西安交大大学物理动量矩和动量矩守恒定律——南学奉献
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大学物理Ⅰ动量矩和动量矩守恒定律
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
力的时间累积效应 冲量、动动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律
质点运动状态的描述
p
刚体定轴转动运动状态的描述
0, p 0
LmvJ0E,kpEkm0vJ222
2
pi
p j
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
3.光滑水平面有一静止的细杆,在其动两端施加一对大
小相等,方向相反的力,细杆运动中其动量是否守恒?
对中心的角动量是否守恒?动能是否守恒?
F
动量守恒,角动量
F
O
不守恒,动能不守
恒.
4.均匀细杆可绕杆的一端其垂直于杆的水平轴无摩擦转动.若
细杆竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细杆发生完全非弹
mgS 0 1 mv 2 S v2
2
2g
S 3M 2l
2(3m M )2
解:弹性碰撞E守恒,且L守恒
mvo
l 2
mv
l 2
J
1 J Ml 2
12
1 2
mv
2 o
1 2
mv 2
1 2
J 2
v (3m M )vo (3m m)
m,vo l
12mvo (3m M ) g
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
例3.长为l质量为M的均匀直杆一端动悬挂并可绕其
顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度
。已知棒长为l,质量为M.
解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹
有: fdt
第五章 刚体的定轴转
力的时间累积效应 冲量、动动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律
质点运动状态的描述
p
刚体定轴转动运动状态的描述
0, p 0
LmvJ0E,kpEkm0vJ222
2
pi
p j
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
3.光滑水平面有一静止的细杆,在其动两端施加一对大
小相等,方向相反的力,细杆运动中其动量是否守恒?
对中心的角动量是否守恒?动能是否守恒?
F
动量守恒,角动量
F
O
不守恒,动能不守
恒.
4.均匀细杆可绕杆的一端其垂直于杆的水平轴无摩擦转动.若
细杆竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细杆发生完全非弹
mgS 0 1 mv 2 S v2
2
2g
S 3M 2l
2(3m M )2
解:弹性碰撞E守恒,且L守恒
mvo
l 2
mv
l 2
J
1 J Ml 2
12
1 2
mv
2 o
1 2
mv 2
1 2
J 2
v (3m M )vo (3m m)
m,vo l
12mvo (3m M ) g
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
例3.长为l质量为M的均匀直杆一端动悬挂并可绕其
顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度
。已知棒长为l,质量为M.
解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹
有: fdt
3、动量矩定理及其守恒定律
3、动量矩定理及其守恒定律描写质点组运动规律的三个基本定理，我们已经讲了其中的一个基本定理，也就是质点组的动量定理，我们还由质点组动量定理导出了质点组的动量守恒规律和质心运动定理。
下面准备要讲的是关于质点组整体运动规律的另外二个基本定理，即动量矩定理与动能定理。
现在先讲质点组的动量矩定理与动量矩守恒规律。
动量矩的概念我们在质点力学部分已经有过接触。
在讨论质点的动量矩定理时，我曾经强调过一提到取矩，不管是计算动量矩也好，还是计算力矩也好，首先必需要明确指出以那一点为取矩的中心，或者对那一轴取矩。
对质点如此，那么对质点组也得如此，讨论质点组的动量矩也同样要首先指出以那点为取矩中心，现在我们就先以任一固定点为取矩中心，推出： 一、质点组对固定点o 的动量矩定理：1、 质点组动量矩的定义：假设由n 个质点组成的质点组，其中第i 个质点对固定点0的矢径i r，定义质点组的总动量矩等于组内所有质点对固定点0的动量矩的矢量和，即：)(1in i i r m r J ∑=⨯=。
这就是质点组动量矩的定义式。
与质点组动量定理的推导相类似，质点组的动量矩定理也可以由牛顿第二定理直接导出：根据牛顿第二定律得质点组中第i 个质点的动力学方程为：()()e i i i i i f f r m '+= ,用i r 乘等式的两边：()e i i i i i i i i f r f r r m r ⨯+⨯=⨯）（并对n 个这样类似的方程求和，则有：()e i i ii i i ii i i if r f r r m r ⨯+⨯=⨯∑∑∑）（ (1)此等式的右边的第一项是质点组内所有内力对固定点的力矩的矢量和。
