概率论与数理统计课后答案北邮版(第四章)

习题四
1.设随机变量X 的分布律为
1 0 1
2
求E （X ），E （X 2
），E （2X +3）. 【解】(1) 11111
()(1)012;8
2842
E X =-⨯+⨯
+⨯+⨯= (2) 22
22211115()(1)012;82844
E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=
(3) 1
(23)2()32342
E X E X +=+=⨯+=
2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为
故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,= 5
2
()[()]i
i
i D X x E X P ==
-∑
222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0
0.432.
=-⨯+-⨯++-⨯=
3.设随机变量X 的分布律为
1 0 1
且已知E （X ）=,E (X 2
)=,求P 1，P 2，P 3.
【解】因1231P P P ++=……①,
又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,
2222
12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③
由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===
4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白
球的概率是多少
【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则
(){|}{}N
k P A P A X k P X k ===∑全概率公式
1
{}{}
1().N
N
k k k P X k kP X k N N
n E X N N
=====
===∑∑
5.设随机变量X 的概率密度为
f （x ）=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,
10,其他x x x x
求E （X ），D （X ）. 【解】12
20
1
()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞
-∞
=
=+-⎰
⎰⎰
2
1
3
32011 1.33x x x ⎡⎤
⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
1
2
2
2
3
20
1
7
()()d d (2)d 6
E X x f x x x x x x x +∞
-∞
==+-=
⎰
⎰⎰ 故 2
2
1()()[()].6
D X
E X E X =-=
6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ
4X .
【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=
(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立 1184568.=⨯-⨯=
7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X
2Y ），
D （2X 3Y ）.
【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=
(2) 2
2
(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩
⎨
⎧<<<<.,0,
0,10,其他x y x k
试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因
1001
(,)d d d d 1,2
x f x y x y x k y k +∞+∞
-∞
-∞
===⎰⎰
⎰⎰故k =2
10
()(,)d d d 2d 0.25x
E XY xyf x y x y x x y y +∞
+∞
-∞
-∞
===⎰
⎰
⎰⎰.
9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,
10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,
0,
.
y y --⎧>⎨
⎩其他 求E （XY ）.
【解】方法一：先求X 与Y 的均值 10
2
()2d ,3
E X x x x =
=⎰ 5
(5)5
()e d 5e d e d 51 6.z y y z z E Y y y
z z z +∞+∞+∞
=-----=+=+=⎰
⎰⎰
令
由X 与Y 的独立性，得
2
()()()6 4.3
E XY E X E Y ==⨯=
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为
(5)2e ,01,5,
(,)()()0,
,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨
⎩其他 于是
1
1
(5)2(5)5
5
2
()2e d d 2d e d 6 4.3
y y E XY xy x x y x x
y y +∞
+∞
----===⨯=⎰
⎰
⎰⎰
10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为
f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨
⎧≤>-.
0,
0,
0,
44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X 3Y 2
）.
【解】22-20
()()d 2e d [e ]e d x x x
X X xf x x x x x x +∞
+∞
+∞
--+∞-∞
==-⎰
⎰
⎰
201
e d .2x x +∞
-==⎰
40
1
()()d 4e dy .4
y Y E Y yf y y y +∞
+∞--∞
=
=⎰
⎰
2
2
242021()()d 4e d .48
y Y E Y y f y y y y +∞
+∞
--∞=
==
=⎰⎰
从而(1)113
()()().244
E X Y E X E Y +=+=+=
(2)22
115(23)2()3()23288
E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=
11.设随机变量X 的概率密度为
f （x ）=⎪⎩⎪⎨
⎧<≥-.
