图解静力学

用尺子画图就能求解桁架内力？——图解静力学入门

猪小宝· 5 个月前

什么是图解静力学？顾名思义，就是用画图来求解静力学问题。就我个人所知，国内的结构力学教材都没有相关内容。我们结构力学的教授告诉我们，美国目前的教材里，也没有这些内容，只有铁木辛柯大神的Theory of Structures一书专门讲述了图解静力学。

那图解静力学到底是什么样的呢？让我们用一个小例子来说明吧。

上图这个桁架，下弦节点承受竖向荷载，我们要求解这个桁架的内力。如果用节点法、截面法，很快可以求解。那如果我们用图解法呢？

首先要把整个平面区域分区，分割线是所有的外荷载、支座反力和桁架杆件。像上图这样，整个平面区域划分成从 a 到 k 的11个区域。

a 和

b 之间是向下的外荷载，大小为1。在右边画一个点，代表 a，从 a 向下划一条长度为1的线段，代表这个外荷载，这条线段的终点就是 b。依次类推，我们把左边的空间

区域 a、b、c、d 变成右边的点 a、b、c、d，把左边的荷载变成右边的线段ab、bc、cd，线段的长度就是荷载的大小。

接下来是支座反力，

我们知道左右两边的反力相同，各1.5，方向向上。左边的支座反力在 d 和 e 之间，所以从右边的 d 点开始，向上画一条长度为1.5的线段，终点即为 e 点。同样，e 和 a 之间也是1.5的支座反力，所以线段ea的长度也是1.5。

然后我们从区域 f 开

始，f 介于 d 和 e 之间。左边图中 f 与 d 之间是一条水平线，所以右边图中从 d 点开始画一条水平直线。左边 f 和 e 之间是一条斜线，右边过已知的e 点做一条同样的斜线。这两条线相交于一点，这个交点就是 f。用尺子一量，水平线段 df 的长度为2.598，也就是说左边图中区域 d 和 f 之间的这

个水平杆件的内力是2.598。斜线段 ef 的长度是3，也就是说左边介于 e 和f 之间的斜杆的内力是3。对左侧支点用节点法求解，很容易就能验证这个结

果是正确的。

继续，g 介于 c 和 f

之间，和 c 之间是水平杆件，和 f 之间是竖直杆件。右图中，过 c 点作水平线，过 f 点作竖直线，两线交点即为 g 点。

同理，我们也可以找

到 h 点。过 e 作平行于左图中 e 和 h 之间杆件的斜线，过 g 做平行于左图中 g 和 h 之间杆件的斜线，两线交点即为 h 点。

继续找到 i 点，i 点与 h 点对称，符合对称结构的特征。

找到 j 点，j 点同样与 g 点对称。

找到最后一个点，k 点。

验证 k 与 e 之间的

关系，左图中 k 与 e 之间的杆件，与右图中线段 ke 平行。说明右图是闭合的，整个体系受力平衡，没有错误。

至此，我们已经完成了这个桁架的图解静力学求解。那如何解读右边的这个结果图形呢？

比如，我想要知道左

图中 h 和 i 之间的这根腹杆的内力，我只要去量右图中线段 hi 的长度。hi 长度为2，所以这根腹杆的轴力为2。对于左图中这根杆件的下端点，从 h 到i 为顺时针方向，右图中从 h 到 i 为向上，所以相对于下端点，内力的方向是向上的，所以是拉力。

同样的道理，如果我

想知道左边 f 和 g 之间的竖直腹杆的内力，我只需要去量右图中线段 fg 的长度，长度为1，所以腹杆内力大小为1。以腹杆下端节点为中心，顺时针顺序是从区域 f 到区域 g，右图中从点 f 到点 g 是向上，所以内力相对于这个下端节点是向上。轴力的方向远离节点，所以这根杆件受拉。对于 e 和 i 之间的这根上弦杆，也是如此，我去量线段 ie 的长度，长度是2，所以轴力大小为2。对于上侧节点，顺时针 e 到 i，而右图中 e 到 i 向上，所以内力相对于这个上端节点是向上。轴力的方向指向节点，所以是受压。

最终的结果如上图所

示，每根杆件、每个集中力外荷载、每个支座反力，都对应右图中相应的一条线段，力的大小、方向都能由右图确定。如果不相信，可以自己验证一下。

对于构成简单的静定桁架，图解法非常方便快捷。下面就是我画的铁木辛

柯Theory of Structures一书中的几道练习题。

我不知道为什么现在的教科书不再提及这些方法。著名的航空工程师达索曾经说过，如果一个飞机性能好，最起码它要漂亮。我觉得，图解法就是一种非常漂亮的方法，体现了一种简洁的、独特的美感。仅仅用直尺和铅笔，就能求解桁架内力。桁架的图形和力多边形的图形，就像一对双胞胎兄弟，一一对应，力的大小方向都包括其中。同时，图解法的求解还带有自纠错功能，如果你的力多边形最后不能闭合，那肯定是某个过程出问题了。

那桁架图解法是谁提出的呢？如此杰出的方法，当然出自一位伟大的头脑。1870年，麦克斯韦发表了名为On reciprocal figures, frames and diagrams of forces的论文。没错，就是那位写出了最美丽的麦克斯韦方程组的物理学大神麦克斯韦。