圆周运动专题二圆周运动中的连接体问题和临界问题(教案)

圆周运动专题二圆周运动中的连接体问题、临界问题知识点一】圆周运动中的连接体问题

【例1】在一个水平转台上放有质量相等的A、B 两个物体，用一轻杆相连，AB连线沿半径方向． A 与平台间有摩擦，B与平台间的摩擦可忽略不计，A、 B 到平台转轴的距离分别为L 、2L.某时刻一起随平台以ω的角速度绕OO′轴做匀速圆周运动． A 与平台间的摩擦力大小为

F fA，杆的弹力大小为 F.现把转动角速度提高至2ω.A、B 仍各自在原位置随平台一起绕OO′轴匀速圆周运动，则下面说法正确的是( ) A．F fA、F 均增加为原来的4倍

B．F fA、F 均增加为原来的2倍

C．F fA大于原来的4倍，F 等于原来的2倍

D．F fA、F 增加后，均小于原来的4倍

【解析】根据牛顿第二定律，对A：F fA－F＝mω2r A ①，对B：F ＝mω 2r B ②.当ω增大到2ω时，由②式知，F 增加到原来的 4 倍；由①式知：F fA＝F ＋mω2r A，F fA增加为原来的 4 倍．故选 A.

【答案】 A

【例2】如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )

A．1:1 B．1: 2

C．2:1 D．1:2

解析：两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它

们之间的拉力互为向心力，角速度相同．设两球所需的向心力大小为

F n，角速度为ω，则

对球m1：F n＝m1ω2r1，

对球m2：F n＝m2ω2r2，由上述两式得r1 r2＝1:2. 答案：D 例3】如图所示，轻杆长为3L，在杆的 A 、B 两端分别固

定质量均为 m 的球 A 和球 B ，杆上距球 A 为 L 处的点 O 装在光滑的水平转动轴 上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动．在转动的过程中，忽 略空气的阻力．当球 B 运动到最高点时，球 B 对杆恰好无作用力．下列说法正 确的是 ( )

A. 球B 在最高点时速度为零

B. 球 B 在最高点时，球 A 的速度也为零

C. 球 B 在最高点时，杆对水平轴的作用力为 1.5mg 15

6gL

C ［解析］ 球B 在最高点时速

度为 v0，有 mg ＝

m

2v L 20， 得 v0＝ 2gL ， A 项错 误；此时球 A 的速度为 v 2

0 v0 v 20

2

所以 FA>FB ，即 AC 线先断． 【知识点二 】临界问题

1. 与绳的弹力有关的临界问题

质量为 m 的物体被长为 l 的轻绳拴着 (如图所示 )，

D.球 B 转到最低点时，其速度为 vB ＝

1

2

2gL ，B 错误；设杆对球 A 的作用力为 FA ，则 FA

－mg ＝ m L ，得 FA ＝1.5mg ，C 项正确；设球 B 在最低点时的速度为 vB ，据

1 1 v0 1 1 机械能守恒定律有 2mgL －

mgL ＋2mv20＋2m 2 2＝－ 2mgL ＋mgL ＋2mv2B ＋2 vB m 2 2，解得 vB ＝

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gL ，D 项错误． 【例 4】 如图所示， OO ′为竖直轴， MN 个质量相同的金属球 A 、 B 套在水平杆上， 线，C 端固定在转轴 OO ′上．当线拉直时， 若转轴的角速度逐渐增大，则 (

A ．AC 先断

B ． B

C 先断 C ．两线同时断

D ．不能确定哪根线先断 ［解析］ A 对A 球进行受力分析，

三个力作用，拉力的水平分力提供 水平方向 FAcosα＝mrAω2，同理， 为固定在 OO ′上的水平光滑杆，有两 AC 和 BC 为抗拉能力相同的两根细 A 、B 两球转动半径之比恒为 2∶1， rA 何关系，可知

rB A 球受重力、支持力和拉力 FA A 球做圆周运动的向心力，得： 对 B 球：

FBcosβ＝mrBω 2.由几 rArB

FA ＝rAcos β＝ BC ＝ AC

AC ，

cos β＝BC ，所以：

FB ＝

rBcos α＝

rBrA ＝

BC AC

.由于 AC>BC ，

且绕绳的另一端O做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值F m时，物体的

速度最大，即

2

v m Fm＝m l，

解得v m＝F m l。这就是物体在半径为l 的圆周上运动的临界速度。

2.因静摩擦力存在最值而产生的临界问题在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化，当 F 静达到最大值时，对应有临界角速度和临界线速度。解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变”这一特点。

质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动（如图甲、乙所示）时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值F fm 时，物体运动的速度也达

2

v m

到最大，即F fm＝m r，解

得v m＝

这就是物体以半径r 做圆周运动的临界速度。

3.受弹簧或橡皮条约束的匀速圆周运动的临界问题用弹簧连接的物体做圆周运动，当运动状况发生改变时，往往伴随着半径的改变，从而导致

弹簧弹力发生变化。处理该类问题时关键是分析弹力的大小和方向的改变。特别是有摩擦力参与的问题更需要和静摩擦力的特点相配合，理智分析，明确半径是否改变、什么情况下改变、是伸长还是缩短等。

【例1】如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m＝ 1 kg 的小球A，另一端连接质量为M＝4 kg 的物体 B. 求：

(1) 当 A 球沿半径为R＝0.1 m 的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω＝10