0,
0,0,2
2x x cx x
k
e
求（1） 系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由
22
2
()d e d 12k x c
f x x cx x k
+∞
+∞
--∞
==
=⎰
⎰得22c k =. (2) 22
20
()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞
+∞
--∞
=
=⎰
⎰
22
2
20
π2e d .k x k
x x +∞
-==
⎰
(3) 22
2
2222
1()()d()2e .k
x
E X x f x x x k x k +∞
+∞--∞
=
=⎰
⎰
故 2
22
221π4π()()[()].24D X E X E X k k k ⎛-=-=-= ⎝⎭
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取
出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，
3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
9{0}0.750,12P X ==
= 39
{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219
{3}0.005.1211109
P X ==⨯⨯⨯=
于是，得到X 的概率分布表如下：
X 0 1 2 3 P
由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
222222
2
2
()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.
E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=
13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为
f （x ）=⎪⎩⎪
⎨⎧≤>-.0,
0,0,414x x x
e
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和200元
/4
1/41
1{100}{1}e d e 4
x P Y P X x +∞
--==≥=
=⎰
1/4
{200}{1}1e
.P Y P X -=-=<=-
故1/4
1/41/4()100e
(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).
14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2
，i =1，2，…，
n ，记
∑==n i i S X n X 12
,1，S 2=∑=--n i i X X n 1
2)(11. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =
n
2
σ；
（2） 验证S 2
=
)(111
22
∑=--n
i i X n X n ； （3） 验证E （S 2）=σ2
.
【证】(1) 11
111
11()()().n n
n i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑
22
111
11
1()()n n
n
i i i i
i i i D X D X D X X DX
n n
n ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立
22
21.n n n
σσ==
(2) 因
2
2
2
2
21
1
1
1
()(2)2n
n
n
n
i
i
i i
i i i i i X
X X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑
2
2
221
1
2n
n
i
i
i i X
nX X nX X nX ===
+-=-∑∑
故22
21
1
()1n
i i S X nX n ==
--∑. (3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222
()()().i i i E X D X EX u σ=+=+
同理因2
(),()E X u D X n
σ==,故2
2
2()E X u n
σ=
+.
从而
222
2
21111()()[()()]11n n
i i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑
22
1
222221[()()]11().1n i i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥
⎪-⎝⎭⎣⎦
∑
15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )=
1,
计算：Cov （3X
2Y +1，X +4Y
3）.
【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-
(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=22
1,1,
π0,
.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他
试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设2
2
{(,)|1}D x y x y =+≤.
221
1
()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞
+∞
-∞
-∞
+≤==
⎰
⎰
⎰⎰ 2π1
001=
cos d d 0.π
r r r θθ=⎰⎰ 同理E (Y )=0. 而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞
-∞
-∞
=
--⎰⎰
222π1200111d d sin cos d d 0ππ
x y xy x y r r r θθθ+≤=
==⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1
时，1()
X f x y 当|y |≤1
时，1()
Y f y x . 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠ 故X 和Y 不是相互独立的.
17.设随机变量（X ，Y ）的分布律为
1 0 1
1
1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表
X101
P 3
8
2
8
3
8
Y101
P 3
8
2
8
3
8
XY101
P 2
8
4
8
2
8
由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.
从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.
又
331
{1}{1}{1,1}
888
P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=-
从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均
匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.
【解】如图，S D=1
2
，故（X，Y）的概率密度为
题18图
2,(,),
(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨
⎩其他.
()(,)d d D
E X xf x y x y =⎰⎰110
1
d 2d 3
x
x x y -==⎰⎰
22()(,)d d D
E X x f x y x y =⎰⎰1120
1
d 2d 6
x
x x y -==⎰⎰
从而2
2
2
111
()()[()].6318
D X
E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
同理11(),().318
E Y D Y =
= 而 110
1
()(,)d d 2d d d 2d .12
x
D
D
E XY xyf x y x y xy x y x xy y -=
===
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
所以
1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=
-⨯
=-. 从而 112)()
XY D Y ρ-
=
=
=-
19.设（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=1
ππsin(),0,0,
2220.x y x y ,
⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他
求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2
π/2
1π()(,)d d d sin()d .24
E X xf x y x y x x
x y y +∞
+∞
-∞-∞
==+=⎰⎰
⎰
⎰
π
π22
2
220
1ππ
()d sin()d 2.282
E X x x x y y =
+=+-⎰⎰
从而
22
2
ππ()()[()] 2.162
D X
E X E X =-=+-
同理 2πππ
(),() 2.4162
E Y D Y ==
+- 又 π/2
π/2
π
()d sin()d d 1,2
E XY x xy x y x y =
+=-⎰
⎰
故 2
ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫
=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
22222π4Cov(,)(π4)π8π164.πππ8π32π8π32()()
2162
XY X Y D X D Y ρ-⎛⎫
- ⎪--+⎝⎭=
==-=-+-+-+- 20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡4111，试求Z 1=X 2Y 和Z 2=2X Y 的
相关系数.
