高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
巧用伸缩变换解决椭圆问题
巧用伸缩变换解决椭圆问题
单云涛
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】伸缩变换是高中数学课程中新增内容,《普通高中数学课程标准》要求：＂了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况＂.在伸缩变换下,平面
图形要发生相应的变化.如圆在伸缩变换下可变成椭圆,而椭圆在伸缩变换下又可变
成圆.圆是我们相当熟悉的图形,它的许多性质的推导和证明都比较容易,在圆中研究图形的某种性质然后再还原到椭圆中,从而得到椭圆的相应性质,这往往要比直接在
椭圆中进行计算和证明简单得多.
【总页数】1页(P18-18)
【作者】单云涛
【作者单位】河南省鹿邑县第三高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.巧用伸缩变换妙解椭圆问题
2.巧用伸缩变换解决椭圆问题
3.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用
4.巧用伸缩变换妙解椭圆问题
5.例谈
伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
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巧用伸缩变换 妙解椭圆试题
巧用伸缩变换妙解椭圆试题罗文军1刘娟娟2（1．甘肃省秦安县第二中学741600；2．甘肃省秦安县郭嘉镇槐川中学741609）摘要：本文中给出了一些伸缩变换的性质，运用伸缩变换的性质解一些与椭圆有关的圆锥曲线试题，以期达到对中学生学习伸缩变换起到抛砖引玉的作用．有助于打破思维定势和机械的思维模式、开阔学生的学习视野、提高学生思维的灵活性、提高学生的综合思维能力和解题能力，有利于提升学生的数学核心素养．关键词：伸缩变换；椭圆；核心素养中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008－0333（2020）10－0014－03收稿日期：2020－01－05作者简介：罗文军（1986．1－），男，甘肃省秦安人，本科，中学二级教师，从事高中数学教学研究．刘娟娟（1988．1－），女，甘肃省秦安人，从事数学教学研究．人教A 版《选修4－4坐标系与参数方程》课本第7页中给出了平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义：设点P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x'=λ·x （λ＞0），y'=μ·y （μ＞0）{的作用下，点P （x ，y ）对应到点P'（x'，y'），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．以下，先给出一些伸缩变换的性质，再运用伸缩变换的性质解一些与椭圆有关的圆锥曲线试题，以期达到对中学生学习伸缩变换起到抛砖引玉的作用．伸缩变换具有以下性质：性质1在变换φ下，点与点的相对位置关系不变，点与曲线的相对位置关系不变，直线与曲线的相交、相切、相离的相对位置关系不变．性质2若直线l 变成直线l'，记直线l 和l'的斜率分别为k ，k'，则k'=μλk （当k 不存在时，k'也不存在）．性质3若直线l 上的两线段成比例，则它变成直线l'上的对应线段仍成比例．性质4在变化φ下，n 边形A 1A 2A 3…A n （n ≥3且n ∈N *）变为n 边形A'1A'2A'3…A'n （n ≥3且n ∈N *），原图形的重心G 变换后对应的G'为n 边形A'1A'2…A'n （n ≥3且n ∈N *）的重心，原图形的对称中心O 变换后对应的O'为n 边形A'1A'2…A'n （n ≥3且n ∈N *）的对称中心，变换前后图形的面积之比为S n 边形A A A …AS n 边形A'A'A'…A'=1λμ．题1（人教A 版选修4－4第28页例1）在椭圆x 29+y 24=1上求一点M ，使点M 到直线x +2y －10=0的距离最小，并求出最小距离．解作伸缩变换φ：x'=x 3，y'=y 2．椭圆x 29+y 24=1变为单位圆：x'2+y'2=1，直线l 方程x +2y －10=0变为直线l'：3x'+4y'－10=0，从而所求问题变为：在圆x'2+y'2=1上求一点M'到直线l'：3x'+4y'－10=0的距离最小，并求出最小距离．由平面几何知识可知，过圆x'2+y'2=1的圆心坐标原点作直线l'的垂线段，交该圆于点M'（x'，y'），点M'到垂足的距离为最小距离．由直线l'的垂线OM'：y'=43x'（x'≥0）和x'2+y'2=1相交，解方程组x'2+y'2=1，y'=43x'，{可得M'（35，45），则对应的椭圆上所求的点M （95，85），所求最小距离为d =|95+165－10|12+2槡2=槡5．评注课本中提供的解法是利用椭圆参数方程，再运用三角函数求解的，本解法通过伸缩变换，将问题化归为我们熟悉的求圆上的点直线的最小距离问题，令人耳目一新．题2（中学生标准学术能力诊断测试2018年2月—41—测试理科20）已知椭圆M ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右焦点为F ，与直线y =槡377相交于P ，Q 两点，若椭圆M 经过点（0，槡3）且PF ⊥QF．（1）求椭圆M 的方程；（2）O 为坐标原点，A 、B 、C 是椭圆M 上不同的三点，并且O 为△ABC 的重心，试求△ABC 的面积．解（1）由题设可得，b =槡3，则有x 2a 2+y 23=1．设F （c ，0），P （－x 0，槡377），则Q （x 0，槡377），PF → ·QF →=（c +x 0，－槡377）·（c －x 0，－槡377）=c 2－x 20+97=0．又因为x 20a 2+973=1，所以x 20=47a 2，所以c 2－47a 2+97=（a 2－3）－47a 2+97=0，解得a 2=4，b 2=3，所以椭圆M 的方程为x 24+y23=1．（2）在伸缩变换x'=x 2，y'=y 槡3 下，椭圆M ：x 24+y 23=1变为单位圆M'：x'2+y'2=1，椭圆M 的内接三角形△ABC 及重心O 对应圆M'的内接三角形△A'B'C'及重心．由于椭圆M 的内接△ABC 的重心与椭圆的中心坐标原点重合，因此圆M'的内接三角形△A'B'C'的重心与圆M'的圆心坐标原点重合，所以△A'B'C'是正三角形．设△A'B'C'的边长为m （m ＞0），由正弦定理可得，m =2Ｒsin 60ʎ=2ˑ1ˑ槡32=槡3，由三角形面积公式可得，S △A'B'C'=12m 2sin 60ʎ=12ˑ3ˑ槡32=槡334，由伸缩变换性质可得，S △ABC S△A'B'C'=槡23，所以S △ABC=槡23S △A'B'C'=92．