容斥原理PPT讲义
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五年级下册数学奥数课件11较复杂的容斥原理人教版(21张PPT)
动手做一做吧！
A：10×10=100﹙cm2﹚ B：8×8=64﹙cm2﹚ C：4×4=16﹙cm2﹚ AB：5×5=25﹙cm2﹚ AC：4×2=8﹙cm2﹚ BC：4×2=8﹙cm2﹚ ABC：2×2=4﹙cm2﹚
100+64+16-25-8-8+4＝143﹙cm2﹚
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
小结
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
即学即练
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有
24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，
投掷 游泳、投掷
17 18 15
6
6
5
2
求这个班的学生共有多少人？
短游 投 跑泳 掷
17 18 15
短跑 游泳
6
短跑 投掷
6
游泳 投掷
5
短跑、 游泳、投掷
2
A或B或C＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
？ 17 18 15 6 6 5 2
达到了优秀的学生： 17+18+15-6-6-5+2=35(人)
全班的学生：35+4=39 (人)
答：这个班的学生共有39人。
即学即练
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有 62人会骑自行车，75人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？
62+75-（100-15）=52（人）
答：既会自行车又会游泳的有52人。
例5：如图，边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正 方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？
A：10×10=100﹙cm2﹚ B：8×8=64﹙cm2﹚ C：4×4=16﹙cm2﹚ AB：5×5=25﹙cm2﹚ AC：4×2=8﹙cm2﹚ BC：4×2=8﹙cm2﹚ ABC：2×2=4﹙cm2﹚
100+64+16-25-8-8+4＝143﹙cm2﹚
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
小结
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
即学即练
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有
24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，
投掷 游泳、投掷
17 18 15
6
6
5
2
求这个班的学生共有多少人？
短游 投 跑泳 掷
17 18 15
短跑 游泳
6
短跑 投掷
6
游泳 投掷
5
短跑、 游泳、投掷
2
A或B或C＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
？ 17 18 15 6 6 5 2
达到了优秀的学生： 17+18+15-6-6-5+2=35(人)
全班的学生：35+4=39 (人)
答：这个班的学生共有39人。
即学即练
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有 62人会骑自行车，75人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？
62+75-（100-15）=52（人）
答：既会自行车又会游泳的有52人。
例5：如图，边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正 方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？
组合数学课件(第五章 容斥原理)
A B
500 15
33.
根据容斥原理，从1到500的整数中不能被3和5整除的数的个数为
| A B || S | | A | | B | | A B | 267
§5.1 包含排§斥原5.理1 例包2含排斥原理 5.1.3 包含排斥原理
习题训练
练2、求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不 允许出现ace和df图像的排列数。
1000 [5,6,8]
8;
根据容斥原理，不能被5,6,8中任何一个数整除的数目为
A B C 1000 (200 166 125) (33 41 25) 8 600.
§5.1 包含排§斥原5.理1 例包9含排斥原理
5.1.3 包含排斥原理
5.1.3 包含排斥原理 例6、证明以下等式：§5.1 包含排斥原理例8
例
题 nr
m m
m 0
n r
m
1
n
1
r
(1)m
m m
n
r
m
.
其中n,r,m为正整数，m≤r ≤ n.
组合数学课件
制作讲授：王继顺
第5章 包含排斥原理
本章重点介绍包含排斥原理及其在排列组合 中的应用：
• §5.1包含排斥原理 • §5.2 多重集的r-组合数 • §5.3错位排列 • §5.4 有限制条件的排列问题 • §5.5有禁区的排列问题
第5章 包含排斥原理
教学目标：
四年级下第19讲《容斥原理》教学课件
下节课见！
精勤求学，敦笃励志！
数学知识点
mathematics
知识精讲
这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题，研究这种问题通常需要画出
示意图(如喝茶与喝咖啡的图)，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理
公式.
