第五届峨眉校区数学建模知识竞赛复赛题

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五大竞赛考试题目及答案

五大竞赛考试题目及答案一、单项选择题（每题2分，共10题）1. 以下哪个选项是计算机科学领域中著名的算法？A. 牛顿法B. 欧几里得算法C. 傅里叶变换D. 麦克斯韦方程组答案：B2. 化学中，哪种元素的原子序数为26？A. 铁B. 铜C. 铁D. 锌答案：B3. 在物理学中，光速在真空中的速度是多少？A. 299,792,458米/秒B. 299,792,458千米/秒C. 299,792,458厘米/秒D. 299,792,458英里/秒答案：A4. 数学中，勾股定理描述的是哪种关系？A. 三角形的面积B. 三角形的周长C. 直角三角形的边长关系D. 三角形的内角和答案：C5. 生物学中，DNA的双螺旋结构是由哪位科学家提出的？A. 达尔文B. 孟德尔C. 沃森和克里克D. 摩尔根答案：C二、多项选择题（每题3分，共5题，每题至少有两个正确答案）1. 以下哪些是编程语言？A. PythonB. JavaC. HTMLD. C++答案：A, B, D2. 以下哪些是有机化学中的官能团？A. 羟基B. 羧基C. 氨基D. 甲烷答案：A, B, C3. 在物理学中，以下哪些是基本力？A. 重力B. 电磁力C. 核力D. 摩擦力答案：A, B, C4. 数学中，以下哪些是几何图形？A. 圆B. 三角形C. 函数D. 矩形答案：A, B, D5. 生物学中，以下哪些是细胞器？A. 线粒体B. 核糖体C. 细胞壁D. 叶绿体答案：A, B, D三、填空题（每题4分，共5题）1. 计算机存储单位中，1TB等于_______GB。

答案：10242. 化学方程式2H2 + O2 → 2H2O中，反应物和生成物的摩尔比是_______。

答案：2:1:23. 物理学中，牛顿第二定律的公式是_______。

答案：F = ma4. 数学中，圆的面积公式是_______。

答案：πr²5. 生物学中，细胞分裂过程中，染色体数量在有丝分裂后期是_______。

第五届数学竞赛试题题库

第五届数学竞赛试题题库第五届数学竞赛试题题库包含了各种难度的数学题目，旨在测试学生的数学知识和解决问题的能力。

以下是一些精选的题目，涵盖了代数、几何、数论和组合等多个领域。

一、代数部分1. 解方程：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]2. 化简表达式：\[ \frac{2x^3 - 3x^2 + x}{x - 1} \]3. 求多项式\[ P(x) = x^3 - 4x^2 + x - 6 \]的根。

二、几何部分1. 在直角三角形ABC中，∠A是直角，AB = 5，AC = 12，求BC的长度。

2. 圆的半径为7，求圆的面积。

3. 已知三角形ABC的周长为36，且AB = 12，AC = 14，求BC的长度。

三、数论部分1. 找出所有小于100的质数。

2. 计算\[ 2023! \]的末尾零的个数。

3. 证明：如果\( n \)是正整数，那么\( n^2 + 3n + 4 \)不能是质数。

四、组合部分1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，求将所有球放入盒子中的不同方法数。

2. 一个班级有15个学生，需要选出一个5人的委员会，求不同的委员会组合数。

3. 从8个不同的数字中选择3个数字组成一个不重复的三位数，求可能的组合数。

五、逻辑推理1. 一个班级有5个学生，A、B、C、D和E，他们中只有一个人是数学竞赛的冠军。

A说：“我不是冠军。

”B说：“C是冠军。

”C说：“D 是冠军。

”D说：“E是冠军。

”E说：“B是冠军。

”如果只有一个人说真话，谁是冠军？2. 一个岛上有红眼睛和蓝眼睛的人，他们不知道自己的眼睛颜色。

如果一个人知道了自己的眼睛颜色，他必须在第二天离开岛屿。

一天，一个旅行者告诉岛上的人，至少有一个红眼睛的人。

旅行者离开后的第二天，发生了什么？六、应用题1. 一个农场主有一块长方形的土地，长是宽的两倍。

如果这块土地的面积是800平方米，求这块土地的长和宽。

2. 一个水箱开始时有20升水，每小时流入5升水，同时每小时流出3升水。

56第五届数学竞赛决赛试题及答案

第五届数学竞赛决赛试题及答案一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分）二、填空题（共40分，每小题5分）1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=19922.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。

那么，这个等腰梯形的周长是__厘米。

3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。

这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。

原来至少有__人已经就座。

4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。

a=__，r=__。

5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。

他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。

其中年龄最大的老人今年____岁。

6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。

那么，至少____个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。

7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。

那么得分最少的选手至少得____分，至多得____分。

（每位选手的得分都是整数）8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。

那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。

三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。

列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分）1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。

现由甲工程队先修3天。

余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。

问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？2.一个人从县城骑车去乡办厂。

四川省乐山市峨眉山市2023-2024年九年级下册调研考试数学试题(附答案)