评注本题第（2）问运用伸缩变换法求解，主要运用了伸缩变换的性质4，将椭圆的中心与内接三角形重心重合时，求内接三角形的面积问题化归为单位圆的内接正三角形面积问题，运算量小，思路新颖．题3（2019年重庆市高中数学联赛预赛试题）已知△ABC 为椭圆x 29+y 24=1的内接三角形，且AB 过点P （1，0），则△ABC 的面积的最大值为．解经过伸缩变换x'=x 3，y'=y 2{得△A'B'C'内接于单位圆x'2+y'2=1，A'B'过点P'（13，0），S △ABC =6S △A'B'C'．设坐标原点O'（0，0）距A'B'的距离为t ，则0≤t ≤13，|A'B'|=21－t 槡2，S △A'B'C'≤1－t 槡2·（1+t ）．当t =13时，S △A'B'C'有最大值为槡829，所以S △ABC 的最大值为槡1623．评注运用伸缩变换法，结合伸缩变换的性质，将椭圆的内接△ABC 的面积的最大值问题化归为单位圆的内接△A'B'C '的面积的最大值问题．题4（2019年烟台二模理科）已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a＞b ＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为槡43，椭圆的一个焦点为圆x 2+y 2－2x =0的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1k 2=－34时，△MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．解（1）由已知可得，2ab =槡43，c =1，又因为a 2－b 2=c 2=1，解得a =2，b =槡3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）在伸缩变换φ：x'=x 2，y'=y 槡3下，椭圆x 24+y 23=1变为单位圆：x'2+y'2=1，椭圆上的动点M ，N 在单位圆上对应点M'，N'，直线OM'，ON'的斜率分别为k'1，k'2，由伸缩变换性质可得，k'1=2槡3k 1，k'2=2槡3k 2，所以k'1k'2=43k 1k 2=－1，所以OM'⊥ON'，所以S △OM'N'=12|OM'||ON'|=12ˑ12=12，所以S OMN =槡23S △OM'N'=槡3，所以△MON 的面积为定值槡3．评注本题第（2）问运用了伸缩变换法，根据伸缩变换的性质，得出OM'与ON'垂直，容易得出△OM'N'的面积，从而得出△MON 的面积．题5（2018年高中数学联赛甘肃预赛）已知点P 为直线x +2y =4上一动点，过点P 作椭圆x 2+4y 2=4的两条切线，切点分别为A ，B ，当点P 运动时，直线AB 过定点的坐标是．解在伸缩变换φ：x'=x2，y'=y{下，椭圆x 2+4y 2=4变为—51—x'2+y'2=1，直线x +2y =4变为x'+y'－2=0，P （x 0，y 0）变为P'（x 0'，y'0），则x 0'+y'0－2=0，则y'0=－x 0'+2，A ，B 分别变为A'，B'．圆x'2+y'2=2的切点弦A'B'的方程x 0'x +y'0y =1，所以x 0'x +（－x 0'+2）y =1，即（x －y ）x 0'+（2y －1）=0，故x －y =0且2y －1=0，解得x =12，y =12，即直线A'B'过定点（12，12），所以直线AB 过定点（1，12）．评注本题运用伸缩变换法，将椭圆的切点弦问题化归为单位圆的切点弦过定点问题，从而得出直线AB 所过的定点坐标．题6（2017年全国高中数学联赛一试）在平面直角坐标xOy 中，椭圆C 的方程为x 29+y 210=1，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为．解在伸缩变换φ：x'=x 3，y'=y 槡10 下，椭圆C ：x 29+y 210=1变为单位圆：x'2+y'2=1，点F （0，1），A （3，0），P 在单位圆上分别对应F'（0，1槡10），A'（1，0），P'，且点P'是单位圆x'2+y'2=1上位于第一象限内的动点．由平面几何的知识，当OP'⊥A'F'时，四边形OA'P'F'的面积最大，最大值为S'=12|A'F'||OP'|=12ˑ1+110槡ˑ1=槡11020．由伸缩变换性质可得，四边形OAPF 的面积的最大值为S =λμS'=槡310ˑ槡11020=槡3112．评注运用伸缩变换法，将椭圆化为单位圆，再求出四边形OA'P'F'的最大面积，由伸缩变换性质，从而求出四边形OAPF 的最大面积．参考文献：［1］刘绍学．普通高中课程标准实验教科书`数学选修4－4（人教A 版）［M ］．北京：人民教育出版社，2007．［责任编辑：李璟］高中部分函数知识的解题分析杨婷（安徽省临泉第二中学236400）摘要：函数作为高考数学的基础内容，总是存在着一定的技巧性，综合性强，高考对学生掌握函数计算的要求高，对考生的函数知识点考查的也很细致．这也导致学生在解答这类题目时，频繁出错，难以拿到高分．因此，本文作了一些题目的分析，帮助同学们在学习阶段能注意学习函数的几个重点．关键词：高中数学；函数；方法分析中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008－0333（2020）10－0016－02收稿日期：2020－01－05作者简介：杨婷（1987．7－），女，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究．一、函数的求解定义域题型函数的定义域和值域是高考大纲中有所要求的，这部分的题目综合性比较强，一般都是与其他类型的题目相结合．所以，同学们需要掌握最基本的求解函数定义域和值域的方法，这样才能在其他题目中灵活运用，辅助解答大题．求下列函数的定义域：（1）f （x ）=x －槡1；（2）g （x ）=1/（x +1）．解答第一小题是因为当x －1≥0，即x ≥1时，x －槡1有意义；当x －1＜0，即x ＜1时，x －槡1没有意义，所以这个函数的定义域是｛x |x ≥1｝．第二小题是因为当x +1≠0，即x ≠－1时，分式有意义；当x +1=0，即x =1时，分式没有意义，所以这个函数的定义域是｛x |x ≠－1，且x ∈Ｒ｝．若A 是函数y =f （x ）的定义域，则对于A 中的每一个—61—。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
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利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。
利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题
２
４
３
变为圆ꎬ借助圆幂定理从几何角度便利解决ꎬ避免了代数
解法的繁杂计算. 同时ꎬ借助伸缩变换ꎬ还可以将前 ３ 个
例题向一般情形作推广.