【解】由已知知：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.
从而
12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,
D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=
12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--
2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)
2()5Cov(,)2()215124 5.
X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=
故 1212125
13.26
()()134Z Z D Z D Z ρ=
==⨯
21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2
），E （W 2
）存在，证明：
［E （VW ）］2
≤E （V 2
）E （W 2
）.
这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy Schwarz ）不等式.
【证】令2
(){[]},.g t E V tW t R =+∈
显然
22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++
2
2
2
[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈
可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即2
2
2
0[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=- 2
2
2
4{[()]()()}.E VW E V E W =-
故2
2
2
[()]()()}.E VW E V E W ≤
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出
现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.
【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间
X ~E (λ),E (X )=
1λ
=5. 依题意Y =min(X ,2). 对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.
对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为
P {X ≤x }=1e
λx
,所以
F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1e
y/5
.
23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装
有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为
333
3
6
C C {}C k k
P Z k -==, 0,1,2,3.k = Z =k 0 1 2 3
P k
1
20 920 920
120
因此，()0123.202020202
E Z =⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有
3
(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑
191921310.202062062064
=
⨯+⨯+⨯+⨯= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10
或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系
T =⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若 问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大
【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->
{10}20{1012}5{12}
(10)20[(12)(10)]5[1(12)]
25(12)21(10) 5.
P X u u P u X u u P X u u u u u u u u =--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--
故
2/2d ()125(12)(1)21(10)(1)0(()e ),d 2x E T u u x u ϕϕϕπ
-=-⨯---⨯-= 令
这里 得 22(12)/2
(10)/2
25e 21e
u u ----=
两边取对数有
2211
ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--
解得 1251
11ln 11ln1.1910.91282212
u =-=-≈(毫米)
由此可得，当u =10.9毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量X 的概率密度为
f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,
0,0,2
cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y 2
的数学期望. （2002研考）
【解】令 π1,,3
(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧
>⎪⎪==⎨
⎪≤⎪⎩
X .
则4
1
~(4,)i i Y Y B p ==
∑.因为
ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11
{}cos d 3222
x P X x ≤==⎰,
所以111
(),(),()42,242
i i E Y D Y E Y ===⨯=
2211
()41()()22
D Y
E Y EY =⨯⨯==-,
从而222
()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=
26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T i (i =1,2)服从参数为5的指数分布，首
先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T (t )，数学期望E （T ）及方差D （T ）. 【解】由题意知：
55e ,0,
()0,
0t i t f t t -⎧≥=⎨<⎩.
因T 1,T 2独立，所以f T (t )=f 1(t )*f 2(t ). 当t <0时，f T (t )=0; 当t ≥0时，利用卷积公式得
55()5120
()()()d 5e 5e d 25e t
x t x t T f t f x f t x x x t +∞
-----∞
=-==⎰
⎰
故得
525e ,0,
()0,
0.t T t t f t t -⎧≥=⎨<⎩
由于T i ~E (5),故知E (T i )=
15,D (T i )=1
25(i =1,2)
因此，有E (T )=E (T 1+T 2)=2
5
.
又因T 1,T 2独立，所以D （T ）=D （T 1+T 2）=
225
. 27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变
量|X Y |的方差.
