福建省2018届高三数学4月质检试卷理科有答案
高三数学-2018年高三年级质量检测4答案 精品
2018年高三年级质量检测4答案一、选择题：每小题5分，满分60分. 1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．（理科）B （文科）C 7．B 8．A 9．C 10．C 11．D 12．D二、填空题：每小题4分，满分16分.13．223+ 14． 20 15． 11 16．④三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤. 17．（理科）解：原不等式等价于：,102log 4log 41|log |44log 22<<++<++a x x x x a a a a 分（1）分得又或或得时即当60,10,10,1log 1log ,1log ,10,0log 42 a x x ax a x x x x x x a a a <<<<><<∴-<>∴><<>（2）分或原不等式的解集为综上分得又或或得时即当12}0|{:,10,1,0,3log 31log 03log 8log 3,1,0log 333312 a x a x x a x x a x a x x x x x x x a a a a a <<>>>><<∴-<>∴>-+><---（文科）解：分2)(2a x x f -='3282)(-=处有极小值在函数x x f ⎩⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧-=+-⨯=-∴44:3282831022b a b a a 解得……6分 2,2,0)(),2)(2(4)(4431)(23=-=='+-=-='--=∴x x x f x x x x f x x x f 或得令……8分f34)(,2=-=∴最大时当x f x 所以，a=4，b=－4，函数)(x f 的极大值是3……12分18．解：（1）x xx x x 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos=⋅-⋅=⋅………………2分x x xx x b a 222cos 22cos 22)2sin 23(sin )23cos 23(cos ||=+=-++=+x x x cos 2||,0cos ],2,0[=+∴>∴∈π………………6分（2）（理科）2221)(cos 2)(,cos 42cos )(λλλ---=-=x x f x x x f 即.1cos 0],2,0[≤≤∴∈x x π①当0<λ时，当县仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾；②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得21,23212=-=--λλ解得；③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得2341-=-λ解得85=λ，这与1>λ相矛盾，综上所述，21=λ为所求.…………12分 （2）（文科）23)21(cos 21cos 2cos 2cos 22cos )(22--=--=-=x x x x x x f .1cos 0],2,0[≤≤∴∈x x π ∴当且仅当)(,21cos x f x 时=取得最小值23-……12分19．解（1）∵正方形ABCD ，∴BD ⊥AC ，又∵SA ⊥面ABCD ，∴SA ⊥BD ，则BD ⊥面SAC ，又BD ⊂面BED ，∴面BED ⊥面SAC …………2分（2）设0=BD AC ，由三垂线定理得，BD ⊥SO.23216,4,222212212122=+=+===⋅⋅=⋅==AO SA SO SA AB AC AO 则623222121=⋅⋅=⋅=∆SO BD S BSD .设A 到面BSD 的距离为h ，则,BSD A ABD S V V --=即,34,3131=⋅=⋅∆∆h h S SA S BSD ABD 解得即点A 到平面SBD 的距离为34………6分 （3）令ED ⊥SC ，连接BE ，由∠SCB=∠SCD ，BC=CD ，∴△BEC ≌△ECD.于是BE ⊥SC ，则∠BED 为二面角B —BC —D 的平面角.………………8分SA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥SD. 设22222,.,a x SC a x SD a AB x SA +=+===则在22222,ax a x a SC CD SD ED SCD Rt ++=⋅=∆中 由∠BED=120°，BE=ED ，则∠BEO=60° .23222,60sin 2222a x a x a x a a BE BO =⋅++=︒⋅=解得即故当1=ABSA时，二面角B —SC —D 大小为120°…………12分20．解（1）依题意A 点坐标应是 ),3,()2(232p p A p x p y x y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==点A 是OB 的中点，∴B 点的坐标为)32,2(p p ，……2分 p OB 4||=∴且点B 到准线x =－p 的距离为d=3p. 由离心率及双曲线的定义有：3434||====p p d OB a c e ……4分 ∴所求双曲线的渐近线的斜率为37±……6分 （2）设所求双曲线的中心坐标为（x 0，0），则p x -<0，∴双曲线的一条渐近线方程为)(370x x y -=， 由该直线在y 轴上的截距为43740-=x 得. ∴双曲线的中心坐标为（－4，0），同时得到双曲线的半焦距c=4……8分 由⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===7943722222b a b a c c a b ∴所求双曲线的方程为179)4(22=-+y x ……10分 又474942=-=-=c a c p ，∴所求的抛物线方程为)87(272+=x y …………12分21．解：设列车从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列}{n a（1）由题意得：.21)3()2()1(,1)2()1(,1321---+-+-=--+-=-=n n n a n n a n a …2分在第k 站出发时，前面放上的邮袋共：)()2()1(k n n n -++-+- 个…………4分 而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+…+（k －1）个…………6分 故)]1(21[)()2()1(-+++--++-+-=k k n n n a k ),,2,1()1(21)1(212n k k kn k k k k kn =-=--+-= 即列车从第k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋数),2,1(2n k k kn =-个…………8分（2）2241)2(n n k a k +--= 当n 为偶数时，n k 21=时，最大值为241n当n 为奇数时，)1(21)1(21+=-=n k n k 或时，最大值为)1(412-n .所以，当n 为偶数时，第2n 站的邮袋数最多，最多是241n 个； 当n 为奇数时，第2121+-n n 或第站的邮袋数最多，最多是)1(412-n 个…………12分 22．解：（1）由题意得点M 到直线0,,2|1|01≥=-++==-+t x t a x x d y x 则令的距离.;2|1|2|45)21(|2|1|22-≥-++=-++=a a t a t t d ………………4分 3),(1,22|1|,0=-==-===∴a a a d x t 舍解得时当最小…………6分（2）由2)()(0:1)()()(11)()()(≤≤≤-≤-⇔≤-x f x ag x f x ag x f x f x ag x f 得即22≤+xa ax 在]4,1[∈x 上恒成立，也就是]4,1[22∈≤+x x a ax 在上恒成立. 令0,≥=t x t 则.且]2,1[,02.222∈≤+-=t a t at t x 在依题意上恒成立…………10分设222)(a t at t +-=ϕ，则要使上述条件成立，只需：⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=≤-+=044)2(02)1(22a a a a ϕϕ………12分解得：)12(20-≤<a ，即满足题意的a 的取值范围是)12(20-≤<a …………14分。
福建省2018届高三质量检查测试(4月)理科综合-(30396)
2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科综合能力测试一、选择题:本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列与细胞相关的叙述，错误的是A.蓝藻细胞中含有与有氧呼吸相关的酶B.下丘脑细胞中含有与生长激素合成相关的基因C.唾液腺细胞膜上含有转运唾液淀粉酶的载体蛋白D.二倍体果蝇体细胞有丝分裂后期含有4个染色体组2.在锥形瓶中加入葡萄糖溶液和活化的酵母菌，密闭瓶口，置于适宜条件下培养，用传感器分别测定溶解氧和CO2的含量。
实验结果如下图：下列分析正确的是A.酵母菌属于自养兼性厌氧生物B.100s时，O2的吸收量等于CO2的释放量C.200s后，丙酮酸分解主要发生在细胞质基质中D.300s后，抽取培养液与重铬酸钾反应呈橙色3.神经递质GABA与突触后膜上的相应受体结合，使受体蛋白的结构发生变化，导致C1ˉ通过该蛋白内流。
药物BZ能提高该蛋白对C lˉ的通透性。
下列相关叙述错误的是A.GABA能提高神经细胞的兴奋性B.GABA的受体还具有转运功能C.BZ会降低肌肉对神经递质的应答反应D.C lˉ内流使突触后膜两侧电位差增大4.唐代诗人曾用“先春抽出黄金芽”的诗句形容早春茶树发芽的美景。
茶树经过整型修剪，去掉顶芽，侧芽在细胞分裂素作用下发育成枝条。
研究表明，外源多胺能抑制生长素的极性运输。
下列相关叙述错误的是A.生长素的极性运输需要消耗细胞释放的能量B.生长素主要在顶芽合成，细胞分裂素主要在侧芽合成C.施用适宜浓度的外源多胺能促进侧芽发育D.光照、温度等环境因子会影响植物激素的合成5.福建柏是一种优良的园林绿化乔木，也是建筑、家具的良好用材。
科研人员对某地的福建柏天然林与人工林进行群落丰富度的研究，选取不同面积的样方(20m×20m、2m×2m、1m×Im)进行调查。
统计结果如下表：下列相关叙述正确的是A.调查草本层的物种丰富度宜选用20m×20m的样方B.调整人工林能量流动关系的主要目的是使能量更多地流向灌木层C.天然林中的福建柏物种丰富度约为100株/hm2D.人工林中适当引入当地树种可提高生态系统的稳定性6.赤鹿体色由3对等位基因控制，其遗传遵循自由组合定律，基因型和表现型如下表下列分析错误的是A.当A基因不存在且B基因存在时，赤鹿才会表现出白色让多对AaBbee雌雄个体交配产生出足够多F1，其中白色有斑比例为1/8C.选用白色无斑雌雄个体交配，可能产生赤褐色有斑的子一代D.赤鹿种群中赤褐色无斑的基因型有20种7．下列各组物质中，均属于硅酸盐工业产品的是A．陶瓷、水泥B．水玻璃、玻璃钢C．单晶硅、光导纤维D．石膏、石英玻璃8．唐代苏敬《新修本草》有如下描述：“本来绿色，新出窟未见风者，正如瑁璃。
2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学试题
n ni S S n i≥7？
是 输出 S
否
x2 结束 . 2 x 2x 2 命题 p1 ： y f ( x ) 的图象关于点 1,1 对称；命题 p2 ：若 a b 2 ，则 f a f b .
