有限单元法与程序设计
有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
yantubbs-研究生教学用书_结构分析的有限元法与MATLAB程序设计-part3
等参数单元的形函数。
按几何关系式和式（其中记号有如下关系式和规则，它们与式中）求逆，得到于是按式（的元素写出为了用的显式，引入矢径及其偏导数的记号如下（（、、的偏导数。
根据复合函数求导的））））和对和分别表示，应变计算公式是个子矩阵，典型的子矩阵是单元刚度矩阵可以分成和）定义。
由式（其中常数应力的计算公式是矩阵，形函数对下面是计算单元刚度矩阵的函数，其中又调用了计算应变矩阵，坐标的导数等子程序。
为了方便阅读，这里一并列出。
等效结点力则采用体积力设单位体积力是为式中和和方向的等效结点力分量为零。
表面力上作用表面力设单元的某边界的等效结点力为的公式有的面上进行积分，按照数学分析的某个边界面上进行的。
例如，对于式中曲面积分是在单元上作用分布力，则在此面上各结点分别是高斯积分的权系数和高斯点。
另外两个高斯积分法的单元自重的等效结点力为的负方向，分阶数时，可以得到多项式积分的精确值。
设单元重力的方向为的符号运算功能得到。
但是一般可以利用高斯积分法，因为取合适的积当体积力的形式比较简单，如为多项式时，则上式能积出显式，可以利用，则移置到各结点上的等效结点力之间的关系，因此）写成和可以用）（，得到表示该曲面的外法线于是式（）可以写成这就是将原来的第一类曲面积分化为第二类曲面积分。
例如，对于的面上，由坐标变换式（，给出来表示，通过计算和归纳，可以将式（）的面上，相应的计算公式只须在上式右端对对于及和将它代入式（，设若单元的某个面上只作用着沿外法线方向荷载方向，则有同时进行轮换就可得到。
基于实际的考虑，式（）和式（）使用时并不方便，因为必须知道作用在单元的哪一个面来确定积分变量，还需要考虑正负符号。
其实根据形函数的特性，即不在某一个面上的结点的形函数在这个面上值为零，因此表面力只对作用面上的结点有贡献。
设单元的某一个曲面上作用有分布表面力，个空间结点组成，该曲面可以用参数方程写成元的形函数。
这里要注意的是，这式（结点等参数单元的形函数，即由式（个结点也必须如图等参数单元的结点顺序排列。
第1章 有限元法概述
第一章有限元法概述第一节有限元法的发展及基本思想随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。
为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切地预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移。
但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。
弹性力学的经典理论，由于求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题，对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性、材料非线性等问题往往遇到很多麻烦，试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。
因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。
有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。
这个方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。
1960年美国的克劳夫(C l o u g h)采用此方法进行飞机结构分析时，首次将这种方法起名为“有限单元法”(finite element method），简称“有限元法”。
有限单元法的基本思想，是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。
对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。
图1.1是用有限元法对直齿圆柱齿轮的轮齿进行的变形和应力分析，其中图1.1(a)为有限元模型，图1.1(b)是最大切应力等应力线图。
在图1.1(a)中采用8节点四边形等参数单元把轮齿划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。
工科专业“有限单元法及程序设计”课程改革新思路
图 １ 当前 本 科 阶 段 有 限 元教 学 的 一 般 过 程
并 不理想 。本文 在对 当前 工科 专 业 有 限元 及 程 序设 计 的教 与学分 析的基 础上 ， 结合 自身学 习和使 用有 限
元方法 的实践 ， 出这 门课 程改 革 的新 思路 。 提
一
、
当前 工 科 生 学 习和 使 用 有 限 单 元 法 的范 式