可以证明这项矢量和必定等于零。
为了推算简单起见。
先证明i,j 两个质点所受的一对内力对固定点O 的力矩的矢量和等于零。
证明：如图所示，质点组内i,j 两个质点的相互作用的内力为：j 对i 的作用力为ji f，它的反作用力作用在j 上，用ij f表示。
§5.4 动量矩和动量矩守恒定律
ω ω
例 一均质棒，长度为 L，质量为M， 现有一子弹在距轴为 y 处水平射入 细棒 。
求 子弹细棒共同的角速度 。 解 子弹、细棒系统的动量矩守恒
Nx
y
v0
பைடு நூலகம்
mv 0 y J
其中 讨论 系统水平方向动量守恒
m
1 J J 棒 J 子 ML2 my 2 3
1 ML2 my 2 3
定轴转动刚体的动量矩定理
恒定
d( J z ) Mz dt
dr mgr cos 2mr dt
dJ z Mz dt M Z mgr cos 1 2 J z ( ml mr 2 ) 12 dr g cos v t dt 2
7 gl 12 cos( v 0t ) 24v 0 7l
mv 0 y
Nx
0
例:
2 y L (打击中心)时，Nx=0，则动量守恒 3
例 一均质棒，长度为 L，质量为M，
Nx
y
v0
现有一子弹在距轴为 y 处水平射入 细棒 。
求 子弹细棒共同的角速度 。 解 子弹、细棒系统的动量矩守恒
m
mv 0 y J
其中 讨论
1 2 J J 棒 J 子 ML my 2 3
O
系统水平方向动量守恒
v0
例 一均质棒，长度为 L，质量为M， 现有一子弹在距轴为 y 处水平射入 细棒 。
求 子弹细棒共同的角速度 。 解 子弹、细棒系统的动量矩守恒
Nx
y
v0
mv 0 y J
其中 讨论 系统水平方向动量守恒
m
1 J J 棒 J 子 ML2 my 2 3
动量矩守恒定律动量守恒定律动能
动量矩守恒定律动量守恒定律动能动量矩守恒定律是物理学中的基本定律之一，它描述了动量和角动量在一个封闭系统内的守恒规律。
动量和角动量是物体运动的两个重要物理量，它们的守恒定律不仅在经典物理学中得到了广泛的应用，也在现代物理学中扮演着重要的角色。
本文将从动量守恒定律和角动量守恒定律的基本概念、应用范围以及实际意义等方面进行深入探讨。
首先，我们来看一下动量守恒定律的基本概念。
动量守恒定律指的是在一个封闭系统内，如果没有外力做功，系统的总动量将保持不变。
换句话说，如果一个物体受到的外力为零，那么它的动量将保持不变。
这个定律可以用数学表达式来描述：Σpi = Σpf，即系统在开始时的总动量等于系统在结束时的总动量。
这个定律适用于各种物体的碰撞、运动、以及其他形式的相互作用，是物理学中最基本的定律之一。
接下来，我们来看一下动量守恒定律的应用范围。
动量守恒定律广泛适用于物体之间的碰撞过程。
在弹性碰撞中，碰撞前后物体的总动量保持不变；在非弹性碰撞中，虽然动能不守恒，但总动量仍然保持不变。
此外，动量守恒定律还适用于各种其他运动过程，例如物体在外力作用下的运动、多体系统的运动等。
在这些情况下，动量守恒定律都可以用来描述系统的运动规律，为我们理解物体之间的相互作用提供了重要的理论支持。
除了动量守恒定律，角动量守恒定律也是物理学中的重要定律之一。
角动量是描述物体旋转运动的物理量，它也满足守恒定律。
具体来讲，如果一个物体受到的外力矩为零，那么它的角动量将保持不变。
这个定律可以用数学表达式来描述：ΣL = ΣLf，即系统在开始时的总角动量等于系统在结束时的总角动量。
角动量守恒定律不仅适用于物体的旋转运动，也适用于机械系统、自旋系统等各种情况。
动量守恒定律和角动量守恒定律的重要性不仅在于它们提供了一种全新的视角来理解物体之间的相互作用，而且在许多实际问题中都具有重要的应用价值。
比如在工程领域中，动量守恒定律可以用来设计各种机械系统，预测物体的运动轨迹，优化能量传递过程等。
西安交通大学大学物理ppt第四章++(2)
Fdt mdv (v u)dm vr u v
Fdt mdv vrdm
dm 与 m 合并前 相对于m 的速度
F
vr
dm dt
m dv (变质量动力学基本方程) dt
• 变质量动力学的应用 —— 火箭的运动方程
t 时刻，火箭质量为 m，速度为 v
v
dt 内火箭喷出速度为u,质量为 – dm 的高温气体
参 考
方
向
速度与角速度的矢量关系式
v
dr
ω
r
dt
加速度与角加速度的矢量关系式
z ω,v
a
dv
d(ω
r)
dt dω
r
dt ω
dr
dt
dt
β
r
ω
v
r' P
Oθ
刚体 r
参
×基点O
考 方
向
瞬时轴
定轴
aτ
r
i1
m
rdm m
xO
r1m1
y
讨论：• 质心矢量与参照系的选取有关，但质心相对于系统内各质
点的相对位置与参照系选取无关
一般形状对称的匀质物体，其质心位于它的几何对称中心
例 已知一半圆环半径为 R，质量为M
求 它的质心位置
解 建坐标系如图 取 dl
dl Rd dm M Rd
πR
x Rcos y Rsin
解
设 t 时刻（地面上有
l 长的绳子）
ml
l m l
L
h
此时绳的速度为
Fdt mdv vrdm
dm 与 m 合并前 相对于m 的速度
F
vr
dm dt
m dv (变质量动力学基本方程) dt
• 变质量动力学的应用 —— 火箭的运动方程
t 时刻，火箭质量为 m，速度为 v
v
dt 内火箭喷出速度为u,质量为 – dm 的高温气体
参 考
方
向