则在命题 q1 ： p1 p2 ， q2 ： p1 p2 ， q3 ： p1 p2 和 q4 ： p1 p2 中，真命题 是 A． q1 , q3 B． q1 , q4 C． q2 , q3 D ． q2 , q4
则 a0 a2 a4 A． 123 B． 91 C． 120 D． 152
i i 1
5．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史 上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研 习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉 字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第 33 问是：“今有三角 果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图. 执行该程序框图，求得该垛果子的总数 S 为 A． 120 C． 56 6．已知函数 f ( x ) B． 84 D． 28
10．已知抛物线 E : y 2 2 px ( p 0) 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 1 的直线交 E 于 A, B 两点，线 段 AB 的中点为 M ，其垂直平分线交 x 轴于点 C ， MN y 轴于点 N .若四边形 CMNF 的 面积等于 7，则 E 的方程为 A． y x
12． 已知函数 f x x a 3x a a＞0 在 1, b 值为 A． 1 值范围是
B． 2
C． 4
D． 8
A． 0,3
2018年福建省高三毕业班质量检查理科数学(精校word版)
2018年福建省高三毕业班质量检查理科数学(精校word版)A ．120B ．84C ．56D ．28 6.已知函数22()22x f x x x =-+.命题1p ：()y f x =的图象关于点()1,1对称；命题2p ：若2a b <<，则()()f a f b <.则在命题1q ：12p p ∨，2q ：()()12p p ⌝∧⌝，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（ ）A ．1q ，3q B ．1q ，4q C ．2q ，3q D ．2q ，4q7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M ，N 间隔3分钟先后从点P 出发，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A ．37.5分钟B ．40.5分钟C ．49.5分钟D ．52.5分钟8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．32643π-B ．648π-C ．16643π-D ．8643π-9.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（ ）A ．3200元B ．3400元C ．3500元D ．3600元 10.已知抛物线E ：22(0)ypx p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N .若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为（ ） A ．2y x= B ．22y x= C ．24yx=D ．28yx=11.已知A ，B ，C ，D 四点均在以点1O 为球心的球面上，且25AB AC AD ===，42BC BD ==8BD =.若球2O 在球1O 内且与平面BCD相切，则球2O 直径的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812.已知函数()()33f x x a x a =--+(0)a >在[]1,b -上的值域为[]22,0a --，则b 的取值范围是（ ） A ．[]0,3 B ．[]0,2 C ．[]2,3D ．(]1,3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z 满足()12z i z +=-，则2z = ．14.若x ，y 满足约束条件402400x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为 ． 15.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，左顶点为A.以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，APQ ∆的一个内角为60，则C 的离心率为 ．16.在平面四边形ABCD 中，1AB =，AC =BD BC ⊥，2BD BC =，则AD 的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.各项均为正数的数列{}na 的首项11a λ=，前n 项和为nS ，且211n n n S S a λ+++=.（1）求{}na 的通项公式； （2）若数列{}nb 满足n nnba λ=，求{}nb 的前n 项和nT .18.如图1，在矩形ABCD 中，35AB =5BC =点E 在线段DC 上，且5DE =现将AED ∆沿AE 折到'AED ∆的位置，连结'CD ，'BD ，如图2.（1）若点P 在线段BC 上，且5BP ='AE D P ⊥； （2）记平面'AD E 与平面'BCD 的交线为l .若二面角'B AE D --为23π，求l 与平面'D CE 所成角的正弦值.19.如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）根据散点图选择y a x=+ln=+两个模型进行拟合，经y c d x过数据处理得到两个回归方程分别为0.93690.0285y x=+=+，并得到以下一些统计量的值：0.95540.0306lny x（1）请利用相关指数2R判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区≤≤平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）. (70160)m m若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i）估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款） 征收方式见下表：参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln17 2.83≈，ln19 2.94≈，2 1.41≈，3 1.73≈，4.12≈19 4.36≈.参考公式：相关指数22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑.20.椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，上、下顶点分别是B ，C ，AB =CF 交线段AB 于点D ，且2BD DA =.（1）求E 的标准方程；（2）是否存在直线l ，使得l 交E 于M ，N 两点，且F 恰是BMN ∆的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由.21.已知函数2()(21)2x f x ax ax e =++-.（1）讨论()f x 的单调区间；（2）若17a <-，求证：当0x ≥时，()0f x <. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），1l ，2l 为过点O 的两条直线，1l 交M 于A ，B 两点，2l 交M 于C ，D 两点，且1l 的倾斜角为α，6AOC π∠=. （1）求1l 和M 的极坐标方程；（2）当0,6πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()2f x x =-，()1g x a x =-.（1）若不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，求a 的值；（2）若当x R ∈时，()()f x g x ≥，求a 的取值范围.2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学答题分析一、选择题1-5: BDADB 6-10: BACCC 11、12：DA二、填空题 13. -4 14. 6 15. 43 16.三、解答题 17.（1）【考查意图】本小题以n a 与n S 的关系为载体，考查递推数列、等差数列的定义及通项公式及等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等.【解法综述】只要掌握n a 与nS 的关系、等差数列的定义及通项公式即可顺利求解.思路：由211n n n S S a λ+++=通过赋值得到：当2n ≥时，21n n n SS a λ-+=.从而当2n ≥时，11n n a a λ+-=，并注意到211a a λ-=，所以{}na 是首项为1λ，公差为1λ的等差数列，进而求得n na λ=.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会通过赋值由211n n n S S a λ+++=得到21n n n S S a λ-+=(2)n ≥，从而无从求解；或没有注意到2n ≥，思维不严密导致解题不完整.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以数列求和为载体，考查错位相减法、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.【解法综述】只要掌握错位相减法、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式便可顺利求解.思路：因为{}nb 是由等差数列{}n 与等比数列{}1n λ-的对应项的积组成的数列，所以可用错位相减法求和，在解题过程中要注意对λ的取值进行分类讨论.【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂得根据数列通项的特征选择错位相减法求和，从而无从下手；用错位相减法求和时计算出错；没有对λ的取值进行分类讨论导致解题不完整等.【难度属性】中.18.（1）【考查意图】本小题以平面图形的翻折问题为载体，考查直线与平面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，考查化归与转化思想.【解法综述】只要理清图形翻折前后相关要素的关系，掌握直线与平面垂直的判定定理及直线与平面垂直的性质，便可解决问题.思路：先在图1中连结DP ，根据tan tan PDC DAE ∠=∠得到90DOA ∠=，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，即在图2中有'AE OD ⊥，AE OP ⊥，所以得到AE ⊥平面'POD ，进而得到'AE PD ⊥.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理清图形翻折前后相关要素的关系，未能在图1中作出线段DP ，从而无从下手；由于对直线与平面垂直的判定及性质理解不清导致逻辑混乱.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查二面角、直线与平面所成角、公理3、直线与平面平行的判定定理与性质定理、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.