第三章幂级数展开
第03章_幂级数展开
第3章 幂级数展开要学习幂级数展开？ 实变函数的幂级数展开： (1) 将实变函数进行泰勒展开，截取幂级数的前面有限项 的和可以作为函数的近似（项数取决于要达到的近似 程度）； (2) 常微分方程可用级数方法求解。 §3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第3章 幂级数展开
2
§3.1 复数项级数 1. 复数项级数 设有复数项的无穷级数
w =w +w +w + +w +
它的每一项都可分为实部和虚部， wk uk ivk 前n+1项的级数和为 复数项无穷级数的和
其中，w( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 ) 2
幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数，在收敛圆内不 可能有奇点。 幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次。 因为收敛圆的内部是单连通区域，所以幂级数在收敛圆 内又可以逐项积分。 逐项积分或逐项求导不改变收敛半径。P37 习题1. 2.
lim ak z z0
k k
k
数学物理方法
第3章 幂级数展开
k
11
例1：求幂级数 z 的收敛圆
k 0
解： a 1 k
R lim
ak ak 1
k
1 lim 1 k 1
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1 z 1
事实上，本例是几何级数，公比是z，所以 前n+1项的和为：
数学物理方法
第3章 幂级数展开
03_幂级数展开
k = n +1
∑ w ( z) < ε
k
n+ p
( p 为任意正整数 为任意正整数)
如果N和 无关 就称复变项级数 无关， 复变项级数(2)在 或 上一致收敛。 如果 和z无关，就称复变项级数 在B(或l)上一致收敛。
在区域B上一致收敛的复变项级数的每一项都是 上的连续 在区域 上一致收敛的复变项级数的每一项都是B上的连续 上一致收敛的复变项级数的每一项都是 函数，则级数的和也是B上的连续函数 上的连续函数。 函数，则级数的和也是 上的连续函数。 上一致收敛的复变项级数的每一项都是l上的连续 在曲线 l上一致收敛的复变项级数的每一项都是 上的连续 上一致收敛的复变项级数的每一项都是 函数，则级数的和也是l上的连续函数 而且级数可以沿l逐项 上的ห้องสมุดไป่ตู้续函数， 函数，则级数的和也是 上的连续函数，而且级数可以沿 逐项 积分。 积分。 如果对于某个区域B(或曲线 上所有的点z，复变项级数(2) 如果对于某个区域 或曲线l)上所有的点 ，复变项级数 或曲线 上所有的点 的各项的模 wk ( z ) ≤ mk ，而正的常数项级数
由此，可得到收敛半径R的另一公式： 由此，可得到收敛半径 的另一公式： 的另一公式
1 R = lim k →∞ k | a | k
幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。 幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。
的收敛圆， 为复变数 为复变数。 例1：求幂级数 ：求幂级数1+t+t2+⋅⋅⋅ +tk+⋅⋅⋅ 的收敛圆，t为复变数。
a0 + a1 z − z0 + a2 z − z0 + ⋅⋅⋅ + ak z − z0 + ⋅⋅⋅
第三章幂级数展开
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开 函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
18
解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
19
展成幂级数的几种方法
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开
时，有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
5
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z) n 1
在C上连续，则
wn (z)dz wn (z)dz
n
8
举例
求级数 z n 的敛散半径及收敛圆
n 1
9
求级数 (1)n1 z2(n1) 的敛散半径收敛圆 n1
10
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
11
可积性
12
第三节 Taylor级数展开
13
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；
第三章幂级数展开
第三章 幂级数展开ξ3.1 复数项的级数一．复数的无穷级数可表示为：121kk n k ww w w w ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑ （1）其中：k k w u iv =+前n 项和为：11nn k k n k s w w w w w ===++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑=11nnkkk k ui v ==+∑∑当n →∞时级数：n s →级数：1kn w∞=∑故111n kkk k k k w u i v ∞∞====+∑∑∑一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面，而复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数（实部和虚部）的收敛 1. 柯西收敛判据：一个级数还可写为：11kn kk k n ws w∞∞=≠+=+∑∑ （4）其中n s 是钱n 项和1kk n w∞≠∑为余项判据：任何一个小正数ξ>0 若能找到一个N 使得n>N 时1n pkk n wξ+=+<∑则称1kn w∞=∑收敛，其中p 为任意整数 2. 绝对收敛若11kk k w∞∞===∑∑是收敛的，则1kk w∞=∑绝对收敛两个敛的级数相乘后所得的级数耶是绝对收敛的，其和等于相乘级数和的乘积二．复变项级数（复变函数项级数） 1．函数项级数一般表示为：121()()()()kkk w z w z w z w z ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅∑ （5）函数项级数的收敛问题得涉及到z 的取值域，若z 在B 上取值是（5）收敛，则称1()kk w z ∞=∑在B 上收敛。