随着科学 研究 的精 细化程 度和规模 的不 断提 高 ， 元 法是 理解 的 ， 在本科 阶段究 竟应 该学 习到什 么程 但 以及计算 机科 学和技 术 的不断进 步 ， 值计算 方法 已 度 可 能就不 太知 晓 了 。这 是 多 种 原 因造 成 的 ， 数 首先 ， 日益成 熟 ， 于有 限元数值 计算 方法 开发 的大型 软件 和学校 的应 试教育 有关 ， 基 考什 么就学 什么 ； 此外 ， 当前 更是如 雨后 春笋 ， 在工程 和科学 计算 中 占据 了极其 重 不断 缩减本 科课 程的学 时 ， 导致学 生对有 限元 方法 也 要角色 。有 限元方 法及 其 程 序设 计 涉 及 了数 学 与 计 的学 习是一 知半 解 。这些 造 成 了 如研 究 生 阶段 学 习 算机科 学等 多个学 科 分 支 ， 如微 分 方 程理 论 、 函 与应 用有 限元方 法脱节 等一 系列 问题 。 例 泛 分析 、 变分法 、 计算 方法 、 数学力 学 、 编程语 言 、 件开 软 发等 ， 即使计 算数 学专 业 的学者 ， 在每 一 个环 节 上 想 都非 常精通也 是 极其 困难 的 。工科 学 生 虽 然不 需 要 理解 有 限元 法 的每一 个 环节 特 别 是 涉及 计 算数 学理
弹性力学与有限元分析-第四章 平面问题有限元分析及程序设计
第四章 平面问题有限元分析及程序设计
§4.1 平面问题单元离散 §4.2 平面问题单元位移模式 §4.3 平面问题单元分析 §4.4 平面问题整体分析 §4.5 平面问题有限元程序设计
有限元网格划分的基本原则
• 网格数目 • 网格疏密 • 单元阶次 • 网格质量 • 网格分界面和分界点 • 位移协调性 • 网格布局 • 结点和单元编号 • 网格自动剖分
f
y
面力
f
f y
xy
xy
基本量和方程的矩阵表示
位移
d
u
v
物理方程 简写为
x y
xy
E
1 2
1
0
1
0
0 0
x y
1
xy
2
D
§4.2 单元位移模式
几何方程：
ux
v y
xvuyT
只要知道了单元的位移函数，就可由几何方程求出应变，再由物理 方程就可求出应力。
（1）位移模式必须能够反映单元的刚体位移； （2）位移模式必须能够反映单元的常应变；
必要条件
（3）位移模式尽可能反映位移的连续性；
u12x3y12x5 23y5 23y v4 5x6y46y5 23x5 23x
u0 1
v0 4
5 3
2
刚体平动
刚体转动
充分条件
u
v
u0 v0
y x
作业： P141 6-1
u12x3y N iuiNjujN m um
其中， N i 、N j 、N m 是系数，是 x、 y 的线性函数；
可以求得：
N i a i b ix ciy2A (i, j, m )
最新平面四边形4结点等参有限单元法
有限元程序设计平面四边形4结点等参有限单元法程序设计1、程序功能及特点a.该程序采用四边形4节点等参单元，能解决弹性力学的平面应力应变问题。
b.前处理采用网格自动划分技术，自动生成单元及结点信息。
b.能计算受集中力、自重体力、分布面力和静水压力的作用。
c.计算结点的位移和单元中心点的应力分量及其主应力。
d.后处理采取整体应力磨平求得各个结点的应力分量。
e.算例计算结果与ANSYS计算结果比较，并给出误差分析。
f.程序采用Visual Fortran 5.0编制而成。
2、程序流程及图框图2-１程序流程图图2-２子程序框图其中，各子程序的主要功能为：INPUT――输入原始数据HUAFEN――自动网格划分，形成COOR(2,NP),X,Y的坐标值与单元信息CBAND――形成主元素序号指示矩阵MA（*）SKO――形成整体刚度矩阵[K]CONCR――计算集中力引起的等效结点荷载{R}eBODYR――计算自重体力引起的等效结点荷载{R}eFACER――计算分布面力引起的等效结点荷载{R}eDECOP――支配方程LU三角分解FOBA――LU分解直接解法中的回代过程OUTDISP――输出结点位移分量STRESS――计算单元应力分量OUTSTRE――输出单元应力分量STIF――计算单元刚度矩阵FDNX――计算形函数对整体坐标的导数TiiyNxN⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂，=i1,2,3,4。
FUN8――计算形函数及雅可比矩阵[J]SFUN ――应力磨平-单元下的‘K’=NCN‘SCN――应力磨平-单元下的右端项系数‘CN‘SUMSKN――应力磨平-单元下的右端项集成到总体的‘P‘SUMSTRS――应力磨平-单元下的集成到总体的‘K‘GAUSTRSS――高斯消元求磨平后的应力3、输入数据及变量说明当程序开始运行时，按屏幕提示，键入数据文件的名字。
在运行程序之前，根据程序中INPUT需要的数据输入建立一个存放原始数据的文件，这个文件的名字为INDAT.DAT。
有限元法概述
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
.