【解法综述】只要掌握二面角的定义，会正确作出平面'AD E 与平面'BCD 的交线，或能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将直线l 与平面'D CE 所成角转化为平行于l 的直线与平面'D CE 所成角，并通过建立适当的空间直角坐标系利用向量方法解决直线与平面所成角的计算问题，便可顺利求解.思路一：延长AE ，BD 交于点Q ，连接'D Q ，根据公理3得到直线'D Q 即为l ，再根据二面角定义得到2'3D OP π∠=.然后在平面'POD 内过点O 作OF OP ⊥交'D P 于点F ，并以O 为原点，分别为OA ，OP ，OF 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得l 与平面'D CE 所成角的正弦值.思路二：分别在'AD ，'BD 上取点M ，G ，根据线段的长度及位置关系得到CE MG ⊥，且CE MG =，从而得到四边形MGCE 为平行四边形，进而证得//ME l ，将直线l 与平面'D CE 所成角转化为直线EM 与平面'D CE 所成角.根据二面角定义得到2'3D OP π∠=.然后在平面'POD 内过点O 作OF OP ⊥交'D P 于点F ，并以O 为原点，分别为OA ，OP ，OF 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得l 与平面'D CE 所成角的正弦值.【错因分析】考生可能存在的错误有：无法利用公理3确定直线l 的位置，或不能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将所求角转化为平行于l 的直线与平面'D CE 所成角，导致无从下手；不能根据二面角的定义求得2'3D OP π∠=；不能根据题意建立适当的空间直角坐标系；在求解过程中点的坐标或法向量等计算错误.【难度属性】中.19.（1）【考查意图】本小题以购房问题为背景，以散点图、相关指数2R 为载体，考查回归分析等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想等.【解法综述】只要理解相关指数2R 的意义便可通过简单估算解决问题.【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂相关指数2R的意义导致判断错误.【难度属性】易.（2）（i）【考查意图】本小题以估算购房金额为载体，考查回归分析、函数等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.考查学生在复杂的问题情境中获取有用信息分析问题和解决问题的能力.【解法综述】通过散点图确定2018年6月对应的x的取值，代入（1）中拟合效果更好的模型，并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.思路：由（1）的结论知，模型0.95540.0306ln=+的拟合效果y x更好，通过散点图确定2018年6月对应的x的取值为18，代入0.95540.0306ln=+并利用参考数据即可求出二手房均价y x的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据散点图得到2018年6月对应的x的取值为18，导致2018年6月当月在售二手房均价预测错误；不能从大量复杂的文字和图表中获取有用信息，混淆买方缴纳契税与卖方缴纳的相关税费；不能合理分类导致错误.【难度属性】中.（2）（ii）【考查意图】本小题以估算可购房屋最大面积问题为载体，考查函数与不等式等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查函数与方程思想等.【解法综述】首先直观估算100万可购买的最大面积的大致范围，再利用（2）（i）中相应的结论求解.思路：首先通过估算得到，90平方米的购房金额小于100万而100平方米的房款大于100万，从而判断100万可购买的面积在90至100平方米之间，便可利用（2）（i）中相应的结论求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会估算出100万可购买房屋的最大面积在90至100平方米之间，导致无从下手；未先估算100万可购买房屋的最大面积所在的范围，根据（2）（i）中的函数解析式逐一计算，使得解题过程繁杂导致计算出错.【难度属性】中.20.（1）【考查意图】本小题以椭圆为载体，考查直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想等.【解法综述】只要掌握直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质，能将线段的长度关系转化为向量关系，或利用平面几何知识进行转化，从而得到a ，b ，c 满足的方程，便可求得椭圆的标准方程.思路一：先分别求出直线AB ，CF 的方程，再求得D 的坐标.然后将2BD DA =转化为2BD DA =，得到2a c =，再结合AB =便可求得1c =，2a =，3b =22143x y +=.思路二：利用椭圆的对称性得到//BG CF ，将2BD DA =转化为2GF FA =，得到2a c =，再结合7AB =便可求得1c =，2a =，b =从而得到椭圆的标准方程为22143x y +=. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不能将2BD DA =转化为2BD DA =，或不能利用椭圆的对称性得到//BG CF ，将2BD DA =转化为2GF FA =，导致无从下手.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以探索性问题为载体，考查椭圆的简单几种性质、直线与圆锥曲线的位置关系、三角形垂心的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.【解法综述】只要能通过假设存在满足题意的直线，根据F 是BMN ∆的垂心，得到BF MN ⊥，进而确定直线MN 的斜率，由此设出直线MN 的方程并与椭圆方程联立；再根据F 是BMN ∆的垂心，得到MF BN ⊥，将其转化为0MF BN ⋅=或1MF BN k k ⋅=-，并结合韦达定理，便可得到结论.思路：先假设存在满足条件的直线MN ，由垂心的性质可得BF MN ⊥，从而得到直线l 的斜率33k =，由此可设l 的方程为33y x m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，再将l 的方程与椭圆方程联立得到393933m -<<及12313m x x +=-，()21212313m x x-=.将MF BN ⊥转化为0MF BN ⋅=或1MF BN k k ⋅=-，即()(1212130x x y y --=，从而求出m 的值，并根据m 的取值范围检验得到结论.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据F 是BMN ∆的垂心得到BF MN ⊥及MF BN ⊥，导致无从下手；在消元、化简的过程中计算出错；未检验导致解题不完整等.【难度属性】中.21.（1）【考查意图】本小题以含指数函数的初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.【解法综述】只要掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则、导数与函数单调性的关系和含参数一元二次不等式的解法，便可解决问题.思路：求得()()2'421x f x ax ax a e =+++，对()2421u x ax ax a =+++的符号进行讨论.先讨论0a =的情况，再对0a ≠的情况结合()u x 的图象和判别式进一步分成三种情况进行讨论，即可求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：求导函数出错；求根计算错误或两根大小关系判断错误；分类讨论错误或不完整.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以不等式证明为载体，考查利用导数研究函数的极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力和创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等.【解法综述】只要掌握利用导数研究函数性质的基本思路，具备较强的运算求解能力、推理论证能力和一定的创新意识，并能灵活运用数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，便可解决问题.思路一：将a 的取值分成1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，11,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭两部分进行讨论，对于1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦的情形可直接根据（1）的结论进行证明：对于11,27a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭的情形，将所证不等式转化为证明()f x 的最大值()()12111212x f x ax ax e =++-小于零，再利用2114210ax ax a +++=得到211142a x x =-++，进而得到()()11121121242x x f x e x x +=-++，通过分析法转化为证明函数()()2142x g x x ex x =+---在()0,1恒小于零. 思路二：通过变换主元将()f x 改写成关于a 的函数()()22x a e x x ϕ⎡⎤=+⎣⎦2x a e +-，将求证不等式转化为证明()227x e x x +-20x e +-<，再利用分析法进一步转化为证明()227140x e x x +-+>，然后构造()()227x g x e x x =+-()140x +≥，证明()g x 的最小值大于零即可.思路三：同思路一得到()()11121121242x x f x e x x +=-++，通过分析法转化为求证函数()()2421x x x g x x e ++=+在()0,1恒大于1.思路四：同思路一得到()()11121121242x x f x e x x +=-++，通过分析法转化为求证函数()2421x x x g x e x ++=-+在()0,1恒小于零.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会对参数a 的取值进行合理分类；不会通过消元将函数最值转化为仅关于极值点的表达式；不能变换主元对问题进行合理转化；不会根据题意构造恰当的函数.【难度属性】难.22.（1）【考查意图】本小题以直线和圆为载体，考查直线的极坐标方程、参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.【解法综述】只要能写出极坐标系中简单图形的极坐标方程，能进行极坐标和直角坐标的互化，能进行参数方程和普通方程的互化，便可解决问题.思路：首先，结合图形易得直线l 的极坐标为()R θαρ=∈.其次，先将M 的参数方程化为普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式将M 的普通方程化为极坐标方程，便可得到正确答案.【错因分析】考生可能存在的错误有：极坐标的概念不清晰，在求1l 的极坐标方程时，忽略R ρ∈的限制导致错误；直角坐标与极坐标的互化错误.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以两点间的距离为载体，考查极坐标的几何意义、韦达定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.