导数公式证明大全

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8个基本初等函数的导数公式

8个基本初等函数的导数公式一、常数函数的导数公式：对于常数函数f(x)=c，其中c为任意常数，则有f'(x)=0。

这是因为常数函数的图像是一条水平线，斜率为0，所以它的导数恒为0。

二、幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为一个实数常量，则有f'(x)=nx^(n-1)。

这是因为幂函数的图像是一条由原点出发，通过点(x,x^n)的曲线，斜率与该点的切线斜率相等，而切线的斜率正好等于x^n的导数。

三、指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=a^x*ln(a)。

这是因为指数函数的导数与函数自身成正比例关系，比例常数为该指数的底数乘以自然对数。

四、对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=1/(x*ln(a))。

这是因为对数函数的导数与函数自身成反比例关系，比例常数为导数函数的定义域上的所有值的倒数。

五、三角函数的导数公式：(1) 对于正弦函数f(x)=sin(x)，则有f'(x)=cos(x)。

(2) 对于余弦函数f(x)=cos(x)，则有f'(x)=-sin(x)。

(3) 对于正切函数f(x)=tan(x)，则有f'(x)=sec^2(x)。

(4) 对于余切函数f(x)=cot(x)，则有f'(x)=-csc^2(x)。

(5) 对于割函数f(x)=sec(x)，则有f'(x)=sec(x)*tan(x)。

(6) 对于余割函数f(x)=csc(x)，则有f'(x)=-csc(x)*cot(x)。

这是因为三角函数的导数与函数自身有一定的关系，可以通过极限的方法证明出来。

六、双曲函数的导数公式：(1) 对于双曲正弦函数f(x)=sinh(x)，则有f'(x)=cosh(x)。

导数公式大全

导数公式大全1.如果一个函数y是一个常数c，那么它的导数y'就是0.2.如果一个函数y是x的n次方，那么它的导数y'就是nx 的XXX。

3.如果一个函数y是正切函数tanx，那么它的导数y'就是1除以余弦函数cosx的平方。

4.如果一个函数y是余切函数cotx，那么它的导数y'就是-1除以正弦函数sinx的平方。

5.如果一个函数y是正弦函数sinx，那么它的导数y'就是余弦函数cosx。

6.如果一个函数y是余弦函数cosx，那么它的导数y'就是负的正弦函数-sinx。

7.如果一个函数y是以a为底的指数函数a^x，那么它的导数y'就是a的x次方乘以自然对数的底数lna。

8.如果一个函数y是以自然对数的底数e为底的指数函数e^x，那么它的导数y'就是e的x次方。

9.如果一个函数y是以a为底的对数函数logax，那么它的导数y'就是自然对数的底数lna除以x。

10.如果一个函数y是自然对数函数lnx，那么它的导数y'就是1除以x。

此外，导数是微积分中的重要基础概念。

当函数y=f(x)的自变量x在某一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。

10.推导arccos x的导数公式为y'=-1/√1-x^2.这个公式可以通过求导的方式得到，也可以通过反三角函数的定义来推导。

因为arccos x是cos y=x的反函数，所以有cos(arccos x)=x，即y=arccos x时，cos y=x。

对两边求导可得-y'sin y=x'，即y'=-sin y/x。

因为cos y=x，所以sin y=√1-x^2，代入可得y'=-1/√1-x^2.11.推导arctan x的导数公式为y'=1/1+x^2.同样地，可以通过求导或者反三角函数的定义来推导。

常用导数基本公式推导

常用导数基本公式推导一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的概念，通常用于求函数在某一点的斜率。