汽车碰撞实验
.
刹车制动时地盘的应力分析
.
钢板精轧机热轧制分析
.
三维椭圆封头开孔补强
.
水轮机叶轮的受力分析模拟
.
人体股骨端受力分析
.
半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
.
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
.
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.3程序设计,2.4矩形单元,2.5六节点三角形单元)
2.3 平面问题有限元程序设计一、程序设计方法与结构分析程序的特点1．程序设计方法论简述借助计算机来完成某项工作，通常都要先编写相应的计算机程序，或叫程序设计。
完成一个结构分析或结构CAD系统也必然要经过程序设计才能实现。
程序设计要使用专门的程序语言。
我国结构程序设计中所采用的语言，在60年代和70年代初以ALGOL语言为主。
此后逐步广泛使用的主要是BASIC语言和FORTRAN语言，随着CAD 和人工智能技术的发展，PASCAL、 C、LISP、 PROLOG等有着各自特长的程序语言也逐步进入土木工程领域的计算机程序设计中。
过去人们通常认为，程序设计的中心问题就是学会使用一种程序语言，用以编写程序。
然而学会用程序语言编程只是整个程序设计中的一部分。
据有关资料介绍，编写程序在整个系统的研制过程中仅占15％的工作量。
在一个大型程序系统的整个存在阶段的工作量中，在系统投入使用后的维护工作量为原来研制工作量总和的两倍（这一点在作者所从事的软件开发工作中也得到充分的证明）。
维护工作量是如此之高，这就使我们必须注意到，在程序研制阶段便即应当考虑为以后的维护工作提供方便，哪怕是为此要增加一些额外的工作量也是值得的。
要编制一个好的程序系统并没有一种绝对的规则，就象是工程设计没有一种绝对规则一样。
但对于程序设计的好坏现在已逐渐形成了一套评价的客观标准。
这些标准大致分为以下几个主要方面：(1) 程序的可读性;(2) 正确性与可靠性;(3) 使用方便且效率高;(4) 软件的可移置性;(5) 易于调试与维护。
直到1970年代中期人们才认识到软件的维护是软件研究的一个关键领域。
造成软件维护工作量大的原因之一是与程序研制过程中所采用的设计方法不够科学化有关。
为了解决这一问题，人们开展了对于程序设计方法论的研究与实践，其目标是使软件正确、可靠和降低整个软件研制活动的费用。
总的来说，程序设计已从强调灵活的技巧和局部效率向着强调程序结构化和整体功能的方向发展。
二、平面四边形4结点等参有限单元法程序
-1- -2- 平面四边形4结点等参有限单元法程序设计1、程序功能及特点a.该程序采用四边形4节点等参单元能解决弹性力学的平面应力应变问题。
b.前处理采用网格自动划分技术自动生成单元及结点信息。
b.能计算受集中力、自重体力、分布面力和静水压力的作用。
c.计算结点的位移和单元中心点的应力分量及其主应力。
d.后处理采取整体应力磨平求得各个结点的应力分量。
e.算例计算结果与ANSYS计算结果比较并给出误差分析。
f.程序采用Visual Fortran 5.0编制而成。
2、程序流程及图框启动输入原始数据自动划分网格形成MA计算NNHMX形成整体刚度矩阵K形成荷载列向量RLU分解KLU回代并求得结点位移输入结点位移计算单元应力及主应力等整体应力磨平结点应力停机图2- 程序流程图-3- MAINPROGRAMINPUTHUAFENCBANDSKOSTIFFDNXFUN8CONCRBODYRFA CERDECOPFOBASTRESSGAUSSSTRESSSUMSSUMSTRSOUTDISTRE 图2-子程序框图其中各子程序的主要功能为INPUT――输入原始数据HUAFEN――自动网格划分形成COOR2NPXY的坐标值与单元信息CBAND――形成主元素序号指示矩阵MA SKO――形成整体刚度矩阵K CONCR――计算集中力引起的等效结点荷载Re BODYR――计算自重体力引起的等效结点荷载Re FACER――计算分布面力引起的等效结点荷载Re DECOP――支配方程LU三角分解FOBA――LU分解直接解法中的回代过程OUTDISP――输出结点位移分量STRESS――计算单元应力分量OUTSTRE――输出单元应力分量STIF――计算单元刚度矩阵FDNX――计算形函数对整体坐标的导数TiiyNxNi1234。
FUN8――计算形函数及雅可比矩阵J SFUN ――应力磨平-单元下的…K‟NCN… SCN――应力磨平-单元下的右端项系数…CN… SUMSKN――应力磨平-单元下的右端项集成到总体的…P… -4- SUMSTRS――应力磨平-单元下的集成到总体的…K… GAUSTRSS――高斯消元求磨平后的应力3、输入数据及变量说明当程序开始运行时按屏幕提示键入数据文件的名字。
