线性规划对偶理论与灵敏度分析
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§2 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
§2-1线性规划的对偶问题
对偶:在不同的领域有着不同的诠释。在词语 中，它是一种修辞方法，两个字数相等、结构 相似的语句表现相关或相反的意思。在数学上 表现为数式或图形的对称,命题或结构的对应
1. 对偶问题的提出 例1 第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产
两种家电产品时,其线性规划问题为
变量个数—————— 约束个数
约束个数—————— 变量个数
约束系数行 ————— 约束系数列
对偶变换的规则
原问题(max)
技术系数矩阵 A 价值系数 C 右端项 b
第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 = 型
决策变量 xj 0 决策变量 xj 0 决策变量 xj 不限
约束个数—————— 变量个数
约束系数行 ————— 约束系数列
3. 非对称形式的原－对偶问题关系
对偶变换的规则
原问题(max)
技术系数矩阵 A 价值系数 C 右端项 b
第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 = 型
决策变量 xj 0 决策变量 xj 0 决策变量 xj 不限
15y1+24y2+5y3
1. 对偶问题的提出
所以 (LP2) min 15y1 24y2 5y3
st.5
6 y2 y3 y1 2 y2
2 y3
1
y1, y2 , y3 0
比较LP1和LP2
(LP1) max z 2x1 x2
5x2 15
st.6xx11
2x2 x2
对偶问题(min)
技术系数矩阵 AT
右端项 b
价值系数 C
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 不限
第 j 行约束条件为 型
第 j 行约束条件为 型
24 5
x1 , x2 0
( LP 2 )
min 15 y1 24 y2 5 y3
st.5
6y y1
2 y3 2 y2
2 y3
1
y1, y2 , y3 0
项目 I II 每天可用能力
设备A (h) 0 5
15
设备B (h) 6 2
24
调试程序 (h) 1 1
5
利润 2 1
每个线性规划问题都存在一个与其对应的对偶问题
s.t.
4
x1
3x2 3x2 x1 x2 x2
10 5
x1 x2 x2 5
x1, x2 , x2 0
应用标准型对偶变换规则
min h(w) 20w1 10w2 5w3 5w4
3w1 4w2 w3 w4 4
s.t.
2w1 3w2 w3 w4 5 2w1 3w2 w3 w4 5
w1, w2 , w3, w4 0
矩阵形式表示原－对偶问题
(P) max z CX
(D) min Y 'b
AX b
st.
X
0
互称对偶问题
A'Y C ' st.
Y 0
原问题(P)
对偶问题(D)
价格系数—————— 资源向量
资源向量—————— 价格系数
对应关系： 最大化 —————— 最小化
弃生产活动，出让自己的资源。
美佳公司愿意让自己资源的条件是，出让代价
应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时
获取的赢利。
项目 I II 每天可用能力
设备A (h) 0 5
15
设备B (h) 6 2
24
调试程序 (h) 1 1
5
利润 2 1
Leabharlann Baidu
1. 对偶问题的提出
用y1，y2，y3代表单位时间设备A、设备B和调试工
项目
I II 每天可用能力
设备A (h) 0 5
15
设备B (h) 6 2
24
调试程序 (h) 1 1
5
利润
21
(LP1) max z 2x1 x2
5x2 15
st. 6xx11
2x2 x2
24 5
x1 , x2 0
1. 对偶问题的提出
假定有某个公司想把美佳公司的资源买过来，
它至少应付出多大代价，才能使美住公司愿意放
令 y1 w1, y2 w2, y3 w3 w4 经整理得 :
min g( y) 20 y1 10 y2 5y3
s.t.
3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5
y1 0, y2 0, y3 不限
max f ( x) 4x1 5x2 5x2
3x1 2 x2 2 x2 20
序的出让代价，为使美佳公司愿意出让自己的资源 （出售资源后所得不应比生产产品所得少），则：
项目 I II 设备A (h) 0 5 设备B (h) 6 2 调试程序 (h) 1 1
利润 2 1
每天可用能力 15 24 5
6 y2 y3 2 5y1 2 y2 y3 1
收购美佳公司应付出 的代价为（总的收购价 越小越好）：
矩阵形式表示原－对偶问题
(P) max z CX
(D) min Y 'b
AX b
st.
X
0
互称对偶问题
A'Y C ' st.
Y 0
原问题(P)
对偶问题(D)
价格系数—————— 资源向量
资源向量—————— 价格系数
对应关系： 最大化 —————— 最小化
变量个数—————— 约束个数
原问题 maxZ=CX
AX b X0
对偶问题 minW=Y’b
A’Y C’ Y0
2. 对偶问题的一般形式
原问题（P）的一般形式
max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
st.