【解法综述】只要明确极坐标中ρ，θ的几何意义，并能正确进行三角恒等变换，便可以解决问题. 思路：根据极坐标的几何意义，OA ，OB ，OC ，OD 分别是点A ，B ，C ，D 的极径，从而可利用韦达定理得到：OA OB OC OD +++1234ρρρρ=+++()2cos sin αα=+2cos sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，把问题转化为求三角函数的最值问题，易得所求的最大值为2+.【错因分析】考生可能存在的错误有：不熟悉极坐标的几何意义，无法将问题转化为A ，B ，C ，D 四点的极径之和；无法由1l ，2l 及M 的极坐标方程得到()122cos sin ρραα+=+，34ρρ+2cos sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；在求1234ρρρρ+++的最值时，三角恒等变形出错.【难度属性】中.23.（1）【考查意图】本小题以含绝对值不等式为载体，考查含绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等.【解法综述】根据解集特征判断a 的符号，并结合含绝对值不等式的解法，求得()33g x -≥-的解集，根据集合相等即可求出a 的值.思路：先将()33g x -≥-转化为32a x -≥-，再根据不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4得出0a <，从而得到()33g x -≥-的解集为223,3a a ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦，进而由232234a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得2a =-.【错因分析】考生可能存在的错误有：无法判断a 的符号导致无从入手；不等式()33g x -≥-的解集求错；不会根据集合相等求出a 的值.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以不等式恒成立问题为载体，考查含绝对值不等式、绝对值三角不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等.【解法综述】通过分离参数将含参数的绝对值不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，或将不等式转化为两个函数图象的位置关系，均能求出a 的取值范围. 思路一：当0x =时，易得()()f x g x ≥对任意实数a 成立；当0x ≠时，将()()f x g x ≥转化为21x a x -+≤，再通过分段讨论确定函数()()210x h x x x -+=≠的最小值，从而得到a 的取值范围. 思路二：当0x =时，易得()()f x g x ≥对任意实数a 成立；当0x ≠时，将()()f x g x ≥转化为21x a x -+≤，再利用绝对值三角不等式得到()()210x h x x x -+=≠的最小值，从而得到a 的取值范围. 思路三：当0a ≤时，10a x -<，20x -≥，得到21x a x -≥-成立；当0a >时，不等式()()f x g x ≥等价于函数()2f x x =-的图象恒不在函数()1g x a x =-的图象的下方，从而根据这两个函数图象的位置关系便可得到a 的取值范围.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能通过合理分类简化问题；不会通过分离参数转化问题；无法分段讨论去绝对值或利用绝对值三角不等式确定函数()()210x h x x x-+=≠的最小值；不能将不等式转化为两个函数图象的位置关系进行求解.【难度属性】中.。
2018年福州市高中毕业班质量检测参考答案(理科数学)
(9) 【答案】C．
【解析】由三视图可知，该几何体是由直四棱柱与半圆锥组合而成的简单组合体．因
1 1 1 为 V四棱柱 = 1 2 2 2 6, V半圆锥 = 12 2 ，所以该几何体的体积为 2 2 3 3
V V四棱柱 V圆锥 6 (10) 【答案】C．
题意，排除 A；故选 C．
(11) 【答案】D．
理科数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 14 页）
所以 D 与 B1 重合． 分别过点 A, B 作 AA1 , BB1 垂直于 l ， 【解析】 依题意， 易证 BD // x 轴， 且 垂 足 分 别 为 A1 , B 1 ， 由 已 知 条 件 BE 2 BF 得 BE 2 BF 2 BB1 ， 所 以
(7) 【答案】D．
【解析】根据程序框图的功能，可知判断框内应填 S 1 000 ．由程序框图知，当首次 满足 S 1 000 时，已多执行两次“ i i 1 ”，故输出框中应填写“输出 i 2 ”．
(8) 【答案】B．
【解析】 可分两步： 第一步， 甲、 乙两个展区各安排一个人， 有 A62 种不同的安排方法； 第二步，剩下两个展区各两个人，有 C42 C22 种不同的安排方法；根据分步计数原理，有 不同的安排方案的种数为 A62 C42 C22 180 ．
x x2 y 2 1 ，所以 E 的渐近线方程为 y ． 4 2
2 1 i 2 1 i ， z 对应的点为 1,1 ， i 1 i 11 i
（2）C （8）B
（3）B （9）C
（4）B （10）C
（5）D （11）D
（6）A （12）B
福建省龙岩市 2018届高三下学期教学质量检查(4月)数学(理)试题(含精品解析)
福建省龙岩市 2018届高三下学期教学质量检查(4月)数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知是虚数单位，复数，则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用复数的乘法运算法则及共轭复数的定义即可得结果.详解：，，故选C.点睛：本题主要考查的是复数的乘法运算及共轭复数的定义，属于简单题．解题时一定要注意和运算的准确性，否则很容易出现错误.2. 已知集合，，若有3个真子集，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，再由真子集个数判断元素个数，利用交集的定义可得结果.详解：，，由有个真子集，可得有个元素，，即的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，集合的交集子集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.3. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用面积公式以及梯形的面积公式，以及几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率.详解：邪田的广分别为十步和二十步，正从为十步，圭田广为八步，正从为五步的，在邪田内随机种植一株茶树，所以利用面积公式，算出圭田的面积面积，利用梯形的面积公式，算出邪田的面积，根据几何概型概率公式可得，该株茶树恰好种在圭田内的概率为：，故选A.点睛：本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.4. 已知实数满足，则的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.【答案】D【解析】分析：画出可行域，变为，平移直线，可得直线经时，有最大值，从而可得结果.详解：画出表示的可行域，如图，由，得，变为，平行直线，当直线经过时，的最大值为，故选D.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为6，5，1，则输出的结果为（）A. B. C. D. 方程没有实数根【答案】C【解析】分析：阅读程序框图可知，该程序框图的功能是求方程的解，从而可得结果.详解：阅读程序框图可知，该程序框图的功能是求方程的解，方程变为，解得或，输出的结果为，故选C.点睛：解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据三视图可得，该几何体由一个半球与一三棱柱组成，分别求出球面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积求和即可.详解：由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个半球，球的半径为，右边是一个三棱柱，三棱柱底面是斜边长为的等腰直角三角形，高为，组合的体表面由球面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积组成，其值为：，故选D.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7. ，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用对数函数与指数函数的性质判断出的范围，从而可得结果.详解：，，，，，，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.8. 已知二项式，则展开式的常数项为（）A. B. C. D. 49【答案】B【解析】分析：首先变形为，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果.详解：二项式二项式中的常数项产生在中，分别是,它们的和为，故选B.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9. 已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为（）A. 1B. 2C.D. 8【答案】A【解析】分析：由圆的标准方程求得圆心，可得抛物线方程，利用运用抛物线的定义可得，从而可得结果.详解：因为的圆心所以，可得以为焦点的抛物线方程为，由，解得，抛物线的焦点为，准线方程为，即有，当且仅当在之间）三点共线，可得最大值，故选A.点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及平面向量的数量积公式，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.10. 已知满足，且，对于定义域内满足的任意，，当取最小值时，的值为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】分析：由，可求得函数的周期，从而的的值，由可得函数的对称轴，从而可得的值，由正弦函数性质可得，进而可得，代入解析式可得结果.详解：，周期为，由，得是的对称轴，时，，，由，得，，时，，时，，时，，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的解析式及函数的周期性，属于难题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个，一是三角函数，可以用公式求出周期；二是抽象函数，往往需要根据条件判断出周期，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:(1)；（2）；（3） .11. 设函数.若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：函数.若存在唯一的整数，使得，等价于有唯一整数，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理，列不等式组求解即可.详解：设，，函数.若存在唯一的整数，使得，等价于有唯一整数，即在唯一的整数，使得，，由，得，由，得，所以在上递增，在上递减，只有一个整数，，，得，即实数的取值范围为，故选A.