5.二项式展开式性质

及第3项的系数
T3 T21 C62 (2
x )4(
1 )2 6 5 24 x2 1 240 x
x
2
x
第三项的二项式系数为 C62 15 ，第三项的系数为240.
例３：( x 3 )9 的展开式常数项
3x
解:
Tr由1 9-Cr-9r (123xr)9r0(得3xr)r
二项式系数的性质
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1 L Cnranrbr L Cnnbn(n N )
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等（．2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大的，
由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的， 且中间项取得最大值。
C9r 6.
(1)9r 3r 3
9r 1 r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx2
T7

C96
(1 3
)96
36

2268
变式：求（x

1 x2
)9 展开式中含x3的项
通项公式： Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)
练习：
1、求 ( x 3 )9的展开式的中间两项 3x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41

C94
(
x 3
)94
(
3 )4 x
42x3
2.已知（T6xTx5221)n的C展95 (开3x )式95中( ，3x第)5５项42的x 二32 项式
系数与第３项的二项式系数之比是：１４：３，
求展开式中的第４项
二项式系数的性质
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1 L Cnranrbr L Cnnbn(n N )
(2)通项公式中a、 b的指数及其系数和所在项数之间的关系.
试一试：写出 (1+x)n 的展开式及其通项公式。
二项式定理：
(n N*)
总 定 (a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn 理 右边的多项式叫做的 (a b)n 展开式
二项式定理
对于（a+b）n = (1a 4 b4)(4a42b)4L4(a443b)
的展开式有哪些项？
n 个 二项式定理
(a+b)n
=C n0an+C n1an-1b+C
n2an-2b2+…＋C nran-rbr+…+C
n n
bn
右边的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式, 它一共有 n+1 项.
二项式定理对任意的数a、b都成
立，当然对特殊的a、b也成立！
(1 x)n Cn0 Cn1 x L Cnr xr L Cnn xn; (1 1)n Cn0 Cn1 L Cnr L Cnn; (1 x)n Cn0 Cn1 x L (1)r Cnr xr L (1)nCnn xn;
我国古代优秀成果介绍：
考察在 n=1, 2, 3, 4 时，(a+b) n 的展开式的系数规律.
(a+b)1= a+b , (a+b)2= a2+2ab+b2 ,
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 ,
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
1
列出上述各展开式的系数：
例 １ ： 求 （ １ ＋１)4的 展 开 式
解:（1
1 )4 x

1
x
C41 (
1) x
C42
(
1 x
)2

C43
(
1 x
)3

C44 (
1 )4 x
46 4 1 1 x x2 x3 x4 .
C 二项式系数：
r n
项的系数：该项所有常数因子的积.
例２：(2 x 1 )6 展开式中第3项的二式系项数 x
11
规律: (1)表中每行两端都是1
121
(2)其它各数都是它肩上两数的和. 1 3 3 1
1 464 1
试一试：你能根据杨 辉三角形写出(a+b)5 的展开式吗？
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角形
(a+b) 5= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数
n
当n为奇数时，中间C两n2项的取二得项最式大系值数；
、
n1 n1
Cn2 Cn2 相等，且同时取得最大值。 （3）各二项式系数的和 C0n C1n C2n L Cnn 2n
且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1
特值思想、不可忽视
且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1
例１：已知（１＋x)n展开式中x2 的系数等于
x的系数的３倍，求二项式系数最大的项
解:
例2：已知（１－２x)n展开式中二项式系数和
及所有项的系数之和
解:
变式：已知（2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6，
求 ( 1 )奇次项的二项式系数之和 （2）a0+a1+a2+a3＋a4+a5＋a6的值 （3）a1+a2+a3＋a4+a5＋a6
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等（．2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大的，
由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的， 且中间项取得最大值。
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数
n
当n为奇数时，中间C两n2项的取二得项最式大系值数；
、
n1 n1
Cn2 Cn2 相等，且同时取得最大值。 （3）各二项式系数的和 C0n C1n C2n L Cnn 2n
结 特 1.二项式系数规律：
征
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
2.指数规律：
（1）各项的次数均为n；
（2）二项和的第一项a的次数由n降到0，
第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律：
两项和的n次幂的展开式共有n+1个项
4.通项公式：Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)
其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中的项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项,是第r+1 项,记作 Tr+1
即 Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)
称为二项展开式的通项公式
(1)展开式各项中a、 b的指数及各项系数的递变规律.但指数和为n