速度与角速度的矢量关系式
v
dr
ω
r
dt
加速度与角加速度的矢量关系式
z ω,v
a
dv
d(ω
r)
dt dω
r
dt ω
dr
dt
dt
β
r
ω
v
r' P
Oθ
刚体 r
参
×基点O
考 方
向
瞬时轴
定轴
aτ
r
i1
m
rdm m
xO
r1m1
y
讨论：• 质心矢量与参照系的选取有关，但质心相对于系统内各质
点的相对位置与参照系选取无关
一般形状对称的匀质物体，其质心位于它的几何对称中心
例 已知一半圆环半径为 R，质量为M
求 它的质心位置
解 建坐标系如图 取 dl
dl Rd dm M Rd
πR
x Rcos y Rsin
解
设 t 时刻（地面上有
l 长的绳子）
ml
l m l
L
h
此时绳的速度为
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
已知 L r P , P mv
dL d r mv dt dt
v mv 0
d(mv) dr r mv dt dt r F M
大学物理 第三次修订本
11
第5章 刚体力学基础 动量矩
卫星
地球
+
大学物理 第三次修订本
5
第5章 刚体力学基础 动量矩
一、动量矩
1. 质点的动量矩( 对O点 ) 质量为 m 的质点以 速度 v 在空间运动, 某时 , 刻相对原点O的位矢为 r 质点相对于原点的动量矩
L
x
z
r
o
m y
v
L r p r mv 大小： L rmv sin
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理。
力矩的时间累积效应
冲量矩、动量矩、动量矩定理。
1
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
动量矩的引入：
在质点的匀速圆周运动中,动量 m v 不守恒。
mv mv
L
rr
mv
24
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
例3 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M , 半 径为R的行星。当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时, 以速度 v0发射一质量为 m 的仪器。 要 使该仪器恰好掠过行星表面。 求: 发射角θ及着陆滑行时的速度v 多大？
v0
?
m
v?
R
OM
dL M dt
Mdt dL
西安交通大学大学物理第5章--(4)
(5) 机械能守恒定律 当 A外A非时保 ，内 0 刚体绕定轴转动的角动量
EEkEp常量
(1) 刚体的角动量 LJ
(2) 刚体的角动量定理 (3) 角动量守恒定律
M d (J)
dt
当 M时0，
J常量
当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒
Jtω常量 Jt ω Jt ω
如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等
L J
动量矩定理
d LM d t
dL//M
由于 ML
的力矩作用 下发生进动
Ω
L
dL
M
因而 L
只改变方向，
mg
不改变大小(进动)
O
• 进动角速度Ω 动量矩定理
M
dL
Ω
dL d
而M 且d L d L L s iL d sn d ti d n L s in Ω
Lsin L
d t
进动特性的技术应用
翻转
外力
C
外力
进动
C
炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心的力矩会使 炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线（称之为来复线），当 炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自 己的对称轴高速旋转。由于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气 阻力将不能使它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动。
v=? G
R
z R/2
Mz角动量守恒 mv R / 2
v0
mv0 R
v = 2v0
例 有一转台，初始的角速度为ω0 有一个人站在转台的中心， 以相对于转台的恒定速度u沿半径向边缘走去，
求 人走了t 时间后，转台转过的角度
ω
力学11-动量矩,动量矩定理,动量矩守恒定律
v
∴ ∑ miυi = 0 v
v
转动时， 转动时，
∴ ∑ miυi = 0
结论： 结论： 无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。 无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态， 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态， 必须引入新的物理量——动量矩（角动量） 动量矩（ 必须引入新的物理量 动量矩 角动量）
A外 + A = mgs 内
∆Ek = 1 mυ 2 + 1 Jω 2 2 2 = 1 mR2ω 2 + 1 MR2ω 2 2 4 mgs 2 ω= 并非匀速） R 2m + M （并非匀速）
