恒定磁场的基本方程

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K 2
ey


ey


K 2
e
y


ey
K Ku
n (H2

H1 ) ex
[ Key 2
(
Key )] 2
Kez K
折射定律
当K=0时:
tanα1
=
B1t B1n
tan1
=
H 1t H 1n
在各向同性的线性介质中
两对上下放置传输线的磁场分布
两对平行放置传输线的磁场分布
长直螺线管磁场的分布(B 线)
一载流导线 I 位于无限大铁 板上方的磁场分布(B 线)
4.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
1. 磁通连续性原理
实验表明 B 是无头无尾的闭合线,恒定磁场是无 源场。(在任意媒质中均成立)
散度定理:
s B dS 0 BdV 0
所以: un(H2 H1) u K
n(H2 H1) K
验证无限大截流导体薄板两边衔接条件
H1


K 2
ey
H2wk.baidu.com

K 2
ey
n ex u ez t n u ex ×ez ey
K 无限大截流导板
H1t H2t H1 t H2 t
1 r
)dV
矢量恒等式
( AC ) C A AC
0

J( x, y,z )(
1 r
)
(
1 r
)



J
(
x,
y,
z
)
0

J
(
x,
y,
z
)



(
1 r
)
0
B 0
2 安培环路定理(真空)
以长直导线的磁场为例
dl
dB
0 4
Idl eR R2

0I 4
(
cos dz 2 z2
)2
e

0I 4
(
dz 2 z2 )3 e
B

0I 4
L L
(

I e
2 z2
)3
2
dz

0I 4
2L
1
( 2 L2 )2
e
L B dl ?
当 L →∞时
直观感觉: 实验结果:
dB

Idl R?
dB

k
Idl eR R2
大小:
Idl k R2
方向:
I (r')
. R(r - r') dB P (r)
r'
dl eR
r
.
O(0, 0, 0)
磁感应强度 B
B 0 4
I 'dl eR l R2
单位 T (特斯拉)
毕奥—沙伐定律
可由安培定律得到毕奥—沙伐定律
第五章 恒定磁场
0 引言
• 恒定磁场是恒定电流产生的磁场,与恒定电流场是 孪生兄妹。
• 早期研究磁场主要对象是磁石,它的一些物理特性 引起人们的兴趣,有正负两极,同性相斥,异性相 吸;指南针的发明
• 自1820年奥斯特发现电流的磁效应为分水岭,人们 研究磁场转入到以电流产生的磁场为主,随后就有 安培定律,毕奥-萨伐尔定律,法拉第电磁感应定 律的发现。
V

B 0
恒定磁场的散度
B(x, y, z) 0
4
V

J
(
x,
y, z) r2

er
dV

两边取散度
B(x, y, z) 0 J (x, y, z) er dV
4 V
r2
0
4
V
J(
x, y,z )(
r
e
,
B

0 NI r
e
4 恒定磁场的基本方程 • 分界面上的衔接条件
(1) 恒定磁场的基本方程
B dS 0 (磁通连续原理) B 0 (无源) S
lH dl I (安培环路定律) H J (有旋)
媒质的性能方程
B H
恒定磁场是有旋无源场,电流是激发磁场的涡旋源
F = Qq r 0
4 r 2
D = 0E + P
E=F q
DdS qf
S
E dl 0
l
F 0
Idl (I 'dl' eR )
4 l l'
R2
B H = -M
0
B 0
4
V

J
(r) r
(r r

3
r)dV

B dS 0
B 0m 2 z3
非轴线上磁场
电偶极子: p ql
E

p
20 z3
B

0m 403
2coser
sineθ
E

p
4 0 03
2coser
sineθ
2.当 z =0时
B

0 I 20
ez
直接应用毕奥—沙伐定律
B 0
4
l
Idl eR R2
电场
(4)介质的极化
磁场
(4)媒质的磁化
(5)极化电荷
qp P dS S p P p P en
(5)磁化电流
Im M dl l Jm M Km M en
(6)介质中电场方程
E dS q
S
0
E dS qf qp qf S P.dS

3
r
)dV

B 0 4
s
K(
r)( r r r3
r
)
dS
例1 试求无限长直载流导线产生的磁感应强度。
解 采用圆柱坐标系,取电流Idl
Z' dl
R
O
θ P dB
ρ
dl = dzez eR sinez + cose
dl eR dz cose R2 2 z2
(7)磁场强度矢量
H B -M
0
=
B
0
-
m H
B =
0 (1 + m )
B =
0r
B

例4 一矩形截面的镯环,如图示,试求气隙中的B和H。
解: 在镯环中, r B H 有限, 故H = 0。
取安培环路(与I交链)
LH dl NI
H r NI
H

NI
F Idl 0 I 'dl ' eR
l
4 l' R2
l Idl B
即: B 0
4
I 'dl ' eR l' R2
静电场: E 1 dqeR
40 R2
电流元: dI JdV, KdS, Idl
体电流
面电流
B 0
4
V

J(
r)( r r r
cos 0 02 z2
dl = 0de
dl
e e
O
eR cose + sinez
R2 02 z2
eR
z dl eR 0 cos dez 0d sine
x
dB
0 4
Idl eR R2

