第三章 初等模型 第一节 公平的席位分配
初等数学建模方法示例
第2章初等数学建模方法示例2.1公平的席位分配问题席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。
通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。
目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题：某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。
它的最初学生人数及学生代表席位为系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200学生人数比例100/200 60/200 40/200席位分配10 6 4 20后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为：系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配10 6 4 20由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。
为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。
重新按惯例分配席位,有系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。
这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。
模型构成先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设单位 人数 席位数 每席代表人数单位A 1p 1n 1n单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。
公平席位分配方法
某学校三个系共200名学生，其中甲系 100名，乙系60名，丙系40名. 若学生代表 会议设20个席位，公平而又简单的席位分配 办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙 三系分别应占10，6，4席位。 现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系 人数如下表第二列所示
要解决这个问题必须舍弃所谓惯例， 找到衡量公平分配席位的指标，并由此建 立新的分配方法。 建立数量指标 设两方人数分别 p1 和 p2 ， 占有 席位分别是 n1 和 n2 ，则两方每个席位代表 的人数分别为 p2 n2 和 p2 n2 ，显然仅当
一般假设 p1 n1 > p2 n2 ，即对A不公平，当再分 配一个席位时， 关于 pi ni (i = 1, 2) 不等式有三 种情况：
公平分配席位的原则是使得相对不公平值 尽可能地小，所以如果 rB ( n1 + 1, n2 ) < rA ( n1 , n2 + 1) 则这一席应分给A方，反之则应分给B方。 事实上，第一种情况也包含在上式中。 p22 n2 (n2 +1) < p12 n1(n1 +1)
模型推广：m方分配席位的情况. 设第i 方人数为 pi ，分配席位为 ni ，当总席位增 加1席时，计算
pi 2 Qi = , i = 1, 2, ..., m n i ( n + 1)
应将1席分给最大一方-------Q值法
1.作业：用Q法重新讨论甲乙丙三系分配 21席问题。
p1 n1 = p 2 n2
因为人数和席位都是正数，但通常有 p1 n1 ≠ p2 n2 这时席位分配不公平，且 p i n i 的数值较大 的一方吃亏，或者说对这一方不公平。
假设 p1 n1 > p 2 n2 ，不公平程度可 以用 p1 n1 − p 2 n2 衡量。 1. p 1 = 1 2 0 , p = 1 0 0 , n1 = n 2 = 1 0 2. p 1 = 1 0 2 0 , p 2 = 1 0 0 0 , n1 , n 2 不变 设 p1, p 2 为A，B 两方固定人数， n 1 , n 2 两方 分配席位（可变）。
公平的席位分配
（1）计算 两两连线的距离 ， ， ，若其中存在有两边长度之和等于另外一边的长度，则这三点的位置关系存在以下几种情况：三点共线、三点重合、有两点重合。对于这些情况，最小覆盖圆的半径为最长边的一半，即
数学建模
题 目：公平的席位分配
学 院：数理与信息工程学院
专 业：数学与应用数学
组 员：
指导老师：
评 分：
摘 要
本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。由于
各系人数因素会对席位获得产生影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了最大覆盖圆模型制定了一个比较合理的分配方案。最后进行求解并检验模型的公平性程度。
则公平的定义为：若有 成立，则席位分配是公平的。否则是不公平的，即有不公平德尔定义为：若有 成立，则席位分配是不公平的，此时如果 ，则对A不公平，如果 ，则对B不公平。
4.1.1不公平程度的表示
用数值 来表示绝对不公平的程度。
4.1.2相对不公平的定义
若 ，则称 为A的相对不公平度，记为 ，即对A的相对不公平度为 。
1问题重述
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三个系人数现为103，63，34，问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
现给出求包含平面上有 个点的最小圆的算法。①在点集中任取3点A，B，C。②作一个包含A，B，C三点的最小圆，圆周可能通过这3点，也可能只通过其中两点，但包含第3点。后一种情况圆周上的两点一定是位于圆的一条直径的两端。③在点集中找出距离第2步所建圆圆心最远的D点，若D点已在圆内或圆周上，则该圆即为所求的圆，算法结束。则，执行第4步。④在A，B，C，D中选3个点，使由它们生成的一个包含这4个点的圆为最小，这3点成为新的A，B，C，返回执行第2步。若在第4步生成的圆的圆周只通过A，B，C，D中的两点，则圆周上的两点取成新的A和B，从另两点中任取一点作为新的C。对于一个给定的点集，其最小覆盖园是存在且惟一的。
数学模型 数学论文指导 初等模型分配问题
情形1 情形2
p1 p2 ， n1 1 n2
p1 p2 ， n1 1 n2
说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。
说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。
计算对B 的相对不公平值
r B (n 1 1 ,n 2 ) p 2n p 2 1 (n p 1 1 (1 n ) 1 1 ) p 2 ( p n 1 1 n 21 ) 1
mq p N
m 表示某单位的席位数 p 表示某单位的人数
N 表示总人数 q 表示总席位数
20个席位的分配结果
10 6 4 现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
10 6 4
现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。 21个席位的分配结果
m]
❖ （即“比例加惯例”的方法）。
❖ (2) 若 r1 r2 ，则取得结果同上.