有限单元法
（1.11）
AE ⎡α 2 αβ ⎤ AE ⎡ − α 2 [k ii ] = ⎢ ⎥ ， [k ij ] = [k ji ] = ⎢ l ⎣αβ β 2 ⎦ l ⎣− αβ AE ⎡α 2 αβ ⎤ [k jj ] = ⎢ ⎥ ， α = cosθ , β = sin θ l ⎣αβ β 2 ⎦ 我们注意到，上式中的单元刚度矩阵 [K ]e 具有对称性。
或写成
（1.15a） （1.15b）
[ F ]e = [T]e [F]e
其中
（1.16）
⎡ cosθ ⎢− sin θ [T]e = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
为转换矩阵。Leabharlann sin θ cosθ 0 0
0 0 cosθ − sin θ
0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ sin θ ⎥ ⎥ cosθ ⎦
（1.17）
对于节点位移，在局部坐标与整体坐标之间，也存在着类似的关系：
（1.1）
其中 u i , vi （或 u j , v j ）分别表示节点 i （或 j ）沿坐标轴 x 方向和 y 方向的节点位移分量；
f x i , f yi （或 f x j , f yj ）为相应的 x 方向和 y 方向的节点力分量。并且规定：节点位移和节点
力的符号与坐标轴 x, y 取向一致为正，反之为负。 首先分析杆的应变-位移关系。杆的长度 l 可表示为
（1.6）
单元内的轴向力（规定拉力为正）为
N = AEε =
（1.7）
这里 A 和 E 分别表示杆的横截面积和弹性模量。节点力与轴力的关系可表示为
f xi = − N cosθ , f yi = − N sin θ ; f xj = N cosθ , f yj = N sin θ
转子动力学有限元法计算及编程
三、相关软件
• NX Nastran转子动力学案例
W 轴：2000mm 外径：100 mm 内径：88 mm 毂：96 kg 自转角速度： 0-24000 RPM 弹簧与阻尼支撑
转子模型示意图
三、相关软件
• NX Nastran转子动力学案例
一维梁单元仿真模型
三、相关软件
• NX Nastran转子动力学案例
一、概述
• 转子动力学关心的课题与现象
阻尼器：当轴承提供的阻尼不足，或需要抑制失稳时可提供阻尼器，典型 结构是挤压油膜阻尼器 平衡：在转子上安装校正质量来补偿转子的残余质量不平衡，通常按以下 两步骤来进行，低速平衡机上作刚体平衡和随后的现场平衡 振动监测： 故障诊断：
一、概述
• Campbell图
三、相关软件
• NX Nastran转子动力学模块介绍
解算方案选项：模态分析-预测飞轮固有频率和临界转速 频率分析-预测稳态载荷的响应 求解器说明： SOL 110 – 复模态特征值求解 SOL 111 – 频率响应 SOL 112 – 瞬态响应
三、相关软件
• NX Nastran转子动力学模块介绍
• • • • •
一、概述 二、基本方程 三、相关软件 四、项目及进展 五、具体案例
一、概述
转子动力学作为固体力学中的一个重要分支，它主要研究旋转机械的 “转子－支承”系统在旋转状态下的振动、平衡和稳定性问题，其主要 研究内容有几个方面：临界转速、动力响应、稳定性、动平衡技术和支 承设计。在旋转机械研究设计中，转子动力学的性能分析是极其重要的 一个方面。 传统的转子动力学分析采用传递矩阵方法进行，由于将大量的结构信息 简化为极为简单的集中质量—梁模型，不能确保模型的完整性和分析的 准确度；而应用有限元法在处理转子动力学问题时，可以很好地兼顾模 型的完整性和计算的效率，但多年来转子的“陀螺效应”一直是制约转 子动力学有限元分析的“瓶颈”问题。目前的商业软件已经可以很好地 解决了动力特性分析中“陀螺效应”影响的问题，而且陀螺效应的考虑 不受计算模型上的限制，使转子动力学有限元分析变得简单高效。
有限单元法基础介绍
2021/2/2
23
平面有限元解法——编制计算机程序界面
2021/2/2
24
平面有限元解法——计算机程序计算结果
2021/2/2
25
通用有限元计算程序ANSYS计算结果
2021/2/2
26
通用有限元计算程序ANSYS计算结果
2021/2/2
27
有限元单元法基础理论（结构静力学问题）
矩阵分析法对杆系结构举例分析 水平杆单元刚度矩阵
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
2021/2/2
12
节点和单元 (续)
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
I L
I P
M L
