角动量

= r ×F
定义：M = r×F 称为力 F 对于原点的力矩。
6.2.1 质点角动量定理
dl =M dt
即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力 矩。这就是质点角动量定理的微分形式。对上式积分，得：
∫
t 0
Mdt = l − l0
t
力矩对时间的积分 0 Mdt 称为冲量矩。上式表示质点角动量的 增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的积分形式。 不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写成分量 形式。
∫
t 0
Mdt = L − L0
角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和 为零时，体系的角动量守恒。
角动 量守恒定 律可以解 释星系的 圆盘形结 构。
银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与 其它星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这 个角动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下 凝聚（坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆 盘形结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒 （r2ω=常量）要求转速随 r 的减小而增大ω∝r -2，因 而使离心力增大（离心力∝v2/r = rω2∝r -3），它往往 比引力增大（引力∝r -2）得更快，最终引力会和离心 力相互平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴 方向的进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转 轴方向的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求 增加转速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩 过程中减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。
6.3.2 体系的角量与质心的角动量
虽然在质心系中角动量定理仍然适用， 但体系在质心系中相对质心的角动量与体 系在惯性系中相对原点的角动量并不相同。 这一点应该是肯定的，因为即使在惯性系 中相对不同的点的角动量都不相同，何况 质心往往还是一个运动的点。
6.3.2 体系的角量与质心的角动量 设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在质心系 KC 中，体系相对于质心的角动量 为 LC，则有：
1 S1 = r1 × v1 2
1 S 2 = r2 × v2 2
6.1.2 两个质点的孤立体系和角动量
而掠面速度对时间的微商为：
dSi 1 dri dv i 1 = × vi + ri × dt 2 dt dt 2 dv dv 1 1 1 = vi × vi + ri × i = ri × i dt 2 dt 2 2
杨维纮
第六章 角动量定理
在描述转动的问题时，我们需要引进另一个物 理量——角动量。这一概念在物理学上经历了一段 有趣的演变过程。18世纪在力学中才定义和开始利 用它，直到 19世纪人们才把它看成力学中的最基 本的概念之一，到 20世纪它加入了动量和能量的 行列，成为力学中最重要的概念之一。角动量之所 以能有这样的地位，是由于它也服从守恒定律，在 近代物理学中其运用是极为广泛的。
6.1.1 单质点孤立体系和掠面速度
单质点的孤立体系就是不受外力 作用的自由质点，它作匀速直线运动 （我们取惯性参考系，且静止看成是 匀速直线运动的特例）。 如图，设该质点位于P点，沿直 线 AB 从 A 向 B 方向运动，在相等的 时间间隔 ⊿t的位移是 ⊿s = v⊿t。 我们在 AB 上取一个参考点 Q，随着 P 点的运动，由于 QP 的方向不发生改变，故 P 点相对于 Q 点没有转动。但如果 参考点取不在 AB 上的点，譬如 O 点，由于 OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于 O 点有转动。我们现在来 寻找守恒量。
§6.4
对称性、因果关系与守恒律
6.4.1 6.4.2 6.4.3
什么是对称性 因果关系和对称性原理 守恒率与对称性
运动是生命的基本存在形式，运动的方式决定了动物的形态。 平移运动的动物有择优的方向（前后的区别），关于运动方向 左右对称 （供运动的流形是2D的）
所谓的美，不过就是遵 循最简单的自然法则
§6.1
孤立体系的角动量守恒
第4章我们介绍了与平动相联系的守恒量—— 动量，对于转动我们希望能找到这样一个物理 量——角动量，它具备以下的条件： 1. 若质点关于空间某一点作平动，它取值为零， 它取非零值表示质点关于该空间点作转动； 2. 对于孤立体系，它保持守恒。 下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。
Inversion symmetry
中心对称
平移对称性 Translationa l symmetry
f ( x) = f ( x + δx)
周期对称性 晶体中的原子位置
f ( x) = f ( x + na)
6.3.1 质心系的角动量定理