点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可），也可以利用数形结合，根据零点存在定理列不等式（组）求解.12. 如图所示，正方形的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥的侧面积取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设三棱锥一个侧面为三角形，，正四棱锥的表面积可表示为，化简后，利用基本不等式求解即可.详解：设三棱锥一个侧面为三角形，，则，，，，（当且仅当，即时取等号），而，故，时，三角形是等腰直角三角形，顶角，阴影部分不存在，折叠后与重合，构不成棱锥，的范围为，故选D.点睛：求范围问题往往转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求表面积范围的.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与的夹角为，且，则_______.【答案】4【解析】分析：根据平面向量数量积公式可得，对，两边平方，得到关于的方程，解方程即可得结果.详解：，向量与的夹角为，，，解得，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 已知点在直线上，则圆锥曲线：的离心率为_______.【答案】【解析】分析：由点在直线上，求出的值，从而确定的值，进而可得结果.详解：在上，，，化为，，，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．15. 在中，若，则的外接圆的面积的最小值为_______.【答案】【解析】分析：由余弦定理结合基本不等式可得，再利用正弦定理可得，利用圆的面积公式可得结果.详解：由余弦定理可得，，可得，，，即外接圆面积最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.16. 已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】分析：由，得，利用，可求得，利用导数证明在上递增，等价于，由单调性可得结果.详解：由，得，，令，，，令，在上递减，在上递增，，在上递增，，，可得，解得，即实数的取值范围是，故答案为.点睛：本题出题意图在于通过构造函数，并判断其单调性，进而比较代数式的大小.其中恰当的构造函数是本题的关键，也是本题的难点，至于函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图像法等.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和是，且.（1）若，求的通项公式；（2）在（1）的条件下，求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）由，得，整理得，所以是一个公差为2的等差数列，可得，由可得结果；（2）由（1）可知，，利用裂项相消法可得数列的前项和.详解：（1）当时，，即，整理得，所以所以是一个公差为2的等差数列，又，所以，所以，此时符合题意所以－＝．当时，上式不成立，所以（2）由（1）可知，，所以．点睛：本题主要考查等差数列的定义、公式的应用以及裂项相消法求和，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.18. 支付宝自助付款可以实现人像识别身份认证和自动支付业务，于是出现了无人超市.无人超市的出现大大方便了顾客，也为商家节约了人工成本.某超市对随机进入无人超市的100名顾客的付款时间与购物金额进行了统计，统计数据如图所示：（时间单位：秒，付款金额RMB：元）（1）用统计中的频率代表一位顾客随机进店消费付款时间的概率，试求该顾客进店购物结算时所用时间的期望；（2）若一位顾客在结算时，前面恰有3个人正在排队，求该顾客等候时间不少于2分钟的概率.【答案】(1)26秒;(2)该顾客等候时间不少于2分钟的概率为．【解析】分析：（1）设一位顾客进店购物结算时间为，根据统计图表可知，的可能值为10，20，40，60，根据古典概型概率公式可得随机变量的概率利用期望公式可得结果；（2）分三种情况，分别利用独立事件的概率公式求出概率，然后利用互斥事件的概率公式即可结果.详解：（1）设一位顾客进店购物结算时间为，根据统计图表可知，的可能值为10，20，40，60，所以所以该顾客进店购物结算时所用时间的期望为（秒）．（2）依题意可知，每个顾客各自的付款时间是相互独立的，若3位顾客付款时间总计不少于2分钟，则3人的付款时间可能有如下情况：①3个60秒；②2个60秒和另一个可以是10秒，20秒，40秒中任意一个；③一个60秒，另外两个付款时间可以是20秒，40秒或40秒，40秒；④三40秒．所以对应的概率为．答：该顾客等候时间不少于2分钟的概率为．点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.19. 已知四棱锥中，平面，，，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).详解：（1）证明：过点在平面内作，交于点，因为，，所以四边形为一个底角是60°的等腰梯形，所以，所以为中点，由题知，在中，，又，所以，而，所以为的三等分点，连接，所以，又在中，，，所以，所以，所以，又平面，所以，因为，所以平面．（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以平面的一个法向量为，又由（Ⅰ）知，所以在中，，所以，，，，所以，设平面的法向量为，所以即令，所以，设二面角的平面角为，且为锐角，所以．点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若的倾斜角为时，是等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）若，求中边上中线长的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由焦点分别为得，由，结合，可得，从而可得椭圆的方程；（2）设直线，联立得，根据中点坐标公式，结合韦达定理，利用两点间距离公式，可得，换元后，由可得结果.详解：（1）由已知得：，，所以，，解得椭圆的方程（2）①当直线的斜率为0时，显然不成立．②设直线，，联立得则中边上的中线长为令则得由，得，，，中边上中线长的取值范围是 .点睛：本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21. 已知函数.（1）求函数的极值点；（2）当时，恒有成立，求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可求得函数的极值；（2）设, 分四种情况讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，分别求出函数最小值，利用最小值大于零，可筛选出符合条件的的取值范围.详解：（1）由题意，，得（i）当时，在上，，在上，（ii）当时，令，解得或．①若，，恒成立；②若，，在上，；在，，③若，，在上，；在（,与上，．综上，当时，极小值点为，无极大值点；当时，极小值点为，极大值点为；当时，极小值点为，极大值点为；当时，无极值点（2）设,因为，得,且函数在上单调递增（i）当时，有，此时函数在上单调递增，则，①若即时，有函数在上单调递增，则，符合题意；②若即时，存在满足，，此时函数在上单调递减，不符合题意；（ii）当时，有，存在满足，此时在上单调递减，，此时函数在上单调递减，不符合题意．综上，实数的取值范围是．点睛：本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，筛选出符合题意的范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设，直线的参数方程是（为参数），已知与圆交于两点，且，求的普通方程.【答案】(1);(2).【解析】分析：(1)利用代入，即可得圆的直角坐标方程；(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中，化简得，利用韦达定理以及直线参数的几何意义可得，从而可得结果.详解：（1）将代入圆的极坐标方程，得，化为圆的标准方程为.（2）将直线的参数方程（为参数）代入圆的直角坐标方程中，化简得，设两点所对应的参数分别为，由韦达定理知①∴同号又∵，∴②由①②可知或∴或解得，∴，∴的普通方程为.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）时，求不等式的解集；（2）若函数的图象恒在直线的图象的上方（无公共点），求实数的取值范围.【答案】(1);(2).详解：（1）∵，即，∴当时，，解得，∴当时，，解得，∴当时，，解得，∴.综上所述，不等式的解集为.（2）由题意知恒成立，∴当时，，变形得恒成立，∴当时，可以取任意实数；当时，，变形得恒成立，∴当时，，变形得，∴综上所述，实数的取值范围为.点睛：绝对值不等式的常见解法有：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
【高三数学试题精选】2018届高三数学质量检查测试(4月)试卷(福建理带答案)
2018届高三数学质量检查测试(4月)试卷(福建理带答案）
5 c 152
5程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字化圈的数学发展起了重要的作用卷八中第33问是“今有三角果一垛，底阔每面七个问该若干？”如图是解决该问题的程序框图执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（）
A．15不等式选讲]
已知函数，
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若当时，，求的取值范围
10 BAccc 11、12DA
二、填空题
13 -4 14 6 15 16
三、解答题
17（1）【考查意图】本小题以与的关系为载体，考查递推数列、等差数列的定义及通项式及等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等
【解法综述】只要掌握与的关系、等差数列的定义及通项式即可顺利求解
思路由通过赋值得到当时，从而当时，，并注意到，所以是首项为，差为的等差数列，进而求得
【错因分析】考生可能存在的错误有不会通过赋值由得到，从而无从求解；或没有注意到，思维不严密导致解题不完整【难度属性】易
（2）【考查意图】本小题以数列求和为载体，考查错位相减法、。
福建省2018届高三质量检查测试(4月)数学(文) Word版含答案