I
J
三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
K
二维或轴对称实体单元
UX, UY
J
O
三维实体结构单元
N K
UX, UY, UZ
J
J
三维梁单元
UX, UY, UZ,
单元上节点处的结构内力
载荷
载荷
作用在单元节点上的外力
（集中力、分布力）
约束
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ
密度
约束
单元 节 点
节点力
2021/2/2
10
单元的自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
2021/2/2
3
有限单元法力学基础
各力学学科分支的关系
非变形体（刚体）
2021/2/2
变形体
4
有限单元法几种典型的分析对象
有限单元法及程序设计
有限单元法及程序设计有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种用于数值分析和计算的方法，广泛应用于工程和科学领域。
它通过将连续问题离散化成有限个小单元，并在每个小单元上建立数学模型来近似求解问题。
本文将介绍有限单元法的基本原理、步骤以及程序设计方面的注意事项。
一、有限单元法基本原理有限单元法的基本原理是将连续的物理区域划分为有限个离散的小单元，每个小单元内的场量近似表示为一些插值函数的线性组合。
通过对这些小单元进行逐个求解，最终得到整个问题的近似解。
有限单元法的核心思想是利用局部性原则，将整个问题分解成多个小问题。
每个小问题只涉及到相邻的单元，在确定了边界条件和材料特性后，可以进行独立的求解。
最后通过组合各个小问题的解，得到整个问题的解。
二、有限单元法步骤有限单元法的求解过程主要包括几个基本步骤，具体如下：1. 离散化：将连续的物理区域划分为有限的小单元。
常用的小单元形状包括三角形、四边形、六边形等。
2. 建立数学模型：在每个小单元上建立数学模型，通常使用插值函数来近似表示物理量。
插值函数的选择对求解结果的准确性和效率有重要影响。
3. 形成总体方程：根据物理规律和边界条件，利用适当的数学方法推导出总体方程。
常见的总体方程包括稳定性方程、运动方程等。
4. 矩阵装配：将每个小单元的局部方程装配成整个系统的总体方程。
这一步骤常常需要对单元进行编号和排序，以便正确地装配矩阵。
5. 边界条件处理：根据实际问题的边界条件，对总体方程进行修正。
边界条件的处理通常包括施加约束和设定边界值。
6. 求解方程：通过数值方法，如有限差分法或有限元法，求解总体方程。
常用的求解方法包括直接法和迭代法。
7. 后处理：对求解结果进行计算和分析，以获得实际问题的有用信息。
后处理包括输出位移、应力、应变等字段，以及进行可视化展示。
三、程序设计注意事项在进行有限单元法的程序设计时，需要充分考虑以下几个方面的注意事项：1. 算法选择：根据问题的特点和求解需求，选择合适的有限单元类型、插值函数和数值解法。
有限元程序课程设计
2
王顺金：有限元程序课程设计
2.问题有限元分析教学程序 本程序可对二维弹性力学问题行有限元分析计算。计算采用的单元形式为 四边形四节点单元或者四边形八节点单元，对于对称和非对称矩阵采用变带宽 存储方法，最终输出结果为单元各节点的位移。
二、平面 4、8 节点有限元公式及计算原理
2.1 基本公式 （1）有限元平衡方程
4 1 (1 i )i y i 1 4 i 14 1 |J| (1 i )i x i i 1 4
其中：
4 4 4 4 1 1 1 1 | J | ( (1 i ) i x i )( (1 i ) i y i ) - ( (1 i ) i x i )( (1 i ) i y i ) i 1 4 i 1 4 i 1 4 i 1 4
（3）单元刚度矩阵计算
K K e 11 K 21
k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17 k18 k 21 k 22 k 23 k 24 k 25 k 26 k 27 k 28 k 31 k 32 k 33 k 34 k 35 k 36 k 37 k 38 K12 k 41 k 42 k 43 k 44 k 45 k 46 k 47 k 48 K 22 k 51 k 52 k 53 k 54 k 55 k 56 k 57 k 58 k 61 k 62 k 63 k 64 k 65 k 66 k 67 k 68 k 71 k 72 k 73 k 74 k 75 k 76 k 77 k 78 k 81 k 82 k 83 k 84 k 85 k 86 k 87 k 88
E v v 2 ； 0 1- v 1- v
有限单元法
37