❖ (3) 若
r1 r2 ，则取
p1
A
17
❖ 按照定理，对三个部门，设全不为零（若有 一个为零，实则按两个部门进行分配），可 以做以下公平的分配
A
18
❖ 当 r1 r2 r3 时；按比例取整后，多余的席位
分配给小数部分较大的部门（比例加惯例的方 法）。
❖ 当 r1 r2 r3 时；按比例取整后，若多余一个 席位，则分配给第一个部门，若多余两个席位， 则分配给第一个部门及第二、三部门中小数部 分较大的部门。
A
19
❖ 当时 r1 r2 r3 ；按比例取整后，若多余一个 席位，则分配给第一、二部门中小数部分较 大的部门，若多余两个席位，则分配给第一 部门和第二部门。
公平席位分配问题
200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.3
6.3
3.4
20
按惯例席位分配 10
6
4
20
惯例席位分配方法为:比例分配出现小数时,先按整数 分配席位,余下席位按小数的大小依次分配之
为改变总席位为偶数出现表决平局现象,决定增加一 席,总席位变为21个学生代表席位,还按惯例分配席位, 有
1032 1011
96.4
Q2
632 67
94.5
应该将席位分给甲
Q3
342 3 4
96.3
第２１席的分配由Q值决定为
1032
632
Q1 1112 80.4 Q2 6 7 94.5
应该将席位分给丙
342 Q3 3 4 96.3
最后的席位分配 为：
Qi
pi2 ni (ni 1)
于是增加的席位分配由Qi的最小值决定，它可 以推广到一般情况，即n个组
模型求解
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。
本问题的整数名额共分配了１９席，具体 为
甲
10.815 n1=10
乙
6.615 n2=6
丙
3.570 n3=3
第２０席的分配由Q值决定
Q1
1、 p1 p2 说明此一席给 A，对A还不公平，应给 A n1 1 n2
2、 p1 p2 说明此一席给A，对B不公平， n1 1 n2
不公平值为rB (n1
1, n2 )
(n1 1) p2 p1n2
1
3、p1 p2 说明此一席给B，还对A不公平， n1 n2 1
lesson3初等模型(1)
三、划艇比赛
问题提出： 赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双
人艇、四人艇、八人艇四种。八人艇还分重量级(桨手平 均体重86公斤)和轻量级(平均体重73公斤)。各种艇虽大 小不同，但形状相似．T．A．McMahon比较了各种赛艇 1964一]970年四次2000米比赛的最好成绩(包括1964年和 1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛)，发现它们之间 有相当—致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存 在着某种联系，于是建立了一个模型来解释这种关系。
5、模型的构成
（1）有n名桨手的艇的总功率nP与阻力f和速度v的乘积 成正比，即：
（2）由假设2、3，有： （3）由假设1：各种艇几何形状相同，若艇浸没面积s
与艇的某特征尺寸c的平方成正比，则艇排水体积 A必与c的立方成正比，于是有： （4）根据艇重w0与桨手数n成正比，所以艇和桨手的总 重量w/＝w0十nw也与n成正比(八人艇轻量级组除外)， 即： （5）由阿基米德定律，艇排水体积A与总重量w/成正比， 即：
室撤空的时间是：
n1d v
t0
因而该室最后一人到达出口，全部撤离的时间是：
( n1d v
t0)
L1 v
（2）其他课室类似考虑
5、考虑重叠的情况
在单行撤离的假设下还应该考虑到这两支疏散队伍 可能出现的重叠的情形，也就是说，当第二个教室的第 一个撤离者到达第一个教室的门口A时，第一个教室内 的人还没有疏散完毕，这时如果两支队伍同时行进势必 造成混乱，因此需要等待第一个教室撤空以后第二个教 室的队伍再继续前进。这钟情形出现的条件是：