相关练习
１. 直线 ｌ:ｘ － ２ｙ ＋ ４ ２ ＝ ０ 与椭圆 Ｃ:
在过点 Ｐ(２ꎬ１) 的直线 ｌꎬｌ 与椭圆 Ｃ 交于不同两点 ＡꎬＢꎬ
满足 ｜ ＰＡ ｜ ｜ ＰＢ ｜ ＝ ｜ ＰＭ ｜ ２ ? 若存在ꎬ求出直线 ｌ 的方程ꎻ
例 １ 已知椭圆 Ｅ:
２
ｘ
＋ ｙ２ ＝ １ꎬ设不过原点 Ｏ 且斜率
４
１
为 的直线 ｌ 与椭圆 Ｅ 交于不同的两点 ＡꎬＢꎬ线段 ＡＢ 的
２
中 点 为 Ｍꎬ 直 线 ＯＭ 与 椭 圆 Ｅ 交 于 Ｃꎬ Ｄꎬ 证 明:
｜ ＭＡ ｜ ｜ ＭＢ ｜ ＝ ｜ ＭＣ ｜ ｜ ＭＤ ｜ .
Ｘ ＝ ｘꎬ
证明 作伸缩变换
设圆 Ｃ′与 Ｘ 轴 的 另 一 交 点 为 Ｂ′ꎬ 由 于 ∠Ｂ′ Ｏ′ － ４ｋ ｜
４ｋ２ ＋ ３
１
ꎬ方程为
２
∠Ｂ′Ｑ′Ｒ′ ＝ ９０°ꎬ从而 Ｂ′ꎬＯ′ꎬＱ′ꎬＲ′四点共圆. 由圆幂定
ｙ＝
２ ｜ Ｏ′Ｐ′ ｜ ２ ꎬ其中 Ｒ 为圆 Ｃ′半径.
线与椭圆相切时的 ｜ ＰＴ ｜ ２ 问题ꎬ可借助伸缩变换ꎬ将椭圆
参考文献:
[１] 贺航飞ꎬ李宁. 借助伸缩变换解决椭圆中的一些
问题[ Ｊ] . 数学通讯( 上半月刊) ꎬ２０１８(１１) :１２ － １３ꎬ５６.
[ 责任编辑:李 璟]
１
１
１
１
１
ｋ ｋ ＝ － . 又 ｋ ＡＢ ＝ ꎬ则 ｋ ＯＭ ＝ ｋ ＣＤ ＝ － .
活用伸缩变换 巧解椭圆问题
巧用伸缩变换解决椭圆问题
弦 ， 是 椭 圆上 异 于 Ａ 、 的 任 一 点 ， ＡＭ 、 Ｍ 与 坐 标 轴 不 Ｍ Ｂ 且 Ｂ 平 行 ，Ａ 女Ⅵ 别 表示 直线 ＡＭ 、 Ｍ 的 斜 率 ， 矗Ｍ，Ｂ 分 Ｂ 则
（ ） ．
ｆ ： ． 三 ，
・Ｂ 矗Ｍ一
分 ：ｌ 析令 。
【 一 ，
ｏ ＋ ＹｚＹ一 １
詈 ・ 奄
＝ １ 而 ・ 一 ． －， 一 从
注 ： 伸 缩 变换 下 ， 在 线段 的 中 点是 不 变 的 ， 在 圆 中， 而 圆心
与 弦 中点 的 连 线 垂 直 于 弦．
１＿
中 学 生 效
理
例 ３ 若 Ａ、 ｃ是 椭 圆ｘ ｙＺ Ｂ、 ｚ １直线仍变成直线， ． 斜率为原 ｝． 来的 １“ ６ ０ 上 的 三 点 ， （＞ ＞ ） ２ 两 条 直 线 的平 行 性 不 变 ． 别 地 平 行 于 纵 轴 （ 在 纵 轴 ． 特 或 则 Ｓ ｎ 的 最 大 值是 △Ｂ ｃ 上 的 段 平 于 轴（ 纵 上） 度 原来 寺， ） 线 仍 行 纵 或在 轴 ， 为 的 平 长 ｆ 一 ， 三 ． 分 ：Ｉ 则 内 Ａ Ｂ 就 成了 位圆 析令 “ 椭圆 接 ＡＣ 变 单
的 方程 是
６
．
ｆ ｘ ， ．
分 ：ｌ 析令 “
则 圆 变 了 位 ｚ 一 ， 椭 就 成 单 圆， ， １ ＋。
注 ： 用在 伸 缩 变换 下切 线 仍 为切 线 的 性 质 ， 利 通过 圃的 切 线 方程 可快 速 地 求 出椭 圆 的切 线 方 程 ．
【 一 ，
生 变 化 ． 若 直 线 与 曲 线 相 交 变 换 后 它 们仍 相交 ． 如 以下 通 过 几 个 例 题 说 明利 用 伸 缩 变 换 解 决 椭 圆 问 题 的 简
巧用伸缩变换解决椭圆问题
ｆ ， ÷一 ， “
。
・
・
Ｉ ．于 在 种 缩 换 ，圆 变 一 是 这 伸 变 下椭 就 成 ｙ
，
． 州是 Ａ
．
了 单 位 圆 ｚ 十 Ｙ 一 ｌ 可 以 很 容 易 地 证 明 这 种 ， 伸缩变换 具有 如下 一些 常用 的性质 ：
２０ ０ ９年 第 ４期
分析 令 一 ， 一 ， ≠ 则椭 圆内接
△Ａ Ｃ 就变 成 了单 位 圆 Ｂ ＋ 一 １的 内 接
注 此 题若 用判别 式 ， 不仅 运算 繁琐 ， 还要 讨论 Ｂ的值． 似地可 以得 到 Ｌ与 Ｃ相切 、 类 相离 的
充 要 条 件 分 别 是 （Ａ） ＋ （ ） 一 Ｃ ， ａ ） ＋ ａ 。 （Ａ 。
的 ．
ａ
ｆ 一．， 三 丁
分 令 析 Ｉ
Ｉ 一ｙ’
则 段Ａ 就 成 线 Ｂ 变 了
３ ．点 分 线 段 的 比 不 变 ． 别 地 ， 段 的 中 点 特 线 变成对应 线段 的 中点． ４ ．三 角 形 仍 变 成 三 角 形 ， 积 为 原 来 的 ． 面
（Ｂ） ＜ （ ． ｂ
△ Ａ Ｂ Ｃ ， 圆 的 内 接 ｊ 角 形 以 内接 正 三 角 形 面 而
积 最 ， △ 的 大 为 ，而ｓ 为 大 故Ｓ ， 最 值 半 从 川
的最 大值是 ．
一
例 ６ 过 椭 圆 Ｃ： ＋ ＝ １“＞ ｂ ０ 的 （ ＞ ）
“ ０
长轴 两端 点 Ａ、 Ｂ分别 作 椭 圆的切 线 与椭 圆的任 注 在 伸缩 变换下 ， △ Ｓ Ｍ 一 ａ 利 Ｓ仙 △ ｂ，
用 圆 内 接 三 角 形 的 性 质 ， 巧 妙 地 解 决 这 个 可
圆的性质——椭圆问题伸缩变换
—
７ ０＝０上 的点 Ｐ作椭 圆５ ． － ， ４
‘
一
２
＝
ｌ的切 线 Ｐ Ｐ 切点 分 Ｍ、 Ⅳ，
７
２
．
２
别为 肘、 连结 ＭＮ． １ Ⅳ， （ ）当点 Ｐ 在直线 ｆ 运动 时 ， 明 ： 线 上 证 直 ＭＮ恒过定点 Ｑ；２ （ ）当 ＭＮ／ ／ｌ 时， 定点 Ｑ平分线段 ＭＮ．