导数的定义如下：如果函数y = f(x)在点x处可导，那么函数在该点的导数f′(f)定义为：$$ f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x + \\Delta x) -f(x)}{\\Delta x} $$二、常用导数基本公式推导1. 导数的线性性质假设函数f(f)和f(f)在点x处可导，常数f，f是任意常数，则有：$$ (af(x) + bg(x))' = a \\cdot f'(x) + b \\cdot g'(x) $$2. 常数函数导数常数函数f的导数为0，即f′=0.3. 幂函数导数幂函数f(f)=f f的导数为：(f f)′=ff f−14. 指数函数导数指数函数f(f)=f f的导数为：$$ (a^x)' = a^x \\cdot \\ln(a) $$5. 对数函数导数对数函数$f(x) = \\log_a(x)$的导数为：$$ (\\log_a(x))' = \\frac{1}{x \\cdot \\ln(a)} $$6. 三角函数导数三角函数的导数如下所示：•正弦函数：$(\\sin(x))' = \\cos(x)$•余弦函数：$(\\cos(x))' = -\\sin(x)$•正切函数：$(\\tan(x))' = \\sec^2(x)$7. 复合函数导数（链式法则）若函数f=f(f(f))可导，且f(f)和f(f)分别可导，则有：$$ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx} $$结语通过本文的推导，我们学习了常用导数的基本公式，并了解了导数的线性性质、常数函数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数和复合函数导数等概念。

常用导数公式大全

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常用导数公式大全
导数，也叫导函数值。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。接下来分享常用导数公式，供参考。
三角函数的导数公式
正弦函数：(sinx)'=cosx
余弦函数：(cosx)=sec²x
反余切函数：(arccotx)'=-1/(1+x^2)
其他函数导数公式
常函数：y=c(c为常数) y'=0
幂函数：y=xn y'=nx^(n-1)
指数函数：①y=ax y'=axlna ②y=ex y'=ex
对数函数：①y=logax y'=1/xlna ②y=lnx y'=1/x
余切函数：(cotx)'=-csc²x
正割函数：(secx)'=tanx·secx
余割函数：(cscx)'=-cotx·cscx
反三角函数的导数公式
反正弦函数：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
反余弦函数：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)
反正切函数：(arctanx)'=1/(1+x^2)

24个基本求导公式

24个基本求导公式求导公式：1、f(x)=a的导数，f'(x)=0，a为常数。

即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。

就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。

可以根据幂函数的求导公式求得。

2、f(x)=x^n的导数，f'(x)=nx^(n-1)，n为正整数。

求导公式1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]。

即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。

其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。

包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

2、f(x)=a的导数，f'(x)=0，a为常数。

即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。

就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。

可以根据幂函数的求导公式求得。

3、f(x)=x^n的导数，f'(x)=nx^(n-1)，n为正整数。

即系数为1的单项式的导数，以指数为系数，指数减1为指数。

这是幂函数的指数为正整数的求导公式。

4、f(x)=x^a的导数，f'(x)=ax^(a-1)，a为实数。

即幂函数的导数，以指数为系数，指数减1为指数。

5、f(x)=a^x的导数，f'(x)=a^xlna，a>0且a不等于1。

即指数函数的导数等于原函数与底数的自然对数的积。

6、f(x)=e^x的导数，f'(x)=e^x。

即以e为底数的指数函数的导数等于原函数。

7、f(x)=log_ax的导数，f'(x)=1/(xlna)，a>0且a不等于1。

即对数函数的导数等于1/x与底数的自然对数的倒数的积。

8、f(x)=lnx的导数，f'(x)=1/x，即自然对数函数的导数等于1/x。

9、(sinx)'=cosx，即正弦的导数是余弦。

10、(cosx)'=-sinx，即余弦的导数是正弦的相反数。

11、(tanx)'=(secx)^2，即正切的导数是正割的平方。

高等数学导数公式大全

高等数学导数公式大全在高等数学中，导数是一个非常重要的概念，它反映了函数在某一点处的变化率。

导数公式则是求解导数的基本工具，熟练掌握这些公式对于学习和应用高等数学具有至关重要的意义。

下面，我们将详细介绍常见的导数公式。

一、基本函数的导数公式1、常数函数的导数若＼（f(x) ＝ C\）（＼（C\）为常数），则＼（f'（x) ＝ 0\）。

这意味着常数函数的图像是一条水平直线，其斜率始终为零，即变化率为零。

2、幂函数的导数对于＼（f(x) ＝ x^n\）（＼（n\）为实数），其导数为＼（f'（x) ＝ nx^｛n 1}＼）。

例如，＼（f(x) ＝ x^2\）的导数为＼（f'（x) ＝ 2x\）；＼（f(x) ＝x^3\）的导数为＼（f'（x) ＝ 3x^2\）。

3、指数函数的导数若＼（f(x) ＝ e^x\），则＼（f'（x) ＝ e^x\）。

＼（e\）是一个常数，约等于＼（271828\），＼（e^x\）的导数等于其本身，这是指数函数的一个重要特性。

若＼（f(x) ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ＼neq 1\）），则＼（f'（x) ＝ a^x ＼ln a\）。