上式两端分别是增加的1席分给第i方和不分给第i方 时，该方每席位所代表的人数，这两个值越大，对第i方 越不公平。而Qi恰是它们的几何平均值的平方，故Qi能 反映对第i方酌不公平程度，增加酌1席应分给Q值最大的 一方。
初等数学模型
r
p p p r n = (n1 , n 2 , L , n s ) ，当且仅当 1 = 2 = L = s 时，分配是公平的。因此当存在不公平 n1 n2 ns
现象时，我们可以使用比值之间的差来衡量不公平程度。 模型建立： （局部不公平度与 Huntington 方法） 1．不公平程度的量化 设 A, B 两集体人数分别为 p1 , p 2 ；分别拥有 n1 和 n 2 个席位，则两方每个席位所代表的
dy < 0。 dx
性质 2：无差异曲线是凹的，
d2y > 0。 dx 2
性质 3：无差异曲线彼此不相交。 性质 4：越往右上方，消费者获得的效用越大。 问题求解： 设二元函数 U 1 ， U 2 分别表示两人的效用函数。设交换前甲拥有商品 X 的量为 x 0 ，甲
5
将其中的 x 交给乙；乙拥有商品 Y 的量为 y 0 ，乙将其中的 y 交给甲。交换后甲拥有的商品 组合为 ( x0 − x, y ) ，效用为 U 1 ( x 0 − x, y ) ；同理乙获得的效用为 U 2 ( x, y 0 − y ) 。
2 p2 p12 < ，则增加的 1 席给 A ， n2 (n2 + 1) n1 (n1 + 1)
2 p2 p12 > 若 rA (n1 , n2 + 1) < rB (n1 + 1, n2 ) ，即 ，则增加的 1 席给 B 。 n2 (n2 + 1) n1 (n1 + 1)
记 Qi =
pi ，则增加的 1 席应给 Q 值大的一方。 ni (ni + 1)
将 上 述 方 法 推 广 到 m 个 集 体 分 配 席 位 的 情 况 。 设 Ai 方 人 数 为 p i 已 占 有 ni 席
公平的席位分配_图文
p1/n1> p2/n2 。
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
• 除数 A党
B党
C党
D党
• 1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500
• 2 99,500 (4) 63,750
62,000 24,750
• 3 66,333 (5) 42,500
41,333 16,500
• 4 49,750
31,875
－
－
总席位 3
1
1
0
“公平”分配方法 将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
~ 对A的相对不公平度
公平的席位分配模
C宿舍已具备“分配资格” 3)下面每增加一个名额，则重复如下步骤，直至A宿舍具有“分配资格”止， 不失一般性，设 pc p B ，其中m,n分别为已分配给B、C的名额数.
m 1 n 1 pc p p B A a)如果 m 1 n 1 1 ，则A宿舍仍不具备“分配资格”；B、C运用Q值 法，确定这一名额给B还是给C. b)如果 p c p A p B ，则A宿舍仍不具备“分配资格”；且C宿舍的Q m 1 1 n 1
2013-9-22
3模型的优缺点
比例加惯例法存在较大缺陷，Q值法但这种方法缺 点是要求参与分配的各方至少已有一个名额， d’Hondt法尽可能将不公平降低到最低限度，将 d’Hondt和Q值法结合起来的d’Hondt+Q值法是基 于d’Hondt法和Q值法的，后面三种方法都是基于 比例加惯例法进一步得出的,则它们互相有关联， 在一定程度上会受到影响；其次上述四种模型考 虑的实际问题太少，不具有很大的推广性.但是对 于一些简单的分配问题，可以用d’Hondt法模型进 行席位分配.