B 称为1()kk w z ∞=∑的收敛域函数项级数也可表示为：111()nkkkk k k n w z ww∞∞===+==∑∑∑ （6）2. 函数项级数的收敛 如在B 上，对于个点z任意给0ξ>，若存在N 使得n>N 时有1n pkk n wξ+=+<∑则称级数1()nkk w z =∑在B 上一致收敛3.收敛级数性质（1）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都是B 上的连续函数 （2）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都可积分⇒逐项积分 (3) 若有()k k w z m ≤，而1kk m ∞=∑是收敛的，则()kw z ∑绝对且一致收敛ξ3.2 幂级数最典型也最常见的级数——即级数的各项都是幂函数2001020()()()k k k a z z a a z z a z z ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ (1) 其中0z 、0a 、1a 、2a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是复常数，这一的级数叫做以0z 为中心展开的幂级数 一.级数收敛判别法1. 比值判别法（达朗贝尔判别法）： 若：110100lim lim1k k k kk k kka z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- （3）则（2）正项级数收敛，亦即级数（1）绝对收敛 2. 根值判别法若：1k < （4）则级数（2）收敛，亦即级数（1）绝对收敛3. 收敛域和收敛半径函数级数的收敛问题（从根本上）具体要涉及的是收敛u 的问题即，z 在什么样的范围内取值级数是收敛的，收敛判别法本身给出了z 的取值范围： 由判别法“1”：01l i m kk k a z z a →∞+-< (5)则 1limkk k a R a →∞+= （6）为级数（1）的收敛半径 只要满足0z z R -< 的所有点其级数（1）都收敛则以0z 为中心R 为半径的区域是（1）的收敛区域，对应圆称（1）的收敛圆。
数学物理方法_第三章_幂级数展开
数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法，它是通过使用幂级数来表示一个函数，从而方便对函数进行近似计算和分析。
在许多问题中，幂级数展开可以简化计算的复杂性，帮助我们更好地理解问题的本质。
幂级数是一个无穷级数，形式为：f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中，a0、a1、a2...是常数系数，x0是展开点。
幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数，进而通过截断级数的方式来近似求解。
这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。
幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开，泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。
泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。
泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示，形式如下：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛，它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。
以下是幂级数展开的几个典型应用：1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。
通过截断幂级数，我们可以用其前几项来近似计算函数的值。
这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的，因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。
2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。
对于一些微分方程，无法找到解析解，但通过将解展开成幂级数的形式，可以将微分方程转化为代数方程，从而求得解的逼近解。
3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。
通过截取幂级数的前几项，我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式，从而方便我们进行数值计算。
4.解析几何的研究在解析几何中，幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。
通过展开曲线或曲面，我们可以对其性质进行分析和计算，帮助我们更好地理解几何问题。
第三章 幂级数展开
第三章 幂级数展开3-1 3-2 3-3 幂级数一、复数项级数∑∞=1n n w， n n n iv u w +=二、幂级数()∑∞=-10n n n z z a 收敛半径：1/lim +∞→=n n n a a R 三、泰勒级数()()()()n n n z z z f n z f 000!1-=∑∞=3-4 解析延拓一、解析延拓的含意解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。
替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。