+
2mg 2 mg 1 ds dω = = β= (2m + M )R R 2m + M 2 s dt dt
L = rp = mrv
Lz = r × p = r × mv
2
Lz = rmυ = r mω = J zω
第六章 刚体力学基础 动量矩
10
质点作任何运动都可以用动量矩来描述其运动状态
例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。 v v mυ1 L v v v mυ2 ov v r2 o r1 mυ r
三. 定轴转动的动能定理 ——力矩的持续作用规律 力矩的持续作用规律
作用下，角坐标由θ 设刚体在外力矩 M 作用下，角坐标由 1→ θ2， 角速度ω1 → ω2 ， 由刚体转动定理： 角速度 由刚体转动定理：
dω M = Jβ = J dt
Mdθ = Jωdω
对于整个运动过程
∫θ
θ2
定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
N B
M
h
C
A
l/2 l
解 碰撞前 M 落在 A点的速度
vM (2gh)1 2 碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度 u l
2
把M、N和跷板作为一个系统, 角动量守恒
解得
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
mvMl 2 6m(2gh)1 2
ml2 12 ml2 2 (m 6m)l
r 若质点以角速度 作半径为 的
圆周运L动，r相对圆p心的r角动m量v
L rmv mr2 J
L
o
p
m r
方向：沿轴向上或向下
质点匀速圆周运动：
L 恒矢量
二、刚体定轴转动的角动量
刚体以角速度 绕z 轴转动。刚体上任
一质元绕z 轴作圆周运动的角动量为：
z
ri
m
i
vi
Li rimivi miri2
演员 N 以 u 起 跳, 达到的高度
h u 2 l 2 2 ( 3m )2 h
2g 8g m 6m
练习．已知质点质量为 m ，运动方程为
v
v
v
r a costi b sin t j
a （其中
，b ，
均为常数），
求：（1）质点对原点的力矩； （2）质点对原点的角动量。
3-2 动量矩和动量矩守恒定律
O
v m
一、质点的角动量(动量矩)
v
O’
v 质点m 以速度 在v 空间里运动，某时刻相对于原点O的位
r 矢为 。定义质点相对原点o的角动量为：
L r p r mv mr v
2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律
i 1 n
则质点组的动量矩： J C (常矢量)
6
2.3.2 对质心的动量矩定理
ri r 'i rC
O: 空间固定点 O-xyz是静止系S C: 质点组的质心 C-x'y'z'是质心系S'
7
2.3.2 对质心的动量矩定理
在质心系中，质点i对质心C的力矩： 质点组对质心的力矩：
n n i 1
当质点组不受外力，或外力对质心的力矩之合 为零，则质点组对质心的动量矩守恒。
11
2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律
例题
在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两端 距通过该轴水平面的距离为s与s'. 两个质量分别为 m与m'的人抓着身子的两端，他们同时开始以匀加 速度向上爬并同时到达滑轮所在的水平面. 假定滑 轮的质量可以忽略，且所有的阻力也都可以忽略， 问需多长时间，两人可以同时到达？
s
m
s'
m'
12
2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律
例题
O
R
解：两人构成质点组，绳子 x 的拉力是内力，他们的外力 只有重力。
s
v
s'
r r'
v'
质点组对O的动量矩：
J r mv r 'm' v '
y
mg
m' g
mvRez m' v' Rez (mv m' v' ) Rez
8
2.3.2 对质心的动量矩定理
质点组对质心的力矩
根据质心位矢的定义：
rC mi ri
i 1 n
m , m
则质点组的动量矩： J C (常矢量)
6
2.3.2 对质心的动量矩定理
ri r 'i rC
O: 空间固定点 O-xyz是静止系S C: 质点组的质心 C-x'y'z'是质心系S'
7
2.3.2 对质心的动量矩定理
在质心系中，质点i对质心C的力矩： 质点组对质心的力矩：
n n i 1
当质点组不受外力，或外力对质心的力矩之合 为零，则质点组对质心的动量矩守恒。
11
2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律
例题
在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两端 距通过该轴水平面的距离为s与s'. 两个质量分别为 m与m'的人抓着身子的两端，他们同时开始以匀加 速度向上爬并同时到达滑轮所在的水平面. 假定滑 轮的质量可以忽略，且所有的阻力也都可以忽略， 问需多长时间，两人可以同时到达？
s
m
s'
m'
12
2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律
