-z0|
R1
R2 z0
收敛环 R2<|z-z0|<R1
27
双边幂级数的性质
R1
B
R2 z0
定理
设双边幂级数 an (z z0 )n 的收敛环B为R2<|z-z0|<R1，
问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|Biblioteka BaiduR内解析，Taylor定理 告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
24
双边幂级数
an (z z0 )n a2 (z z0 )2 a1(z z0 )1
a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 an (z z0 )n
an (z z0 )n n
其中
an (z z0 )n 被称为双边幂级数的正幂部分
n0
an (z z0 )n 被称为双边幂级数的负幂部分
n1
25
收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换 ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ，则其在|zz0|>R2外收敛。如果R2<R1，那么双边幂级数就在 环状域 R2<|z-z0|<R1 内收敛，所以 R2<|z-z0|<R1给 出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。
邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇 点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0 以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
举例
孤立奇点的例子
1 , e1/ z , z
1 1 z2
1 非孤立奇点的例子 sin(1/ z)
1 , 1 , ,0, , 1 , 1
2
2
36
孤立奇点的Laurent级数展开
n1
an
(
z
z0
)n
收敛；而得当|z-z0|>R时，级数 an (z z0 )n 发散，则
n1
称R为级数 an (z z0 )n 的收敛半径，其中|z-z0|<R被
n1
称为收敛圆。
8
收敛半径的求法
D'Alembert公式
R lim an a n
n1
Cauchy (根式) 公式 R lim 1 a n n
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；
(3) 在B内可逐项积分。 28
Laurent定理
设函数 f(z) 在环状域 R2<|z-z0|<R1 的内部单值解析， 则对于环内任一点z， f(z)可展开成
f (z) an (z z0 )n n
(z2 1)( z 2)3
(sin z)2
f (z) exp 1 z
40
1 z2 1
12 z 1
12 z 1
?
1 1 1 1 2 z 1 4 1 (z 1) 2
1 4
k 0
1k
z
1 k 2
2
-1
1
0<|z-1|<2
1
z2 1
1 2
1 z 1
1k
k 0
1 2k 2
z
1k
(0 | z 1| 2)
负幂项
（2）0<|z-1|<2
33
例3
在z=0的邻域上把 f(z)=e1/z 展开
1 (z z0 )m
(z),(z)解析且(z0 )
0
lim (z
zz0
z0 )m
f
(z)
a
(a
0)
lim f (z) zz0
本性奇点 lim f (z)不存在且不为无穷 zz0 39
举例 求下列函数的孤立奇点，并指出类型
f (z) sin z
z
f
(z)
(z2
z2 1)( z 1)2
f
(z)
18
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开 函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
19
解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
20
展成幂级数的几种方法
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开
考察级数
n1
(1) n
n
i n2
的敛散性
4
复函数项级数
概念
形如 w1(z) w2 (z) wn (z) wn (z)
的表达式被称为复数项级数，其中wnn(1z)是
复变函数。
收敛与发散
点收敛： wn (z0 ) 收敛称之 n1
域收敛： wn (z) 收敛，z∈B，称之 n 1 5
37
孤立奇点的分类
f (z) an (z z0 )n n
可去奇点：主要部分不存在即没有负幂项 m阶极点： 主要部分有m项即有m项负幂项 本性奇点： 主要部分有无穷多项即有无穷多项负幂项
38
孤立奇点的等价命题
可去奇点
lim
zz0
f
(z)
l
在0 |
z - z0
| 内有界
m阶极点
f
(z)
怎么样求解洛朗
级数定理计算洛朗级数展开
级数展开呢？
30
例1
在z0=0的邻域上把(sin z)/z 展开
解：函数 f(z) = (sin z)/z 在z0=0点没有定义， z0=0 为奇点。为 避开奇点，从复数平面挖去原点.已知
sin z z z3 z5 z7 L (| z | ) 1! 3! 5! 7!
