武汉大学2004年线性代数解答

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武汉大学2002-2003线性代数试题(54工)

备用试题武汉大学数学与统计学院2002-2003学年第2学期《线性代数》试题 (工科54学时)姓名学号班号专业成绩说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。

一、设四阶行列式D =10370121 34031221－－－－1）、求D 的代数余子式A 12； 2）、求A 11－2A 12＋2A 13－A 14 。

二、求满足A 2＝A 的一切二阶矩阵。

三、设A ＝ 111212122212 ...................... nn n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭，（0 ,1,2,...,i j a b i j n ≠=，），求()R A 四、已知向量组1α，2α，3α线性无关，令1123βααα=-+，21232βααα=++，312323βααα=-+，讨论向量组123, , βββ的线性相关性。

五、设线性方程组为23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x ax a xa x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ ，1) 如果1234, , , a a a a 两两不相等，问所给方程组是否有解？2) 如果1324, (0)a a k a a k k ==-≠＝＝，且已知12ββ，是该方程组的两个特解，其中：T T12(1, 1, 1)(1, 1, 1)ββ==-－，，试写出此方程组的通解。

六、设三阶方阵A 的三个特征值为1,0,1321-=λ=λ=λ，A 的属于321,,λλλ的特征向量依次为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=520,210,002321ααα，求方阵A 。

七、已知二次型123(, , )f x x x ＝222312132343448x x x x x x x x -+-+1) 写出二次型f 的矩阵A ； 2）用正交变换把二次型f 化为标准型。

2004-2005第二学期线性代数试题参考答案

----------------------------精品word 文档值得下载值得拥有---------------------------------------------- 2004级2004-2005第二学期线性代数试题参考答案一、填空题（每小题3分，共15 分）1． ))()((b c a c a b ---； 2. 相关; 3. 12536-; 4. 44<<-t ; 5.可以二、选择题(每小题3分,共15 分)1. B2. C;3. D;4. A;5. C三、计算题(每小题10分共30分)1.行列式的值为36-.2. B X E A X B AX =-⇒+=)(.,110101111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-E A 0≠-E A , E A -可逆. 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-=-143311410352111211101)(1B E A X . 3. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==00001000021003511991191103281120351),,,(4321T T T T A αααα.向量组的秩为3,它的一个极大无关组为421,,ααα.四、解答题(每小题12分, 共24分)1. 方程组的增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300002621037321134551353137321b b .当3=b 时,方程组有解.此时的方程组为⎩⎨⎧=++=+++26237324324321x x x x x x x ,它有一特解T )0,0,2,3(.对应的齐次线性方程组为⎩⎨⎧=++=+++06207324324321x x x x x x x ,它有基础解系T )1,3,0,2(--, T )0,1,2,1(--. 故原方程组的通解为 T )0,0,2,3(+k T )1,3,0,2(--+l T )0,1,2,1(--,k 与l 为任意常数.2. 二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=312132220A .由由 0=-A E λ得A 的特征值2-=λ, 和4=λ(二重). 当2-=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T )1,1,2(-,当6=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T T )1,1,1(,)1,1,0(-.易知这三个向量是两两正交的. 只需再将它们单位化即可得正交矩阵----------------------------精品word 文档值得下载值得拥有---------------------------------------------- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=61312161312162310P 使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-2441AP P . 在正交变换PYX =下,232221244y y y f -+=. 五、证明题(每小题8分,共16分)1. 对B 按列分块, []321B B B B =, 则对于方程0=AX ,321,,B B B 都是其解.由于0B ≠, 故方程0=AX 至少有一个非零解,其充要条件是0=A .而)2(5-=λA . 所以2=λ. 此时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000850321A ,秩2)(=A r . 方程0=AX 的基础解系只含一个向量X, )3,2,1(,==i X k B i i . 所以秩3,11)(=-<=n n B r . 故B 的伴随矩阵*B 的秩为0.2. 因三维向量组(I):321,,ααα中的三个向量分别是三阶矩阵A 的属于特征值 0, 1, 3 的特征向量, 一定是线性无关的. 因此等价于其构成的行列式0321≠ααα. 而向量组(II): 421,,ααα线性相关等价于0421=ααα. 向量组(III): 4321,,αααα-满足条件0421*******≠-=-αααααααααα. 故向量组(III)线性无关.。

《线性代数》课后习题答案

《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。

（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

线性代数第四版课后习题答案

线性代数第四版课后习题答案线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。

而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。

本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。

第一章：线性方程组1.1 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：2x + 3y + z = 74x + 2y + 5z = 43x + 4y + 2z = 5解得x = 1，y = -1，z = 2。

1.2 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：x - 2y + 3z = 12x + y + z = 23x + 4y - 5z = -1解得x = 1，y = 0，z = 0。

第二章：矩阵代数2.1 习题答案：1. 解：设矩阵A为：3 45 6则A的转置矩阵为：1 3 52 4 62.2 习题答案：1. 解：设矩阵A为：1 23 4则A的逆矩阵为：-2 13/2 -1/2第三章：向量空间3.1 习题答案：1. 解：设向量v为：123则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。

3.2 习题答案：1. 解：设向量v为：23则v的单位向量为v/||v||，即：1/sqrt(14)2/sqrt(14)3/sqrt(14)第四章：线性变换4.1 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：T(x, y) = (y, -x)4.2 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即：T(x, y) = (2x, 2y)通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问题中的应用。

