自考04184线性代数(经管类)讲义第二章 矩 阵

第二章矩阵

2.1矩阵的概念

定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表

用

大小括号表示

称为一个m行n列矩阵。

矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。

其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素

（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i

称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。

通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为

A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n

当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。用O m×n或者O（大写字）表示。

特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。它是1×n矩阵。

当n=1时，称为m维列向量。

它是m×1矩阵。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。

例如，（a，b，c）是3维行向量，

是3维列向量。

几种常用的特殊矩阵：

1.n阶对角矩阵

形如或简写

为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，

例如，是一个三阶对角矩阵，

也可简写为。

2.数量矩阵

当对角矩阵的主对角线上的元n阶数量矩阵

素都相同时，称它为数量矩阵。有如下形式：

或。

（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）

特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。

n阶单位矩阵

记为E n或I n，

即

或

在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。

n阶数量矩阵常用aE n或aI n表示。其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。

3.n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵

的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

对角矩阵必须是方阵。

一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。

4.零矩阵

（可以是方阵也可以不是方阵）

2.2矩阵运算

本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义

了一些有理论意义和实际意义的运算后，才

能使它成为进行理论研究和解决实际问题

的有力工具。

2.2.1矩阵的相等（同）

设A=（a ij）m×n，B=（b ij）k×l，若m=k，n=l且a ij=b ij，i=1，2，…，m；j=1，

2，…，n，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。

由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等

指的是，它们的行数相同，列数也相同，而

且两个矩阵中处于相同位置（i，j）上的一

对数都必须对应相等。

特别，

A=（a ij）m×n=O a ij=0，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n。

注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，

例如

因为两个矩阵中（1，2）位置上的元素分别为0和2。但是却有行列式等式

（因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）

2.2.2矩阵的加、减法

定义2.2.2设A=（a ij）m×n和B=（b ij）m×n，是两个m×n矩阵。由A与B的对应元素相加所得到的一个m×n矩阵，称为A与B的和，记为A+B，即

A+B=（a ij+ b ij）m×n。

即若

则

当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。

例如

注意：

（1）矩阵的加法与行列式的加法

有重大区别

例如

（阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其它的不变。）

（2）阶数大于1的方阵与数不能相加。（阶数大于1它就是一个表，不是一个数了）

若A=（a ij）为n阶方阵，n>1，a 为一个数，则A+a无意义！但是n阶方阵A=（a ij）m×n与数量矩阵aE n可以相加：

（把数转化为数量矩阵aE n就可以想加了）

矩阵的加法满足下列运算律：

设A，B，C都是m×n矩阵，O是m×n零矩阵，则

（1）交换律A+B=B+A.（乘法没有交换律）（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）. （3）A+O=O+A=A.

（4）消去律A+C=B+C A=B.

2.2.3数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）

定义2.2.3对于任意一个矩阵A=（a ij）和任意一个数k，规定k与A的乘积为m×n

kA=（ka ij）m×n.（矩阵里的第个原数都乘以数K）

即若

则

由定义2.2.3可知，数k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以k，而数k 与行列式D n的乘积只是用k乘D n中某一行的所有元素，或者用k乘D n中某一列的所有元素，这两种数乘运算是截然不同的。

根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵aE n就是数a与单位矩阵E n的乘积。数乘运算律

（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l 为任意实数。

（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l为任意实数。

例1已知