4、对数函数的导数若＼（f(x) ＝＼ln x\），则＼（f'（x) ＝＼frac{1}｛x}＼）。

若＼（f(x) ＝＼log_a x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ＼neq 1\）），则＼（f'（x) ＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＼）。

二、三角函数的导数公式1、＼（f(x) ＝＼sin x\），则＼（f'（x) ＝＼cos x\）。

2、＼（f(x) ＝＼cos x\），则＼（f'（x) ＝＼sin x\）。

3、＼（f(x) ＝＼tan x\），则＼（f'（x) ＝＼sec^2 x\）。

4、＼（f(x) ＝＼cot x\），则＼（f'（x) ＝＼csc^2 x\）。

导数公式大全

导数公式大全1、原函数：y=c(c为常数)导数：y'=02、原函数：y=x^n导数：y'=nx^(n-1)3、原函数：y=tanx导数：y'=1/cos^2x4、原函数：y=cotx导数：y'=-1/sin^2x5、原函数：y=sinx导数：y'=cosx6、原函数：y=cosx导数：y'=-sinx7、原函数：y=a^x导数：y'=a^xlna8、原函数：y=e^x导数：y'=e^x9、原函数：y=logax导数：y'=logae/x10、原函数：y=lnx导数：y'=1/xy=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方)f(x)=sinx f'(x)=cosxf(x)=cosx f'(x)=-sinxf(x)=tanx f'(x)=sec^2xf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 xf(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2)f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2)f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1+x^2)导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。

当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。

导数公式的证明最全

导数公式的证明(最全版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx =lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna) =lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1) （15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。

导数公式大全

导数公式大全导数是微积分中一个重要的概念，用于描述函数的变化率。

在实际应用中，导数广泛用于求解最优化问题、曲线拟合、物理问题以及其他各种工程和科学领域。

下面是一些常用的导数公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。

1.基本函数的导数公式（1）常数函数：f(x)=C，其中C为常数，导数为0。

（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数，导数为f'(x) =nx^(n-1)。

（3）指数函数：f(x)=e^x，导数为f'(x)=e^x。

（4）对数函数：f(x) = ln(x)，导数为f'(x) = 1/x，其中x大于0。

（5）三角函数：正弦函数：f(x) = sin(x)，导数为f'(x) = cos(x)。

余弦函数：f(x) = cos(x)，导数为f'(x) = -sin(x)。

正切函数：f(x) = tan(x)，导数为f'(x) = sec^2(x)。

（6）反三角函数：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反余弦函数：f(x) = arccos(x)，导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反正切函数：f(x) = arctan(x)，导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。

