2014版高中数学复习方略课时提升作业：2.13定积分与微积分基本定理(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
2014版陕西北师版数学文复习方略：课时提升作业第一章 第二节命题、充分条件与必要条件
课时提升作业(二)一、选择题1.已知命题p:若x>0,y>0,则xy>0,则p的否命题是( )(A)若x>0,y>0,则xy≤0(B)若x≤0,y≤0,则xy≤0(C)若x,y至少有一个不大于0,则xy<0(D)若x,y至少有一个小于或等于0,则xy≤02.(2013·吉安模拟)已知条件p:x≤1,条件q:<1,则 p是q的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.(2013·延安模拟)命题“若a,b∈R,a=b=0,则a2+b2=0”的逆否命题是( )(A)若a,b∈R,a2+b2=0,则a≠b≠0(B)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠b≠0(C)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0且b≠0(D)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0或b≠04.(2013·合肥模拟)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a x在R上是增函数”是“函数g(x)=x a在R上是增函数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5.已知a,b,c都是实数,则在命题“若a>b,则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )(A)4 (B)2 (C)1 (D)06.(2013·安康模拟)对任意实数a ，b ，c 给出下列命题: ①“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; ③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7.下列各小题中,p 是q 的充要条件的是( ) (1)p:m<-2或m>6;q:y=x 2+mx+m+3有两个不同的零点. (2)p:=1;q:y=f(x)是偶函数.(3)p:cos α=cos β;q:tan α=tan β. (4)p:A ∩B=A;q: U ðB ⊆U ð A.(A)(1)(2) (B)(2)(3) (C)(3)(4) (D)(1)(4)8.已知向量a =(1,2),b =(2,3),则λ<-4是向量m =λa +b 与向量n =(3,-1)夹角为钝角的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.(2013·西安模拟)已知集合M={x|log 2x ≤0},N={x|x 2-2x ≤0},则“a ∈M ”是 “a ∈N ”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件10.(2013·重庆模拟)设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab成立”是“+≥2成立”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件11.(能力挑战题)若m,n∈N+,则“a>b”是“a m+n+b m+n>a n b m+a m b n”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件12.(能力挑战题)已知a,b为实数,集合A={x|ax+b=0},则下列命题为假命题的是( )(A)当a≠0时,集合A是有限集(B)当a=b=0时,集合A是无限集(C)当a=0时,集合A是无限集(D)当a=0,b≠0时,集合A是空集二、填空题13.若“对于任意x∈R,ax2+ax+1>0”为真命题,则实数a的取值范围是.14.sinα≠sinβ是α≠β的条件.15.(能力挑战题)在空间中:①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是.16.(2013·渭南模拟)已知p:2x2-9x+a<0，q:且q是p的充分条件，则实数a的取值范围是.三、解答题17.已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈[,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.答案解析1.【解析】选D.否命题应在否定条件的同时否定结论,而原命题中的条件是“且”的关系,所以条件的否定形式是“x≤0或y≤0”.2.【解析】选A.⌝p:x>1;<1,解得x<0或x>1.所以⌝p是q的充分不必要条件.3.【解析】选D.“a=b=0”的否定为“a≠0或b≠0”,“a2+b2=0”的否定为“a2+b2≠0”,故原命题的逆否命题是“若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0或b≠0”.4.【解析】选D.当a=2时,函数f(x)=a x在R上为增函数,函数g(x)=x a在R上不是增函数;当a=时,g(x)=x a在R上是增函数,f(x)=a x在R上不是增函数.5.【解析】选B.原命题是一个假命题,因为当c=0时,不等式的两边同乘上0得到的是一个等式;原命题的逆命题是一个真命题,因为当ac2>bc2时,一定有c2≠0,所以必有c2>0,不等式两边除以同一个正数,不等号方向不变,即若ac2>bc2,则a>b成立.根据命题的等价关系,四个命题中有2个真命题.6.【解析】选B.对于①，a=b ⇒ac=bc ，但ac=bc a=b ，故①错.对于②，a+5是无理数⇔a 是无理数，故②正确. 对于③，a>ba 2>b 2，故③错.对于④，a<3⇒a<5，故④正确，故选B.7.【解析】选D.(1)y=x 2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件是m 2-4(m+3)>0,解得m<-2或m>6. (2)由=1可得f(-x)=f(x),函数y=f(x)是偶函数,但函数y=f(x)是偶函数时,有可能f(x)=0,此时无意义.(3)cos α=cos β≠0时,sin α=〒sin β,得出tan α=〒tan β,cos α=cos β=0时,tan α,tan β无意义. (4)A ∩B=A ⇔A ⊆B ⇔U ðB ⊆U ðA.综上可知,p 是q 的充要条件的是(1)(4).8.【解析】选A.m =(λ+2,2λ+3),m ,n 的夹角为钝角的充要条件是m ·n <0且m ≠μn (μ<0).m ·n <0,即3(λ+2)-(2λ+3)<0,即λ<-3;若m =μn ,则λ+2= 3μ,2λ+3=-μ,解得μ=,故m ≠μn (μ<0),所以,m ,n 的夹角为钝角的充要条件是λ<-3.λ<-4是m ,n 的夹角为钝角的充分不必要条件.9.【解析】选A.集合M={x|0<x ≤1},N={x|0≤x ≤2},故“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分不必要条件.10.【解析】选B.若a 2+b 2≥2ab,则+≥2不一定成立;若+≥2,则a 2+b 2≥2ab 成立.11.【解析】选D.a m+n +b m+n >a n b m +a m b n ⇔(a m -b m )(a n -b n )>0.当a>b 时,由于a,b 可能为负值,m,n 奇偶不定,因此不能得出(a m -b m )(a n -b n )>0;当(a m -b m )·(a n -b n )>0时,即使在a,b均为正数时也有a<b的可能,因此也得不出a>b.所以“a>b”是“a m+n+b m+n>a n b m+a m b n”的既不充分也不必要条件.【误区警示】因没有注意不等式性质成立的条件而出错.【变式备选】(2012·郑州模拟)若a1x2+b1x+c1<0和a2x2+b2x+c2<0的解集分别为集合M和N,a i,b i,c i(i=1,2)均不为零,那么“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的( ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选D.若a 1b2=a2b1且a1c2=a2c1,则有===k,当k<0时,M≠N;反之,若M=N,则a1b2=a2b1且a1c2=a2c1不一定成立,故“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的既不充分也不必要条件.12.【思路点拨】集合A是一个含有参数的方程的解的集合,根据参数的不同取值这个方程解的个数也不同,分类讨论即可解决.【解析】选C.A中,当a≠0时,有x=-,此时集合A是有限集;B中,当a=b=0时,一切实数x都是集合A的元素,此时集合A是无限集;C中,当a=0时,方程变为0x+b=0,此时只有b=0集合A才可能是无限集;D中,当a=0,b≠0时,没有实数x 满足ax+b=0,此时集合A是空集.13.【解析】问题等价于对任意实数x,不等式ax2+ax+1>0恒成立.当a=0时,显然成立;当a≠0时,只能是a>0且Δ=a2-4a<0,即0<a<4.故a的取值范围是[0,4). 答案:[0,4)【误区警示】因忽略二次项系数可能为零的情况而出错.14.【解析】即判断α=β是sinα=sinβ的什么条件,显然是充分不必要条件. 答案:充分不必要15.【解析】①中的逆命题是:在空间中,若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1C1内A1,B1,C1,D1四点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①中逆命题为假命题.②中的逆命题是:在空间中,若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以②中逆命题是真命题.答案:②16.【思路点拨】求出条件q，由q是p的充分条件知q p，再转化为不等式恒成立问题求解.【解析】由得≨2<x<3.≧q⇒p，≨x∈(2，3)时，2x2-9x+a<0恒成立.记f(x)=2x2-9x+a，则即≨a≤9.答案:(-≦，9]17.【解析】y=x2-x+1=(x-)2+,≧x∈[,2],≨≤y≤2,≨A={y|≤y≤2}.由x+m2≥1,得x≥1-m2,≨B={x|x≥1-m2}.≧“x∈A”是“x∈B”的充分条件,≨A⊆B,≨1-m2≤,解得m≥或m≤-,故实数m的取值范围是(-≦,-]∪[,+≦).【变式备选】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.【证明】必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则x=1满足方程ax2+bx+c=0,≨a+b+c=0.充分性:若a+b+c=0,则b=-a-c,≨ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,≨(ax-c)(x-1)=0,≨当x=1时,ax2+bx+c=0,≨x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.关闭Word文档返回原板块。
2014版高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(六)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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单元评估检测（六）第六章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·吉安模拟)下列命题正确的是( )(A)存在x∈R,x2+2x+3=0(B)对于任意x∈N,x3>x2(C)x>1是x2>1的充分不必要条件(D)若a>b,则a2>b22.(2013·合肥模拟)观察等式:+=,++=,+++=,根据以上规律,第四个等式应为( )(A)++=(B)++++=(C)+++=(D)++++=3.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是( )(A)(k+1)2+2k2(B)(k+1)2+k2(C)(k+1)2(D)(k+1)[2(k+1)2+1]4.(2013·南昌模拟)已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集是( ) (A)[-1,+∞) (B)(-∞,1](C)[1,2] (D)[-1,1]5.已知=2,=3,=4,=5,…,=10,则推测a+b= ( )(A)1033 (B)109(C)199 (D)296.设实数a,b,c满足a+b+c=6,则a,b,c中( )(A)至多有一个不大于2 (B)至少有一个不小于2(C)至多有两个不小于2 (D)至少有两个不小于27.已知则2x+y-2的最大值等于( )(A)1 (B)2 (C)(D)48.设x>0,y>0,x+y-x2y2=4,则+的最小值等于( )(A)2 (B)4 (C)(D)9.已知函数f(x)=x2,g(x)=()x-m,当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数m的取值范围是( )(A)[-,+∞) (B)[-,+∞)(C)(3,+∞) (D)(4,+∞)10.某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(1≤t≤30)的关系大致满足f(t)=t2+10t+16,则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为( )(A)18 (B)27 (C)20 (D)16二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.在约束条件下,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为,则ab的最大值为.12.若不等式-1<x-b<1成立的必要不充分条件为4-x2>0,则实数b的取值范围是.13.(2013·黄山模拟)不等式3x-3m≤-2m的正整数解为1,2,3,4,则m的取值范围是.14.观察下列数的特点:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,其中第100项是.15.(能力挑战题)若实数x,y满足不等式组则当≤2a恒成立时,实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:< a.17.(12分)已知不等式x(ax-1)>a(x-1),其中a∈R.(1)当a=时,解不等式.(2)若不等式在R上恒成立,求实数a的取值范围.18.(12分)在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,先改写第k项:k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得1×2=(1×2×3-0×1×2),2×3=(2×3×4-1×2×3),…,n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2).(1)类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”的结果.(2)试用数学归纳法证明你得到的等式.19.(12分)(能力挑战题)已知x,y满足若z=x+3y的最大值为12,试求k的值.20.(13分)(2013·宝鸡模拟)某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为3000平方米,其中阴影部分为通道,通道宽度为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.(1)分别用x表示y和S的函数关系,并给出定义域.(2)怎样设计能使S取得最大值,并求出最大值.21.(14分)(能力挑战题)设数列{a n}满足:a n+1=-na n+1,n=1,2,3,….(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想{a n}的一个通项公式.(2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,①a n≥n+2;②+++…+<.答案解析1.【解析】选C.A中≧Δ=4-12=-8>0,故方程x2+2x+3=0无实数解,B中当x<0时不成立,D中当b<a<0时不成立.2.【解析】选B.由所给三个式子规律可得,第四个等式为++++=.3.【解析】选B.当n=k时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,当n=k+1时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,因此由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是(k+1)2+k2.4.【解析】选D.≧f(x-1)==≨xf(x-1)=≨当x<1时,-x≤1,≨x≥-1,≨-1≤x<1.当x≥1时,x≤1,≨x=1,综上-1≤x≤1.5.【解析】选B.由给出的几个等式可以推测:在=10中,a=10,b=102-1=99,于是a+b=109.6.【解析】选B.假设a,b,c都小于2,即a<2,b<2,c<2,那么a+b+c<6,这与a+b+c=6相矛盾,因此a,b,c中至少有一个不小于2.7.【解析】选B.设t=x+y-2,则要使2x+y-2取得最大值,只要t取到最大值即可,如图,画出可行域,可知当x=1,y=2时t取到最大值1,因此2x+y-2的最大值等于2.8.【解析】选B.由x+y-x2y2=4可得x+y=x2y2+4,因此+===xy+≥2=4,当且仅当xy=2时取等号,故+的最小值等于4.【变式备选】当x>0时,函数f(x)=x++的最小值为.【解析】因为x>0,所以t=x+≥2,于是f(x)=x++=t+=g(t),由于g(t)=t+在[1,+≦)上单调递增,所以其最小值等于g(2)=2+=.答案:9.【思路点拨】采用分离参数法,将参数m分离到不等式的一边,用函数的单调性求出不等式另一边的最值,得到m的取值范围.【解析】选B.不等式f(x)≥g(x),即x2≥()x-m,因此m≥()x-x2.令h(x)=()x-x2,由于h(x)在[1,2]上单调递减,所以h(x)的最大值是h(1)=-,因此实数m的取值范围是[-,+≦).10.【解析】选A.平均销售量y===t++10≥18.当且仅当t=,即t=4∈[1,30]时等号成立,即平均销售量的最小值为18.11.【思路点拨】先由目标函数的最大值为,结合可行域,求出最优解,得到a,b 满足的关系式,然后利用基本不等式求最值.【解析】画出可行域,由z=ax+by得y=-x+,因此当直线y=-x+经过可行域中的点M(1,2)时,z取最大值,所以有a+2b=.又因为a>0,b>0,所以a+2b=≥2,解得ab≤,当且仅当a=2b=时取得.故ab的最大值为.答案：【变式备选】使可行域为的目标函数z=ax+by(ab≠0)在x=2,y=2取得最大值的充要条件是( )(A)|a|≤b (B)|a|≤|b|(C)|a|≥b (D)|a|≥|b|【解析】选A.画出可行域,如图,直线l:ax+by=0的斜率为-,要使目标函数在x=2,y=2取得最大值,必须且只需|-|≤1,且直线向上平移时,纵截距变大,所以必须且只需|-|≤1且b>0,因此|a|≤b.【方法技巧】解决线性规划问题的步骤(1)画出可行域.(2)确定目标函数的斜率.(3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线.(4)平移直线,确定满足最优解的点.(5)求满足最优解的点的坐标.12.【解析】设A={x|4-x2>0}={x|-2<x<2},B={x|b-1<x<b+1},则依题意知,B是A 的真子集,因此或解得-1≤b≤1.答案：-1≤b≤113.【解析】由3x-3m≤-2m,≨x≤,≨4≤<5,≨12≤m<15.答案：[12,15)14.【解析】设第100项所属数字段前面数字段的数字为n,则由<100(n∈N+),解得n的最大值为13,则第100项是13+1=14.故第100项为14.答案：1415.【思路点拨】先利用线性规划的方法,借助斜率模型,求出的最大值,然后根据不等式恒成立,只需2a大于或等于这个最大值即可.【解析】画出可行域(如图).由于==-1,其中表示可行域中的点(x,y)与定点(-1,-1)连线的斜率k,由图形可知k∈[,5],所以-1∈[-,4],因此当≤2a恒成立时,应有2a≥4,解得a≥2.答案：[2,+≦)【方法技巧】恒成立问题的求解技巧解决恒成立问题的关键是分离参数求最值,即把要求范围的参数分离到不等式的一边,然后求出不等式另一边的最值(或取值范围),即可得到参数的取值范围.16.【证明】要证<a,只需证b2-ac<3a2,≧a+b+c=0,只需证b2+a(a+b)<3a2,只需证2a2-ab-b2>0,只需证(a-b)(2a+b)>0,只需证(a-b)(a-c)>0.因为a>b>c,所以a-b>0,a-c>0,所以(a-b)(a-c)>0显然成立.故原不等式成立.17.【解析】(1)当a=时,不等式即为x(x-1)>(x-1),即x2-3x+1>0,解得x>或x<,即不等式的解集为{x|x>或x<}.(2)不等式x(ax-1)>a(x-1)可化为:ax2-(a+1)x+a>0,显然当a=0时,不合题意;因此应有解得a>1.18.【解析】(1)先改写第k项:k(k+1)(k+2)=[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)],于是有:1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4),…,n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3) -(n-1)n(n+1)(n+2)],相加得1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3).(2)下面用数学归纳法证明上述等式成立.①当n=1时,左边=1×2×3=6,右边=×1×2×3×4=6,左边=右边,所以等式成立;②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3),则当n=k+1时,1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4),因此等式成立,由①②知等式成立.19.【思路点拨】对k的取值进行讨论,分k≥0和k<0两种情况进行求解. 【解析】由于k的不同取值将影响不等式所表示的平面区域,故应对k的取值进行讨论.①若k≥0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图),由于z=x+3y,所以y=-x+z,因此当直线y=-x+z经过区域中的点A(0,-k)时,z取到最大值,等于-3k,令-3k=12,得k=-4,这与k≥0相矛盾,舍去.②若k<0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图),这时,当直线y=-x+z经过区域中的点A(-,-)时,z取到最大值,等于-,令-=12,得k=-9.综上,所求k的值为-9.20.【解析】(1)由已知xy=3000,y=,x∈(6,500),S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a,≧2a+6=y,≨a=-3=-3,≨S=(2x-10)(-3)=3030-(+6x),x∈(6,500).(2)S=3030-(+6x)≤3030-2=3030-2×300=2430,当且仅当=6x,x=50∈(6,500)时取等号,≨设计x=50m,y=60m时运动场地面积最大,最大值为2430平方米.21.【解析】(1)由a 1=2,得a2=-a1+1=3,由a 2=3,得a3=-2a2+1=4,由a 3=4,得a4=-3a3+1=5,由此猜想{a n}的一个通项公式:a n=n+1(n∈N+).(2)①用数学归纳法证明:(i)当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立.(ii)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时不等式成立,即a k≥k+2,那么a k+1=a k(a k-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2k+5>k+3.也就是说,当n=k+1时,a k+1>(k+1)+2.由(i)和(ii)得对于所有n≥1,有a n≥n+2.②由a n+1=a n(a n-n)+1及①,对k≥2,有a k=a k-1(a k-1-k+1)+1≥a k-1(k-1+2-k+1)+1=2a k-1+1,迭代得a k≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1(a1+1)-1,故结论成立.关闭Word文档返回原板块。
最新高考数学一轮复习课时规范练定积分与微积分基本定理理北师大版
课时规范练16 定积分与微积分基本定理基础巩固组1.给出如下命题①-1d x=d t=b-a(a,b为常数,且a<b);②d x=d x=;③f(x)d x=2f(x)d x(a>0).其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.32.由曲线f(x)=与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为,则m的值为()A.2B.3C.1D.83.(2018江西抚州七校联考,5)设f(x)+g(x)=2t d t,x∈R,若函数f(x)为奇函数,则g(x)的解析式可以为()A.x3B.1+xC.cos xD.x e x4.如果1 N的力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为()A.0.18 JB.0.26 JC.0.12 JD.0.28 J5.若a=x d x,则二项式展开式中含x2项的系数是()A.80B.640C.-160D.-406.如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过C,M,D三点的抛物线与CD围成的阴影部分的面积是()A. B. C. D.7.在区间上任选两个数x和y,则事件“y<sin x”发生的概率为()A.B.1-C.D.1-8.如图所示,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是.9.曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为.10.已知函数f(x)=ax2+c(a≠0),若f(x)d x=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为.综合提升组11.设函数f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)d x的值等于()A. B. C. D.12.若a=(1-2x)d x,则二项式的常数项是()A.240B.-240C.-60D. 6013.某物体在力F(x)=(单位N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4 m,则力F(x)所做的功为()A.44 JB.46 JC.48 JD.50 J14.在同一坐标系中作出曲线xy=1和直线y=x以及直线y=3的图像如图所示,曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为.15.(2018山西临汾模拟,14)若m>1,则f(m)=d x的最小值为.创新应用组16.已知数列{a n}为等差数列,且a2 016+a2 018=d x,则a2 017的值为()A.B.2πC.π2D.π117.函数y=(sin t+cos t sin t)d t的最大值是.参考答案课时规范练16 定积分与微积分基本定理1.B由于-1d x=a-b,d t=b-a,所以①错误;由定积分的几何意义知,d x和d x都表示半径为1的圆面积的,所以都等于,所以②正确;只有当函数f(x)为偶函数时,才有f(x)d x=2f(x)d x,所以③错误,故选B.2.A S=(m-)d x==m3-m3=,解得m=2.3.B2t d t=t2=(x+1)2-x2=2x+1,故f(x)+g(x)=2x+1.逐个检验选项,可知当g(x)=1+x时,f(x)=x满足题意,故选B.4.A由物理知识F=kx知,1=0.01k,∴k=100 N/m,则W=100x d x=50x2=0.18(J).故选A.5.A a=x d x=x2=×4=2,则二项式即,易求得二项式展开式中x2项的系数为80,故选A.6.D由题意,建立如图所示的坐标系,则D(2,1).设抛物线方程为y2=2px(p>0),将D(2,1)代入,可得p=,∴y=,∴S=2d x=·=,故选D.7.C在区间上任选两个数x和y,点(x,y)构成的区域的面积为,满足y<sin x的点(x,y)构成的区域的面积为sin x d x=(-cos x)=1,所以所求的概率为.故选C.8. 由解得x1=0,x2=2.∴S=(-x2+2x+1-1)d x=(-x2+2x)d x==-+4=.9.2- 依题意得2sin x=1,sin x=,所以x=或x=,所以面积为(2sin x-1)d x=(-2cos x-x)=2-.10. ∵f(x) d x=(ax2+c)d x==a+c=f(x0)=a+c,∴=,x0=±.又0≤x0≤1,∴x0=.11.A f'(x)=mx m-1+a=2x+1,得m=2,a=1,所以f(x)=x2+x,所以f(-x)=x2-x,所以f(-x)d x=(x2-x)d x==,故选A.12.D a=(1-2x)d x=(x-x2)=2-22=-2,易求二项式展开式中的常数项为60,故选D.13.B力F(x)所做的功为10d x+(3x+4)d x=20+26=46(J).14.4-ln 3所求区域面积为S=3-d x+(3-x)d x=(3x-ln x)+=4-ln 3.15.-1f(m)=d x==m+-5≥4-5=-1,当且仅当m=2时等号成立.16.A d x表示以原点为圆心,以2为半径的圆的面积的四分之一,则a2 016+a2 018=d x=π.∵数列{a n}为等差数列,∴a2 017=(a2 016+a2 018)=,故选A.17.2y=(sin t+cos t sin t)d t=sin t+sin 2t d t==-cos x-cos 2x+=-cos x- (2cos2x-1)+ =-cos2x-cos x+=- (cos x+1)2+2≤2,当cos x=-1时取等号.2。
2014高三数学北师大版一轮总复习课件3-3定积分与微积分基本定理(理)68
2π
4
3
π
A. 5
B.3
C.2
D.2
[答案] B
[解析] 本题考查定积分的计算．
由图像知，f(x)＝1－x2，∴S＝1
(1－x2)dx＝(x－x33)|1－1＝43，
-1
定积分的几何意义是曲边梯形的面积．
4．一物体的下落速度为 v(t)＝9.8t＋6.5(单位：m/s)，则下
落后第二个 4s 内经过的路程是( )
0＝k＋b ∴f(x)＝1－0x10x＋100≤12x<≤x≤121
10x2 ∴xf(x)＝
－10x2＋10x
0≤x≤12 12<x≤1
定积分的几何意义
[例3] 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的 平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2. [分析] 先将区域面积表示成若干个定积分的和或差， 再运用牛顿—莱布尼兹公式计算．
(2)当 x∈[a，b]且 f(x)<0 时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝
0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积为 S＝
－bf(x)dx
a
.