通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。

线性代数课后习题答案全解.pdf

第一章行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102−−−;解 381141102−−−=2×(−4)×3+0×(−1)×(−1)+1×1×8 −0×1×3−2×(−1)×8−1×(−4)×(−1) =−24+8+16−4=−4. (2)b a c a c b cb a ;解 ba c a cb cb a=acb +bac +cba −bbb −aaa −ccc =3abc −a 3−b 3−c 3. (3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2−ac 2−ba 2−cb =(a −b )(b −c )(c −a ). 2(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx −y 3−(x +y )3−x =3xy (x +y )−y 3 3−3x 2 y −x 3−y 3−x =−2(x 3 3+y 3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:).(1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2;解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解逆序数为2)1(−n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) (2n ) (2n −2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解逆序数为n (n −1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n −2) (n −1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23 解含因子a 的项. 11a 23(−1)的项的一般形式为t a 11a 23a 3r a 4s 其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. ,所以含因子a 11a 23 (−1)的项分别是t a 11a 23a 32a 44=(−1)1a 11a 23a 32a 44=−a 11a 23a 32a 44 (−1), t a 11a 23a 34a 42=(−1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42 4. 计算下列各行列式:.(1)71100251020214214; 解 71100251020214214010014231020211021473234−−−−−======c c c c 34)1(143102211014+−×−−−= 143102211014−−=01417172001099323211=−++======c c c c .(2)2605232112131412−; 解 2605232112131412−26053212213041224−−=====c c 041203212213041224−−=====r r 0000003212213041214=−−=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab −−−;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab −−−ec b e c b ec b adf −−−=abcdef adfbce 4111111111=−−−=.(4)dc b a 100110011001−−−. 解d c b a 100110011001−−−dc b aab ar r 10011001101021−−−++===== d c a ab 101101)1)(1(12−−+−−=+01011123−+−++=====cd c ada ab dc ccdad ab +−+−−=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a −b )3 证明;1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c −−−−−−=====ab a b a b a ab 22)1(22213−−−−−=+21))((a b a a b a b +−−==(a −b )3 (2) . y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2, c 2−c 1 得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2得)022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b −−−−−−−−−=)()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b +++−−−= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++−++−−−−−−= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++−−−−−= =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ). (5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x xn n n+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−− =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n .证明用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+−=, 命题成立. 假设对于(n −1)阶行列式命题成立, 即 D n −1=x n −1+a 1 x n −2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −2x +a n −1则D , n 按第一列展开, 有 11100 100 01)1(11−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−+=+−x x a xD D n n n n =xD n −1+a n =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n 因此, 对于n 阶行列式命题成立. .6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(−−==, D 3 证明因为D =det(a =D .ij ), 所以 nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−=−− )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(−−+−+⋅⋅⋅++−=−=.同理可证 nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=− )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(−−−=−=. D D D D D n n n n n n n n =−=−−=−=−−−−)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k (1)为k 阶行列式): aa D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解 aa a a a D n 010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 000 0010 000)1(−×−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=n n n aa a )1()1(2 )1(−×−⋅⋅⋅⋅−+n n n a a an n n n n a a a+⋅⋅⋅−⋅−=−−+)2)(2(1)1()1(=a n −a n −2=a n −2(a 2−1).(2)xa aa x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解将第一行乘(−1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a aa a x D n −−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n −1)a ](x −a )n −1 (3). 111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=−−−+n a a a n a a a n a a a D n n n n nn n ; 解根据第6题结果, 有 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=−−−++此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++−−+−−=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++−−−=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+−++−⋅−⋅−=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+−=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn −−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n −2−b n c n D 2n −2, 即D 2n =(a n d n −b n c n )D 2n −2于是 . ∏=−=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D −==,所以 ∏=−=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij 解 a =|i −j |; ij =|i −j |, 043214 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 04321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213−⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(−1)n −1(n −1)2n −2 (6).nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=====−−100001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111000011 000 00 11000 01100 001 −−−−−−+−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=−−−−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1) =+++−=−−−−=+−+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解因为 14211213513241211111−=−−−−=D , 142112105132412211151−=−−−−−−=D , 284112035122412111512−=−−−−−=D , 426110135232422115113−=−−−−=D , 14202132132212151114=−−−−−=D , 所以 111==D D x , 222==D Dx , 333==DD x , 144−==D D x .(2)=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解因为 665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100065000611==D , 114551010651000650000601000152−==D , 703511650000601000051001653==D , 39551601000051000651010654−==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452−=x , 6657033=x , 6653954−=x , 6652124=x .9. 问λ, µ取何值时, 齐次线性方程组 =++=++=++0200321321321x x x x x x x x x µµλ有非零解？解系数行列式为µλµµµλ−==1211111D .令D =0, 得 µ=0或λ=1.于是, 当µ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组 =−++=+−+=+−−0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解系数行列式为λλλλλλλ−−+−−=−−−−=101112431111132421D=(1−λ)3 =(1−λ)+(λ−3)−4(1−λ)−2(1−λ)(−3−λ) 3+2(1−λ)2 令D =0, 得+λ−3. λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3 解由已知:的线性变换.= 221321323513122y y y x x x ,故= −3211221323513122x x x y y y−−−−=321423736947y y y ,−+=−+=+−−=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换++=++−=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,+−=+=+−=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3 解由已知的线性变换.−= 221321514232102y y y x x x−− −=321310102013514232102z z z−−−−=321161109412316z z z ,所以有 +−−=+−=++−=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设 −−=111111111A ,−−=150421321B , 求3AB −2A 及A T 解 B .−−− −− −−=−1111111112150421321111111111323A AB−−−−= −−− −=2294201722213211111111120926508503,−= −− −−=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积: (1)−127075321134;解 −127075321134 ×+×+××+×−+××+×+×=102775132)2(71112374=49635.(2)123)321(;解123)321(=(1×3+2×2+3×1)=(10).(3))21(312−;解 )21(312−×−××−××−×=23)1(321)1(122)1(2−−−=632142. (4)−−−−20413121013143110412 ; 解−−− −20413121013143110412 −−−=6520876. (5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3321x x x )322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设 =3121A ,=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为=6443AB ,=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2 解 (A +B )吗? 2≠A 2+2AB +B 2 因为.=+5222B A ,=+52225222)(2B A=2914148,但 + +=++43011288611483222B AB A=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2 (3)(A +B )(A −B )=A . 2−B 2 解 (A +B )(A −B )≠A 吗? 2−B 2 因为.=+5222B A ,=−1020B A ,==−+906010205222))((B A B A ,而= −=−718243011148322B A ,故(A +B )(A −B )≠A 2−B 2 6. 举反列说明下列命题是错误的:.(1)若A 2 解取=0, 则A =0;=0010A , 则A 2 (2)若A =0, 但A ≠0. 2 解取=A , 则A =0或A =E ;=0011A , 则A 2 (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .=A , 但A ≠0且A ≠E . 解取=0001A , −=1111X ,=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k 解 . ==12011011012λλλA , ===1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=101λk A k . 8. 设=λλλ001001A , 求A k 解首先观察. =λλλλλλ0010010010012A=222002012λλλλλ,=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121−−−−. 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，−=⋅=−−−+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A+++=+−+−−+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:−=−−−k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T 证明因为A AB 也是对称矩阵.T (B =A , 所以T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T 从而B AB ,T 10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .AB 是对称矩阵.证明充分性: 因为A T =A , B T (AB )=B , 且AB =BA , 所以 T =(BA )T =A T B T 即AB 是对称矩阵.=AB ,必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T AB =(AB )=AB , 所以T =B T A T 11. 求下列矩阵的逆矩阵:=BA .(1)5221; 解=5221A . |A |=1, 故A −1 存在. 因为−−= =1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =−−−=1225. (2)−θθθθcos sin sin cos ; 解−=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A −1 存在. 因为−= =θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =−−=θθθθcos sin sin cos . (3)−−−145243121; 解−−−=145243121A . |A |=2≠0, 故A −1 存在. 因为−−−−−= =214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =−−−−−−=1716213213012. (4)n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知=−n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1) −=12643152X ; 解 −=−126431521X − −−=12642153 −=80232. (2) −=−−234311*********X ; 解 1111012112234311−−− −=X−−− −=03323210123431131 −−−=32538122. (3) −= − −101311022141X ;解 11110210132141−− − − −=X− −=210110131142121 =21010366121=04111. (4)−−−= 021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010−−−−− =X −−− =010100001021102341100001010 −−−=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) =++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ; 解方程组可表示为= 321153522321321x x x , 故 = = −0013211535223211321x x x ,从而有 ===001321x x x . (2) =−+=−−=−−05231322321321321x x x x x x x x x . 