向量基本概念
向量的基本概念
向量的基本概念
向量是线性代数中的基本概念之一，它是指一个有大小和方向的量。
向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以用坐标表示，也可以用向量的起点和终点表示。
向量的大小也称为向量的模或长度，它表示向量的大小，通常用||v|| 表示。
向量的方向表示向量的朝向，可以用角度或者方向余弦表示。
向量的起点和终点表示向量的位置，起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
向量可以进行加法和数乘运算。
向量的加法表示将两个向量的大小和方向相加，得到一个新的向量。
向量的数乘表示将一个向量乘以一个标量，得到一个新的向量，新向量的大小为原向量的大小乘以标量，方向不变或者相反。
向量可以用于表示物理量，如力、速度、位移等。
在计算机图形学、机器学习等领域，向量也被广泛应用。
总之，向量是一个有大小和方向的量，它可以用坐标或者起点和终点表示，可以进行加法和数乘运算，可以表示物理量和应用于计算机科学等领域。
向量基本概念及坐标表示
向量基本概念及坐标表示1、向量：既有大小，又有方向的量.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、 (1)向量既有大小又有方向的量。
(2)向量的模一一有向线段的长度，|a|(3)单位向量|a o| 1, a o —|a|(4)零向量0 , |0| 0在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变3、共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(5)相等的向量长度相等方向相同b // a (b 0) 存在唯一实数，使b aOA OB OC OA OB BA3.与向量 d （12,5）平行的单位向量为 （）12 A.占,5) 13 C( 12 5、十 / 12 5 C.(一，)或(，B.D ・( 12 513' 1312 513' 13 5、平面向量基本定理（向量的分解定理）e i , e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一实数对1、 2，使得a 1e i2e 2 ， e i 、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
6向量的坐标表示i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 x ，y ，使得a x i y j ，称（x , y ）为向量a 的坐标，记作：a x ，y ，即为向量的坐标 表示。
设 a x 1， y 1， b X 2， y 2贝 y a b x 1，y 1y 1, y 2 x1y 1， X 2 y 2aX" y 1X 1, y 1若A x 1，y 1，B x 2，y 2则 AB X 2 X 1，y Y 1练习题：1.将—[2(2 a 8b) 4(4 a12A. 2a bB.C. a b D .2.如图 1所示，向量OA,OB,C ）C 的终点A, B ，C 在一条直线上，且nnOAp ，mu OBq ，O C r ，则以下等式中成立的是（A. r3 312q B.r p 2qc. r尹 2qD.2p2b ）］化简成最简式为（2b ab a f图IuurACUUU 3CB ，设4. 已知向量a (2,3),b(1,2)，若ma nb 与a 2b 共线，则m等于()n11A. 1B.2C.丄 D.-2225 •已知非零向量 u 和e 2不共线，欲使te i e 2和◎ t e ?共线，则实数t 的值为 _______ •6•平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点•设AB a ， AD b ，,BJUD则MN _____________ (用a ， b 表示).7. 已知向量 a (3,1),b (1,3),c (k,7)，若(a c)//b,则k _____________ 8. 设向量a (1,2),b (2,3)，若向量 a b 与向量C (4,7)共线，则 = ______9. 两个非零向量厲，e 2不共线.ujuuur ium,「「八(1) 若 AB ee 2，BC2e 1 8e 2，CD3(©e 2)，求证：A B ，D 三点共线;(2) 求实数k ，使k e 1 e 2与2e k e ：共线.uuu10 .已知Y ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OAUUU UUU UULTUUUb 分别表示向量OC ，OD ，DC ，BC .错误!未找到引用源若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.11、设0(2是两个不共线的向量,AB 2ei ke 2 ,CB e 13e 2, CD 2e 1e 2，uuua ，OBb ，用向量a ，12.已知向量 a ( 3,2),b (2,1),c (3, 1),t R.若a tb与c共线，求实数t.。
向量的基本概念及其应用
向量的基本概念及其应用向量是高中数学和物理学中一个非常重要的概念，也被广泛地应用于计算机科学和工程学中。
在本文中，我们将讨论向量的基本概念及其应用，并从几个不同的角度来探讨这个概念。
一、什么是向量向量是一个有方向和大小的量。