四川省乐山市峨眉山市2023-2024年九年级下学期调研考试数学试题本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）. 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题单、草稿纸上答题无效. 满分150分.考试时间120分钟. 考试结束后，本试题单和答题卡由考场统一收回，试题单集中管理不上交．答题卡按规定装袋上交．考生作答时，不能使用任何型号的计算器.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上．第一部分（选择题30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面500m FAST 面积约为用科学记数法表示数据为2250000m ．250000.A 60.2510⨯.B 42510⨯.C 42.510⨯.D 52.510⨯2. 某物体如图1所示，其俯视图是.A .B .C .D 3. 下列运算中，正确的是.A 3232a a a -=.B ()222a b a b +=+.C ()2242a b a b =.D 423a b a a ÷=4．一种饮料有大盒，小盒两种包装，5大盒和3小盒共有150瓶，2大盒和6小盒共有100瓶，大盒，小盒每盒各有多少瓶？设大盒每盒有x 瓶，小盒每盒有y 瓶，则可列方程组为.A {5x +2y =150,3x +6y =100.B {5x +2y =150,3y +6x =100.C {5x +3y =150,2y +6x =100.D {5x +3y =150,2x +6y =1005．某市从不同学校随机抽取100名初中生对“使用数学同步练习册”进行调查，统计结果如下，关于这组数据，下列说法正确的是中位数是2册众数是2册.A .B 平均数是3册方差是1.2..C .D 册数0123人数10203040图16．如图2，菱形的周长为，相邻两个的内角度数之比为，则较长的对角线长度是24cm 1:2 .A 6cm .B .C .D 12cm7．如图3，四边形内接于，，．若，则的ABCD O BC AD ∥AC BD ⊥120AOD ∠=︒CAO ∠度数为.A 10︒.B 20︒.C 15︒.D 25︒8．如图4，二次函数的图象与x 轴交于，，下列说法错误的是26y ax x =+-(30)A -，B 抛物线的对称轴为直线.A 12x =-抛物线的顶点坐标为.B 1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭，两点之间的距离为.C A B 5当时，的值随值的增大而增大.D 12x >-y x 9．已知抛物线L:，其中顶点为,与轴交于点，将抛物线L 绕原点旋24y x x c =-+M y N 转180°，点、的对应点分别为、,若四边形为矩形，则的值为M N P Q MNPQ c .A 52.B 52-.C.D 10．如图5，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，O OA OB ==C ，连结，点是线段上的一点，且满足．当线段取32BC =AC M AC :1:2CM MA =OM 最大值时，点的坐标是M .A 36(55，612.(55B，CD 第二部分（非选择题共120分）注意事项：1.考生使用0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题图2图3图4图5卷上无效.2.作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚.3．本部分共16个小题，共120分.二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11．因式分解：= ▲ ．2x x -12．若关于x 的方程两根互为负倒数，则m 的值为 ▲ ．()22140x m x m -+++=13．一组数据2、3、5、6、x 的平均数是4，则这组数据的方差是 ▲ ．相交于点．D ，垂足，，分别交于AC AD 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；1r围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，2r 16.定义：若（为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称为“智慧数”3432n n --n n （1）当时，请任意写出一个智慧数： ▲ ；010n <<（2）当时，则“智慧数”N 的最大值为 ▲ .0500n <<三、本大题共3小题，每小题9分，共27分．17．计算：．0(2024)2sin305-+-︒+-18．解不等式组10,2 1.32x x x-≤⎧⎪+⎨-<⎪⎩图7图619．先化简，再求值：，其中2422(4222+---÷--x x x x xx 2x =四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．20．如图8，已知、、、在同一条直线上,,,.A F C D BC EF =AB DE =AC FD =求证:(1)∥；BC EF (2)．BF CE =21．已知△，如图9所示.ABC (1)用无刻度直尺和圆规作出△内切圆的圆心.(保留作图痕迹,不写作法和证明)ABC O (2)如果△的周长为,内切圆的半径为,求△的面积.ABC 14cm 1.2cm ABC 22．某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组(x 表示成绩，单位：分).A 组：；B 组：；C 组：7580x ≤<8085x ≤<；D 组：；E 组：，并绘制如下两幅不完整的统8590x ≤<9095x ≤<95100x ≤<计图：请根据图中信息，解答下列问题：(2)扇形统计图中，C 组对应的圆心角是多少度？E 组人数占参赛选手的百分比是多少？(3)学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E 组6名选手直接进入代表队，现要从D 组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率.五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.23.如图11,在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数()0y kxb k=+≠图8图9的图象相交于,两点，过点作轴于点，，()0my m x=≠A B A AD x ⊥D 5AO =，点的坐标为.:3:4OD AD =B ()6,n -（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求的面积；AOB △（3）是y 轴正半轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P AOP △P 坐标.24.装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图AB O 50cm AB =12.1和图12.2所示，为水面截线，为台面截线，．MN GH MN GH ∥计算：在图1中，已知，作于点．48cm MN =OC MN ⊥C （1）求的长．OC 操作：将图12.1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当GH 时停止滚动，如图12.2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点30ANM ∠=︒Q GH 为，连接交于点．E OE MN D 探究：在图12.2中（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接并延长交于点，求线段与的长度．OQ GH F EF EQ 图12.1图11图12.2六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共计25分.25. （1）【探究发现】如图13.1所示，在正方形中，为边上一点，将ABCD E AD 沿翻折到处，延长交边于点．求证：≌AEB BE BEF EF CD G BFG ；BCG （2）【类比迁移】如图13.2，在矩形中，为边上一点，且ABCD E AD 将沿翻折到处，延长交边于点延长86AD AB ==，AEB BE BEF EF BC G 交边于点且求的长．BF CD H FH CH =AE （3）【拓展应用】如图13.3，在菱形中，，为边上的三等分点，ABCD 6AB =E CD ，将沿翻折得到，直线交于点，求的60D ∠=︒ADE AE AFE EF BC P CP 长．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与y 轴交于点，其对称轴()2440y ax ax a =--≠A 与x 轴交于点.B （1）求点，的坐标；A B （2）若方程()244=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围；（3）直线经过点，将点向右平移6个单位长度，得到点，若抛物2y x =-(5)C m -，C 1C 线与线段只有一公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.1CC C GFDEABH FEGCBADDCBADCBA图13.1图13.2图13.3备用图数学答案一、选择题DBCDA BCBAD二、填空题11．12．13．14．15．16．(1)5或(1)x x-5-26(60)m cm3249；(2)485．三、17．解：原式=115+-+………………………………（8分）= 5+………………………………（9分）18．解：解不等式①得：1x≤………………………………（4分）解不等式②得：2x>-………………………………（8分）所以不等式组的解集为：12≤<-x………………………………（9分）19. 解：原式2(2)424()(2)(2)22x x x xx x x x---=÷--+++………………………………（4分）(2)2(2)(2)(2)x x xx x x x-+=-+-g12x=-………………………………（7分）当=. …………………（9分）2x=-四、20．解：（1）证明：∵，，BC EF=AB DE=AC DF=∴△≌△（SSS ）ABC DEF ………………………………（3分）∴BCA EFD ∠=∠………………………………（4分）∴∥……（5分）BC EF （2）由(1)可得，BC EF =BCA EFD∠=∠又∵ …………（8分）CF FC =∴△≌△（SAS ）……………（9分）BCF EFC∴…………（10分）BF CE = 21.解：(1)画图略（画出一个角角平分线得3分，画出两个角角平分线得6分，画出三个角角平分线不扣分）(2)设三角形三边长分别为、、，内切圆半径为，a b c r 则三角形的面积为111222ar br cr ++………………………………（8分）1()2a b c r =++= …………（10分）114 1.22=⨯⨯28.4cm22.解：（1）（人），：10人（画图略） ……（28=20÷％408085x ≤≤分）（2）C 组对应的圆心角是： 1236010840︒⨯=︒………………………（4分）（3）记2名男生分别为男1，男2；记2名女生分别为女1，女2，列表如下：男1男2女1女2男1男1男2男1女1男1女2男2男1男2男2女1男2女2女1女1男女1男女1女122女2女2男1女2男2女2女1……（8分）共12种结果，其中包含1名男生1名女生的结果有2种，………（10分）21126P ∴==即选到1名男生和1名女生的概率为． (没有列表、画树状图只要答案正确说理清楚均16可给满分)23.解：（1），，设，，则5AO =:3:4OD AD =3OD a =4AD a =55AO a ==∴，故1a =(3,4)A ∴3412m =⨯= ∴反比例函数的解析式为12y x= ∴(6,2)B --将、的坐标代入一次函数解析式得：(3,4)A (6,2)B --y kx b =+解得，4326k b k b =+⎧⎨-=-+⎩232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩则一次函数的解析式为；223y x =+（2）设一次函数与轴的交点为y (0,2)M ∴=1()2AOB A B S OM x x =⨯⨯- 12(36)92⨯⨯+=（3）点的坐标为或或.P (0,8)(0,5)25(0,)824. 解：（1）连结OM∵于点，OC MN ⊥C 48cmMN =∴ …………（8分）1242MC MN cm ==∵，∴50AB cm =1252OM AB cm ==………………………………（8分）∴7OC cm ===………………………………（8分）（2）∵与半圆的切点为，GH E ∴OE GH ⊥∵∥，MN GH ∴OE MN ⊥ ∵，30ANM ∠=︒25ON cm =∴ 12522OD ON cm ==………………………………（8分）∴ 2511722OD OC cm -=-=………………………………（8分）∴操作后水面下降高度为112cm （3）∵，OE MN ⊥30ANM ∠=︒∴60DOB ∠=︒∵半圆的中点为Q∴ AQ QB=∴，90QOB ∠=︒30QOE ∠=︒∴tan EF QOE OE =∠=. 3025251806EQcm ππ⨯⨯==25.证明：（1）∵将沿翻折到处，四边形是正方形，AEB BE BEF ABCD ∴，AB BF =90BFG C ∠=︒=∠∵，，AB BC BF ==BG BG =∴≌Rt BFG ()Rt BCG HL （2）解：延长，交于，如图：BH AD Q设，FH HC x ==在中，，Rt BCH 222CH BH BC += ∴，解得：2228(6)x x +=+73x = ∴113DH DC HC =-=∵，，90BFG BCH ∠=∠=︒HBC FBG ∠=∠∴∽BFG BCH∴，，BF BG FG BC BHHC ==6778633BG FG ==+∴，254BG =74FG = ∵∥，∥EQ GB DQ CB∴∽，∽EFG GFB DHQ CHB∴，，∴BC CH DQ DH =783763DQ =-887DQ =设，则，AE EF m ==8DE m =-∴88144877EQ DE DQ m m =+=-+=-∴∽，∴EFQ GFB EQ EF BG FG =即，解得：144725744m m -=92m =∴92AE =（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：123DE DC ==FE AD Q Q QH CD ⊥H 设，，则DQ x =QE y =6AQ x=-∵∥CP DQ∴∽CPE QDE∴2CP CE DQ DE == ∴2CP x=∵沿翻折得到ADE AE AFE∴，，2EF DE ==6AF AD ==QAE FAE ∠=∠ ∴是的角平分线AE AQF ∴，即①，AQ QE AF EF =662x y -=∵60D ∠=︒∴，，1122DH DQ x ==122HE DEDH x =-=-HQ ==在中，Rt HQE 222HQ EQ HE +=∴②，2221(1))2x x y -+=联立①②可解得，34x =∴322CP x ==（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线123CE DC ==FE ADQ 'D DN AB ⊥BA 于，如图：N同理Q AE EAF'∠=∠ ∴，即AQ Q E AF EF ''=664x y += 由得222HD QD HQ '+=2221)(4)2x y ++= 解得125x = ∴ 625CP x ==综上所述，的长为或．CP 326526.解：（1）∵抛物线与轴交于点，244(0)y ax ax a =--≠y A ∴(0,4)A -∵抛物线2244(2)44y ax ax a x a =--=---∴抛物线对称轴为直线2x =∴(2,0)B （2）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，32440(0)ax ax a --=≠之间（包括1，3）∴抛物线与轴的交点横坐标在1，3（包括1，3）244y ax ax =--x ∴抛物线开口向下，顶点在第一象限∴，解得440a -->1a <-当时，，∴1x =0y ≤440a a --≤解得43a ≥-∴a的取值范围为413a -≤<-（3）将点代入， ∴(5)C m -，2y x =-3m =- ，将点向右平移6个单位长度(35)C -，-C ∴1(35)C ，-①当时0a >当时，，当时，3x =5y <-3x =-5y >- ∴9124591245a a a a --<-⎧⎨+->-⎩解得：13a >当时，，，解得：2x =5y =-445a --=-14a =②当时，抛物线的对称轴为直线0a <2x =∵抛物线与轴交于点为y (0,4)A -∴当时，4x =4y =-∴线段始终与抛物线没有交点1OC 当时，3x =-5y <-∴91245a a +-≤-解得：121a ≤-综上所述：的取值范围为、或.a 14a=13a >121a ≤-备注：如有与答案的方法不同的只要正确都给满分．。