(3)当 x∈[a，b]且 f(x)>g(x)时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)和
曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的曲边梯形的面积 S＝
(2)由|3－2x|＝
3－2x，1≤x≤32 2x－3，32<x≤2
的和．
，可分为两段定积分
[解析] (1)由积分性质知
[点评] 1.分段函数的定积分问题、绝对值函数的定积分
问题都可以采用分段求解的方法．
2．注意积分区间的可加性，若c∈[a，b]则有
2014版高中数学复习方略课时提升作业：2.8函数与方程(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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课时提升作业(十一)一、选择题1.(2013·九江模拟)设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x) ( )(A)在区间(e-1,1),(1,e)内均有零点(B)在区间(e-1,1),(1,e)内均无零点(C)在区间(e-1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点(D)在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点2.(2013·安庆模拟)如图是函数f(x)的图像,它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是( )(A)[-2.1,-1] (B)[4.1,5](C)[1.9,2.3] (D)[5,6.1]3.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系是( ) (A)x1<x2 (B)x1>x2 (C)x1=x2 (D)不能确定4.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(2013·合肥模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx 的零点个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.设x1,x2是方程ln|x-2|=m(m为实常数)的两根,则x1+x2的值为( )(A)4 (B)2 (C)-4 (D)与m有关7.(2013·吉安模拟)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是( )(A)(-,-2] (B)[-1,0] (C)(-∞,-2] (D)(-,+∞)8.若函数y=()|1-x|+m的图像与x轴有公共点,则m的取值范围是( )(A)m≤-1 (B)m≥1 (C)-1≤m<0 (D)0<m≤19.(2013·温州模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是( ) (A)(-∞,-1)∪(-,0) (B){-1,-}(C)(-1,-) (D)(-∞,-1)∪[-,0)10.(能力挑战题)若函数y=4sin(2x+)(x∈[0,])的图像与直线y=m有三个交点且它们的横坐标分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+2x2+x3的值是( )(A) (B) (C) (D)二、填空题11.若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.12.已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,则a+b= .13.若函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点,则实数m的取值集合是.14.(能力挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图像在区间[-5,5]内的交点个数为.三、解答题15.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围.答案解析1.【解析】选D.f'(x)=-,当x∈(0,3)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,3)上是减函数,又f(e-1)=e-1+1>0,f(1)=>0,f(e)=e-1<0,≨f(e-1)·f(1)>0,f(1)·f(e)<0,故选D.2.【解析】选C.由图像可以看出函数在[-2.1,-1],[1.9,2.3],[4.1,5],[5,6.1]上各有一个零点,对比四个选项,C中的零点不能用二分法求.3.【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图像如图所示,由图像知x1<x2.4.【思路点拨】本题可转化为求函数y=|x-2|和y=lnx图像的交点个数.【解析】选C.在同一直角坐标系中,作出函数y=|x-2|与y=lnx的图像如图,从图中可知,两函数共有2个交点,≨函数f(x)的零点的个数为2.5.【解析】选C.令f(x)=0,则sgn(lnx)-lnx=0,即sgn(lnx)=lnx,≨lnx=1或lnx=0或lnx=-1,≨x=e或x=1或x=.6.【解析】选A.函数y=ln|x-2|的图像关于直线x=2对称,从而x1+x2=4.7.【解析】选A.由题意知函数M(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,则有≨-<m≤-2.8.【解析】选C.由已知得函数y=()|1-x|+m有零点,即方程()|1-x|+m=0有解,此时m=-()|1-x|.≧|1-x|≥0,≨0<()|1-x|≤1,≨m∈[-1,0).9.【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,≨f(x)=函数f(x)的图像如图所示,由图像知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.10.【解析】选C.函数y=4sin(2x+)的图像的对称轴在[0,π]有2条,分别为x=和x=,由对称性可得x1+x2=2×=,x2+x3=2×=,故x1+2x2+x3=x1+x2+x2+x3=+=.11.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y=a x与函数y=x+a交点的个数,两函数的图像如图所示,可知a>1时两函数图像有两个交点,0<a<1时两函数图像有唯一交点,故a>1.答案:(1,+≦)12.【解析】由已知x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,≨a,b的可能取值为a=1,b=2,或a=2,b=3,….又f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0,≨f(1)f(2)<0,故a=1,b=2符合要求.又≧f(x)为增函数,当x取大于或等于2的整数时,所对应的函数值都大于0, ≨a=1,b=2.≨a+b=1+2=3.答案:313.【解析】当m=1时,f(x)=4x-1=0,得x=,符合要求.当m≠1时,依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得m=-3或m=0,≨m的取值集合是{-3,0,1}.答案:{-3,0,1}【误区警示】本题求解过程中易忽视m=1而失误.根据原式将f(x)误认为是二次函数.14.【思路点拨】根据周期性画函数f(x)的图像,根据对称性画函数g(x)的图像,注意定义域.【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图像可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.答案:815.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,≧Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,只需即解得<a<.【变式备选】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.【解析】≧f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0,当Δ=0时,即m2-4=0,≨m=2或m=-2.又m=-2时,t=1,m=2时,t=-1(不合题意,舍去),≨2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点,≨这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.关闭Word文档返回原板块。
2014版高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(一)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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单元评估检测(一)第一章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.定义A-B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,3,5,7,9},B={2,3,5},则A-B=( )(A)A (B)B(C){1,2,7,9} (D){1,7,9}2.(2013·汉中模拟)集合M={4,5,-3m},N={-9,3},若M∩N≠∅,则实数m的值为( ) (A)3或-1 (B)3(C)3或-3 (D)-13.设集合M={x|x<2013},N={x|0<x<1},则下列关系中正确的是( )(A)M∪N=R (B)M∩N=N(C)N∈M (D)M∩N=∅4.在△ABC中,“A>B”是tanA>tanB”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5.设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={1,2},B={-2,1,2},则A∪(B)等于( )U(A) (B){1}(C){1,2} (D){-1,0,1,2}6.(2013·南昌模拟)集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|(x+5)(x-a)≤0},则“A⊆B”是“a>4”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.命题“有些x∈Z,x2+2x+m≤0”的否定是( )(A)有些x∈Z,x2+2x+m>0(B)不存在x∈Z,使x2+2x+m>0(C)任意x∈Z,x2+2x+m≤0(D)任意x∈Z,x2+2x+m>08.(2013·吉安模拟)若集合P={x|3<x≤22},非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5},则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围是( )(A)(1,9) (B)[1,9] (C)[6,9) (D)(6,9]9.(2013·西安模拟)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分不必要条件的有( )①若x∈E或x∈F,则x∈E∪F;②若关于x的不等式ax2-2ax+a+3>0的解集为R,则a>0;③若x是有理数,则x是无理数.(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个10.(2013·南昌模拟)已知集合M={(x,y)|y=f(x)};若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“好集合”,给出下列集合:①M={(x,y)|y=};②M={(x,y)|y=e x-2};③M={(x,y)|y=cosx};④M={(x,y)|y=lnx}.其中所有“好集合”的序号是( )(A)①②④(B)②③(C)③④(D)①③④二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2013·六安模拟)设方程x2-px-q=0的解集为A,方程x2+qx-p=0的解集为B,若A∩B={1},则p+q= .12.已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0}.若B⊆A,则实数a的取值集合为.13.已知命题p:方程x2+x-1=0的两实根的符号相反;命题q:存在x∈R,使x2-mx-m<0.若命题“p且q”是假命题,则实数m的取值范围是. 14.设全集U=R,A={x|<2},B={x|lo(x2+x+1)>-log2(x2+2)},则图中阴影部分表示的集合为.15.已知下列四个结论:①命题“若p,则q”与命题“若q,则p”互为逆否命题;②命题p:存在x∈[0,1],e x≥1,命题q:存在x∈R,x2+x+1<0,则p或q为真;③若p或q为假命题,则p,q均为假命题.④“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题.其中正确结论的序号是.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}.求:(1)A∪B.A)∩B.(2)(R17.(12分)(2013·新密模拟)已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p或q为真命题、p且q为假命题,求实数m的取值范围.18.(12分)(2013·忻州模拟)A={x|≤2-x≤4},B={x|x2-3mx+2m2-m-1<0}.(1)当x∈N时,求集合A的非空真子集的个数.(2)若A⊇B,求实数m的取值范围.19.(12分)(2013·亳州模拟)已知命题p:实数x满足-2≤1-≤2;命题q:实数x满足x2-2x+1-m2≤0(m>0),若⌝p是⌝q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.20.(13分)(2013·屯溪模拟)集合A={x|y=},集合B={x|y=ln(x2-x-6)}. (1)求集合A∩B.(2)若不等式ax2+2x+b>0的解集为A∪B,求a,b的值.21.(14分)设a,b,c为△ABC的三边,探究方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件.答案解析1.【解析】选D.属于集合A而不属于集合B的元素为1,7,9,故A-B={1,7,9}.2.【解析】选A.由M∩N≠ ,可知-3m=-9或-3m=3,所以m=3或-1.3.【解析】选B.M∩N={x|x<2013}∩{x|0<x<1}={x|0<x<1}.4.【解析】选D.因为函数y=tanx在(0,π)上不是单调函数,所以“A>B”是“tanA>tanB”的既不充分也不必要条件,选D.5.【解析】选D.因为U B={-1,0},所以A∪(UB)={-1,0,1,2}.6.【解析】选B.集合A=[-4,4],当A⊆B时有a≥4;若a>4,则A⊆B.故为必要不充分条件.7.【解析】选D.根据特称命题的否定是全称命题得答案.8.【解析】选D.Q⊆(P∩Q)⇔Q⊆P,故实数a满足解得6<a≤9.9.【解析】选A.①若x∈E或x∈F,则x∈E∪F,是充要条件;②若关于x的不等式ax2-2ax+a+3>0的解集为R,则a>0,是必要不充分条件;③若x是有理数,则x 是无理数,是既不充分也不必要条件.10.【思路点拨】对于①,利用渐近线互相垂直判断其正误即可.对于②,③可通过取特殊点加以验证,对于④,画出函数图像,取一个特殊点即能说明不满足好集合的定义.【解析】选B.对于①,y=是以x,y轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,在同一支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M满足好集合的定义;对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,所以不满足好集合的定义,不是好集合.对于②,M={(x,y)|y=e x-2},如图1,图中直角始终存在,例如取M(0,-1),N(ln2,0),满足好集合的定义,所以正确.对于③,M={(x,y)|y=cosx},如图2,对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,例如(0,1),(,0),∠yOx=90°,满足好集合的定义,旋转90°,都能在图象上找到满足题意的点,所以M是好集合.对于④,M={(x,y)|y=lnx},如图3,取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直.11.【解析】已知两个方程有公共根x=1.代入第一个方程得p+q=1.答案:112.【解析】当a=0时,B= ,符合要求;当a≠0时,B={-},根据B⊆A可得a=1或-1.故实数a的取值集合为{-1,0,1}.答案:{-1,0,1}【误区警示】不要忽视集合B为空集的情况.13.【解析】方程x2+x-1=0有两个实数根且两根之积为负值,故两根的符号相反,命题p是真命题,若p且q为假命题,只能是命题q为假命题,即其否定是真命题,即任意x∈R,x2-mx-m≥0为真命题,即Δ=m2+4m≤0,即-4≤m≤0.答案:[-4,0]14.【解析】由(x-1)2<1,得0<x<2,故集合A={x|0<x<2};由lo(x2+x+1)>-log2(x2+2)=lo(x2+2),又y=lo x为减函数,得0<x2+x+1<x2+2,解得x<1,故集合B={x|x<1}.图中的阴影部分为集合A∩(B).UB)={x|0<x<2}∩{x|x≥1}A∩(U={x|1≤x<2}.答案:{x|1≤x<2}(也可以填[1,2))15.【解析】根据四种命题的关系,结论①正确;②中命题p为真命题、q为假命题,故p或q是真命题,结论②正确;根据或命题的真假判断方法知结论③正确;④中命题的逆命题是“若a<b,则am2<bm2”,这个命题在m=0时不成立,结论④不正确.答案:①②③16.【解析】(1)A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10}.A={x|x<3或x≥7},(2)因为R所以(A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.R17.【解析】命题p为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命题q 为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.p或q为真命题、p且q为假命题,等价于p真且q假或者p假且q真.若p真且q假,则实数m满足m>2且m≤1或m≥3,解得m≥3;若p假且q真,则实数m满足m≤2且1<m<3,解得1<m≤2.综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).18.【解析】化简集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|(x-m+1)(x-2m-1)<0}.(1)当x∈N时,集合A={0,1,2,3,4,5},即A中含有6个元素,所以A的非空真子集数为26-2=62(个).(2)(2m+1)-(m-1)=m+2.①当m=-2时,B=∅⊆A;②当m<-2时,2m+1<m-1,此时B=(2m+1,m-1),若B⊆A,则只要解得-≤m≤6,与m<-2无公共部分,所以m的值不存在;③当m>-2时,2m+1>m-1,此时B=(m-1,2m+1),若B⊆A,则只要解得-1≤m≤2,此时m满足-1≤m≤2.综上所述,m的取值范围是m=-2或-1≤m≤2.19.【解析】令A={x|-2≤1-≤2}={x|-2≤x≤10},B={x|x2-2x+1-m2≤0(m>0)} ={x|1-m≤x≤1+m(m>0)}.因为“若⌝p则⌝q”的逆否命题为“若q则p”,又⌝p是⌝q的必要不充分条件,所以q是p的必要不充分条件,所以A B,故解得m≥9.【方法技巧】条件、结论为否定形式的命题的求解策略处理此类问题一般有两种策略:一是直接求出条件与结论,再根据它们的关系求解.二是先写出命题条件与结论的否定,再根据它们的关系求解.如果p是q的充分不必要条件,那么p是q的必要不充分条件;同理,如果p是q 的必要不充分条件,那么p是q的充分不必要条件,如果p是q的充要条件,那么p是q的充要条件.20.【解析】(1)由2x-1>0,解得x>0,即集合A=(0,+∞);又x2-x-6>0,解得x<-2或x>3,即集合B=(-∞,-2)∪(3,+∞).所以A∩B=(3,+∞).(2)A∪B=(-∞,-2)∪(0,+∞).不等式ax2+2x+b>0的解集为A∪B,即方程ax2+2x+b=0的两个实根为-2,0,根据根与系数的关系得a=1,b=0.21.【思路点拨】设出方程的公共根,消掉这个公共根就可以得到两个方程有公共根的必要条件,再证明这个条件是充分的即可.【解析】设m是两个方程的公共根,显然m≠0.由题设知:m2+2am+b2=0 ①,m2+2cm-b2=0 ②,由①+②得2m(a+c+m)=0,所以m=-(a+c) ③,将③代入①,得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0,化简得a2=b2+c2.所以所给的两个方程有公共根的必要条件是a2=b2+c2.下面证明其充分性.因为a2=b2+c2,所以方程x2+2ax+b2=0,即x2+2ax+a2-c2=0,它的两个根分别为x1=-(a+c)和x2=c-a;同理,方程x2+2cx-b2=0的两根分别为x3=-(a+c)和x4=a-c.圆学子梦想铸金字品牌因为x1=x3,所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.综上所述,方程x2+2ax+b2=0与方程x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.关闭Word文档返回原板块。
高考(北师大版)数学(理)复习配套试题：定积分与微积分基本定理(知识回扣+热点突破+能力提升)
