学案与测评数学人教A版理科选考4-7优选法与试验设计初步
2017-2018学年课堂讲义高二人教A版数学选修4-7学案：
一什么叫优选法[学习目标]1.通过丰富的生活、生产和科学实验案例，感受现实生活中存在大量的优选问题.2.了解最佳点、优选问题、优选法等概念.[预习导引]1.优选问题(1)在生产、生活和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目的.对有关因素的最佳组合，简称最佳点.(2)关于最佳点的选择问题，称为优选问题.2.优选法①优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法.②目的：优选法的目的在于减少实验次数.要点一优选问题例1下列生活常识，与优选法有关的为()①商品价格竞猜；②蒸馒头放碱；③营养师调配饮料时，选取合适的口感；④生煤炉对炉门的关闭程度.A.①②B.①③C.②③④D.①②③④解析以上四个现象均与优选法有关，所以答案选D.答案 D规律方法在生产和科学实验中，选取“合适”的配方，寻找“合适”的操作和工艺条件，给出产品的“合理”设计参数，把仪器调节到“合适”的程度都是优选问题.跟踪演练1下列生活常识与优选法无关的为()A.化学中催化剂用量B.检查线路故障C.足球赛上抛硬币选边D.五角星形是一种优美的图形解析抛硬币跟概率有关，正面或反面朝上的概率均为12，它不属于优选问题.答案 C要点二实验次数问题例22009年多个国家出现甲型H1N1流感，对与某确诊患者接触的200人进行隔离观察并对这些人进行血的化验，可以用以下两种方法进行：(1)每个人的血分别化验，这时需要化验多少次？(2)把每个人的血样分成两份.取k个人的血样各一份混在一起进行化验.若结果是阳性，那么再对这k个人的另一份血样逐个化验，这时这k个人共需做k＋1次化验.假设与甲型H1N1流感接触的发病率为0.01，而且这些人的反应是独立的. 求当k取10时，按第(2)种方法操作时所需化验次数的最大值.解(1)需要化验200次.(2)由发病率为0.01，估计200人大约有2人的血样呈阳性.当k＝10时，则共有20组.第一次，对这20组进行化验，化验的次数为20次；第二次，对第一次化验呈阳性的组逐个化验，最多共化验2×10＝20次.∴最多共需20＋20＝40次.规律方法通过实验方法求最优点时，科学安排实验方式是减少实验次数的关键.跟踪演练2外形类似的一串钥匙中有n(n＞1)片钥匙，分别对应编号为①，②，…，把锁.为了给n片钥匙编号，需要用钥匙去试锁，每试一次均可判断这片钥匙是或不是配这把锁的.(1)给①号锁找钥匙，最少要试几次，最多要试几次？(2)如果是n把锁对应n片钥匙，那最多要试多少次呢？解(1)给①号锁找钥匙，试一次就打开了锁，则最少次数是1次，若一共试了n－1次还没有打开①号锁，则最后一片钥匙就是①号锁，故最多次数是n－1次.(2)由(1)知，若按①，②，…，顺序给钥匙编号，则①号钥匙最多要n－1次；从n－1片钥匙中找②号锁，最多要n－2次；…；从2片钥匙中找最后两把锁，要1次.故最多需要试的次数是：(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋0＝n（n－1）2(次).要点三优选法思想应用例3为了供暖时减少能源耗损，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米的隔热层建造成本是6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热厚度x(cm)满足关系：C(x)＝k 3x＋5(0≤x≤10).若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此，C(x)＝403x＋5.而建造费用C1(x)＝6x，则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10).(2)f′(x)＝6－2 400（3x＋5）2，令f′(x)＝0，即2 400（3x＋5）2＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去).当0＜x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x＜10时，f′(x)＞0. 故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.规律方法利用函数的思想和方法，求出最佳点，是优选法的常用途径.跟踪演练3一人用锅烙饼，正面烙3 min，反面烙2 min，锅里一次最多放两个饼.现在需要烙三个饼，下表表示两种方案实验的操作流程.如方案1中最开始表示烙A的正面和B的背面.(1)据此填写上表中的各序号表示的意义.(2)从上述表格中，你觉得烙三个饼最少需要的时间为()A.9 minB.8 minC.7 minD.15 min解析(1)由条件易知：①处填C的背面；②处填A的背面；③处填9分钟；④处填C的正面；⑤处填A的背面；⑥处填8 min.(2)结合表中流程可知：不可能7分钟烙完，最少要8 min，故选B项.答案 B1.优选法的核心问题是：如何安排试验，能以最少次数迅速找到最佳点.2.利用优选法进行试验的步骤：(1)在因素区间上做两次试验，得到好点、差点；(2)以差点向好点一侧为存优区间，继续做试验，与原好点比较好坏；(3)重复第2步，直到找到最佳点或得到满意的试点.一、基础达标1.下列问题是优选问题的有()①手工制作玻璃钢模型舰艇，采用何种型号环氧树脂、固化剂，才能使作品的硬度和韧性适宜；②炸酱面如何配料使口感更好；③膏豆腐的制作过程中，如何配制热石膏同豆浆的关系，才能使豆腐做出后不老不嫩.A.①③B.②③C.①②③D.①解析以上3个例子从不同的方面说明了优选问题的普遍性，均属于优选问题. 答案 C2.下列各试验中，与优选方法无关的是()A.女孩子在日常生活中总爱穿高跟鞋B.在学校举行的诗歌朗诵大赛中，文艺班长先从班级中选出一名优秀队员C.景泰蓝生产过程中，寻找“合适”的操作和工艺条件D.篮球比赛中，上下半场交换比赛场地解析A中“爱穿高跟鞋”、B中“优秀队员”、C中“合适的操作和工艺条件”都需要通过试验得到最佳效果，有优选法的思想，D只是交换场地，是比赛规则，不需要试验.答案 D3.下列有关优选法的说法中正确的个数为( )①优选法就是利用数学原理合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法 ②优选法的目的就是减少试验的次数 ③试验中如果安排不合理，会使得试验的次数很多 ④优选法是纯数学问题，实验性不大. A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析 由优选法定义可知①②③正确.④错误. 答案 C4.一艘货船可装货物30 t ，装载容积为14 m 3，现有五件货物待运，它们的重量、容积和获利情况如下表：则能获得的最大利润为( ) A.7万元 B.9万元 C.10万元D.12万元解析 选择编号为①④⑤的货物，保证限重、限积要求，并使利润最大，故答案为B. 答案 B5.甲、乙、丙三人同时在水龙头边接水，他们各自盛满水所用时间分别为30 s 、40 s 、35 s ，则三个人等待的总时间最少为__________s.解析 按甲、丙、乙的顺序接水，这样三人等待的总时间最少，最少为30×3＋35×2＋40＝200(s). 答案 2006.用20 cm 长的铁丝折成一个矩形，则矩形最大面积为__________. 解析 设长为x ，宽为y ，则x ＋y ＝10，面积S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时，等号成立.S max＝25，所以答案为25 cm2.答案25 cm2二、能力提升7.方程x2＋x－1＝0的一个正根为__________.(精确度为0.01)解析利用二分法可求得该正根为0.62.答案0.628.用长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容积的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积.解设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m，由3.2－2x＞0，x＞0，得0＜x＜1.6.设容器的容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0＜x＜1.6)⇒y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x.∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令y′＝0，得x1＝1，x2＝－415(舍去).又x∈(0，1)，y′＞0，x∈(1.1，6)，y′＜0，因此，当x＝1时，y max＝1.8，此时高1.2 m.∴容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m3.9.《幸运52》有一个游戏叫看商品猜价格，这个游戏的具体规则：由参与者猜一个价格，然后主持人会根据此人所报出的价格来判断是高于实际价格还是低于实际价格，并提示是“高了”还是“低了”，直到你猜对价格为止.如果你是参与者，而且已确定了这个商品的价格在1 000元至2 000元之间(为整数值)，你可以用等距法(即从一端开始每端相同的差价k元进行报价)来猜.那你觉得如何取k 的值，能较快的猜得价格？解(1)若k取1，即报价从1 001，1 002，1 003，…，直至猜中为止，对这种方法如果价格较低(如不超过1 010)还是比较好，但如果价格较高(如价格是1 800)，则猜的次数很多.按此方法报的次数最多的价格是1 999元，报了999次.