2014年唐山市二模理科数学试卷及答案

唐山市2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题：

A 卷：CABAA BBDCD CD

B 卷：DBBAA

BADCD DC 二、填空题： （13）0.0228

（14）

(

1

2，

3

2

)

（15） 1

4

（16） 3

4

三、解答题： （17）解：

（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，(a 1＋4d )2

＝(a 1＋d )(a 1＋10d )． 注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1． 所以a n ＝n ＋1． …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知

b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2，

因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1

2n ＋2

＞0，

所以数列{b n }单调递增． …8分

b n ≥b 1＝ 1

2． …9分

又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝n

n ＋1

＜1，

因此 1

2

≤b n ＜1． …12分

（18）解：

（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A ，则

P (A )＝C 1

20.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18． …4分 （Ⅱ）X 的可能取值为0，5，10，15，20． P (X ＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P (X ＝5)＝C 120.8×0.2×0.5＝0.16，

P (X ＝10)＝0.82×0.5＋0.22

×0.5＝0.34，P (X ＝15)＝C 120.8×0.2×0.5＝0.16， P (X ＝20)＝0.82×0.5＝0.32． X

…10分

X 的期望为

E (X )＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13． …12分

（19）解：

（Ⅰ）因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD ． 又BD ⊥PC ，所以BD ⊥平面P AC ，

因为BD ⊂平面EBD ，所以平面P AC ⊥平面EBD ．

…4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD ⊥AC ，所以ABCD 是菱形，BC ＝AB ＝2． …5分 设AC ∩BD ＝O ，建立如图所示的坐标系O -xyz ，设OB ＝b ，OC ＝c ， 则P (0，－c ，2)，B (b ，0，0)，E (0，－c ，1)，C (0，c ，0)．

PB →＝(b ，c ，－2)，OB →＝(b ，0，0)，OE →＝(0，－c ，1)．

设n ＝(x ，y ，z )是面EBD 的一个法向量，则n ·OB →＝n ·OE →＝0， 即⎩⎨⎧bx ＝0，－cy ＋z ＝0，

取n ＝(0，1，c )． …8分 依题意，BC ＝b 2＋c 2＝2． ① 记直线PB 与平面EBD 所成的角为θ，由已知条件 sin θ＝|n ·PB →|__________|n |·|PB →|＝c (1＋c 2)(b 2＋c 2＋22)＝ 1

4． ② 解得b ＝3，c ＝1．

…10分

所以四棱锥P -ABCD 的体积

V ＝ 1 3×2OB ·OC ·PA ＝ 1 3×23×1×2＝433

．

…12分

（20）解：

（Ⅰ）由已知得M (－ p

2

，0)

，C (2，0)．

设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝22

3

．

于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝ 1

3

，

所以|CM |＝|AC |sin ∠AMC ＝|AC |sin ∠CAR

＝3，即2＋ p

2＝3，p ＝2．

故抛物线E 的方程为y 2

＝4x ．

…5分

（Ⅱ）设N (s ，t )．

P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点．

圆D 方程为(

x －s ＋22)2＋(y － t

2)

2＝(s －2)2＋t 24

，

即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0． ①

又圆C 方程为x 2＋y 2

－4x ＋3＝0． ② ②－①得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0． ③ …9分 P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程．

因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝ 3

2

．

故点N 坐标为( 3 2，6)或( 3

2

，－6)

． …12分

（21）解：

（Ⅰ）当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＜0等价于x －ln x

x

＜a ．

令g (x )＝x －ln x

x ，则g '(x )＝x 2－1＋ln x x 2

．

当x ∈(0，1)时，g '(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＞0． g (x )有最小值g (1)＝1． …4分 故a 的取值范围是(1，＋∞)． …5分

（Ⅱ）因f (x )＝x ，即x 2

－ln x ＝(a ＋1)x 有两个不同的实数解u ，v ． 故u 2－ln u ＝(a ＋1)u ，v 2－ln v ＝(a ＋1)v ．

于是(u ＋v )(u －v )－(ln u －ln v )＝(a ＋1)(u －v )． …7分

由u －v ＜0解得a ＝u ＋v －ln u －ln v

u －v

－1．

又f '(x )＝2x － 1

x

－a ，所以

f '(u ＋v 2)

＝(u ＋v )－2u ＋v －(u ＋v )＋ln u －ln v u －v ＋1＝ln u －ln v u －v －2u ＋v

＋1． …9分

设h (u )＝ln u －ln v －2(u －v )u ＋v ，则当u ∈(0，v )时，h '(u )＝(u －v )2

u (u ＋v )2

＞0，

h (u )在(0，v )单调递增，h (u )＜h (v )＝0，