第十三节 定积分与微积分基本定理【考纲下载】1. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2. 了解微积分基本定理的含义.1．定积分(1)定积分的相关概念：在∫baf (x )d x 中，∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．(2)定积分的性质： ①∫b a 1d x ＝b －a ；②⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)；③⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ；④⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x . (3)定积分的几何意义：①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫b af (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b af (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．2．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有∫b af (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫ba f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1.()baf x dx ⎰与()baf t dt ⎰相等吗？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分[()()]baf xg x dx -⎰(f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．1．(2013·江西高考)若S 1＝221x dx ⎰，S 2＝211dx x⎰，S 3＝21e x dx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B S 1＝32113x ＝83－13＝73，S 2＝2ln 1x ＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝2e 1x ＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.2．已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 20 解析：选B S ＝10t tdt ⎰＝0250t t ＝5t 20.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)2x (x <0)，则11()f x dx -⎰的值是( )A. 121x dx -⎰ B. 112x dx -⎰C.21x dx -⎰＋102x dx ⎰ D. 012x -⎰d x ＋120x ⎰d x解析：选D11()f x dx -⎰＝012x -⎰d x ＋120x ⎰d x .4．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：220x dx ⎰＝32103x ＝83.答案：835．(2013·湖南高考)若20Tx dx ⎰＝9，则常数T 的值为________．解析：2Tx dx ⎰＝3103T x ＝13T 3＝9，解得T ＝3.答案：3[例1] 求下列定积分： (1) 12(2)xx dx -+⎰； (2) 0(sin cos )x x dx π-⎰；(3)2211(e )x dx x+⎰; (4) 201x dx -⎰.[自主解答] (1) 120(2)x x dx -+⎰＝120()x dx -⎰＋102xdx ⎰＝31103x -＋210x ＝－13＋1＝23.(2)(sin cos )x x dx π-⎰＝0sin xdx π⎰－0cos xdx π⎰＝(cos )x π-－sin 0xπ＝2.(3)2211(e )xdx x +⎰＝221e xdx ⎰＋211dx x ⎰＝221e 12x ＋2ln 1x ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x (0≤x <1)，x －1 (1≤x ≤2)，故1(1)x dx -⎰＝10(1)x dx -⎰＋21(1)x dx -⎰＝2102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12＋12＝1.【互动探究】若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎰表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎰表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎰＝14π.【方法规律】定积分的求法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()aaf x dx -⎰＝0.1.＝________.解析：＝20sin cos x x dx π-⎰＝()40cos sin d x x x π-⎰＋()24sin cos d x x x ππ-⎰＝()sin cos 40x x π+＋()2cos sin 4x x ππ--＝2－1＋(－1＋2)＝22－2. 答案：22－2 2．若()20sin cos d x a x x π+⎰＝2，则实数a ＝________.解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，∴46212243(34)d 4()d 22x x x x v t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰＝(sin cos )20a x x π-＝⎝⎛ a sin π2－⎭⎫cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2，∴a ＝1.答案：1 3.x ⎰＝________.解析：由定积分的几何意义知，0x⎰是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故x ⎰＝π·324＝9π4. 答案：9π4[例2] (1)(2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 (2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J [自主解答] (1)由v (t )＝7－3t ＋151＋t ＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋151＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 3＋25ln (1＋t ) 40＝4＋25ln 5. (2)力F (x )做功为2010d x ⎰＋42(34)d x x +⎰＝10x 20＋243422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝20＋26＝46. [答案] (1)C (2)B 【方法规律】利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6s 间的运动路程为________．解析：由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s＝()331122322222021022132()d d e 33363kx xx x kx x x x x x x kx x x ππ-⎡⎤''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦⎰⎰则＝1122d t t ⎰＋312d t ⎰＋6311d 3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝t 2112＋2t 31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t 63＝494.答案：4941．利用定积分求平面图形的面积是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度偏小，属中低档题．2．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下几个命题角度：(1)知图形求曲线围成图形的面积； (2)知函数解析式求曲线围成图形的面积； (3)知曲线围成图形的面积求参数的值． [例3] (1)(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2(2)(2011·新课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163 D ．6 (3)(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[自主解答] (1)由题意知二次函数f (x )＝－x 2＋1，它与x 轴所围图形的面积为11()d f x x -⎰＝102()d f x x ⎰＝2 120(1)d x x -+⎰＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3 10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.(2)作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 4(2)d x x ⎤-⎦⎰＝)402d x x +⎰＝3224212032x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝23×8－12×16＋2×4＝163.(3)由题意知x ⎰＝a 2.又332222033a x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭则＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49.[答案] (1)B (2)C (3)49利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)知图形求面积．首先，依据函数的图象求出解析式；其次，确立被积函数；最后，利用定积分求面积．(2)知函数解析式求面积．解决此类问题应分四步：①画图；②确定积分上、下限，即求出曲线的交点坐标；③确定被积函数；④由定积分求出面积．(3)知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．1．曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是( ) A.13 B.23 C ．1 D.43解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y 2＝x ，得两曲线的交点为(0,0)，(1,1)．所以)120d x x⎰＝332121033x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝13，即曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是13.2．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)． 所以S ＝2201d x x -⎰＝()1201d x x -⎰＋()2211d x x -⎰＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1＝2. 答案：2————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个定理——微积分基本定理利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分互为逆运算．2条结论——定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程． 4条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行；(4)f (x )在区间[－a ，a ]上连续，若f (x )为偶函数，则()d aaf x x -⎰＝2()d af x x ⎰；若f (x )为奇函数，则()d aaf x x -⎰＝0.易误警示(四)利用定积分求平面图形面积的易错点[典例](2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解题指导] 根据已知条件，求出f (x )的解析式，然后利用定积分求解．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为122010d x x ⎰＋()12121010d x x x -⎰＝3110230x ＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54[名师点评] 1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量．曲线y ＝x 2＋2与直线5x －y －4＝0所围成的图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，5x －y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.如图所示，当2<x <3时，直线5x －y －4＝0在曲线y ＝x 2＋2的上方， 所以所求面积为()32254(2)d x xx ⎡⎤--+⎣⎦⎰＝()32256d x x x ⎡⎤--⎣⎦⎰＝⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－6x ⎪⎪⎪32＝⎝⎛⎭⎫52×32－13×33－6×3－⎝⎛⎭⎫52×22－13×23－6×2＝⎝⎛⎭⎫－92－⎝⎛⎭⎫－143＝16. 答案：16[全盘巩固]1．已知f (x )是偶函数，且6()d f x x ⎰＝8，则66()d f x x -⎰＝( )A ．0B ．4C ．6D ．16解析：选D 因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以66()d f x x -⎰＝06()d f x x -⎰＋60()d f x x ⎰＝26()d f x x ⎰＝16.2．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：选D 结合函数图象可得所求封闭图形的面积是33cos d x x ππ-⎰＝sin x33ππ-＝ 3.3．已知f (x )＝2－|x |，则21()d f x x -⎰＝( )A ．3B ．4 C.72 D.92解析：选C ∵f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ≥0)，2＋x (x <0)，∴21()d f x x -⎰＝()012d x x -+⎰＋()22d x x -⎰＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x ＋x 220－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 4．以初速度40m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403 mD.203m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t ＝2(t ＝－2舍去)，则此物体达到最高时的高度为()2204010d t t -⎰＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)． 5．(2014·德州模拟)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝1230()d x x x -⎰＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 4410＝13－14＝112.6．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.14B.12C ．1D ．2 解析：选A 设图中阴影部分的面积为S (t )，则S (t )＝220()d tt x x -⎰＋122()d tx t x -⎰＝43t 3－t 2＋13，由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )min ＝S ⎝⎛⎭⎫12＝14. 7．(2014·西安模拟)若11(2)d ax x x+⎰＝3＋ln 2，则a 的值是________．解析：由11(2)d ax x x +⎰＝()x 2＋ln x 1a ＝()a 2＋ln a －(12＋ln 1)＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2(a >1)，得a 2＋ln a ＝4＋ln 2，所以a ＝2. 答案：28．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则0()d ef x x ⎰的值为________．解析：依题意得0()d ef x x ⎰＝12d x x ⎰＋11d ex x ⎰＝x 3310＋ln x 1e ＝13＋1＝43. 答案：439．曲线y ＝12ex 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：由题意得y ′＝12e x '⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212e x ，所以曲线在点(4，e 2)处的切线斜率为12e 2，因此切线方程为y －e 2＝12e 2·(x －4)，则切线与坐标轴的交点为A (2,0)，B (0，－e 2)，所以S △AOB ＝12|－e 2|×2＝e 2(O 为坐标原点)．答案：e 210．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 1、l 2、y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎨⎧ c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t (t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t .∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知： S (t )＝()2208(8)d tt t x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＋()222(8)8d tx x t t x⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＝⎣⎡⎦⎤(－t 2＋8t )x －⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 20t ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2－(－t 2＋8t )x 2t ＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝120()d x x x -⎰＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 310＝16.又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S 2＝12()d kx x kx x ---⎰d x ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 310k -＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝101d 3x x ⎫⎪⎭⎰＋3112d 3x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝322121036x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋43＝136. [冲击名校]1．一物体在变力F (x )＝5－x 2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与F (x )成30°角的方向做直线运动，则从x ＝1处运动到x ＝2处时变力F (x )所做的功为( )A.233 JB. 3 JC.433 J D ．2 3 J解析：选C 由已知条件可得，F (x )所做的功为32()2215d x x -⎰＝433J. 2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．解析：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则()20d xkx x x -⎰＝()22d x x kx x -⎰，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 30x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 22x ， 整理得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2， 解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169.答案：⎝⎛⎭⎫43，169[高频滚动]已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)若f (x )在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，求实数k 的取值范围；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，均存在t ∈[1,3]，使得13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln2＋16≤f (x )，试求实数c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax －b x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，f (1)＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，f (x )＝2x 2－ln x ，f ′(x )＝4x －1x＝4x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，则函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， 所以⎩⎨⎧k －1≥0，k －1<12，解得1≤k <32.k ＋1>12，故实数k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. (2)设g (t )＝13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16，根据题意可知g (t )min ≤f (x )min ，由(1)知f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋ln 2，g ′(t )＝t 2－(c ＋1)t ＋c ＝(t －1)(t －c )， 当c ≤1时，g ′(t )≥0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递增，g (t )min ＝g (1)＝c2＋ln 2，满足g (t )min ≤f (x )min .当1<c <3时，g (t )在t ∈[1，c ]时单调递减，在t ∈[c,3]时单调递增， g (t )min ＝g (c )＝－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16，由－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16≤12＋ln 2，得c 3－3c 2＋2≥0，(c －1)(c 2－2c －2)≥0，此时1＋3≤c <3.当c ≥3时，g ′(t )≤0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递减，g (t )min ＝g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2，g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2≤－3×32＋143＋ln 2≤12＋ln 2.综上，c 的取值范围是(－∞，1]∪[1＋3，＋∞)．。
定积分与微积分基本定理复习
上、下限确定出错．
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【解析】 y＝ x与 y＝x－2 以及 y 轴所围成的图形面积为如 图所示的阴影部分，
联立y＝ x 得交点坐标为(4，2)，故所求面积为 y＝x－2
S＝04[ x－(x－2)]dx
＝[23x32－(x22－2x)]|40＝136.