【解】设Z =X
Y ，由于22~0,,~0,,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
且X 和Y 相互独立，故Z ~N （0，1）. 因
22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-
2
2
()[()],E Z E Z =-
而
22/2
()()1,(||)||
e d 2π
z E Z D Z E Z z z +∞
--∞
===⎰ 2
/20
2e d π
2π
z z z +∞
-=
=
⎰
， 所以 2(||)1π
D X Y -=-
. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p (0<p <1)，各产品合格与否相互独立，当出现
一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】记q =1
p ,X 的概率分布为P {X =i }=q i
1
p ,i =1,2,…，
故1
2
111
()().1(1)
i i
i i q p E X iq p p q p q q p ∞
∞
-=='⎛⎫'===== ⎪--⎝⎭∑∑ 又2
21
2
1
11
2
1
()()i i i i i i E X i q
p i i q p iq p ∞
∞∞
---====
=-+∑∑∑
223221
1()12112.(1)i
i q pq q pq p q p pq q p q p p p
∞
=''⎛⎫''=+=+
⎪-⎝⎭+-=+==-∑ 所以 22
222211()()[()].p p
D X
E X E X p p p
--=-=
-=
题29图
29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上
服从均匀分布.（如图），试求随机变量U =X +Y 的方差. 【解】D (U )=D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y )
=D (X )+D (Y )+2[E (XY )
E (X )·E (Y )].
由条件知X 和Y 的联合密度为
2,(,),
(,)0,0.
x y G f x y t ∈⎧=⎨
<⎩ {(,)|01,01,1}.G x y x y x y =≤≤≤≤+≥ 从而1
1()(,)d 2d 2.X x
f x f x y y y x +∞
-∞
-===⎰
⎰
因此
11122300031
()()d 2d ,()2d ,22
X E X xf x x x x E X x x =====⎰⎰⎰
22141
()()[()].2918
D X
E X E X =-=-=
同理可得 31
(),().218
E Y D Y ==
11
15
()2d d 2d d ,12
x
G
E XY xy x y x x y y -===
⎰⎰⎰⎰
541Cov(,)()()(),12936
X Y E XY E X E Y =-=
-=- 于是 1121
()().18183618
D U D X Y =+=+-=
30.设随机变量U 在区间[
2,2]上服从均匀分布，随机变量
X =1,1,1,1,U U -≤-⎧⎨
>-⎩ Y =1,1,
1, 1.U U -≤⎧⎨>⎩
若
试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X +Y ）.
【解】（1） 为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值
(1,1),(1,1),(1,1)及(1,1)的概率.
P {x =1,Y =
1}=P {U ≤
1,U ≤1}
1
12d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-=
==⎰⎰ P {X =1,Y =1}=P {U ≤
1,U >1}=P {∅}=0, P {X =1,Y =
1}=P {U >
1,U ≤1}
1
1d 1{11}44
x P U -=-<≤==⎰
21
d 1
{1,1}{1,1}{1}44
x P X Y P U U P U ===>->=>=⎰
. 故得X 与Y 的联合概率分布为
(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110
424X Y ----⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. (2) 因22
()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X +Y 及（X +Y ）2
的概率分布相应
为
20
2~11142
4X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢
⎥⎣⎦, 2
4()~1122X Y ⎡⎤
⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
. 从而11
()(2)20,44E X Y +=-⨯
+⨯= 2
11[()]042,22
E X Y +=⨯+⨯=
所以2
2
()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=
x
-e 2
1，
（∞<x <+∞）
(1) 求E （X ）及D （X ）；
（2） 求Cov(X ,|X |),并问X 与|X |是否不相关 （3） 问X 与|X |是否相互独立，为什么
【解】(1)||
1()e d 0.2x E X x
x +∞
--∞=
=⎰ 2||
201()(0)
e d 0e d 2.2
x x D X x x x x +∞+∞
---∞=-==⎰⎰ (2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-=
||
1||
e d 0,2
x x x x +∞
--∞
=
=⎰
所以X 与|X |互不相关.