•从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而
来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析, 实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从 理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足 够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
时计算模型的规模不能超过1万阶方程。Microsoft Windows操作
系统和32位的Intel Pentium 处理器的推出为将PC机用于有限元
分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前国际上著名的
有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平
台上。
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4.2 有限单元法的分析步骤
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但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处 理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸 张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以 上的精力都花在数据准备和结果分析上。
因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都 有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强 调"可视化"的今天,很多程序都建立了对用户非常友 好的GUI(Graphics User Interface),使用户能以可 视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限 元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成 变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的 列表输出。
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平面应力
平面应变
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有限元简答
1.有限元程序设计的基本原理是什么？实际上就是最小势能原理，不同之处，即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。
2.有限元程序的具体实现步骤？请以杆系结构为例子进行阐述说明。
Ansys 步骤：1进入ANSYS ；2设置计算类型；3选择单元类型；4定义材料参数；5定义截面；6生成几何模型；7网格划分；8模型施加约束、荷载；9分析计算；10结果显示；11退出系统。
3.你所了解的有限元软件都有哪些？ANSYS 、ADINA 、ABAQUS 、MSC 等4.计算力学涉及哪些领域？涉及领域：有限元方法、理论及应用力学、应用数值分析和计算机及信息科学。
计算力学的应用范围扩大到固体力学、岩土力学、水力学、流体力学、生物力学等领域。
5.解决计算固体力学的静力问题都有哪些常用方法？在固体力学领域应用最广泛的数值方法是有限元法，其他数值方法还有有限差分法、加权残量法、边界元法、有限条法、自由网格法等 。
6.为什么要采用有限元方法来解决工程问题？与常规解析方法有什么不同？运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而自行实现，这是常规解析方法无法实现的。
7.从物理模型到有限元求解结果，中间存在哪些可能误差？有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件)，从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
按位移法求解的有限元法中，应力解答的精度要小于位移解答精度的原因：应用位移元进行有限元分析时，未知场函数是位移，从系统平衡方程解得的是各个结点的位移值。
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结构分析中的有限单元法法
