人教版九年级数学上册：垂直于弦的直径课件

半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与弧AB 相交于点C，根据垂径定理，D 是AB 的中 点，C是弧AB的中点，CD 就是拱高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
A
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
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选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其
中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的
个数为 （ A ）
A
A、3 B、2 C、1 D、0
。 O
O
BA
E
B
C
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判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
C
Biblioteka Baidu•O
A
B
(3) D
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火眼金睛
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
D
O
A
E
C
A
B
B
E O
C
A A
CE
O
B
D
C
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O
E D
B
AE D
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垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧。
C
垂径定理的推论：
平所分对弦的（ 两不 条是 弧直 ．径）的直径垂直于弦，O并且平分弦
AE
B
D
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R
OA2=AD2+OD2
O
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
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巩固
如图，已知圆弧形桥拱的跨度AB= 12米，半径为10米，求拱高CD。
C
A
B
D
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
学习重点：垂径定理、推论及其它们的应
用。
学习难点：对垂径定理的探索和证明及其
应用。
一、情境导入
你知道赵州桥吗？ 它是1400年前，我国隋代建造的石拱
桥，是我国古代人民勤劳和智慧的结 晶。1961年被国务院列为第一批全国 重点文物保护单位 ，2015年荣获石 家庄十大城市名片之一。它是中国第 一石拱桥，在漫长的岁月中，虽然经 过无数次洪水冲击、风吹雨打、冰雪 风霜的侵蚀和8次地震的考验，却安 然无恙，巍然挺立在洨河之上。它的 主桥拱是圆弧形的，它的跨度（弧所 对的弦长）为37m.你能求出主桥拱的 半径吗？
径CD平分弦AB，并且平分AB及A⌒CB
·O
E B
D
叠合法
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归纳 垂径定理“知二得三”： (1) 直径(过圆心) ； (2) 垂直弦； (3) 平分弦(不是直径) ； 知二得三 (4) 平分优弧； (5) 平分劣弧；
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A
37.4m
C E
7.2m
B
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O
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解：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O， AB
证明： OE AC OD AB AB AC
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思考：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E。
（1）图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的 线段和弧？为什么？
C
·O
E
A
B
D
叠合法
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给我最大快乐的， 不是已懂的知识， 而是不断的学习。
----高斯
24.1.2垂直于弦的直径
学习目标
1. 使学生理解圆的轴对称性。 2. 掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径 定理及其推论解决有关问题。 3. 在探究过程中，进一步体会“实验—— 归纳——猜想——证明”的方法，锻炼学 生的逻辑思维能力，体验数学来源于生活 又用于生活。
验证垂径定理
已知：如图，在圆O中，CD为直径，AB
是弦，CD⊥AB于M.
求证：AM=BM.弧AC=弧BC.
C
证明：垂直于弦AB的直径CD所⌒在的
直线是⊙O的对称轴。把圆沿着直径
CD折叠时，A点和B点重合，AE和 BE重合，A⌒C、⌒AD分别与B⌒C、BD重
合。因此
A
⌒⌒
⌒⌒
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD，即直
C
D
B
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问题 ：你知道赵州桥吗?它是我国古代劳动人民勤 劳和智慧的结晶. 它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧 所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
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用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在 的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由 此你能得到什么结论？ 可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线
都是它的对称轴．
由此你能得到什么结论？
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解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
22
在Rt△AOE中
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．