二、解析延拓的唯一性无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。
3-5 罗朗级数一、罗朗级数若()z f 在102R Z Z R <-<内单值解析，则对该区域上任一点可展开为()()()()n n n n n n n n n z z a z z a z z a z f 00010-+-=-=∑∑∑∞=--∞=∞-∞= 罗朗级数主要部分 解析部分()()ξξξπd z f i a C n n ⎰+-=110 21二、关于罗朗级的说明● 0z 是级数的奇点，但不一定是()z f 的奇点。
● ()()!/0n z f a n n ≠● 若仅有环心是()z f 的奇点，则内园半径可任意小。
● 罗朗级数具有唯一性。
三、例例1 将()z z f sin =，∞<z ，展开为罗朗级数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= 753!71!51!31x x x x s i x 解 +-+-=753!71!51!31s i n z z z z z 例2 在∞<<z 1的环域上将函数()()1/12-=z z f 展开为罗朗级数。
()()1111--=-=x x x f 1≠x ()10=f()()21--='x x f ()10='f()()312--=''x x f ()20=''f()()41!3--='''x x f ()!30='''f()()()()11!+--=n n x n x f ()()!0n f n =()∑∞==++++++=-03211/1n n n x x x x x x ()()()∑∞=-=+-++-+-=+0321111/1n n nn n x x x x x x 解 nn z z z z z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-02222211111111 ++++=86421111zz z z例3 在10=z 的邻域上将函数()()1/12-=z z f 展开为罗朗级数。
北京大学数学物理方法经典课件第三章-幂级数展开
泰勒级数的定义及性质
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它将函数展开为一系列的非负整数次幂函数的和。泰勒级数在解析学中起 着重要的作用，具有一些重要的性质。
泰勒展开的应用
通过泰勒展开，我们可以将复杂的函数近似为一个多项式，从而简化计算和分析。泰勒展开在数学和物理领域 中有广泛的应用，包括数值计算、数值解微分方程等。
幂级数展开的基本思想和方法
幂级数展开的基本思想是将待展开的函数表示为幂级数的形式，然后通过求 解系数的方式得到展开式。常用的展开方法包括泰勒展开和洛朗展开。
幂级数展开的典型例题
通过具体的例题，我们可以更好地理解和应用幂级数展开。这些例题涉及到各种函数的展开，以及如何利用展 开式求解问题。
幂级数练习题解析
为了加深对幂级数展开的理解提高 解决问题的能力和技巧。
幂级数分析的收敛性问题
在进行幂级数展开时，我们需要考虑展开式的收敛性。这一节将介绍幂级数 在不同区域内的收敛性条件，并给出相应的判别方法。
幂级数收敛半径的计算方法
幂级数的收敛半径是一个重要的概念，它决定了幂级数在哪些点上收敛。我们将介绍几种计算收敛半径的方法， 并通过例题进行实际应用。
经典函数的泰勒级数展开
许多经典函数都可以表示为泰勒级数的形式。在这一节中，我们将重点介绍 几个常见函数的泰勒级数展开，比如指数函数、对数函数、三角函数等。
洛朗级数的定义及性质
洛朗级数是一种特殊的幂级数展开形式，它包含了正幂次和负幂次两部分。 洛朗级数在解析学和复变函数中有重要的应用。
洛朗展开的应用
幂级数展开的误差估计
在实际计算中，我们常常需要估计幂级数展开的误差。这一节将介绍如何使 用剩余项来估计幂级数展开的误差，并给出具体的计算方法。
3-幂级数展开
第三章幂级数展开函数有精确表示和近似表示：精确表示（解析表示）表示为初等函数通过四则运算；近似表示：逼近 -近似表示为初等函数通过四则运算；级数表示 -表示为一个函数级数。
函数级数表示的意义：利用级数计算函数的近似值； 级数法求解微分方程；以级数作为函数的定义；奇点附近函数的性态。
§3.1 复数项级数（一）复数项级数的概念 ++++=∑∞=k k k w w w w210kk k v u w i +=级数是无穷项的和, 复无穷级数 ()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=+=0000k k k k k k k k k v i u iv u w 原级数成为 ∑∞=0k k w ∑∞=0k k u ∑∞=0k k v 这样复级数 归结为两个实级数 与 ， 实级数的一些性质可移用于复级数。
（二）收敛性问题1、收敛定义：2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时，,1ε<∑++=p n n k k w ,0∑==nk k n w S 前n+1项和当n → ∞，有确定的极限， 便称级数收敛， S 称为级数和；若极限不存在，则称级数发散。
n n S S ∞→=lim3、绝对收敛级数若 收敛，则 绝对收敛. ∑∑∞=∞=+=1220||k k k k k v u w ∑∞=0k k w , ,00B q A pk k k k ==∑∑∞=∞=ABc q p q p n n k l lk k k k k ===⋅∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=00000∑-=nkn k n q p c 绝对收敛级数改变先后次序，和不变.两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之积.(三) 复变项级数++++=∑∞=)()()()(210z w z w z w z w kk k 的每一项都是复变函数。
实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。
第三章幂函数展开
16
收敛圆
3/19/2012
幂级数
以z0为中心的幂级数
∞
∑ ak (z − z0 )k = a0 + a1(z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + ...