(3) 为判断|X |与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义
域
∞<x <+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x 0，则有
0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<
所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<< 故由
00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<
得出X 与|X |不相互独立.
32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32
）和N （0，42
），且X 与Y 的相关系数
ρXY =1/2，设Z =
2
3Y
X +. （1） 求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）； （2） 求X 与Z 的相关系数ρXZ ； （3） 问X 与Z 是否相互独立，为什么 【解】(1) 1
().323X Y E Z E ⎛⎫=+=
⎪⎝
⎭ ()2Cov ,3232X
Y X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111
9162Cov(,),9432
X Y =
⨯+⨯+⨯⨯ 而
1Cov(,)()
()3462XY X Y D X D Y ρ⎛⎫
==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭
所以 1
()146 3.3
D Z =+-⨯= (2) 因()()11
Cov(,)Cov ,
Cov ,Cov ,3232
X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119
()(6)3=0,323
D X =
+⨯-=-
所以 Cov(,)
0.()()
XZ X Z D X D Z ρ=
=
(3) 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1
~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以X 与Z 也
相互独立.
33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系
数XY ρ.
【解】由条件知X +Y =n ，则有D （X +Y ）=D （n ）=0.
再由X ~B (n ,p ),Y ~B (n ,q )，且p =q =
12
, 从而有 ()()4
n
D X npq D Y ==
= 所以 0()()()2()()XY D X Y D X D Y D X D Y ρ=+=++
2,24
XY n n
ρ=
+ 故XY ρ= 1.
34.设随机变量X 和Y 的联合概率分布为
1 0 1
0 1
试求X 和Y 的相关系数ρ.
【解】由已知知E (X )=,E (Y )=，而XY 的概率分布为
YX 1 0 1 P
所以E （XY ）=
+=
Cov(X ,Y )=E (XY )E (X )·E (Y )=×=0
从而 XY ρ=0
35.对于任意两事件A 和B ，0<P (A )<1，0<P (B )<1,则称
Y X
ρ=
())
()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证：
（1） 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1.
【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P (AB )
P (A )·P (B )=0.
而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为
1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生; 1,,
0,B Y B ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生.
由条件知，X 和Y 都服从0
1分布，即
01~1()()X P A P A ⎧⎨
-⎩ 0
1~1()()
Y P B P B ⎧⎨-⎩ 从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ),
D (X )=P (A )·P (A ),D (Y )=P (B )·P (B ),
Cov(X ,Y )=P (AB )
P (A )·P (B )
所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为
f X (x )=⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-.,
0,20,4
1
,01,21
其他x x
令Y =X 2
，F （x ,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求： (1) Y 的概率密度f Y (y )； (2) Cov(X ,Y );
(3)1
(,4)2
F -. 解： (1) Y 的分布函数为
2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.
当y ≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =； 当0＜y ＜1时，
(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=
，
()Y f y =
；
当1≤y <4时，
1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤
=
()Y f y =
；
当y ≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =. 故Y 的概率密度为
1,()04,0,.
Y y f y y <<=≤<⎪⎩其他 (2) 0210111
()()d d d 244
+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,
02222
210115()()()d d d )246
+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,
0223
3310117()()()d d d 248
+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,
故 Cov(X,Y ) =2
()()()3
E XY E X E Y =⋅-.
(3) 2
111(,4){,4}{,4}222
F P X Y P X X -=≤-≤=≤-≤
11
{,22}{2}22
P X X P X =≤--≤≤=-≤≤-
11
{1}24
P X =-≤≤-=.
37. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,求P{X=E(X 2)}.
解：因为其分布律为P{x=k}=1
!
e k -,k=0,1,2,…,
12211011121111()!(1)!(1)!11(2)!(1)!() 2.k k k k k e k k E X k e e k k k e k k e e e -∞∞∞--===∞∞-==--+===--⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭
=+=∑∑∑∑∑所以
211{()}{2}
.2!2
P x E X P X e e --=====所以。