5
8 11 14
93312.0
31104.0 15552.0 9331.2 6220.8 4443.4
4
6 9 10 13
10个席位的分配，分配名额是4,5,6.
获得名额
2013-9-22
4
5
6
观察结果可得：当席位增至15人时，除了d’Hondt法分
配是3,5,7，其他三种方法3个宿舍分配的人数都是4,5,6， 相比较当3个宿舍分配的人数为3,5,7时，各个宿舍分配 到的每个席位代表的人数更接近，则席位分配更合理.
2013-9-22
3
4.995
5544.5
数学模型
边际收入
边际支出
表示：最大利润在边际收入等于边际支出时达到。 表示：最大利润在边际收入等于边际支出时达到。
II.简单的优化模型 II.简单的优化模型
如果假设需求函数为 f(p)=a-bp f(p)=a并假定成本q 并假定成本q与产量无关 I(p)(p-q)(a则利润函数 U(p) = I(p)-c(p) = (p-q)(a-bp) 运用微积分， U(p)最大的最优价格 为 最大的最优价格p* 运用微积分，使U(p)最大的最优价格p*为
γ B ( n1 , n 2 ) =
p 2 / n 2 − p1 / n1 p1 / n1
γ A ( n1 , n 2 ) =
p1 / n1 − p 2 / n 2 p 2 / n2
为对B的不公平度。 为对B的不公平度。 尽量地小！ ∴分配原则是使 γ A 和 γ B 尽量地小！
确定分配方案
设A,B两方已分别占有n1席和n2席，讨论当增加1个席位 A,B两方已分别占有 席和n 两方已分别占有n 讨论当增加1 应该分配给A还是B 不公平。 时，应该分配给A还是B。假设 p1/n1>p2/n2， 对A不公平。 会出现三种情况： 会出现三种情况： p1/(n1+1) ＞ p2/n2， 即A方增加1席时对A仍不公平， 方增加1席时对A仍不公平， ① 所以这增加的1席应该给A 所以这增加的1席应该给A方； p1/(n1+1) ＜ p2/n2，即A方增加1席时，对B不公平，此 方增加1席时， 不公平， ② 时
I.初等模型 I.初等模型
Q1最大，这一席应该分给甲，即 最大，这一席应该分给甲， n1=11, n2=6, n3=3。 =3。
3.公平的席位分配
3公平的席位分配2.3.1问题的提出设某校有3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现要选出20名学生代表组成学生会，公平的办法是按学生人数的比例分配席位，即甲乙丙系分别占10、6、4个席位.若按学生人数的比例分配的席位数不是整数，就会带来一些麻烦.比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？Hamilton分配方法：（1）各方按人数比例算出应得席位数(通常带小数);（2）各方都放弃小数部分，只取整数部分；（3）把剩余席位分给小数部分较大的各方(每方至多添1席)若按Hamilton方法分配,则甲、乙、丙系分别应得10.3、6.3和3.4席,舍去小数部分后分别得10、6、3席,剩下的1席分给小数部分最大的丙系,于是三个系仍分别占10、6、4席.假定学生会的席位数增加到21位，按上述方法重新分配，结果甲乙丙系分别占11、7、3席.系别 人数 比例20席的分配21席的分配按比例分 实际分配 按比例分 实际分配甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙3417.03.4 4 3.570 3 合计 200 100.020.02021.00021此分配结果, 对丙系显然是不公平的,因为席位增加了,而丙系得到的席位反而减少了.Alabama 悖论：当总席位数增加后，反而某一方分到的席位数减少.2.3.2符号和假设 要解决的问题：某校共有m 个系，第i 系学生数为n i (i=1,2,…,m )，校学生会共设N 个席位.怎样才能公平地把这些席位分配给各系？∑==mi i n n 1-------- 总人数；N -------- 席位总数；na N= -------- 全校平均每个席位代表的人数；an N n n i i i ==α------第i 方按人数比例应分得的席位数(通常带小数)；N i --------第i 方实际分得的席位数(整数)； 12(,,,)m N N N -------- 一个分配方案；ii i N n a =-------- 第i 方平均每个席位代表的人数；注：i a 越大的一方就越吃亏，i a 越小的一方就越占便宜.i a 是度量分配“公平”程度的最重要指标. 