设 LC 为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力对质心的 力矩， MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：
M C + M C惯 =
由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与质量成 正比，方向与质心加速度相反，对质心的力矩为：
M C惯 = ∑ rC i × (−mi a) = −(∑ mi rC i ) × a = 0
1. 行星轨道是一条平面曲线。（因 S 的方向不变） 2. 行星与太阳的连线单位时间扫过的面积为常量。 （因 S 的大小不变）
6.2.2 质点系角动量定理
1 = F1 + f12 + f13 + " + f1n ⎧p 设体系有 n 个质点。 ⎪ 2 = f 21 + F2 + f 23 + " + f 2 n ⎪p ⎪ 3 = f 31 + f 32 + F3 + " + f 3n ⎨p ⎪ """""""""" ⎪ n = f n1 + f n 2 + f n 3 + " + f n ( n −1) + Fn ⎪ ⎩p
§6.3
质心系的角动量定理
6.3.1 质心系的角动量定理 由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所 以角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑 体系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定 点。如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如 果质心系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍 然成立。因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定 理也仍然成立。
L = 2m1 S1 + 2m2 S2 = r1 × m1v1 + r2 × m2v2 = 常矢量
6.1.2 两个质点的孤立体系和角动量
定义：
l = r × mv = r × p
称为单个质点对于原点的角动量或动量矩；
L = ∑ li = ∑ ri × mi vi = ∑ ri × pi
i i i
称为体系对于原点的角动量或动量矩。 由上述的推导可知：两个质点孤立体系的角动量守恒。 对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结 论，我们在下一节介绍。
其中 i =1, 2。为了对上式中的 i 求和， 我们列出质点运动的牛顿方程： dv 2 dv1 = f 21 = − f m2 m1 = f 12 = f dt dt dS 2 1 dv 2 1 dS1 1 dv1 1 = r2 × =− r2 × f = r1 × = r1 × f dt 2 dt 2m2 dt 2 dt 2m1 因 m1, m2 可以为任意值，故
dL C dt
即：
MC =
dLC dt
不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系 中，角动量定理仍然适用。
6.3.1 质心系的角动量定理
在这里我们再一次看到质心系的独特优 越性。行星绕太阳运动时，把太阳看成静止 是一种近似。利用第四章4.4.3节的约化质量 虽然精确，但是只能处理两体问题。对于多 体问题，当行星的质量与太阳质量相比不能 忽略，或者我们求解问题要求高精度时，都 应该考虑太阳的运动，在这种情况下用质心 系就能显示其优点了。
dS1 dS 2 + ≠0 dt dt
6.1.2 两个质点的孤立体系和角动量
但从前几式可看出：
d (2m1 S1 + 2m2 S 2 ) = (r1 − r2 ) × f = 0 dt
其中利用了牛顿第三定律：f 的方向 沿两质点 m1, m2 的连线，即 f // (r1﹣r2 )。于是我们找到了守恒量：
6.1.1 单质点孤立体系和掠面速度
1 Δs 1 S = r sin θ = rv sin θ = 常量 2 Δt 2
该式也可以换一种表达法，即掠面速 度对时间的微商为零：
dS =0 dt
6.1.1 单质点孤立体系和掠面速度
考虑多个质点，仅考虑某一个平 面就不行了，我们可以利用矢量运 算法则，将掠面速度定义为与该平 面垂直的矢量。即：
1 S = r ×v 2
这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量是掠 面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若参考点选在 直线 AB 上，则掠面速度为零。
6.1.2 两个质点的孤立体系和角动量
对于两个质点的孤立体系，它们虽 然不受外力作用，但两个质点之间是有 作用力的。我们现在来寻找守恒量，首 先我们能想到的是它们每个质点掠面速 度的和。为此，在空间建立惯性参考系， 如图，两个质点的质量分别为 m1, m2， 其位矢和速度分别为 r1, r2 和 v1, v2 。设 其掠面速度分别为 S1, S2 ，有：
= rC × mC vC + ∑ ( rC i × mi vC i )
i
6.3.2 体系的角动量与质的角动量
令： L
C
LCM = ∑ ( rC i × mi vC i ) 称为体系相对于质心 i 的角动量
= rC × mC vC
称为质心角动量
则有：
L = LC + LCM
即：体系的角动量等于质心的角动量 与体系相对于质心的角动量之和。