具体有三方面要求：
1、掌握有限元法基本原理
2、掌握一到两个通用有限元软件 3、独立编写有限元程序分析实际问题
参考书：《有限单元法基本原理和数值方法》 《有限单元法原理与应用》 朱伯芳著 《有限元法基础与程序设计》
三大类方程
第一章 引论
二.弹性力学中的基本变量和方程
1. 弹性力学基本变量
位移： 应变： 应力：
d u
v
w
T
x y z yz zx xy T
x y z yz zx xy T
第一章 引论
二.弹性力学中的基本变量和方程
王勖成、邵敏编著
王元汉、李丽娟、李银平编著
《面向对象结构分析程序设计》
吴晓涵编著
参考书： 计算机语言类参考书：
Fortran、Visual Basic、Visual C/C＋＋等
数值算法类参考书：
如 《Fortran语言数值计算程序集》、 《C语言程序数值计算程序集》等
第一章 引 论
一.已学各力学课程的关系 二.弹性力学的基本变量和方程 三.弹性力学问题的一般解法
70年代以来，随着计算机技术的发展，有限元法的理论和应用研究 也随之空前活跃起来： 研究的内容涉及有限元法的数学力学理论基础；单元划分原则；形 状函数的选取及协调性；有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误 差、收敛性和稳定性；有限元软件开发技术；向非结构领域的推广等
▲
第一章 引论
七.本课程主要内容
弹力中的问题通常是：已知物体几何尺寸、
y Y u,v X Su(u , v ) x
S( X,Y )
弹性常数、所受体力、边界上的约束或面力，需 o 求解物体内的应力、应变和位移。
三大类变量
为了由已知量求出未知量，必须建立这些已知量与未知量之间的 关系，以及各个未知量之间的关系，从而导出一套求解方程。具 体可从三方面进行分析：静力学、几何学、物理学
第一章 引 论
三.弹性力学问题一般解法
1. 解析法 直接求解偏微分方程
根据求解变量的不同可分为应力法、位移法、混合法
2. 数值法 将微分方程转化为代数方程求得近似解
差分法 变分法、加权余量法 有限单元法
3. 半解析法 介于解析法和数值法之间，适用于一些 特殊问题的求解
第一章 引论
四.有限单元法的概念
1 0 0 0
1 0 0 0 (1 2 ) 2(1 ) 0 0
(1 2 ) 2(1 ) 0
弹性矩阵
第一章 引 论
二.弹性力学中的基本变量和方程
2. 弹性力学基本方程
边界条件和初始条件：
应力边条：
X x l yx m zx n Y xy l y m zy n Z xz l yz m z n
2. 弹性力学基本方程
物理方程： D
1 1 1 D E (1 ) 0 (1 )(1 2 ) 0 0 1 (1 2 ) 2(1 )
T(n)i=σji n j
位移边条： u u, v v, w w
第一章 引 论
二.弹性力学中的基本变量和方程
2. 弹性力学基本方程 三大类变量
三大类方程
独立变量的数目：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量 独立方程的数目：3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程
由于存在刚体位移，由位移可以唯一确定应变，而由应变不能够唯一确 定位移，所以还必须加上边界条件，才可分析实际问题。
2. 弹性力学基本方程
平衡方程： σ
ij, j +
F i= 0
x xy xz X 0 x y z yx y yz Y 0 x y z zx zy z Z 0 x y z
第一章 引 论
二.弹性力学中的基本变量和方程
2. 弹性力学基本方程
几何方程： εij = ( ui, j+ uj, i ) / 2
u x x u v xy y x v w y z y z v w w u yz zx z y x z
第一章 引 论
二.弹性力学中的基本变量和方程
第一章 引论
六.有限元法发展概况
▲
1943 Courant从应用数学角度的，尝试用定义在三角形区域上的
分片连续函数和最小位能原理相结合求解St. Venant扭转问题。 1956 Turner、Clough等将刚架位移法推广到弹性力学平面问题， 用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。
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1960 Clough进一步处理了弹性力学问题，并第一次提出了“有限 单元法” （ The finite element method ）的名称，使人们开始认识 到了有限单元法的功效。
四.有限单元法的概念
五.有限单元法的特点 六.有限单元法的发展概况 七.本课程主要内容