它通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
一个向量通常由两个分量表示，即水平分量和垂直分量。
水平分量是向量在水平方向上的长度，垂直分量是向量在垂直方向上的长度。
向量的长度可以通过勾股定理计算，即 length = sqrt(x^2+y^2)。
二、向量的基本属性向量有几个基本属性，包括加法、减法、数量积和向量积等。
向量的加法定义为从一个向量的尾部到另一个向量的头部的箭头之间绘制一条新的向量。
向量的减法定义为从一个向量的头部到另一个向量的头部之间绘制一条新的向量，并将其指向第二个向量的尾部。
数量积是向量的点积，它定义为两个向量的元素逐个相乘并相加的结果。
向量积是两个向量的叉积，它定义为两个向量垂直于彼此并且其大小等于两个向量的元素积的向量。
三、向量的应用向量在许多领域中都有应用，包括物理学、计算机科学和工程学等。
在这些领域中，向量通常用于计算和表示对象之间的关系。
物理学中，向量常用于描述力、速度和加速度等现象。
例如，在计算机模拟中，向量可以用于表示移动的物体的速度和方向，以及与其互动的物体之间的相对位置。
在计算机科学中，向量广泛用于计算机图形学和机器学习中。
在计算机图形学中，向量通常用于描述三维空间中的点和方向。
在机器学习中，向量通常用于表示特征向量，这些向量可以用于分类和聚类等任务。
工程学中，向量通常用于计算和表示力和位移等物理量。
例如，在建筑设计中，向量可以用于表示结构中各部件之间的关系，以及在运动控制系统中，向量可以用于描述机器人臂的位置和末端执行器的移动。
结论向量是一个有方向和大小的量。
它通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
数学向量的运算知识点总结
数学向量的运算知识点总结一、向量的基本概念首先，我们来回顾一下向量的基本概念。
向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在数学上，一般用坐标表示一个向量，比如在二维空间中，一个向量可以表示成(x, y)，表示向量在x轴和y轴上的分量，而在三维空间中，一个向量可以表示成(x, y, z)，表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量的加法、减法、数量乘法等运算可以通过分量的运算来完成，这些运算规则将在后面详细介绍。
二、向量的加法和减法向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量的操作，减法则是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的加法和减法都是分量相加和分量相减的操作。
比如，对于两个二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，它们的加法和减法可以表示为：A+B = (x1+x2, y1+y2)A-B = (x1-x2, y1-y2)在三维空间中，向量的加法和减法同样可以通过分量相加和分量相减来完成。
向量的加法和减法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
三、数量乘法数量乘法是指一个向量乘以一个标量得到一个新的向量的操作。
比如，对于一个二维向量A=(x, y)和一个标量k，它们的数量乘法可以表示为：kA=(kx, ky)这里k是一个实数。
数量乘法有分配律和结合律，即k(A+B)=kA+kB，(k+m)A=kA+mA。
四、内积内积又称点积，是两个向量相乘得到一个标量的操作。
对于两个n维向量A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)，它们的内积可以表示为：A•B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积有交换律和分配律，即A•B=B•A，A•(B+C)=A•B+A•C。
内积可以用来求向量的夹角和判断向量的正交性。
五、外积外积又称叉积，是两个向量相乘得到一个新的向量的操作。
向量基本概念和基本运算
(b)
向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只 需改变它的符号。
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三、向量的减法
向量减法的几何图示法: 已知向量 a 、b 如何做出a b ? OB BA OA BA OA OB
自空间任意点O引向量 OA a O, B b 那么向量 BA a b 即为所作。
O
a
A
二、向量的加法
定理1.2.2：向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）零 元： a + 0 = a.
（4）反向量：
a (a)
0.
二、向量的加法
有限个向量 a1, a2, an 相加可由向量的三角形求和法则推广：自任意点O开始， 依次引 OA1 a1, A1A2 a2 , , An1An an , 由此得一折线 OA1 A2 An , 于是向量 OAn a 就是 n 个向量 a1, a2 , , an 的和，即：
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性质： 对于任意两向量 a 、b ，有下列不等式 a b a b a b .