涉及到指定 区间上 一元 二次不 等式 的恒成 立 问题 时 ， 应
根据“ 三个二 次”的辨证统一关 系 ， 二次 函数 图象的对称 轴 对
，
四、 结语
化为 ｙ ５ 。—了 代 入直 线 删 方 程 ， ０＝ ２ 得 。 ＋（ ５ 。 ． ２ ５ ０
，
当然 ， 我们这里不对伸缩变换作 进一 步深入 研究 ， 只是 它
一
高等几何 中的仿射 变换 的一种 特殊情 况 ， 有仿 射变 换 的共 既 性特征 ， 也有其 个性特点． 而在这里 的有 关 阐述 ， 体是用 以 主
点（ 其坐标与 ｍ无关 ） ．
，
…
…
…
…
下
．
２
．
ｊ
解 通 伸 变 ｛ ， 把 圆 析 过 缩 换 一 可 椭 等 ｝ Ｌ ３ 以 一
‘ ＾， ‘
过 直线 ｌ ｘ一 ： ５
１１
一７ ０＝０上的 ｐ．２ ＝１ ． ＋ ｘ 的切线
变换成圆 ＋ｙ ２＝９ 设 ＭＮ与 Ａ ． 曰交 于点 日（ ，） 由有关 圆 ｈＯ ， 的一个性质 ： 圆内接 四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ，Ｄ与 Ｂ Ｃ交 于点 Ｐ，Ｃ与 Ａ
解析
的 问题 ：
图３
系 中，知 圆 々 ＝ 的 顶 为 、， 点 已 椭 等＋ １ 左右 点 Ｂ右焦 为
巧用伸缩变换妙解椭圆问题
巧用伸缩变换妙解椭圆问题程涛;刘少平;邹鹏【摘要】通过伸缩变换将椭圆转化为单位圆,把直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系,借助圆丰富的几何性质来避开繁琐的代数运算,简化解题过程,从而实现椭圆问题圆解决.【期刊名称】《河北理科教学研究》【年(卷),期】2016(000)004【总页数】5页(P1-5)【关键词】伸缩变化;转化;内在联系;简化;性质【作者】程涛;刘少平;邹鹏【作者单位】湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中433000【正文语种】中文纵观近年各地高考试题中椭圆与直线相关问题，往往要将椭圆和直线方程联立、消元，然后运用根与系数关系、判别式、弦长公式等来求解，运算量大，耗时多，学生稍有差错就会出错，导致前功尽弃，这就引发了笔者的思考和关注，此类问题可否寻找合理的方法，来避开繁琐计算，达到简洁求解的目的，考虑到椭圆与圆的内在联系，联想选修内容中的伸缩变换，能否将椭圆与直线的问题转化为圆与直线的问题，借助圆的几何性质来处理呢？对于椭圆=1(a>b>0)经过进行伸缩变换，椭圆可化为单位圆x′2+y′2=1，该变换具有如下性质：2.1 直线Ax+By+C=0在伸缩变换作用下变为Aax′+Bby′+C=0，斜率为原来的倍.2.2 变换后共线三个点的二条线段的比值和变换前的比值一样.2.3 两相交(相切、相离)的曲线变换后仍然为两相交(相切、相离)的曲线，两平行直线变换后仍为平行直线.2.4 封闭图形在变换前的面积S与变换后的面积S′满足S.3.1椭圆化圆，利用垂径定理求解斜率问题例1 已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点且不平行坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)若l过点,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.(2015年全国高考题)证明：(1)作伸缩变换，则椭圆9x2+y2=m2变为圆(x′)2+(y′)2=1，如图1和2所示，由伸缩变换性质可知，，由垂径定理易知O′M′⊥A′B′，∴KO′M′·KA′B′=-1，即，∴KOM·KAB=-9为定值.(2)若四边形OAPB能为平行四边形，由伸缩变换性质可知，对应的四边形O′A′P′B′也为平行四边形，则M′为O′P′的中点，联想M′为AB中点，由垂径定理知：O′到A′B′距离，又直线l过,m)，那么l′则过(1，1)，设l′的斜率为k′，则其直线方程为，解得.∴直线l的斜率.∴有符合条件的直线l存在，其斜率为.评注：由伸缩变换将椭圆化成圆后，借助圆中垂径定理使问题简洁获解，避免了繁杂、冗长的运算，体现了高考“多考一点想，少考一点算”的思想.3.2 椭圆化圆，利用圆幂定理解决相关线段问题例2 如图3，已知椭圆=1(a>b>0)，过椭圆左顶点A(-a,0)的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证OP,AR成等比数列.(清华大学自主招生试题)证明：作伸缩变换,椭圆化成圆∥,∴,∴(xp,yp)=λ(-xA,yR),∴,∴.从而O′P′∥A′R′，要证成等比数列⟺|AQ|·|AR|=2|OP|2⟺⟺|xQ+a|·|xA|=2|xP|2⟺⟺|A′Q′|·|A′R′|=2|O′P′|2(*)设|O′R′|=S，由圆幂定理可得|Q′R′|·|A′R′|=(s+1)(s-1)=s2-1.