为实数。
n 1
n 1
绝对收敛与条件收敛
称级数 wn 是绝对收敛的，如果 | wn |是收敛的
n 1
n 1
称级数 wn 是条件收敛的，如果 | wn | 是发散的，
n 1
n 1
而 wn 是收敛的
n 1
3
举例
考察级数 1 1 ei /n 的敛散性
n1 n
考察级数 z n 的敛散性 n 1
z 1
z z3 z5 z7 sin z L (| z | )
1! 3! 5! 7!
cosz 1 1 z2 1 z4 1 z6 2! 4! 6!
z
ez 1 zk 1 1 z 1 z2 1 z3
k0 k!
1! 2! 3!
z
35
第六节 孤立奇点的分类
概念 若函数 f(z) 在某点z0在不可导，而在z0的任意
在挖去原点的复平面上用z遍除sin z即得
定义f(z)
sin z
z2 z4 z6
1 L (| z | )
z
3! 5! 7!
sin z
f
(z)
z lzim0
sin z
z
1
(z 0) (z 0)
解析延拓
31
例2 函数 f(z)=1/(1-z2) 分别在1<|z|<∞ 和 0<|z-1|<2内的
第三章 幂级数展开
第一节 复数项级数 第二节 幂级数 第三节 Taylor级数表示 第四节 解析延拓 第五节 Laurent级数表示 第六节 孤立奇点的分类
1
第一节 复数项级数
复数项级数
概念 形如 w1 w2 wn wn 的表达 n1 式被称为复数项级数，其中wn是复数。
待定系数法 函数 f(z)=tan z 在z=0点的Taylor级数展开
21
第四节 解析延拓
1 t t2 L tk L 1 (| t | 1)
1t
f (z)
1 z2 z4 z6 L
1 1 z2
F(z) (| z | 1)
解析延拓：已给某个区域b上的解析函数f(z),能否找到 另一个函数F(z),它在含有区域b的一个较大的区域B上 是解析函数，而且在区域b上等同于f(z)。 简单地说，解析延拓就是解析函数定义域的扩大！
收敛的充分必要条件
级数 wn (z)收敛的充分必要条件是 un (x, y)
n1
n1
和 vn (x, y) 都收敛，其中
n1
wn (z) un (x, y) ivn (x, y) (n 1,2, )
柯西收敛判据
对于 wn (z) ，如果ε >0，N(ε, z)，当n>N(ε,z) n 1
任一点z，函数f(z)可写成
f (z) ak (z z0 )k k 0
Ñ 其中 ak
1
2
i
CR '
(
f ( )
z0 )k1
d
1 k!
f
(k) (z0 )
CR
R z z0
R' CR'
15
16
举例
函数 f(z)=ez 在z=0点的Taylor级数展开
17
函数 f(z)=sin z和f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
C n1
n1 C
级数 wn (z) 在B内一致收敛于f(z)，且
n 1
wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且
f (k) (z) wn(k) (z)
n1
7
第二节 幂级数
概念
形如 an (z z0 )n 的级数被称为以z0为中心 n1
的幂级数，其中an是复常数。
收敛半径与收敛圆
若存在正数R，使得当|z-z0|<R时，级数
时，有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
6
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z) n 1
在C上连续，则
wn (z)dz wn (z)dz
22
原则上讲，解析延拓都可以利用泰勒级数进行。具体 地说，选取区域b的任一内点z0，在z0的领域上把解析 函数f(z)展开为泰勒级数，如果这个泰勒级数的收敛圆 有一部分超出b之外，解析函数f(z)的定义域就扩大了一 步。这样一步又一步，定义域逐步扩大。 解析延拓是唯一的！
23
第五节 Laurent级数表示
在区域 0<|z-z0|<R 内的单值解析函数 f(z) 可展开成
f (z) an (z z0 )n n
其中正幂部分 an (z z0 )n 是该级数的解析部分 n0 负幂部分 an (z z0 )n 是该级数的主要部分 n1
这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数