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四、向量的数乘
定义1.3.1：实数 与向量 a 的乘积是一个向量，记做 a，它的模是a a ； a 的方向，当 0 时与 a 相同，当 0 时与 a 相反。
我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。
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四、向量的数乘
向量代数的基本概念及运算法则
向量代数的基本概念及运算法则向量代数是线性代数的重要部分，涉及了向量的基本概念及其运算法则。
本文将介绍向量的概念、向量的加法和减法运算法则、向量的数乘运算法则，并讨论一些常见的向量运算性质。
一、向量的概念向量是具有大小和方向的物理量，常用有向线段表示。
通常将向量用字母加箭头表示，例如，向量a用记号“→a”表示。
向量有两个重要的属性，即大小（模）和方向。
向量的大小表示向量的长度或大小，用|→a| 或||→a|| 表示，读作“模a”或“a的模”。
向量的方向表示指向何处，可以用角度、弧度或者其他方式进行表示。
二、向量的加法和减法运算法则向量的加法运算是指将两个向量进行求和的运算，其法则可以用平行四边形法则和三角法则表示。
平行四边形法则可以简要描述如下：设有向量→a和→b，取→a的起点作为平行四边形的一个顶点，将→b 平移至→a的终点，以→a和→b的起点为相对顶点形成平行四边形，平行四边形的对角线所表示的向量，即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
三角法则可以简要描述如下：将→a和→b的起点相接，以→a的终点为直角，连接→b的终点和→a的起点，所得的向量即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
向量的减法运算是指将两个向量进行相减的运算，可以通过向量的加法和取负得到。
设有向量→a和→b，向量→a减去向量→b即为向量→a加上向量→b的负向量，即→a-→b=→a+(-→b)。
三、向量的数乘运算法则向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个实数的运算，用以改变向量的长度或方向。
设有向量→a和实数k，向量→a与k的乘积，记作k→a，即为把向量→a的长度伸缩为原来的|k|倍，并在原来的方向上（若k>0）或相反方向上（若k<0）。
四、常见的向量运算性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即→a+→b=→b+→a。
2. 结合律：向量加法满足结合律，即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
3. 分配律：向量的数乘运算满足分配律，即k(→a+→b)=k→a+k→b。
向量的基本概念
FE
向量
练习：
（1）下列各量中是向量的是（ B ） A．动能 B．重量 C．质量 D．长度
F （2）等腰梯形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 P，点 E 、
BC上， EF过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 分别在两腰 AD 、 确的是（ D ） A． AD BC B．AC BD
C． PE PF 相反 的共线向量 _________
D．EP PF
相等 （3）物理学中的作用力和反作用力是模__________ 且方向
3.如图，D ` E ` F` 分别是三角形ABC各边的中点,写出图中与 DE ` EF` FD相等的向量.
A D
F
C
B
E
4.如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形。
AB.
B
向量 AB 的大小即向量 AB 的长度称为向量的模. （3）模的概念： 记作：| AB |
——长度（模）为0的向量， 记作0。0的方向是任意的。注意与0的 区别。 2单位向量——长度（模）为1个单位 长度的向量叫做单位向量。 问：有几个单位向量？单位向量的大小 是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大 小相等，单位向量不一定相等。
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫 做平行向量。记作：a∥b∥c 规定： 0与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量。 记作：a=b 规定：0=0 注：任两相等的非零向量都可用一有向线 段表示，与起点无关。 共线向量：任一组平行向量都可移到同一 条直线上 ，所以平行向量也叫共线向 量。
（1）写出与向量BC相等的向量，
（2）写出与向量BC共线的向量。 B C
向量的基本概念
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。 a
OA = a
c
b
C
0
l
OB
= b
B A
OC = c
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此， 平行向量也叫做共线向量。
规定： 0 与任一向量平行。
一、概念巩固：
1、下列各量中是向量的是( (A)面积 (B)时间 (C)质量
(√位向量都相等.
(6)单位向量的模都相等.
