概率论与数理统计课后答案北邮版(第四章)

习题四

1.设随机变量X 的分布律为

1 0 1

2

求E （X ），E （X 2

），E （2X +3）. 【解】(1) 11111

()(1)012;8

2842

E X =-⨯+⨯

+⨯+⨯= (2) 22

22211115()(1)012;82844

E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=

(3) 1

(23)2()32342

E X E X +=+=⨯+=

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为

故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,= 5

2

()[()]i

i

i D X x E X P ==

-∑

222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0

0.432.

=-⨯+-⨯++-⨯=

3.设随机变量X 的分布律为

1 0 1

且已知E （X ）=,E (X 2

)=,求P 1，P 2，P 3.

【解】因1231P P P ++=……①,

又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,

2222

12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③

由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===

4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白

球的概率是多少

【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则

(){|}{}N

k P A P A X k P X k ===∑全概率公式

1

{}{}

1().N

N

k k k P X k kP X k N N

n E X N N

=====

===∑∑

5.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,

10,其他x x x x

求E （X ），D （X ）. 【解】12

20

1

()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞

-∞

=

=+-⎰

⎰⎰

2

1

3

32011 1.33x x x ⎡⎤

⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

1

2

2

2

3

20

1

7

()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞

-∞

==+-=

⎰

⎰⎰ 故 2

2

1()()[()].6

D X

E X E X =-=

6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ

4X .

【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=

(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立 1184568.=⨯-⨯=

7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X

2Y ），

D （2X 3Y ）.

【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=

(2) 2

2

(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩

⎨

⎧<<<<.,0,

0,10,其他x y x k

试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因

1001

(,)d d d d 1,2

x f x y x y x k y k +∞+∞

-∞

-∞

===⎰⎰

⎰⎰故k =2

10

()(,)d d d 2d 0.25x

E XY xyf x y x y x x y y +∞

+∞

-∞

-∞

===⎰

⎰

⎰⎰.

9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,

10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,

0,

.

y y --⎧>⎨

⎩其他 求E （XY ）.

【解】方法一：先求X 与Y 的均值 10

2

()2d ,3

E X x x x =

=⎰ 5

(5)5

()e d 5e d e d 51 6.z y y z z E Y y y

z z z +∞+∞+∞

=-----=+=+=⎰

⎰⎰

令

由X 与Y 的独立性，得

2

()()()6 4.3

E XY E X E Y ==⨯=

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为