(2)若先取k＝100，即报价按1 100，1 200，…，确定价格的百位，如报到1 500时，说“高了”，则易知价格在1 400至1 500之间；然后取k＝10，即报价按1410，1 420，…，确定价格的十位；再取k ＝2，确定个位.以此类推猜得价格.按此方法报的次数最多的价格是1 999元，报了23次. (以上仅列举了两种方法，答案不唯一) 三、探究与创新10.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，∴y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx (2＋x )x ＝256x m ＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12 ＝m 2x 2(x 32－512).令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0，64)内为减函数； 当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64，640)内为增函数. 所以f (x )在x ＝64处取得最小值.此时n ＝m x －1＝64064－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小.二 单峰函数[学习目标]1.理解单峰函数的概念，并能够判断函数在给定的区间上是否是单峰函数.2.理解因素、可控因素、不可控因素、单因素问题、目标函数、试点、好点、差点、存优范围等概念. [预习导引]1.(1)单峰函数：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上只有唯一的最大值点(或最小值点)C ，而在最大值点(或最小值点)C 的左侧，函数单调增加(减少)；在点C 的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间[a ，b ]上的单峰函数. (2)规定：区间[a ，b ]上的单调函数也是单峰函数.2.因素的概念及分类(1)一般地，把影响试验目标的诸多变量称为因素.(2)在一个试验过程中，只有(或主要有)一个因素在变化的问题，称为单因素问题. (3)分类：按影响因素是否可控分为⎩⎨⎧可控因素不可控因素(4)在试验中能够表示目标与因素之间对应关系的函数，称为目标函数. (5)设x 1和x 2是因素范围[a ，b ]内的任意两个试点，C 点为最佳点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，效果较差的点称为差点.(6)以差点为分界点，把因素范围分为两部分，称好点所在部分为存优范围.要点一 单峰函数的判断例1 下列函数，单峰函数有________. (1)y ＝lg x ，x ∈[1，10]； (2)y ＝3x 2－5x ＋2，x ∈[1，5]； (3)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.(4)y ＝2x ，x ∈R .解析 其中注意(4)函数y ＝2x 虽然是单调函数，但是它的定义域不为闭区间，所以不为单峰函数. 答案 (1)(2)(3)规律方法 由单峰函数定义可知：闭区间上的单调函数或只有一个极值点的函数都是单峰函数；常用判断方法(1)图象法.(2)导数法. 跟踪演练1 下列函数不为单峰函数的为( ) A.f (x )＝x 2，x ∈[0，1] B.f (x )＝x 3－3x 2－9x C.y ＝x ＋4x ，x ∈[1，3]D.y ＝2x ，x ∈[－1，1]解析利用导数知识作出f(x)＝x3－3x2－9x的图象可知不是单峰函数，所以答案选B.答案 B要点二好点、差点的判断例2某主要因素对应的目标函数如图所示，若c是最佳点，则下列说法中正确的是()A.d，e都是好点B.区间[a，d]是一个存优范围C.d不是好点D.a，b是分界点解析c与d比较，d为差点，c为好点，则以d为分界点，含有好点的部分为存优范围，所以区间[a，d]是一个存优范围，故选B.答案 B规律方法 1.若目标函数为单峰函数，则好点比差点更接近最佳点，且最佳点与好点必在差点的同侧.2.以差点为分界点，把因素分成两部分，并称好点所在部分为存优范围.3.好点、差点是相对于区间而言的，在一个范围内是好点，但在另一个范围内可能就是差点.跟踪演练2已知函数f(x)为区间[0，1]上的单峰函数，且f(x)在x＝a处取到最大值.若f(0.3)<f(0.6)，则存优区间为________；若第3个试点为0.44，且相比0.6而言是好点，则存优区间缩小为________.解析由f(x)为[0，1]上的单峰函数，且f(x)在x＝a处取到最大值，又f(0.3)<f(0.6)，故存优区间为[0.3，1]；由0.44是好点，从而存优区间缩小为[0.3，0.6].答案[0.3，1][0.3，0.6]要点三求单峰函数中参数范围例3已知f(x)＝13x3－2ax2＋3a2x＋2的定义域是[0，4].(1)若f(x)的最佳点是x＝3，求a的值.(2)若f(x)是单峰函数，求a的取值范围. 解f′(x)＝x2－4ax＋3a2(ⅰ)当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0，当且仅当x ＝0时， f ′(x )＝0，f (x )在[0，4]上单调递增最佳点不为x ＝3.(ⅱ)当a ≠0时，由f ′(x )＝x 2－4ax ＋3a 2＝(x －a )(x －3a )知x ＝a ，x ＝3a 是极值点.由条件知x ＝3是函数的在[0，4]上唯一一个极值点，当a ＝3，可得3a ＝9∉(0，4)；当3a ＝3时，a ＝1∈(0，4)，故a ＝1不合题意.所以a ＝3. (2)由f (x )在区间[0，4]上是单峰函数.故f (x )在区间上只有一个极值点或没有极值点，由两个极值点x ＝a ，x ＝3a (a ≠0)在区间(0，4)上可得⎩⎨⎧0＜a ＜4，0＜3a ＜4，解之得0＜a ＜43.故由f (x )在区间上只有一个极值点或没有极值点， 可得a ≤0或a ≥43.即a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.规律方法 函数的最佳点一般是函数在区间上的唯一极值点.函数在区间上是单峰函数，三次函数在此区间上只有一个极值点或没有极值点，本题第(2)问可转化为三次函数有两个极值点在区间上的否命题.跟踪演练3 若y ＝sin ax (a >0)在[0，π]上是单峰函数，则a 的取值范围为________. 解析 函数y ＝sin ax 的周期为T ＝2πa ，则34·2πa ≥π， ∴0<a ≤32. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，321.结合图象，理解目标函数为单峰函数的条件下好点、差点、最佳点间的关系.2.了解单峰函数求最佳点的方法.一、基础达标1.关于单峰函数，有下列说法：①在区间[a ，b ]上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数； ②在区间[a ，b ]上的单调函数不是单峰函数；③对有关因素的最佳组合进行选择，这样的问题称为优选问题； ④在试验范围内具有极值性的问题称为具有单峰性的问题. 其中正确的个数有( ) A.0个 B.1个 C.2个D.3个解析 ①②④错误，只有③正确. 答案 B2.下列函数在区间[－10，10]上是单峰函数的为( ) A.y ＝1x ＋1B.y ＝cos xC.y ＝2xD.y ＝13x 3－x 2－3x 解析 根据单峰函数的定义及规定知只有y ＝2x 在区间[－10，10]上为单峰函数. 答案 C3.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m 在区间[－3，2]上是单峰函数，则下列哪个存优范围最小( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 解析 由f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，知x 1＝0，x 2＝2，所以最佳点是x ＝0，所以C 选项排除，由A ，B ，D 的区间范围可知D 的范围最小，故选D 项. 答案 D4.若某单峰函数的存优范围是[1，4]，现在区间[1，4]上任取两点2，3，通过比较，2与3相比，2是好点，则此时的存优范围是__________. 解析 因为2为好点，舍去区间[3，4]，存优范围为[1，3). 答案 [1，3)5.在粉笔加工设计中，每支粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10 cm至15 cm范围内经过多次尝试，最后发现12 cm长的粉笔最合适.根据上述描述，请回答下列问题：(1)这个问题的可控因素是________；(2)这个问题的最佳点是________.解析(1)这个问题是优选问题.这个问题是寻找粉笔的合适长度，因此可控因素是粉笔的长度.(2)本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度，即12 cm. 答案(1)粉笔的长度(2)12 cm6.已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最佳点为__________.解析y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2(t＞0)，当且仅当t＝1时，y min＝－2.答案 1二、能力提升7.说出下列优选问题中的可控因素.①购房者在选择适合自己的房屋时，会从房屋的位置、价格等不同特性进行对比，从中选择合适的房子.②调配葡萄酒时，需用两种原酒调配而成，如由赤霞珠、梅鹿辄组合成的干红葡萄酒，经过多次试验，确定两种原酒的最佳比例.③做馒头，碱放少了馒头会酸，碱放多了馒头会变黄、变绿且带碱味，碱放多少才合适呢？④为了加强钢的强度，要在钢中加入碳，加入太多太少都不好，究竟加入多少碳，钢才能达到最高强度呢？解(1)中的可控因素是位置、价格等；(2)两种原酒的比例；(3)加入碱的量；(4)加入碳的量.8.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)若f(x)在[0，＋∞)上单调，求a的取值范围.(2)若g(x)＝f(x)－3x在[－1，4]上是单峰函数，求a的取值范围.解 (1)由f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3≥0对任意x ≥0恒成立，得－2a ≤x ＋1x ⇒－2a ≤2⇒a ≥－1.(2)由g ′(x )＝f ′(x )－3＝3x 2＋6ax ＝3x (x ＋2a )，由g ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝－2a . ∵0∈(－1，4)，所以－2a ∉(－1，4)， ∴－2a ≤－1或－2a ≥4，即a ≥12或a ≤－2. 故a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.9.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P 万元和Q 万元.它们与投入资金x 万元的关系有经验公式P ＝15x ，Q ＝35x .现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，则对甲、乙两种商品的资金投入分别为多少？并说明此优选问题是否具有单峰性质.解 设对甲种商品投资x 万元，则乙种商品投资为(3－x )万元，又设所获得的利润总额为y 万元，由题意有y ＝15x ＋353－x ，x ∈[0，3].令3－x ＝t ，则x ＝3－t 2，t ∈[0，3]，从而y ＝15(3－t 2)＋35t ＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2120，t ∈[0，3].当t ＝32∈[0，3]时，y max ＝2120.即知x ＝3－94＝34，3－x ＝3－34＝94.因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元.这个优选问题中的目标函数，经过换元之后为有最大值的二次函数，而二次函数为单峰函数，因此这个优选问题具有单峰性质.三、探究与创新10.证明：若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在差点的同侧. 证明 下面仅对单峰函数f (x )上凸的情形进行证明.设点c 为[a ，b ]上的单峰函数f (x )的最大值点，m ，n ∈[a ，b ]，且f (m )＞f (n ).因为f (x )为单峰函数，所以f (x )在[a ，c ]递增，在[c ，b ]递减.(1)设n ∈[a ，c ]，如图，因为m ，n ∈[a ，b ]，且f (m )＞f (n )，所以m ∉[a即m ∈[n ，b ].因为n ∈[a ，c ]，所以c ∈[n ，b ].因此，点m ，c 在点n 右侧.(2)设n ∈[c ，b ].因为m ，n ∈[a ，b ]，且f (m )＞f (n )，所以m ∉[n ，b ]，即m ∈[a ，n ].因为n ∈[c ，b ]，所以c ∈[a ，n ].因此，点m ，c 在点n 的左侧.由(1)(2)可知点m ，c 始终在点n 的同侧.三 黄金分割法——0.618法(一)[学习目标]1.理解用黄金分割法进行试验设计的原理.2.了解黄金分割常数的推导过程. [预习导引](1)优选问题通过试验方法找到最佳点时，“最快”找到或确定合适的试点的两个原则为：①安排试验点时，最好使两个试验点关于区间[a ，b ]的中心a ＋b2对称. ②每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同.(2)黄金分割常数用ω表示.其值ω2其近似值是0.618.黄金分割常数是一元二次方程x 2＋x －1＝0的一个根.(3)设M 为线段AB 上的一点，若有AB ∶AM ＝AM ∶MB ，则点M 叫做线段AB的黄金分割点，令AB ＝1，AM ＝x ，则x 2(或黄金率).要点一 黄金分割常数的意义例1 下列说法中，正确的个数为( )①黄金分割常数，是指事物各部分之间的一种比例关系，它表示将整体一分为二，较大部分和较小部分之间的比例等于整体和较大部分之间的比例；②黄金分割点，是指在已知线段上的一点，它分线段为两部分，其中一部分是全线段与另一部分的比例中项；③黄金分割常数，就是方程t 2＋t －1＝0的正实根；④正五边形的两条对角线的一个交点是对角线上的黄金分割点. A.1B.2C.3D.4解析 ②③④正确.①中黄金分割常数为较大部分和较小部分之间的比例等于较大部分与整体之间的比，故①错. 答案 C规律方法 黄金分割常数就是方程x 2＋x －1＝0的正根，在自然界与几何图形中普遍存在.跟踪演练1 下列实际问题与黄金分割常数有关的为( )①一名有经验的教师在45 min 的课堂里至少要留10.7 min 给学生自主学习； ②设计师在许多图案选择中，常常采用五角星； ③腿短的女生喜爱穿高跟鞋； ④人们最喜欢春秋气温. A.②③ B.②④ C.②③④D.①②③④解析 以上四种现象均与黄金分割常数有关，所以答案为D. 答案 D要点二 几何中的黄金分割数例2 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左焦点到左准线的距离等于长半轴长，证明椭圆的离心率为黄金分割数.证明 由题意可得：a 2c －c ＝a ⇒c 2＋ac －a 2＝0 ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca －1＝0⇒c a ＝－1±52. ∵c a ∈(0，1)，∴c a ＝－1＋52.即e ＝－1＋52＝ω. 规律方法 依黄金分割常数确定的几何图形更富美感，这一点在美术，雕塑中被普遍采用.跟踪演练2 如图，△ABC 是正五角形的一个角所在的三角形，AD 是∠CAB 的平分线，求证：DB DC ＝ABAC ＝ω(其中ω是黄金分割常数).证明 由条件可知△ABC 是等腰三角形，且∠C ＝36°， 所以∠CAB ＝∠CBA ＝72°，则AC ＝BC . 由AD 是∠CAB 的平分线可得∠DAB ＝36°， 所以∠ADB ＝∠CBA ＝72°，则AD ＝AB . 所以△ABC ∽△BDA ，所以AB AC ＝BD BA ， 即AB 2＝AC ·BD .在△ADC 中，由∠CAD ＝∠C ＝36°，知AD ＝CD .所以CD 2＝BC ·BD .设BC ＝1，CD ＝t (0＜t ＜1)，则BD ＝1－t ，所以t 2＝1－t ，解得t ＝－1＋52或 t ＝－1－52(舍去)，即CD BC ＝t ＝－1＋52＝ω，故DB DC ＝ABAC ＝ω.要点三 用0.618法确定试点例3 为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选.已知此因素范围为[1 000，2 000]，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？解 在因素范围[1 000，2 000]内，用0.618法安排试验，第一个试点x 1满足x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618； 第二个试点x 2满足x 2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.试验结果，如果x 1的效果比x 2好，舍去x 2＝1 382以下部分，则第三个试点x 3满足x 3＝2 000＋1 382－1 618＝1 764. 示意图如下：规律方法 0.618法满足的原则是：(1)每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中点对称； (2)每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数应相同.跟踪演练3 例题条件不变，如果第二点效果比第一点好，那么第三个试点应选在何处？解 由于x 2的效果比x 1的效果好， 消去x 1＝1 618以上部分， 此时的存优范围为[1 000，1 618]， ∴x 3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236， ∴第三个试点应选在1 236处.1.通过缩小存优范围来寻找最优点的方法：(1)在因素范围[a ，b ]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点.(2)在差点处把区间[a ，b ]分为两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a 1，b 1]，(3)再在[a 1，b 1]内重复上述过程，从而达到可使存优范围逐步缩小的目的. 2.利用黄金分割法寻找最优点的原则： (1)使两个试点关于[a ，b ]的中心a ＋b2对称；(2)保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等.一、基础达标1.有一优选问题，存优范围为[10，20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析 在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10，20]的中点15对称，所以第二个试点最好为14. 答案 C2.在存优范围[10，100]安排两个实验点x 1，x 2，则x 1，x 2关于( )对称.A.0.618B.65.62C.55D.61.8解析x＝x1＋x22＝10＋1002＝55.答案 C3.