a21x1
a22
x2
a2n xn
b1
am1x1 am2 x2 amnxn b1
对偶问题(min)
技术系数矩阵 AT
右端项 b
价值系数 C
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 不限
第 j 行约束条件为 型
第 j 行约束条件为 型
第 j 行约束条件为 = 型
❖ 约束条件的类型与非负条件对偶 ❖ 非标准的约束条件类型对应非正常的非负条件
练 习：
化为(max, )型标准问题
x j 0( j 1, , n)
对偶问题（ D）的一般形式
min b1 y1 b2 y2 bm ym
a11y1 a21y2 am1 ym c1
st.a12 y1
a22y2
am2 ym
c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn
y j 0(i 1, , m)
§2-1线性规划的对偶问题
对偶:在不同的领域有着不同的诠释。在词语 中，它是一种修辞方法，两个字数相等、结构 相似的语句表现相关或相反的意思。在数学上 表现为数式或图形的对称,命题或结构的对应
1. 对偶问题的提出 例1 第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产
两种家电产品时,其线性规划问题为
变量个数—————— 约束个数
约束个数—————— 变量个数
约束系数行 ————— 约束系数列
对偶变换的规则
原问题(max)
技术系数矩阵 A 价值系数 C 右端项 b
第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 = 型
决策变量 xj 0 决策变量 xj 0 决策变量 xj 不限
约束个数—————— 变量个数
约束系数行 ————— 约束系数列
3. 非对称形式的原－对偶问题关系
对偶变换的规则
原问题(max)
技术系数矩阵 A 价值系数 C 右端项 b
第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 = 型
决策变量 xj 0 决策变量 xj 0 决策变量 xj 不限
15y1+24y2+5y3
1. 对偶问题的提出
所以 (LP2) min 15y1 24y2 5y3
st.5
6 y2 y3 y1 2 y2
2 y3
1
y1, y2 , y3 0
比较LP1和LP2
(LP1) max z 2x1 x2
5x2 15
st.6xx11
2x2 x2
对偶问题(min)
技术系数矩阵 AT
右端项 b
价值系数 C
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 不限
第 j 行约束条件为 型
第 j 行约束条件为 型
24 5
x1 , x2 0
( LP 2 )
min 15 y1 24 y2 5 y3
st.5
6y y1
2 y3 2 y2
2 y3
1
y1, y2 , y3 0
项目 I II 每天可用能力
设备A (h) 0 5
15
设备B (h) 6 2
24
调试程序 (h) 1 1
5
利润 2 1
每个线性规划问题都存在一个与其对应的对偶问题
s.t.
4
x1
3x2 3x2 x1 x2 x2
10 5
x1 x2 x2 5
x1, x2 , x2 0
应用标准型对偶变换规则
min h(w) 20w1 10w2 5w3 5w4
3w1 4w2 w3 w4 4
s.t.
2w1 3w2 w3 w4 5 2w1 3w2 w3 w4 5
w1, w2 , w3, w4 0
矩阵形式表示原－对偶问题
(P) max z CX
(D) min Y 'b
AX b
st.
X
0
互称对偶问题
A'Y C ' st.
Y 0
原问题(P)
对偶问题(D)
价格系数—————— 资源向量
资源向量—————— 价格系数
对应关系： 最大化 —————— 最小化
弃生产活动，出让自己的资源。
美佳公司愿意让自己资源的条件是，出让代价
应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时
获取的赢利。
项目 I II 每天可用能力
设备A (h) 0 5
15
设备B (h) 6 2
24
调试程序 (h) 1 1
5
利润 2 1
Leabharlann Baidu
1. 对偶问题的提出
用y1，y2，y3代表单位时间设备A、设备B和调试工
项目
I II 每天可用能力
设备A (h) 0 5
15
设备B (h) 6 2
24
调试程序 (h) 1 1
5
利润
21
(LP1) max z 2x1 x2
5x2 15
st. 6xx11
2x2 x2
24 5
x1 , x2 0
1. 对偶问题的提出
假定有某个公司想把美佳公司的资源买过来，
它至少应付出多大代价，才能使美住公司愿意放
令 y1 w1, y2 w2, y3 w3 w4 经整理得 :
min g( y) 20 y1 10 y2 5y3
s.t.
3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5
y1 0, y2 0, y3 不限
max f ( x) 4x1 5x2 5x2
3x1 2 x2 2 x2 20
序的出让代价，为使美佳公司愿意出让自己的资源 （出售资源后所得不应比生产产品所得少），则：
项目 I II 设备A (h) 0 5 设备B (h) 6 2 调试程序 (h) 1 1
利润 2 1
每天可用能力 15 24 5
6 y2 y3 2 5y1 2 y2 y3 1
收购美佳公司应付出 的代价为（总的收购价 越小越好）：
矩阵形式表示原－对偶问题
(P) max z CX
(D) min Y 'b
AX b
st.
X
0
互称对偶问题
A'Y C ' st.
Y 0
原问题(P)
对偶问题(D)
价格系数—————— 资源向量
资源向量—————— 价格系数
对应关系： 最大化 —————— 最小化
变量个数—————— 约束个数
原问题 maxZ=CX
AX b X0
对偶问题 minW=Y’b
A’Y C’ Y0
2. 对偶问题的一般形式
原问题（P）的一般形式
max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
st.
a21x1
a22
x2
a2n xn
b1
am1x1 am2 x2 amnxn b1
对偶问题(min)
技术系数矩阵 AT
右端项 b
价值系数 C
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 不限
第 j 行约束条件为 型
第 j 行约束条件为 型
第 j 行约束条件为 = 型
❖ 约束条件的类型与非负条件对偶 ❖ 非标准的约束条件类型对应非正常的非负条件
练 习：
化为(max, )型标准问题
x j 0( j 1, , n)
对偶问题（ D）的一般形式
min b1 y1 b2 y2 bm ym
a11y1 a21y2 am1 ym c1
st.a12 y1
a22y2
am2 ym
c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn
y j 0(i 1, , m)