2.基本运算法则（1）和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

（2）常数倍法则：若f(x)是可导函数，则有(k·f(x))'=k·f'(x)，其中k为常数。

（3）乘积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)。

导数公式证明大全

导数的定义:：(x)=lim △ y/A x△ x—0 (下面就不再标明A x—0 了)用定义求导数公式1)f(x)=x A n证法一：n为自然数)f'(x)=lim [(x+A x)An-xAn]/A x=lim (x+ A x-x)[(x+ A x)A(n-1 )+x*(x+ A x)A(n -2)+...+xA(n-2)*(x+ A x)+xA(n -1 )]/ A x=lim [(x+A x)A(n-1)+x*(x+A x)A(n-2)+...+xA(n-2)*(x+A x)+xA(n-1)]=xA(n-1 )+x*xA(n -2)+xA2*xA(n -3)+ ...xA(n-2)*x+xA(n -1 )=nxA(n-1)证法二：n为任意实数)f(x)=xAnlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*xAn f'(x)=nxA(n -1)(2)f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+A x)-sinx)/A x=lim (sinxcos A x+cosxsin A x-sinx)/ A x =lim (sinx+cosxsin A x-sinx)/A x=lim cosxsin A x/A x=cosx(3)f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+A x)-cosx)/A x=lim (cosxcos A x-sinxsin A x-cosx)/A x =lim (cosx-sinxsin A x-cos)/A x=lim -sinxsin A x/A x=-sinx4)f(x)=a A xf'(x) =lim (aA(x+A x)-aAx)/A x=lim a A x*(a A△ x-1)/A x设"Ax-仁m,贝U A x=logaA(m+1))=lim aAx*m/logaA(m+1)=lim aAx*m/[ln(m+1)/lna]=lim aAx*lna*m/ln(m+1)=lim aAx*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim aAx*lna/ln[(m+1)A(1/m)]=lim aAx*lna/lne=aAx*lna若a=e,原函数f(x)=eAx 贝f'(x)=eAx*lne=eAx(5)f(x)=logaAxf'(x)=lim (logaA(x+A x)-logaAx)/A x=lim logaA[(x+A x)/x]/A x=lim logaA(1+A x/x)/A x=lim ln(1+A x/x)/(lna* A x) =lim x*ln(1+ A x/x)/(x*lna* A x) =lim (x/A x)*ln(1+ △ x/x)/(x*Ina)=lim ln[(1+ A x/x)A(x/ A x)]/(x*Ina)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=logeAx=Inx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x(6)f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+A x)-tanx)/A x=lim (sin(x+A x)/cos(x+ A x)-sinx/cosx)/A x=lim (sin(x+A x)cosx-sinxcos(x+A x)/(A xcosxcos(x+A x))=lim (sinxcos A xcosx+sin A xcosxcosx-sinxcosxcos A x+sinxsinxsin A x)/(A xcosxcos(x+A x))=lim sin A x/(A xcosxcos(x+A x))=1/(cosx)A2=secx/cosx=(secx)A2=1+(tanx)A2(7)f(x)=cotx f'(x)=lim (cot(x+ △ x)- cotx)/ △ x=lim (cos(x+A x)/sin(x+ △ x) -cosx/sinx)/A x=lim (cos(x+A x)sinx-cosxsin(x+A x))/( A xsinxsin(x+ A x)) =lim (cosxcos A xsinx-sinxsinxsin A x-cosxsinxcos A x- cosxsin A xcosx)/(A xsinxsin(x+A x))=lim -sin