例题
O
R
解：两人构成质点组，绳子 x 的拉力是内力，他们的外力 只有重力。
s
v
s'
r r'
v'
质点组对O的动量矩：
J r mv r 'm' v '
y
mg
m' g
mvRez m' v' Rez (mv m' v' ) Rez
8
2.3.2 对质心的动量矩定理
质点组对质心的力矩
根据质心位矢的定义：
rC mi ri
i 1 n
m , m
大学物理第五章西安交通大学出版社
16
t
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一、力矩 力: 改变质点的运动状态,质点获得加速度。 力矩： 改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。 1. 力 F 对z 轴的力矩 (力F 在垂直于轴的平面内)
z
r
A
M z ( F ) Fr sin Fh Fτ r
m1
m1 g
0 t m1 m2 gt 联立各式 1 解得： m1 m2 m r 2
34
第5章 刚体力学基础 动量矩
例3一根长为l、质量为 m 的均匀细直棒, 其一 端有一固定的光滑水平轴, 因而可以在竖直平 面内转动。最初棒静止在竖直位置, 由于微小 扰动, 在重力作用下由 静止开始转动。 l /2 l 求:它由此下摆角 时的 角加速度。 P
角速度ω 的方向由右手定则确定。 规定： 逆时针转动,θ > 0, ω沿转轴向上,ω > 0 。 顺时针转动,θ < 0, ω沿转轴向下,ω < 0 。
9
第5章 刚体力学基础 动量矩
角加速度α的方向用正负表示。 设ω1 ,ω2 同向，Δω= ω2 -ω1 。
ω2 ω1
Δω > 0 α> 0ω1 ω2源自第5章 刚体力学基础 动量矩
3. 刚体绕定轴的匀速和匀变速转动
刚体绕定轴转动时，若 常 , 0， 数 刚体绕定轴匀速转动。 若 常数 ，刚体绕定轴的匀变速转动。 匀速转动
0 t
0 t 1 2 0 0 t t 2 2 02 2 ( 0 )
23
第5章 刚体力学基础 动量矩
三、转动惯量 单个质点
t
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一、力矩 力: 改变质点的运动状态,质点获得加速度。 力矩： 改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。 1. 力 F 对z 轴的力矩 (力F 在垂直于轴的平面内)
z
r
A
M z ( F ) Fr sin Fh Fτ r
m1
m1 g
0 t m1 m2 gt 联立各式 1 解得： m1 m2 m r 2
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例3一根长为l、质量为 m 的均匀细直棒, 其一 端有一固定的光滑水平轴, 因而可以在竖直平 面内转动。最初棒静止在竖直位置, 由于微小 扰动, 在重力作用下由 静止开始转动。 l /2 l 求:它由此下摆角 时的 角加速度。 P
角速度ω 的方向由右手定则确定。 规定： 逆时针转动,θ > 0, ω沿转轴向上,ω > 0 。 顺时针转动,θ < 0, ω沿转轴向下,ω < 0 。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
角加速度α的方向用正负表示。 设ω1 ,ω2 同向，Δω= ω2 -ω1 。
ω2 ω1
Δω > 0 α> 0ω1 ω2源自第5章 刚体力学基础 动量矩
3. 刚体绕定轴的匀速和匀变速转动
刚体绕定轴转动时，若 常 , 0， 数 刚体绕定轴匀速转动。 若 常数 ，刚体绕定轴的匀变速转动。 匀速转动
0 t
0 t 1 2 0 0 t t 2 2 02 2 ( 0 )
23
第5章 刚体力学基础 动量矩
三、转动惯量 单个质点
3-2定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律.
24 v0
7l
例3 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设
跷板是匀质的,长度为l,质量为 m',跷板可绕中部支撑点C
在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷
板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多
高?
解 碰撞前 M 落在
花样滑冰 跳水运动员跳水
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
电荷守恒定律
能量守恒定律
质量守恒定律
角动量守恒定律
宇称守恒定律等
角动量守恒定律在技术中的应用
惯性导航仪（陀螺）
被中香炉
例2 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动状态的描述 p
刚体定轴转动运动状态的描述
0, p 0
LmvJ0E,kpEkm0vJ222
2
pi
p j
1 质点的角动量
多少 ?
解 把子弹和竿看作一个系统 . 子弹射入竿的过程系统角动量守恒
o 30
mva (1 ml 2 ma2 )
3 3mva
m'l 2 3ma2
a v m'
m'l
3mva 2 3ma2
o 30
射入竿后，以子弹、细杆和 a
地球为系统 ，机械能守恒 .