k =0
其中每一项都是幂函数, z0, ak是复常数。
幂级数的收敛性特点 存在一个收敛圆，在收敛圆外部幂级数发 散，在收敛圆的内部幂级数收敛 ( 而且是 绝对且一致收敛) 。在收敛圆的圆周上幂 级数可能收敛也可能发散。
6
改变求和顺序的例子
考虑级数
S = 1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ...， 3 5 7 9 11 13
该级数收敛，级数和为S = arctan1 = π / 4 = 0.78539...
该级数对应正项级数为：
S2
=1+
1 3
+
1 5
+
1 7
+
1 9
+
1 11
+
1 ... 13
x
根本不收敛。
复数系的微积分性质更完备、更优美
15
3/19/2012
收敛性问题小结
如果一个复级数A不但自身收敛， 而且其模组 成的正项级数也收敛，则称A为绝对收敛。绝 对收敛的级数可以改变求和顺序，两个绝对收 敛的级数可以逐项相乘。
如果一个复变项级数在B(或l )上不仅点点收 敛，而且存在一与z无关的N使得n>N时，余项 和小于任意给定的ε，则称该级数在B(或l)上 一致收敛。一致收敛的级数可以传递连续性， 可以逐项积分 (以及逐项求导、逐项求极限)。
第三章 幂级数展开
n d
3.6 孤立奇点的分类
对于解析函数f(z)的孤立奇点z=z0,在挖去奇
点的环域上作Laurent展式:
f z bk z z0 k
k
由展开式的情况,将奇点分为三种类型:
1) 可去奇点
展开式中无负幂次项,性质 lim f z b0
2) m阶极点
z z0
展开式中有有限项负幂次项,其最高的负幂
解: 1) f z 1 1 1
2 z 1 z 3
1
z 1
1 z1
1 z
1n
n0
1 z n1 ,
1 z3
11 31 z
3
1n
n0
zn 3n 1
f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
zn 3n 1
2) f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
3n z n1
bk z z0 k , bk
k 0
1
2i C
(
f
z0 ) k 1
d .
在
C r
上
：
z0
z z0 ,
1 z
z0
1
z
z0
1 z z0
1
1 z0
z z0
k 0
z0
z z0
k
k 1
,
1
f d
2i Cr z
1
[
k 0 2 i CR
f
z0 n d ]z z0 n1
z0 ) k 1
k 0
f
n (z0 k!
)
(
z
z0
第3章 幂级数展开
引入记号
R lim
( z z0 ) R
( z z0 ) R
k
若
发散
2、应用根值判别法可知： 若
lim ak ( z z0 ) 1
k k k
绝对收敛
若
lim ak ( z z0 ) 1
k k k
发散
引入记号
R lim
1 ak
绝对收敛 发散
k k
f
k
z0
k!
【例1】在z0=0点邻域，将f(z)=ez展为泰勒级数 【例2】在z0=0点邻域，将f(z)=sinz展为泰勒级数 【例3】在z0=1点邻域，将f(z)=lnz展为泰勒级数
例：在z0=0邻域上将
(k )
f ( z) e
z
展开泰勒级数。
1 dk ez f ( z0 ) 解： ak k ! dz k k!