0 I 4 R2
(0 cos dez
0d sine )
0
B

0 I 4 R2
2
(
0
0
cos
dez

0d
sin e
)
B

0 I 4 R2
2 0
0
cos dez

0I 02 2(02 z2 )3/ 2
ez
1.当 z >>ρ0时
B

0
I

2 0
2z3
ez
磁偶极子: m IS
反之,
tan2

0 1
tan1

1
r
tan1

0
2 0
它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行,那么
在空气侧的B 可认为近似与分界面垂直。
实际上,如果铁磁物质侧的B与分界面平行,由
H2t

H1t , B2
B2t
0H1t
0
B1t
1

B1
r
0 。既然B2=0,
也就无所谓垂直或平行了。因此不管什么情况,
B

0 I 4
L L
(

I e
2 z2
)3
2
dz

0 I 2
e
静电场中
E 20 e
例 2 真空中有一载流为I,半径为ρ0 的圆形回 路,求其轴线上P点的磁感应强度。
解:元电流 Idl 在其轴线上P点产
生的磁感应强度为
y
sin z 02 z2
• 记住:所有的工作只有一个目标——由电流分 布(电流密度)计算磁场。
基本实验定律 (安培力定律) 磁感应强度(B)(毕奥—沙伐定律) H 的旋度 基本方程 B 的散度
磁位( m )(J=0) 数值法
分界面上衔接条件 边值问题
磁矢位(A) 解析法
有限差分法
有限元法
分离变量法
镜像法
电感的计算
磁场能量及力
4.1
1 安培力定律
磁感应强度
电流 I’ 的回路对电流I回路
的作用力 F
F 0 Idl (I 'dl ' eR )
4 l l'
R2
H/m
式中真空中的磁导率 0 4 107
静电场:库仑定律
F12

q1q2
40

r012 R2
N( 牛顿)
2 毕奥——沙伐定律 • 磁感应强度
总可以认为:铁磁物质表面,空气侧的B 近似与分 界面垂直。
在分析磁场时,上述规律对于确定边界条件十 分有用。
H1


K 2
ey
K H2 2 ey
K
0 K
2
e
y
x0
B

0 K
2
ey
x0
无限大带电导体板

E
2 0
3.媒质中基本方程
电场
磁场
(1)电偶极子
(1)磁偶极子
q
q
(2)电偶极矩
p ql
(3)极化强度
P

lim
V 0
p
V
(2)磁偶极矩
m IS
(3)磁化强度
n
mi
M lim i1 V 0 V
tan 1 B1t H1n H1t H1n1 1 tan 1 B1n H1t H1n H1t 1
1 1
同样:2 2
B1t
tan 1 B1n B2n B1t B2n H1t 1 1 tan 2 B2t B2t B1n H2t B1n2 2
S
0
0
S (0E P) dS qf
D dS qf
S
D= f
(6)媒质中磁场方程
l B dl 0I
B dl l

0 (I f

Im )
B
l
(
0

M ) dl

I
f
H dl I f
l
H = Jf
(7)电位移矢量
D 0E + P = 0E + 0eE = 0 (1 + e )E = 0r E = E
L
L
0 2
L B dl 0 Ik
(4)安培环路与若干根 对任意闭合电流环安培环路定
电流交链
理成立:赵凯华《电磁学》P:
104—106
例3 无限大截流导板产生的磁感应强度B
解:分析场的分布,取安培环路
L H dl H1L H2L KL
根据对称性 H1 H2 H
I l (K u)dl l1K u = Kl1
H1tl1 H2tl1 Kl1
H1t H2t Ku
Ht 连续性的 方向规定
切向连续矢量形式: t n u
Ht H t H (n u) u(n H)
A(BC) C (A B)
B

0 I 2
e
(1)安培环路与磁力线重合
B dl L
2 0
I0 2
d

0 I
(2)安培环路与磁力线不重合
B dl L
B cosdl
L
2 0
0I 2
d

0I
(3)安培环路不交链电流
B dl B cosdl 0 0I d 0

0 I 4
20 02
e (e )
0 I 20
ez
3.当 z →∞ 时
Bdz

0I 02dz 2(02 z2 )3/ 2
0I
lim B 0
z
4.磁力线特征
两点电荷电力线

两根异向长直流导线的磁场分布
两根相同方向长直流导线的磁场分布
(1)电流方向(2)n方向(3)t方向 (4)磁场方向(5)环绕方向
规定方向: (1)n方向1→2(2)u为电流密度(3)
l 环绕方向为由u方向决定的右手螺旋
方向(4)t方向: t n u
有: 0
l H dl H1tt l1t + H2tt l1(-t)+ H dl I l2
B2n
铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况:
2 0, 1 r0 0
铁磁媒质与空气分 界面上磁场的折射
tan1 =
1 0
tan2

r tan2
如果 2 0 ,则 tan1


1


2
它表明:只要空气侧的B 不垂直于 分界面,则铁磁物质侧的B可以近 似认为与分界面平行。
S
H dl I f
l
D f E 0
B 0 H J
(2). 媒质交界面条件
n 的方向:
由1指向2
sB dS 0
B1nS B2nS 0
B1n B2n
n (B2 B1) 0
五个方向:
2 1
由 H dl I , l
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