各种频率测量方法验证-详细

频率测量方法：

1 技巧离散傅立叶方法

设余弦输入信号：)cos()(φω+=t X t x ，其中φ,X 分别为信号的幅值和初相角。对)(t x 以

N 50的采样频率进行采样，则可得采样序列{})(k x ： )50cos()(φω

+=N

k

X k x （1） 同时)(t x 可表示为

2

)(*t

j t j e x e x t x ωω-+= （2）

由全周傅氏算法，有

∑-=-+=1

2)(2ˆN k N

k j

r e

r k x N

x

π （3）

(2)代入（3），考虑到)50(2f ∆+=πω，则有

)]1(100)12([5022

*

]100)12([50112

2sin 22sin

ˆ-++-+∆-+-+∆+=N r N r f N j r N r f N j r e N N x e N N x x ππθθθθ （4） 其中N f 5021∆=πθ，N

f

)

502(22∆+=πθ 令)]

1002(50[

+∆=f N

j e

a π

***********************************************************************

α=[y(i) + y(i-2)+sqrt( ((y(i)+y(i-2))^2 – 4y(i-1)^2 ) ]/ (2 * y(i-1))

1

11

1jb a jd c ++

其中：

)1(21-*=i real a )1(21-*=i imag b

a i real i real c +-+=)2()(1

a

d i imag i imag d 2)2()(1+

-+= [][][]

)1()1(4)2()()2()(222

2

-+-*--+--+=i imag i real i imag i imag i real i real c

[][])1()1(8)2()()2()(2-*-*--+*-+*=i imag i real i imag i imag i real i real d

2

2

2d c c a ++=

21

2111111111b a d b c a jb a jd c real ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++

***********************************************************************

则

π2/50*))(cos(50N a real a f f =∆+= （5）

计算结果： 48Hz ：

2627

282930

47.6

47.848

48.2

48.4sample

f /H z

42

444648

sample

f /H z

图1 48Hz 图2 含有工频整倍数的谐波的计算结果

当采样点按工频50Hz 的间隔进行采样时，计算结果很精确，见图1；当信号中的谐波成分为工频的倍数时，计算结果也很精确，见图2；但是当信号中的谐波为分数次谐波时（30%的175Hz ），经过低通滤波，其误差在[-0.2，0.2]之间，见图3。

70

80

90

47.7

47.847.94848.148.2sample

f /H z

图3 含有分数次谐波时的计算结果

因此，技巧傅立叶算法计算频率受波形畸变的影响很大，不建议使用。 2 利用采样值

（1）（湖南大学）电压信号)sin()(φω+=t X t x ，离散化为

)2sin()2sin(

0φπφπ+=+=i N

k

X i Nf f X x i ，其中0/f f k =，设n 为偶数，则有 2

/cos 2))(2sin()2sin(n i n i i x N

k

n n i N k i N k X x x ++⋅=⎭⎬

⎫

⎩⎨⎧++++=+πϕπϕπ 所以

2

/2cos

n i n

i i x x x N k n +++=π （1） 令n N 2=，设k k -=∆1，则

2sin

)22cos(2cos cos

π

ππππk k k N k n ∆=∆-== （2） 对2

sin πk ∆进行泰勒展开有

...5)2

(1201)2(6122sin 3+∆+∆-∆=∆ππππk k k k （3）

只取第一项时22sin π

πk k ∆=

∆ 4

/2

/1N i N i i x x x k +++=

∆π （4）

待求的频率为0)1(f k f ∆-=。

对近似结果进行修正，以（4）为初值，代入到

3

02

024

k k k ∆⋅+

∆=∆π （5）

仿真结果：

50 ple

1214161820

48.9999

49

49.0001

49.0002

sample

f

/

H

z

50100150

100

200

300

sample

f

/

H

z

607080

48.8

48.9

49

49.1

49.2

49.3

sample

f

/

H

z

图真实频率49Hz 图带谐波的信号

信号中没有谐波时，计算效果很精确，但是有谐波时，即使经过带通滤波器，此时的计算误差已经超过0.2Hz。

（2）（香港理工大学）已采用

设正弦信号通过一全通滤波器

a

z

az

z

H

-

-

=

1

)

(，1

0<

ω

ω

ω

ω

φ

cos

cos

2

sin

)

1(

arctan

)

(

2

2

-

-

-

=

a

a

a

取

cos

sin

1

ω

ω

-

=

a。

设信号)

sin(

)

(

1

k

A

k

xω

=，经过全通滤波后得到信号))

(

sin(

)

(

2

ω

φ

ω+

=k

A

k

x。

令)

sin(

))

(

sin(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(2

1

2

2

1

ω

ω

φm

A

m

k

x

k

x

m

k

x

k

x

k

m

=

-

-

-

=

Ω

则

)

sin(

)

sin(

)

(

)

(

ω

ω

n

m

k

k

n

m=

Ω

Ω

取n

m2

=

则

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

-

-

-

-

-

-

=-

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

(

)

(

)

2

(

)

(

2

1

cos

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

n

k

x

k

x

n

k

x

k

x

n

k

x

k

x

n

k

x

k

x

n

ω

所以待求的频率为

s

f

f

π

ω

2

=

计算效果：