解方程组可表示为=−−−−−012523312111321x x x , 故 =−−−−−= −3050125233121111321x x x , 故有 ===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1 证明因为A . k =O , 所以E −A k E −A =E . 又因为k =(E −A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1所以 (E −A )(E +A +A ),2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1由定理2推论知(E −A )可逆, 且)=E ,(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.证明一方面, 有E =(E −A )−1 另一方面, 由A (E −A ).k E =(E −A )+(A −A =O , 有2)+A 2−⋅ ⋅ ⋅−A k −1+(A k −1−A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1故 (E −A ))(E −A ),−1(E −A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1两端同时右乘(E −A ))(E −A ),−1 (E −A ), 就有−1(E −A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.15. 设方阵A 满足A 2−A −2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A −1及(A +2E )−1 证明由A .2 A −A −2E =O 得2或 −A =2E , 即A (A −E )=2E ,E E A A =−⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A −=−. 由A 2 A −A −2E =O 得2或 −A −6E =−4E , 即(A +2E )(A −3E )=−4E ,E A E E A =−⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A −=+−.证明由A 2−A −2E =O 得A 2 |A −A =2E , 两端同时取行列式得 2即 |A ||A −E |=2,−A |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2由 A ≠0, 故A +2E 也可逆. 2 ⇒A −A −2E =O ⇒A (A −E )=2E−1A (A −E )=2A −1)(211E A A −=−E ⇒,又由 A 2 ⇒ (A +2E )(A −3E )=−4 E ,−A −2E =O ⇒(A +2E )A −3(A +2E )=−4E所以 (A +2E )−1(A +2E )(A −3E )=−4(A +2 E )−1 ,)3(41)2(1A E E A −=+−.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )−1 解因为−5A *|.*||11A A A =−, 所以 |||521||*5)2(|111−−−−=−A A A A A |2521|11−−−=A A=|−2A −1|=(−2)3|A −1|=−8|A |−1 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)=−8×2=−16.−1=(A −1 证明由)*.*||11A A A =−, 得A *=|A |A −1 |A *|=|A |, 所以当A 可逆时, 有n |A −1|=|A |n −1从而A *也可逆.≠0,因为A *=|A |A −1 (A *), 所以−1=|A |−1又A .*)(||)*(||1111−−−==A A A A A , 所以(A *)−1=|A |−1A =|A |−1|A |(A −1)*=(A −1 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:)*.(1)若|A |=0, 则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n −1 证明.(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)−1 A =A A *(A *)=E , 由此得 −1=|A |E (A *)−1所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.=O ,(2)由于*||11A A A =−, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n 若|A |≠0, 则|A *|=|A |.n −1 若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.;因此|A *|=|A |n −1.19. 设−=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解由AB =A +2E 可得(A −2E )B =A , 故− −−−=−=−−321011330121011332)2(11A E A B −=011321330. 20. 设 =101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解由AB +E =A 2 (A −E )B =A +B 得 2即 (A −E )B =(A −E )(A +E ).−E , 因为01001010100||≠−==−E A , 所以(A −E )可逆, 从而=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, −2, 1), A *BA =2BA −8E , 求B . 解由A *BA =2BA −8E 得 (A *−2E )BA =−8E , B =−8(A *−2E )−1A =−8[A (A *−2E )]−1 =−8(AA *−2A )−1 =−8(|A |E −2A )−1 =−8(−2E −2A )−1 =4(E +A )−1 =4[diag(2, −1, 2)]−1−1)21 ,1 ,21(diag 4−==2diag(1, −2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵−=8030010100100001*A , 且ABA −1=BA −1+3E , 求B .解由|A *|=|A |3 由ABA =8, 得|A |=2. −1=BA −1 AB =B +3A ,+3E 得 B =3(A −E )−1A =3[A (E −A −1)]−1 A 11*)2(6*)21(3−−−=−=A E A E−=−−=−1030060600600006603001010010000161. 23. 设P −1 −−=1141P AP =Λ, 其中,−=Λ2001, 求A 11 解由P . −1AP =Λ, 得A =P ΛP −1, 所以A 11= A =P Λ11P −1 |P |=3, .−=1141*P ,−−=−1141311P ,而−= −=Λ11111120 012001,故−− −−−=31313431200111411111A −−=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中−−=111201111P ,−=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E −6A +A 2 解 ϕ(Λ)=Λ). 8(5E −6Λ+Λ2 =diag(1,1,5)8)[diag(5,5,5)−diag(−6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P )diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).−1 *)(||1P P P Λ=ϕ−−−−−− −−−=1213032220000000011112011112=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A −1+B −1 证明因为也可逆, 并求其逆阵.A −1(A +B )B −1=B −1+A −1=A −1+B −1而A ,−1(A +B )B −1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A −1(A +B )B −1可逆, 即A −1+B −1 (A 可逆.−1+B −1)−1=[A −1(A +B )B −1]−1=B (A +B )−1 26. 计算A .−−−30003200121013013000120010100121. 解设 =10211A , =30122A , −=12131B ,−−=30322B ,则 2121B O B E A O E A+=222111B A O B B A A ,而 −= −−+−=+4225303212131021211B B A ,−−= −− =90343032301222B A , 所以 2121B O B E A O E A +=222111B A O B B A A−−−=9000340042102521, 即−−−30003200121013013000120010100121−−−=9000340042102521. 27. 取==−==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021010*********0021010010110100101==−−=−−=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 ||||||||D C B A D C B A ≠. 28. 设 −=22023443O O A , 求|A 8|及A 4解令. −=34431A ,=22022A , 则=21A O O A A ,故 8218=A O O A A=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .= =464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1−O B A O ; 解设 =−43211C C C C O B A O , 则O B A O 4321C C C C = =s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得====s n EBC OBC O AC E AC 2143⇒ ====−−121413B C O C O C A C ,所以= −−−O A B O O B A O 111. (2)1−B C O A . 解设 =−43211D D D D B C O A , 则 = ++= s nE O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得=+=+==s nEBD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒ =−===−−−−14113211B D CA B D O D A D ,所以−= −−−−−11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1)2500380000120025; 解设 =1225A , =2538B , 则−−= =−−5221122511A ,−−==−−8532253811B .于是 −−−−= = =−−−−850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)4121031200210001. 解设 =2101A ,=4103B ,=2112C , 则−= =−−−−−−1111114121031200210001B CA B O A BC O A−−−−−=411212458103161210021210001.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1)−−340313021201;解−−340313021201(下一步: r 2+(−2)r 1, r 3+(−3)r 1 ~. )−−−020*********(下一步: r 2÷(−1), r 3 ~÷(−2). )−−010*********(下一步: r 3−r 2 ~. )−−300031001201(下一步: r 3 ~÷3. )−−100031001201(下一步: r 2+3r 3 ~. )−100001001201(下一步: r 1+(−2)r 2, r 1+r 3 ~. )100001000001.(2)−−−−174034301320;解−−−−174034301320(下一步: r 2×2+(−3)r 1, r 3+(−2)r 1 ~. )−−−310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2 ~. )0000310010020(下一步: r 1 ~÷2. )000031005010.(3)−−−−−−−−−12433023221453334311;解−−−−−−−−−12433023221453334311(下一步: r 2−3r 1, r 3−2r 1, r 4−3r 1~. )−−−−−−−−1010500663008840034311(下一步: r 2÷(−4), r 3÷(−3) , r 4~÷(−5). )−−−−−22100221002210034311(下一步: r 1−3r 2, r 3−r 2, r 4−r 2~. )−−−00000000002210032011.(4)−−−−−−34732038234202173132. 解−−−−−−34732038234202173132(下一步: r 1−2r 2, r 3−3r 2, r 4−2r 2~. )−−−−−1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3−8r 1, r 4−7r 1 ~. )−−41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2×(−1), r 4−r 3~. )−−−−00000410001111020201(下一步: r 2+r 3~. )−−00000410003011020201. 2. 设= 987654321100010101100001010A , 求A .解100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(−1))−=100010101.− =100010101987654321100001010A= − =287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1)323513123;解 100010001323513123~−−−101011001200410123~ −−−−1012002110102/102/3023~−−−−2/102/11002110102/922/7003~−−−−2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为−−−−21021211233267.(2)−−−−−1210232112201023.解−−−−−10000100001000011210232112201023~−−−−00100301100001001220594012102321~−−−−−−−−20104301100001001200110012102321~ −−−−−−−106124301100001001000110012102321 ~−−−−−−−−−−10612631110`1022111000010000100021 ~−−−−−−−106126311101042111000010000100001故逆矩阵为−−−−−−−10612631110104211. 4. (1)设 −−=113122214A ,−−=132231B , 求X 使AX =B ;解因为−−−−=132231 113122214) ,(B A−−412315210 100010001 ~r ,所以−−==−4123152101B A X .(2)设−−−=433312120A , −=132321B , 求X 使XA =B . 解考虑A T X T =B T . 因为−−−−=134313*********) ,(T T B A−−−411007101042001 ~r ,所以−−−==−417142)(1T T T B A X ,从而−−−==−4741121BA X . 5. 设−−−=101110011A , AX =2X +A , 求X .解原方程化为(A −2E )X =A . 因为−−−−−−−−−=−101101110110011011) ,2(A E A−−−011100101010110001~,所以−−−=−=−011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r −1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r −1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, −1, 0, 0, 0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:−0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1)−−−443112112013;解−−−443112112013(下一步: r 1↔r 2 ~. )−−−443120131211(下一步: r 2−3r 1, r 3−r 1 ~. )−−−−564056401211(下一步: r 3−r 2 ~. )−−−000056401211, 矩阵的2秩为, 41113−=−是一个最高阶非零子式.(2)−−−−−−−815073*********;解−−−−−−−815073*********(下一步: r 1−r 2, r 2−2r 1, r 3−7r 1 ~. )−−−−−−15273321059117014431(下一步: r 3−3r 2~. )−−−−0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223−=−是一个最高阶非零子式.(3)−−−02301085235703273812. 解−−−02301085235703273812(下一步: r 1−2r 4, r 2−2r 4, r 3−3r 4~. )−−−−−−023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1~. )−0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3−16r 2. )~−02301000001000071210 ~−00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=−是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ×n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设−−−−=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 −−−−=32321321k k k A+−−−−−)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =−2且k ≠1时, R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠−2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组: (1) =+++=−++=−++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−212211121211~ −−−3/410013100101,于是 ==−==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为−= 1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2) =−++=−−+=−++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−−−5110531631121~−000001001021,于是 ===+−=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为+−= 10010*********k k x x x x (k 1, k 2 (3)为任意常数).=−+−=+−+=−++=+−+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−7421631472135132~1000010000100001,于是 ====0004321x x x x ,故方程组的解为 ====00004321x x x x .(4) =++−=+−+=−+−=+−+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−3127161311423327543~−−000000001720171910171317301,于是 ==−=−=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为−−+= 1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组: (1) =+=+−=−+83111021322421321321x x x x x x x x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有。