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优范围缩小为原来的()A.0.6182B.0.6183C.0.6184D.0.6185解析由黄金分割法知：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等，故4次试验后，存优范围缩小为原来的0.6183.答案 B4.假设因素区间为[0，1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上.解析如图所示：因为峰值在(0，0.1)内，故应舍去区间[0.2，1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0，0.2]上.答案[0，0.2]5.人体的正常体温为36～37 ℃，在炎炎夏日将空调设为__________℃，人体感觉最佳.(精确到0.1 ℃)解析36×0.618到37×0.618，即22.2～22.8.答案22.2～22.86.一个身高为170 cm的人，肚脐离地面的最佳高度为__________ cm(精确到1 cm).解析由170×0.618＝105.06≈105.答案105二、能力提升7.已知一种材料的最佳加入量在110 g到210 g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.解析根据0.618法可知，第一试点的加入量为110＋0.618×(210－110)＝171.8(g)或110＋210－171.8＝148.2(g)答案171.8或148.28.在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料.若每吨钢需要加入某元素的量在1 000 g 到2 000 g 之间，假设最佳点在1 400 g ，如果用0.618法试验，求第三个试验点.解 由0.618法知x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618(g)，x 2＝1 000＋2 000－x 1＝1 382(g).由于1 382 g 接近1 400 g ，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x 3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236(g).9.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A 为长轴的右端点，B的上端点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆为“黄金椭圆”.(1)类似“黄金椭圆”，推算“黄金双曲线”的离心率.(2)设AB 为黄金双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的弦，M 为AB 的中点，若AB ，OM 的斜率存在，求k OM ·k AB .解 (1)类似“黄金椭圆”，作出“黄金双曲线”，如图，则BF ⊥AB . 则BO ＝b ，FO ＝c ，OA ＝a ，在Rt △ABF 中，b 2＝ac . 又∵b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－ca －1＝0. ∴e ＝c a ＝1±52.又e ＞1， ∴e ＝1＋52.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1， ①x 22a 2－y 22b 2＝1. ② 由①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2. ∵M 是AB 的中点，且x 1≠x 2，∴x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，从而y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 0y 0. 故k OM ·k AB ＝y 0x 0·y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2＝1＋52. 三、探究与创新10.已知线段AB ，怎样作出它的黄金分割点？解 法一 在AB 的端点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝12AB ，连接AD ，在AD 上截取DE ＝DB ，再在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图1. 事实上，由作法可知AD ＝52AB ，则AC ＝AE ＝AD －DB ＝AD －12AB ＝5－12AB ， 即证.图1法二 在AB 上作正方形ABMN ，在AN 上取中点E ，在NA 的延长线上取EF ＝EB .以AF 为一边作正方形ACDF ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图2. 事实上，由AC ＝AF ＝EF －AE ＝EB －AE ＝AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2－12AB ＝5－12AB ，即证.图2三黄金分割法——0.618法(二)[学习目标]1.能用0.618法解决不限定次数的优选问题，从而找到试验区间中的最佳点.2.掌握黄金分割法的操作过程，了解实验精度及对实验的控制.[预习导引]1.黄金分割法适用于目标函数为单峰的情形，该法是把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法.2.用0.618法确定试点的流程：(1)在因素范围[a，b]上确定第一个试点x1＝a＋0.618(b－a).(2)在第一个试点x1的基础上，确定第二个试点x2＝a＋b－x1，即相当于“加两头，减中间”.(3)在确定第n个试验点x n时，如果存优区间的好点是x m，则x n＝小＋大－x m.3.衡量一种试验的效率是用存优范围与原始范围的比值来确定，这个比值叫做精度，它与试验的次数有关.n次试验后的精度δn＝n次试验后的存优范围原始的因素范围，0.618法中n次试验后的精度δ＝0.618n－1.在达到精度δ条件下的试验的次数n应满足：n≥lg δlg 0.618＋1.要点一黄金分割法例1关于黄金分割下列说法正确的有________.(1)把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法，称为黄金分割法(2)黄金分割法只适用于目标函数为单峰的情形。
人教版高中数学 选修4-7 优选法试验设计初步 第一讲 优选法 第六节 多因素方法
然后再在因素I的新范围即(c1，b1]的
中点d1，用单因素方法优选因素II，如果
最佳点为A2，而且A2比B1好，则沿坏点
B1所在的线，丢弃不包括好点A2所在的
半个平面区域，
即丢弃平面区域：
c1Ib1，a2IIc2
(图1-26).
图1-26
如此继续下去，不断地将试验范围缩小，直 到找到满意的结果为止.这个方法称为纵横对折 法. 是否每次都要固定 在该因素试验的中点？ 还有没有改进的余地?
从好点出发法 先固定因素I于原生产点(或0.618点)c1，用 单因素方法优选因素II,得到最佳点为A1(c1,c2), 然后把因素II固定在c2,用单因素法优选因素I, 得到最佳点B1(d1，c2),则去掉A1右边的平面 区域,试验范围缩小到a1I<c1,a2IIb2.再将 因素I固定在d1,优选因素II,得到最佳点 A2(d1,d2),则去掉B1以上部分.
除了上述的药品问 题，比如：种植玉米产 量问题、火炉放煤问题 等许多问题都是常见的 多因素优选问题，面对 多因素优选问题，我们 应该怎样去解决呢？
后来有人对 问题进行了分析， 采用了取出主要 因素，略去次要 因素，把因素由 多化少的方法， 进而利于问题的 解决.
下面，我们就介绍几种解决多因 素优选问题的方法· · · · · ·
3.情感态度与价值观
(1)通过学生之间的讨论、交流与协作 探究，培养学生之间的团队合作精神. (2)让学生在探究过程中体验解决问题 的成功喜悦，增强学生的学习兴趣. (3) 通过学生的自主探究学习，培养学 生的创新能力，开阔学生的思维空间.
教学重难点
重点
(1) 理解并掌握纵横对折法、从好 点出发法以及平行线法的概念. (2)能够通过实际问题，对各种方 法进行分析、学习. (3)能够运用各种方法解决实际的 优选问题.
人教版高中数学 选修4-7 优选法试验设计初步 第一讲 优选法 第四节 分数法
在存优范围50~130ml内，用“加两头，减中间” 的方法求x1的对称点，得： X3=50+130-80=100, 所以第3个试点在100ml处，这个点相当于存 优范围重新进行编号后的F4/F5位置，而x1在存 验后，就能找到满意的结果.
针对上面的问题， 后来有人采用分数近似 数来代替黄金分割常数 来解决上面的问题，此 方法，后来被称为分数 法.
下面，我们就对分数法进行进一步的讲 解……
教学目标
1. 知识与技能
(1) 了解并掌握分数法的基本概念. (2) 了解什么是斐波那数列. (3) 学会使用斐波那数列来解决问题. (4) 能够使用分数法解决实际的优选问题. (5) 了解并掌握什么是分数法的最优性.
2.过程与方法
（１）教师案例引入分数法，通过演 示案例，指导学生观察分析，总结归纳. （２）学生积极思考认真学习，理解 分数法的概念，通过自己动手演算，进行 推导. （3）通过学生的自主学习，掌握分数 法的使用方法，并能通过分数法解决实际 的优选问题.
3.情感态度与价值观
（１）通过学生之间的讨论、交流与协 作探究，培养学生之间的团队合作精神. （２）让学生在探究过程中体验解决问 题的成功喜悦，增强学生的学习兴趣. （ 3 ）通过学生的自主探究学习，培养 学生的创新能力，开阔学生的思维空间.
下面计算这个无穷分数的前几项： 1 2 3 5 8 1， ， ，，， ， 2 3 5 8 13
(2)数列Fn ： 1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55,89, 它的前两项为F0 1，F1 1，从第三项起 每一项是其相邻的前两项的和，即 1 1 5 n 1 5 n Fn ( ) ( ) 51， 2 2 F2 F1 F2，F3 F2 F ， 数列Fn 叫做斐波那契数列. Fn Fn 1 Fn 2 ,
高考数学一轮复习 选考部分选修4—7优选法与试验设计初步教学案 理
选修4—7 优选法与试验设计初步考纲要求1.掌握分数法、0.618法及其使用范围，能运用这些方法解决一些简单的实际问题，知道优选法的思想方法．2．了解裴波那契数列{F n}，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数知道F nF n＋1和黄金分割的关系．3．知道对分法、爬山法、分批试验法，了解目标函数为多峰情况下的处理方法．4．了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法及其优越的思想方法．5．了解正交试验的思想方法，能应用这种思想方法思考和解决一些简单的实际问题．1．优选法：根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到______的科学试验方法．2．单峰函数：如果函数f(x)在区间[a，b]上只有____的最大值点(或最小值点)C，而在最大值点(或最小值点)C的左侧，函数单调增加(减少)；在点C的____，函数单调________，则称这个函数为区间[a，b]上的单峰函数．3．单因素问题：在一个试验过程中，只有(或主要有)________在变化的问题，称为单因素问题．4．好点与差点：设x1和x2是因素范围[a，b]内的任意两个试点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，效果____的点称为差点．5．黄金分割法：试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法．其中ω＝________，近似值为______，相应地，也把黄金分割法叫______法，黄金分割法适用目标函数为____的情形，第1个试验点确定在因素范围的____处，后续试点可以用“______________”的方法来确定．6．分数法：优选法中，用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法．如果因素范围由一些不连续的、________的点组成，试点只能取某些特定数，则可采用分数法．在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从(F n＋1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点．在目标函数为单峰的情形，只有按照______安排试验，才能通过n次试验保证从(F n＋1－1)个试点中找出最佳点．7．对分法：每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，这种方法就称为对分法．8．盲人爬山法：先找一个起点A(这个起点可以根据经验或估计)，在A点做试验后可以向该因素的减少方向找一点B′做试验．如果好，就继续____；如果不好，就往增加方向找一点C做试验．如果C点好就继续____，这样一步一步地提高．如果增加到E点，再增加到F点时反而坏了，这时可以从E点____增加的步长，如果还是没有E点好，则E就是该因素的______．这就是单因素问题的盲人爬山法．9．分批试验法：分批试验法可以分为______________和______________两种．全部试验分n批做，一批同时安排n个试验，同时进行比较，一批一批做下去，直到找出最佳点，这样可以兼顾试验设备、代价和时间上的要求，这种方法称为分批试验法．1．某车床的走刀量(单位：mm/r)共有如下13级：0.3,0.33,0.35,0.40,0.45,0.48,0.50,0.55, 0.60,0.65,0.71，0.81，0.91.那么第一次和第二次的试点分别选在______mm/r、__________mm/r处．2．如图，用平行线法处理双因素问题时，首先将难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点在A1处，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点A2，若A2处的试验结果比A1处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在__________处．3．有一双因素优选试验，2≤x≤4,10≤y≤20.使用纵横对折法进行优选．分别对因素x和y进行了一次优选后其新的存优范围的面积为__________．一、黄金分割法的应用【例1】设有一优选问题，其因素范围为1 000～2 000，假设最优点在1 000处．(1)若用0.618法进行优选，则第二、三、四试点的数值分别为__________，__________，__________；(2)若第一试点取在 1 950处，则第二、三、四试点的数值分别为__________，__________，__________.方法提炼1．把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，保留三位有效数字的近似值是0.618.把试点安排在黄金分割点进行优选的方法称为黄金分割法．如何安排试验，较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法．如果将试验点定在区间的0.618处左右，那么试验的次数将大大减少．2．试验点的选取方法：设x n表示第n个试验点，存优范围内相应的好点是x m，因素范围的端点分别记为小头和大头，则x1＝小＋(大－小)×0.618；x2＝小＋大－x1.一般地，x n ＝小＋大－x m，可概括为“加两头，减中间”．请做演练巩固提升1二、分数法的应用【例2】某化工厂准备对一化工产品的生产工艺进行技术改造，决定优选加工温度，从生产实践知最佳温度在40 ℃到52 ℃之间，现用分数法进行优选，则第二次试验的温度为__________ ℃.方法提炼用分数法进行优选试验的步骤是：(1)明确实际问题的试验范围；(2)指定需要试验的次数n；(3)根据斐波那契数列找出分数F nF n＋1；(4)计算第1个试验点的位置．将试验区间(a，b)F n＋1等分，第1个试验点在第F n个分点处．即第1个试验点x1的计算公式是小＋大－小×F nF n＋1.在x1处进行第1次试验，得到结果y1；(5)计算第2个试验点的位置，它是第1个试验点在试验范围内的对称点，计算公式是大＋小－中.在x2处进行第2次试验，得到结果y2；(6)比较两点的试验结果，保留好点，舍去差点以外的部分；(7)在剩下的范围内再取保留点的对称点作为第3个试验点，比较两点的试验结果，依上面“保留好点，舍去差点以外的部分”的原则继续下去，共进行n次试验，得到离最佳点最近的分点．请做演练巩固提升2三、对分法的应用【例3】在湖南电视台的一档互动节目中，主持人出示一款参与者不了解的新产品，并告诉参与者价格在1 000元到9 000元之间，然后由参与者估价，当参与者给出的估价与产品实际价的差距大于1元时，主持人以“高了”，“低了”作提示，然后参与者继续估价，若参与者在规定的次数n次内的估价与产品价格的差距小于2元时，则参与者可获得该产品，若参与者一定能获得该商品，则n的最小值应为__________．方法提炼0．618法、分数法、对分法适用于一次只能出一个结果的问题．这些方法中，就效果而言以对分法最好，每一次试验就可以去掉试验范围的一半．就应用范围而言，以分数法最广，因为它还可以应用于试点只能取整数或某些特定数的情形，以及限定试验次数或给定精确度的问题．对分法用一个试点的结果与事先的标准进行比较，而分数法、0.618法是用两个试点的结果进行比较．请做演练巩固提升3四、分批试验法【例4】用均分分批试验法来寻找最佳点，若试验范围是(3,18)．若每批做4个试验，则(1)第一批的4个试验点分别是__________；(2)第一批试验后的存优范围是原来的__________．方法提炼1．分批试验法适用于一次可以同时出若干个试验结果的问题，它的比较对象是每批试验中的所有试验结果．2．在均分分批试验法中，假设每批做2n个试验，则首先把试验范围均分为2n＋1份．用这种方法，第一批试验后存优范围为原来的22n＋1.请做演练巩固提升4如何确定最少试验次数【典例】 (2012湖南高考)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29 ℃～63 ℃，精确度要求±1 ℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少试验次数为________．解析：据题意，试点个数为63－29＝34，F8＝34，故最少试验次数为7.答案：7答题指导：若试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数法的最优性．分数法在有限个试点的优选问题中被广泛应用．1．调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100 kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量为1 000 g 到2 000 g之间．现准备用黄金分割法找出它的最优加入量，则第一次试验的加入量为a1＝__________g；第二次试验的加入量为a2，若加入量为a2时比a1时好，则存优范围是__________，第三次试验的加入量为a3＝________g.2．某一化工厂准备对某一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～81 ℃，精确度要求±1 ℃，现在技术员准备用分数法进行优选，则第一试点和第二试点分别选在__________、__________.3．有一条1 000 m长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A处有电，在末端B处没电，现在用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在__________m处．4．