A x/(A xsinxsin(x+A x))=-1/(s in x)A2= -cscx/si nx=-(secxF2二1-(cotxF28)f(x)=secx f'(x)=lim (sec(x+A x)-secx)/A x=lim (1/cos(x+A x)-1/cosx)/A x=lim (cosx-cos(x+A x)/(A xcosxcos A x)=lim (cosx-cosxcos A x+sinxsin A x)/(A xcosxcos(x+A x))=lim sinxsin A x/(A xcosxcos(x+A x))=sinx/(cosx)A2=tanx*secx9)f(x)=cscxf'(x) =lim (csc(x+A x)-cscx)/A x=lim (1/sin(x+ A x)-1/sinx)/A x=lim (sinx-sin(x+A x))/(A xsinxsin(x+A x))=lim (sinx-sinxcos A x-sin A xcosx)/(A xsinxsin(x+A x)) =lim -sin A xcosx/(A xsinxsin(x+A x))=-cosx/(s in x)A2=-cotx*cscx10)f(x)=x A x lnf(x)=xlnx (lnf(x))'=(xlnx)' f'(x)/f(x)=lnx+1 f'(x)=(lnx+1)*f(x) f'(x)=(lnx+1)*xAx(12)h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+ A x)g(x+ A x)-f(x)g(x))/ A x =lim [(f(x+ A x)-f(x)+f(x))*g(x+A x)+(g(x+A x)-g(x)-g(x+A x))*f(x)]/ A x=lim [(f(x+ △x)-f(x))*g(x+ △x)+(g(x+ △ x)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+ △ x)-f(x)*g(x+ △ x)]/ A x=lim (f(x+ A x)-f(x))*g(x+ A x)/ A x+(g(x+ A x)-g(x))*f(x)/ A x=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(13)h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+ A x)/g(x+A x)-f(x)g(x))/A x=lim (f(x+A x)g(x)-f(x)g(x+A x))/(A xg(x)g(x+A x))=lim [(f(x+ A x)-f(x)+f(x))*g(x) -(g(x+ A x) -g(x)+g(x))*f(x)]/( A xg(x)g(x+A x))=lim [(f(x+ A x)-f(x))*g(x) -(g(x+ A x)-g(x))*f(x)+f(x)g(x) -f(x)g(x)]/(A xg(x)g(x+A x))=lim (f(x+ A x)-f(x))*g(x)/( A xg(x)g(x+A x))-(g(x+A x)-g(x))*f(x)/( A xg(x)g(x+A x))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x)) -f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x(14)h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+ A x))-f(g(x))]/ A x=lim [f(g(x+A x)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/A x (另g(x)=u, g(x+A x)-g(x)= △ u)=lim (f(u+ A u)-f(u))/ A x=lim (f(u+ A u)-f(u))* A u/(A x*A u)=lim f'(u)* A u/A x=lim f'(u)*(g(x+ A x)-g(x))/A x=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)总结一下(A n )'=nx^( n-1)(sinx) '=cosx(cosx) '=-sinx(aAx) '=aAxlna(eAx) '=eAx(logaAx) '=1/(xlna)(lnx)'=1/x(tanx)'=(secx)A2=1+(tanx)A2(cotx)'=-(cscx)A2=-1-(cotx)A2(secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(xAx)'=(lnx+1)*xAx [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。

