索杆张力结构基本理论综述

索杆张力结构的基本理论综述

夏巨伟

(浙江大学空间结构研究中心)

摘要：对应索杆张力结构的预张力加工、施工和使用状态，此类结构的分析设计主要落实到零状态、初始态和荷载态三个阶段。零状态为结构不受预张力作用时的平衡形态，初始态为结构在自重和预张力作用下的平衡状态，而荷载态则为结构在初始态的基础上承受其他外荷载的受力状态。本文针对这三个状态对索杆张力结构的基本理论进行综述。关键词：索杆张力结构；初始态分析；荷载态分析；零状态分析；找形；找力；平衡矩阵理论；

1.1初始态分析理论

从索杆张力结构的设计过程看，结构的初始态分析是整个设计过程的起点，是荷载态和零状态(施工成形态)分析的基本依据。初始态分析主要以下几个方面内容：(1) 体系的静动特性分析，即考察体系是否为机构和体系是否能维持预应力。(2) 预应力的可行性分析，即考察体系中维持的预应力是否能够刚化机构。(3) 初始形态的稳定性，考察体系是否能够维持初始平衡形状。(4) 找形分析，即确定初始态的几何。

Timosheko和Young[1]指出决定铰接杆系结构静动特性的两个重要参数s(自应力模态数)和m0(机构数或独立机构位移模态数)与其平衡矩阵A的秩r有关。若确定了平衡矩阵A的秩r，则s和m0可以分别表示为

s=b-r(1.1)

m=m-r(1.2)

式中，m为结构的自由度数，b为结构的杆件数。文献根据s、m0的取值情况将铰接杆件体系分成了静定(s=0,m0=0)、静定动不定(s=0,m0>0)、超静定(s>0,m0=0)、静不定动不定(s>0,m0>0)四类，通常情况下索杆张力结构属于第四类。

Pellegrino和Calladine将矩阵的奇异值分解(SVD)技术和矩阵空间的解析相结合，给出了一个分析铰接杆系结构静动特性的方法[2]。该方法不仅能够有效地得到结构的静动特性，还能将许多具有物理意义的结构属性揭示出来。铰接杆件体系的平衡方程和协调方程可以写作为

At p(1.3)

=Bd e (1.4)

式中，

A (m ×b )为结构的平衡矩阵，t (b ×1)为杆件内力向量，p (m ×1)为节点外荷载向量，

B (b ×m )为结构的协调矩阵，d (m ×1)为节点位移向量，e (b ×1)为杆件伸缩量向量。根据虚功原理容易证明A=B T ，同时也容易观察出平衡矩阵A 实际建立了杆件空间(R b )和自由度空间(R m )之间的联系，也即A 为R b 和R m 间的线性算子。

对矩阵A 进行奇异值分解，则

[][]T T =,,rr r m r r b r --⎡⎤⎢⎥⎣⎦Σ0A =U ΣW U U W W 00 (1.5) 式中，[],r m r -=U U U (m ×m )为左奇异矩阵，其中[]1,,r r =U u u ，[]1,,m r r m -+=U u u 且()1,2,,i i m =u 为左奇异向量。[]1=,,,,i b W w w w (b ×b )为右奇异矩阵，其中[]1,,r r =W w w ，[]1,,b r r b -+=W w w ，()1,2,,i i b =w 为右奇异向量。()m b ⨯Σ的前r 个主对角元素()1,,ii i r σ= 为正值，且[]11diag ,,rr rr σσ=Σ ，而其余元素均为零。U 和W 均为正交矩阵。

将式(1.5)左右两边同时乘以W 可得

r r rr b r -=⎧⎨=⎩AW U ΣAW 0 (1.6)

将式(1.5)左右两边同时取转置并乘以U 可得

T T T r r rr m r -⎧=⎨=⎩A U W ΣA U 0 (1.7) 以上两式给出了平衡矩阵A 的四个重要的子空间，其中r W 和b r -W 分别为其行空间和零空间，而r U 和b r -U 分别为其列空间和左零空间。分别对比式(1.3)和式(1.6)及式(1.4)和式(1.7)易知，位于r W 子空间的杆件内力向量形成的节点外荷载能被结构平衡，位于b r -W 子空间中的杆件内力向量不产生节点外荷载，b r -W 中向量即为通常所讲的自应力模态。r U 子空间向量表示的位移模式下杆件能产生与之相协调的变形，而m r -U 子空间向量表示的位移模式下杆件不产生任何变形，m r -U 中向量即所谓的独立机构位移模态。

根据平衡矩阵理论，对于给定了初始态几何的索杆张力结构，其初始态预张力0t 为自应力模态的线性组合，可由下式表示

01122b r s r r s b ααα-++=+++t =W αw w w (1.8)

式中，[]T 12,,,s s ααα=α (s ×1)为自应力模态组合因子。理论上讲s α向量中元素可为任意实数，但索杆张力结构中索单元只能承受拉力，所以选择这些常数时一方面必须保证索单元受拉。另外，得到的初始态预张力还必须能够使得可动方向“刚化”。这就是通常所讲的“可行预应力”问题。Calladine 和Pellegrino 在结构静动分析的基础上提出了一个判定预张力能否使机构“刚化”的乘积力准则[3]，详见下式

()T 00m r ->⎡⎤⎣⎦βG t U β (1.9) 式中，()0G t 为结构在机构位移下预张力产生的节点不平衡力向量，即所谓的乘积力，它与结构预张力和独立结构位移模态有关，β(m 0×1)为独立机构位移模态组合因子向量。乘积力准则具有明确的物理意义，其表示若初始平衡构型下预张力由于体系发生任意机构位移而产生的节点不平衡力具有使体系返回初始构型的能力，则预张力能够“刚化”机构位移。

显然，乘积力准则中仅包含机构位移项，也即其仅给出了预张力能够强化机构位移的条件，而结构位移包含机构位移和变形位移两部分，因此乘积力准则并不能作为结构稳定性的判据，而只是结构稳定的必要条件。文献[4, 5]基于能量原理指出势能的二阶变分是判断结构稳定性的一般条件，且其与切线刚度矩阵的正定性等价，文献中还给出了乘积力准则的严格证明。文献[6]进一步指出切线刚度矩阵的最小特征值min λ可作为判别结构稳定的参数。若min 0λ>，则结构处于稳定平衡状态；若min 0λ=，则结构处于临界平衡状态；若min 0λ<，则结构处于不稳定平衡状态。值得提及的是，对于张拉整体结构目前一些学者热衷于研究结构的不依赖于预张力水平和材料属性的超稳定条件(super stable conditon)[7-10]。

一般情况下，索杆张力结构的外形是综合建筑功能、建筑外形、荷载及边界条件等多重因素确定的。然而，理论上还存在仅已知结构的拓扑来求解结构几何(外形)的问题，即所谓的“找形”分析(Form Finding)。实际工程中“找形”分析的主要目的是为建筑设计方案提供一个合理性的参考依据。目前常用的“找形”方法有力密度法、动力松弛法和非线性有限元法。力密度法(Force Density Method)由Linkwitz 和Schek 于1971年首先提出，最早被用于索网结构找形分析，其基本原理为对结构的每个节点建立静力平衡方程，从而形成与节点坐标相关的线性方程组，通过选择合适的力密度值求解方程组得到所需的节点空间坐标，进而可得所欲分析结构的几何外形及单元内力。这种方法将几何非线性问题转化为线性方程组的求解问题，避免了初始坐标的设定和非线性系统的收敛