西南交大峨眉校区数学建模第一次预选答案

西南交通大学峨眉校区2012年全国大学生数学建模竞赛第一次预选赛学号：专业：工机2班姓名：吴一凡（1）质点系的转动惯量（本题10分）已知在平面上的个质点，其质量分别为，请你确定一个点，使得质点系关于此点的转动惯量为最小。

()()[]∑∑-+-==222y y x x m r m J i i i i i z转动惯量为最小，此时有0,0==dydJ dx dJ zz iii i ii m y m y m x m x ∑∑==,，即取质心位置。

得到⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑i i i i i i m y m m x m P ,（2）火箭发射问题（本题10分）当火箭从地面发射后，它的质量以40千克/秒的速度减少，当火箭离地球中心6378公里时，这时火箭的速度是100公里/秒，火箭的质量为3189千克,问这时的地球对火箭的引力减少的速率是多少（已知地球的质量千克，引力常数牛•米2/千克2）？由m rGMF 2=，除以时间t ，推出： '2'32r rGMmm r GM dt dr r F dt dm m F dt dF -=⨯∂∂+⨯∂∂= 3332411232411106378)106378(31891098.51067.62)40()106378(1098.51067.6⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--⨯⨯⨯⨯⨯=--dt dF 代入数据，求得结果为s N dtdFv /73.1372-==。

低碳经济的评价与科学预测摘要本文由实际出发，在所给数据中进行合理性的筛选，将表中数据通过评价系数来划分等次，通过加权系数进行处理，得到评价指数，具有良好的公平性。

问题一通过比较可以得知，在综合评价中北京>重庆>四川>上海。

在分析各省低碳经济的发展变化中，北京的各项指标突出，低碳经济发展很好。

上海正在大力推行低碳经济，它的评价指数在不断上升中。

重庆与四川相对稳定，总体上没有太大波动。

问题二要预测2012年4个省的人均排放量，通过数据量小的特点，利用改进后的二次移动平均法建立预测模型，利用EXCEL软件求解。

四川省峨眉山市二中2025届高三下学期一模考试数学试题含解析

四川省峨眉山市二中2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（）A 3B 6C 3D 33 2．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（）A ．当8n =时，该命题不成立B ．当8n =时，该命题成立C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立3．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为212； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④4．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm5．已知33a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>6．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．155D 1057．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数8．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（）A ．4B ．6C ．8D ．109．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（） A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D 12e 10．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是（）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]11．若直线不平行于平面，且，则（）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交12．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省乐山市峨眉山市市级名校2024届中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

