空间立体几何中的平行、垂直证明

D1 A1
DE A
C1
B1
F
HC B
定理应用
空间中的平行
例2.如图所示，在四棱锥P ABCD中，已知四边形ABCD是
平行四边形，M, N分别是ＰＡ，ＢＣ的中点，
证明：ＭＮ／／面ＰＣＤ
P
M
A
D
B
N
C
定理应用
构造平行四边形
P
M A
H D
B
N
C
空间中的平行
定理应用
构造平行平面
P
M
A
Q
D
B
N
C
空间中的平行
复习定理
空间中的垂直
解决空间直线与平面垂直的相关问题，特别要注意下面的 转化关系：
线线垂直
空间垂直之间的转化
①
③
②
线面垂直
④
面面垂直
复习定理
空间中的垂直
1．直线与平面垂直判定
判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,则称这条直线和这个平面垂直.
l P mn
m
n m
n
P
l
.
lm
又AA1⊥平面ABC， CD⊂平面ABC， ∴AA1⊥CD.
又AA1∩AB＝A， ∴CD⊥平面AA1B1B.
又CD⊂平面CA1D， ∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.
例 2. 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中， △PAB 为正三角形，且面 PAB⊥面 ABCD， 四边形 ABCD 是直角梯形，且 AD∥BC， ∠BCD＝π4，AD＝1，BC＝2，E 为棱 PC 的中点． (1)求证：DE∥平面 PAB； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PBC；
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n源自文库②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C)
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
是相交直线或异面直线.故②③错，选C.
例 1. 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝BC， 点 D 是 AB 的中点．
分析： (1)证明线面平行只需在平面内找一条和 该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线 的平面和已知平面平行；(2)证明面面垂直，只需在 一个平面内找到另一个平面的垂线.
(1) 证明 如图所示，取线段 BC 的中点 F， 连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点， ∴EF∥PB. 在直角梯形 ABCD 中，F 为 CB 的中点， ∴BF＝12BC＝1. 又∵AD∥BC，且 AD＝1， ∴AD // BF. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B， ∴平面 EFD∥平面 PAB. 又∵DE⊂平面 EFD，∴DE∥平面 PAB.
F
构造平面法
(1) 证明 如图所示，取线段 PB 的中点 H， 连接 EH、ＡＨ.
在△PBC 中，E、Ｈ和分别为 PC、PB 的中点， ∴EH // BC. 在直角梯形 ABCD 中， ∵AD∥BC，且 AD＝1，BC＝２ ∴AD // 12BC. ∴AD // EH. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴ＥD∥AH.
a //
a
a
//
b
b
☺ 简称：线面平行，线线平行.
复习定理
空间中的平行
3.平面与平面平行的判定与性质
➳判定: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行，则这两个平面平行．
a,b
a a
//
b
A
//
b //
☺ 简称：线面平行，面面平行.
复习定理
空间中的平行
4.平面与平面平行的判定与性质
l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直.
l m
l
m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.
b
b
b
☺ 简称：线面垂直，面面垂直.
复习定理
空间中的垂直
4．平面与平面垂直性质
性质：如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内垂直于 交线的直线必垂直于另一个平面.
β
a
αl
a a
l
l
a
☺ 简称：面面垂直，线面垂直.
练习：.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、
γ表示三个不同的平面.
在证明平行或垂直的问题中，认真体会“转化”这 一数学思想方法．不仅要领悟“平行”“垂直”内部 间的转化，还要注意平行与垂直之间的转化关系． 2．弄清各类问题的关键点，把握问题的层次，重视容易 忽视的问题，如证平行时，由于过分强调线线、线面、 面面平行的转化，而忽视由垂直关系证平行关系；证 垂直时，同样忽视由平行关系来证明和利用勾股定理 计算证明．
➳性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的任何一条直线都平行于另外一个平面。
a
//
a
//
☺ 简称：面面平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
5.平面与平面平行的判定与性质
➳性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ，那么它们的交线平行．
//
a
a
// b
b
☺ 简称：面面平行，线线平行.
定理应用
空间中的平行
1.长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E, F分别是BA1，BC1的中点。 求证：EF // 平面ABCD
D1
C1
看到中点找中点
A1
B1
F
DE C
A
B
定理应用
空间中的平行
方法一）：构造平行四边形
D1 A1
DE A
M
C1
B1
F
C
N
B
定理应用
空间中的平行
方法二）：构造平行平面
又∵ＡＨ⊂平面 PAB，且ＥD 平面 PAB
∴DE∥平面 PAB.
H
构造平行四边行法
(2)证明 在直角梯形中，CB⊥AB， 又∵平面 PAB⊥平面 ABCD， 且平面 PAB∩平面 ABCD＝AB， ∴CB⊥平面 PAB. ∵CB⊂平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PAB.
1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下 列形式转化．
空间中的平行与垂直
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD.