相似三角形-等积式-比例式工作单
相似三角形-等积式-比例式工作单讲解学习
MH F D CA 相似三角形的判定——等积式、比例式证明技巧导学单一、 预备知识：1、“双垂直”指：“Rt △ABC 中，∠BCA=900，CD ⊥AB 于D ”，结论： （1）△ADC ∽△CDB ∽△ACB （2）由△ADC ∽△CDB 得CD 2=AD ·BD （3）由△ADC ∽△ACB 得AC 2=AD ·AB （4）由△CDB ∽△ACB 得BC 2=BD ·AB（5）由面积得AC ·BC=AB ·CD （6）勾股定理 …… 二、等积式、比例式证明的一般技巧相关题：如图，M 是平行四边形ABCD 的对角线BD 上的一点，射线AM 交BC 于F,交DC 的延长线于点H 。
求证：AM 2=M F ·MH思路：根据基本图形寻找“中间比” （一）遇到等积式（或比例式）时，直接利用“左看、右看、上看、下看”，看是否能找到相似三角形。
1、已知：如图，△ABC 中，DA 平分∠BAC=,CD=CE 。
求证：AB ·AE=AC ·AD 。
策略1：先把等积式转化为比例式；再观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形；最后找这两个三角形相似所需的条件.AED C B（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似。
如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。
2．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB 的延长线于F。
求证：。
策略2：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果.（三）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，也没有等线段代换或等比代换.3、如图，⊿ABC中,AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB交BP延长线于F,求证：BP2=PE·PF.F策略3：若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，也没有等线段代换或等比代换.则需要添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。
沪教版初三数学相似三角形的判定教学计划进度表-
沪教版初三数学相似三角形的判定教学计划进度表如果要想做出高效、实效，务必先从自身的工作计划开始。
有了计划，才不致于使自己思想迷茫。
下文为您准备了初三数学相似三角形的判定教学计划。
一、教材分析：在前面，学生已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的变换。
全等是相似的一种特殊情况，从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章研究的问题实际上是在前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。
在后面，学生还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识。
在物理中，学习力学、光学等，也要用到相似的知识。
因此这些内容也是今后学习所必须德文基础知识。
另外，在实际生活中的建筑设计、测量、绘图等许多方面，也都要用到相似的有关知识。
因此这一章内容对于学生今后从事各种实际工作也具有重要作用。
二、学情分析学生已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的变换。
“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。
“相似”也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定的比例放大或缩小得到，这种变换是相似变换。
当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
学生对相似三角形的学习应该是比较轻松的。
教学目标：根据学生已有的认知基础和教材所处的地位和作用，确定本节课的教学目标为：1、知识技能掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2、数学思考渗透数学中普遍存在着相互联系、相互转化，使学生感悟类比的数学方法;经历探索两个三角形相似条件的过程，体验画图操作、观察猜想、分析归纳结论的过程;在定理论证中，体会转化思想的应用。
3、解决问题会运用“两个角对应相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。
相似三角形专题 巧用“三点定型法”证明相似问题中的比例式与等积式
相似三角形专题
——巧用“三点定型法”证明相似问题中的比例式与等积式
（配套练习）
1、如图，∠ACB=90°，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，请证明AE
AB AF AC =。
2、如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，EF ⊥AE . 求证：2AE AD AF =.
3、如图，在正方形ABCD 中，F 是边BC 上一点（点F 与点B 、点C 均不重合），AE ⊥AF ，AE 交CD 的延长线于点E ，连接EF 交AD 于点G ．求证：BF •FC=DG •EC ；
4、已知；在Rt △ABC 中，∠A=900，四边形DEFG 为正方形。
求证：EF 2
=BE •FC
5、已知；AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 与BC 的延长线交于F 。
求证：DF 2=BF •CF
6、已知：在ABC ∆中，D 、E 分别在AB 、AC 上，BC DE //，BE 、CD 相交于点O ，AO 与DE 、BC 分别交于点N 、M 。
求证：AN ON AM OM
=。
相似三角形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)
相似三角形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)XXX∠XXX，∴△AEB∽△CEB，∴AE/AC＝EB/EC.又∵△ADB∽△ACB，∴AD/AC＝DB/BC.∴AE/AD＝EB/DB，∴AE/AC＝EB/EC＝EB/(EB+DB)。
ACADAE＝AC·EB/(EB+DB)＝AC·EB/AB.又∵△ABE∽△CDE，∴EB/DE＝AB/CD，∴EB＝AB·DE/CD.∴AE＝AC·AB·DE/(AB·DE+CD·EB)＝AC·AB·DE/(AB·DE+CD·AB·DE/CD)＝AC·AB·DE/(AB+DB)＝AC·DE/AD.又∵△ADE∽△ACB，∴DE/AC＝AD/AB，∴DE＝AC·AD/AB.∴AE＝AC·DE/AD＝AC·AC·AD/(AB·AD)＝AC2/AB，∴AE/AC＝AC/AB＝AC/AD。
AE/AC＝AD/AC，即AE/AC＝AE/AD-∵AC=AD，∴AE/AC＝AE/AE-DE，∴AE/AC＝DE/AE，∴AE2＝AC·DE，∴AE/AC＝DE/AE＝AE2/AC·AE＝AE/AD，即AE＝AC·AD/AB＝AC2/AB。
XXX，∴＝.1.由于文章中没有明显的格式错误，直接删除明显有问题的段落。
2.将原文中的符号改为中文，重新表述如下：已知在三角形ABE和ACB中，∠BAE=∠CAB，因此△ABE∽△ACB。
根据相似三角形的性质，可以得到AE/AB=AC/AE，所以AE²=AB×AC。
又因为AB=AD，所以AE²=AD×AC。
因此，DE²=AE²-BE²=AD×AC-BE²=BE×CE。
相似三角形复习-比例式、等积式的几种常见证明方法 PPT课件
2、有两角对应相等的两个三角形相似
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ABC相似的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
E
B
C
D
例4提高. 如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，
直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .
求证：BD·CE=CD·BF
A
方法一： 过点C作CG∥AB,交DF于G
则△DCG∽ △DBF
故
CD BD
=
CG BF
再证CG=CE 即可
F E G
B
C
D
例4提高.如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，
∠C=∠C' =90o
C'
A C = AB A'C' A' B '
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
三角形相似的判定还有什 么方法？
显然还有传递性和定义法。 C
B
C
在这一个图形中,有两个
垂直,有__三__对相似,有___
对四互余的角,有_____五组对
应成比例的六条线段.
A
D
B
AC2=AD·AB
3、当无法用三角形相似来证明线段成比例 时，可试着用引平行线的方法。
A
B
D
E
C
如何确定相似三角形来证比例式或等积式
如何确定相似三角形来证比例式或等积式同学们在证明三角形中线段的比例式或等积式时，常不知道通过证明哪两个三角形相似可得。
通过我的教学体验可得到一基本方法：先找出与比例式线段有关的两个三角形，再证其相似。
怎样找出与比例式或等积式有关的两个相似三角形呢？常见的规律是：在要证的比例式（等积式可转为比例式）中，把表示第一、三两项的线段端点的三个不同字母为一个三角形的三个顶点，而把表示第二、四两项线段端点的三个不同字母为另一个三角形的三个顶点，那么，这两个三角形就是要证的两个相似三角形。
现举例说明如下。
一、当第一、三两项，第二、四两项中的两条线段上的三个不同字母能直接构成三角形时。
例1 在ABC 中，AD 、BE 分别是边BC 、CA 上的高，如图1。
求证：AD ACBE BC=。
分析：如图1，要证ACD A D AC BCE B E BC →⎛⎫= ⎪→⎝⎭。
为此，只要证ACD ∽BCE ，即可。
证明：如图1，在ACD 和BCE 中，9090AD BC ADC BE AC BEC C C⎫⊥⇒∠=⎪⊥⇒∠=⇒⎬⎪∠=∠⎭ACD ∽BCE ⇒AD AC BE BC =。
二、当第一、三两项，第二、四两项中的两条线段上的三个（或四个）不同字母不能直接构成三角形时。
例2 如图2，Rt ABC 中90C ∠=，CD AB ⊥，垂足为D ，F 是AC 的中点，FD 交CB 的延长线于E 。
求证：BE BCDE AC=。
分析：如图2，要证B C E B E BC D E AC A C D E →⎛⎫= ⎪→⎝⎭、、三点一线、、、四点构不成三角形成立，显然不能直接证两个三角形相似。
因而可交换两内项DE 、BC ，得BED B E D E ABC BC AC →⎛⎫= ⎪→⎝⎭，显然BED 与ABC 不相似。
当出现以上情况时，应根据已知条件或图形性质，把比例中的某一比（或一线段）用它图 1DECBA图 2321FD EC B A的等量来代替。
人教九年级下册数学-两边成比例且夹角相等的两个三角形相似教案与教学反思
27.2.1 相似三角形的判定杭信一中何逸冬第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【类型一】直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB∶AB的值，再计算出EB∶BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE.证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝BC2＋AC2＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 添加条件使三角形相似 如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为________时，△ADP 和△ABC 相似．解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP AB ＝AD AC ，∴AP 12＝68，解得AP ＝9.当△ADP ∽△ABC 时，AD AB ＝AP AC ，∴612＝AP 8，解得AP ＝4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .解析：先证明△ADC ∽△CDB 可得AD CD ＝AC BC，再结合条件明△FDC ∽△FAD ，可得AD CD ＝DF CF，则可证得结论． 证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，且∠ADC ＝∠CDB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴错误!＝错误!未定义书签。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形证明技巧(整理)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（相似三角形证明技巧(整理)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为相似三角形证明技巧(整理)的全部内容。
12相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似三角形 （1)三角形相似的条件:① ;② ；③ 。
二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路:判定两个三角形相似思路：1)先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等,且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例,两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2b ）己知两边对应c)己知一个a)已知一对3找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
相似三角形分类整理(超全)
第一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c,A D aB E bC F c可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD ECAE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝dc，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果dcb a =，那么ad=bc 。
如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么dc b a =。
②合比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a ±=±。
图1ABCD E图2ABCDE图3ABCD③等比性质：如果d c b a ==∙∙∙=n m (b+d+∙∙∙+n ≠0)，那么ba n db mc a =+∙∙∙+++∙∙∙++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.典例剖析例1：① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km.② 若b a =32 则b b a +=__________. ③ 若 b a b a -+22=59则a ：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法(修改)
相似三角形的判定方法
⑴平行于三角形一边的直线和
其他两边相交，所构成的三角
形与原三角形相似.
B
A
E
E
D
C
⑵两角分别相等的两个三角形 相似.
2.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图 中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC 相似 的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
相似三角形的判定方法
C．
D．
⑶两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
⑷三边成比例的两个三角形相似.
3．在△ABC 和△A1B1C1 中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列
条件不能判定两个三角形相似的是( D )
AB AC
C1
A．∠B＝∠B1
B.A1B1＝A1C1
C
AB BC C.A1B1＝B1C1
AB AC D.B1C1＝A1C1
B
A
A1
B1
相似三角形的判定方法
⑸斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
例3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， D为弧AC的中点，DE⊥AB，垂足为E，连 接AC,AD,BD，弦AC、BD交于点F．
(1)求证：△ADF∽△BDA； (2)求证：AE⋅AB=DF⋅DB
★证明等积式时，如果不能 进行等线段替换，还可以 转化一个乘积.
例4.如图，点E是▱ABCD的边CD延长线 上的一点，连接BE交AC于点O,交 AD于点F. 求证：OB2=OF·OE.
O
★证明等积式时，如果不能转化 一个乘积，也可以转化一个比.
课堂小结 返故悟新
证明等积式时，先将等积式改写成比 例式，然后找相似三角形；如果找不到相 似三角形，可以找等线段；等积或等比转 化.
三角形相似---上传版
相似三角形相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．一、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．如图：AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：BD ABDC AC=． 321EDCA B证法一：过C 作CE AD ∥，交BA 的延长线于E ． ∴1E ∠=∠，23∠=∠． ∵12∠=∠，∴3E ∠=∠．∴AC AE =．∵AD CE ∥，∴BD BA BADC BE AC==． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型．BA CDE12证法二；过B 作AC 的平行线，交AD 的延长线于E ． ∴12E ∠=∠=∠，∴AB BE =．∵BE AC ∥，∴BD BE ABDC AC AC==． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型．二、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：图1：“山字”型H DC B A如图：1212ABCACDBC AHSBC S CD CD AH ⋅⋅==⋅⋅△△． 图2：“田字”型G HODCBA如图1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△． 图3：“燕尾”型CDEB A如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△．三、相似证明中的基本模型I H G FED CB AGF EDC BAEDCB A ED C BAEFDC BA F ED C BAOD C BAODC BAHE DCBAE DCBAEDCBAODCBAD C BD BA CAEDCB AD C B AG FEDC BAGFEDC BA G FE DCB ADEFCBAH PMNF EDCBAGHG FEDC BAEF DCBAFEDCBA与三角形有关的相似问题【例1】 如图，在ABC △中，AC AB ，点D 在AC 边上，若在增加一个条件就能使ABC ACB △∽△，则这个条件可以是 ．CDBA【例2】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA【例3】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【例4】 直线DE 与ABC △的AB 边相交于点D ，与AC 边相交于点E ，下列条件：①DE BC ∥；②AED B ∠=∠；③AE AC AD AB ⋅=⋅；④AE EDAC BC=中，能使ADE △与ABC △相似的条件有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【例5】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB = ．PCBA【例6】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【例7】 如图，已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BC CD =，AD 与CE 相交于F ，则A F E FF C F D+的值为（ ）A DEFCBA.52 B.1 C.32D.2 【例8】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PED CBA【例9】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使A D A E =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE=PEDCBA【例10】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .求证：PM PN PR PS ⋅=⋅lSR PNMO DC BA【例11】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，求证：1AD AEDC EB+=PNME D CBA与平行四边形有关的相似问题【例12】 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ．EFGDC AB【例13】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.DOECB A【例14】 如图，ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值．OFE DCBA【例15】 如图：矩形ABCD 的面积是36，在AB AD ，边上分别取点E F ，，使得3AE EB =，2DF AF =，且DE 与CF 的交点为点O ，求FOD ∆的面积。
相似三角形详细讲义(最新整理)
用数学语言表述是：
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
MC
，
AC，ADE＝∠DE于点5，求：；
ADE 与△
3:2=AD 相交于点，若BD O COD ∆接矩形的一边在斜边上，且矩形的DEFG
FC
2
cm
10=DEFG S 矩形3和4，它的内接正方形有情况中正方形的大小。
AC和BC的延长线交于
的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的
7m
A．1.25m B．10m C．20m D．8m
（2008•金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）A．6米B．8米C．18米D．24米
课堂练习
练习题
1、如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.
3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3,则BM=______.
5
4.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为
2105
,AB=8,AD=6,EF垂直平分DBC,BC=,S。
相似三角形的判定及有关性质复习 课件
如图 1-3，AD，CF 是△ABC 的两条高线，在 AB 上取一点 P，使 AP＝AD，再从 P 点引 BC 的平行线与 AC 交于点 Q.
求证：PQ＝CF. 【规范解答】 ∵AD，CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB＝∠BFC.又∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBF，∴ACDF＝BACB.
图 1-7 【规范解答】 ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. 又∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB.
∴BBDE＝BACB，ED∽△BCA.
∴SS△△BBECDA＝DACE22＝
2 18.
又∵DE＝2 2，∴AC＝6 2，
∴点 B 到 AC 的距离＝118 ＝3 2. 2AC
图 1-3
又∵PQ∥BC， ∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠ACB， ∴△APQ∽△ABC. ∴PBQC＝AAPB，即PAQP＝BACB， ∴ACDF＝PAQP. 又∵AP＝AD，∴PQ＝CF.
射影定理 射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边 之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特 别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．
如图 1-1，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BC 边的垂直平分线 EM 和 AB，CA 的延长线分别交于 D，E，连接 AM.
求证：AM2＝DM·EM.
图 1-1
【规范解答】 ∵∠BAC＝90°，
M 是 BC 的中点，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠C.
∵EM⊥BC， ∴∠E＋∠C＝90°. 又∵∠BAM＋∠MAC＝90°， ∴∠E＝∠BAM. ∵∠EMA＝∠AMD， ∴△AMD∽△EMA， ∴DAMM＝EAMM， ∴AM2＝DM·EM.
相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法
图3 例3如图3，△ABC中，DE∥BC,BE与CD交于点O， AO与DE、BC分别交于点N、M，试说明：. 利用等
比式代 换
AN AD DE AM AB BC
AN ON AM OM
图3
ON OE DE OM OB BC
例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900， AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F
A
BDEຫໍສະໝຸດ C如上图, ∠BAC=120°, △ADE是 等边三角形,小丽发现图中有些线 段是其他两条线段的比例中项,你 知道小丽说的是哪些线段吗? 它们 分别是哪些线段的比例中项吗?
比例式得：
，由等式左边得
到△CDF，由等式右边得到△EDC，
这样只要证明这两个三角形相似就
可以得到要证的等积式了。因为
∠CDE是公共角，只需证明
∠DCE=∠F就可证明两个三角形相
似。
例2如图2，在△ABC中，AB=AC,直线DF与AB交于D，与
BC交于E，与AC的延长线交于F.图2 试说明：. DE EF
求证：
。
分 析：比例式左边AB，AC 在△ABC中，右边DF、AF在 △ADF中，这两个三角形不相 似，因此本题需经过中间比进 行代换。通过证明两套三角形 分别相似证得结论。
“双垂直”指：
“Rt△ABC中，
∠BCA=900，
CD⊥AB于D”，（如
图）在这样的条件下
有下列结论：
A
C
D
B
（1）△ADC∽△CDB∽△ACB （2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD （3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB （4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB （5）由面积得AC·BC=AB·CD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。
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M
H
F
D
C
B
A
相似三角形的判定——等积式、比例式证明技巧导学单
一、预备知识:
１、“双垂直”指:“Ｒt△ABC中,∠BCA=900，CD⊥AＢ于D”，
结论: (1)△AＤC∽△ＣDＢ∽△AＣB （２)由△ADC∽△ＣDＢ得CD2=AD·BD （3)由△ＡDC∽△ＡCＢ得AC2=AD·ＡB (4)由△CDB∽△ACB得BC２=BD·AB
（5）由面积得ＡＣ·BC=ＡＢ·CD （６)勾股定理……
二、等积式、比例式证明的一般技巧
相关题：如图，M是平行四边形ABCＤ的对角线ＢD上的一点，射线AM 交BC于F,交DC的延长线于点H。
求证：AM２=MＦ·MH
思路:根据基本图形寻找“中间比”
(一)遇到等积式(或比例式)时,直接利用“左看、右看、上看、下看”,看是否能找到相似三角形。
1、已知:如图,△ABＣ中,DA平分∠BＡＣ＝,CD=CE。
求证：ＡB·AＥ＝AＣ·AＤ。
策略1:先把等积式转化为比例式;再观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形;最后找这两个三角形相似所需的条件.
(二)若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似。
如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。
2.如图,已知:在△ＡBC中，∠BAＣ＝９00，ＡＤ⊥ＢＣ,E是AＣ的中点,ED交AB的延长线于Ｆ。
求证: 。
A
E
D
C
B
F
策略2：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似,可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路,柳暗花明又一村”的效果．
（三)若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，也没有等线段代换或等比代换.
3、如图,⊿ＡBC 中,AB ＝ＡC ，ＡD 是中线，P 是AD 上一点,过Ｃ作ＣF ∥AB 交ＢＰ延长线于F,求证:ＢP 2=ＰＥ·PF.
若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角不相似，也没有等线段代换或等比代换.则需要添加适当的辅助。