如图，在每批做2个试验的比例分割分批法中，将试验范围7等分，第1批试验先安排在左起第3,4两个点上，若第3个点为好点，则第2批试验应安排在__________和__________两个点上．参考答案基础梳理自测知识梳理1．最佳点2．唯一 右侧 减少(增加)3．一个因素 4．较差5.5－120.618 0.618 单峰 0.618 加两头，减中间6．间隔不等 分数法8．减少 增加 减少 最佳点9．均分分批试验法 比例分割分批试验法基础自测1．0.55 0.45 解析：该已知条件符合分数法的优选要求，所以第一次试点应选在0.55 mm/r 处，第二次试点应选在0.45 mm/r 处，示意图如下：2．0.236 解析：因为A 2处的试验结果比A 1处的好，所以好点在因素的0～0.618之间，由0.618法，第三次试验时，将因素Ⅱ固定在0.618＋0－0.382＝0.236处．3．10 解析：由纵横对折法知对因素x 和y 进行了一次优选后得到两个好点，无论哪个好点的试验结果更优，其新的存优范围的面积为原存优范围面积的一半，即12×(4－2)×(20－10)＝10.考点探究突破【例1】 (1)1382 1236 1146 (2)1050 1900 1850 解析：(1)由0.618法得第一试点为x 1＝1 000＋0.618×(2 000－1 000)＝1 618处．由“加两头，减中间”法则得第二试点x 2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.∵最优点在1 000处，∴x 2优于x 1，∴新的存优范围为[1 000,1 618]，∴第三试点x 3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236，同理新的存优范围为[1 000,1 382]，∴第四试点x 4＝1 000＋1 382－1 236＝1 146.(2)∵x 1＝1 950，∴x 2＝1 000＋2 000－1 950＝1 050，∵最优点在1 000处，∴x 2优于x 1，∴新的存优范围为[1 000,1 950]．∴x 3＝1 000＋1 950－1 050＝1 900.同理新的存优范围为[1 000,1 900]，∴x 4＝1 000＋1 900－1 050＝1 850.【例2】 44 ℃ 解析：依题意，试验温度为40 ℃，41 ℃，…，51 ℃，共12个试点，编号为(1)至(12)，虚增(0)号和(13)号试点，选择分数813，第1个试点取试点(8)，第2个试点取(0)＋(13)－(8)＝(5)，故第二次试验的温度为44 ℃.【例3】 13 解析：该参与者应用对分法，每次估价都能将价格范围缩小一半，则n次估价后，价格范围的长度为8 0002n ，由8 0002n ＜1得2n ＞8 000，故n ≥13，故最少需要估价13次，才能保证参与者一定能获得该商品，所以n 的最小值为13.【例4】 (1)6,9,12,15 (2)25 解析：(1)一批做4个试验，则应将存优范围均分为5份，则第一批的4个试验点分别是：6,9,12,15.(2)第一批试验后的存优范围与原范围之比是22×2＋1＝25. 演练巩固提升1．1 618 [1 000,1 618] 1 236解析：a 1＝1 000＋(2 000－1 000)×0.618＝1 618(g)，a 2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382(g)．因为a 2比a 1好，故去掉(a 1,2 000)部分，即存优范围是[1 000,1 618]，所以a 3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236(g)．2．73 ℃ 68 ℃ 解析：试验区间为[60,81]，等分为21段，分点为61,62，…，79,80，因为60＋1321×(81－60)＝73(℃)，所以第一试点安排在73 ℃. 由“加两头，减中间”的方法得60＋81－73＝68(℃)，所以第二试点选在68 ℃.3．250或7504．1 2 解析：第3个点为好点，则存优范围为左端到第4个分点，故第2批安排在没有做过试验的第1,2两个分点上．。
4-7优选法与实验设计初步
4－7 优选法与实验设计初步1．用0.618法寻找某实验的最优加入量时，若当前存优范围是[628,774]，好点是718，则此时要做试验的加入点值是 ( )A.B ．628＋0.618×(774－628)628＋7742C ．628＋774－718D ．2×718－774答案：C2．某实验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法需要从20个试验点中找最佳点，则需要做试验的次数是 ( )A ．6次B ．7次C ．10次D ．20次答案：B3．有一条1 000 m 长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A 处有电，在末端B 处没有电，现在用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在 ( )A ．500 m 处B ．250 m 处C ．750 m 处D ．250 m 或750 m 处答案：A4．在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.8 kΩ，1.2 kΩ，1.8 kΩ，3 kΩ，3.5 kΩ，4 kΩ，5 kΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点值的电阻是( )A ．0.8 kΩ B ．1.8 kΩC ．3 kΩ D ．3.5 kΩ答案：B5．对试验范围是(0,7)，采用分批试验法，第一批取的试验点值是3,4，则这种分批试验法是________．答案：比例分割分批试验法6．(2010·湖南高考)已知一种材料的最佳加入量在110 g 到210 g 之间，若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是________g.答案：148.27．下表是生产某化工产品的正交试验设计表：列号 试验号A 温度(℃)B 时间(min)C 催化剂浓度(%)产量(kg)150207825030893602087.54603078.4则在这四个试验当中可得出这个化工产品最好产值不会小于________kg.答案：98．用正交表对某化学反应中对反应结果进行分析，所得部分的数据已填写在下表：因素 水平号A 催化剂(g)B 溶剂(mL)C 时间(min)产率(%)1A 1B 1C 1a 2A 1B 2C 2b 3A 2B 2C 2c 4A 2B 2C 1dk 1q ＝K 1q12616058k 2q ＝K 2q12626365则表中a ＋b ＝________，b ＋d ＝________.答案：122 1269．若某原始的因素范围是[100,1 100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量．分别以a n 表示第n 次试验的加入量(结果都取整数)．(1)求a 1，a 2.(2)若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内，请写出{a n }的前6项．(3)在条件(2)成立的情况下，写出第6次试验后的存优范围．解：(1)由黄金分割法知：第一次的加入量为：a 1＝100＋0.618×(1 100－100)＝718.所以a 2＝100＋1 100－718＝482.(2)因为[700,750]包含存优范围，所以最优点在区间[700,750]上．由此知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优范围取[482,1 100]，所以a 3＝482＋1 100－718＝864，同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优范围是[482,864]．所以a 4＝482＋864－718＝628.同理可求得a 5＝628＋864－718＝774；a 6＝628＋774－718＝684.(3)由(2)知第6次试验前的存优范围是[628,774]，又718是一个好点，第6次试验点是684，比较可知718是好点，去掉684以下的范围，故所求存优范围是[684,774]．10．在梳棉机上纺粘棉混纱，为了提高质量，确定3个因素，每个因素有2个水平，因素水平如下表：ABC 因素 水平金属针布产量水平速度1甲地产品 6 kg 238 r·min －12乙地产品10 kg320 r·min －1试验指标为棉结粒数，越小越好．用正交表L 4(23)安排试验，4次试验所得试验指标的结果依次为0.35,0.20,0.30,0.40，请画出正交表，并根据正交表找出最优组合及各因素影响的大小．解：计算各k 值得：k 11＝0.35＋0.20＝0.55，k 21＝0.30＋0.40＝0.70，k 12＝0.35＋0.30＝0.65，k 22＝0.20＋0.40＝0.60，k 13＝0.35＋0.40＝0.75，k 23＝0.20＋0.30＝0.50，∴k 11＝k 11＝0.275，k 21＝k 21＝0.35，1212k 12＝k 12＝0.325，k 22＝k 22＝0.30，1212k 13＝k 13＝0.375，k 23＝k 23＝0.25，1212R 1＝max{0.275,0.35}－min{0.275,0.35}＝0.075，R 2＝max{0.325,0.30}－min{0.325,0.30}＝0.025，R 3＝max{0.375,0.25}－min{0.375,0.25}＝0.150，所得结果列表如下：列号试验号A 金属针布B 产量水平(kg)C 速度r·min －1产量1A 1(甲地产品)62380.352A 1(甲地产品)103200.203A 2(乙地产品)63200.304A 2(乙地产品)102380.40k 1q ＝K 1q120.2750.3250.375k 2q ＝K 2q120.350.300.25R q0.0750.0250.150由上表可知最优组合为(A 2，B 1，C 1)，由于R 3＞R 1＞R 2，故速度因素起主要作用，金属针布产地次之，产量水平影响最小．。
选考部分 选修4-7 优选法与试验设计初步
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7．解析：运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加， 最佳点被限制在越来越小的范围内，但并不一定能完全确 定，故①错；运用分数法寻找最佳点时，通过n次试验能 保证从(Fn＋1－1)个试点中找到最佳点，故②正确；③明 显错误；盲人爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点 选得好可以省好多次试验，故④错． 答案：②