(×)
(×) (√)
(√) (×) (√)
(7)|AB|=|BA|
(8)若 |a|=|b| ,则 a b (9)若 a b ,则 |a|=|b|
(10)零向量与任何向量都平行. (√) (11)平行向量一定是共线向量. (√)
(12) 若a// b, b// c, 则a// c
(×)
2、如图,D、E、F顺次是等边
△ABC的边AB,BC,AC的中点，则在A、 B、C、D、E、F六个点中任意两点为
起点和终点的向量中 (1)找出与向量 DE 相等 D 的向量；AF和FC B
A F C
E
(2)是否存在与向量 DE
向量的表示方法：
②用字母 a 、 b 、 等表示； c
①用有向线段表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB
a
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作
0
0 0 ,
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向。
高三向量所有知识点
高三向量所有知识点向量是高中数学中的重要概念之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。
在高三阶段，学生需要掌握向量的基本概念和性质，以及向量的运算和应用。
本文将详细介绍高三向量的所有知识点。
一、向量的基本概念和表示法1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量。
可以用有向线段表示，有向线段的起点和终点分别表示向量的始点和终点。
2. 向量的表示法：向量可以用字母加上一个箭头表示，比如向量a可以表示为→a。
3. 向量的模长和方向：向量的模长即向量的长度，用|→a|表示。
向量的方向可以使用角度或者与坐标轴的夹角来表示。
二、向量的性质1. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，它们被称为平行向量。
2. 相等向量：如果两个向量的大小和方向都相同，它们被称为相等向量。
3. 零向量：模长为0的向量称为零向量，记作→0。
零向量的方向是任意的。
三、向量的运算1. 向量的加法：两个向量的加法可以使用三角法或者平行四边形法。
- 三角法：将两个向量首尾相接，连接首尾形成一个三角形，结果向量为连接线的向量。
- 平行四边形法：将两个向量的起点相同，将它们平移使其终点相连，所形成的平行四边形的对角线为结果向量。
2. 向量的数乘：数乘是指将一个向量乘以一个实数。
- 当实数为正数时，向量的方向不变，模长变为原来的倍数。
- 当实数为负数时，向量的方向相反，模长变为原来的绝对值倍。
3. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积，记作→a·→b，有以下性质：- →a·→b = |→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b之间的夹角。
- 数量积的结果是一个实数，其大小等于向量模长的乘积与夹角的余弦值。
4. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉积，记作→a×→b，有以下性质：- |→a×→b| = |→a||→b|sinθ，其中θ为→a与→b之间的夹角。
- 向量的向量积是一个向量，它的方向垂直于原来两个向量所在的平面。
向量的基本概念公式
向量的基本概念公式:1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O . 单位向量：a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=3已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角。
4．两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影．5．向量的数量积的性质：若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量);a ⊥b ⇔a ·b =0⇔12120x x y y +=（a ，b 为非零向量）;︱a ︱=2211a a x y •=+;cos θ=a ba b ••=121222221122x x y y x y x y ++⋅+． 6 ．向量的数量积的运算律：a ·b =b ·a ;(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb );(a ＋b )·c =a ·c +b ·c ．7.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x。
向量的基本概念与运算
向量的基本概念与运算向量是数学中的一种重要概念，它可以用来表示大小和方向的物理量。
本文将介绍向量的定义、基本运算以及向量的性质。
一、向量的定义在数学中，向量通常用有箭头的小写字母表示，比如a，b等。
向量有大小和方向两个属性，可以用有序数对表示。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴方向的分量，a₂表示向量在y轴方向的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法可以用几何法或分量法进行计算。
几何法就是将向量的起点放在另一个向量的终点，然后连接起点与终点，得到一条新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法来实现，即将减去的向量取负，然后与被减向量进行相加。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将向量的每个分量都乘以一个常数。
比如向量a 乘以常数k，可以表示为ka=(ka₁, ka₂)。
4. 向量的点乘向量的点乘也称为数量积，表示为a·b或a⋅b，在二维空间中可以计算为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
点乘的结果是一个标量，它表示的是两个向量之间的夹角的余弦值。
5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为向量积，表示为a×b，在二维空间中由于没有第三个方向，所以叉乘结果为0。
三、向量的性质1. 向量加法的交换律和结合律向量加法满足交换律，即a+b=b+a；同时也满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量数量乘法的分配律向量数量乘法满足分配律，即k(a+b)=ka+kb。
3. 向量的点乘的性质向量的点乘满足交换律，即a·b=b·a；同时也满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。
4. 向量的点乘与夹角夹角为θ的两个非零向量a和b的点乘满足a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
5. 垂直向量的点乘如果两个向量a和b垂直，则它们的点乘为0，即a·b=0。
向量的基本概念
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
新课：
1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
2、下面我们来学习向量的表示方法：
5、相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
①向量 a
与
b相等，记作
a
b
②
0
0
③任意两个相等的非零向量，都可用同
一条有向线段来表示，并且与有向线段的
起点无关。
a
④向量不能比较大小，对于向量 a
b或
a
b
这种说法是错误的。
、b
,
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。
向量的表示方法：
①用有向线段表示； a c b ②用字母 、 、 等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB 或a
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作 0 , 0 0
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不 确定方向。
③任一向量与它的相反向量不相等。
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件 是
a b cl源自 C 0 B Aa c OA =
b OB = OC =
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此，
平行向量也叫做共线向量。 规定：0 与任一向量平行。
例1、 判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由.