四川省乐山市峨眉山市市级名校2024年中考数学最后冲刺模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣3B．π+3C．π+23D．2π﹣232．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．33m C．23m D．4m3．大箱子装洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉（）A．6.5千克B．7.5千克C．8.5千克D．9.5千克4．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（）A．210-+=C．2x x=-D．220x mx--=x x4690x x--=B．25．为丰富学生课外活动，某校积极开展社团活动，开设的体育社团有：A：篮球，B：排球，C：足球，D：羽毛球，E：乒乓球．学生可根据自己的爱好选择一项，李老师对八年级同学选择体育社团情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图），则以下结论不正确的是（）A ．选科目E 的有5人B ．选科目A 的扇形圆心角是120°C ．选科目D 的人数占体育社团人数的15D ．据此估计全校1000名八年级同学，选择科目B 的有140人 6．下列命题正确的是（） A ．对角线相等的四边形是平行四边形 B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形7．如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2，正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边相切，正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3的外接圆与正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A 11B 11C 11D 11E 11F 11的边长为（）A ．92432 B 813C ．82432 D 8138．在武汉市举办的“读好书、讲礼仪”活动中，某学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书．下面是七年级(1)班全体同学捐献图书的情况统计图，根据图中信息，该班平均每人捐书的册数是（）A．3 B．3.2 C．4 D．4.59．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是3cm和5cm，两圆的圆心距为4cm，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外离D．内含10．如图，AD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，连接DE，则下列结论中不一定成立的是（）A．DC=DE B．AB=2DE C．S△CDE=14S△ABC D．DE∥AB二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，在平面直角坐标系中有矩形ABCD，A（0，0），C（8，6），M为边CD上一动点，当△ABM是等腰三角形时，M点的坐标为_____．12．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a244a a+-+=_____．13．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为_____．14．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程____________．15．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是_______．16．化简：34()2b a b--=________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A1，A2，A3，A4，现对A1，A2，A3，A4统计后，制成如图所示的统计图．（1）求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；（2）将条形统计图补充完整，并求出A1所在扇形的圆心角的度数；（3）现从A1，A2中各选出一人进行座谈，若A1中有一名女生，A2中有两名女生，请用树状图表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．18．（8分）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=34，CD=a，请用a 表示⊙O的半径；（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．19．（8分）解不等式组2(1)31122xxxx⎧-≥⎪⎪⎨+⎪-≤⎪⎩(1)(2)请结合题意填空，完成本题的解答．（I）解不等式（1），得；（II）解不等式（2），得；（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为．20．（8分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB＝60°，在B点测得∠MBA＝45°，AB＝600米．（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）（2）在B点又测得∠NBA＝53°，求MN的长．（结果精确到1米）（参考数据：3≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）21．（8分）某街道需要铺设管线的总长为9000m，计划由甲队施工，每天完成150m．工作一段时间后，因为天气原因，想要40天完工，所以增加了乙队．如图表示剩余管线的长度()y m与甲队工作时间x（天）之间的函数关系图象．（1）直接写出点B的坐标；（2）求线段BC所对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）直接写出乙队工作25天后剩余管线的长度．22．（10分）先化简，再求值：（1x﹣21x-）÷2212x xx x+-+，其中x的值从不等式组11022(1)xx x⎧+⎪⎨⎪-≤⎩＞的整数解中选取．23．（12分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803摸到白球的频率mn0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝；试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？24．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，．求BE的长．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解题分析】分析：观察图形可知，阴影部分的面积= S半圆ACD +S半圆BCD -S△ABC，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可.详解：连接CD．∵∠C=90°，AC=2，AB=4，∴BC2242-3∴阴影部分的面积= S半圆ACD +S半圆BCD -S△ABC=2211113223 222ππ⨯+⨯-⨯⨯=323 22ππ+-223π=-故选：D．点睛：本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式及割补法求图形的面积，根据图形判断出阴影部分的面积= S半圆ACD +S半圆BCD -S△ABC是解答本题的关键.2、B【解题分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【题目详解】解：∵sin∠CAB＝32262 BCAC==∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝''3 6B C=解得：B′C′＝故选：B．【题目点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．3、C【解题分析】【分析】设每个小箱子装洗衣粉x千克，根据题意列方程即可．【题目详解】设每个小箱子装洗衣粉x千克，由题意得：4x+2=36，解得：x=8.5，即每个小箱子装洗衣粉8.5千克，故选C．【题目点拨】本题考查了列一元一次方程解实际问题，弄清题意，找出等量关系是解答本题的关键.4、B【解题分析】根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.【题目详解】解: A. x2-x-1=0,△=1+4=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根,B. 24x6x90-+=, △=36-144=-108<0,∴原方程没有实数根,C. 2x x=-, 2x x0+=, △=1>0,∴原方程有两个不相等的实数根,D. 2x mx20--=, △=m2+8>0,∴原方程有两个不相等的实数根,故选B.【题目点拨】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.5、B【解题分析】A选项先求出调查的学生人数，再求选科目E的人数来判定，B选项先求出A科目人数，再利用A科目人数总人数×360°判定即可，C选项中由D的人数及总人数即可判定，D选项利用总人数乘以样本中B人数所占比例即可判定．【题目详解】解：调查的学生人数为：12÷24%=50（人），选科目E的人数为：50×10%=5（人），故A选项正确，选科目A的人数为50﹣（7+12+10+5）=16人，选科目A的扇形圆心角是1650×360°=115.2°，故B选项错误，选科目D的人数为10，总人数为50人，所以选科目D的人数占体育社团人数的15，故C选项正确，估计全校1000名八年级同学，选择科目B的有1000×75=140人，故D选项正确；故选B．【题目点拨】本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中找到准确信息．6、C【解题分析】分析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．详解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；故选：C．点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7、A【解题分析】分析：连接OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD21D12，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=2×2，依此规律可得正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=10×2，然后化简即可．详解：连接OE1，OD1，OD2，如图，∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1为等边三角形，∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD231D132，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长32，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=32×2，则正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（3210×2=92432．故选A．点睛：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．8、B【解题分析】七年级(1)班捐献图书的同学人数为9÷18%=50人，捐献4册的人数为50×30%=15人，捐献3册的人数为50-6-9-15-8=12人，所以该班平均每人捐书的册数为（6+9×2+12×3+15×4+8×5）÷50=3.2册，故选B.9、A【解题分析】试题分析：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距O1O2=4cm，5﹣3＜4＜5+3，∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2相交．故选A．考点：圆与圆的位置关系．10、A【解题分析】根据三角形中位线定理判断即可．【题目详解】∵AD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，∴DC=12BC，DE=12AB，∵BC不一定等于AB，∴DC不一定等于DE，A不一定成立；∴AB=2DE，B一定成立；S△CDE=14S△ABC，C一定成立；DE∥AB，D一定成立；故选A．【题目点拨】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、（4，6），（8﹣2，6），（2，6）．【解题分析】分别取三个点作为定点，然后根据勾股定理和等腰三角形的两个腰相等来判断是否存在符合题意的M的坐标．【题目详解】解：当M为顶点时，AB长为底=8，M在DC中点上，所以M的坐标为（4，6），当B为顶点时，AB长为腰=8，M在靠近D处，根据勾股定理可知ME==2所以M的坐标为（8﹣2，6）；当A为顶点时，AB长为腰=8，M在靠近C处，根据勾股定理可知MF==2所以M的坐标为（2，6）；综上所述，M的坐标为（4，6），（8﹣2，6），（2，6）；故答案为：（4，6），（8﹣2，6），（2，6）．【题目点拨】本题主要考查矩形的性质、坐标与图形性质，解题关键是根据对等腰三角形性质的掌握和勾股定理的应用.12、1．【解题分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．【题目详解】由数轴可得：0＜a＜1，则2a4a4-+22a-（）（1﹣a）=1．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键．13、0<m＜13 2【解题分析】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【题目详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣5 12；由y=﹣512x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣512x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=125m，∴A（125m，0），B（0，m），即OA=125m，OB=m，在Rt△OAB中，2222121355OA OB m m m⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=12OD•AB=12OA•OB，∴12OD•135m=12×125m×m，∵m＞0，解得OD=1213m，由直线与圆的位置关系可知1213m ＜6，解得m＜132，故答案为0<m＜13 2.【题目点拨】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.14、．【解题分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．【题目详解】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：．故答案为：．【题目点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．15、5或1．【解题分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=5，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．【题目详解】∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=5，∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，∴BD=DB′，AB′=AB=5．如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′5=AF5+FB′5，即（6+x）5+（8-x）5=55．解得：x1=5，x5=0（舍去）．∴BD=5．如图5所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．∵AB′=5，AC=6，∴B′E=5．设BD=DB′=x，则CD=8-x．在Rt△′BDE中，DB′5=DE5+B′E5，即x5=（8-x）5+55．解得：x=1．∴BD=1．综上所述，BD的长为5或1．16、47-+a b【解题分析】根据平面向量的加法法则计算即可【题目详解】 34()46472b a b b a b a b --=-+=-+. 故答案为：47a b -+【题目点拨】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）15人;(2)补图见解析.（3）.【解题分析】（1）根据三班有6人，占的百分比是40%，用6除以所占的百分比即可得总人数；（2）用总人数减去一、三、四班的人数得到二班的人数即可补全条形图，用一班所占的比例乘以360°即可得A 1所在扇形的圆心角的度数；（3）根据题意画出树状图，得出所有可能，进而求恰好选出一名男生和一名女生的概率．【题目详解】解:（1）七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数：6÷40%=15人；（2）A 2的人数为15﹣2﹣6﹣4=3（人）补全图形，如图所示，A 1所在圆心角度数为：×360°=48°；（3）画出树状图如下：共6种等可能结果,符合题意的有3种∴选出一名男生一名女生的概率为：P=.【题目点拨】本题考查了条形图与扇形统计图，概率等知识，准确识图，从图中发现有用的信息，正确根据已知画出树状图得出所有可能是解题关键．18、（1）证明见解析；（2）25r a48=；（3）证明见解析．【解题分析】（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，从而推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可．（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE=12CD=12a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r．（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2，然后代入等式左边整理即可得证．【题目详解】解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵OA⊥CD，∴∠OAB+∠AGC=90°．又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°．∴OB⊥FB．∵AB是⊙O的弦，∴点B在⊙O上．∴BF是⊙O的切线．（2）∵AC∥BF，∴∠ACF=∠F．∵CD=a，OA⊥CD，∴CE=12CD=12a．∵tan∠F=34，∴AE3 tan ACFCE4∠==，即AE3 14a2=．解得3 AE a8=．连接OC，设圆的半径为r，则3 OE r a8=-，在Rt△OCE中，222CE OE OC+=，即222 13a r a r28⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25r a48 =．（3）证明：连接BD，∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），∴∠DBG=∠F．又∵∠FGB=∠FGB，∴△BDG∽△FBG．∴DG GBGB GF=，即GB2=DG•GF．∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF（GF﹣DG）=GF•DF，即GF2﹣GB2=DF•GF．19、（1）x≥65；（1）x≤1；（3）答案见解析；（4）65≤x≤1．【解题分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【题目详解】解:（I）解不等式（1），得x≥65；（II）解不等式（1），得x≤1；（III ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV ）原不等式组的解集为：65≤x≤1．故答案为x≥65、x≤1、65≤x≤1．【题目点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20、 (1) (9003003)π-; (2)95m.【解题分析】（1）过点M 作MD ⊥AB 于点D ，易求AD 的长，再由BD=MD 可得BD 的长，即M 到AB 的距离；（2）过点N 作NE ⊥AB 于点E ，易证四边形MDEN 为平行四边形，所以ME 的长可求出，再根据MN=AB-AD-BE 计算即可．【题目详解】解：（1）过点M 作MD ⊥AB 于点D ，∵MD ⊥AB ，∴∠MDA=∠MDB=90°，∵∠MAB=60°，∠MBA=45°，∴在Rt △ADM 中，tan 3MD A AD== 在Rt △BDM 中，tan 1MD MBD BD =∠=， ∴BD ＝MD 3∵AB=600m ，∴AD+BD=600m ，∴3600AD m =，∴AD ＝（3300）m ，∴3π，∴点M 到AB 的距离3π．（2）过点N 作NE ⊥AB 于点E ，∵MD ⊥AB ，NE ⊥AB ，∴MD ∥NE ，∵AB ∥MN ，∴四边形MDEN 为平行四边形，∴NE=MD=(900-3003)π，MN=DE ，∵∠NBA=53°，∴在Rt △NEB 中，cot 530.75o BE NE=≈， ∴BE (6752253)π≈-m ，∴MN=AB-AD-BE 22575395m ≈-≈．【题目点拨】考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案是解题的关键．21、（1）（10，7500）（2）直线BC 的解析式为y=-250x+10000，自变量x 的取值范围为10≤x≤40.（3）1250米.【解题分析】（1）由于前面10天由甲单独完成，用总的长度减去已完成的长度即为剩余的长度，从而求出点B 的坐标；（2）利用待定系数法求解即可；（3）已队工作25天后，即甲队工作了35天，故当x=35时，函数值即为所求.【题目详解】（1）9000-150×10=7500. ∴点B 的坐标为（10，7500）（2）设直线BC 的解析式为y=kx+b ，依题意，得：解得：∴直线BC 的解析式为y=-250x+10000，∵乙队是10天之后加入，40天完成，∴自变量x 的取值范围为10≤x≤40.（3）依题意，当x=35时，y=-250×35+10000=1250. ∴乙队工作25天后剩余管线的长度是1250米.【题目点拨】本题考查了一次函数的应用，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键.22、-14 【解题分析】先化简，再解不等式组确定x 的值，最后代入求值即可.【题目详解】（1x ﹣21x -）÷2212x x x x+-+， =(1)(1)x x x -+-÷2212x x x x +-+， =21x x-，解不等式组()110221x x x ⎧+>⎪⎨⎪-≤⎩，可得：﹣2＜x ≤2，∴x =﹣1，0，1，2，∵x =﹣1，0，1时，分式无意义，∴x =2，∴原式=2122-=﹣14．23、（1）0.6；（2）0.6；（3）白球有24只，黑球有16只.【解题分析】试题分析：通过题意和表格，可知摸到白球的概率都接近与0.6，因此摸到白球的概率估计值为0.6.24、（1）证明见解析；（2）. 【解题分析】试题分析：连接OD .根据圆周角定理得到∠ADO ＋∠ODB ＝90°，而∠CDA ＝∠CBD ，∠CBD ＝∠BDO .于是∠ADO ＋∠CDA ＝90°，可以证明是切线.根据已知条件得到由相似三角形的性质得到求得由切线的性质得到根据勾股定理列方程即可得到结论．试题解析：(1)连接OD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD.∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD，BC＝6，∴CD＝4.∵CE，BE是⊙O的切线，∴BE＝DE，BE⊥BC，∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62＝(4＋BE)2，解得BE＝.。