是唯一的。即若：
f z ak z z0 , f z bk z z0
k k 0 k 0
k
则定有：
ak bk
(证明过程见课本 P39)
有唯一性定理作保障，同一道题目可以使用不同
的展开方法。
泰勒级数的展开方法
1、直接展开法
利用： ak
积分情况
z e | z | k 0 k!
z
k
1 k ∵各项级数 z 均为 | z | 内的连续级数 k! 在 | z | 内任取一分段光滑曲线l，0－z
z 左 e z dz e z |0 e z 1 0
1 z k 1 1 k 1 z 右 z dz z 0 0 k 0 k ! k 0 k ! k 1
第三章-幂级数展开
解： ak = (1)k 实际上对于
R = lim
ak =1 k →∞ a k +1
收敛圆 z < 1
1 1+ z2
z <1
1 z 2 + z 4 + ( 1) k z 2 k + =
4. 幂级数的积分表示
利用柯西公式
在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C’ 中幂级数绝对 一致收敛，故可沿这个圆逐项积分。
#
关键在确定 ak ，但这不是唯一的方法
z 例 (1) f ( z ) = e ,
z0 = 0 能直接求导就求导
0
解： ( z0 ) = e = e = 1 f
(k ) z0
e
z
=
∑
∞
k =0
zk k!
#
1 / k! R = lim = lim k + 1 = ∞ . k → ∞ 1 /( k + 1 )! k→∞
(z0) =(1) sinz0 =0,
k
#
sin z =
∑
∞
k =0
( 1) k z 2 k +1 ; ( 2 k + 1)!
cos z = ∑
k =0
( 1) k z 2 k . ( 2 k )!
R = ∞.
(3)
f ( z ) = ln z ,
z0 = 1
解： z 是多值函数，各分支在支 ln 点 0, ∞ 相连。但 z 0 = 1 不是 支点，在其 z z < 1 的邻域 各分支相互独立。因此，我们 可以只讨论展开的主值。
m / k! k +1 k R = lim = lim =1 k→∞ m k→∞ m k /( k + 1)! k + 1
数学物理方法-复变函数-第三章-幂级数
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
数学物理方法 第三章 幂级数展开
y
∞ 1 1 1 1 1 ∞ 1 例： ∑ Re z ⋅ 2k = ∑ x ⋅ 2k = x ∑ 2k k =1 k =1 k =1 ∞
i D1 D2
1 n+ p 1 1 2 若级数收敛，则∀ε > 0, 要求 | ∑ k |< ε o x x k = n +1 2 N与x有关，当x → 0时，N (ε , x) → ∞, 在D1上找不到最大的N， D1上收敛但不一致。 D 2上，x > 1, ∃N (ε ,1), D 2上一致收敛，
上次课复习
柯西Cauchy定理
单连区域柯西定理：
如果函数f(z)在闭单通区域B上解析，则沿B上的 任一分段光滑闭合曲线l，有
∫ f ( z )dz = 0
l
复通区域柯西定理：
如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则
∫ f ( z )dz + ∑ ∫
l i =1
n
li
f ( z )dz = 0
wuxia@
k +1 1 k 1
ak +1 1 = lim | | R1 = R1 < 1 k →∞ ak R
wuxia@
k =1
收敛，则幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛。
例1：求幂级数1 + t + t 2 + ⋯ + t k + ⋯的收敛圆，t为复变数。 解： ak ak = 1, R = lim | |= 1 k →∞ a k +1 收敛圆以t = 0为圆心，R = 1,圆内表示为 | t |< 1 说明： 其实，本例是几何级数，公比为t， t k = 1 + t + t 2 + ⋯ + t n ∑
第三章 幂级数展开 3.1 泰勒级数展开
− −
a )k a
=
∞
−
k =0
1 (b − a)k +1
(z
−
a)k
（ z − a < b − a ）．
3.常见解析函数的泰勒级数展开（取 z0 = 0 ）
①[书例]
∑ e z = ∞ z k k=0 k !
(R =∞ )
②[书例]
∑∞
sin z =
(−1) k
z 2k +1
k=0 (2k + 1)!
且收敛圆半径不变.
5.两个幂级数在它们共同的收敛区域（常为两个同心圆的共同部分）进行加、
减、乘运算后的级数之和，仍在该区域收敛.