2004年武汉大学高等代数解答2

武汉大学 2004 年硕士研究生入学考试
《高等代数》试题解答
1．解
由
A
=1， 2
⎛ ⎜⎝
1 3
A
⎞ ⎟⎠
−1
=
1 A* 9 27 A
= 6 A* ，而
A*
=
A 2 ，故
⎛ ⎜⎝
1 3
A
⎞−1 ⎟⎠
−10
A*
=
−4 A*
= −64
A*
= −16 ．■
2．解将 Dn 加边得，
1 a1
an
0 Dn =
综上，存在 K 上的 n 阶可逆矩阵T ，使得 f ( y) = Ty (∀y ∈U ) 是U 到V 的同构映射．■
另一方面，由 B 表达式，知 B 的逆可由 E, A, A2 表出，令 B−1 = aA2 + bA + cE ，则
( )( ) BB−1 A2 − 2 A + 2E aA2 + bA + cE = E
利用多项式恒等知识得
a
=
1 10
,b
=
3 10
,
c
=
2 5
，而
⎛ ⎜⎝
1 10
A2
+
3 10
A
+
2 5
E
⎞ ⎟⎠
B
=
E
，
故， B 的逆即为 1 A2 + 3 A + 2 E ．■ 10 10 5
5．证因为 AA* = A* A = A E ，故 A* A = A n ，若 A ≠ 0 ，则 A* = A n−1 ．
若 A = 0 ，则当 r ( A) = 0 , A = 0 ， A* = 0 ，故 A* = A n−1 ，

线性代数答案第四版(高等教育出版社)

(1) 1 2 3 4;
(2) 4 1 3 2;
(3) 3 4 2 1;
(4) 2 4 1 3;
(5) 1 3 · · · (2n − 1) 2 4 · · · (2n);
(6) 1 3 · · · (2n − 1) (2n) (2nห้องสมุดไป่ตู้− 2) · · · 2.
解
(1) 逆序数为 0.
(2) 逆序数为 4: 4 1, 4 3, 4 2, 3 2.
(4)
x
y x+y
y x + y x = x(x + y)y + yx(x + y) + (x + y)yx − y3 − (x + y)3 − x3
x+y x
y
= 3xy(x + y) − y3 − 3x2y − 3y2x − x3 − y3 − x3 = −2(x3 + y3).
2 . 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
70
第一章行列式
课后的习题值得我们仔细研读. 本章建议重点看以下习题: 5.(2), (5); 7; 8.(2). (这几个题号建立有超级链接.) 若您发现有好的解法, 请不吝告知.
1 . 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
201 (1) 1 −4 −1 ;
−1 8 3
abc (2) b c a ;
1
2
第一章行列式
(3) 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4) 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)
逆序数为
n(n−1) 2
:
3 2...........................................................................1 个 5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个 .................................................................................. (2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n − 1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n − 1) 个

武汉大学数学与统计学院 2005-2006第一学期《线性代数》B卷(供72学时用)

武汉大学数学与统计学院2005－2006第一学期《线性代数》B 卷（供72学时用）姓名学号专业成绩一、计算题：（以下5题，每题8分，共40分） 1．设()11,1,1αT=()21,2,3αT=()31,3,t αT=，求t 使得线性相关.2．已知矩阵，求A 的伴随阵*A . 3．已知111222333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求22005A A 和.4．计算：211121314222122324233132334244142434100001111x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+++.及矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩. 5．设n 阶方阵A 的各行元素之和均为，当A 可逆，且时，求的各行元素之和.二、解答题和证明题（以下6题，共60分）：1．(10分)求解齐次线性方程组: 12341234123412343 0253 044319022 0x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎪⎨-++=⎪⎪--+=⎩.2．(10分)求矩阵X ，使满足AX =A +2X , 其中301110014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.3．(10分)设线性空间3R 中的六个向量如下:1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652(1)求出由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数，并选出一个基； (2)对1β和2β中属于L (1α,2α,3α,4α)者，给出其在(1)中所选的基下的坐标. 4．(15分)设A 的一个特征值为1, 其中A ＝.(1)求常数；(2)求可逆矩阵P ，使AP 为对角阵；(3)设向量=(5, 3, 3)，计算A (k 为正整数).5．(10分)已知A 是n 阶可逆矩阵, 证明A T A 是n 阶正定矩阵. 6．(5分)设是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵（n m ≤），其中I 是n 阶单位矩阵，若AB I =，证明B 的列向量组线性无关.（2005－2006上）线性代数B 卷参考解答：一、计算题：1．对实数,令：得方程组，其系数行列式,即t=5时，方程组有非零解，相应，线性相关.2．由初等变换求得101110123321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，则*1011012321A A A -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭.3．记，，因此所以2()()()A αβαβαβαβT T TT ==，而，则26A A =；同理可求:20052004()()()()()()()AαβαβαβαβαβαβαβαβαβT T T T T T T T T =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=＝20046A .4. 第1列乘以i x -加到第1i +列(1,2,3,4)i =,则12341234110000100001001x x x x x D x x x ----=421234i=142i=11+010001+001000001001i i x x x x x x ----==∑∑.易知0D A =≠, 则矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为4. 5．因的各行元素之和为，即，(),或，即.又因为A 可逆，得，即各行元素之和均为.二、解答题和证明题：1．对系数矩阵作初等行变换化：因24()()R A R B ==<，故有无穷多解。