向量的基本概念
5、相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
①向量 a
与
b相等，记作
a
b
②
0
0
③任意两个相等的非零向量，都可用同
一条有向线段来表示，并且与有向线段的
起点无关。
a
④向量不能比较大小，对于向量 a
b或
a
b
这种说法是错误的。
、b
,
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。
一般的，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假 设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有 方向的线段叫做有向线段。
B 以 A为起点，B为终点的有向线段记作 AB
注意：起点一定要写在终点的前面。
A
已知AB，线段 AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作 AB
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
向量
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
新课：
1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
2、下面我们来学习向量的表示方法：
a b c
l
C 0 B A
a c OA =
b OB = OC =
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此，
、 判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由.
①向量 AB与CD是共线向量，则A、B、C、
D四点必在一直 线上。 ②单位向量都 相等。
总结向量公式定理知识点
总结向量公式定理知识点一、向量的基本概念和性质1. 向量的定义向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在数学上，通常用有序数组或列向量表示一个向量，例如，向量a可以表示为(a1, a2, a3)或者[a1 a2 a3]。
2. 向量的性质向量有一些基本的性质，例如：（1）相等性：如果两个向量的大小和方向都相等，则它们是相等的；（2）共线性：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的；（3）线性运算：向量可以进行加法和数乘运算，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。
二、向量的运算和计算1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加，结果是一个新的向量。
两个向量的加法可以用三角法则或者平行四边形法则进行计算。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个数，结果是一个新的向量。
向量的数乘可以用数乘的分配律和结合律进行计算。
3. 向量的点积向量的点积（也称为数量积或内积）是指两个向量相乘得到一个标量。
向量的点积有一些重要的性质，例如满足交换律、分配律和结合律。
4. 向量的叉积向量的叉积（也称为向量积或外积）是指两个向量相乘得到一个新的向量。
向量的叉积也有一些重要的性质，例如满足反交换律和结合律。
三、向量的公式和定理1. 向量的模长公式向量的模长表示向量的大小，通常用||a||表示。
向量的模长可以用勾股定理进行计算，即||a|| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
2. 向量的角度公式两个向量的夹角可以通过它们的点积和模长进行计算，即cosθ = (a·b) / (||a|| · ||b||)。
3. 平面向量的基本定理平面向量的基本定理包括平面向量的线性组合和平面向量的共线定理。
平面向量的线性组合指的是两个向量的线性组合仍然是一个向量，满足封闭性和结合律。
平面向量的共线定理指的是如果两个向量共线，则它们的线性组合也是共线的。
向量的基本概念公式e
向量的根本概念公式:1.向量的概念(1)向量的根本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝〔ｘ，ｙ〕. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O . 单位向量：a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝〔ｘ2，ｙ2〕⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0 (7a ∥b .平行向量也称为共线向量. 运算类型 几何方法坐标方法 运算性质向量的 加法1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法那么1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=3两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,那么∠AOB=θ 〔001800≤≤θ〕叫做向量a 与b 的夹角。
4．两个向量的数量积：两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，那么a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影． 5．向量的数量积的性质：假设a =〔11,y x 〕,b =〔22,y x 〕那么e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量);a ⊥b ⇔a ·b =0⇔12120x x y y +=〔a ，b 为非零向量〕;︱a ︱=2211a a x y •=+;cos θ=a ba b ••=121222221122x x y y x y x y ++⋅+． 6 ．向量的数量积的运算律：a ·b =b ·a ;(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb );(a ＋b )·c =a ·c +b ·c ．7.重要定理、公式(1)平面向量根本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21〔1OP ＋2OP 〕或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x。