五. 幂级数的例题
∞
求幂级数 ∑ z k 的收敛半径及有限项函数表示. k =0
解：用比值判别（审敛）法求收敛半径， ∵ 系数 ak = 1
∴
收敛半径： R = lim ak = lim 1 = 1 ；
n=1 (1 + x 2 ) n
复变函数讲稿
314
(R =∞ )
③[书例]
∑ cos z = ∞ (−1)k z 2k k=0 (2k)!
(R =∞ )
（重要公式） （重要公式） （重要公式）
313
作业：P.52：(8) [提示：可利用 cos z 的展式]；
∑∞
附注：x 为实数，①
(−1) 2
一致收敛但不绝对收敛；
n=1 n + x 2
∑∞
②
x2 绝对收敛但不一致收敛.
a0 = ln i
；
k = 1,2,3, ……
f ′(z) = 1 z
, f ′′(z) = − 1 , …… z2
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1 z2 1
12 z 1
12 z 1
?
1 1 1 1 2 z 1 4 1 (z 1) 2
1 4
k 0
1k
z
1 k 2
2
-1
1
0<|z-1|<2
1
z2 1
1 2
1 z 1
1k
k 0
1 2k 2
z
1k
(0 | z 1| 2)
负幂项
（2）0<|z-1|<2
33
例3
在z=0的邻域上把 f(z)=e1/z 展开
待定系数法 函数 f(z)=tan z 在z=0点的Taylor级数展开
21
第四节 解析延拓
1 t t2 L tk L 1 (| t | 1)
1t
f (z)
1 z2 z4 z6 L
1 1 z2
F(z) (| z | 1)
解析延拓：已给某个区域b上的解析函数f(z),能否找到 另一个函数F(z),它在含有区域b的一个较大的区域B上 是解析函数，而且在区域b上等同于f(z)。 简单地说，解析延拓就是解析函数定义域的扩大！
在挖去原点的复平面上用z遍除sin z即得
定义f(z)
sin z
z2 z4 z6
1 L (| z | )
z
3! 5! 7!
sin z
f
(z)
z lzim0
sin z
z
1
(z 0) (z 0)
解析延拓
31
例2 函数 f(z)=1/(1-z2) 分别在1<|z|<∞ 和 0<|z-1|<2内的
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；
(3) 在B内可逐项积分。 28
Laurent定理
设函数 f(z) 在环状域 R2<|z-z0|<R1 的内部单值解析， 则对于环内任一点z， f(z)可展开成
f (z) an (z z0 )n n
问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理 告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
24
双边幂级数
an (z z0 )n a2 (z z0 )2 a1(z z0 )1
Laurent级数展开
（1）1<|z|<∞
f
(
z
)
1
1 z
2
的定义域是
z 1
1 z 中心为z=0，因此是要将
f(z)展开成z的幂级数
1
-1
1
1<|z|< ∞
1
z2 1
z2
1
1
1 z2
1 z2
1 k k0 z2
1 z2
1 z4
1 z6
L
32
0 z 1 2中心为z=1，因此是要将
f(z)展开成(z－1)的幂级数
收敛的充分必要条件
级数 wn (z)收敛的充分必要条件是 un (x, y)
n1
n1
和 vn (x, y) 都收敛，其中
n1
wn (z) un (x, y) ivn (x, y) (n 1,2, )
柯西收敛判据
对于 wn (z) ，如果ε >0，N(ε, z)，当n>N(ε,z) n 1
z 1
z z3 z5 z7 sin z L (| z | )
1! 3! 5! 7!
cosz 1 1 z2 1 z4 1 z6 2! 4! 6!
z
ez 1 zk 1 1 z 1 z2 1 z3
k0 k!