2018年福建省高三毕业班质量检查测试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2,1,1,2B =--，则AB =（ ）A ．{}1,2-B ．{}2,1-C ．{}1,2D ．{}1,2-- 2.已知向量()1,1AB =，()2,3AC =，则下列向量中与BC 垂直的是（ ） A ．()3,6a = B ．()8,6b =- C ．()6,8c = D ．()6,3d =- 3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12n n S λ+=+，则λ=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 4.如图，曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14 B ．13 C ．38 D ．345.若α是第二象限角，且3sin 5α=，则12sinsin 22παπα+--=（ ） A ．65- B ．45- C ．45 D ．656.已知0.30.4a =，0.40.3b =，0.20.3c -=，则（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a b c <<7. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A ．120B ．84C ．56D ．288.某校有A ，B ，C ，D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“C 获奖”；丁说：“A 、C 至少一件获奖”.如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ） A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品D D ．作品A 与作品D9.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（ ）A ．)241π+B ．()242π+C ．)241π+D ．()242π+10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ∈时，均有()()32f x f x +=-，()28f x ≤≤，则满足条件的()f x 可以是（ ）A ．()263cos5x f x π=+ B ．()53cos 5xf x π=+ C ．()2,8,Rx Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩ D ．()2,08,0x f x x ≤⎧=⎨>⎩11.已知1F ，2F 为双曲线C ：221169x y -=的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点.直线l 分别与1PF ，2PF 为直径的圆相切于A ，B 两点，则AB =（ ） A．3 C ．4 D ．512.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2112n n n S a a ++=-，且29a a =，则所有满足条件的数列中，1a 的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z 满足()3443z i i +=+，则z = ．14.若x ，y 满足约束条件2300260x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的取值范围为 ．15.已知A ，B 分别为椭圆C 的长轴端点和短轴端点，F 是C 的焦点.若ABF ∆为等腰三角形，则C 的离心率等于 ．16.已知底面边长为侧棱长为S ABCD -内接于球1O .若球2O 在球1O 内且与平面ABCD 相切，则球2O 的直径的最大值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .cos sin C c B -=. （1）求B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC边上一点，且sin 3BDC ∠=，求BD . 18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1CC =3BC =，AC =（1）试在线段1B C 上找一个异于1B ，C 的点P ，使得1AP PC ⊥，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，求多面体111A B C PA 的体积.19.某种常见疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄（以下简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：（1）从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；（2）记“初次患病年龄在[)10,40的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在[)40,70的患者”为“高龄患者”.根据表中数据，解决以下问题：（i ）将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由）表一：表二：（ii ）记（i ）中与该疾病的类型有关联的可能性更大的变量为X .问：是否有99.9%的把握认为“该疾病的类型与X 有关？”附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.在平面直角坐标系xOy 中，点F 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，以MF 为直径的圆与x 轴相切. （1）求点M 的轨迹的方程；（2）设T 是E 上横坐标为2的点，OT 的平行线l 交E 于A ，B 两点，交E 在T 处的切线于点N .求证：252NTNA NB =⋅. 21.已知函数()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）讨论()f x 的单调区间； （2）若12a =，证明：()f x 恰有三个零点. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），1l ，2l 为过点O 的两条直线，1l 交M 于A ，B 两点，2l 交M 于C ，D 两点，且1l 的倾斜角为α，6AOC π∠=.（1）求1l 和M 的极坐标方程； （2）当0,6πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()2f x x =-，()1g x a x =-.（1）若不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，求a 的值； （2）若当x R ∈时，()()f x g x ≥，求a 的取值范围.2018年福建省高三毕业班质量检查测试文科数学答题分析一、选择题1-5: CDAAC 6-10: ABDBC 11、12：BB二、填空题13. 1 14. []2,4三、解答题17.（1）【考查意图】本小题以三角形边角关系为载体，考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想.【解法综述】只要掌握正弦定理，三角函数公式等基础知识，利用正弦定理把边化为角，再由三角形内角定理，便可求解.思路：由正弦定理化边为角，再将()sin sin A B C =+sin cos cos sin B C B C =+代入cos sin sin B C C B A -，化简得tan B 的值，最后得到答案.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会运用正弦定理进行边角的转化，从而无从下手；不懂得利用()sin sin A B C =+实现消元，思维受阻；两角和的三角函数公式记忆出错，导致答案错误；由tan B =B 时出错. 【难度属性】易.（2）【考查意图】本题以求三角形的边长问题为载体，考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.【解法综述】只要掌握正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，并且能理清图中各三角形的边角关系，选择适当的三角形列出关系式，便可求解.思路一：在ABC ∆中由余弦定理求得边长c ，再利用正弦定理求得sin C .进而在BCD ∆中利用正弦定理求得BD .思路二：在ABC ∆中由正弦定理求得sin A ，再利用同角三角函数的基本关系求得cos A ，接着通过()C A B π=-+及()sin sin cos cos sin A B A B A B +=+求得sin C .进而在BCD ∆中利用正弦定理求得BD .【错因分析】考生可能存在的错误有：不会分析ABC ∆中的边角关系合理利用正、余弦定理求c 或sin C ，sin A 的值；在求c 或sin C ，sin A 及在BCD ∆中利用正弦定理求BD 的过程中计算错误. 【难度属性】中.18.（1）【考查意图】本小题以直三棱柱为载体，考查直线与平面垂直的性质及判定等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想.【解法综述】只要根据直三棱柱的性质，结合已知条件确定点P 的位置，再利用直线与平面垂直的性质及判定定理进行证明，便可解决问题.思路一：先由直三棱柱的性质及AC BC ⊥得到AC ⊥平面11BCC B ，从而有1C P AC ⊥，所以要使1PC AP ⊥，只需11C P B C ⊥即可，然后以此为条件进行证明即可.思路二：同思路一得到，要使1PC AP ⊥，只需11C P B C ⊥即可.然后以11C P B C ⊥为条件求得132B P =，再证明当132B P =时1PC AP ⊥即可. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据已知条件正确找到点P ；证明过程逻辑混乱. 【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查多面体的体积、直线与平面垂直的性质等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等. 【解法综述】将所求多面体分割成两个三棱锥进行求解.思路：把多面体111A B C PA 分割为三棱锥111A A B C -和三棱锥11A B PC =，分别计算体积并求和.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能将所求多面体正确割补成易于计算体积的几何体；体积公式记忆错误或计算错误. 【难度属性】中.19.（1）【考查意图】本小题以某疾病Ⅰ型患者的初次患病年龄的分布情况为载体，考查频数分布表、概率的意义等基础知识，考查数据处理能力和应用意识，考查统计与概率思想. 【解法综述】只要读懂频数分布表，结合概率的意义即可求解.思路：从频数分布表统计出样本中Ⅰ型患者的人数和Ⅰ型患者中初次患病年龄小于40岁的人数，再根据概率的意义，即可估计所求事件的概率. 【错因分析】考生可能存在的错误有：计算错误. 【难度属性】易.（2）（i ）【考查意图】本小题以某疾病的类型与地域、初次患病年龄的相关性问题为载体；考查22⨯列联表、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想.【解法综述】只要读懂频数分布表，便可正确填写22⨯列联表，再根据表中数据比较两者相应的ad bc -或a bc d-的大小，便可直接判断哪个变量与该疾病类型有关联的可能性更大. 思路：从频数分布表分别统计出甲地、乙地Ⅰ型患者的频数，甲地、乙地Ⅱ型患者的频数，Ⅰ型患者中低龄患者、高龄患者的频数，Ⅱ型患者中低龄患者、高龄患者的频数，正确填入对应的列联表即可；再根据表中数据比较两者相应的ad bc -或a bc d-的大小，便可直接判断哪个变量与该疾病类型有关联的可能性更大.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能从频数分布表中获取相关数据正确填写列联表；不能根据列联表中数据的含义作出正确判断. 【难度属性】易.（2）（ii ）【考查意图】本小题以某疾病的类型与初次患病年龄的相关性问题为载体，考查独立性检验等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想. 【解法综述】只要正确计算2K 的观测值，对照临界值表即可正确判断.思路：只要正确理解2K 公式中a ，b ，c ，d ，n 的含义，并代入公式计算，再将计算结果对照临界值表，即可判断.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理解2K 计算公式中a ，b ，c ，d 及n 的含义或者计算出错；虽然正确求出2K 的观测值，但不能正确理解临界值表中数据的含义导致判断错误.