第一章 引 论
一.已学各力学课程的关系
理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学
研究宏观物体机械运动一般规律。包括静 力学、动力学和运动学三部分
研究杆状弹性构件的强度、刚度和稳定问题。
研究由杆状弹性构件组成的结构体系的强度、刚度和 稳定问题。 研究任意形状弹性体的强度、刚度和稳定问题。
材力解答：
My I
弹力解答：
My y y2 3 q (4 2 ) I h h 5
（细长杆）平截面假定
精确解，没有假设。
材力解答：
q q
q
弹力解答：
q
3q q
q
弹力可校核材力公式的可靠性、精度及适用范围。
第一章 引论
二.弹性力学中的基本变量和方程
弹性力的研究对象：任意形状弹性体
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1963-1964 Besseling、Melosh等人证明了有限元法是基于变分原 理的Ritz法的另一种形式，从而确认有限元法是处理连续介质问题的 一种普遍方法，并为有限元法找到了理论基础。
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第一章 引论
六.有限元法发展概况
60年代后期开始进一步利用加权余量法来确定单元特性和建立有限 元方程
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第一章 引论
五.有限元法的特点
1. 有很强的适用性，应用范围极广。
飞机研究的主要地面 实验设备－风洞
第一章 引论
五.有限元法的特点
1. 有很强的适用性，应用范围极广。
载驳船在弯扭联合作用下的结构应力－变形有限元分析
第一章 引论
五.有限元法的特点
2. 建立于严格理论基础之上，概念浅显，易于理解和掌握
有限元法是把具有无限自由度的连续求解域离散为 一组由有限个单元组成的集合体；
二维连续体不同单元的离散
三维问题的离散
第一章 引论
四.有限单元法的概念
有限元法是把具有无限自由度的连续求解域离散为 一组由有限个单元组成的集合体；
用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解域 上的待求未知函数； v
弹性力学的变分原理
弹性力学平面问题有限单元法
平面桁架结构有限单元法 平面刚架结构有限单元法 弹性力学空间问题有限单元法 有限单元法程序设计
考核方法：
到课情况 课后习题 自选论文(程序实践)
有限元法以变分原理或加权余量法为理论基础，采用的是 分片插值的思想，对于不同类型的问题，理论推导过程以
及计算步骤均高度规范和统一
第一章 引论
五.有限元法的特点
3. 便于编制计算机程序
采用矩阵表达形式，易于计算机运算
规范化的理论推导过程和高度统一的求解 步骤，为编制大型通用有限元软件奠定了 基础
计算机软硬件的飞速发展为有限元法的发 展应用奠定了物质基础
第一章 引论
五.有限元法的特点
1. 有很强的适用性，应用范围极广。
分析对象：可是由杆、板、壳、块等多种力学性质不同的构 件组成的复杂系统，多种连续物理场 分析类型：可是静力问题也可是动力问题； 可是弹性问题，也可是弹塑性、粘弹塑性问题； 可是线性问题，也可是非线性问题； 可是确定的， 也可是随机的； 可是单一物理场，也可是固、流耦合或热、固耦合 的多物理场。 无论材料、荷载、边条多么复杂，有限元法均可有效地加以处理
外加两类边条 由于上述变量和方程都是针对从任意变形体中取出的微元体建立的，所以对 于不同的研究对象，其基本变量和基本方程是完全相同的，不同之处在于边 条（几何形状），所以求解的难度在于如何处理边界条件.
第一章 引 论
三.弹性力学问题一般解法
弹性体中应力、应变和位移都是位置的函数，求解弹 力问题也就是要求解这些函数。由于平衡方程、几何 方程及定解条件（边条）都是偏微分方程组，求解弹 性力学问题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问 题在数学上称为微分方程的边值问题。 有三类解法：解析法、数值法和半解析法。
y
i
i
(x , y ) vj j u j
ui v(x , y ) u(x , y ) vm m um x
第一章 引论
四.有限单元法的概念
有限元法是把具有无限自由度的连续求解域离散为 一组由有限个单元的集合体； 用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解域 上的待求未知函数； 单元内的近似函数由单元结点的数值及其插值函数 表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数； 其理论基础是变分原理或加权余量法