【答案】 C
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本节目录
教
考
名
知
材
点
师
能
回
探
讲
演
顾
究
坛
练
夯
讲
精
轻
实
练
彩
松
双
互
呈
闯
基
动
现
关
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教材回顾夯实双基
基础梳理
1.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi －1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小 区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1，2，…，n)，作和式
＝π4 ，即在区间[－2，m]上该函数图象应为14的圆，于是得 m ＝－1，故选 A. 【答案】 A
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【规律小结】 求由不同曲线围成的图形的面积时，若被积 函数的原函数难以找到，但被积函数具有明显的几何意义， 可利用几何法求其面积．
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24 目录
跟踪训练
ππ 解：由于函数 y＝sin x 在区间[－ 2 ， 2 ]上是一个奇函数， 图象关于原点成中心对称，在 x 轴上方和下方面积相等，故 该区间上定积分的值为面积的代数和，等于 0，即
【高考核动力】高考数学 2-12定积分与微积分基本定理(理)配套作业 北师大版
【高考核动力】2014届高考数学 2-12定积分与微积分基本定理(理)配套作业 北师大版1．(2013·临沂模拟(x 2－e x)d x 等于( )A.83－e 2B ．4－e 2C.113－e 2D ．5－e 2【解析】 (x 2－e x)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－e x 20＝113－e 2. 【答案】 C2．若∫a1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2【解析】 ∫a 1(2x ＋1x )d x ＝∫a 12x d x ＋∫a 11xd x＝x 2⎪⎪⎪a 1＋ln x ⎪⎪⎪a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，∴a ＝2.【答案】 D3．如图，阴影部分的面积为( )A ．2 3B ．9－2 3 C.323D.353【解析】 阴影部分的面积为S ＝∫1－3(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)⎪⎪⎪1－3＝323. 【答案】 C4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为( )A.3JB.233J C.433J D ．23J【解析】 由于F (x )与位移方向成30°角．如图：F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos30°，W ＝∫21(5－x 2)·cos 30°d x＝32∫21(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫5x －13x 321 ＝32×83＝433(J)． 【答案】 C5．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为112.试求：切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．【解】 如右图．设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02.即C (x 02，0)．设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形面积为S ，S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13x 30，S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30.即：S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.课时作业【考点排查表】1．已知f (x )为偶函数且∫60f (x )d x ＝8，则∫6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8D ．16【解析】 原式＝∫0－6f (x )d x ＋∫60f (x )d x .∵原函数为偶函数，∴在y 轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等8×2＝16. 【答案】 D2．(2013·江西师大附中)计算04－x 2d x 的结果是( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2【解析】 令f (x )＝ 4－x 2，其意义为x 轴上方半径为2的圆．∴04－x 2d x 表示半径为2的圆的面积的14，即14π×22＝π，故选C.【答案】 C3．函数F (x )＝∫x0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值【解析】 F (x )＝∫x0t (t －4)d t ＝∫x0(t 2－4t )d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2x 0＝13x 3－2x 2，函数F (x )的极值点为x ＝0，x ＝4，F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253，故F (x )有最大值0，最小值－323.【答案】 B4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，cos x ，0≤x ≤π2，的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．2D.12【解析】 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为S ＝12×1×1＋∫π20cos x d x ＝12＋sin x |π20＝12＋sin π2－sin 0 ＝32. 【答案】 A5．(2012·长春质检)以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603m B.803m C.403m D.203m 【解析】 v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，∫20(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m )． 【答案】 A6．若a ＝∫20x 2d x ，b ＝∫20x 3d x ，c ＝∫20sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b【解析】 a ＝x 33|2＝83，b ＝x 44|20＝4.c ＝－cos x |20＝1－cos 2.∴c ＜a ＜b .故选D. 【答案】 D 二、填空题7．计算∫2－2(sin x ＋2)d x ＝________.【解析】 ∫2－2(sin x ＋2)d x ＝(－cos x ＋2x )|2－2＝－cos2＋4－(－cos2－4)＝8. 【答案】 88．(2013·青岛模拟)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为( )A ．ln 2B ．1－ln 2C ．2－ln 2D ．1＋ln 2【解析】 S ＝1×1＋211ydy ＝1＋ln y |21＝1＋ln 2.【答案】 D9．(2013·潍坊模拟)如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是________．【解析】阴影部分的面积S ＝∫π0sin x d x ＝－cos x |π0＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π.概率P ＝阴影部分的面积矩形面积＝22π＝1π.【答案】1π三、解答题 10．求下列定积分：(1)∫π20⎝⎛⎭⎪⎫cos x 2－sin x22d x ；(2)∫21－x 3＋x 2＋1xd x .【解】 (1)∫π20⎝⎛⎭⎪⎫cos x 2－sin x22d x＝∫π20(1－sin x )d x ＝(x ＋cos x )|π20 ＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋cos π2－(0－cos 0)＝π2－1. (2)∫21－x 3＋x 2＋1xd x ＝∫21(－x 2＋x ＋x －1)d x＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫－13x 3＋12x 2＋ln x 21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×23＋12×22＋ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×13＋12×12＋ln 1＝－56＋ln 2.11．设一物体从初速度为1时开始做直线运动，已知在任意时刻t 的加速度为2t ＋1，将位移s 表示为时间t 的函数表达式．【解】 在时间区间[0，t ]上(t >0)，由微积分基本定理得：v (t )－v (0)＝∫t0a (t )d t ， 即∫t0(2t ＋1)d t ＝43t 32＋t .由v (0)＝1得v (t )＝43t 32＋t ＋1.同理，有s (t )－s (0)＝∫t0v (t )d t ＝815t 52＋12t 2＋t ，由s (0)＝0得s (t )＝815t 52＋12t 2＋t .12．设f (x )＝∫10|x 2－a 2|d x .(1)当0≤a ≤1与a ＞1时，分别求f (a )； (2)当a ≥0时，求f (a )的最小值．【解】 (1)0≤a ≤1时，f (a )＝∫10|x 2－a 2|d x＝∫a 0(a 2－x 2)d x ＋∫1a (x 2－a 2)d x ＝(a 2x －13x 3)⎪⎪⎪a 0＋(x 33－a 2x )⎪⎪⎪1a＝a 3－13a 3－0＋0＋13－a 2－a 33＋a 3＝43a 3－a 2＋13. 当a ＞1时，f (a )＝∫10(a 2－x 2)d x ＝(a 2x －13x 3)⎪⎪⎪10＝a 2－13.∴f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧43a 3－a 2＋13， a，a 2－13， a ＞(2)当a ＞1时，由于a 2－13在[1，＋∞)上是增函数，故f (a )在[1，＋∞)上的最小值是f (1)＝1－13＝23.当a ∈[0,1]时，f ′(a )＝4a 2－2a ＝2a (2a －1)， 由f ′(a )＞0知：a ＞12或a ＜0，故在[0，12]上递减，在[12，1]上递增．因此在[0,1]上，f (a )的最小值为f (12)＝14.综上可知，f (x )在[0，＋∞)上的最小值为14.四、选做题13．设直线y ＝ax (a ＜1)与抛物线y ＝x 2所围成的图形面积为S ，它们与直线x ＝1围成的面积为T ，若U ＝S ＋T 达到最小值，求a 值．【解】(1)当0＜a ＜1时，如图1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax y ＝x2得交点(0,0)，(a ，a 2)．S ＝∫a 0(ax －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 22－x 33a 0＝a 32－a 23＝a 36.T ＝∫1a (x 2－ax )d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫x 33－ax 221a ＝13－a 2＋a 36.∴U ＝S ＋T ＝a 33－a 2＋13.U ′＝a 2－12.令U ′＝0，得a ＝22. 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22时，U ′＜0. 当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫22，1时，U ′＞0. 故，当a ＝22时，U 最小值为2－26. (2)当a ＜0时，如图2由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝axy ＝x 2得交点(0,0)和(a ，a 2)S ＝∫0a (ax －x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪ ⎭⎪⎫ax 22－x 330a ＝－a 32＋a 33＝－a 36.T ＝∫10(x 2－ax )d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫x 33－ax 2210 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a 2＝13－a2. ∴U ＝S ＋T ＝－a 36－a 2＋13.U ′＝－a 23－12＜0.所以函数U (a )在(－∞，0)上单调递减． 故函数U (a )无最小值． 当a ＝0时，显然无最小值．。
北师大版高中数学第三章 第3节定积分与微积分基本定理
第3节 定积分与微积分基本定理最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.知 识 梳 理1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为： a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在这个小区间上取一点ξi ，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋f (ξn )Δx n . 在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋f (ζ2)Δx 2＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，容易验证，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点δi ，S ′＝f (δ1)Δx 1＋f (δ2)Δx 2＋…＋f (δi )Δx i ＋…＋f (δn )Δx n 的值也趋于该常数A ，我们称A 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝A .(2)定积分的几何意义f (x ) ⎠⎛abf (x )d x 的几何意义 f (x )≥0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ]上有正有负 表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数). (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x . (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a ＜c ＜b ). 3.微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (a ).[微点提醒]函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .( )(2)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( ) (3)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方.( )(4)定积分⎠⎛a b f (x )d x 一定等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积.( )(5)加速度对时间的积分是路程.( )解析 (2)y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x －x 2)d x .(3)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形在x 轴下方的面积比在x 轴上方的面积大.(4)定积分⎠⎛ab f (x )d x 等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成图形的面积的代数和.(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.(选修2－2P79例题改编)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 ⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1.答案 A3.(选修2－2P76问题2改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A.10t 20B.5t 20C.103t 2D.53t 20解析 S ＝⎠⎛0t 0v d t ＝⎪⎪⎪⎠⎛0t010t d t ＝5t2t 0＝5t 20. 答案 B4.(2018·汉中月考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积S ，正确的是( ) A.S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d xB.S ＝⎠⎛02(x 3－4x )d xC.S ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫3y －y 4d yD.S ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫y4－3y d y 解析 两函数图像的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x 积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x ≥x 3，故直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ⎝ ⎛⎭⎪⎫同理对y 积分时S ＝⎠⎛08⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －y 4d y . 答案 A5.(2019·安阳模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <c C.c <b <aD.c <a <b解析 由微积分基本定理a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4⎪⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02sin xd x ＝(－cos x )⎪⎪⎪20＝1－cos 2<2，则c <a <b .答案 D6.(2019·昆明诊断)若⎠⎛a 0x 2d x ＝9，则常数a 的值为________. 解析 ⎠⎛a0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪0a ＝－13a 3＝9，∴a 3＝－27，a ＝－3.答案 －3考点一 定积分的计算【例1】 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. (2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________. 解析 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪2＝83＋4＋4－83＝8. 答案 (1)π (2)8规律方法 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分. 【训练1】 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D.不存在(2)定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.解析 (1)如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56. (2)⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案 (1)C (2)23考点二 定积分的几何意义多维探究角度1 利用定积分的几何意义计算定积分【例2－1】 (1)计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.(2)若⎠⎛－2m －x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________.解析 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛011－x 2 d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，所以⎠⎛011－x 2 d x ＝π4，又⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝π4＋1.(2)根据定积分的几何意义⎠⎛－2m－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又⎠⎛－2m－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 答案 (1)π4＋1 (2)－1角度2 利用定积分计算平面图形的面积【例2－2】 (一题多解)由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________.解析 如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和，即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二 选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18. 答案 18规律方法 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).【训练2】 (1)计算：⎠⎛133＋2x －x 2 d x ＝________.(2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.解析 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛133＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴⎠⎛133＋2x －x 2 d x ＝14×π×4＝π.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k 0＝k 32－13k 3＝43，则k 3＝8，∴k ＝2.答案 (1)π (2)2考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( ) A.3B.4C.5D.6(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ，力的单位：N).解析 (1)因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t .所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2＝5.整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.(2)变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J).答案 (1)C (2)342规律方法 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t . (2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【训练3】 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A.1＋25ln 5 B.8＋25ln 113 C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)， ∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 答案 C[思维升华]1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.2.⎠⎛a b f (x )d x 、⎠⎛a b |f (x )|d x 与|⎠⎛a b f (x )d x |在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f (x )在闭区间[a ，b ]上可正可负，也就是它的图像可以在x 轴上方、也可以在x 轴下方、还可以在x 轴的上下两侧，所以⎠⎛a b f (x )d x 表示由x 轴、函数f (x )的曲线及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和；而|f (x )|是非负的，所以⎠⎛a b |f (x )|d x 表示在区间[a ，b ]上所有以|f (x )|为曲边的正曲边梯形的面积；而|⎠⎛a b f (x )d x |则是⎠⎛a b f (x )d x的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的. [易错防范]1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.答案 C2.已知⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝3－e 2，则m 的值为( )A.e －14eB.12C.－12D.－1解析 由微积分基本定理得⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝(ln x －mx )⎪⎪⎪e1)＝m ＋1－m e ，结合题意得m ＋1－m e ＝3－e 2，解得m ＝12. 答案 B3.(2019·郑州模拟)汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.132 mB.6 mC.152 mD.7 m解析 s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m). 答案 A4.π20⎰sin 2x2d x 等于( ) A.0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1解析π20⎰sin 2x 2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x π20|＝π4－12. 答案 B5.定积分⎠⎛02|x －1|d x 等于( )A.1B.－1C.0D.2解析 ⎠⎛02|x －1|d x ＝⎠⎛01|x －1|d x ＋⎠⎛12|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝1.答案 A6.如图，指数函数的图像过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( )A.8ln 3B.8C.9ln 3D.9解析 设指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，因为其过点E (2，9)，所以a 2＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛023x d x ＝3x ln 3⎪⎪⎪20＝8ln 3. 答案 A7.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f [f (1)]＝1，则a 的值为( )A.1B.2C.－1D.－2解析 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1，得a 3＝1，a ＝1. 答案 A8.由y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的图形的面积为( )A.43B.34C.2D.1解析 如图所示，阴影部分的面积为 S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－112x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3⎪⎪⎪21＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－112＋2－112×23－1＋112＝43.答案 A 二、填空题9.已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x ＝________.解析 原式＝⎠⎛－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为原函数为偶函数，所以在y 轴两侧的图像对称，所以对应面积相等，即8×2＝16. 答案 1610.如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，解得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪20＝－83＋4＝43.答案 4311.(2019·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a 0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 4912.(2019·广州调研)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1），x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为________.解析 ⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43.答案 π2＋43能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(一题多解)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3 B.S 2<S 1<S 3 C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析 法一 S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3. 答案 B14.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，则f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13. 答案 B15.一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________ J. 解析 由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J). 答案 3616.(2019·萍乡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝⎠⎛01πx 2d x ＝π3x 3⎪⎪⎪10＝π3.据此类比：将曲线y ＝2 ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝________.解析 类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y2)2＝πe y ，积分变量为y ，积分区间为[0，1]，即V ＝⎠⎛01πe yd y ＝πe y ⎪⎪⎪10＝π(e －1).答案 π(e －1)。
2014版高中数学复习方略课时提升作业：2.9函数的应用(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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课时提升作业(十二)一、选择题1.(2013·佛山模拟)抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%,则至少要抽(参考数据:lg2=0.3010,lg 3=0.4771)( ) (A)15次(B)14次(C)9次(D)8次2.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差( )(A)10元(B)20元(C)30元(D)40元33.某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中n是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)=现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分,而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分,则乙所得奖励比甲所得奖励多( )(A)600元(B)900元(C)1600元(D)1700元4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为( )(A)x=15,y=12 (B)x=12,y=15(C)x=14,y=10 (D)x=10,y=145.(2013·西安模拟)某地农民收入由工资性收入和其他收入两部分组成.2008年某地区农民人均收入为6300元(其中工资性收入为3600元,其他收入为2700元),预计该地区自2009年起的5年内,农民的工资性收入将以6%的年增长率增长;其他收入每年增加320元.根据以上数据,2013年该地区农民人均收入介于( ) (A)8400元～8800元(B)8800元～9200元(C)9200元～9600元(D)9600元～10000元6.(能力挑战题)如图,A,B,C,D是某煤矿的四个采煤点,m是公路,图中所标线段为道路,ABQP,BCRQ,CDSR近似于正方形.已知A,B,C,D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比.现要从P,Q,R,S中选出一处设立一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选在( )(A)P点(B)Q点(C)R点(D)S点二、填空题7.(2013·武汉模拟)里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.8.(2013·合肥模拟)某驾驶员喝了m升酒后,血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)=《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定:驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过小时后才能开车(不足1小时部分算1小时,精确到1小时).9.(能力挑战题)在某条件下的汽车测试中,驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息:注:油耗=加满油后已用油量加满油后已行驶距离,可继续行驶距离=汽车剩余油量当前油耗;平均油耗=指定时间内的用油量指定时间内行驶的距离.从以上信息可以推断在10:00-11:00这一小时内(填上所有正确判断的序号).①行驶了80千米;②行驶不足80千米;③平均油耗超过9.6升/100千米;④平均油耗恰为9.6升/100千米;⑤平均车速超过80千米/小时.三、解答题10.已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律是:θ=m·2t+21-t(t≥0,且m>0).(1)如果m=2,求经过多少时间,物体的温度为5摄氏度.(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.11.(2013·南昌模拟)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(1)建立奖励方案的函数模型f(x),试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求.(2)现有两个奖励方案的函数模型:①f(x)=+2;②f(x)=4lgx-3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求.12.(2012·长沙模拟)如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速运动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)单位时间内的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为;②其他面单位时间内的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式.(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y 最少.答案解析1.【解析】选D.抽n次后容器剩下的空气为(40%)n.由题意知(40%)n<0.1%,即0.4n<0.001,≨nlg0.4<-3,≨n>=≈7.54,≨n的最小值为8.2.【解析】选A.由题意可设s A(t)=kt+20,s B(t)=mt,又s A(100)=s B(100),≨100k+20=100m,≨k-m=-0.2,≨s A (150)-s B (150)=150k+20-150m=150×(-0.2)+20=-10, 即两种方式电话费相差10元. 3.【解析】选D.k(18)=200, ≨f(18)=200×(18-10)=1600(元). 又≧k(21)=300,≨f(21)=300×(21-10)=3300(元),≨f(21)-f(18)=3300-1600=1700(元).故选D.4.【思路点拨】利用三角形相似列出x 与y 的关系式,用y 表示x.从而矩形面积可表示为关于y 的函数. 【解析】选A.由三角形相似得24y x24820-=-， 得x=54(24-y),由0<x ≤20得,8≤y<24, ≨S=xy=-54(y-12)2+180,≨当y=12时,S 有最大值,此时x=15.5.【思路点拨】根据题意算出2009年,2010年农民收入,根据数列的特点总结出规律得到2013年的农民收入,估算出范围即可.【解析】选B.由题知:2009年农民收入=3600×(1+6%)+(2700+320);2010年农民收入=3600×(1+6%)2+(2700+2×320);…所以2013年农民收入=3600×(1+6%)5+(2700+5×320)≈9118.6.【思路点拨】分别求出地点选在P,Q,R,S 时,四个采煤点的煤运到中转站的费用,然后比较即可.【解析】选 B.根据题意设A,B,C,D 四个采煤点每天所运煤的质量分别为5x,x,2x,3x,正方形的边长为l (l >0).运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比,比例系数为k,k>0,则地点选在点P,其运到中转站的费用为k(5x l +2x l +6x l +12x l )=25kx l ;地点选在点Q,其运到中转站的费用为k(10x l +x l +4x l +9x l )=24kx l ; 地点选在点R,其运到中转站的费用为k(15x l +2x l +2x l +6x l )=25kx l ; 地点选在点S,其运到中转站的费用为k(20x l +3x l +4x l +3x l )=30kx l ; 综上可知地点应选在Q,煤运到中转站的费用最少.【误区警示】本题易因不能准确确定采煤点和中转站的路程关系而导致错误. 7.【解析】由题意,在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则M=lgA-lgA 0=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6. 设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y, 9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102.所以62x 10y 10=10000.答案:6 100008.【解析】f(1)=5-1=0.2>0.02,由35〃(13)x ≤0.02得:(13)x ≤130,又不足1小时部分算1小时, ≨此驾驶员至少要过4小时后才能开车. 答案:49.【解析】实际用油为7.38升.设L 为10:00前已用油量,ΔL 为这一个小时内的用油量,s 为10:00前已行驶距离,Δs 为这一个小时内已行驶的距离得L+ΔL=9.6s+9.6Δs,即9.5s+ΔL=9.6s+9.6Δs,ΔL=0.1s+9.6Δs,L 0.1ss s∆=∆∆+9.6>9.6. 所以③正确,④错误. 这一小时内行驶距离小于7.389.6×100=76.875(千米),所以①错误,②正确. ⑤由②知错误. 答案:②③10.【解析】(1)若m=2,则θ=2〃2t +21-t =2(2t +), 当θ=5时,2t +=,令2t =x(x ≥1),则x+=,即2x 2-5x+2=0, 解得x=2或x=(舍去),此时t=1, 所以经过1分钟,物体的温度为5摄氏度.(2)物体的温度总不低于2摄氏度,即θ≥2恒成立. 亦即m 〃2t +≥2恒成立.亦即m ≥2(-)恒成立.令=a,则0<a ≤1. ≨m ≥2(a-a 2), 由于a-a 2≤, ≨m ≥.因此当物体的温度总不低于2摄氏度时,m 的取值范围是[,+≦).11.【解析】(1)设奖励方案的函数模型为y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是:当x ∈[10,1000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9恒成立;③f(x)≤x 5恒成立. (2)①对于函数模型f(x)=x150+2, 当x ∈[10,1000]时,f(x)是增函数, 则f(x)max =f(1000)=1 000150+2=203+2<9. ≨f(x)≤9恒成立. ≧函数()f x 12x 150x =+在[10,1000]上是减函数,所以[()f x x ]max =11115055+>. ≨f(x)≤x5不恒成立.故该函数模型不符合公司要求. ②对于函数模型f(x)=4lgx-3: 当x ∈[10,1000]时,f(x)是增函数, 则f(x)max =f(1000)=4lg1000-3=9. ≨f(x)≤9恒成立.设g(x)=4lgx-3-x 5,则g'(x)=4lg e 1x 5-. 当x ≥10时,g'(x)=24lg e 12lg e 1lg e 1x 555---≤=<0,所以g(x)在[10,1000]上是减函数,从而g(x)≤g(10)=-1<0. ≨4lgx-3-x5<0,即4lgx-3<x 5, ≨f(x)<x 5恒成立.故该函数模型符合公司要求.12.【解析】(1)由题意知,E 移动时,单位时间的淋雨量为|v-c|+, 故y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15,当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15,故y=当0<c≤时,y是关于v的减函数,故当v=10时,y min=20-;当<c≤5时,在(0,c]上,y是关于v的减函数,在(c,10]上,y是关于v的增函数. 故当v=c时,y min=,总淋雨量最少.【变式备选】为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿.(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【解析】(1)该项目不会获利.当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则S=200x-(x2-200x+80000)圆学子梦想 铸金字品牌- 11 - =-x 2+400x-80000=-(x-400)2,所以当x ∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利.当x=300时,S 取得最大值-5000,所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.(2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为: =①当x ∈[120,144)时,=x 2-80x+5040=(x-120)2+240,所以当x=120时,取得最小值240.②当x ∈[144,500]时,=x+-200≥ 2-200=200, 当且仅当x=,即x=400时,取得最小值200. 因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.关闭Word 文档返回原板块。