【难度属性】中.20.（1）【考查意图】本小题以轨迹问题为载体，考查直线与圆的位置关系、动点轨迹方程的求法、抛物线定义及其标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想.【解法综述】只要将直线与圆的相切关系转化为代数关系，即通过直线法列出动点坐标满足的方程并化简，便可求得轨迹方程；或者由直线与圆的相切关系，结合抛物线定义得出轨迹方程.思路一：设动点M 的坐标(),x y ，由直线与圆的相切关系得到12MF y =+，化简即可. 思路二：设以MF 为直径的圆的圆心为C ，切点为D ，作直线'l ：12y =-，过M 作MI x ⊥轴于点l ，延长MI 交'l 于点H ，根据梯形中位线性质、圆的切线性质等平面几何知识可推出MF MH =，结合抛物线定义，即可求得轨迹方程.【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂得将几何关系转化为代数关系，或者转化出错；含根式、绝对值的代数关系整理出错；无法借助平面几何知识将已知条件转化为满足抛物线定义的几何关系. 【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以证明几何关系为载体，考查直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想等.【解法综述】只要利用直线与抛物线的位置关系，通过联立方程，并将有关点的坐标与相应方程的解建立对应关系，进而将几何关系转化为代数关系并加以证明.思路：先根据抛物线方程求出点T 的坐标，求出抛物线在T 处的切线方程，并得到直线OT 的斜率，从而设出直线l 的方程，进而求出点N 的坐标，再根据两点间的距离公式求出NT ；然后将l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出NA NB ⋅，即可得证.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会求抛物线在点T 处的切线；不会求OT 的斜率，从而不会设出直线l 的方程；在消元、化简的过程中计算出错. 【难度属性】难.21.（1）【考查意图】本小题以含对数函数的初等函数为载体，考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.【解法综述】只要掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则、导数与函数单调性的关系和含参数一元二次不等式的解法，便可解决问题.思路：先求得()f x 的定义域为()0,+∞，再求得()222ax x a f x x -+=，然后对()22u x ax x a =-+的符号进行分类讨论.先直接判断当0a ≤时()0u x >，即()'0f x >，从而得到()f x 的单调区间；再对0a >的情况结合一元二次方程的判别式及一元二次函数的图象，进一步分为01a <<和1a ≥两种情况进行讨论，分别求得()f x 的单调区间.【错因分析】考生可能存在的错误有：求导函数出错；求根计算错误；分类讨论错误.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以函数的零点问题为载体，考查利用导数研究函数的极值和零点等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等.【解法综述】只要掌握导数与函数的极值关系、零点存在定理等知识，结合函数的单调性合理选取含零点的区间的端点值，即可解决问题.思路一：先根据（1）的结论得到12a =时()f x 的单调性，结合函数的图象特征，根据()10f =可判断()f x 的极大值与极小值的符号，并在(0,2-和()2+∞分别取点并判断其对应的函数值的符号，如计算()3f e -，()3f e 的值，结合零点存在定理即可证明. 思路二：根据0x >，将方程()0f x =等价变形为214ln 0x x x --=，问题转化为研究函数()214ln g x x x x =--的零点.先求得()'24ln 4g x x x =--，再通过构造()24ln 4h x x x =--研究()'g x 的单调性与极值，结合函数()24ln 4h x x x =--的图象特征，并在()0,1和()2,+∞分别取点并判断其对应的函数值的符号，如计算1h e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1h ，()2h e 等，判断出()'g x 在()0,1和()2,+∞各有一个零点，分别记为1x ，2x ，再判断()g x 在()10,x ，()12,x x ，()2,x +∞的单调性，以下解题思路同思路一.【错因分析】考生可能存在的错误有：没有注意到()10f =，无法判断()f x 极值符号；不会通过特殊值找到函数的零点；重新构造函数求导后无法求得其导函数的零点，不会研究其导函数的性质，因此思路受阻.【难度属性】难.22.（1）【考查意图】本小题以直线和圆为载体，考查直线的极坐标方程、参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.【解法综述】只要能写出极坐标系中简单图形的极坐标方程，能进行极坐标和直角坐标的互化，能进行参数方程和普通方程的互化，便可解决问题.思路：首先，结合图形易得直线l 的极坐标为()R θαρ=∈.其次，先将M 的参数方程化为普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式将M 的普通方程化为极坐标方程，便可得到正确答案.【错因分析】考生可能存在的错误有：极坐标的概念不清晰，在求1l 的极坐标方程时，忽略R ρ∈的限制导致错误；直角坐标与极坐标的互化错误.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以两点间的距离为载体，考查极坐标的几何意义、韦达定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.【解法综述】只要明确极坐标中ρ，θ的几何意义，并能正确进行三角恒等变换，便可以解决问题.思路：根据极坐标的几何意义，OA ，OB ，OC ，OD 分别是点A ，B ，C ，D 的极径，从而可利用韦达定理得到：OA OB OC OD +++1234ρρρρ=+++()2cos sin αα=+2cos sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，把问题转化为求三角函数的最值问题，易得所求的最大值为2+.【错因分析】考生可能存在的错误有：不熟悉极坐标的几何意义，无法将问题转化为A ，B ，C ，D 四点的极径之和；无法由1l ，2l 及M 的极坐标方程得到()122cos sin ρραα+=+，34ρρ+2cos sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；在求1234ρρρρ+++的最值时，三角恒等变形出错.【难度属性】中.23.（1）【考查意图】本小题以含绝对值不等式为载体，考查含绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等.【解法综述】根据解集特征判断a 的符号，并结合含绝对值不等式的解法，求得()33g x -≥-的解集，根据集合相等即可求出a 的值.思路：先将()33g x -≥-转化为32a x -≥-，再根据不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4得出0a <，从而得到()33g x -≥-的解集为223,3a a ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦，进而由232234a a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得2a =-. 【错因分析】考生可能存在的错误有：无法判断a 的符号导致无从入手；不等式()33g x -≥-的解集求错；不会根据集合相等求出a 的值.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以不等式恒成立问题为载体，考查含绝对值不等式、绝对值三角不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等.【解法综述】通过分离参数将含参数的绝对值不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，或将不等式转化为两个函数图象的位置关系，均能求出a 的取值范围.思路一：当0x =时，易得()()f x g x ≥对任意实数a 成立；当0x ≠时，将()()f x g x ≥转化为21x a x -+≤，再通过分段讨论确定函数()()210x h x x x -+=≠的最小值，从而得到a 的取值范围.思路二：当0x =时，易得()()f x g x ≥对任意实数a 成立；当0x ≠时，将()()f x g x ≥转化为21x a x -+≤，再利用绝对值三角不等式得到()()210x h x x x -+=≠的最小值，从而得到a 的取值范围.思路三：当0a ≤时，10a x -<，20x -≥，得到21x a x -≥-成立；当0a >时，不等式()()f x g x ≥等价于函数()2f x x =-的图象恒不在函数()1g x a x =-的图象的下方，从而根据这两个函数图象的位置关系便可得到a 的取值范围.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能通过合理分类简化问题；不会通过分离参数转化问题；无法分段讨论去绝对值或利用绝对值三角不等式确定函数()()210x h x x x -+=≠的最小值；不能将不等式转化为两个函数图象的位置关系进行求解.【难度属性】中.。
2018福建省质检福建省2018届高三普通高中毕业班4月质检数学文试题Word版含答案
2018年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I4IeOCFw4D1．已知全集U R，集合31|xxA，0,2,4,6B，则A B等于A．0,2B．1,0,2 C．|02x x D．|12x x2．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的y的值为A．4 B．5 C．8 D．103．某几何体的俯视图是正方形，则该几何体不可能是Ａ．圆柱Ｂ．圆锥Ｃ．三棱柱Ｄ．四棱柱4．函数221x xf xx的定义域是A．0,2 B．0,2 C．0,11,2 D．0,11,25．“1a”是“方程22220x y x y a表示圆”的Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件6．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n3,n n N边形内的概率为n P，下列论断正确的是A．随着n的增大，nP减小B．随着n的增大，n P增大C．随着n的增大，nP先增大后减小D．随着n的增大，n P先减小后增大7．已知0，2，函数()sin()f x x的部分图象如图所示．为了得到函数()sing x x的图象，只要将f x的图象A．向右平移4个单位长度B．向右平移8个单位长度C．向左平移4个单位长度 D．向左平移8个单位长度8．已知)(xf是定义在R上的奇函数，且在),0[单调递增，若(lg)0f x，则x的取值范围是A．(0,1)B．(1,10)C．(1,)D．(10,)9．若直线a xb ya b <0,0ab）过点1,1，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为A ． 1B ．2C ．4D ． 8 10．