四川省乐山市峨眉山市2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业质量监测模拟试题【含答案】

四川省乐山市峨眉山市2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业质量监测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，CD ＝3，△ABD 的面积等于18，则AB 的长为（）A ．9B ．12C ．15D ．182、（4分）要得到函数y＝﹣6x+5的图象，只需将函数y＝﹣6x 的图象（）A ．向左平移5个单位B ．向右平移5个单位C ．向上平移5个单位D ．向下平移5个单位3、（4分）已知一次函数2y kx m x =--的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（）A ．0,0k m ><B ．2,0k m >>．C ．2,0k m ><D ．2,0k m <>4、（4分）有8个数的平均数是11，另外有12个数的平均数是12，这20个数的平均数是（）A ．11.6B ．2.32C ．23.2D ．11.55、（4分）如果等腰三角形两边长是6和3，那么它的周长是(）A ．15或12B ．9C ．12D ．156、（4分）如图，EF 过ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若ABCD 的周长为36，3OE =，则四边形ABFE 的周长为（）A ．24B ．26C ．28D ．207、（4分）某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，8，9，16，12，7，这组数据的中位数和众数分别是（）A ．10，12B ．12，11C ．11，12D ．12，128、（4分）小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h 与注水时间t 之间的变化情况的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线'D 处．若3AB =，4=AD ，则ED 的长为_____．10、（4分）若关于x 的方程1222x mx x -=+--产生增根，那么m 的值是______．11、（4分）有10个数据的平均数为12，另有20个数据的平均数为15，那么所有这30个数据的平均数是________．12、（4分）一个矩形的长比宽多1cm,面积是2132cm ，则矩形的长为___________13、（4分）在一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，C 地位于A 、B 两地之间，甲车从A 地沿这条公路匀速驶向C 地，乙车从B 地沿这条公路匀速驶向A 地，在甲车出发至甲车到达C 地的过程中，甲、乙两车各自与C 地的距离y （km ）与甲车行驶时间t （h ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h 时，两车相遇；②乙车出发1.5h 时，两车相距170km ；③乙车出发527h 时，两车相遇；④甲车到达C 地时，两车相距40km ．其中正确的是______（填写所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，菱形中，为对角线的延长线上一点.（1）求证：；（2）若，，，求的长.15、（8分）一家公司准备招聘一名英文翻译，对甲、乙和丙三名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：应试者听说读写甲82867875乙73808582丙81828079（1）如果这家公司按照这三名应试者的平均成绩（百分制）计算，从他们的成绩看，应该录取谁？（2）如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶4∶2∶1的权重确定，计算三名应试者的平均成绩（百分制），从他们的成绩看，应该录取谁？（3）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照1∶2∶3∶4的权重确定，计算三名应试者的平均成绩（百分制）．从他们的成绩看，应该录取谁？16、（8分）某商场计划购进冰箱、彩电相关信息如下表，若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，求表中a 的值.进价/（元/台）冰箱a 彩电a-40017、（10分）解不等式组：3(2)42113x x x x -->⎧⎪+⎨>-⎪⎩．并把它的解集在数轴上表示出来18、（10分）已知5x +y ＝2，5y ﹣3x ＝3，在不解方程组的条件下，求3（x +3y ）2﹣12（2x﹣y ）2的值．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）关于x 的一元二次方程x 2+4x+2k ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是_____．20、（4分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，CE 是ACB ∠的平分线与边AB 的交点，则BE 的长为______．21、（4分）若关于x 的方程32211x m x x -=+++无解，则m 的值为________．22、（4分）如图，已知正五边形ABCDE ，AF ∥CD ，交DB 的延长线于点F ，则∠DFA ＝____度．23、（4分）若不等式（m-2）x ＞1的解集是x ＜12m -，则m 的取值范围是______．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）我市进行运河带绿化，计划种植银杏树苗，现甲、乙两家有相同的银杏树苗可供选择，其具体销售方案如下：甲：购买树苗数量不超过500棵时，销售单价为800元/棵；超过500棵的部分，销售单价为700元/棵．乙：购买树苗数量不超过1000棵时，销售单价为800元/棵；超过1000棵的部分，销售单价为600元/棵．设购买银杏树苗x 棵，到两家购买所需费用分别为y 甲元、y 乙元.(1)该景区需要购买800棵银杏树苗，若都在甲家购买所要费用为______元，若都在乙家购买所需费用为______元；(2)当1000x >时，分别求出y 甲、y 乙与x 之间的函数关系式；(3)如果你是该景区的负责人，购买树苗时有什么方案，为什么？25、（10分）如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至R ，使EF =DE ,连接BF .(1)求证:四边形ABFD 是平行四边形；(2)求证:BF =DC .26、（12分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO ＝OC ，BO ＝OD ，且∠AOB ＝2∠OAD ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若∠AOB ∶∠ODC ＝4∶3，求∠ADO 的度数.参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B【解析】过D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质，即可求得DE的长，继而利用三角形面积解答即可．【详解】如图，过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝DC＝3，∵△ABD的面积等于18，∴△ABD的面积＝1131822AB DE AB⋅=⨯⨯=．∴AB＝12，故选B．本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出DE=CD是解此题的关键，注意：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．2、C【解析】平移后相当于x不变y增加了5个单位，由此可得出答案．【详解】解：由题意得x值不变y增加5个单位应沿y轴向上平移5个单位．故选C．本题考查一次函数图象的几何变换，注意平移k值不变的性质．3、B【解析】利用一次函数图象性质，图象经过第一、三、四象限，0,0k b ><，即可解答.【详解】一次函数2(2)y kx m x k x m =--=--，图象经过第一、三、四象限，则20,0k m ->-<，解得：2,0k m >>故选B.本题考查了一次函数的图象特征，熟练掌握函数图象所经过象限与k 、b 之间的关系是解题关键.4、A 【解析】这20个数的平均数是：81112128814411.62020⨯+⨯+==，故选A.5、D 【解析】由已知可得第三边是6，故可求周长.【详解】另外一边可能是3或6，根据三角形三边关系，第三边是6，所以，三角形的周长是:6+6+3=15.故选D 本题考核知识点：等腰三角形.解题关键点:分析等腰三角形三边的关系.6、A 【解析】根据平行四边形的性质可求出AD+CD 的值，易证△AOE ≌△COF ，所以AE=CF ，OE=OF=3，根据CF+CD+ED+EF=AD+CD+EF 即可求出答案．【详解】在平行四边形ABCD 中，2（AB+BC ）=36，∴AB+BC=18，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，AD ∥BC ∴∠AEF=∠CFE ，在△AOE 和△COF 中AEF CFE AOE COF AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOE ≌△COF ，∴AE=CF ，OE=OF=3，∴EF=6∴AB+BF+FE+EA =AB+BF+CF+EF =AB+BC+EF =18+6=24故选：A ．本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质，本题属于中等题型．7、C 【解析】试题分析：将原数据按由小到大排列起来，处于最中间的数就是中位数，如果中间有两个数，则中位数就是两个数的平均数；众数是指在这一组数据中出现次数最多的数．考点：众数；中位数8、D 【解析】试题分析：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时最高水位高度不变，当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．故选D ．考点：函数的图象．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1.5【解析】首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠可得△DEC ≌△D ′EC ，设ED=x ，则D ′E=x ，AD ′=AC-CD ′=2，AE=4-x ，再根据勾股定理可得方程22+x 2=（4-x ）2，再解方程即可．【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3，BC=4∴，根据折叠可得：△DEC ≌△D'EC ，∴D'C=DC=3,DE=D'E ，设ED=x,则D'E=x,AD'=AC−CD'=2，AE=4−x ，在Rt △AED'中：(AD')2+(ED')2=AE 2，即22+x 2=(4−x)2，解得：x=1.5.故ED 的长为1.5.本题考查折叠问题、矩形的性质和勾股定理，解题的关键是能根据折叠前后对应线段相等，表示出相应线段的长度，然后根据勾股定理列方程求出线段的长度.10、1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x-2=0，将x=2代入整式方程计算即可求出m 的值．【详解】分式方程去分母得：x−1=m+2x−4，由题意得：x−2=0，即x=2，代入整式方程得：2−1=m+4−4，解得：m=1.