04级线性代数试题及答案

04级线性代数试题一、选择题1．设|A |是四阶行列式，且|A |=-2，则||A |A |=( )．(A) 4； (B)8； (C)25； (D) -25 ． 2．设A,B,C 为同阶方阵，且ABC =E .则下列各式中不成立的是( )．(A) CAB =E ； (B)111B A C E ---=； (C) BCA =E ； (D)111C A B E ---=． 3．11223344(1,0,0,),(1,2,0,),(1,2,3,),(2,1,5,),T T T T αλαλαλαλ===-=-设1234,,,,().λλλλ其中是任意实数则有(A) 123,,ααα总线性相关； (B) 1234,,,αααα总线性相关； (C) 123,,ααα总线性无关； (D) 1234,,,αααα总线性无关． 4．设12,,,s ααα 和12,,,t βββ 为两个n 维向量组，且1212(,,,)(,,,)s t r r r αααβββ== ，则( )． (A) 两向量组等价；(B) 1212(,,,,,,,)s t r r αααβββ= ；(C)当12,,,s ααα 能由12,,,t βββ 线性表示时，两向量组等价； (D) 当s t =时，两向量组等价．5．下列说法中向量组12,,,s ααα 必定线性相关的是( )． (A) 121,,,s βββ- 可由12,,,s ααα 线性表示； (B) 12121121(,,,,,,,)(,,,)s s s r r αααββββββ--= ； (C) 1212(,,,)(,,,,)s s r r ααααααβ= ；(D) 12121212,,,,,,,s s s s βββαααγγγγγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中线性相关.6．11(),1(1,2,,)().n ij ij j in j A a n n a x a i n -==-==∑ 设为阶可逆方阵则元线性方程组(A)有唯一解； (B)无解；(C)有无穷多解； (D)以上三种结果都可能发生．7．已知二阶实对称矩阵A 的一个特征向量为31-⎛⎫⎪⎝⎭，且|A |<0，则下面必为A 的特征向量的是( )．(A) 31k -⎛⎫⎪⎝⎭； (B)13⎛⎫ ⎪⎝⎭； (C) 121231,0013k k k k -⎛⎫⎛⎫+≠≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且； (D) 121231,,13k k k k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不同时为零.8．若矩阵A 与B 相似，则( )．(A)E A E B λλ-=-； (B) |A | = |B |；(C)A,B 有相同的特征向量； (D) A 与B 均与一个对角矩阵相似． 9．当A 是( )时，A 必合同与单位阵．(A) 对角矩阵； (B) 对称矩阵； (C) 正定矩阵； (D) 正交矩阵． 10．n 阶实对称矩阵A 正定的充要条件是( )． (A)A 的所有特征值非负； (B)r (A )=n ； (C)所有k 阶子式为正(1≤k ≤n )； (D)1A -为正定矩阵．二、填空题1．多项式10223()71043171x x xf x x-=--中，常数项为． 2．设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且|A |=|B |=2，则*020A B=- ．3． ,,αβγ为三维列向量，已知三阶行列式|4,2,2|40γαβγα--=，则行列式|,,|αβγ ．4．设A ,B 均为四阶方阵，r (A )=3, r (B )=4，则r (A *B *)= ．5．设1121A ⎛=⎪⎭，已知A 6=E ，则A 17= ．6．设A 为对称矩阵，B 为与A 同阶的正交矩阵，则111()()T T B B A B A E B ---++= ．7．设为四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为．8．设A,B 均为n 阶方阵，且|AB |=1，则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数的和为．9．若A 相似于diag (1, -1,2)，则13||A -= ． 10．当t 满足条件时，二次型f 是正定的，其中2221231231223(,,)222f x x x x x x x x tx x =++++三、计算题1．*1*102010,2,,001A A XA A X E A A -⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭设且其中是的伴随矩阵.X 求矩阵2．λ取何值时，方程组1231231232125541x x x x x x x x x λλ--=-⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩ 无解、有唯一解或有无穷多解？在有无穷多解时求其通解。

武汉大学线代往届试题

⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒； ⃒ ⃒ ⃒ ⃒
2. �� = |��|,其中 �� = (�� ) 是 2007 阶方阵, �� = �� − ��.
二. （10 分）设 ��1 = (1, 0, 2, 1), ��2 = (2, 0, 1, −1), ��3 = (1, 1, 0, 1), ��4 = (4, 1, 3, 1), 求向量组 ��1 , ��2 , ��3 , ��4 的秩和一个极大无线性关组.
三. (40 分) 证明与讨论 ⎧ ⎪ ⎪ ��1 + ��2 + ��3 = 0 ⎨ 1. 设有线性方程组 ��1 + ��2 + ��3 = 3 ⎪ ⎪ ⎩ �� + �� + �� = �� − 1 1 2 3 并在有无穷多解时求出其通解.
3
武汉大学 2006 – 2007 学年第一学期
《线性代数B》 (工科 54 学时)试题
一. (10 分) 计算下列行列式 ⃒ ⃒ �� ⃒ 1 0 ��1 0 ⃒ ⃒ 0 ��1 0 ��1 1. �� = ⃒ ⃒ �� ⃒ 2 0 ��2 0 ⃒ ⃒ 0 ��2 0 ��2
2
武汉大学 2005 – 2006 学年第二学期
《线性代数D 》 (工科 36 学时)试题
一. (30 分) 计算题 1. 设 ��1 = (3, 21, 0, 9, 0), ��2 = (1, 7, −1, −2, −1), ��3 = (2, 14, 0, 6, 1), 求向量组 ��1 , ��2 , ��3 的一个极大无关组.

武汉大学2004-2005线性代数试题(54工)

备用试题武汉大学数学与统计学院2004-2005学年第2学期《线性代数》试题 (工科54学时)姓名学号班号专业成绩一、是非题(本题满分12分,每小题4分.请在正确命题前的括号内填上“√”,否则填上“×”)( ) 1）设A 是n m ⨯实矩阵,x 为1⨯n 实矩阵，则⇔=0Ax A T0=Ax ;( ) 2）设向量321,,βββ都可由向量21,αα线性表示,则321,,βββ线性相关；( ) 3）设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，则A 和E A 2+皆可逆;二、填空题(本题满分12分,每空4分.将正确结果填入题中横线上的空白处).1）排列7564132的逆序数为； 2）设A 是3阶矩阵，R(A) = 2，若矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201010101，则R(AB) = _______;3）设B A ,为可逆方阵，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1O B A O .三、（10分）求矩阵A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------11011111100222021110的秩。

四、（10分）若向量αm 是向量 121, ,, m ααα- 的线性组合，但不是122, ,, m ααα- 的线性组合，证明：αm -1是122, , , m ααα- , αm 的线性组合。

五、（10分）设1λ、2λ和3λ是三阶实对称矩阵A 的三个不同的特征值，其中T 1) 3 1, 1, (ξ=、T 2) 5, 4, (ξa =依次是A 的属于特征值1λ、2λ的特征向量，求实常数a 以及3λ所对应的特征向量。

六、（15分）就λ取值讨论⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++λλλλλλλλλ3)3()1(32)1(2)3(321321321x x x x x x x x x 的解的情况，在有无穷多解时，求出其通解。

七、（10分）设A 为三阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则 1 ()2()0 ()1R A R A R A *=⎧=⎨=⎩ ，试证明之。

1989-2004数学三、四考研试题(线性代数部分3)

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）三、计算证明题1. 已知X=AX+B ，其中A =，B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−1-01111010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−350211求矩阵X .。

（1989年数学三、四）2. 设)t ,3,1(),3,2,1(),1,1,1(321===ααα。

（1）问当t 何值时，向量组321,,ααα线性无关? (2) 问当t 何值时，向量组321,,ααα线性相关?（3）当向量组321,,ααα线性相关时，将3α表示为21,αα的线性组合。

（1989年数学三）3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1-222-12221A（1）试求矩阵A 的特征值（2）利用（1）小题的结果，求矩阵1−+A E 的特征值，其中E 是三阶单位矩阵。