1 (1 ml 2 ma2 ) 2
大学物理
L mi ri vi (
i
2 刚体定轴转动的角动量
2 mi ri )
z
r O i
二
刚体定轴转动的角动量定理
L J
i
dL d ( J ) M d t d t t2 L2 Mdt dL J2 J1
t1 L1
vi
mi
非刚体定轴转动的角动量定理 刚体定轴转动的角动量定理
M 0
在冲击等问题中
M M L 常量
in ex
大学物理—力学
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第六章 刚体动力学
例题选讲 § 6-3 动量矩和动量矩守恒定律
另一种推导： 因一质点对于一给定点有： L r p
dL d dr dp dp (r p) p r r dt dt dt dt dt dL 力矩 r F M dt
x
第六章 刚体动力学 大学物理—力学
例题选讲 § 6-3 动量矩和动量矩守恒定律
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
O
v
子 O 弹 击 入 杆
圆 锥 摆
O'
FT
m
p
O
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 动量守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 机械能不守恒 . 机械能守恒 .
a
v
m
第六章
刚体动力学
大学物理—力学
例题选讲 § 6-3 动量矩和动量矩守恒定律
3mva 2 2 m' l 3ma
大学物理动量及动量守恒定律PPT课件
动力学
（运动的度量）
第五章： 角动量 角动量守恒定律 第六章： 能量 能量守恒定律
特点：以守恒量和守恒定律为中心。
第1页/共73页
第四章 动量 动量守恒定律 结构框图
质量 速度
动
动量
量 变化率
动量 定理
动量守恒 定律
牛顿运动定律
以动量及其守恒定律为主线，从动量变化率引入牛顿运 动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。
第23页/共73页
以地面为参考系,列 M 的运动方程：
受力情况如图：
y Q
aM
M
x
N N Mg
Fx Nsin MaM
(1)
Fy Q Mg Ncos 0 (2)
aM 0 , M不是惯性系。
以地面为参考系, 列 m 的运动方程：
第24页/共73页
以地面为参考系, 列 m 的运动方程：
(1)
Fx mgsin mamx ma aMcos ( 3 )
Fy N mgcos mamy maMsin ( 4 )
由（1）、（3）、（4）解得：
y
a
N
m
aM
am mg
x
N
Mm gcos M msin2
aM
m gcossin M msin2
a
M mgsin
M msin2
质点系动量的时间变化率质心运动定理质点系内质点间的内力总是成对出现因此必有内力质点系内质点间的相互作用力外力质点系外的物体对系内任一质点的作用力同一力对某一系统为外力而对另一系统则可能为内力ppt精选版13在所选定的参考系中n个质量分别为动量分别为的质点组成一个质点系
运动学（第三章 运动的描述）
第四章： 动量 动量守恒定律
动量矩守恒定律动量守恒定律动能
动量矩守恒定律动量守恒定律动能动量矩守恒定律是物理学中的重要定律之一，它告诉我们在一个封闭系统中，如果外部力矩为零，则系统的角动量将守恒不变。
而动量守恒定律则告诉我们在一个封闭系统中，如果外部力为零，则系统的动量将守恒不变。
这两个定律在物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们理解许多物理现象。
首先，让我们来看一下动量守恒定律。
动量是物体的运动状态的量度，它是质量和速度的乘积。
当一个物体受到外部力的作用时，它的动量会发生改变。
然而，如果一个系统是封闭的，即没有外部力的作用，那么系统的总动量将守恒不变。
这就意味着，系统中任何一个物体的动量的改变都会以相等的方式被其他物体所吸收，从而确保系统总动量守恒。
举一个简单的例子来说明动量守恒定律：假设有两个物体A和B 在一条直线上以相同的速度相向而行，它们的质量分别为m1和m2。
当它们发生碰撞时，根据动量守恒定律，它们的总动量在碰撞前后都将保持不变。
假设碰撞后物体A的速度为v1’，物体B的速度为v2’，那么根据动量守恒定律有m1v1 + m2v2 = m1v1’ + m2v2’。
这个简单的例子清楚地展示了动量守恒定律的应用。
接下来，让我们来看一下动量矩守恒定律。
角动量是物体围绕某一轴旋转时的运动状态的量度，它是质量、速度和与轴的距离的乘积。
当一个物体受到外部力矩的作用时，它的角动量会发生改变。
然而，如果一个系统是封闭的，即外部力矩为零，那么系统的总角动量将守恒不变。
举一个简单的例子来说明角动量守恒定律：假设有一个转动的物体在没有外力矩的情况下保持着一定的角速度，当它改变形状或者重新分布质量分布时，它的角动量将保持不变。
这个例子清楚地展示了角动量守恒定律的应用。
总的来说，动量守恒定律和角动量守恒定律是非常重要的物理定律，它们可以帮助我们理解并解释许多物理现象。
在实际应用中，我们可以利用这些定律来计算碰撞、旋转等各种物理过程中的动量和角动量的变化，从而更好地理解系统的运动状态。
刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒
即： L0 L
mlv0 mlv Jω （1）
o
v0 m
弹性碰撞EM守恒
1 2
mv02
1 2
mv2
1 2
Jω2
（2）
其中 J 1 m' (2l)2 1 m'l 2
12
3
联立(1)、(2)式求解
v
(3m-m ')v0 m' 3m
6mv0 (m' 3m)l
o v0 m
例3 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
讨论
➢ 守 恒条件
M 0
➢ 内力矩不改变系统的动量矩.