函数导数公式及证明

函数导数公式及证明1．证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -==证：'00()()()()lim lim n nx x f x x f x x x x f x x x→→+-+-==V V V V V V根据二项式定理展开()nx x +V011222110(...)lim n n n n n nn nn n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x----→+++++-=V V V V V V 消去0n nn C x x -11222110...lim n n n n n nn n n n x C x x C x x C x x C x x----→++++=V V V V V V 分式上下约去x V112211210lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++V V V V 因0x →V ，上式去掉零项111n n n C xnx--==12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x----→+-+++++++=V V V V V V 12210lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++V V V V1221...n n n n x x x x x x ----=++++g g1n n x -=g2．证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a =证：'00()()()lim lim x x xx x f x x f x a a f x x x+→→+--==V V V V V V0(1)lim x x x a a x→-=V V V 令1xam -=V ，则有log (1)a x m =-V ，代入上式00(1)lim limlog (1)x x x x x a a a a mx m →→-==+V V V V1000ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x ma m a a a a m m m a m→→→===+++V V V 根据e 的定义1lim(1)xx e x→∞=+ ，则10lim(1)m x m e →+=V ，于是1ln ln limln ln ln(1)x x x x ma a a a a a em →===+V3．证明对数函数()log a f x x =的导数为''1()(log )ln a f x x x a==证：'00log ()log ()()()limlim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-==V V V V V V00log log (1)ln(1)limlim lim ln aa x x x x x x x x x x x x x a→→→+++===V V V V V V V V V00ln(1)ln(1)lim lim ln ln xxx x x x xx x x x a x a→→++==V V V V V V根据e 的定义1lim(1)xx e x→∞=+ ，则0lim ln(1)xx x x e x →+=V V V ，于是0ln(1)ln 1lim ln ln ln xxx x e x x a x a x a→+===V V V4．证明正弦函数()sin f x x =的导数为''()(sin )cos f x x x ==证：'00()()sin()sin ()limlim x x f x x f x x x xf x x x→→+-+-==V V V V V V 根据两角和差公式sin()sin cos cos sin x x x x x x +=+V V V00sin()sin sin cos cos sin sin limlim x x x x x x x x x x x x→→+-+-==V V V V V V V因0lim(sin cos )sin x x x x →=V V ，约去sin cos sin x x x -V ，于是0cos sin limx x xx→=V V V因0sin lim1x xx →=V V V ，于是sin lim(cos )cos x xxx x→==V V V5．证明余弦函数()cos f x x =的导数为''()(cos )sin f x x x ==-证：'00()()cos()cos ()limlim x x f x x f x x x xf x x x→→+-+-==V V V V V V 根据两角和差公式cos()cos cos sin sin x x x x x x +=-V V V00cos()cos cos cos sin sin cos limlim x x x x x x x x x x x x→→+---==V V V V V V V因0lim(cos cos )cos x x x x →=V V ，约去cos cos cos x x x -V ，于是0sin sin limx x xx→-=V V V因0sin lim1x xx →=V V V ，于是sin sin lim()sin x x xx x→=-=-V V V6．证明正切函数()tan f x x =的导数为''21()(tan )cos f x x x==证：'00()()tan()tan ()limlim x x f x x f x x x xf x x x→→+-+-==V V V V V V00sin()sin sin()cos sin cos()cos()cos lim lim cos()cos x x x x xx x x x x x x x xx x x x x →→+-+-++==+V V V V V V V V V根据两角和差公式sin()sin cos cos sin x x x x x x +=+V V V , cos()cos cos sin sin x x x x x x +=-V V V代入上式0(sin cos cos sin )cos sin (cos cos sin sin )limcos()cos x x x x x x x x x x x x x x x→+--=+V V V V V V V00cos cos sin (sin sin sin )sin (cos cos sin sin )limlim cos()cos cos()cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→→--+==++V V V V V V V V V 因22cos sin 1x x +=0sin limcos()cos x xx x x x →=+V V V V因0sin lim1x xx →=V V V ，0lim cos()cos x x x x →+=V V ，上式为20sin 11lim cos()cos cos x x x x x x x →⎡⎤==⎢⎥+⎣⎦V V V V7．证明余切函数()cot f x x =的导数为''21()(cot )sin f x x x==-证：'00()()cot()cot ()limlim x x f x x f x x x xf x x x→→+-+-==V V V V V V00cos()cos cos()sin cos sin()sin()sin lim lim sin()sin x x x x xx x x x x x x x xx x x x x →→+-+-++==+V V V V V V V V V根据两角和差公式sin()sin cos cos sin x x x x x x +=+V V V , cos()cos cos sin sin x x x x x x +=-V V V代入上式0(cos cos sin sin )sin cos (sin cos cos sin )limsin()sin x x x x x x x x x x x x x x x→--+=+V V V V V V V222200sin sin cos sin sin (sin cos )lim lim sin()sin sin()sin x x x x x x x x x x x x x x x x x→→---+==++V V V V V V V V V 因22sin cos 1x x +=,且0sin lim1x xx →=V V V ，0lim sin()sin x x x x →+=V V ，代入上式20sin 11lim sin()sin sin x x x x x x x →⎡⎤=-=-⎢⎥+⎣⎦V V V V8．