如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B就会算多了，而多算的正好是部分③，只要把多
作业1：一个班有50个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书， 借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，请问：语文、数学两种课外书都借的有 多少人？
巩固提升
mathematics
作业2：六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的 4人，请问两样都不会的有多少人?
“包含”着瓜子壳；如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳， 用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.
瓜子壳
瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳， 两者各不相关，但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，
瓜子仁
各部分之间会有重叠；比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶 或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡， 喝茶的
求各个部分的数量呢？一定要记得将求出来的数及时填入图中适当的位置.
数学知识点
mathematics
知识精讲
例题3实际上就是三个对象的包含与排除问题，三个对象的容斥原理如下：
A、B、C总数=A+B+C-A、B重叠-B、C重叠-C、A重叠+A、B、C重叠
怎么理解这个公式呢？我们还是利用文氏图来说明.
第9章 容斥原理
第9章 容斥原理
❖ 9.1 容斥原理 ❖ 9.2 对称筛公式及其应用
1
9.1 容斥原理
❖ 9.1.1 容斥原理的基本形式
容斥原理 容斥原理的推论
❖ 9.1.2 容斥原理的应用
计数多重集的r-组合数 计数限制条件的元素数 计算欧拉函数的值 证明组合恒等式
2
容斥原理的基本形式
Ai
定理9.1 设S为有穷集，P1,P2, …, Pm是m种性质，Ai是S中
定理9.2 C 是 nn 的具有给定禁区的棋盘，禁区对应于 {1,2, …, n}的元素在排列中不允许出现的位置，则这种有 禁区的排列数为
n! r1(n 1)! r2 (n 2)! ... (1)n rn
中ri 是 i 个棋子布置到禁区的方案数 使用条件： 棋盘为 nn, 小禁区
20
定理证明
S = { x | xZ, 1x120 }, |S| = 120 被2, 3, 5, 7 整除的集合分别为 A1, A2, A3, A4：
|A1| = 60，|A2| = 40，|A3| = 24，|A4| = 17 |A1A2|= 20, |A1A3|=12, |A1A4|=8, |A2A3|=8, |A2A4|=5, |A3A4|=3 |A1A2A3|=4, |A1A2A4|=2, |A1A3A4|=1, |A2A3A4|=1，|A1A2A3A4|=0
1
n 1
n 2
...
(1)m
n m
n k0
1k
n k
0
4
推论
推论 S 中至少具有其中一条性质的元素数为
m
| A1 A2 ... Am | | Ai | | Ai Aj |
i 1
1i jm
❖ 9.1 容斥原理 ❖ 9.2 对称筛公式及其应用
1
9.1 容斥原理
❖ 9.1.1 容斥原理的基本形式
容斥原理 容斥原理的推论
❖ 9.1.2 容斥原理的应用
计数多重集的r-组合数 计数限制条件的元素数 计算欧拉函数的值 证明组合恒等式
2
容斥原理的基本形式
Ai
定理9.1 设S为有穷集，P1,P2, …, Pm是m种性质，Ai是S中
定理9.2 C 是 nn 的具有给定禁区的棋盘，禁区对应于 {1,2, …, n}的元素在排列中不允许出现的位置，则这种有 禁区的排列数为
n! r1(n 1)! r2 (n 2)! ... (1)n rn
中ri 是 i 个棋子布置到禁区的方案数 使用条件： 棋盘为 nn, 小禁区
20
定理证明
S = { x | xZ, 1x120 }, |S| = 120 被2, 3, 5, 7 整除的集合分别为 A1, A2, A3, A4：
|A1| = 60，|A2| = 40，|A3| = 24，|A4| = 17 |A1A2|= 20, |A1A3|=12, |A1A4|=8, |A2A3|=8, |A2A4|=5, |A3A4|=3 |A1A2A3|=4, |A1A2A4|=2, |A1A3A4|=1, |A2A3A4|=1，|A1A2A3A4|=0
1
n 1
n 2
...