又s2+12=|A′R′|2=(|A′Q′|+|Q′R′|)·|A′R′|=|A′Q′|·|A′R′|+|Q′R′|·|A′R′|=|A′Q′|·|A′R′|+s 2-1∴|A′Q′|·|A′R′|=2=2|O′P′|2即(*)式成立,∴成等比数列评注：把椭圆化成圆后，利用圆幂定理，可以揭示线段之间内在联系，简化了传统算法中联立方程求点的坐标和线段长的繁难运算.3.3 椭圆化圆，借助弦长公式求解例3 已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率.(2)如图5，AB是圆的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程.(2015年陕西高考题)解：(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0，则原点O到该直线的距离，由得，解得离心率.(2)由(1)知椭圆E的方程为，作伸缩变换后圆的方程为x′2+y′2=1，如图6所示，∵M(-2,1)为AB的中点，则为A′B′中点，在圆O′中，弦长又A′B′⊥O′M′，∴KA′B′·KO′M′=-1,KA′B′=1,∴.∴.又,∴解得：b2=3.故所求椭圆E的方程为.评注：通过椭圆化圆，借助圆的弦长公式，易求出|A′B′|表达式，再利用伸缩变化中坐标与斜率各自的变化关系，寻找两弦长之间关系，解题过程简单明了.3.4 椭圆化圆，借助直线与圆相切的性质求解例4 已知椭圆=1(其中a>b>0)的一个焦点为，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点p(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的2条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.(2014年广东高考题)解(略)(2)如图7和8，设点A、P、B在伸缩变换下对应点分别是为A′,P′,B′，则).故.直线P′A′,P′B′与圆0′相切，设过点P′的圆的切线方程为，即6kx-6y+3y0-2kx0=0，圆心距，即.由根与系数关系化简得，故点P的轨迹方程为x2+y2=13.评注：本题通过伸缩变换将直线与椭圆相切转化为直线与圆相切，借助圆心到切线的距离为半径来求解，巧妙避开解析几何中的联立消元.3.5 椭圆化圆，利用圆中角的关系求解例5 已知直线x-2y+2=0经过椭圆=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别相交于M，N两点.(1)求椭圆C的方程.(2)求线段MN的长度最小值.解：(1)易求椭圆(2)作伸缩变换，则椭圆变成单位圆C′：x′2+y′2=1，直线变成直线，若l′与x′轴交于C′，令∠C′B′N′=α(α为锐角)，则∠A′B′S′=α，而A′B′为圆直径，∴∠A′S′B′=90°，则∠A′M′C′=α于是评注：椭圆化圆后，借助圆中角的关系，使问题完美解决，几乎没有计算量.3.6 椭圆化圆，利用点在圆内的性质求解例6 已知椭圆+y2=1上两个不同的点A、B关于直线对称.(1)求实数m的取值范围.(2)求△AOB面积的最大值(o为坐标原点).(2015浙江高考题)解：作伸缩变换把椭圆化成单位圆x′2+y′2=1，直线化成.设l与AB交于H点，则H为AB中点，由伸缩变换性质易知H′为A′B′中点，∵l⊥AB,∴KAB·Kl=-1.则伸缩变换性质易知.∵,∴,又O′H′⊥A′B′,∴KO′H′·KA′B′=-1,∴设H′(s,t),则，又H′在l′上，.即,∴.又H在圆x′2+y′2=1内，∴s2+t2<1,即,解得或.(2)在单位圆中由三角形面积公式可得,当时，S△A′O′B′有最大值,即,此时即由(1)知符合题意,又，∴.评注：椭圆化圆后，H′为A′B′中点，由垂径定理可求得O′H′的斜率，进而确定点H′横纵坐标关系，根据点H′在圆内构建不等关系来求m的范围.同时椭圆化圆后，为求△A′O′B′面积最大值提供极大方便，从而使问题简捷获解.借助伸缩变换把隐藏在椭圆中的圆充分挖掘出来，利用圆丰富的平面几何性质解决问题，不仅使问题的解决过程大大简化，而且圆与椭圆的互化，可以让我们领略知识之间并不是孤立，促使我们在研究问题时用联系的观点来学习数学，把看似孤立的知识点统一起来，这对于我们构建知识网络，提升数学思维具有重要意义.。
伸缩变换解高考解析几何压轴题
龙源期刊网
伸缩变换解高考解析几何压轴题
作者：张宏斌
来源：《新课程·中学》2017年第08期
摘要：借助伸缩变换，将椭圆化为圆，利用圆的几何性质，避免繁难的代数运算，简化
椭圆问题的解题过程。
关键词：解析几何；伸缩变换；转化；圆的几何性质；简化
历年各地高考试题均将解析几何作为压轴题之一，着重考查有关椭圆的问题，学生往往被复杂的转化过程、艰难的运算过程所吓倒，望而却步，或是因解题过程中细微的失误而前功尽弃。
本文通过实例，利用伸缩变换将椭圆问题转化为圆的问题，借助圆的几何性质避开复杂的运算。
限于篇幅，仅举以上实例。
伸缩变换能解决几乎所有涉及椭圆的问题，过程简洁明了，不失为一条做解析几何压轴题的有效途径。
参考文献：
林国夫.用伸缩变换赏析2015年高考解析几何题[J].中学数学，2015（7）.