故答案为：1.此题考查分式方程的增根，解题关键在于掌握分式方程中增根的意义.11、14.试题分析：根据加权平均数计算公式可得．考点：加权平均数．12、1【解析】设宽为xcm，根据矩形的面积=长×宽列出方程解答即可．【详解】解：设宽为xcm，依题意得：x（x+1）=132，整理，得（x+1）（x-11）=0，解得x1=-1（舍去），x2=11，则x+1=1．答：矩形的长是1cm．本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系．13、②③④．【解析】解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，∵C地位于A、B两地之间，∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；②甲车的速度为240÷4=60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5﹣1）=80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）=1.5（h），∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；③∵（240+200﹣60）÷（60+80）=527（h），∴乙车出发527h时，两车相遇，结论③正确；④∵80×（4﹣3.5）=40（km），∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．综上所述，正确的结论有：②③④．故答案为：②③④．点睛：本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）见解析；（2）（1）根据菱形的性质，证明即可解答（2）作于，利用勾股定理得出，作于，设，，根据勾股定理得出，，把数值代入即可【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，为对角线∴在和中，∵，∠ABE=∠CBE，∴∴（2）作于，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，作于，设，∴∴∵∴∴∴∴此题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和，解题关键在于作辅助线15、（1)应该录取丙;(2)应该录取甲；（3）应该录取乙【解析】(1)分别算出甲乙丙的平均数，比较即可；（2）由听、说、读、写按照的比3∶4∶2∶1确定,根据加权平均数的计算方法分别计算不同权的平均数,比较即可；(3)由听、说、读、写按照的比1∶2∶3∶4确定,根据加权平均数的计算方法分别计算不同权的平均数,比较即可.【详解】（1）甲的平均成绩：82+86+78+75=80.254乙的平均成绩：73+80+85+82=804丙的平均成绩：81+82+80+79=80.54∵80.5>80.25>80∴应该录取丙（2）甲的平均成绩：823+864+782+751=82.13+4+2+1⨯⨯⨯⨯乙的平均成绩：733+804+852+821=79.13+4+2+1⨯⨯⨯⨯丙的平均成绩：813+824+802+791=813+4+2+1⨯⨯⨯⨯∵82.1>81>79.1∴应该录取甲（3）甲的平均成绩：821+862+783+754=78.81+2+3+4⨯⨯⨯⨯乙的平均成绩：731+802+853+824=81.61+2+3+4⨯⨯⨯⨯丙的平均成绩：811+822+803+794=80.11+2+3+4⨯⨯⨯⨯∵81.6>80.1>78.8∴应该录取乙.本题考查的是加权平均数的实际应用，熟练掌握加权平均数是解题的关键.16、1【解析】根据数量=总价÷单价结合用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：由题意可列方程8000064000400 a a=-解得2000a=，经检验，a=1是原方程的解，且符合题意．答：表中a的值为1．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．17、1＜x ＜4，数轴表示见解析.【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】3(2)42113x x x x ①②-->⎧⎪⎨+>-⎪⎩，解不等式①得：x ＞1；解不等式②得：x ＜4，所以不等式组的解集为：1＜x ＜4，解集在数轴上表示为：此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．18、1．【解析】将原式进行因式分解，便可转化为已知的代数式组成的式子，进而整体代入，便可求得其值．【详解】原式＝3[（x+3y ）2﹣4（2x ﹣y ）2]＝3[（x+3y ）+2（2x ﹣y ）]（x+3y ）﹣2（2x ﹣y ）]＝3（5x+y ）（5y ﹣3x ），∵5x+y ＝2，5y ﹣3x ＝3，∴原式＝3×2×3＝1．本题主要考查了因式分解，求代数式的值，整体思想，正确地进行因式分解，将未知代数式转化为已知代数式的式子，是本题解题的关键所在．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、k≤52【解析】根据方程有两个实数根可以得到根的判别式0∆≥，进而求出k 的取值范围．【详解】解：由题意可知：224441(21)0b ac k ∆=-=-⨯⋅-≥解得：52k ≤故答案为：52k ≤本题考查了根的判别式的逆用---从方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围，属中档题型，解题时需注意认真理解题意．20、43【解析】分析：作EH AC ⊥于.H 由ECH ≌ECB，推出BE EH =，4BC CH ==，1AH =，设BE EH x ==，则3AE x =-，在Rt AEH 中，根据222AE AH EH =+，构建方程求出x 即可；详解：作EH AC ⊥于H ．四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=，5AC ∴==，在ECH 和ECB 中，90EHC B ECH ECB EC EC⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ECH ∴≌ECB ，BE EH ∴=，4BC CH ==，1AH =，设BE EH x ==，则3AE x =-，在Rt AEH 中，222AE AH EH =+，222(3)1x x ∴-=+，43x ∴=，43BE ∴=，故答案为:43.点睛：本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．21、5-【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】去分母得：3x−2=2x+2+m ，由分式方程无解，得到x+1=0，即x=−1，代入整式方程得：−5=−2+2+m ，解得：m=−5，故答案为-5.此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则.22、1【解析】首先求得正五边形内角∠C 的度数，然后根据CD ＝CB 求得∠CDB 的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA 的度数即可．【详解】解：∵正五边形的外角为10°÷5＝72°，∴∠C ＝180°﹣72°＝108°，∵CD ＝CB ，∴∠CDB ＝1°，∵AF ∥CD ，∴∠DFA ＝∠CDB ＝1°，故答案为1．本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．23、m ＜1【解析】根据不等式的性质和解集得出m-1＜0，求出即可．【详解】∵不等式（m-1）x ＞1的解集是x ＜12m -，∴m-1＜0，即m ＜1．故答案是：m ＜1．考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质和解集得出m-1＜0是解此题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)610000元，640000元;(2) 70050000y x =+甲，600200000y x =+乙;(3)见解析.【解析】（1）由单价x 数量及可以得出购买树苗需要的费用；（2）根据当>1000x ，由单价x 数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出y 甲、y 乙与x 之间的函数关系式；（3）分类讨论，当0500x ≤≤，5001000x <≤时，1000x >时，表示出y 甲、y 乙的关系式，就可以求出结论.【详解】解：()1由题意，得．500800300700610000y =⨯+⨯=甲元，800800640000y =⨯=乙元；故答案为()1610000；640000()2当1000x >时，70050000y x =+甲，600200000y x =+乙，x 为正整数，()3当0500x ≤≤时，到两家购买所需费用一样；5001000x ≤≤时，甲家有优惠而乙家无优惠，所以到甲家购买合算；100150000y y x -=-甲乙当y y =甲乙时，1001500000x -=，解得1500x =，当1500x =时，到两家购买所需费用一样；当y 甲y <乙时，1500x <，∴当5001500x <<时，到甲家购买合算；当y 甲y >乙时，1500x >，∴当1500x >时，到乙家购买合算．综上所述，当0500x ≤≤时或1500x =时，到两家购买所需费用一样；当5001500x <<时，到甲家购买合算；当1500x >时，到乙家购买合算．本题考查了运用一次函数的解析式解实际问题的运用，方案设计的运用，单价×数量=总价，解答时求出一次函数的解析式是关键.25、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由三角形中位线定理可得//DE AB ，2AB DE =，由EF DE =，可得DF AB =，即可证四边形ABFD 是平行四边形；（2）由平行四边形的性质可得AD BF =，可得BF CD =．【详解】证明：（1）DE 是ABC ∆的中位线，//DE AB ∴，2AB DE =，AD CD=EF DE=2DF DE∴=AB DF ∴=，且//AB DF∴四边形ABFD 是平行四边形；（2）四边形ABFD是平行四边形=∴=，且AD CDAD BFBF DC∴=本题主要考查了平行四边形的判定和性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．26、(1)证明见解析；(2)∠ADO==36°.【解析】(1)先判断四边形ABCD是平行四边形，继而根据已知条件推导出AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可；(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠OCD=∠ODC=3x.，在△ODC中，利用三角形内角和定理求出x的值，继而求得∠ODC的度数，由此即可求得答案.【详解】(1)∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.∴∠OAD＝∠ADO.∴AO＝OD.又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形.(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，∴∠ODC=3×18°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°.本题考查了矩形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.第21页，共21页。