数学必背向量知识点
数学必背向量知识点数学必背向量知识点1.向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.2.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.3.向量的运算律(1)交换律：α+β=β+α(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ高中数学学习方法掌握数学学习实践阶段:在高中数学学习过程中,我们需要使用正确的学习方法,以及科学合理的学习规则。
先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学习数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。
向量基本概念
向量基本概念
向量是最基本的数学工具之一，它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍向量的基本定义、表示方法以及相加、相减、数量积、向量积等运算。
一、向量的定义
向量是空间中具有大小和方向的量，一般用箭头表示。
它由两个端点确定，可以表示为有序的数对或坐标。
二、向量的表示方法
1. 点表示法：将一个向量的起点放在坐标原点O，将终点放在坐标系内的某个点，然后用有向线段或箭头表示向量。
2. 坐标表示法：将向量的起点放在坐标原点O，终点坐标用有序数对(x,y,z)表示。
三、向量的运算
1. 向量相加：将两个向量的末端相接，以它们的起点作为相加后向量的起点，终点作为相加后向量的终点。
2. 向量相减：将一个向量的相反向量加到另一个向量上，即将相反向量变为相应向量再相加。
3. 数量积：两个向量的数量积也叫点积，记为a·b，其结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值乘以两个向量的模长之积。
4. 向量积：两个向量的向量积也叫叉积，记为a×b，其结果是一个向量，垂直于两个向量所在的平面，并且符合右手法则。
四、小结
向量是数学学科中最基础的概念之一。
通过点表示法和坐标表示法，可以表示向量的大小、方向和位置。
向量的相加、相减、数量积和向量积是向量最基本的运算，它们在物理、工程、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
向量的基本概念
9．共线向量：任一组平行向量都可以移到同 共线向量： 一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。 一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。 10．向量与有向线段的区别： 10．向量与有向线段的区别： （1）向量是自由向量，只有大小和方向两个 向量是自由向量， 要素；只要大小和方向相同，则这两个向量就是 要素；只要大小和方向相同， 相同的向量； 相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素， 有向线段有起点、大小和方向三个要素， 起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有 起点不同，尽管大小和方向相同， 向线段。 向线段。
D
E
课本 P96 – 习题 5.1
→
A 或 B或 a
→
A
B
7．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量： 平行向量。 平行向量。 如图： 就是一组平行向量。 如图：a、b、c就是一组平行向量。 记作： 记作：a∥b∥c。 规定：零向量0与任一向量平行。 规定：零向量0与任一向量平行。
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 相等向量： 做相等向量。记作a=b。 做相等向量。记作a=b。 注意： 零向量与零向量相等。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 任意两个相等的非零向量， 用一条有向线段来表示， 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 → → → 无关。 如下图： 无关。 如下图：OA = a,OB = b,OC = c
3．向量的表示：用有向线段或字母a、b、c 向量的表示：用有向线段或字母a （黑体字）来表示。 黑体字）来表示。 4．向量的长度：向量的大小就是向量的长度 向量的长度： （或称为模）。记作 | AB | 或称为模）。记作 ）。 5．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 零向量：长度为0的向量叫做零向量， 作0（黑体字）。 黑体字）。 6．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。 右边这个向得可以表示为： 右边这个向得可以表示为：
1.1.1向量的基本概念
5.相反向量 5.相反向量
定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量. 反向量.
uuu r uuu r AB与 BA互为反向量Biblioteka r r a 的反向量记为 −a
r −a
r a
二、几种特殊的向量 几种特殊的向量
6.共线向量 6.共线向量
两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方 两个向量是否相等与它们的始点无关， 这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量， 这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量， 向决定， 向决定， 称为自由向量 自由向量. 称为自由向量. 自由向量可以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来 自由向量可以任意平行移动， 的向量. 我们以后讨论的向量均为自由向量. 的向量. 我们以后讨论的向量均为自由向量.
一、向量的概念
3.向量的几何表示 3.向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量 有向线段表示向量， 表示向量 r 的 a 始点与终点. 始点与终点. ⋅ 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的长度表示向量的大小， 大小， 有向线段的方向表示向量的方向 有向线段的方向表示向量的方向. 方向.