（1989年数学三）4. 讨论向量组)t ,3,5(),-1,3,1(),0,1,1(321===ααα的线性相关性。

（1989年数学四）5. 已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+++=+++=−+++=++++2334562203235432154325432154321x x x x x b x x x x x x x x x ax x x x x （1）为何值时，方程组有解？b a ,（2）方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；（3）方程组有解时，求出方程组的全部解。

（1990年数学三、四）6. 已知对于n 阶矩阵A ，存在自然数k ，使得。

试证明矩阵可逆，并写0A k =A E −出其逆矩阵的表达式（E 为n 阶单位阵）。

（1990年数学三）7. 设A 为n 阶矩阵，21,λλ是A 的两个不同的特征值，是分别属于21x ,x 21λλ和的特征向量。

试证明21x x +不是A 的特征向量。

（1990年数学三）8. 设A 为矩阵，1010×⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000101000001000001000001010"""""""""""A计算行列式||E A λ−.（1990年数学四）9. 设方阵A 满足条件E A A T=，其中是A 的转置矩阵，E 为单位阵。

武汉大学649数学分析2004年(回忆版)考研专业课真题试卷

x x f ( ) + (2 x − 3 y 2 ) f ( xy ) + xy (1 − y 2 ) f ' ( xy ) 2 y y
二、设 x1 > 0，x= n +1 证明：
3(1 + xn ) ， (n 1, 2,3...) ，证明： lim xn 存在，并求出极限 = n →∞ 3 + xn
∑ arctan 2k
∞
1
2
5.
+ + + ... A(π ) 5 ！ 9! 13! = 4 8 12 π π 1 π B(π ) + + + + ... 3! 7！ 11! 15! eπ − e −π π A( x) − π 3 B( x) = sin x A(π ) −x ⇒ x = π 4π −π= π 2 − e e 3 B (π ) e − e π A( x) + π B ( x) = 2 4π 3
( x , y ) → (0,0)
lim
y y 1 + ( )2 x
≤
( x , y ) → (0,0)
lim = y 0
（2）可微性
∂f y3 = ∂x ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 ∂f x3 = ∂y ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 ( x, y ) = (ky, y ) 1 ∂f )3 显然不连续 =( 2 ∂x k +1 同样 ∂f 不连续。所以不可微 ∂y
6.
1+
π4
π8
π 12
= 设：F ( x , y) Fy' ( x, y ) =

2004考研数学试题线性代数综述

例1 （04，4）设，−−=100001010A AP P B 1−=，其中P 为3阶可逆矩阵，则220042A B−=______________.2004年线性代数参考题综述李永乐今年线性代数共有20个考题，但数学一与数学二有4个题完全一样，另一题的题型仍是一样的.区别仅在方程组未知数的个数是n 与4，而数学三与数学四有一个题完全一样，实际上有14个不同的考题，所涉及的知识点有：含参数的3阶、4阶及n 阶行列式的计算，通过矩阵方程转换到抽象行列式的计算.矩阵方幂的计算（涉及相似、分块、对角等）、初等矩阵性质的运用、矩阵等价、AB = 0、正交矩阵几何意义、秩的概念与性质.含参数向量的线性表出、由矩阵秩判断向量组线性相类.齐次、非齐次线性方程组求通解、解的性质的运用、基础解系中向量个数的判定与求法.求矩阵的特征值与特征向量、相似对角化的判定与计算、实对称矩阵特征值性质、由特征向量反求矩阵A.二次型的秩纵观04年考题，难度上比03年略有下降，要重视对基本概念、基本方法及原理的考核，注重知识点的衔接与转换，试题的灵活性有所加强.从阅卷反映出的问题看，有些同学复习备考不扎实、有动手晚仓猝上阵之嫌，有的考生计算能力实在太差，基本计算错误屈层出不穷，也有些同学在概念、原理的理解上有偏差，逻辑推理不严谨，…….下面通过对几个考题的分析，希望对05年考研同学如何复习线代能有所帮助.[分析] 本题考查n 阶矩阵方幂的计算.因为 −−= − −=−10010110011001102利用分块矩阵的方幂=n n nB A B A 0000易知−−= −−=10001000110000101022A 从而E A A ==100222004)(那么，由AP P B 1−=有P A P AP PP A P AP P AP P B 2111112)())((−−−−−===因此 E EP P P A P B===−−1200412004故−= −−= =−1000300031000100012100010001222004A B例2 （04，）设矩阵，矩阵B 满足12=100021012A E BA +=**2ABA ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则 |B |=_____________.[分析] 由于，易具本题 |A | = 3，用A 右乘矩阵方程的两端，有E A A A AA ||**==A B E A A B AB =−⇒+=)2(3633|||||2|33A B E A =−⇒又因1100001010|2|=−=−E A ，故 |B |=91[评注] 填空题难度不大，计算量也不会太大，主要考查考生对基本概念、定义、公式、基本定理、基本性质和基本方法的识记、理解、掌握和简单运用.同时考查快捷准确运算能力和简单推理能力.鉴于此考生在复习时要注重基础，对基本运算要正确熟练.要提高运算能力，不能华而不实，浮燥.例3 （04，）设A ，B 为满足AB = 0的任意两个非零矩阵，则必有 12（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 [ ][分析] 设A 是矩阵，B 是n m ×s n ×矩阵，且AB = 0，那么n B r A r ≤+)()(由于A 、B 均非零矩阵，故n B r n A r <<<<)(0,)(0. 由秩的列秩，知A 的列向量组线性相关. A A r =)(由秩的列秩，知B 的行向量组线性相关. B B r =)(故应选（A）例4 （04，）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有 32（A）当|A | = a 时，|A | = a 0≠a （B）当|A | = a 时，|B | = a 0≠a （C）当|A |时，|B | = 0 a ≠（D）当|A | = 0时，|B | = 0[分析] 所谓矩阵A 与B 等价，即A 经初等变换得到B ，而A 与B 等价的充分必要条件是A 与B 有相同的秩.经过初等变换行列式的值不一定相等，也不一定是相反数.例如，若把矩阵A 的等1行乘以5得到矩阵B ，那么A 与B 等价，而|A | = a 时，|B | = 5a ，可知（A ）与（B ）均不正确.若|A |，说明，而|B | = 0说明r a ≠n A r =)(n B <)(与A 、B 等价有相同的秩不符.（C）不正确.当|A | = a ，秩，故秩n A r <)(n B r <)(，那么|B | = 0，即（D）正确. [评注] 选择题主要用于考查考生对数学基本概念、基本方法的掌握程度以及比较、判别能力.还可以用于鉴别考生易于出现的方法和概念性错误.例3把AB = 0、矩阵的秩、向量组的秩、向量组的线性相关性等概念串联、转换.例4把矩阵等价、行列式、矩阵的秩衔接起来，只有平时重视对概念的复习，多从不同的角度不同的侧面进行思考，接口切入点多了做题才能顺手.例 5 （04，3）设,，试讨论当a , b 为何值时TT T b a b a a )2,2,1(,)3,2,1(,)0,2,1(321+−−−=−+==αααT )3,3,1(−=β（I）β不能由321,,ααα线性表示；（II）β可由321,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III）β可由321,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解设有效使得321,,k k k βααα=332211,,k k k （≠）记A = (321,,ααα).对矩阵（A 、β）施以初等行变换，有−+−−−+−=333230222111)(b a a b a A β −+−−−→3112300111b a a ba−−−→011000111b a ba（I）当a = 0, b 为生意常数时，有−−−→11100000111)(bA β可知)()(βA r A r ≠，故方程组（≠）无解，β不能由321,,ααα线性表示. （II）当，且时，0≠a b a ≠)()(βA r A r ≠=3，故方程组（≠）有惟一解0,1,11321==−=k a k a k ，则β可由321,,ααα惟一地线性表示，其表示式为211)11(a aa a +−=β（III）当0≠=b a 时，对)(βA 施以初等行变换，有−−→01000110001)(11a A β可知)()(βA r A r == 2，故方程组（≠）有无穷多解，其全部解为c k c a k a k =+=−=321),1(,11，其中c 为任意常数.β可由321,,ααα线性表示，但表示不惟一，其表示式为321)1(11ca a c aa a+++−=β.例6 （04，）设矩阵的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.12−−−=51341321a A 解 A 的特征多项式为53342111−−−−−−λλλa53042112−−−−−−=λλλλa53041111)2(−−−−−−=λλλa530130111)2(−−−−−−=λλλa. )3188)(2(2a ++−−=λλλλ若2=λ是特征方程二重根，则有，解得.03181622=++−a 2−=a 当时，A 的特征值为2,2,6，矩阵的秩为1，故2−=a−−−−=−3213213212A E 2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2=λ不是特征方程的二重根，为完全平方，从而，解得a 31882++−λλ16=318+a 32−=a .当32−=a 时，A 的特征值为2,4,4，矩阵−−−=−11301323432A E 的秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化.[评注] 解答题主要考查考生对数学的基本原理、方法、公式掌握和熟练运用的程度，证明题主要考查考生对数学主要定理、原理的理解和掌握程度.例5线性表出是常规题，方法是基本的.例6考查含参行列式的计算，特征值、相似对角化的理论，综合性较强，从卷面看各种错误（计算的、概念原理的、逻辑上的）还是很多的，我们应看出即使是解答题线性代数题难度适中，正确复习之后完全能拿下，但概念性强，有一定的综合性与灵活性因此复习时要注意对概念的理解，对方法的把握，注意知识的内在联系，要确保基本计算准确熟练.与其它学科相比，数学成绩的方差历来较大，学数学要靠积累、消化、循序渐进，愿有志者抓紧抓细抓早.。