(1)m
n m
n k0
1k
n k
0
4
推论
推论 S 中至少具有其中一条性质的元素数为
m
| A1 A2 ... Am | | Ai | | Ai Aj |
i 1
1i jm
组合数学幻灯片31容斥原理
p1，又不具有性 pm 的元素子集
合。
于是我们有下的容斥原理。
S
p1, p2, pm 的元素个数为
m
A1 I A2 I I Am S Ai Ai I Aj
Ai I Aj I Ak
i1
i j
i jjk
(1)m A1 I A2 I I Am (3.5)
式中，第一个和式取遍集合｛i｜i=1,2,…m}，
A1 I A2 I A3
于是，由式（3.5）有
| A1 A2 A3 | | S | (| A1 | | A2 | | A3 |) (| A1 A2 | | A1 A3 | | A2 A3 |) | A1 A2 A3 | 60 (24 28 26) (10 8 14) 6 8
中，故它在S中被计算的次数为
n 0
1
又由于y恰好具有n个性质，所以它是
集合A1,A2,…,Am中的n个集合的元素，
因而它在
Ai
中被计算的次数是
n 1
n
。
又因为在n个性质中取出一对性质的
I 方法有
n 2
个，故y是
n 2
个集合
Ai
Aj 中的
的次数是
n
2
；
Ai I Aj中被计算
所有放法的集合。
∴|Ai∩Aj｜=(m-2)n(i≠j;i,j=1,2,…,m)
一般地，对于m个箱子取k个箱子为空的组合
｛i1i2…ik｝有
｜Ai1∩Ai2∩…∩Aik｜=(m-k)n,(k=1,2,…,m)。
k=1,2,…,m，在m个带编号的箱子中
取k个箱子一共有
m k
种方式。
由乘法规则和容斥原理即可得：
下面，我们考虑集合S中具有两个子
四年级 容斥原理 大班精品课课件
容斥原理1.理解什么是容斥原理，能画图分析其中的关系.2.利⽤容斥原理解决实际问题容斥原理原理：包含与排除，也称容斥原理即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，从他们的和中排除重复部分例题⼀学校开办运动会，报名参加⻓跑的有10个⼈，报名参加跳远的有7⼈，两样都报名的有3个⼈，最后统计可得，参加运动会的由14⼈，⼩朋友，这个统计数字对吗？练习⼀有两对⽗⼦上⼭打猎，每⼈各打⼀只野兔，可是放到⼀起数⼀数，⼀只、两只、三只。
再数⼀遍，还是3只，怎么回事呢？例题11453836单选题三（）班有学⽣⼈，喜欢喜⽺⽺的有⼈，喜欢美⽺⽺的有⼈，既喜欢喜⽺⽺⼜喜欢美⽺⽺的有（ ）⼈。
A12B29C33例题⼆李⽼师出了两道题，全班40⼈中，第⼀题有30⼈对，第⼆题有12⼈没有做对，两道题都做对的⼈有20⼈。
（1）⾄少答对⼀题的有多少⼈？（2）两题都不对的有多少⼈练习⼆某班56⼈在⼀次测试中，答对⼀题的有50⼈，答对第⼆题的有43⼈，两题都答对的有40⼈，⾄少答对⼀题的有多少⼈，两题都没答对的有多少⼈？点 拨1.利⽤⻙恩图解题公式总结：A、B、C总数=A+B+C-ABC重叠部分例题三在⼀群⼩朋友中，有27个⼈看过《千与千寻》，有15个⼈看过《天空之城》，并且有10个⼈两部影⽚都看过。
已知每个⼩朋友⾄少都看过其中⼀部，那么这群⼩朋友⼀共有多少⼈？练习三某班学⽣⼿中分别拿红⻩两种颜⾊的⼩旗，已知⼿中有红旗的共有34⼈，⼿中有⻩旗的共有26⼈，⼿中有红⻩两种⼩旗的有9⼈，那么这个班共有（ ）⼈。
（每个学⽣⼿上都拿着⼩旗）例题2单选题学校开设两个兴趣⼩组，三⼈参加书画⼩组，⼈参加棋艺⼩组，两个⼩组都参加的有⼈，那么三⼀共有( )⼈参加了书画和棋艺⼩组。
(1)27243(1)A 51B 54C 48D30例题四海军突击队共有⼠兵30⼈，每个⼈都擅⻓射击和空⼿格⽃中的⼀项或两项，如果⼠兵中擅⻓射击的有12⼈，擅⻓空⼿格⽃的有23⼈，那么，这两项均擅⻓的⼠兵有多少⼈？练习五科技节那天，学校的科技室⾥展出了每个年级学⽣的科技作品，其中有110件不是⼀年级的，有100件不是⼆年级的，⼀、⼆年级参展的作品共有32件。
11较复杂的容斥原理人教版
五 11年 较级 复下 杂册 的数 容学 斥奥 原数 理课 人件 教-版-.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21张PPT)PPT优秀课件ppt完美 课件PPT 免费课 件PPT 课件免 费下载P PT精品 课件数 容学 斥奥 原数 理课 人件 教-版-.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21张PPT)PPT优秀课件ppt完美 课件PPT 免费课 件PPT 课件免 费下载P PT精品 课件