作者简介：张宏斌，大学本科学历，中学数学一级教师，从教17年，长期担任高三数学教学工作，擅长数理思维培养。
重要荣誉：本文收录到教育理论网。
利用伸缩变换求解有关椭圆的问题
作者： 刘丽霞
作者机构： 200231,上海中学
出版物刊名： 上海中学数学
年卷期： 2014年 第1期
摘要：在中学数学中,伸缩变换在“三角函数的图像变换”这部分重点作了介绍,在其他章节较少涉及.解析几何中,直线与圆的位置关系根据圆心到直线的距离与半径的大小关系作出判断,计算较为简单.而在判断直线与椭圆的位置关系时,往往是通过判别式来获得解决,这种方法使得计算量大幅增加,现在试将伸缩变换的方法引入其中,把椭圆变换为圆从而简化计算.。
伸缩变换下的椭圆
A Q
B
的斜率为-ax1/by1,由变换保持曲线的 相切关系不变得直线AQ和BQ为原椭 圆切线且弦AB斜率为
-(x1/a^2)/(y1/b^2)
A' Q'
B'
结论7 过点Q(x1,y1)的动直线l交椭圆于A、B两点， 则弦AB的中点M的轨迹是曲线
x(x a2
x1
)
y( y y1) b2
0
证明：在笛卡尔坐标系中，不共线的三点P1(x1,y1),
P2(x2,y2),P3(x3,y3)经过伸缩变换变换为不共线的三点
P1'(x1',y1'),P2'(x2',y2'),P3'(x3',y3'),于是
S P1P2 P3
1 2
x1 x2
y1 1
y2 1 的绝对值
(1)
x3 y3 1
1 x1' y1' 1
特别的，在平面 上选取直角坐标系后用方程
组
x y
ax' by'
,
ab
0
给出的变换叫做平面
的伸缩变
换。
从直观上看，伸缩变换就是分别在x轴和y轴两个
方向进行伸缩。下面依次从线、角、面三个角度来看
伸缩变换的性质。
线
• 伸缩变换将点映射到点，直线对应直线。(同素 性)。
• 点A、B、C在直线n上，伸缩变换后其对应点A'、 B'、C'在对应直线n'上。(结合性)
则原椭圆的弦中点轨迹为一条过
椭圆中心的斜率为-b^2/ka^2的直径
椭圆问题使用伸缩变换的条件
关，则可使用伸缩变换解题；否则，就不能使用．
例谈三角函数问题中隐含条件的挖掘
时英雄 安徽省合肥市第一中学（230601）
三角函数问题中经常遇到一些求值求角问题， 很多学生在解题的过程中没有仔细挖掘题目中隐含 的条件，没有避开命题设计的“陷阱”，加上三角函数 中常用的同角的平方关系，倍角关系到最后都要面 临着角或值的取舍问题，稍不注意最后就会导致出 现错解或增解，下面例析之．
之比”有关．所以，可以使用伸缩变换解题．
解 假设存在平行四边形 OPRQ（如图 2），椭圆
40
福建中学数学
2014 年第 10 期
C
:
x2 2
+
y2
= 1 经伸缩变换 T
=
⎛1 ⎜⎜⎝ 0
0⎞ 2 ⎟⎟⎠ 的作用后，变为
圆 C′ : x′2 + y′2 = 2 ．
根据伸缩变换性质可知：直线 l : y = kx + m 将变
可以使用伸缩变换．事实上，只有一小部分的题目
适用．那么，我们如何在“审题”之时，就知道伸缩变
换是否适用该题？
为此，我们需要从几个方面来认识“伸缩变换”：
①什么是伸缩变换；
②伸缩变换如何使得椭圆与圆相互转换；
③伸缩变换具有哪些性质；
④伸缩变换的使用条件．
1 什么是伸缩变换
1.1 定义
线性变换 f 将 R2 空间上的向量沿 x 轴拉伸(或
分析 本题的条件“ | AF2 | ， | AB | ， | BF2 | 成等差 数列”，其中线段 AF2 ， AB ， BF2 不共线、不平行， 所以，无法使用伸缩变换将椭圆转换为圆来解题．
通过上述的例题和伸缩变换的性质可知：若题
目的条件与所求的问题只与“位置关系”、“共线（平
伸缩变换之椭圆与圆
＝
｛ Ｌ ： 一 。 ＋ ｏ ｓ （ ｔ 为 参 数 ） ，
吼删 ’
＝
将 它 代 人 一 若 ＝ １ 得
ｆ ０ ｓ ｉ ｎ 。 ０ 一ｂ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 ０ ） ｔ ＋２ ａ ｂ ２ ｃ ｏ ｓ ０ ． ｔ ：０
Ｊ ＡＰ Ｉ
ａ
Ｉ Ｏ ＡＩ ． ’
注 在性质 ２和性质 ３中， 若 Ｍ Ｎ 是过焦点的弦， 则其 中 ： ｅ为椭 圆 、 双曲线 的离心率．
２
一 …
中学 数 学研 究
证 明 作伸缩变换
２ ０ １ ６年第 １ ２期 （ 上）
ｎ。
，
因为 ｋ ｏ Ｍ， ． ｋ Ａ ， Ｂ ，： 一１ ， 所以 ｉ ａ ｏ Ｍ． ａ 后 Ａ ｔ ３： 一１ 即
箬 ．
图３ ， 由 圆的 切割 线走 理： Ｉ Ｐ Ｔ 个 ＝Ｉ Ｆ Ａ Ｌ Ｉ Ｐ Ｂ Ｉ 又 ：１ ，
；＝
１ （ 。＞
：
孚 ， 所 以
±
ｌ ＝ ：一 ３
ｚ ２： ： ２ 于点 Ｅ， 若ｋ ｌ 七 ｌ ：一 ５ ２
，
证 明 为 ＣＤ 的中点．
直线 ＯＭ 和 ＡＢ的斜率都存在， 则ｋ ｏ Ｍ． ｋ Ａ Ｂ： 一１ ．
在椭圆中， 已知椭圆 竺
０， ２
＋ ｙ２
＝
Ｄ
１ （ 。＞６＞０ ） ， ＡＢ为
我们很容 易证 明在伸缩变换 下直线还是 直线， 斜 率之间 的关 系为 七 ： ， 我们常常将椭 圆 ｘ ２＋ ｙ ２ １ （ 。＞６ ＞。 ） 在 “ ａ ‘ Ｏ‘
：
弦， Ｍ 为 ＡＢ 的 中点， 若直线 ＯＭ 和 ＡＢ 的斜率都 存在， 则
高考数学双曲线 椭圆仿射变换
仿射变换与双曲线的标准方程22221x y a b 相比椭圆的标准方程22221x y a b在形式上极为接近圆的标准方程222x y r ．在这一讲，我们着重讲述利用仿射变换将椭圆变换为圆，再利用圆的良好几何性质解决问题的方法．对椭圆的标准方程22221x y a b ，我们需要在y 轴进行伸缩变换x x b y y a得到方程22221x y a a ．伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系、平行和直线共点关系等等，但是伸缩变换会改变线段的长度，这需要引起充分的注意．【备注】仿射变换（Affine Transform ）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注： straightness ，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness ，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化．仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation ）、缩放（Scale ）、翻转（Flip ）、旋转（Rotation ）和错切（Shear ）．【备注】在伸缩变换①下，椭圆方程2222:1x y E a b变为圆222:E x y a ，椭圆上的点 00,P x y 变为00,a P x y b，因此过圆E 上一点P 的圆的切线方程为:l 200a x x y y a b 该直线通过伸缩变换①就可以得到过椭圆E 上一点P 的椭圆的切线方程22002:a l x x y y a b即00221x x y ya b典型例题例1（2010年上海）已知椭圆22x y ⑴设直线l 【解析】 ⑴ 作仿射变换，椭圆方程变为222x y a ，则121k k∴C D O E ，根据垂径定理，E 是弦C D 的中点于是E 是CD 的中点．⑵如下图，求作点1P 、2P 的步骤为：1．以O 为圆心，椭圆的长轴长a 为半径作圆；2．过O 作射线，使Ox 轴正方向到该射线的角为 ，射线与圆交于Q ；3．过圆与y 轴正向的交点作y 轴的垂线，过圆与x 轴负向的交点作x 轴的垂线，两条垂线交于点P ；4．