武汉大学2004-2005线性代数试题(54文)

备用试题武汉大学数学与统计学院2004-2005学年第1学期《线性代数》试题 (文科54学时)姓名学号班号专业成绩一、（共5小题，每小题6分共30分）给出下列各问题的答案：1）、四阶阵000400201000510000A -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为何？ 2）、已知1(102)T x , , =、T , , x )54(32=是三元非齐次线性方程组b Ax =的两个解向量，则对应齐次线性方程0=Ax 的一个非零解为何？3）、在3R 中，1( 1, 1, 1 )α=，2( 1, -2, 1 )α=，使123ααα，，为正交向量组的非零向量3α为何？ 4）、矩阵之积10099010123001100345010001567100⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为何？ 5）、设三阶矩阵A 有一个特征值为1，且0A =及A 的主对角线元素的和为0，则A 的其余二个特征值为何？二、（12分）设矩阵1410,1102P D ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矩阵A 由矩阵方程1P AP D -=确定，试求5A 。

三、（12分）设向量 ()13, 21, 0, 9, 0α=, ()21, 7, 1, 2, 1α=--- , ()32, 14, 0, 6, 1α=,求向量组 123, , ααα 的秩并求一个极大线性无关组。

四、（12分）已知二阶方阵A 的特征值为1λ=1及2λ=13-，方阵2B A A I =++，求B 的特征值及B 的行列式的值。

五、（12分）已知二次型22(,)545f x y x xy y =++ 经正交变换''x x P y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化成了标准形，试求出二次型的标准形并给出所用的正交矩阵P 。

六、（12分）设B 是三阶非零矩阵，齐次线性方程组Ax O =由1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩给出，如果AB O =，试求λ的值和B七、（10分）设向量组 12, ,,s ααα⋅⋅⋅ 线性无关，而12, ,,s ααα⋅⋅⋅,, βγ线性相关，如果, βγ都不能由向量组12, ,,s ααα⋅⋅⋅线性表出，证明：向量组U :12, ,,s ααα⋅⋅⋅,β与向量组V : 12, ,,s ααα⋅⋅⋅,γ 等价。

2004数学三考研真题答案

2004数学三考研真题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 答案：B解析：对函数f(x)=xe^x求二阶导数，得到f''(x)=(x+2)e^x>0，说明f(x)在实数域上是凸函数，故C、D选项错误。

2. 答案：B解析：设λ是矩阵A=(aij)的特征值，则满足|A-λI|=0，其中I表示3阶单位矩阵。

由特征值的定义得到：```| 1-λ -1 1 || -1 1-λ 1 || 2 -2 3-λ |```对行列式按第三行展开，得到：```λ^3 - 5λ^2 + 7λ - 3 = 0```解得特征值为λ=1，λ=2，λ=3。

综上，A的特征值即1、2、3。

解析：当x与y不同时，tanα=(tanx+tany)/(1-tanxtany)代入x=-π/8，y=π/8，可得tanα=-√2，因此α=3π/44. 答案：C解析：将函数f(x)=(x+1)ln(x+1)-(x-1)ln(x-1)化简，得到f(x)=ln[(x+1)^{x+1}/(x-1)^(x-1)]。

因此，当x>1时，f(x)>0，当0<x<1时，f(x)<0。

5. 答案：A解析：由于f(x)在[-1,1]上连续，存在x0∈(-1,1)，使得f(x0)=(a+b)/2由题意，可知∫[-1,1]f(x)dx=a由均值定理，存在ξ∈(-1,1)，使得f(ξ)=(a+b)/2因此，f(ξ)-(a+b)/2=0，即f(ξ)=0，故选项A正确。

6. 答案：B解析：对g(x)进行泰勒展开，有：g(x)=g(1)+g'(1)(x-1)+g''(1)/2(x-1)^2+O((x-1)^2)其中，g(1)=f(1)/2=cos1，g'(1)=f'(1)/2=-sin1，g''(1)=f''(1)/2=-cos1因此，在x=1处的二阶泰勒展开为：g(x)≈cos1-sin1(x-1)-cos1/2(x-1)^2解析：由已知条件得到三角方程√3cos(x-π/4+π/6)=0即cos(x-π/4+π/6)=0，根据余弦函数的性质得到x-π/4+π/6=π/2+kπ，其中k为整数因此，x=π/4-π/6+π/2+kπ=7π/12+kπ，故选项D正确。

武汉大学《线性代数》04 第四章.ppt

2 1
,
a3
1 2
,
b
3 3
则 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示.
解方程组 x1a1 x2a2 x3a3 b
即解方程组
2 x1 x1 2
x2 x2
x3 x3
0 3
x1 x2 2 x3 3
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10
得
x1 1 1
x2 x3
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定义3: 设向量组 A :1,2 , ,m 及 B : 1, 2 , , l
若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。
若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称向量组 A 与向量组 B 等价。
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第四章向量组的线性相关性
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1
§1 向量组及其线性组合
定义1：n 个数 a1 , a2 , , an 所组成的有序数组
称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。
这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。
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8
定义2：设向量组 A :1,2 , ,m , 和向量 b 若存在一组实数 1,2 , m , 使得 b 11 22 mm
则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合，或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。
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9
例如： 2
1
1 0
a1
1 1
,
a2
称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。

2004考研线代部分

2004考研线代部分一.填空（1）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B91. 【解】已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2，而3=A ，于是有 AB AB +=63，即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B （2）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ D ]【解】由题设，有B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，C B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110001，于是， .100001110100110001100001010C A A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡可见，应选(D).（3）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵, 则 =-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003 ．【解】因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000100012A , P A P B 200412004-=.故E EP P P A P B ===--11002212004)(,=-220042A B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003.（4）设()33⨯=ija A 是实正交矩阵，且111=a ，Tb )0,0,1(=，则线性方程组b Ax =的解是T)0,0,1(．【解】因为 b A x 1-=, 而且()33⨯=ij a A 是实正交矩阵, 于是 1-=A A T , A 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-0011312111a a a b A b A x T.选择题：(1) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D).(2) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ]【解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).（3）设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ] 【解1】设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则由AB=O 知， n B r A r <+)()(.又A,B 为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A).【详解2】由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，而B 为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A 的列向量组线性相关。

