线性代数教案_第一章_行列式

为列标，表明该元素位于第j列。相等的行数和列数

1

2

32

12002

2

1】当λ为何值时，行列式23

D λλ

=

1222a a 12122

12222

b b a a b b ，1112212

a D a a

b D D

12

22

a a ；列标只能取1，2或2，1。所以二阶行列式中有两项

容易看出，

1

2

n n

n n nn

a a a 阶行列式。它是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积

1

2

n n n n nn

a a a a a a a =

级排列求和。行列式D 通常注：(1)行列式是一种特定的算式，最终的结果是一个数；，不要与绝对值的概念相混淆；

1

2

n n nn

a a a =的值也成立同样的结论：

111210

n nn

a a a 1,11(1)2,12

11

0(1)

n n n n n n n a a a a a ---=-）对角行列式：

00

n

λ=00

0n

λ

级排列。由于每交换两个元素对应的行标列标都

因此为了确定每一项的符号，同样可以1

2

n n n n nn

a a a =

表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因此凡是有关行的性质，对列也同12121

2

n k k kn l l ln n n nn

a a a a a a a a a ，122121

2

n l l ln k k kn n n nn

a a a D a a a a a a =

(1)l

k

n lj kj nj -∑

1

1(k

l

n j kj lj nj a a a =∑

行列式中有两行（或两列）元素对应相同，则此行列式为零。12121

2

1

2

i i in i i in n n nn

n n nn

ka ka ka k a a a a a a a a a = .

1221212

1

2

1

2

12

n n n n n n n mm

n n nn

n n nn

a a c

b

c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ （强调：只拆一行，其余行不变）。

)c a

行列式中某行（或列）的元素k倍地加到另一行对应元素上，此行列式的值

【解】将第一、二行互换，第三、五行互换，得

将第一、五列互换，得

【例5】计算行列式

201

141

183

【例6】计算行列式

3

3

5

1

1

1

2

4

3

1

5

2

1

1

3

-

-

-

-

-

-

=

D

【解】

3112

5134

2011

1533

D

-

--

=

-

--

12

1312

1534

0211

5133

c c

-

--

↔-

-

--

21

41

1312

0846

50211

01627

r r

r r

-

---

-

+-

-

23

1312

0211

0846

01627

r r

-

-

↔

--

-

32

42

1312

40211

00810

8

001015

r r

r r

-

+-

-

-

-

43

1312

0211

40

1000810

820

000

8

r r

-

-

=

-

+

当今大部分用于计算一般行列式的计算机都是按上述方法设计的. 可以证明，利用行变 换计算行列式需要进行大约32/3n 次算数运算. 任何一台现代微型计算机都可以在几分之一 秒内计算出50阶行列式的值，运算量大约为83 300次.

【例7】计算D=

3111

131111311113

【解】 方法一

原式= 14211113

111

313110202

1131113131113111

r r r r -↔-

--

3141

1

11302020

02

230228r r r r ---

-----

42

11

13

020200

2200210r r --

+---43

1113020248002

2

00012

r r --=+--

方法二：

原式=1234

16666

1111131113116

6113111311113

1113

r r r r r +++÷⨯

1

1111

0200

6480020

2,3,40002

i r r i -⨯==

【例8】 证明

【证明】把2,3列同时加到第４列上去，则得