假设参与分配的每一方至少分到一个席位.2.3.3确定“公平”的标准可以提出不同的标准来衡量分配方案的”公平”的程度, 例如标准1 要求 a max z ii=最小（对不同方案而言）;标准2 要求∑=-=mii|a a|z1最小; 标准3 要求aminzii=最大;标准4 要求∑=-=mii)a a(z12最小.为了帮助理解标准1与标准3，看下例方案1 方案2 方案3 1a35.6 43.7 48.72a48.2 42.3 37.83a38.6 53.1 42.34a53.5 38.2 38.5maxiia53.553.148.7miniia35.638.237.8按标准1，认为方案3最公平，其思想是：别让最吃亏一方太亏；按标准3，认为方案2最公平，其思想是：别让最占便宜一方占太多便宜.标准2与标准4的思想是：认各ia尽量靠近a,减少它们的差异.2.3.4“判别数”分配方法标准1认为a i越大的系越吃亏，故应尽量优先照顾之.([])(1)[][][]i i i i i i i i i i i a n n a a a N αααβααα+=≈===+其中[]iiiαβα=，称为判别数.iα表示αi 小数部分.βi 越大的系越吃亏，按标准1，应优先照顾.算法流程如图，其中i11[]mmii i r N αα===-=∑∑.对βi 较大的r 个系分配席位N i =[αi ]+1否是开始输入n i 与N 计算n 与αiαi 全为整数吗？计算βi 与r N i =αi输出各N i结束剔除已分配席位 的系和席位数有为0的[]i α吗?若有k 个[]i α=0,则N =1是是否否例2.3.1对刚才的例子用此算法重新分配。
席位分配-PPT课件
p / n p /( n 1 ) p 2 2 ( n 1 ) 1 1 2 1 r ( n 1 , n ) 1 (3) B 1 2 p /( n 1 ) p n 1 1 1 2
3 、尝试给B方，出现
p p n 1 ) 1n 1 2( 2
即给B方增加1席时，对A不公平。参照(1)式可计 算出对A的相对不公平度为
p / n p /( n 1 ) p 1 ( n 1 ) 1 2 2 1 2 r ( n , n 1 ) 1(4) A 1 2 p /( n 1 ) p n 2 2 2 1
p n 1 )的情况. 不可能出现 p 1n 1 2( 2
为两方分配席位的原则是选择不公平尽可能地小的方案
现在，重庆市政府已制定了符合公平原则的新规定。
公平、正义比太阳还要有光辉
二、设定目标：找到衡量公平分配席位的指标,并由此建立 新的分配方法. 讨论A,B两方公平分配席位的情况，并建立评价指标。 设两方人数分别p1和p2,占有席位分别是n1和n2,则两方 每个席位代表的人数分别为p1/n1和p2/n2.显然仅当 p1/n1=p2/n2 时席位的分配才是公平的.但是因为人数和席位都是整数,所以 通常 p1/n1<>p2/n2。其中 pi/ni i=1,2
参照惯例的结果
10 6
103 63
丙
总和
34
200
17.0
100.0
3.4
20.0
4
20
惯例在特殊的情况下暴露了一个问题 因为有20个席位的代表会议，在表决提案时可能出现
10:10的局面,会议决定下一届增加1席。按照上述方法重新
分配席位,计算结果见表6、7列显然这个结果对丙系不 满意。因为席位增加1席,而丙系却由4席减为3席.
第四讲(一)初等模型-公平的席位分配-实物交换PPT课件
若rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),则这席位应给A,反之给B
10
当rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),该席给A
根据rA，rB的定义
p22
p12
n2 (n2 1) n1(n1 1)
该席给A，否则该席给B
M1
p3(x3,y3)
将所有与p1, p2无差别的点连接 起来，得到一条无差别曲线MN,
y2
.p2
N1
N
0
x1
x2
xo x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，
比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1
上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。
16
y
甲的无差别曲线族记作
设A,B分别有n1, n2席,若增加1席, 问应分给A?还是B?