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
➢ 动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律.
有许多现象都可以 用动量矩守恒来说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
注意 1. 对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受 的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量 矩始终保持不变. 2. 动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界 的一条普遍规律.
dt 2
24 v0
7l
一、动量矩
1
质点的动量矩
质量为 m 的质点以速度
v
z
v
在O 的空位间矢运为动，r，某质时点刻相相对对于原原点
L
r
m
点的动量矩为
L
r
p
r
mv
L 的方向符合右手法则.
xo
y
L
v
r
大小 L rmvsin
一、动量矩
如质点以角速度 作半
r 径为 的圆运动，相对圆心
的动量矩:
L mr2 J
L
动量矩和动量矩守恒定律
理学院
王瑞敏
§6.3 动量矩和动量矩守恒定律
一. 动量矩 (角动量)
1. 质点的动量矩(对O点) LO r P r mv 其大小
LO rpsin mrvsin
LO
r
S
P
O
惯性参照系
特例：质点作圆周运动 例: 质点做匀速圆周运动
L rp mrv
t1
t
t2
M d t L2 L1
(质点动量矩定理的积分形式)
1
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量
西安交通大学理学院 王瑞敏
说明 (1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因 (2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果 2. 刚体
L J dLZ d J Z J Z M Z dt dt
跳水 芭蕾舞等
王瑞敏
猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观 察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度 的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿 有轻微的损伤。为什么会这样呢？ 西安交通大学理学院 王瑞敏
例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 求 θ角及着陆滑行的初速度多大？ 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒 质点的动量矩守恒
3GM v v 0 1 2 2 Rv 0
例
一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂 面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相 同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落 下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速 度转动 求 昆虫沿杆爬行的速度。 解 昆虫落到杆上的过程为完全非弹性 碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合 l 外力矩为零，动量矩守恒 O
王瑞敏
§6.3 动量矩和动量矩守恒定律
一. 动量矩 (角动量)
1. 质点的动量矩(对O点) LO r P r mv 其大小
LO rpsin mrvsin
LO
r
S
P
O
惯性参照系
特例：质点作圆周运动 例: 质点做匀速圆周运动
L rp mrv
t1
t
t2
M d t L2 L1
(质点动量矩定理的积分形式)
1
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量
西安交通大学理学院 王瑞敏
说明 (1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因 (2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果 2. 刚体
L J dLZ d J Z J Z M Z dt dt
跳水 芭蕾舞等
王瑞敏
猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观 察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度 的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿 有轻微的损伤。为什么会这样呢？ 西安交通大学理学院 王瑞敏
例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 求 θ角及着陆滑行的初速度多大？ 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒 质点的动量矩守恒
3GM v v 0 1 2 2 Rv 0
例
一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂 面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相 同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落 下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速 度转动 求 昆虫沿杆爬行的速度。 解 昆虫落到杆上的过程为完全非弹性 碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合 l 外力矩为零，动量矩守恒 O
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的任意轴上的投影就等于质点对
该轴的动量矩
SP
LO'
LO
r
O O
例 一质点m，速度为v，如图所示，
A、B、C 分别为三个参考点,
此时m 相对三个点的距离分别为 d1 、d2 、 d3
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
解 LA d1mv LB d1mv LC 0
A d1
d2
B
m
v
d3 C
2.