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武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目：高等代数科目代码：804一、设A 为3阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，1det 2A =，求11det(()10*)3A A --.（10分）二、计算n 阶行列式1212121200nnn n n a a a a a a a a D a a a a ++++=++，其中0,1,2,,j a j n ≠=.（10分）三、设A 为m n ⨯矩阵，A 的秩()R A Y =，证明存在m Y ⨯矩阵B 和Y n ⨯矩阵C 且()()R B R C Y ==，使A BC =.（10分）四、已知322,22A E B A A E ==-+，证明B 可逆，并求出其逆.（15分）五、A 为n 阶矩阵，*A 为其A 的伴随矩阵，证明：1det *(det )n A A -=.（20分）六、设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明：（1） AB 的特征值全大于零；（10分）（2）若AB BA =，则AB 是正定矩阵.（5分）七、求矩阵1111m nA ⨯⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭（即A 中的每个元素都为1）的最小多项式.（15分）八、设V 是复数域上的n 维线性空间，,f g 是V 的线性变换，且fg gf =，证明：（1）如果λ是f 的特征值，那么V λ（λ的特征子空间）是g 的不变子空间；（8分）（2）,f g 至少有一个公共的特征向量.（7分）九、设A 为n 阶方阵，证明：如果()()R A R A E n +-=，则A 可对角化.（20分）十、设,A B 是数域K 上的m n ⨯矩阵，且()()R A R B =（()R A 是矩阵A 的秩）。

设齐次线性方程组0AX =和0BX =的解空间分别是,U V 。

证明存在K 上的n 阶可逆矩阵T ，使得()()f y Ty y U =∀∈是U 到V 的同构映射.（20分）武汉大学2004年高等代数试题解答以下如有不妥之处还请大家批评与指正！！Godyalin 于2006年2月14日星期二一、解11*1*11det(())|310||||310|3||A A A A A A A ---=-=- 1*12|310|2|310|||2|35|(2)n AA AA E A E E E -+=-=-=-=--二、解为此我们先证明这样一个事实：设A 是可逆矩阵，则有1100E A B A B CA E C D D CA B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式有 1||||(1)A B A D CA B CD-=+-1100A B E BD A BD CC D E CD --⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式有 1||||(2)A BD A BD C C D-=+-由（1）（2）知11||||||(*)||D D CA B A BD C A --+=+回到本题的计算。

将n D 改写为一列两个方阵之和的行列式，再凑成1D CA B -+的形状1222,2n a a D M a -⎛⎫⎪- ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭想办法再把M 的形式变成（*）中所需要的形式112121111110011n n a a M a a a a -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭11112122122212222n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a -+++⎛⎫⎛⎫⎪⎪-+++⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪-+++⎝⎭⎝⎭11122122121111100121n n n n a a a a D a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪∴=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，由（*）式得， 1211212221111101012100101011n n n n a a a a a D a a a a ---⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭11211101(2)()012ni in n n i i n a a a a a n ==⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=-+- ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭∑∑ 11212221211111111()22(2)1()122111(2)[(1)](2)()[(2)()()]24n i in nnii n n n n nnn n i i i i i i i i i i n a a a a n a n a a a a a n a a a ==-=====--=---=---=---∑∑∑∑∑∑∏三、解rankA Y =，故存在可逆矩阵,P Q ，使得()00000YY Y EE A P Q P E Q ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中Y E 是Y 阶单位矩阵记(),0,0Y YE B P C E Q rankB rankC Y ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，此时有A BC =。

四、解由已知222B A A E =-+，将32A E =代入得2322(2)()(2)B A A A A A A E A A E A E =-+=+-=-+（*）下证（*）式可逆（1） A 的可逆性由32A E =两边取行列式，可得||0A ≠，得证。

（2）A E -的可逆性由32A E =变形2()()A E A A E E -++=两边取行列式，可得||0A E -≠，得证。

（3）2A E +的可逆性由32A E =变形2(2)(24)10A E A A E E +-+=两边取行列式，可得|2|0A E +≠，得证。

由（1）（2）（3）可得，|||||||2|0B A A E A E =-+≠，所以B 可逆。

1111(2)()B A E A E A ----∴=+-分别由（1）（2）（3）可得1212121(2)(24)10()12A E A A E A E A A E A A ---+=-+-=++=121(4)10B A A E -∴=++ 五、解**||,||||n AA A E AA A =∴=，又**||||||AA A A =故||0A ≠时，*1||||||||nn A A A A -== ||0A =时，若*000rankA A A =⇒=⇒=若*0,||0rankA AA A E >∴==**rankA rankA n rankA n ∴+≤⇒< **1||0||||n A A A -∴=⇒=综上所述，*1||||n A A -=六、解我们先证明这样一个事实：引理：给定两个正定矩阵C ，D ，则方程||0C D λ-=的根都大于0由C 正定，则存在实可逆矩阵T ，使得T CT E '=，此时T CT '仍为正定矩阵，故存在正交矩阵P ，使得1n d P T DTP d ⎛⎫⎪''=⎪ ⎪⎝⎭，此时P T CTP E ''=，令M=TP 故存在一个实可逆矩阵M ，使得C ，D 同时化为对角形，即1n M CM E d M DM d '=⎧⎪⎛⎫⎪⎨ ⎪'=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，1||||||||0nd M C D M M CM M DM d λλλλ-'''∴-=-==-知0,1,2,,k d k n λ=>=（1）A ，B 正定，1A -∴也正定，从而由1||0A B λ--=的根全大于0，即||0E AB λ-=的根全大于0，这说明AB 的特征根全大于0 （2）,()AB BA AB B A BA AB '''=∴===，AB ∴为正定矩阵七、解方法一、化E A λ-为对角形1111111111111()E A n λλλλλλλλ⎛⎫---⎛⎫⎪⎪ ⎪---⎪⎪-=→→ ⎪--- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎪-⎝⎭()()A g n λλλ∴=-方法二、1()||(),()|()n A A A f E A n g f λλλλλλ-=-=-，又当0λ=时有n-1个线性无关的特征向量，从而A 可对角化，又()0A g λ=与()0A f λ=的根集相同，()()A g n λλλ∴=- 八、解（1）欲证 V λ是g 的不变子空间，即,V g V λλαα∀∈∈即可，从而证()()f g g αλα= 任取V λα∈，则由α是f 的属于λ的特征向量有f αλα=()()()()()()f g fg gf g f g g ααααλαλα===== g V λα∴∈（2）将g 限于到V λ上看，即|g V λ在其上任取一组基12,,,s εεε知（3） |g V λ在12,,,s εεε下的矩阵为A ，则||0E A λ-=在复数域上必有根，不妨设μ为其一根，则由()0E A X λ-=解出0X ，令120( ,,,)s X γεεε= 知|()g V λγμγ=，同时V λγ∈有()f γλγ=从而,f g 至少有一个公共特征向量。

九、解0000A E A A E EE E A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭00E AE A E E E E A A E E A A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 200E E A E E A E A E E E A A E A A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22000E A E E E A EA A E A A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭20000A Erank rank A E A A ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 2()()n rankA rank A E rankE rank A A ∴=+-=+- 222()00rank A A A A A A ∴-=⇒-=⇒=其详细证法，以及多种证法和其归纳见我论坛上的的文章矩阵的秩与矩阵相等十、（暂未做出）以下如有不妥之处还请大家批评与指正！！Godyalin 于2006年2月14日星期二。