数学建模考试试题及答案.doc

数学建模及应用试题汇总1.假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。

2.建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。

3. 一根长度为 l 的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为T1，另一端温度恒为 T2，（ T1、 T2 为常数， T1> T2）。

金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中，空气温度为T3，（T3< T2，T3 为常数），导热系数为α，试求金属杆上的温度分布T(x)，（设金属杆的导热率为λ）4. 甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各记 2 分，抢答题开始后，如甲取胜则甲加 1 分而乙减 1 分，反之则乙加 1 分甲减 1 分 ,(每题必需决出胜负)。

规则还规定，当其中一方的得分达到 4 分时，竞赛结束。

现希望知道：（1）甲队获胜的概率有多大？（2）竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？（3）甲获得 1、 2、 3 分的平均次数是多少？5.由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家提出的更为简便的解法——匈牙利算法。

当系数矩阵为下式，求解指派问题。

16 15 19 22C 17 21 19 18 24 22 18 17 17 19 22 166. 在遥远的地方有一位酋长，他想把三个女儿嫁出去。

假定三个女儿为A、B、C，三位求婚者为 X、 Y、 Z。

每位求婚者对A、 B、 C 愿出的财礼数视其对她们的喜欢程度而定：A B Cx 3 5 26y 27 10 28z 1 4 77.问酋长应如何嫁女，才能获得最多的财礼（从总体上讲，他的女婿最喜欢他的女儿。

某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在30 天内按期完工。

但根据天气预报，15 天后天气肯定变坏。

有40%的可能会出现阴雨天气而不影响工期，在50%的可能会遇到小风暴而使工期推迟15 天，另有10%的可能会遇到大风暴而使工期推迟20 天。

第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛题目D题图像去噪中几类稀疏变换的矩阵表示

m ⨯ m D V m ⨯1 MathorCup 全球大学生数学建模挑战赛
暨 CAA 世界大学生数学建模竞赛
D 题图像去噪中几类稀疏变换的矩阵表示
假设一幅二维灰度图像 X 受到加性噪声的干扰：Y = X + N ， Y 为观察到的噪声图像， N 为噪声。

通过对于图像Y 进行稀疏表示可以达到去除噪声的目的。

任务：
1. 将图像Y 分割为相互重叠的小块{Y ij }
，对于讨论Y ij ( m ⨯ m) 四类稀疏变换的矩阵表示：离散余弦变换（DCT ），离散小波变换（DWT ，用 DB4 小波），主成分分析（PCA ）和奇异值分解（SVD ）。

分为以下两种形式：（a ） (Y ij )
= U ；
m ⨯ m m ⨯ m m ⨯ m （b ） (Y ij ) = D m ⨯k αk ⨯1
（将Y ij 堆垒为列向量的形式）；其中，下标为矩阵或者列向量的行列数。

2. 利用Cameraman 图像中的一个小图像块（见图 1）进行验证。

3. 分析稀疏系数矩阵，比较四种方法的硬阈值稀疏去噪性能，并提出可能的新的稀疏去噪方法。

图1 实验图像，第一行表示Cameraman 图像及其噪声干扰图像（高斯噪声，标准偏差为10）；第二行表示上述两幅图像相同位置的一个图像小块（行数：144-151，列数：167-174），数字为对应位置像素的灰度值。