1! 2! 3!
z
35
第六节 孤立奇点的分类
概念 若函数 f(z) 在某点z0在不可导，而在z0的任意
考察级数
n1
(1) n
n
i n2
的敛散性
4
复函数项级数
概念
形如 w1(z) w2 (z) wn (z) wn (z)
的表达式被称为复数项级数，其中wnn(1z)是
复变函数。
收敛与发散
点收敛： wn (z0 ) 收敛称之 n1
域收敛： wn (z) 收敛，z∈B，称之 n 1 5
在区域 0<|z-z0|<R 内的单值解析函数 f(z) 可展开成
f (z) an (z z0 )n n
其中正幂部分 an (z z0 )n 是该级数的解析部分 n0 负幂部分 an (z z0 )n 是该级数的主要部分 n1
这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数
任一点z，函数f(z)可写成
f (z) ak (z z0 )k k 0
Ñ 其中 ak
1
2
i
CR '
(
f ( )
z0 )k1
d
1 k!
f
(k) (z0 )
CR
R z z0
R' CR'
15
16
举例
函数 f(z)=ez 在z=0点的Taylor级数展开
17
函数 f(z)=sin z和f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
双边幂级数在收敛环内绝对一致收敛。
26
正幂部分 an (z z0 )n n0
R1
z0
|z-z0|<R1
负幂部分 an (z z0 )n
n1
1 z z0
R2 z0
R2<|z-z0|
R1
R2 z0
收敛环 R2<|z-z0|<R1
27
双边幂级数的性质
R1
B
R2 z0
定理
设双边幂级数 an (z z0 )n 的收敛环B为R2<|z-z0|<R1，
怎么样求解洛朗
级数定理计算洛朗级数展开
级数展开呢？
30
例1
在z0=0的邻域上把(sin z)/z 展开
解：函数 f(z) = (sin z)/z 在z0=0点没有定义， z0=0 为奇点。为 避开奇点，从复数平面挖去原点.已知
sin z z z3 z5 z7 L (| z | ) 1! 3! 5! 7!
n1
an
(
z
z0
)n
收敛；而得当|z-z0|>R时，级数 an (z z0 )n 发散，则
n1
称R为级数 an (z z0 )n 的收敛半径，其中|z-z0|<R被
n1
称为收敛圆。
8
收敛半径的求法
D'Alembert公式
R lim an a n
n1
Cauchy (根式) 公式 R lim 1 a n n
收敛与发散
n
若 wn 的前n项和Sn wj 有极限(n→∞),则称
n 1
j 1
该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；
否则称为发散。
2
收敛的充分必要条件
设 wn un ivn (n 1,2, )，则级数 wn 收敛的充
n 1
分必要条件是 un 和 vn都收敛，其中un和 vn皆
为实数。
n 1
n 1
绝对收敛与条件收敛
称级数 wn 是绝对收敛的，如果 | wn |是收敛的
n 1
n 1
称级数 wn 是条件收敛的，如果 | wn | 是发散的，
n 1
n 1
而 wn 是收敛的
n 1
3
举例
考察级数 1 1 ei /n 的敛散性
n1 n
考察级数 z n 的敛散性 n 1
时，有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
6
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z) n 1
在C上连续，则
wn (z)dz wn (z)dz
邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇 点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0 以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
举例
孤立奇点的例子
1 , e1/ z , z
1 1 z2
1 非孤立奇点的例子 sin(1/ z)
1 , 1 , ,0, , 1 , 1
2
2
36
孤立奇点的Laurent级数展开
已知
ez 1 zk 1 1 z 1 z2 1 z3
k0 k!
1! 2! 3!
将z全换成1/z即得
z
1
ez
k 0
1
1
k
k! z
1 1 1 1! z
1 2!
1 z2
1 3!
1 z3
1
0
即 ez
1 zk
k k !
1 z
34
洛朗级数求解总结
1 1 z z2 z3 1 z
第三章 幂级数展开
第一节 复数项级数 第二节 幂级数 第三节 Taylor级数表示 第四节 解析延拓 第五节 Laurent级数表示 第六节 孤立奇点的分类
1
第一节 复数项级数
复数项级数
概念 形如 w1 w2 wn wn 的表达 n1 式被称为复数项级数，其中wn是复数。
22
原则上讲，解析延拓都可以利用泰勒级数进行。具体 地说，选取区域b的任一内点z0，在z0的领域上把解析 函数f(z)展开为泰勒级数，如果这个泰勒级数的收敛圆 有一部分超出b之外，解析函数f(z)的定义域就扩大了一 步。这样一步又一步，定义域逐步扩大。 解析延拓是唯一的！