高中数学复习方略课时提升作业：2.13定积分与微积分基
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课时提升作业(十六)一、选择题1.(2013·芜湖模拟) dx=( )(A)lnx+ln2x (B)-1(C) (D)2.(2013·赣州模拟)已知函数f(x)=则f(x)dx的值为( )(A) (B)4 (C)6 (D)3.(2013·汉中模拟)由y=,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为( )(A) (B)π(C) (D)4.(2013·济南模拟)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( ),甲车在乙车前面(A)在t(B)t1时刻后,甲车在乙车后面(C)在t0时刻,两车的位置相同(D)t0时刻后,乙车在甲车前面5.如图,阴影部分的面积是( )(A)2 (B)2- (C) (D)6.(2013·三亚模拟)已知t>0,若(2x-1)dx=6,则t的值等于( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)87.曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为( )(A)(sinx-cosx)dx(B)(sinx-cosx)dx(C)(cosx-sinx)dx(D)2(cosx-sinx)dx8.(2013·广州模拟)物体A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5m处,同时以v=10t(m/s)的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)69.如图,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是( )(A)1 (B) (C) (D)210.(2013·马鞍山模拟)根据sinxdx=0推断直线x=0,x=2π,y=0和正弦曲线y=sinx所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为( )(A)面积为0(B)曲边梯形在x轴上方的面积大于在x轴下方的面积(C)曲边梯形在x轴上方的面积小于在x轴下方的面积(D)曲边梯形在x轴上方的面积等于在x轴下方的面积二、填空题11.(2013·宜春模拟)|3-2x|dx= .12.(2013·海口模拟)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像如图所示,它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.13.已知函数f(x)=sin5x+1,根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义,探求f(x)dx的值,结果是.14.(能力挑战题)抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为.三、解答题15.(能力挑战题)如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.答案解析1.【解析】选C.dx=(lnx+)=.2.【解析】选D.f(x)dx=x2dx+(x+1)dx=x3+(x2+x)=(0+)+(×4+2-0)=.3.【解析】选C.V=π(x+2)dx=π·(+2x) =π.4.【解析】选A.可观察出曲线v甲,直线t=t1与t轴围成的面积大于曲线v乙,直线t=t1与t轴围成的面积,故选A.5.【解析】选C.(3-x2-2x)dx=(3x-x3-x2)=.6.【解析】选B.(2x-1)dx=2xdx-1·dx=x2-x=t2-t,由t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).【方法技巧】定积分的计算方法(1)利用定积分的几何意义,转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分等)的面积.(2)应用微积分基本定理:求定积分f(x)dx时,可按以下两步进行,第一步:求使F'(x)=f(x)成立的F(x);第二步:计算F(b)-F(a).7.【解析】选D.当x∈[0,]时,y=sinx与y=cosx的图像的交点坐标为(,),作图可知曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积可分为两部分:一部分是曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积;另一部分是曲线y=sinx,y=cosx与直线x=,x=所围成的平面区域的面积.且这两部分的面积相等,结合定积分定义可知选D.8.【解析】选C.因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t2+1)dt,物体B在t秒内行驶的路程为10tdt,所以(3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2)=t3+t-5t2=5⇒(t-5)(t2+1)=0,即t=5.9.【解析】选B.函数y=-x2+2x+1与y=1的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积等于(-x2+2x+1-1)dx=(-x2+2x)dx=.10.【思路点拨】y=sinx的图像在[0,2π]上关于(π,0)对称,据此结合定积分的几何意义判断.【解析】选D.y=sinx的图像在[0,2π]上关于(π,0)对称,sinxdx=sinxdx+sinxdx=0.11.【解析】∵|3-2x|=∴|3-2x|dx=(3-2x)dx+(2x-3)dx=(3x-x2) +(x2-3x)=.答案:12.【解析】f'(x)=-3x2+2ax+b,∵f'(0)=0,∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).S阴影=-(-x3+ax2)dx=a4=,∴a=-1.答案:-113.【解析】∵函数y=sin5x是奇函数,∴sin5xdx=0,∴f(x)dx=sin5xdx+1dx=π.答案:π14.【思路点拨】先求出曲线的两条切线,再将所求面积分割成两部分求解. 【解析】如图所示,因为y'=-2x+4,y'|x=1=2,y'|x=3=-2,两切线方程为y=2(x-1)和y=-2(x-3).由得x=2.所以S=[2(x-1)-(-x2+4x-3)]dx+[-2(x-3)-(-x2+4x-3)]dx=(x2-2x+1)dx+(x2-6x+9)dx=(x3-x2+x)+(x3-3x2+9x)=.答案:15.【思路点拨】先求出抛物线y=x-x2与x轴所围成图形的面积,再表示出直线y=kx与抛物线y=x-x2所围成图形的面积,最后由面积相等构造方程求解.【解析】抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,所以,抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx=(-x3)=.又由此可得,抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k,所以,=(x-x2-kx)dx=(x2-x3)=(1-k)3.又知S=,所以(1-k)3=,于是k=1-=1-.【变式备选】定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x +9))的图像为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A,B之间的曲线段与线段OA,OB所围成图形的面积为S,求S的值.【解析】因为F(x,y)=(1+x)y,所以f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))==x2-4x+9,故A(0,9),又过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),f'(x)=2x-4.所以解得B(3,6),所以S=(x2-4x+9-2x)dx=(-3x2+9x)=9.关闭Word文档返回原板块。
2014版高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(二)(北师大版)
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单元评估检测(二)第二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=的定义域为( )(A)(0,8] (B)(-2,8] (C)(2,8] (D)[8,+∞)2.(2013·咸阳模拟)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是增加的函数是( ) (A)y=x3(B)y=|x|+1(C)y=-x2+1 (D)y=2-|x|3.已知实数a=log45,b=()0,c=log30.4,则a,b,c的大小关系为( )(A)b<c<a (B)b<a<c(C)c<a<b (D)c<b<a4.若已知函数f(x)=则f(f(1))+f(log3)的值是( )(A)7 (B)2 (C)5 (D)35.(2013·合肥模拟)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,则满足f(2x-1)<f()的x的取值范围是( )(A)(,) (B)[,) (C)(,) (D)[,)6.(2013·芜湖模拟)函数f(x)=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增加的( )(A)(,) (B)(π,2π)(C)(,) (D)(2π,3π)7.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是( )(A)(0,3) (B)(0,3] (C)(0,2) (D)(0,2]8.(2013·抚州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f(2),且f(-1)=2,则f(2013)等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49.(2013·大连模拟)函数f(x)=ln(1-x2)的图象只可能是( )10.(2013·长春模拟)若y=f(x)在x>0上可导,且满足:xf′(x)-f(x)>0恒成立,又常数a,b满足a>b>0,则下列不等式一定成立的是( )(A)bf(a)>af(b) (B)af(a)>bf(b)(C)bf(a)<af(b) (D)af(a)<bf(b)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.f(x)=3x+sinx+1(x∈R),若f(t)=2,则f(-t)的值为.12.已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2+2)<f(3x),则实数x的取值范围是.13.(2013·宝鸡模拟)已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.14.方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为.15.(2013·上饶模拟)对于函数f(x),若存在区间M=[a,b](a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”.给出下列4个函数:①f(x)=e x;②f(x)=x3;③f(x)=cos x;④f(x)=lnx+1.其中存在“稳定区间”的函数有(填上所有符合要求的序号).三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)函数f(x)=log2(4x)·log2(2x),≤x≤4.(1)若t=log2x,求t的取值范围.(2)求f(x)的最值,并给出取最值时对应的x的值.17.(12分)(2013·太原模拟)若g(x)=x+(x>0),g(x)=m有零点,求m的取值范围.18.(12分)已知函数f(x)=log2(-1≤x≤1)为奇函数,其中a为不等于1的常数.(1)求a的值.(2)若对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,求m的取值范围.19.(12分)(2013·黄山模拟)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产一千件,需要另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式.(2)年生产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?20.(13分)(2013·榆林模拟)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx,求f(x)的单调区间.21.(14分)(2012·湖北高考)设函数f(x)=ax n(1-x)+b(x>0),n为整数,a,b为常数.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1.(1)求a,b的值.(2)求函数f(x)的最大值.(3)证明:f(x)<.答案解析1.【解析】选B.由⇒⇒-2<x≤8.2.【解析】选B.对于A:y=x3是奇函数,不合题意;对于C,D:y=-x2+1和y=2-|x|在(0, +≦)上是减少的,不合题意;对于B:y=|x|+1的图像如图所示,知y=|x|+1符合题意,故选B.3.【解析】选D.由题知,a=log45>1,b=()0=1,c=log30.4<0,故c<b<a.4.【解析】选 A.f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.因为log3<0,所以f(log3)=+1=+1=+1=+1=4+1=5,所以f(f(1))+f(log3)=2+5=7,故选A.5.【解析】选A.f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称,又f(x)在[0,+≦)上是增加的,≨f(2x-1)<f()⇔f(|2x-1|)<f(),则|2x-1|<,解得<x<.6.【解析】选B.f′(x)=(xcosx-sinx)′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,由函数是增加的,则f′(x)≥0,又各选项均为正实数区间,所以sinx≤0,故选B.7.【解析】选D.≧f(x)为(-≦,+≦)上的减函数,≨解得0<a≤2.8.【解析】选B.在f(x+4)=f(x)+2f(2)中,令x=-2得f(2)=f(-2)+2f(2),即f(2)=f(2)+2f(2),故f(2)=0.因此f(x+4)=f(x),即f(x)是以4为周期的函数.又2013=4〓503+1,所以f(2013)=f(1)=f(-1)=2.9.【解析】选A.函数f(x)=ln(1-x2)的定义域为(-1,1),且f(x)为偶函数,当x ∈(0,1)时,函数f(x)=ln(1-x2)为减少的;当x∈(-1,0)时,函数f(x)为增加的,且函数值都小于零,所以其图象为A.10.【思路点拨】令g(x)=,根据g(x)的单调性比较大小.【解析】选A.令g(x)=,则g′(x)=,由已知得,当x>0时,g′(x)>0. 故函数g(x)在(0,+≦)上是增加的,又a>b>0,故g(a)>g(b),即bf(a)>af(b). 11.【解析】由f(t)=3t+sint+1=2得3t+sint=1,所以f(-t)=-3t-sint+1=-1+1=0. 答案:012.【解析】由f(x)=lnx+2x⇒f′(x)=+2x ln 2>0(x∈(0,+≦)),所以f(x)在(0, +≦)上是增加的,又f(x2+2)<f(3x)⇒0<x2+2<3x⇒x∈(1,2).答案:(1,2)13.【解析】因为f′(x)=3x2+6ax+3b,又所以解得因此f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),由f′(x)=0得x=0或x=2.所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.答案:414.【解析】设f(x)=2x3-6x2+7,则f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为x∈(0,2),所以有f′(x)<0,所以f(x)在(0,2)内是减少的,又f(0)=7>0,f(2)=-1<0,所以在(0,2)内存在唯一的x0,使f(x0)=0,因此,方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为1.答案:115.【思路点拨】由“稳定区间”的定义可知存在“稳定区间”的函数即为定义域和值域相同的函数.【解析】①若存在稳定区间[a,b],因为f(x)=e x在R上是增函数,则即方程e x=x有两个不等实根,即函数y=e x-x的图像与x轴有两个不同的交点,y′=e x-1, x∈(-≦,0),y′<0;x∈(0,+≦),y′>0,且x=0时,y=1,所以y≥1,即函数y=e x-x 的图像与x轴没有交点,所以假设不成立,即不存在稳定区间;②显然存在稳定区间[0,1]或[-1,0]或[-1,1];③显然存在稳定区间[0,1];④因为y=lnx+1-x的导函数y′=-1=,在(0,1)上,y′>0;在(1,+≦)上,y′<0,且x=1时,y=0,所以y=lnx+1-x≤0在(0,+≦)上恒成立,即函数y=lnx+1,y=x只有1个交点,所以不存在稳定区间,故存在稳定区间的是②③.答案:②③16.【解析】(1)≧t=log2x,≤x≤4,≨log2≤t≤log24即-2≤t≤2.(2)f(x)=(log2x)2+3log2x+2,≨令t=log2x,则y=t2+3t+2=(t+)2-,当t=-,即log2x=-,x=时,f(x)min=-.当t=2,即x=4时,f(x)max=12.17.【解析】方法一:≧g(x)=x+≥2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+≦),因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.方法二:作出g(x)=x+(x>0)的大致图象.如图,可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e.方法三:由g(x)=m得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根且e2>0,故根据根与系数的关系得m>0,故等价于故m≥2e.18.【解析】(1)≧f(x)=log2(-1≤x≤1)为奇函数,≨f(-x)=-f(x)⇒log2=-log2,⇒=对x∈[-1,1]恒成立,所以(5+ax)(5-ax)=(5+x)(5-x)⇒a=〒1,因为a为不等于1的常数,所以a=-1.(2)≧f(x)=log2(-1≤x≤1),设t=(-1≤x≤1),≨f(t)=log2t,因为t==-1+在[-1,1]上是减少的,所以≤t≤,又因为f(t)=log2t在[,]上是增加的,所以f(t)min=log2.因为对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,所以f(x)min>m,所以m<log2.19.【解析】(1)当0<x≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10; 当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x.≨年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式为W=(2)当0<x≤10时,由W′=8.1->0⇒0<x<9,即年利润W在(0,9)上增加,在(9,10)上减少,≨当x=9时,W取得最大值,且W max=38.6(万元).时取“=”,综上可知,当当x>10时,W=98-(+2.7x)≤98-2=38,仅当x=1009年产量为9千件时,该公司这一品牌服装的生产中所获年利润最大,最大值为38.6万元.【变式备选】(2013·宿州模拟)据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,若线段AB上任意一点C 处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=xkm.(1)试将y表示为x的函数.(2)若a=1,x=6时,y取得最小值,试求b的值.【解析】(1)由题意知点C受A污染源污染指数为,点C受B污染源污染指数为,其中k为比例系数,且k>0.从而点C处的污染指数y=+(0<x<18).(2)因为a=1,所以y=+,y′=k[+],令y′=0,得x=,又此时x=6,解得b=8,经验证符合题意.所以,污染源B的污染强度b的值为8.20.【思路点拨】求导后转化为二次不等式问题,结合二次项系数的符号,相应二次方程根的大小,以及两根是否大于0进行分类讨论.【解析】f′(x)==(x>0).≨①当a≤0时,x>0,ax-1<0,在区间(0,2)上,f′(x)>0;在区间(2,+≦)上,f′(x)<0,故f(x)的递增区间是(0,2),递减区间是(2,+≦).②当0<a<时,>2,在区间(0,2)和(,+≦)上,f′(x)>0;在区间(2,)上,f′(x)<0,故f(x)的递增区间是(0,2)和(,+≦),递减区间是(2,).③当a=时,f′(x)=≥0,故f(x)的递增区间是(0,+≦),④当a>时,0<<2,在区间(0,)和(2,+≦)上,f′(x)>0;在区间(,2)上,f′(x)<0,故f(x)的递增区间是(0,)和(2,+≦),递减区间是(,2).【方法技巧】分类讨论思想分类讨论是基本逻辑方法之一,也是一种数学思想,在近几年的高考中,都把分类讨论列为重要的思想方法来考查,当我们面临的数学问题不能用统一形式解决或因为一种形式无法进行概括,不分类就不能再进行下去,这时,就要使用分类讨论思想了,分类时要遵循不重不漏的分类原则,对于每一类情况都要给出问题的解答.