凸透镜成像的数学模型

图1
四.讨论：
1.“凸透镜成像数学模型”公式证明了：当物点从无穷远S0平移移至镜面Sn时,其像为一“直线”。它从焦点F’出发，延直线SnＦ’经S5’、Ｓ7’移至无穷远Ｓ９’,然后再从直线SｎF’的另一端的S９’ 经Ｓ11’返还到点Sn。此“直线”中间断开、两端发散，方程为 Y=-Y0*X/ｆ+Y0。如图1。
三． 凸透镜成像数学模型的建立：
透镜成像作图法误差太大。为精确定位物点(光点）的凸透镜成像位置，我们建立数学模型:
首先,假设透镜为理想透镜。即１. 透镜相对于物体足够大。2. 透镜足够薄，以至于可以认为厚度为零。3.具有凸透镜三条特征光线的基本性质。4.不考虑色散。将一光点从无穷远S0以平行于光軸的方式移至凸透镜表面Sn，对其成像轨迹进行分析。
凸透镜成像的数学模型公式(3)、(４)同时也证明了，任何线段的凸透镜成像均为一“直线”。而当线段跨越界面ｆ时，此直线便分裂成两半，发散至无穷。
图2
例2.利用凸透镜成像的数学模型(3）、(4)，精确画出一跨越界面2f的圆,和一跨越界面f的三角形的凸透镜成像。如图２、图３。
只要设定图形拐点坐标,利用公式(３)、(４）计算出对应像点坐标，便可在直角坐标系中精确描绘出它的图像。需要精细的部位，可适当增加几个点。
例１:用公式（3)、(4）计算并分析物点从无穷远移至镜面,其像的坐标位置及大小变化。
1）当物点 S在高度为 Y0的无穷远处S0时，其像 Ｓ０' 的位置为
X= Ｘ0*f/(X0＋ｆ) =f／(1+ｆ/X0)=ｆ(当Ｘ0＝ -∞时，f/Ｘ0趋于0）
Y＝ Y０*f/(X0+f） = 0(当X０= －∞时， Ｙ0*f/ (Ｘ0+f)趋于0)
可广泛应用于复合透镜设计与误差分析、精密光学仪器的研究、制造。并提供可靠数据和理论依据 。
关键词:凸透镜成像数学模型精确数据光路图数据成像
一.目的:
在几何光学的学习中,每当讨论物体的凸透镜成像,必然要使用“透镜成像作图法”。然而实践证明，当两条特征光线接近平行时,用这作图方法根本无法确定交点的位置。另外,实际生活中见到的都是有形状、大小的真实物体,当真实物体从无穷远处经过2ｆ、f移至镜面时，其凸透镜所成之像如何变化?尤其是经过界面f时究竟是如何发散的，能否画出它的影像?
建立直角坐标系。把透镜光心放在坐标原点Ｏ，光軸与 OX軸重合。参考图１．
设透镜焦距为f,物点S0的坐标为（Ｘ０, Y0） ,X0的范国从负无穷到0;其像点的坐标为(X, Y）。
设像点与光心（即原点)连线的方程为 Y＝KX，由通过光心光线的基本性质，
其对应的物点也必在此直线上, 故 Ｋ=Y0/X0
所空间的物体可用正投影的方法,先将它投影到平面上。再用平面的凸透镜成像方法确定其三维空间的像的位置。
３） 平面几何图形的凸透镜成像问题可归结为线段的凸透镜成像: 在同一光路图中分别画出组成该几何图形的所有线段的光路图, 即可得到整个几何图形的凸透镜成像。
3. 重点是要借助于数学方法“非线性变换”，实现精确定位。
我们的目的就是要找出描绘真实物体凸透镜成像的有效方法，精确确定它的位置。
二.方法、步骤:
1.应用“凸透镜成像的基本原理”,也就是体现理想凸透镜光学本质的三条特征光线。
２.思路:
１) 任何复杂物体都可以用相对比较简单的几何图形来“逼近”。例如,球体可用正多面体来逼近。增加它的面数,即可提高它的精度。圆形可用正多边来逼近 · · ·
若使用“ＥXCＥL”或“几何画板”,则数据表和图像可自动生成，更方便、快捷。
由平行于光轴光线的基本性质，物点凸透镜成像轨迹为过焦点的一直线。 直线斜率为 –Ｙ0／ｆ，截距为Y0。
所以此直线方程为 Y=-Y0＊X/ｆ＋Y０（2)
则物点S对应像点S'的位置必须由方程(１)、(2）决定。
解之……得X=Ｘ0*f/（Ｘ0＋f) (3)
Y=Y0*f/(X0+ｆ） (4)
结论:对任何物点S，只要已知它的坐标(X0,Y０）， 其像的位置（X,Y)便可由公式(３) 、(4)唯一确定,并精确计算出来。 此结果被称之为“凸透镜成像数学模型”。
凸透镜成像的数学模型
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“凸透镜成像的数学模型”－------凸透镜数据成像基本原理的探究
简介：本文突破了传统透镜成像作图法的羁绊,改模拟的、近似的定性分析方法为定量的精确的分析方法。通过在坐标系中深入探究“线段的凸透镜成像”规律,创建了全新的“凸透镜成像数学模型”。它可精确确定每一像点的位置及“无穷远”的方位。一切物体都可以“凸透镜成像数学模型”绘制出“数据光路图”,得到该物体的凸透镜精确成像。从而为进一步创建“空间物体凸透镜数据成像”奠定基础。
即Ｓ0'的坐标为 (f， 0）,它的像就是焦点F’。
2） 当物点S在S3（-４f, Y0)时,
X= -4f*f／ （-4f+ｆ) =4f/3
Y＝ Y0*f/ （-4f+ｆ） ＝－Ｙ0／3
像点S3'的坐标为（4f／3, -Y0/3）。若把它看成一蜡烛,其像则为一缩小三倍的倒立实像。
３) 同理可以算得,对物点S5(-２f, Ｙ０)有像点 S5'(2f, -Y0）。
6) 当物点Ｓ在Ｓ11（-f／2， Ｙ0)时
X= (-ｆ／2） ＊f／(（－f/2)＋f)= -ｆ
Y= Ｙ0*f/ ( (-f／２)＋ｆ) ＝ 2Ｙ0
即像点S11' (-f, 2Ｙ0),为一正立放大二倍的虚像。
通过此例可清晰地看到,物点从无穷远、两倍焦距2ｆ外移至f和小于f时，它的像从一焦点逐渐变为倒立缩小实像、倒立放大实像，至无穷远,然后转化为正立放大虚像的完整过程。
其像为等高倒立实像。
4) 物点S７（-３f/２, Y0）有像点S７'(3f, -2Y０)。
为放大二倍的倒立实像。
5) 当物点S在S9(-f, Y0）时,像点S9'的坐标为
X= -f＊f/ (-f＋ｆ) = -∞
Ｙ= Ｙ0*f/（-f+f)= +∞
像点被定位在直线Y＝-Y0*Ｘ／ｆ+Ｙ0的无穷远“端点”处。