9
不妨设初始时 p1 / n1 p2 / n2, 即对A不公平,分下列几种情况
1)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,则这席位应给A
2)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,应计算rB (n1 1, n2 ) 3)若 p1 / n1 p2 /(n2 +1),应计算rA (n1, n2 1)
第四讲 初等模型
一、公平的席位问题 二、实物交换
1
一、公平的席位分配
席位分配是日常生活中经常遇到的问题，在企业、公 司、学校、政府部门都能应用该模型解决实际的问题。
席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会 等的具体座位。假设说，有一个公司要召集所有的部门开 一个员工会议，在公司的会议厅里只能坐40个人，而公 司总共有10个部门，10个部门总共有498个人，而每个部 门的人数都不尽相同。如果你是会议的策划人，你要合理 的分配会议厅的40个座位，既要保证每个部门都有人参 加，最关键的就是要对10个部门都公平，保证10个部门 对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建 模的方法来解决。
公平的席位分配
席位公平分配问题—Q值法的改进摘要：本文为建立席位分配问题的公平合理方案．对经典Q 值法进行了研究并提出改进，构造了衡量相对不公平程度的新标准量。
通过对书本中的经典席位分配问题实例的计算，比较分析了多种席位分配方法的求解结果，并与经典的Q值法进行了公平性的比较。
结果表明改进的标准量更为合理，从而验证了该方法的有效性和合理性。
一、问题背景席位分配问题是人类社会生活中相当普遍的一类资源分配问题，是数学在政治领域中应用的典型实例，其目标是在一个大集体对小集体进行某种资源分配时试图尽可能做到公平合理。
席位分配问题最关键之处是它的悖论观，无论选择怎样的分配方案，总会产生这样或那样的矛盾，著名的有以下几种悖论：亚拉巴马悖论、人口悖论和新州悖论。
同时，席位公平分配的关键是提出衡量公平度的一个量，即满足下述5条公理：公理1(人口单调性)：一方的人口增加不会导致它失去一个名额。
公理2(无偏性)：在整个时间平均，每一方应接受到它自己应分摊的份额。
公理3(名额单调性)：总名额的增加不会使某一方的名额减少。
公理4(公平分摊性)：任何一方的名额都不会偏离其比例份额数。
公理5(接近份额性)：没有从一方到另一方的名额转让会使得这两方都接近于它们应得的份额。
然而，1982年M ．L ．Balinski 和H ．P ．Young 证明了一个B —Y 不可能定理，即绝对公平的分配(满足公理1～公理5)方案是不存在的，既然绝对公平的分配方案不存在，人们便致力于席位分配问题的相对公平的研究。
著名的Q 值法是1982年由D ．N ．Burghes 和I ．Hunttey 等人提出的一种相对不公平衡量标准，该方法简单易行，且克服了其他方法的一些矛盾，被广泛的应用于资源公平分配问题中。
但不足之处是未考虑名额分配后的整体状况，而首先给每一方分配一个名额也是没有道理的。
基于此考虑，这里提出了一种新的衡量相对不公平的标准，不需要事先给每一方分配一个名额，其计算量与Q 值法相当，但比Q 值法更趋于公平。
2.公平席位分配
Q值分配法可以做到绝对公 平吗？ 很遗憾，不能！
2021/4/9
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学生练习与实践
学校共1000学生，235人住在A栋，333人住在B 栋,432人住在C栋,学生要组织一个十人的委员会， 试用比例分配方法，d’Hondt方法和Q值方法分配 各栋的委员数，并比较结果。
d’Hondt方法：有k个单位，每单位的人数为Pi , 总席位数为n ，用自然数1，2，3，……分别除每 单位的人数，从所得的数中由大到小取前n个， （这n个数来自各个单位人数用自然数相除的结 果），这n个数中哪个单位有几个所分席位就有几 个。
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席 Q 1 1 1 0 0 3 1 2 1 9 6 .4 ,Q 2 6 6 3 2 7 9 4 .5 ,Q 3 3 3 4 2 4 9 6 .3
第21席
Q1最大，第20席给甲系
Q 11 1 1 0 3 1 2280.4, Q 2, Q 3不 变 Q213席最给大丙，系第
第二讲 初等数学模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 实物交换 2.4 核军备竞赛 2.5 量纲分析与无量纲化
2010-2011数学建模选修课
2021/4/9
1
2.1 公平的席位 分配
引 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 例 会议共20个席位，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
分 配
丙
34 17.0
3.4
4
3.570
3
平 吗
法 总和 2021/4/9 200 100.0 20.0
20
21.000 21 2
一、Q值分配方法
（1）衡量公平分配的数量指标
席位分配问题
悖论的举例(3)
• 30. 新州悖论: 原州人数不变, 增加新州(人数 增), 席位按比例增, 将导致原州席位减少. 例 3. p=1000, s=2, N=4; p’=1200, s’=3, N’=5 p i qi 州 pi qi ni ni A 623 2.492 2 A 623 2.595 3 B 377 1.508 2 B 377 1.570 1 C 200 0.835 1
(绝对)不公平度 令 dij = pi/ni - pj/nj, 则称|dij|为 i, j 两州席位 分配的(绝对)不公平度 .