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人， 这个文艺组一共多少人？
24+17-8=33（人）
答：这个文艺组一共有33人。
五 11年 较级 复下 杂册 的数 容学 斥奥 原数 理课 人件 教-版-.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21张PPT)PPT优秀课件ppt完美 课件PPT 免费课 件PPT 课件免 费下载P PT精品 课件
答：至少有一门得满分的同学有23人。
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例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已 知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参 加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同 时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的 有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少 学生参加了学习小组？
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人， 这个文艺组一共多少人？
24+17-8=33（人）
答：这个文艺组一共有33人。
五 11年 较级 复下 杂册 的数 容学 斥奥 原数 理课 人件 教-版-.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21张PPT)PPT优秀课件ppt完美 课件PPT 免费课 件PPT 课件免 费下载P PT精品 课件
答：至少有一门得满分的同学有23人。
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五 11年 较级 复下 杂册 的数 容学 斥奥 原数 理课 人件 教-版-.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21张PPT)PPT优秀课件ppt完美 课件PPT 免费课 件PPT 课件免 费下载P PT精品 课件
例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已 知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参 加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同 时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的 有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少 学生参加了学习小组？
软件组合数学第四章容斥原理(二)PPT课件
W (0) | S |
m
W (1) | A | i i 1
W (2) | A A |
i
j
1 i j m
W (m) | A A A |
1
2
m
则定理4.1.1的公式可写成：
|A 1 A 2 A m|W (0)W (1 )W (2) W (3) ( 1 )m W (m )
定理4.1.2（Jordan公式） 集合 S中恰具有 r(0≤r ≤m)种性质的事物的个数
361 8 8
|A|
28
1 6 6 2
同理可得： 351 7 7
|A|
21
2 5 5 2
341 6 6
|A|
15
3 4 4 2
用类似的方法可以计算
| A A | 3 11 3, 1 2 1
| A A | 3 0 1 3,
1
3
0
| A A | 0,| A A A | 0.
这个问题就是一个典型的错位排列问题。
一、定义
设τ={1,2,…,n}, τ的一个错位排列就是排列
i1i2…in, 且ij≠j, j=1,2, …,n.