求 人走了t 时间后，转台转过的角度
解 选(人和转台)为系统 u
人和转台组成的系统不受 对竖直轴的外力矩
m 因此，系统对竖直轴的动量矩守恒
ω
M R
在时间t 内， 人走到距转台中心的距离为 r ut
(
1 2
MR2 )0
(
1 2
MR2
mr 2 )
d
dt
du
R2mt 0 Mdtarctg(ut
2m
子弹沿水平方向射入杆的下端且留在杆内，并使杆摆动，若
杆摆动的最大偏角为θ
求 (1) 子弹入射前的速度v0
(2) 最大偏角θ时，杆转动的角加速度
求 θ角及着陆滑行的初速度多大？
解 引力场(有心力)
v0
系统的机械能守恒
m r0
v R
OM
1/ 2
1 2
mv
2 0
GMm r0
1 2
mv
2
GMm R
v
v01
3GM 2Rv02
质点的对O点的动量矩守恒
mv0r0sin mvR
v
v0r0sin
R
4v0sin
sin
1 4
1
3GM 2Rv02
1/ 2
v
2 0
2g
R2 2
2g
(2) 由碎片和余下部分组成的系统, 在碎片离盘的前后不受
对转轴的外力矩的作用 系统对转轴的角动量守恒
1 MR2
2
mv0
R
(1 2
MR
2
mR2
)
角转动量动为能为(11M(1RM2 Rm2 R2m)R2)12(M 1(M2m)R22m)R2 2
22 2
24
例 一质量为M，长为l 的均匀细直杆，可绕通过其中心O且与杆 垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动。质量为m的
• r
•
F
质点将被限制在与动量矩 垂直的平面内运动。
太阳
轨迹(椭圆)
(6) 开普勒第二定律
L mvrsin m r rsin
2m
1 2
rrsint
2m
S
t
t
LO
• r r
• M
M v
由太阳到行星的矢径，在相同的时间内扫过相等的面积
例 证明：一个做匀速直线运动的质点，对任一固定点的动量
矩保持不变
质点的动量矩定理 r
dL d r mv r
dt M
dt dL
Mdt
F M
v mv 0
d(mv) dt
ddrt
mv
dL (质点动量矩定理的微分形式)
dt
t2
t1
M
dt
L2
L1
(质点动量矩定理的积分形式)
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量
说明 (1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因 (2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果
三. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
• 刚体定轴转动的动量矩
刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩都具有相同的方向
LZ miviri miri2 JZ
Z
LZ
i
i
LZ JZ 所有质元的动量矩之和
• 刚体定轴转动的动量矩定理
dLZ dt
d dt
J
Z
转动定律
d dt
(
J
Z
)
M
Z
O rmi•i vi
t
(JZ)t (JZ)t0 t0 M Zdt 动量矩定理
当 Mz 0
Lz J C
注意
碰撞过程中，可以忽略重力
比较
MZ
d dt
(JZ)
t
t0 M Z dt (JZ )t (JZ )t0
Mz 0
刚体定轴转动的动量矩 守恒定律
F d (mv ) dt
t2
t1
Fdt
mv 2
mv1
F 0
M
1 )
0
2mu2t 2
MR2
R
0
0
例 一飞轮如图， 某一瞬时有一质量为m的碎片从飞轮的边缘 飞出，且速度方向正好竖直向上。忽略重力矩的影响
求 (1) 碎片能上升的最大高度
(2) 余下部分的角速度，角动量，转动动能
ω
解 (1) 碎片离盘时的初速度为 v0 R
RM
所以碎片能上升的最大高度为
hmax
视为代数量
特例：质点作圆周运动
LO
mv
r O LO
L mrv
说明
(1) 质点的动量矩取决于
质点的动量
位矢 — 取决于固定点的选择 动量矩随参考点而变
(2)当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的 动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩
(3)与力矩类似
质点对某点的动量矩,在通过该点
§6.3 动量矩和动量矩守恒定律
一. 动量矩 (角动量)
力矩对时间的积累效应
• 质点的动量矩
Lo
r
mv
其大小 Lo mvrsin mvh
z
Lo
O.
h r A•
mv
y
三角形的面积
x
的2倍
i
jk
质点的动量矩 的分量形式
Lo
r
mv
x
z
mvx mvy mvz
当质点在平面内运动时
Lo 只有两个取向
证
L1
r1
mv
L1 L2
mvr1 sin 1
r2 mv
mvh
L2 mvr2 sin 2 mvh
1
•
v
2
r1 L2 L1
h r2
•
O
例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面
有轻微的损伤。为什么会这样呢？
(2) 绕定轴转动的物体系
当 Mz 0
Lz J C
如：人站在转台上，用手拨动轮子，则转台会向相反的
方向转动
因为：内力矩只能改变物体系内各物体的动量矩，但不能
改变物体的总动量矩
例 有一转台，初始的角速度为ω0 有一个人站在转台的中心， 以相对于转台的恒定速度u沿半径向边缘走去，
3. 质点动量矩守恒定律
若
M
0，则
L
常矢量
──质点动量矩守恒定律
讨论 (1) 质点动量矩定理适合于惯性系中一个固定参考点
(2) 守恒条件 MO 0
(3) 动量矩是否守恒与参考点的选择有关
(4) 常用于解决单摆运动、行星运动
(5) 开普勒第一定律
例: LO
mv 行星
质点仅受一个来自于固定点的引力 或斥力 有心力的作用，
说明 (1) 变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度相
同，则变形体对该轴的动量矩
mkrk2 J t
当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒
J tω 常量
J t ω J t ω
如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等
猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观 察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度 的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