例 p n p/n |d| A 120 10 12 B 100 10 10 2 C 1020 10 102 D 1000 10 100 2 (绝对)不公平度无法比较不同组间席位分配不公 平的程度
Hamilton 法解释
40. 按照最大小数部分增加一个席位的Hamilton 法相当于在 q 所在的小三角形中选择最靠近 q 点的顶点（格点 n）为席位分配方案。 50. Hamilton 分配域：作小三角形内心，则可以 构成以 n 为心，以上述若干内心为顶点的正 六边形。 如果 q 落入某个小六边形内，则选择该六 边形的中心 n 为席位的分配方案。
各方法比较
• • • • • • • • • 例 8. 六个州分配100个席位 州 人口p 份额q H法 A 9215 92.15 92 B 159 1.59 2 C 158 1.58 2 D 157 1.57 2 E 156 1.56 1 F 155 1.55 1 Σ 10000 100 100 J法 95 1 1 1 1 1 100 EP法 90 2 2 2 2 2 100
pj /(nj + 1) > pi /(ni + 1) , Qi > Qj
公平分配席位数学建模
公平分配席位是一种数学建模问题，通常涉及到在一个组织或机构内，如何公平地分配有限的席位或资源给不同的成员或利益相关者。
该问题可通过以下步骤建立数学模型：
1.定义问题：明确参与者、资源和目标，确定席位数量和分配规则。
2.建立评价指标：根据目标和分配规则，建立评价指标来衡量分配方案的公平性和效
率性。
3.确定算法：选择合适的算法来进行席位分配，例如最大剩余法、顺序分配法、随机
分配法等。
4.模型求解：通过计算机程序或手工计算，进行模型求解，得出最优分配方案。
5.结果分析：对比各个方案的评价指标，选择最优方案并进行结果分析，验证模型的
可靠性和有效性。
公平分配席位模型可以应用于政治、教育、医疗、社会保障等领域，如选举、大学招生、医疗资源分配、社会福利等。
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p1 、p2 为 A , B 两方的固定人数，n1 、n2为两方分配的席位 (可变)，若 p1 / n1 p2 / n2，则定义
rA(n1, n2 )
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
(1)
为对 A的相对不公平值。若 p2 / n2 p1 / n1，则定义
第一节 公平的席位分配
不失一般性可设 p1 / n1 p2 / n2，即对 A 不公平。当再
第一节 公平的席位分配
分配 1 个席位时，关于pi / ni (i 1, 2)的不等式可能有以下 3 种情况：
1. p1 /(n1 1) p2 / n2 这说明即使 A 方增加 1 席，仍然 对 A 不公平，所以这一席显然应分给 A 方。
第一节 公平的席位分配
系 别
学 生 人 数
学生人数 的比例 (％)
20个席位 的分配
按比例 分配的
席位
参照惯 例的 结果
21个席位 的分配
按比例 分配的
席位
参照惯 例的 结果
甲 103
51.5
10.3
10
10.815
11
乙 63
31.5
6.3
6
6.615
7
丙 34
17.0
3.4
4
3.570
3
总 和
显然这个结果对丙系太不公平了，因为总席位增加 1 席，而丙系却由 4 席减为 3 席。
第一节 公平的席位分配
要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分 配席位的指标，并由此建立新的分配方法。
建立数量指标： 讨论 A，B 两方公平分配席位的情况。 设两方人数分别 p1和 p2，占有席位分别是 n1和 n2 , 则 两方每个席位代表的人数分别为 p1 / n1和 p2 / n2。显然仅当 p1 / n1 p2 / n2 时席位的分配才是公平的。但是因为人数 和席位都是整数，所以通常 p1 / n1 p2 / n2，分配不公平， 并且 pi / ni (i 1, 2)数值较大的一方吃亏，或者说对这一方 不公平。
rB (n1, n2 )
p2 / n2 p1 / n1 p1 / n1
(2)
为对 B的相对不公平值。
建立了衡量分配不公平程度的数量指标 rA 、rB 后，制 定席位分配方案的原则是使它们尽可能小。
确定分配方案：
假设 A，B 两方已分别占有 n1 和 n2席，利用相对不公 平值 rA 和 rB 讨论，当总席位增加 1 席时，应该分配给 A还 是 B.