连结P Q ，取其中点N ；认识仿射变换5．连结ON ，过N 作与ON 垂直的直线，交圆于点1P 、2P ； 6．过点1P 、2P 作x 轴的垂线，交椭圆于点1P、2P 即为所求． 证明：这样作图相当于作了纵轴方向上的伸缩变换22b y y a，容易证明线段P Q 与12P P互相平分，而坐标轴方向上的伸缩变换不改变线段的比例，因此PQ 与12PP 互相平分．这样就有12121222PQ PN PP PP PP PP【备注】题⑴说明弦中点问题中由点差法得到的结论可以看做是椭圆的“垂径定理”；题⑵利用仿射变换完成纯几何．．．作图，注意椭圆的参数方程在仿射变换图形下获得了确切的几何意义．练习1（2012年湖北理）设A 是单位圆221x y 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA （0m ，且1m ）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标．【解析】 曲线C 的方程为2221y x m．当01m 时，曲线C 为焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为,0；当1m 时，曲线C 为焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为 0,．通过仿射变换可以将椭圆内接三角形变为圆内接三角形，它们之间存在固定的比例关系．而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．例2（2012年人大附开学考试）已知直线【解析】作仿射变换x x y，则直线l 是椭圆22334y x即2213944x y 的切线． 设O 到直线l 的距离为d ，23944d ≤（∵直线l 的斜率存在）12AOB A O B S d△△利用仿射变换处理面积问题等号当且仅当23 2d 时取得．因此AOB△．练习2（2010年朝阳一模文）已知椭圆22162x y中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标 1，AB．当ABC△的面积最大时，求直线AB的方程．B'A'O【解析】将椭圆通过仿射变换x xy y变成圆226x y，则A B C ABCS△△，1A Bk，C 坐标为,．∵直线OC ∥直线A B ，∴A B C OA BS S△△设直线A B 的方程为0x y m，则O到直线A B ，A B12OA BS△3≤∴当232m，即mOA BS△取得最大值3，此时直线A B 的方程为0xy．因此OABS△AB的方程为0x ．练习3（2011年顺义二模）已知椭圆2214xy的左、右顶点分别记为A、B．过A斜率为1的直线交椭圆于另一点S，在椭圆C上的T满足：TSA△的面积为15．试确定点T的个数．【解析】将椭圆通过仿射变换12x xy y变成圆224x y，则225S AT SATS S△△．AS ：22y x，即240x y∴圆心到直线ASAS∴T 到直线AS的距离为25142，∴在优弧上存在两个T 点2 T 点．综上，点T 的个数也即点T 的个数是2．练习4 （2010年宣武一模文）直线:220l x y 与椭圆2214y x 的交点为A 、B ．求使PAB 的面积为12的点P 的个数；【解析】 2．练习5（2011年西城二模）设直线l 与椭圆2219x y 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC △面积的最大值．【解析】 如图，将坐标系原点平移至C ，则椭圆方程变为22319x y 即22690x x y ．设直线AB 的方程为x my a ，则联立直线方程与椭圆方程有22690x my x x y a ，即266910y m yx a x a而12121y y x x ，∴6910a ，35a ，因此35CD ． 将椭圆通过变换3x x y y变为圆229x y ，则13ABC A B C S S △△O (O')B'A'D (D')C (C')∵35C D ，3O C ，∴3153435A B C O A B S C D S O D△△设O 到A B 的距离为d，1122O A B S A B d d △∴当且仅当29d 时，O A B S △取得最大值92于是13128ABC O A B S S △△≤，即ABC △面积的最大值为38．例3（2011年辽宁）如图，已知椭圆的短轴为MN ，且1C 、C 这四点按纵坐标从大到小依次为【解析】 ⑴ 设2MN a ，则椭圆1C ：2222211e x y a a ；椭圆2C ：2222211e x y a a ；231e 4BC AD．⑵对椭圆1C 作仿射变换x x y ，则1C ：222x y a ；对椭圆2C 作仿射变换x x ，1y y ，则2C ：222x y a ．BO AN EO EN BO AN k k∥211e EO EN k k设点 cos ,sin E a a （0π ），则sin cos EO k，sin cos 1EN k利用仿射变换处理弦长问题∴设cos 1cos EO EN k y k，则cos 1cos y ， 1cos 1,11y 因此 ,02,y BO AN ∥2121e，∴当0<e时，不存在；当e 时，存在．利用仿射变换可以将一些题目中“平凡”的条件转化为对解题很有利的“特殊”条件，比如：① 利用仿射变换可以改变斜率，从而可以使得某些与椭圆相关的平行四边形转化为矩形，从而简化问题；② 利用仿射变化可以将椭圆变为圆，从而可以使某些与椭圆相关的平行四边形转化为菱形，从而简化问题． 例422x y【解析】 作仿射变换，椭圆方程变为224x y ，且OM ON ．（理科）四边形OM P N 为正方形，于是OP M N∴P 点的轨迹方程为圆228x y ， 因此P 点的轨迹方程为228x，即22184x y ．∴存在符合题意的点1F 、2F ，坐标为 2,0 ．（即椭圆的两个焦点） （文科）四边形OM P N 为矩形，OP M N ∴P 点的轨迹方程为圆2220x y ，因此P 点的轨迹方程为2220x，即2212010x y ．∴存在符合题意的点F ，坐标为,0．（即椭圆的右焦点）． 练习1（2011年海淀一模）设直线:l y kx m （12k ≤）与椭圆22143x y 相交于A 、B 两点，以线利用仿射变换凸显隐藏几何条件段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．求OP 的取值范围．【解析】 用仿射变换椭圆转化为圆，于是平行四边形OAPB 变为菱形OA P B ，由12AB k ≤得A B k ≤．根据菱形的对角线互相垂直，于是OP k ≥，因此1P x ≤．也就是说，1P P x x ≤ 于是22222231344P P P P Px x OP x y x133,4因此OP的取值范围是,．练习2（2012年海淀一模理）已知直线1l ：1y kx m 与椭圆G ：2212x y 交于A 、B 两点，直线2l ：2y kx m （12m m ）与椭圆G 交于C 、D 两点，且AB CD ，如图所示．⑴ 证明：120m m ；⑵ 求四边形ABCD 的面积S 的最大值．【解析】 考虑用仿射变换．⑴ ABCD 为椭圆内接平行四边形，作仿射变换后变为圆内接平行四边形，为矩形．因此对角线为直径，也就是说椭圆内接平行四边形的对角线互相平分于原点，于是120m m ；⑵ 圆内接矩形当且仅当矩形为正方形时面积最大，最大值为4，于是椭圆内接平行四边形面积．