用Dn表示τ的错位排列数。
二、计算公式
当n=1时，不存在错位排列， D1=0; 当n=2时，错位排列只有21， D2=1;
当n=3时，错位排列有231, 312， D3=2; 当n=4时，错位排列有
S中不具有性质P1, P2,…,Pm的元素数是
A1 A2 Am
m
SAi Ai Aj Ai Aj Ak
i1
1ijm
1ijkm
A A A (1)m
12
m
这样定理4.1.1就变成下面的形式：
离散第5讲-容斥原理与排列组合PPT课件
-
-20-
❖容斥原理
容斥原理(定理3.4)
用S1, S2 , …, Sn分别表示集合S中具有性质P1, P2 , …, Pn元素 集合，则S中同时不具有这些性质的元素个数为
| S1¯ ∩ S2¯ ∩ … ∩ Sn¯|
n
|S | |S i||S i S j||S i S j S l| . . 1 . n |S 1 S 2 . .S n . |
若有限集合S=S1∪S2∪ … ∪Sn，且S1, S2 , …, Sn两两不相 交，那么|S| = |S1| + |S2| + … + |Sn|
乘法原理
分步计数：完成一个任务需要分成ｎ个步骤，做第1步有 a1 种不同的方式，…，做第ｎ步有an 种不同的方式，那么 完 成整个任务共有a1×a2× … ×an种方式
-
-25-
❖线排列的计数
+ |A∩B∩C| = 400（个）
-
-19-
❖应用
学校1807个新生中有453人选了计算机科学课，567人选了数学 课，299人同时选了计算机科学课和数学课。问有多少学生既没 选计算机科学课又没选数学课？
用S表示全体新生，用A、B分别表示选了计算机科学课和数 学课的新生集合。
A S， B S 。可把S看作全集。 A¯为没选计算机科学课的新生集合， B¯为没选数学课的新 生集合，目标是求| A¯ ∩ B¯ | ∵ A¯ ∩ B¯ = S－(A∪B) ∴ | A¯ ∩ B¯ | = | S－(A∪B)| =|S| －|A∪B| = |S| －(|A| +|B| －|A∩B|) = 1807 – (453 + 567 – 299) = 1086 因此，共有1086人既没选计算机科学课又没选数学课
06容斥原理讲课版
第3章容斥原理The Inclusion-Exclusion Principle回顾前一章——鸽笼原理：本章重点介绍容斥原理及其在排列组合中的应用：•容斥原理•再论可重复r −组合•错排问题•有限制排列与棋盘多项式•反演基本形式推广定理Ramsey 定理||q S =,i i S A S P 设集合是上具有性质的元素集,令1121||||||||ni n i q A A A A ===+++∑L 21213112321||(||||||)(||||)||i j n i j nn n n q A A A A A A A A A A A A A A ≤<≤−==++++++++∑L L Lq= 3法三门例S a a a A A A S=L 解令用分别表示中的学生选修日、德、法各种外语的学生集合.则 0||30,q S ==1123||||||15141443,q A A A =++=++=2q =++=++=3123||3,q A A A ==012330431933N q q q q −+−=−+−=[0]=1112233[1]432193314N q C q C q =−+=−×+×=2233[2]193310N q C q =−=−×=3[3]3N q ==3,14,10,3故不选修外语的学生有人分别选修一、二、三门外语的学生各有人人人.§3.2 重集的r−组合在§1.3中介绍了重集B={k1*b1, k2*b2, … , k n*b n}在重数k i= ∞ (i=1,2,…,n)与在重数k i≥r(i=1,2,…,n)时的r−组合数是相同的，下面以实例说明当重集B的元素具有任意给定的重数时，利用容斥原理求B的r−组合数。
§1.3 组合定理1.7课本p43定理2.5.11.3.2 重复组合r 个无区别的球放入n 证明：这是一个允许重复组合的典型问题。
最新第六章 容斥原理及应用6.4 带有禁止位置的排列【共享精品-】教学讲义PPT课件
10
例： 令 X1={1, 4}, X2 ={3}, X3= , X4={1, 5},
X5={2, 5}则P(X1, X2 , X3 , X4 , X5 )中的排列 一一对应具有下图所示禁止位置。
也可以这样讲：
i1 1 , 4； i2 3 ； i4 1 , 5； i5 2 , 5；
1 2 34 5
通过例题我们看出，运用定理6.4.1仅仅计算 ri , 比直接将n个非攻击型车放到禁放位置的n行 n列棋盘上的方法数更容易，但ri的求法与禁止 位置数量有关，禁止位置数太多时求ri就困难。
22
例：讨论对于排列P=P1 P2 P3 P4，规定P1≠３， P２≠１、４， P３≠2、４， P4≠2。
解：这样的排列对应于有禁区的放车。如下图
１不干B; ２不干B、C; ３不干C、D; ４不干D。 问有多少种可行方案？
解 A B C D 由题意，可得如左棋盘：
1 其中有影线的格子表示 2 禁区。 r1 =6， 3 r2=1+1+3×2+1×2=10
4
25