证明复合函数()()f x g x +的导数为[]'''()()()()f x g x f x g x +=+证:[]'()()()()()()lim x f x x g x x f x g x f x g x x →+++--⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦V V V V0()()()()lim x f x x f x g x x g x x x →+-+-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦V V V V V''()()f x g x =+9．证明复合函数()()f x g x 的导数为[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x =+证:[]'()()()()()()lim x f x x g x x f x g x f x g x x →++-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦V V V V[][]0()()()()()()()()lim x f x x f x f x g x x f x g x x g x x g x x →⎡⎤++-+++-+-=⎢⎥⎣⎦V V V V V V[][]0()()()()()()()()()()lim x f x x f x g x x f x g x x f x g x x f x g x x g x x →⎡⎤+-+++-+++-=⎢⎥⎣⎦V V V V V V V [][]0()()()()()()lim x f x x f x g x x f x g x x g x x →⎡⎤+-+++-=⎢⎥⎣⎦V V V V V0()()()()lim ()()x f x x f x g x x g x g x x f x x x →+-+-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦V V V V V V''()()()()f x g x f x g x =+10．证明复合函数()()f x g x 的导数为'''2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦g g 证:'0()()()()()lim ()x f x x f x f x g x x g x g x x →+⎡⎤-⎢⎥⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦V V V V 0()()()()lim ()()x f x x g x f x g x x xg x g x x →⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦V V V V V [][]0()()()()()()()()lim ()()x f x x f x f x g x f x g x x g x g x xg x g x x →⎡⎤+-+-+-+=⎢⎥+⎣⎦V V V V V[][]0()()()()()()()()()()lim ()()x f x x f x g x f x g x f x g x x g x f x g x xg x g x x →⎡⎤+-+-+--=⎢⎥+⎣⎦V V V V V[][]0()()()()()()lim ()()x f x x f x g x f x g x x g x xg x g x x →⎡⎤+--+-=⎢⎥+⎣⎦V V V V V[][]0()()()()()()lim ()()x f x x f x g x x g x g x f x x x g x g x x →⎡⎤+-+--⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦V V V V V V'''2()()()()()f xg x f x g x g x -=g g11．证明复合函数[]()f g x 的导数为[]'''()(())()f g x f g x g x =g证:[]'(())(())(())lim x f g x x f g x f g x x →+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦V V V令()u g x = ,则有()()u g x x g x =+-VV0())()lim x f u u f u x →+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦V V V 0())()lim x f u u f u u u x →+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦V V V V V0())()()()lim x f u u f u g x x g x u x →+-+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦V V V V V ''()()f u g x =g''(())()f g x g x =g12．证明复合函数[]ln ()f x 的导数为[]''()ln ()()f x f x f x =证:令()u f x =,[][]'''ln ()ln f x u u =g''1()()f x u u f x ==g 13．求复合函数x x 的导数解: 令xu x =ln ln u x x =等式左边求导为()''ln u u u=等式右边求导为()'''1ln ln (ln )ln ln 1x x x x x x x xx x=+=+=+于是有'ln 1u x u=+,'(ln 1)u x u =+则'()(ln 1)x xx x x =+14. 证明反三角函数arcsin x 的导数为'(arcsin )x =证:令arcsin y x =,则sin y x =对上式两边求导,等式右边'1x =等式左边(根据复合函数求导公式),其导数为''(sin )(cos )y y y =g 于是有'(cos )1y y =g'1(cos )y y ==再将arcsin y x =代入上式'(arcsin )x ==15. 证明反三角函数arccos x 的导数为'(arccos )x =证:令arccos y x =,则 cos y x =对上式两边求导,等式右边'1x =等式右边(根据复合函数求导公式),其导数为()''cos (sin )y y y =-g于是有'(sin )1y y -=g ,整理后如下：'1(sin )y y =-=再将arccos y x =代入上式'(arccos )x == 16. 证明反三角函数arctan x 的导数为'21(arctan )1x x =+ 证:令arctan y x =,则tan y x =对上式两边求导,等式右边'1x =等式右边(根据复合函数求导公式),其导数为()'2'tan (1tan )y y y =+g于是有2'(1tan )1y y +=g ,整理后如下： '211tan y y=+ 再将arctan y x =代入上式'2211(arctan )1tan arctan 1x x x==++ 17. 证明:反函数的导数为原函数导数的倒数'1''1(),(()0)()f y f x f x -⎡⎤=≠⎣⎦ 如果函数()x y ϕ= 在某区间y I 内单调、可导且'()0y ϕ≠ ，那么它的反函数()y f x =在对应区间 x I 内也可导，并且''1()()f x y ϕ=。