分类讨论的一般步骤:(1)确定标准.(2)恰当分类.(3)逐类讨论. (4)归纳结论.21.【思路点拨】本题(1)易解,(2)问中直接求导,根据零点讨论单调性求解;(3)要构造函数利用函数的单调性证明.【解析】(1)因为f(1)=b,由点(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1,即b=0. 因为f′(x)=anx n-1-a(n+1)x n,所以f′(1)=-a,又因为切线x+y=1的斜率为-1,所以-a=-1,即a=1.故a=1,b=0.(2)由(1)知,f(x)=x n(1-x)=x n-x n+1,f′(x)=(n+1)x n-1(-x).令f′(x)=0,解得x=,即f′(x)在(0,+≦)上有唯一零点x0=. 在(0,)上,f′(x)>0,f(x)是增加的;而在(,+≦)上,f′(x)<0,f(x)是减少的.故f(x)在(0,+≦)上的最大值为f()=()n(1-)=.(3)令φ(t)=lnt-1+(t>0),则φ′(t)=-=(t>0).在(0,1)上,φ′(t)<0,φ(t)是减少的;在(1,+≦)上,φ′(t)>0,φ(t)是增加的.故φ(t)在(0,+≦)上的最小值为φ(1)=0,所以φ(t)>0(t>1),即lnt>1-(t>1).令t=1+,得ln>,即ln()n+1>ln e,所以()n+1>e,即<.由(2)知,f(x)≤<,故所证不等式成立.【变式备选】已知函数f(x)=e x-1-x.(1)求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)若存在x∈[-1,ln],使a-e x+1+x<0成立,求a的取值范围.(3)当x≥0时,f(x)≥tx2恒成立,求t的取值范围.【解析】(1)f′(x)=e x-1,f(1)=e-2,f′(1)=e-1.≨f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-e+2=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-1. (2)a<e x-1-x,即a<f(x).令f′(x)=e x-1=0,x=0.≧x>0时,f′(x)>0,x<0时,f′(x)<0,≨f(x)在(-≦,0)上是减少的,在(0,+≦)上是增加的.又x∈[-1,ln],≨f(x)的最大值在区间端点处取到.f(-1)=e-1-1+1=,f(ln)=-1-ln,f(-1)-f(ln)=-+1+ln=-+ln>0,≨f(-1)>f(ln),≨f(x)在[-1,ln]上的最大值为,故a的取值范围是a<.(3)由已知得x≥0时,e x-x-1-tx2≥0恒成立,设g(x)=e x-x-1-tx2,≨g′(x)=e x-1-2tx.由(2)知e x≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,故g′(x)≥x-2tx=(1-2t)x,从而当1-2t≥0,即t≤时,g′(x)≥0(x≥0),≨g(x)是增加的,又g(0)=0,于是当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥tx2,≨t≤时符合题意.由e x>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0),从而当t>时,g′(x)<e x-1+2t(e-x-1)=e-x(e x-1)(e x-2t),故当x∈(0,ln 2t)时,g′(x)<0,≨g(x)是减少的,又g(0)=0,于是当x∈(0,ln 2t)时,g(x)<0,即f(x)≤tx2,故t>,不符合题意.综上可得t的取值范围为(-≦,].关闭Word文档返回原板块。
高中数学课时作业：定积分与微积分基本定理
课时作业18 定积分与微积分基本定理一、选择题1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( D )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析:⎠⎛01(3x ＋e x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x |10＝32＋e －1＝e ＋12.2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，3，1<x ≤2，则⎠⎛2－1f (x )d x ＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3解析:⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-11 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛123d x ＝0＋3x|21＝6－3＝3.3．已知a ＝2－13,b ＝(2log 23) －12,c ＝14⎠⎛0πsin x d x ,则实数a ,b ,c 的大小关系是( C )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a解析:依题意得,a ＝2－13 ,b ＝3－12 ,c ＝－14cos x|π0＝12,所以a 6＝2－2＝14,b 6＝3－3＝127,c 6＝(12)6＝164,则a >b >c .选C.4．若⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0,则实数m 的值为( B )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析:由题意知0(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22|10＝13＋m 2＝0,解得m ＝－23.5．由曲线y ＝x ,直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C ) A.103 B ．4 C.163 D ．6解析:作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示),所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04 [x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x |40 ＝23×8－12×16＋2×4＝163.6．抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积是( C ) A.34 B ．1 C.43 D.54解析:令－x 2＋2x ＝0,得x ＝0或x ＝2,所以抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02 (－x 2＋2x )d x ＝(－13x 3＋x 2)|20＝－83＋4＝43.故选C.7．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ,则⎠⎛01f (x )d x ＝( B )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解析:设m ＝⎠⎛01f (x )d x ,则f (x )＝x 2＋2m ,⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝(13x 3＋2mx )|10＝13＋2m ＝m ,所以m ＝－13.故选B.8．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8,则⎠⎛-66f (x )d x 等于( D )A ．0B ．4C ．8D ．16解析:⎠⎛-66f (x )d x ＝⎠⎛-66f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ,因为f (x )为偶函数,所以f (x )的图象关于y 轴对称, 故⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝2×8＝16.故选D.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋1x ,则⎠⎛1e f (x )d x ＝12e 2＋12.解析:⎠⎛1e f (x )d x ＝⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x |e 1＝12e 2＋12. 10．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位:N)的作用下沿与力F 相同的方向,从x ＝0处运动到x ＝4(单位:m)处,则力F (x )做的功为36J.解析:由题意知,力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x |42＝5×2＋⎣⎢⎡ 32×42＋4×4－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)．11．(安徽二模)计算:⎠⎛1(2x－x2－x )d x ＝π－24.解析:由定积分的几何意义知⎠⎛012x －x 2d x 是由y ＝2x －x 2与直线x ＝0,x ＝1所围成的图形的面积,即是以(1,0)为圆心,以1为半径的圆的面积的14,故⎠⎛12x －x 2d x ＝π4,⎠⎛01 (－x )d x ＝－12x 210＝－12,∴⎠⎛01(2x －x 2－x )d x ＝π－24. 12．已知直线AB :x ＋y －6＝0(A ,B 为直线与x 轴、y 轴的交点)与抛物线y ＝x 2及x 轴正半轴围成的图形为Ω,若从Rt △AOB 区域内任取一点M (x ,y ),则点M 取自图形Ω的概率为1627.解析:由定积分可求得阴影部分图形Ω的面积为S ＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝323.又Rt △AOB 的面积为12×6×6＝18,所以P ＝32318＝1627.13．若直线y ＝1与函数f (x )＝2sin2x 的图象相交于点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),且|x 1－x 2|＝2π3,则线段PQ 与函数f (x )的图象所围成的图形面积是( A )A.2π3＋ 3 B.π3＋ 3 C.2π3＋3－2D.π3＋3－2解析:如图,分别画出直线y ＝1与函数f (x )＝2sin2x 的图象,不妨令P 在Q 的左边,由|x 1－x 2|＝2π3可得满足题意的两个交点为P (5π12,1),Q (13π12,1),将线段PQ 与函数f (x )的图象所围成的图形面积的问题转化为定积分的问题,即S ＝ (1－2sin2x )d x ＝(x ＋cos2x )＝(13π12＋cos 13π6)－(5π12＋cos 5π6)＝2π3＋ 3.故选A.14．设f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))≥1,则实数a 的取值范围是( D )A ．a ≤－1B ．a ≥－1C ．a ≤1D ．a ≥1解析:由题知,f (1)＝0,f (f (1))＝f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a 0＝a 3,所以f (f (1))≥1,即a 3≥1,解得a ≥1.故选D.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(长沙模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ,b ＝⎠⎛01sin x d x ,则下列关系式成立的是( A )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1解析:∵(sin x )′＝cos x ,∴a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x|10＝sin1.∵(－cos x )′＝sin x ,∴b ＝⎠⎛01sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos1.∵sin1＋cos1>1,∴sin1>1－cos1,即a >b .故选A. 16．设M ,m 分别是f (x )在区间[a ,b ]上的最大值和最小值,则m (b －a )≤⎠⎛abf (x )d x ≤M (b －a )．根据上述估值定理可知定积分⎠⎛-122－x 2d x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，3.解析:因为当－1≤x ≤2时,0≤x 2≤4, 所以116≤2－x 2≤1.根据估值定理得116×[2－(－1)]≤⎠⎛-122－x 2d x ≤1×[2－(－1)],即316≤⎠⎛-122－x 2d x ≤3.。
版高中全程复习方略配套课件：2.13定积分与微积分基本定理(北师大版·数学理)
f(x)在［a,b］ 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 上有正有负 轴下方的曲边梯形的面积
【即时应用】
(1)设f(x)是连续函数，且为奇函数，在对称区间［-a,a］上
的定积分
a
a
f(x)dx=________.
(2)若y=f(x)与y=g(x)是［a,b］上的两条光滑曲线的方程,则
由这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面区域的面积为
又sinx与2x都是奇函数，所以所求定积分为0. 答案：(1)1 (2)0
4.微积分基本定理
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)=F′(x),则
有
b a
f(x)dx=_F_(_b_)_-_F_(_a_)_，这个式子称为牛顿—莱布尼茨公式.
通常称F(x)是f(x)的一个原函数.
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课时提升作业(十六)
一、选择题
1.(2013·芜湖模拟) e
11ln x
x +
⎰dx=( )
(A)lnx+ln2x (B)-1
(C) (D)
2.(2013·赣州模拟)已知函数f(x)=
则f(x)dx的值为( )
(A) (B)4 (C)6 (D)
3.(2013·汉中模拟)由y=,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为( )
(A) (B)π(C)(D)
4.(2013·济南模拟)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( )
(A)在t
1时刻
,甲车在乙车前面
(B)t1时刻后,甲车在乙车后面
(C)在t0时刻,两车的位置相同
(D)t0时刻后,乙车在甲车前面
5.如图,阴影部分的面积是( )
(A)2 (B)2- (C) (D)
6.(2013·三亚模拟)已知t>0,若(2x-1)dx=6,则t的值等于( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)8
7.曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为( )
(A)(sinx-cosx)dx
(B)(sinx-cosx)dx
(C)(cosx-sinx)dx
(D)2(cosx-sinx)dx
8.(2013·广州模拟)物体A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5m处,同时以v=10t(m/s)的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
9.如图,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是( )
(A)1 (B) (C) (D)2
10.(2013·马鞍山模拟)根据20
π
⎰sinxdx=0推断直线x=0,x=2π,y=0和正弦曲线
y=sinx 所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为( ) (A)面积为0
(B)曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积 (C)曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积 (D)曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积 二、填空题 11.(2013·宜春模拟)
|3-2x|dx= .
12.(2013·海口模拟)已知函数f(x)=-x 3+ax 2+bx(a,b ∈R)的图像如图所示,它与x 轴在原点处相切,且x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a 的值为 .
13.已知函数f(x)=sin 5x+1,根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义,探求
f(x)dx 的值,结果是 .
14.(能力挑战题)抛物线y=-x 2+4x-3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为 . 三、解答题
15.(能力挑战题)如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.
答案解析
1.【解析】选C. e
11ln x
x
+⎰dx=(lnx+)e 1=. 2.【解析】选D.f(x)dx=x 2dx+
(x+1)dx
=x 3
02
-+(x 2+x)=(0+)+(×4+2-0)=.
3.【解析】选C.V=
π(x+2)dx=π〃(+2x) 10=π.
4.【解析】选A.可观察出曲线v 甲,直线t=t 1与t 轴围成的面积大于曲线v 乙,直线t=t 1与t 轴围成的面积,故选A.
5.【解析】选C.(3-x 2-2x)dx=(3x-x 3-x 2)=.
6.【解析】选B.
(2x-1)dx=
2xdx-1〃dx=x 2-x =t 2-t,
由t 2-t=6得t=3或t=-2(舍去). 【方法技巧】定积分的计算方法
(1)利用定积分的几何意义,转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分等)的面积.
(2)应用微积分基本定理: 求定积分
f(x)dx 时,可按以下两步进行,
第一步:求使F'(x)=f(x)成立的F(x); 第二步:计算F(b)-F(a).
7.【解析】选D.当x ∈[0,]时,y=sinx 与y=cosx 的图像的交点坐标为(,),作图可知曲线y=sinx,y=cosx 与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积可分为两部分:一部分是曲线y=sinx,y=cosx 与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积;另一部分是曲线y=sinx,y=cosx 与直线x=,x=所围成的平面区域的面积.且这两部分的面积相等,结合定积分定义可知选D. 8.【解析】选C.因为物体A 在t 秒内行驶的路程为(3t 2+1)dt,物体B 在t 秒
内行驶的路程为
10tdt,所以
(3t 2+1-10t)dt=(t 3+t-5t 2)
=t 3+t-5t 2=5⇒
(t-5)(t 2+1)=0,即t=5.
9.【解析】选B.函数y=-x 2+2x+1与y=1的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积等于
(-x 2+2x+1-1)dx=
(-x 2+2x)dx=.
10.【思路点拨】y=sinx 的图像在[0,2π]上关于(π,0)对称,据此结合定积分的几何意义判断.
【解析】选D.y=sinx 的图像在[0,2π]上关于(π,0)对称,
sinxdx=0π
⎰sinxdx+
sinxdx=0.
11.【解析】∵|3-2x|=
∴|3-2x|dx=(3-2x)dx+(2x-3)dx
=(3x-x2)3
2
1
+(x2-3x) 2
3
2
=.
答案:
12.【解析】f'(x)=-3x2+2ax+b,∵f'(0)=0,∴b=0,
∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).
S阴影=-(-x3+ax2)dx=a4=,∴a=-1.
答案:-1
13.【解析】∵函数y=sin5x是奇函数,
∴sin5xdx=0,
∴f(x)dx=sin5xdx+1dx=π.
答案:π
14.【思路点拨】先求出曲线的两条切线,再将所求面积分割成两部分求解. 【解析】如图所示,因为y'=-2x+4,y'|x=1=2,
y'|x=3=-2,两切线方程为y=2(x-1)和y=-2(x-3).
由得x=2.
所以S=
[2(x-1)-(-x 2+4x-3)]dx+
[-2(x-3)-(-x 2+4x-3)]dx=
(x 2-2x+1)dx+
(x 2-6x+9)dx
=(x 3-x 2+x)+(x 3-3x 2+9x)=. 答案:
15.【思路点拨】先求出抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形的面积,再表示出直线y=kx 与抛物线y=x-x 2所围成图形的面积,最后由面积相等构造方程求解. 【解析】抛物线y=x-x 2与x 轴两交点的横坐标为 x 1=0,x 2=1,
所以,抛物线与x 轴所围图形的面积 S=(x-x 2)dx=(-x 3)=.
又
由此可得,
抛物线y=x-x 2与y=kx 两交点的横坐标为x 3=0,x 4=1-k,所以,
=1k
0-⎰(x-x 2-kx)dx =(
x 2-x 3)
=(1-k)3. 又知S=,
所以(1-k)3=,
于是k=1-=1-.
【变式备选】定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x +9))的图像为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A,B之间的曲线段与线段OA,OB所围成图形的面积为S,求S的值.
【解析】因为F(x,y)=(1+x)y,所以f(x)=F(1,
log2(x2-4x+9))==x2-4x+9,故A(0,9),又过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),f'(x)=2x-4.
所以解得B(3,6),
所以S=(x2-4x+9-2x)dx
=(-3x2+9x)=9.
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