平，参照(1)式可计算出对 A 的相对不公平值为
第一节 公平的席位分配
rA(n1 , n2 1)
p1(n2 1) 1 p2n1
(4)
因为公平分配席位的原则是使得相对不公平值尽可能
地小，所以如果
rB (n1 1 , n2 ) rA(n1 , n2 1)
(5)
则这 1 席应分给 A 方；反之则分给 B 方。根据 (3)、(4) 两
式，(5) 式等价于
p22
p12
(6)
n2(n2 1) n1(n1 1)
第一节 公平的席位分配
于是我们的结论是: 当 (6)பைடு நூலகம்式成立时增加的 1 席应分给 A
方，反之则分给 B 方。 或者，若记 Qi pi2 / ni (ni 1)(i 1, 2)，则增加的 1 席
应分给 Q 值较大的一方。
第一节 公平的席位分配
不妨假设 p1 / n1 p2 / n2，不公平程度可用数值 p1 / n1 p2 / n2
衡量。如设 p1 120, p2 100, n1 n2 10, 则 p1 / n1 p2 / n2 12 10 2,
它衡量的是不公平的绝对程度，常常无法区分两种程度明 显不同的不公平情况。
例如上述双方人数增加为p1 1020和p2 1000 而席位 n1和 n2 不变时，p1 / n1 p2 / n2 102 100 2, 即绝对不公
第一节 公平的席位分配
平程度不变。 但是常识告诉我们，后面这种情况的不公平程度比起
前面来已经大为改善了。
为了改进上述绝对标准，自然想到用相对标准。仍记
2. p1 /(n1 1) p2 / n2说明当 A 方增加 1 席时将变为对 B 不公平，参照(2)式可计算出对 B 的相对不公平值为
rB (n1 1 , n2 )
p2(n1 1) 1 p1n2
(3)
3. p1 / n1 p2 /(n2 1)即当 B 方增加 1 席时将对 A 不公
上述方法可以推广到有 m 方分配席位的情况。设第 i 方人数为 pi，已占有ni (i 1, 2, , m) 个席位。当总席位增 加 1 席时，计算
第三章 初等模型 第一节 公平的席位分配
某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系 60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分 配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应 占有10、6、4个席位。
现在丙系有 6 名学生转入甲乙两系，各系人数如下表 第 2 列所示。
200
100.0
20.0
20
21.000
21
第一节 公平的席位分配
按比例(表中第 3 列)分配席位时出现了小数(表中第 4 列)，在将取得整数的 19 席分配完毕后，三系同意剩下的 1 席参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系 分别占有10、6、4 席(表中第 5 列)。
因为有 20 个席位的代表会议在表决提案时可能出现 10:10 的局面，会议决定下一届增加 1 席。他们按照上述 方法重新分配席位，计算结果见表 6、7 列。
进一步说，如果对于某个实际问题我们用初等的方法 和所谓高等的方法建立了两个模型，它们的应用效果相差
第三章 初等模型
无几 , 那么受到人们欢迎并采用的, 一定是前者而非后者。 本章1～4节是几个用初等代数方法建立的模型； 5节用图形(曲线)对变量间关系作粗略分析，得到的
是半定性、半定量的模型，可称为图形法建模。
第三章 初等模型
如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、 确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用 初等数学的方法来构造和求解模型。
从本章介绍的若干实例(它属于初等数学的方法)，读 者能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有 兴味的实际问题了。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣全在于它的应用 效果，而不是采用了多么高深的数学方法。