求导公式大全

求导公式大全1、原函数:y=c(c为常数)导数: y'=0导数:y'=nx^(n-1) 3、原函数:y=tanx 导数: y'=1/cos^2x 4、原函数:y=cotx 导数:y'=-1/sin^2x 5、原函数:y=sinx 导数:y'=cosx6、原函数:y=cosx 导数: y'=-sinx7、原函数:y=a^x 导数:y'=a^xlna 8、原函数:y=e^x 导数: y'=e^x导数:y'=logae/x10、原函数:y=lnx导数:y'=1/x求导公式大全整理y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方) f(x)=sinx f'(x)=cosxf(x)=cosx f'(x)=-sinxf(x)=tanx f'(x)=sec^2xf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 xf(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2)f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2)f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1 x^2)高中数学导数学习方法1、多看求导公式，把几个常用求导公式记清楚，遇到求导的题目，灵活运用公式。

2、在解题时先看好定义域，对函数求导，对结果通分，这么做可以让判断符号变的比较容易。

导数的公式及证明

导数公式及证由之运算来）：基本导数公式
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 2.幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4．对数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx,y'=1/x 5．正弦函数y=(sinx ）y'=cosx 6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx 7．正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量’ 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3．原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2．这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3．y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4．y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 limΔx→0Δy/Δx=logae/x。也可以进一步用换底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6．类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。 7．y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8．y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9．y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10．y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11．y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12．y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4．y=u土v,y'=u'土v' 5．y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。 y=x^n 由指数函数定义可知，y>0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理可证导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。 x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1. 建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸. 并且要认识到导数是一个比值。

导数公式大全

高中常用函数导数公式

常用函数导数公式，现行的资料多是仅仅推导几个，有的仅仅是归纳，没有系统的全部推导，本文通过一个公理及几个已经证明的定理，将常用函数导数公式进行系统推导。

常用函数导数公式汇总如下
【必要的定理】
一、常数函数f(x)=C导数公式的证明：
二、一次函数f(x)=kx+b导数公式的推导：
故,即(kx+b)/=k
三、指数函数、对数函数和幂函数导数公式的推导
证明：只要令推论2中a=e即可得到
（三）幂函数导数公式的推导
四、三角函数导数公式推导
（二）三角函数导数公式推导1、(sinx)/=cosx。

导数公式证明大全(最全版)

数学导数公式大全
若 a=e，原函数 f(x)=loge^x=lnx 则 f'(x)=1/(x*lne)=1/x
（6）f(x)=tanx f'(x) =lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx =lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx =lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔ x+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx)) =1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
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（3）f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx
（4）f(x)=a^x 证法一： f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx =lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （设 a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)） =lim a^x*m/loga^(m+1)
证法二：（n 为任意实数） f(x)=x^n
lnf(x)=nlnx
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(lnf(x))'=(nlnx)'

导数公式的证明最全版

导数公式的证明最全版导数的定义是函数在特定点处的变化率，即斜率。

要证明导数的定义，需要使用极限的概念和微分的概念。

假设函数f(x)在点x=a处有导数，记为f'(a)。

我们可以通过极限定义来证明导数的公式。

1.导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为：f'(a) = lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗2.应用极限的性质：根据极限的性质，我们可以将上述公式改写为：f'(a) = lim┬(h→0)⁡〖f(a+h)-f(a))/lim┬(h→0)⁡h〗3.差商：我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h理解为两点(x,y)间的斜率。

根据微积分的思想，我们可以通过使用两点间的切线来近似表示曲线的斜率。

4.切线近似：在点(x,y)处，我们可以使用切线来近似表示曲线的斜率，该切线与曲线相切于点(x,y)处，并且与曲线在该点的切线斜率相同。

5.切线方程：曲线在点x=a处的切线方程为：y=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f'(a)表示导数，(x-a)表示函数的自变量变化量。

6.近似函数：对于足够小的自变量变化量h，我们可以使用切线方程近似表示函数f(x)在点x=a+h处的函数值：f(a+h)≈f(a)+f'(a)h7.导数公式推导：根据近似函数的表示，我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h表示为：(f(a)+f'(a)h-f(a))/h化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)-f(a))/h8.推导细节：进一步化简上述式子，得到：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)/h - f(a)/h)根据极限的性质，推出：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)/h) - lim┬(h→0)⁡(f(a)/h)化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)-f(a)/h)这与导数的定义一致，因此我们证明了导数的定义公式。

导数公式的证明(最全版)

导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx =lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna) =lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1) （15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。