2015年峨眉校区数学建模培训第二次实战训练题

2015年峨眉校区数学建模培训第二次实战训练题请先认真阅读下列注意事项：（1）实战训练题为A ，B 两题，每队根据自己的情况选择一题完成；（2）做题时间：公布时间起至8月24日下午开始检查报告；期间的上课照常进行，请随时关注我们在群里的通知。

（3）要求必须按照国家正式比赛的要求编号和程序打包压缩，见第一次训练题目里面的要求，注意峨眉校区编号033，无需打印；A 题深空探测电磁波是无线通信中或雷达探测目标时传递信息的载体，它在传播过程中会碰到各种各样的障碍物或待探测的目标，形成电磁散射，影响通信质量或给雷达探测目标提供信息，因此研究电磁波与障碍物或目标的相互作用过程具有广泛的应用。

电磁散射的强度与电磁波所碰到的物体或目标的几何形状和材料性质相关，一般可用雷达横截面积来度量。

（1）假定某雷达发射一束电磁波，经过长距离传播后在空中碰到一球形目标，请建立数学模型计算以下情况的电磁散射雷达横截面积。

计算时假定来波是一频率为300兆赫兹的平面波(经过长距离传播后可用平面波近似), 以球心为原点建立坐标系, 入射波的极化方向沿x +方向，入射方向沿z +方向，球形目标半径为0.5米，其周围没有其它物体。

假定球形目标是一个无损耗的介质体，相对介电常数为3.0，相对磁导率为1.0。

请提供相关数学模型公式、计算程序及结果显示图形。

结果只要显示沿纬度方向观察且角度在0到180度之间的极化分量雷达横截面积曲线。

（2）如果我们使用这一模型来探测太空中有无天体快速靠近地球，那么需要几个探测雷达，以及如何测定该可疑天体的速度，地球到该天体运行轨迹的距离。

B题：DNA序列的k-mer index 问题这个问题来自 DNA序列的k-mer index问题。

给定一个DNA序列，这个系列只含有4个字母ATCG，如 S =“CTGTACTGTAT”。

给定一个整数值k，从S的第一个位置开始，取一连续k个字母的短串，称之为k-mer（如k= 5，则此短串为CTGTA），然后从S的第二个位置，取另一k-mer （如k= 5，则此短串为TGTAC），这样直至S的末端，就得一个集合，包含全部k-mer 。

2023年全国数模竞赛c题

全国数模竞赛c 题一、单选题1.设集合{}{}234345M N ==，，，，，，那么M N ⋃=（）A.{} 2345，，，B.{}234，， C .{}345，， D .{}34，2.已知函数()11f x x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A ．14 ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12 ,1⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．(1,2) D ．(2,3) 3.“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（）A ．16B ．13C ．34D ．56 5.tan 3π=（）A ．33B ．32 C ．1 D 36．定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（）A.1B.2C.3D.127.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°8.函数2x y +=的定义域为( ) A ．{|21}x x x >-≠且 B ．{|21}x x x ≥-≠且C ．)[(21,1,)-⋃+∞D ．)((21,1,)-⋃+∞9．2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（）A ．40B ．50C ．80D ．10010.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=-- C.()()2111x x x +-=- D.()2211x x -=-12.若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件二、填空题 13.25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的（）倍。

四川省峨眉山市二中2025届高三适应性调研考试数学试题含解析

四川省峨眉山市二中2025届高三适应性调研考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）A ．356B ．328C ．314D ．142．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >3．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（）A ．2-B ．2C ．12-D ．124．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．5．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．6．函数2|sin |2()61x x f x x=-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．已知(1,2)a =，(,3)b m m =+，(2,1)c m =--，若//a b ，则b c ⋅=（） A ．7-B ．3-C ．3D ．78．已知函数()cos 2321f x x x =++，则下列判断错误的是（） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称9．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（）A ．(0,1)[5,)+∞B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]510．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好12．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第五届建模考试五年级试卷

第五届“精英杯”全国中小学生建模水平与数学能力展示活动（五年级组第一试 A 卷）一、填空题（每题8分，共64分）1.方程这个词最早见于我国古代算书（），该书中所有的数学问题被分为方天、粟米、…、盈不足、方程、勾股等几大章。

2.算式215×713+845×320÷1370的结果是（）。

3.八位数201□1204̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅能被44整除，那么这个八位数是（）。

4.算式82×84×86×…×994×996的计算结果末尾有（）个连续的0.5.一个环形跑道周长为325米，张建模与李建模两名同学同时逆时针自起点出发，张建模每分钟跑310米，李建模每分钟跑285米，那么张建模第3次追上李建模时距离起点___米。

6.计算323、391、493和527四个数的最大公因数（323，391，493，527）=（）7.黄建模看一本数学竞赛辅导书，第一天看了全书的15，第二天看了剩下的38，第三天看的页数是第二天的815，还剩下68页没看，那么这本书共有（）页。

8. 2016除以一个三位数，余数是124，那么所有可能的三位数中，最大的三位数是（）。

二、解答题（请写出详细解答过程，只有结果不得分）9.（本题满分16分）济南市某所小学上年男生和女生的人数比为6：5，今年转来了27名女生，使得女生和男生的人数比变为11：12，那么今年该小学一共有多少名学生？10.如图所示，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，己知D 是BC 的中点，E 是AB 上靠近B 的三等分点，又知乙部分的面积比甲部分的面积多8平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少平方厘米？11.（本题满分20分）（1）请选出你认为本试卷从第1题至第10题中最好的一道题目是第____题。

（5分）（2）你认为该题目是好题的理由是什么？（15分）_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________开放性题目，言之有理即可。

第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（非数学类， 2014 ）一、解答下列各题（本题共 28 分，每小题 7 分）1.解：交换积分次序得２、设f(x)是区间[0,1]f(x)３、设F(x,y,z)和G(x,y,z)xoy平面上的投影曲线为Ｓ，求Ｓ上过点的切线，该切线在xoy面上的投影就是Ｓ过上述两切面的交线就是Γ在Pz-z0,可得故上式是一条直线的方程，就是所要求的切线。

a 为常数，矩阵Ｂ满足关系式AB=A-B+E,其中Ｅrank(A+B)=3,试求常数a 的值。

解：由关系式AB=A-B+E,得(A+E)(B-E)=0,故可得二、（１２分）4(,),-∞+∞是与x,h 无关的常数，证明f 是不超过三次的多项式。

证明：由泰勒公式其中ξ在x 在x+h 之间，η在x 在x+θh 之间，由上面两式及已知条件可得f 是不超过二次的多项式。

从而f是不超过三次的多项式。

三、（１２分）设当x>-1时，可微函数f(x)满足条件两端对x求导并整理得可见f(x)单调减少。

而f(0)=1对[0,x]上进行积分得四、（１０分）f(x,y)在Ｄ上有连续二阶偏导数，若对任何x,y有f(0,y)=f(x,0)=0证明y,由分部积分法得交换积分次序可得因为f(x,0)=0D五、（12分）设函数f(x)解：由高斯公式六、（12分）设A ，B 为二个n 阶正定矩阵，求证AB 正定的充要条件是AB＝BA 。

证明：必要性：设AB 为二个nAB ＝BA 。

充分性：因为AB ＝BAAB 为实对称矩阵。

因为A ，B 为正定矩阵，故存在可逆矩阵P ，Q ，使得ABAB的特征值全为正实数，所以AB为正定矩阵。

七、（121证明：故对于任意ε>0，时，有)（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

可复制、编制，期待你的好评与关注！）。

四川省峨眉第二中学2025届高考冲刺数学模拟试题含解析

四川省峨眉第二中学2025届高考冲刺数学模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3602．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（） A ．43B ．916C ．34D ．1693．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（） A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（）A ．36B ．26C ．5D ．5345．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 6．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．7．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（） A ．9B ．27C ．81D ．838．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（） A ．4B ．6C ．8D ．129．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（） A ．11B ．37C ．210D ．4310．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．8412．在复平面内，31ii+-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。