【备注】也可以看作相关直线问题⑴ 设直线y kx m 与椭圆交于两点A 、B ，则联立直线与方程，有22212102k x kmx m∴22AB k22k∴AB CD 等价于2212m m ，又12m m ，∴12m m ，即120m m⑵ 由①，AB 与CD 关于原点对称，四边形ABCD 为对称中心在原点的平行四边形．不妨设10m ，则4ABCD OABS S△21422k22211221412m k m k≤（当且仅当22112m k时取得等号）． ∴四边形ABCD 的面积S 的最大值是例5Q【解析】 如图，将椭圆22182x y通过仿射变换2x x y y变成圆228x y ，则 2,2M 过M 作x 轴的垂线，垂足为H ，交圆228x y 于点N ，则易知 2,2N ． ∵ 2,2N ，∴OM ON ，又OM A B ∥，∴ON A B 根据垂径定理，N 平分弧A B ，于是M N是A M B 的平分线．于是22MP M P M Q MQ k k k k ，又MH PQ ，∴MPQ △是等腰三角形，证毕．【备注】（2012年密云一模理）如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点 3,1M ．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （0m ），且交椭圆于A 、B 两不同点．⑴ 求椭圆的方程； ⑵ 求m 的取值范围；⑶ 求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．【解析】 ⑴ 221182x y ；⑵ 设直线l ：13y x m （0m ），则 2,00,2m ；⑶ 视为连线垂直问题的推广或用仿射变换均可解决．练习6（2011年四中高二期中考试）已知点 2,1M 是椭圆22182x y 上一点，直线102y x m m 与椭圆相交于A 、B 两点．求MAB 的内心的横坐标．【解析】 考虑到图形的特点与求解的问题，考虑使用仿射变换将椭圆转化为圆加以解决．在圆中，容易证明M Q 是B MA 的平分线；于是MQ 是BMA 的平分线．因此MAB 的内心的横坐标为M 的横坐标，也就是2．例6（201122x y【解析】 ⑴ 如图，作仿射变换x x y yC 变为圆C ：223x y ．∴32OP Q OPQ S S△△ 设O 到直线P Q 的距离为d ，则1322d ，解得d 于是P Q ，OP OQ ，因此2212x y ，2221x y 而222211223x y x y ，∴22221212x x x x 3，2222121223y y y y 2 ．综合⑵设PQ 的斜率为k ，则OM 的斜率为23k，OM PQ OM P Q333 设2249k m k ，则43m ≥．3OM PQ 52≤．⑶∵ODE ODG OEG S S S△△△32OD E OD G OE G S S S △△△∴在圆C 中，D E 、D G 、E G 所对的圆心角均为90 因此，不存在满足题意的三角形．练习7（2013北京昌平二模理）如图，已知椭圆22221x y a b （0a b ）的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e，F 为椭圆的左焦点，且1AF BF ． ⑴求此椭圆的方程；⑵设P 是此椭圆上异于A B ，的任意一点，PH x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ ． 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．【备注】设AQ 与椭圆交于点R ，则NR 与椭圆相切，此题与⑵均可以利用仿射变换解决．例7已知椭圆22143x y上的两点A 、点．设直线PB 与椭圆相交于D ，证明：直线利用仿射变换将问题转化为几何问题【解析】 将椭圆通过伸缩变换为圆，则需证明：若点A 、B 为关于圆的直径HG 对称的两点，HG 所在直线上的一点P 与B 点的连线交圆于D ，则AD 与PH 交于定点E ．证明如下：如图，连结AG 、GD ，设PA 与圆交于C ．HG PDBECA∵G 为弧CD 和弧AB 的中点，∴AG 、DH 分别是A 和BDG 的平分线 而DG DH ，∴DG 是EDP 的平分线．于是AE DE EGAP DP GP，因此2AE DE EG AP DP GP ， 而AE DE EG EH （相交弦定理），AP DP AP CP PG PH （切割线定理） 于是EG EH EG EG PG PH PG PG ，即EG PGEH PH ．∵PG PH 为定值（在本例中为13），∴EG EH 为定值，E 为定点（在本例中 1,0E ）．练习8 设直线l ：y kx m 与椭圆2212x y 相交于M 、N 两点，F 是椭圆的右焦点，直线FM 与直线FN 的斜率互为相反数．求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．【解析】 直线l 过定点 2,0．本质与例题相同．练习9（2010年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22195x y 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点 9,T m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点 11,M x y 、 22,N x y ，其中0m ，10y ，20y ．设9t ，求证：直线MN 必过x 轴的一定点（其坐标与m 无关）．【解析】 如下左图所示，利用坐标变换x xa y y b可以把椭圆22221x y a b 变换圆222x y a ，由于伸缩变换不改变共线以及线段长度的比，于是问题就转化为如下右图所示的：已知以AB 为直径圆O ，T 为与AB 垂直的圆外直线上任意一点，连结AT 、BT 与圆O 分别交于M 、N ．求证MN 恒过定点D ．x法1连结AN 、MB 并延长交于点T ，容易知道T 与T 在同一条垂直于AB 的直线上（B 为ATT △的垂心）CT'T对ABT △的割线MN ，根据梅涅劳斯定理有1AD BM T NDB MT NA ；而AM 、NB 、T T 交于一点，根据赛瓦定理有1BM T N ACMT NA CB；于是1AD CB DB AC，即AD ACDB BC 为定值，因此D 为定点． 法2CT NM A BOD 设4AC a ，TAC ，NAC ，则4cos aAT，2cos AM a ，2cos a BT ，2cos BN a ，AN AD ADN MDB AD AD DM AN AM MB MD AM DM DB MD DB MB BNADM NDB BN DB△∽△△∽△而AN AT ANT BMT BM BT △∽△，于是22824AD AT AM a DB BT BN a．法3PCD O BA M NT 设2MOC ，2NOC ，则OC 到OP 的角为 ，以O 为极点，OC 为极径，那么直线MN 的方程为 cos ,d O MN ，即 cos cos AB 于是ODcos cos AB cos cos sin sin cos cos sin sin AB1tan tan 1tan tan AB而12TAC MAB MOB ，12NAB NOB ，∴tan TC AC ，tan tan BCBTC TC因此11BC AC OD AB BC AC，于是点D 为定点．。
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利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。