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[课时作业] 1．解析：依题意，结合对分法的意义得，第一次检查点离
A处500米，第二次检查点离A处250米或750米． 答案：250或750 2．解析：注意到106－85＝21，因此第一个试点应为85＋解析：为了便于用分数法求解，可在两端增设虚点，凑成 13
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例 3：解析：(1)用分数法进行优选，试验范围为[40,61]，将 试验范围等分为 21 份，分点为 41,42,43，…，59,60，从而 可知，第一个试点是 x1＝40＋1231×(61－40)＝53，或第一个 试点是 x1＝61＋1231×(40－61)＝48. (2)由分数法可得，x1＝10＋1231×(31－10)＝23，x2＝10＋31 －23＝18，又 x1 是好点，且 x1>x2，所以第 3 试点应选取的 值是 18＋31－23＝26. 答案：(1)53或48(只写出其中一个也正确) (2)26
5．解析：第一个试点为 0＋(80－0)×58＝50(mL)，或第一个 试点为 80＋(0－80)×58＝30(mL) 答案：50或30
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6．解析：由0.618法知，第一个试点是x1＝20＋(40－ 20)×0.618＝32.36，或者第一试点是x1＝40＋(20－ 40)×0.618＝27.64. 答案：32.36或27.64
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例 1：解：由基本初等函数的图象知： (1)y＝1x在[1,6]上是单调递减的，所以函数 y＝1x在[1,6]上是单峰函数． (2)y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1. ∵函数 y＝－x2＋4x－3 在[1,2]上是单调增加，在[2,6]上是单调减少， ∴函数 y＝－x2＋4x－3 在[1,6]上是单峰函数． (3)y＝sinx 在1，π2上是单调增加，在π2，6上单调性不确定． ∴y＝sinx 在[1,6]上不是单峰函数． (4)y＝ x在[1,6]上是单调增加的，所以 y＝ x在[1,6]上是单峰函数．
1.对分法-人教A版选修4-7优选法与试验设计初步教案
1. 对分法-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案一、教学目标1.了解对分法(筛选法)的定义、原理及其特点；2.掌握对分法的具体实施方法；3.了解优选法的概念、定义及其本质；4.了解试验设计的基本概念、分类及其基本理论。
二、教学重点1.对分法的原理和实施方法；2.优选法的概念和本质。
三、教学难点1.试验设计的基本理论和分类方法。
四、教学内容及方法1. 对分法的原理和实施方法（1）对分法的定义和原理对分法是一种探究事物规律的基本方法之一，其本质是分析找规律，按照规律进行操作和进一步预测。
对分法的基本思想是：从多个样本中找出某一性质或特点相同的一组样本，以此来表征整个样本集合。
其本质是一种分类方法，通过对样本的划分来获得有意义的结论。
（2）对分法的特点和实施方法对分法的特点是：简单易行，适用范围广，对数据的要求不高；同时也存在着对样本规模的依赖性和判分类的主观性等问题。
对分法的实施方法包括按属性对样本分层或分类、计算属于每个类别的样本个数与比例等步骤。
2. 优选法的概念和本质（1）优选法的定义和本质优选法是指在多个受试样本中，找出最好的受试对象或方案，展现出最优的特性或效果的一种方法。
其本质是一种决策方法，通过从多个方案中筛选出最优的方案，从而达到最优化的目的。
（2）优选法的实施方法优选法的实施方法包括确定优选的评价指标、收集样本信息和评价数据、分析选定最优方案等步骤。
值得注意的是，在实际应用过程中，必须充分考虑多方面因素的综合影响，以及可能存在的不确定性和风险等问题，以避免决策过程中的盲目性和错误性。
3. 试验设计的基本原理和分类方法（1）试验设计的概念和作用试验设计是一种科学研究方法和实验方案的制定过程，其目的是为了发掘出事物内在规律，并建立相应的理论体系。
试验设计涵盖了众多研究的科学领域，可以分为静态设计和动态设计两种方式。
（2）试验设计的基本分类方法试验设计的基本分类方法包括完全随机设计、区组设计、随机区组设计和因子设计等。
2.平行线法-人教A版选修4-7优选法与试验设计初步教案
平行线法-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案一、教学目标1.理解平行线法的基本思路和步骤，并掌握其实现方法。
2.掌握平行线法的优选法和试验设计初步方法，能够运用该方法对实际问题进行解决。
3.培养学生的科学思维和定量分析的能力，提高其解决实际问题的能力。
二、教学重点1.平行线法的基本思路和步骤。
2.平行线法的优选法和试验设计初步方法。
三、教学内容1. 平行线法的基本思路和步骤平行线法是一种用于比较两种条件下实验结果差异的方法。
其基本思路是：在同一实验条件下，分别施加两种不同的处理方法，观察实验结果的差异，并利用统计学方法对其进行比较。
平行线法的步骤如下：1.确定实验对象和处理因素。
2.设计实验方案，确定实验操作步骤和方法。
3.确定实验中需要测量的指标。
4.进行实验并记录数据，注意控制实验误差。
5.对实验数据进行统计分析，计算实验结果的差异程度。
6.进一步分析实验结果，找出影响实验结果差异的因素，并探究其规律。
2. 平行线法的优选法平行线法的优选法是在平行线法的基础上进行改进，旨在通过逐步缩小处理差异和误差范围，以实现更加准确的比较结果。
平行线法的优选法步骤如下：1.确定实验方案，并按照平行线法进行实验。
2.分析实验结果，找出表现处理间差异的因素，并确定可能存在的误差来源。
3.通过改进实验设计和操作过程，控制误差范围，并再次进行实验。
4.对比两次实验结果，得出更加准确的结论。
3. 试验设计初步方法试验设计方法是指在实验研究中，根据实验目的和要求，采用合理的实验方案和数据处理方法，精确地描述和解释所研究的对象和过程的方法。
试验设计初步方法包括以下步骤：1.明确试验目的和研究问题，确定实验对象和处理因素。
2.设计实验方案，包括实验设计、实验操作和数据处理方法。
3.对实验方案进行检查和优化，确定实验中需要控制的变量和需要测量的指标。
4.进行实验并记录数据，确保实验数据可靠性和可重复性。
5.对实验数据进行统计分析或模型拟合，得出实验结论和结论的可靠性范围。
选修4-7优选法与试验设计初步 第一讲 优选法 一什么叫优选
2.蒸馒头是日常生活中常做的事情， 为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱，如 果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放 多了，馒头就会发黄且有碱味.如果你没 有做馒头的经验，也没有人可以请教， 就要用数学的方法迅速找出合适的碱量 标准.
3.在实践中的许多最优化问题，试 验结果与因素的关系，有些很难用数学 形式来表达，有些表达式很复杂，这需 要我们学习解决这类问题的数学方法.
1 3 2 2 f ( x) x 2ax 3a x 2 3
例3
已知函数
4 (, 0] U[ , ) 3
小结作业
1.如果影响试验的某个因素（记为x） 处于某种状态（记为x＝x0）时，试验结 果最好，那么这种状态（x＝x0）就是这 个因素（x）的最佳点.
2.具有单峰性的试验是优选法研究的 最简单的试验，在这样的试验中，试验 结果可以表示为实验因素的单峰函数.
y y
y
O a
b x O a
b x O a
b x
规定：区间[a，b]上的单调函数是单峰 函数. 单峰函数不一定是连续函数.
探究（三）：因素与试点
思考1：在炮弹发射试验中，除发射角外， 客观上还会因哪些原因影响炮弹的射程？
初速度，空气阻力，地理位置等.
思考2：一般地，把影响试验目标的诸多 原因称为因素.由于全面考虑试验中的各 种因素往往非常困难，常假设其中的某 些因素保持不变，或忽略某些影响较小 的因素，而把关注点集中在感兴趣的某 个因素上.如果在一个试验过程中，只有 （或主要有）一个因素在变化，则称这 类问题为单因素问题. 炮弹发射试验是 否为单因素问题？认为哪些因素保持不 变？忽略了哪些因素？ 认为初速度保持不变，忽略了空气阻力.
探究（一）：优选法
思考1：有一种商品价格竞猜游戏，参与 者在只知道售价范围的前提下，对一件 商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估 价不正确时，主持人以“高了”或“低 了”作为提示语，再让竞猜者继续估价， 在规定时间或次数内猜对了即可获得相 应奖品.如果你参与这项活动，每次会怎 么给出估价？
1.对分法-人教A版选修4-7优选法与试验设计初步教案
1.对分法-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案课程背景本教案是针对人教版选修4-7中的“质量控制与管理”章节的内容。
在实际生产中，为了提高产品的质量和效率，往往需要进行优选法和试验设计，而对分法就是其中常用的一种方法。
本教案主要介绍了对分法的基本步骤和应用。
教学目标1.理解对分法的基本思想和步骤。
2.掌握对分法的具体应用方法。
3.进一步加深学生对优选法和试验设计的理解和应用能力。
教学内容一、对分法的基本思想和步骤对分法是一种常用的质量管理工具，主要用于筛选最优方案。
对分法的基本思想是将所有样本按照某个因素划分成两组，比较这两组的差异性，然后再将差异较小的组继续划分，以此类推，直到得到最优解为止。
具体步骤如下：1.确定影响某一过程的关键因素。
2.按照该因素对样本进行划分，得到两组或多组。
3.比较分组之间的差异性，选择差异较大或差异较小的组进行继续分组。
4.循此步骤，直至分组后各组数据之间的差异较小，即达到最优方案。
二、对分法的具体应用方法1.对分法的选择与优缺点对分法可以根据应用场景的不同选择多种方式。
其优点是：快速筛选最优方案、可适用于大量数据、便于比较与证明。
缺点则是：容易出现人为误差、对过程依赖性较强、结果不一定准确等。
2.对分法的应用案例分析在生产实际中，对分法可以应用于产品的配方优选、工艺参数的筛选、设备选型等方面。