1.1.1向量的概念 1.1.1向量的概念
一、向量的概念 二、几种特殊的向量
一、向量的概念
1.向量 1.向量
定义1.1.1 定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量 或称矢量，简称矢 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢. 向量， 矢量
2.数量 标量) 2.数量(标量) 数量(
数量(标量)是在规定单位下,可用一个数值来描述的量. 数量(标量)是在规定单位下,可用一个数值来描述的量.
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例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
5、向量间的关系： （1） 提出问题：
例：与是否同一向量？
答：不是同一向量。
例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
（2）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a =b 规定：0=0
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
= = =
例：（P75）例1略
例：（P76）例2略
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？
a b
c
变式三：与向量共线的向量有哪些？
三、 实践反馈
1、下列物理量，①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功。
其中不是向量
的有：
)(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个
2、给出如下命题
①若||b a =，则=；②若=，则D C B A ,,,四点是平行四边形的四个顶点；③平行四边形ABCD 中，一定有=；④若n ==，则=；⑤若∥，∥，则∥；其中不正确的命题的个数有
)(A 2个 )(B 3个 )(C 4个 )(D 5个
3、 下列命题中正确的是
)(A 温度是向量； )(B 速度、加速度、功这些物理量都是向量； )(C 单位向量都相等； )(D 模为0的向量方向是不确定的。
4、 把一切单位平面向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是
)(A 一条线段 )(B 一段圆弧 )(C 两个点 )(D 一个圆
5、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，（1）用有向线段表示与向量相等的向量；（2）用有向线段表示与向量共线的向量。
四、 小结：
五、 作业： 六、 板书
七、 后记
补充习题
例1：如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量→
OA ，→
→
OC OB ,相等的向量。
例2：如图：四边形ABCD ，其中→
→=DC AB ，则相等的向量是（ ） （A ）→
→
CB AD 与 （B ）→
→
OC OA 与
（C ）→→DB AC 与 （D ）→
→OB DO 与 例3：如图，F E D ,,分别是⊿ABC 的三边
AC BC AB ,,中点，写出与→
DF 共线的向量。
课堂练习：
1．下列说法正确的是（ ）
（A ）方向相同的向量叫相等向量 （B ）零向量的长度为0
（C ）共线向量是在一条直线上的向量 （D ）零向量是没有方向的向量 2．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心， 3．在向量→
→
OC OB ,，,,,,→
→
→
→
AB OF OE OD
→
→→→→→OA FA EF DE CD BC 中与,,,,共线的向量有（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 4．设O 是正⊿ABC 的中心，则向量→
→
→
OC OB AO ,,是（ ） （A ）有相同起点的向量 （B ）平行向量 （C ）模相等的向量 （D ）相等向量
5．如图：设RSPQ 为菱形，下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是（ ） （A ）→
→
QR SP 和 （B ）→→
PQ SR 和 （C ）→
→
QR SR 和 （D ）→
→SP SR 和
6．如图，F E D ,,分别是⊿ABC 的三边AC BC AB ,,中点， （1）与→DF 相等的向量为 ， （2）与→DE 共线的向量为 。
7．如图，⊿ABC 和⊿C B A '''是在各边的
3
1
处相交的两个全等的正三角形。
设正⊿ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为
3
a
的若干个向量，则
（1）与向量→
GH 相等的向量是 ； （2）与向量→
GH 共线的向量有 ； （3）与向量→
EA 平行的向量是 。
8．在平行四边形ABCD 中，F E ,分别是CD AB ,的中点，图中的7个向量中，设,,→
→
→
→
==b DA a AE 则与→
a 相等的向量是 ；与→
b 相等的向量
是 ；与→
a 平行的向量有 ；与→
b 共线的向量有 。
9．在直角坐标系中，画出下列向量：
（1）|→
a |=2，→
a 的方向与x 轴正方向的夹角为60º，与y 轴正方向的夹角为30º； （2）|→
a |=4，→
a 的方向与x 轴正方向的夹角为30º，与y 轴正方向的夹角为120º； （3）|→
a |=24，→
a 的方向与x 轴正方向的夹角为135º，与y 轴正方向的夹角也为135º。
10．若向量→
AB 与→
CD 不相等，则这两个向量有可能是平行向量吗？若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情况一一列出。