第三章 初等模型 第一节 公平的席位分配

p1 、p2 为 A , B 两方的固定人数，n1 、n2为两方分配的席位 (可变)，若 p1 / n1 p2 / n2，则定义
rA(n1, n2 )
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
(1)
为对 A的相对不公平值。若 p2 / n2 p1 / n1，则定义
第一节 公平的席位分配
式，(5) 式等价于
p22
p12
(6)
n2(n2 1) n1(n1 1)
第一节 公平的席位分配
于是我们的结论是: 当 (6) 式成立时增加的 1 席应分给 A
方，反之则分给 B 方。 或者，若记 Qi pi2 / ni (ni 1)(i 1, 2)，则增加的 1 席
应分给 Q 值较大的一方。
第一节 公平的席位分配
不妨假设 p1 / n1 p2 / n2，不公平程度可用数值 p1 / n1 p2 / n2
衡量。如设 p1 120, p2 100, n1 n2 10, 则 p1 / n1 p2 / n2 12 10 2,
它衡量的是不公平的绝对程度，常常无法区分两种程度明 显不同的不公平情况。
第三章 初等模型
如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、 确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用 初等数学的方法来构造和求解模型。
从本章介绍的若干实例(它属于初等数学的方法)，读 者能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有 兴味的实际问题了。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣全在于它的应用 效果，而不是采用了多么高深的数学方法。
第三章 初等模型 第一节 公平的席位分配
某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系 60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分 配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应 占有10、6、4个席位。
现在丙系有 6 名学生转入甲乙两系，各系人数如下表 第 2 列所示。
进一步说，如果对于某个实际问题我们用初等的方法 和所谓高等的方法建立了两个模型，它们的应用效果相差
第三章 初等模型
无几 , 那么受到人们欢迎并采用的, 一定是前者而非后者。 本章1～4节是几个用初等代数方法建立的模型； 5节用图形(曲线)对变量间关系作粗略分析，得到的
是半定性、半定量的模型，可称为图形法建模。
不失一般性可设 p1 / n1 p2 / n2，即对 A 不公平。当再
第一节 公平的席位分配
分配 1 个席位时，关于pi / ni (i 1, 2)的不等式可能有以下 3 种情况：
1. p1 /(n1 1) p2 / n2 这说明即使 A 方增加 1 席，仍然 对 A 不公平，所以这一席显然应分给 A 方。
显然这个结果对丙系太不公平了，因为总席位增加 1 席，而丙系却由 4 席减为 3 席。
第一节 公平的席位分配
要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分 配席位的指标，并由此建立新的分配方法。
建立数量指标： 讨论 A，B 两方公平分配席位的情况。 设两方人数分别 p1和 p2，占有席位分别是 n1和 n2 , 则 两方每个席位代表的人数分别为 p1 / n1和 p2 / n2。显然仅当 p1 / n1 p2 / n2 时席位的分配才是公平的。但是因为人数 和席位都是整数，所以通常 p1 / n1 p2 / n2，分配不公平， 并且 pi / ni (i 1, 2)数值较大的一方吃亏，或者说对这一方 不公平。
上述方法可以推广到有 m 方分配席位的情况。设第 i 方人数为 pi，已占有ni (i 1, 2, , m) 个席位。当总席位增 加 1 席时，计算
rB (n1, n2 )
p2 / n2 p1 / n1 p1 / n1
(2)
为对 B的相对不公平值。
建立了衡量分配不公平程度的数量指标 rA 、rB 后，制 定席位分配方案的原则是使它们尽可能小。
确定分配方案：
假设 A，B 两方已分别占有 n1 和 n2席，利用相对不公 平值 rA 和 rB 讨论，当总席位增加 1 席时，应该分配给 A还 是 B.
平，参照(1)式可计算出对 A 的相对不公平值为
第一节 公平的席位分配
rA(n1 , n2 1)
p1(n2 1) 1 p2n1
(4)
因为公平分配席位的原则是使得相对不公平值尽可能
地小，所以如果
rB (n1 1 , n2 ) rA(n1 , n2 1)
(5)
则这 1 席应分给 A 方；反之则分给 B 方。根据 (3)、(4) 两
第一节 公平的席位分配
系 别
学 生 人 数
学生人数 的比例 (％)
20个席位 的分配
按比例 分配的
席位
参照惯 例的 结果
21个席位 的分配
按比例 分配的
席位
参照惯 例的 结果
甲 103
51.5
10.3
10
10.815
11
乙 63
31.5
6.3
6
6.615
7
丙 34
17.0
3.4
4
3.570
3
总 和
2. p1 /(n1 1) p2 / n2说明当 A 方增加 1 席时将变为对 B 不公平，参照(2)式可计算出对 B 的相对不公平值为
rB (n1 1 , n2 )
p2(n1 1) 1 p1n2
(3)
3. p1 / n1 p2 /(n2 1)即当 B 方增加 1 席时将对 A 不公
例如上述双方人数增加为p1 1020和p2 1000 而席位 n1和 n2 不变时，p1 / n1 p2 / n2 102 100 2, 即绝对不公
第一节 公平的席位分配
平程度不变。 但是常识告诉我们，后面这种情况的不公平程度比起
前面来已经大为改善了。
为了改进上述绝对标准，自然想到用相对标准。仍记
200
100.0
20.0
20
21.000
ห้องสมุดไป่ตู้
21
第一节 公平的席位分配
按比例(表中第 3 列)分配席位时出现了小数(表中第 4 列)，在将取得整数的 19 席分配完毕后，三系同意剩下的 1 席参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系 分别占有10、6、4 席(表中第 5 列)。
因为有 20 个席位的代表会议在表决提案时可能出现 10:10 的局面，会议决定下一届增加 1 席。他们按照上述 方法重新分配席位，计算结果见表 6、7 列。