例如，在食品行业，通过对分法可以选择出最佳的食材比例、生产工艺、加工设备等，从而提高产品质量和效率。
三、优选法和试验设计对分法只是优选法和试验设计之一，而优选法和试验设计则是质量管理中的两个重要方法。
优选法是通过对不同方案的比较，筛选出最优的方案，试验设计则是通过实验得出科学合理的结论。
优选法和试验设计的具体内容在课程中已详细介绍，本教案重点介绍对分法在其中的应用。
总结对分法是一个常用的质量管理工具，可以帮助企业快速筛选最优方案。
在日常生产和管理中，需要理解对分法的基本思想和应用步骤，同时也需要注意对分法的适用范围和应用注意事项。
引言-人教A版选修4-7优选法与试验设计初步教案
引言-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案文档说明本文旨在介绍人教A版选修4-7中优选法与试验设计初步章节的教学内容。
本文主要分为四个部分，分别是引言、课程目标、教学内容、教学评价。
其中，引言部分主要介绍课程背景以及本章节的教学意义。
课程背景本章节是人教A版选修4-7的第一单元内容，旨在让学生了解优选法与试验设计初步的基本概念和方法，为后续的课程内容打下坚实的基础。
本章节内容涉及到实验方法与数据分析等知识，是学习科学研究方法的关键一步。
教学意义本章节的教学意义主要有以下几点： 1. 帮助学生了解科学研究的基本方法； 2. 学生能够学会制定实验方案、收集和处理实验数据； 3. 引导学生培养科学思维、探究精神和独立思考能力； 4. 增强学生实验操作的能力，提高其实验数据分析的能力。
课程目标1.理解优选法和试验设计初步的基本概念；2.能够设计简单的实验方案，实施实验和处理数据；3.能够运用统计学方法分析实验数据；4.能够阅读和理解相关文献。
教学内容1. 优选法1.1 概念优选法是一种从多个可行的策略中选择出表现最佳策略的方法。
其目的是通过少量的实验或分析得到最佳的策略。
在统计学中，常用一些特定的统计方法来进行优选。
1.2 实例教师可以提供一个简单的实例，让学生理解优选法的基本流程和步骤。
例如，让学生设计一份填充材料的实验方案，然后分别使用不同的实验方法进行比较和验证，最终选择最佳的方案。
2. 试验设计初步2.1 概念试验设计是一种科学合理地安排实验的方法，有效提高实验的可靠性和准确性。
试验设计分为正交试验设计、随机试验设计和系统试验设计等多种类型。
2.2 实例教师可以提供一个简单的实例，让学生理解试验设计的基本步骤和方法。
例如，让学生设计一份涂层材料的实验方案，使用正交试验设计方法，探究组成材料、涂层厚度等因素对涂层性能的影响。
3. 统计学方法与数据分析3.1 概念统计学是一种通过收集、分析数据来推断人群行为的方法。
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选考4-7 优选法与试验设计初步
1. 下列结论中正确的是( )
Ａ. 运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点 Ｂ. 运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
Ｃ. 运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果 Ｄ. 运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同的点作起点，其效果快慢差别不大
2. 下列函数中在[－1，4]上不是单峰函数的是 ( )
A. y=2x
B. y=2x -2x+3
C. y=sinx
D. y=cosx
3. 在应用0.618法确定试点时，n 次试验后的精度为( ) A. 10.382n - B. 1
12n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 10.618n -
D. 0.618n
4. 在下面优选法中，每次（批）试验后都能将存优范围缩小为相同比例的是( ) A. 0.618法 B. 对分法
C. 均分分批试验法
D. 比例分割分批试验法
5. 如图，用平行线法处理双因素问题时，首先将难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点在A1处，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点A2，若A2处的试验
结果比A1处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在 ()
A. 0.764 Ｂ. 0.236
Ｃ. 0.500 Ｄ. 0.309
6. 在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 ml 或小于3 000 ml 时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为（ ）
Ａ. 4 500，3 500 Ｂ. 4 382，3 618 Ｃ. 4 236，3 764 Ｄ. 4 618，3 618
7. 利用纵横对折法解决双因素问题时，先将因素Ⅰ固定在试验范围的中点c1处，对因素Ⅱ进行单因素优选得到最佳点A1，同样将因素Ⅱ固定在中点c2，对因素Ⅰ进行单因素优选得到最佳点A2，若A1处的试验结果比A2处的好，则下图中阴影部分能表示好点所在范围的是( )
8. 利用从好点出发法解决双因素问题时，若因素Ⅰ的范围是（12,a a ），因素Ⅱ的范围是()12,b b ，先固定因素Ⅰ在试验范围的0.618的1c 处，得到最佳点1A ()12,c c ，然后将因素Ⅱ固定在
2c ，得到最佳点2A ()12,d c ，然后( )
A. 将因素Ⅰ固定在1d ，在()12,b c 范围内优选因素Ⅱ
B. 将因素Ⅰ固定在1d ，在()12,b b 范围内优选因素Ⅱ
C. 将因素Ⅰ固定在1d ，在()22,c b 范围内优选因素Ⅱ
D. 将因素Ⅱ固定在1d ，在()22,c b 范围内优选因素Ⅰ
9. 如图，在每批做２个试验的比例分割分批法中，将试验范围7等分，第１批试验先安排在左起第３，４两个点上，若第３个点为好点，则第２批试验应安排在 和 两个点上.
10. 某主妇在学做用一定量的面粉蒸馒头时，按照邻居的建议放了１３克碱后发现馒头发黄且有碱味，决定自己用分数法找出合适的放碱量，则她第１，２次试点的放碱量分别为 克和 克.
11. 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，加入量大于１３０ml 或小于10ml 均不好，若利用均分分批试验法在(10，130)内优选加入量，每批安排２个试验，则第１批试验加入的量为 ml 和 ml.
12. 在乙酰胺苯的磺化反应中，为了提高乙酰胺苯的产率，利用优选法选择合适的工艺，根据分析，主要因素为反应温度和硫酸浓度，已知其试验范围为：温度40℃~60℃；硫酸浓度60%~80%.某技术员用从好点出发法对工艺进行优选，过程如下：先固定温度为５２℃，得最优浓度为68%，产率为３８%；然后固定浓度为68%，得最优温度为4７℃，产率为４３%；再固定温度为４７℃，得最优浓度为７２%，产率为５１%；又固定浓度为７２%，得最优温度为４７℃，则在实际生产采用的工艺条件中，温度和浓度分别为 ℃和 %.
13. 用对分法求方程2x +3x-7=0的一个根，精确度为0.1.
14. 在利用白地霉生产核酸的工艺试验中，主要的因素有因素Ａ-白地霉的核酸含量；
试验的目的是找出影响生产工艺的主要因素，请选择合适的正交表，并安排试验.
15. 某研究所想利用烟灰来做砖，砖的质量指标是折断力，折断力越大越好.影响砖的折断力的主要因素有三个:成型水分的多少，碾压时间的长短及每次碾压料重.每个因素根据以往的经验各取３个水平，成型水分：9%，10%，11%；碾压时间：8 min，10 min，12 min;碾压料重：330 kg，360 kg，400 kg. 现通过试验寻求提高折断力的生产条件，试验结果如下表:
请完成上表，并指出哪个因素对折断力的影响最大，求出最优的生产条件.
16. 某农科所培育了一种玉米新品种，为确定该品种的高产栽培条件，科研人员选择了三个试验因素：种植密度、施化肥量、施农药量，分别记为A，B，C，每个试验因素选
参考答案
选考4-7
1. B 解析：运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，故Ａ错；按照分数法安排试验，通过n次试验保证能从（Fn+1－１）个试点中找出最佳点，故Ｂ正确；运用对分法在确定下一个试点时，只需要比较试验结果与已知标准（或要求)，故Ｃ错；爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点选得好,可以省好多次试验，故Ｄ错.
10. 8 5 解析：放碱量１，２，…，１２将试验范围分为１３格，故第１试点为
x1=0+
8
13
(13-0)=8，第２试点为x2=0+13-8=5.
11. 50 90 解析：将试验范围分为３份，中间两个分点为50，90.
12. 47 72 解析：按照从好点出发法，从第２次起，都是将一个因素固定在上次结果的好点上，然后对另一因素进行优选试验，当温度和浓度分别为47 ℃，72%，无论固定温度和浓度，都不能再找到其他好点，试验到此就结束了.
13. 设f(x)=2x+3x-7,
由f(1)=-2,f(2)=3知根的范围为(1，2)，
取x1=12
2
+
=1.5,
由f(1.5)=0.33知，根的范围为(1,1.5),
取x2=1 1.5
2
+
=1.25,
由f(1.25)=-0.87知,
根的范围为 (1.25,1.5),
取x3=1.25 1.5
2
+
=1.375,
由f(1.375)=-0.23知，根的范围为(1.375,1.5),
取x4=1.375 1.5
2
=1.437 5,
由|1.375-1.4375|=|1.4375-1.5|
=0.062 5＜0.1,
故原方程的根可取为1.4375.
14. 此为４因素３水平的试验，可采用正交表L9(43)来安排试验，９次试验的安排如下表:
＞k23＞k13,所以成型水分对折断力的影响最大，最优的生产条件为成型水分11%；碾压时间10 min，碾压料重400kg.
16. k11=520480
2
+
=500,k21=
430460
2
+
=445,R1=55,
k12=520430
2
+
=475,k22=
480460
2
+
=470,R2=5,
k13=520460
2
+
=490,k23=
480430
2
+
=455,R3=35,
表中的“？”处填上数据如下：。