r3=(1×2)+(2×1)=4 ； r4= 0 故方案数为：
n!－r1(n－1)!+r2(n－2)!－…..+(-1)nrn =4!－6(4－1)!+10(4－2)!－4(4－3)! +0(4－4)!=4
故：P(X1,X2,X3,X4)={3412，4123}= 2
3
同时出现yyy ， zz的排列的集合为A2∩A3 ，
A2 A3
6! 30 4!1!1!
同时出现xxxx, yyy, zz的排列的集合为:
A 1A 2A 3 1 !1 3 ! ! 1 !6
利用容斥原理：
例： 令 X1={1, 4}, X2 ={3}, X3= , X4={1, 5},
X5={2, 5}则P(X1, X2 , X3 , X4 , X5 )中的排列 一一对应具有下图所示禁止位置。
也可以这样讲：
i1 1 , 4； i2 3 ； i4 1 , 5； i5 2 , 5；
1 2 34 5
通过例题我们看出，运用定理6.4.1仅仅计算 ri , 比直接将n个非攻击型车放到禁放位置的n行 n列棋盘上的方法数更容易，但ri的求法与禁止 位置数量有关，禁止位置数太多时求ri就困难。
22
例：讨论对于排列P=P1 P2 P3 P4，规定P1≠３， P２≠１、４， P３≠2、４， P4≠2。
解：这样的排列对应于有禁区的放车。如下图
１不干B; ２不干B、C; ３不干C、D; ４不干D。 问有多少种可行方案？
解 A B C D 由题意，可得如左棋盘：
1 其中有影线的格子表示 2 禁区。 r1 =6， 3 r2=1+1+3×2+1×2=10
4
25
r3=(1×2)+(2×1)=4 ； r4= 0 故方案数为：
n!－r1(n－1)!+r2(n－2)!－…..+(-1)nrn =4!－6(4－1)!+10(4－2)!－4(4－3)! +0(4－4)!=4
故：P(X1,X2,X3,X4)={3412，4123}= 2
3
同时出现yyy ， zz的排列的集合为A2∩A3 ，
A2 A3
6! 30 4!1!1!
同时出现xxxx, yyy, zz的排列的集合为:
A 1A 2A 3 1 !1 3 ! ! 1 !6
利用容斥原理：
五年级奥数容斥原理整理版.ppt
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分， 在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
3，老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25 人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科 在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少 人？
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少参加。其中 参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动， 参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86 人，这两个小组都参加的有25人。问这250 名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有 多少人？
分析与解答
两个小组都参加的有25人，因此，至少参 加这两种小组的一个小组的人数是：
容斥原理
主讲：刘文峰
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
3，老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25 人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科 在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少 人？
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少参加。其中 参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动， 参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86 人，这两个小组都参加的有25人。问这250 名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有 多少人？
分析与解答
两个小组都参加的有25人，因此，至少参 加这两种小组的一个小组的人数是：
容斥原理
主讲：刘文峰
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，
数学五年级竞赛讲座第6讲容斥原理课件
A∩B∩C={1到200中间能被2×3×5整除的自然数}；
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。