若A B C 满足2A，2A B ，则下列三个式子：①A B A C ，②B A B C ，③C A C B 中为定值的式子的个数为A ．0B ．1C ．2D ．311．已知双曲线22122:10,0x y C a b ab的离心率为2，一条渐近线为l ，抛物线2C：24yx 的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，则P FA ．2B ． 3C ．4D ．5 12．已知()g x 是函数()g x 的导函数，且()()f x g x ，下列命题中，真命题是A ．若()f x 是奇函数，则()g x 必是偶函数B ．若()f x 是偶函数，则()g x 必是奇函数C ．若()f x 是周期函数，则()g x 必是周期函数 D ．若()f x 是单调函数，则()g x 必是单调函数第Ⅱ卷<非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．复数1i i__________．14．已知1sin3，则co s 2__________．15．已知y x ,满足40x y x y y，则2zxy 的最大值是__________．16．在平面直角坐标系x O y 中，是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P，均有Q，使得O Q O Pa ，则称a 为平面点集的一个向量周期．现有以下四个命题：yscqAJo3Va①若平面点集存在向量周期a ，则k a,0kkZ 也是的向量周期；②若平面点集形成的平面图形的面积是一个非零常数，则不存在向量周期；③若平面点集,0,0x yxy，则1,2b为的一个向量周期；④若平面点集,0x y y x<m表示不大于m 的最大整数），则1,1c为的一个向量周期．其中真命题是＿＿＿＿<写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分> 已知等比数列na 的前n 项和为n S ，432a a ，26S 。
2018高三数学理质量检查测试4月试卷福建附答案
以一
可
用
错
位
相一
减
法
求
和
，一
在一
解
题
过一
程一
中一
要一
注一
意一
对一
n
的一
取一
值一
进一
行一
分一
类一
讨一
论一
错一
因一
分一
析一
考-
生一
可一
能一
存一
在一
的一
错一
误一
有一
不一
懂一
得一
根一
据一
数一
列一
通-
项一
的一
特一
征一
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1000元，则所需检测费的均值为（）
A.3200元B.3400元C.3500元D・3600元
10.已知抛物线丨： 的焦点为 ，过且斜
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福建省高三数学4月质量检查测试试题 文
福建省2018届高三数学4月质量检查测试试题 文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2,1,1,2B =--，则AB =（ ）A ．{}1,2-B ．{}2,1-C ．{}1,2D ．{}1,2-- 2.已知向量()1,1AB =，()2,3AC =，则下列向量中与BC 垂直的是（ ） A ．()3,6a = B ．()8,6b =- C ．()6,8c = D ．()6,3d =-3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12n n S λ+=+，则λ=（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 4.如图，曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14 B ．13 C ．38 D ．345.若α是第二象限角，且3sin 5α=，则12sin sin 22παπα+--=（ ）A ．65-B ．45-C ．45D ．656.已知0.30.4a =，0.40.3b =，0.20.3c -=，则（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a b c <<7. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A ．120B ．84C ．56D ．288.某校有A ，B ，C ，D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“C 获奖”；丁说：“A 、C 至少一件获奖”.如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ） A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品D D ．作品A 与作品D9.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（ ）A ．)241π+B ．()242π+C ．)241π+D ．()242π+10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ∈时，均有()()32f x f x +=-，()28f x ≤≤，则满足条件的()f x 可以是（ ）A ．()263cos5xf x π=+ B ．()53cos 5x f x π=+C ．()2,8,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩D ．()2,08,0x f x x ≤⎧=⎨>⎩11.已知1F ，2F 为双曲线C ：221169x y -=的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点.直线l 分别与1PF ，2PF 为直径的圆相切于A ，B 两点，则AB =（ ） AB ．3C ．4D ．512.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2112n n n S a a ++=-，且29a a =，则所有满足条件的数列中，1a 的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数z 满足()3443z i i +=+，则z = ．14.若x ，y 满足约束条件2300260x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的取值范围为 ．15.已知A ，B 分别为椭圆C 的长轴端点和短轴端点，F 是C 的焦点.若ABF ∆为等腰三角形，则C 的离心率等于 ．16.已知底面边长为，侧棱长为S ABCD -内接于球1O .若球2O 在球1O 内且与平面ABCD 相切，则球2O 的直径的最大值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .cos sin C c B -=. （1）求B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC边上一点，且sin BDC ∠=，求BD .18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1CC =，3BC =，AC =（1）试在线段1B C 上找一个异于1B ，C 的点P ，使得1AP PC ⊥，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，求多面体111A B C PA 的体积.19.某种常见疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄（以下简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：（1）从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；（2）记“初次患病年龄在[)10,40的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在[)40,70的患者”为“高龄患者”.根据表中数据，解决以下问题：（i ）将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由） 表一：表二：（ii ）记（i ）中与该疾病的类型有关联的可能性更大的变量为X .问：是否有99.9%的把握认为“该疾病的类型与X 有关？”附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.在平面直角坐标系xOy 中，点F 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，以MF 为直径的圆与x 轴相切. （1）求点M 的轨迹的方程；（2）设T 是E 上横坐标为2的点，OT 的平行线l 交E 于A ，B 两点，交E 在T 处的切线于点N .求证：252NTNA NB =⋅. 21.已知函数()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）讨论()f x 的单调区间； （2）若12a =，证明：()f x 恰有三个零点. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），1l ，2l 为过点O 的两条直线，1l 交M 于A ，B 两点，2l 交M 于C ，D 两点，且1l 的倾斜角为α，6AOC π∠=.（1）求1l 和M 的极坐标方程； （2）当0,6πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()2f x x =-，()1g x a x =-.（1）若不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，求a 的值； （2）若当x R ∈时，()()f x g x ≥，求a 的取值范围.答题一、选择题1-5: CDAAC 6-10: ABDBC 11、12：BB 二、填空题13. 1 14. []2,4 15. 1216. 8 三、解答题17.（1）【考查意图】本小题以三角形边角关系为载体，考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想.【解法综述】只要掌握正弦定理，三角函数公式等基础知识，利用正弦定理把边化为角，再由三角形内角定理，便可求解.思路：由正弦定理化边为角，再将()sin sin A B C =+sin cos cos sin B C B C =+代入cos sin sin B C C B A -=，化简得tan B 的值，最后得到答案.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会运用正弦定理进行边角的转化，从而无从下手；不懂得利用()sin sin A B C =+实现消元，思维受阻；两角和的三角函数公式记忆出错，导致答案错误；由tan B =B 时出错. 【难度属性】易.（2）【考查意图】本题以求三角形的边长问题为载体，考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.【解法综述】只要掌握正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，并且能理清图中各三角形的边角关系，选择适当的三角形列出关系式，便可求解.思路一：在ABC ∆中由余弦定理求得边长c ，再利用正弦定理求得sin C .进而在BCD ∆中利用正弦定理求得BD .思路二：在ABC ∆中由正弦定理求得sin A ，再利用同角三角函数的基本关系求得cos A ，接着通过()C A B π=-+及()sin sin cos cos sin A B A B A B +=+求得sin C .进而在BCD∆中利用正弦定理求得BD .【错因分析】考生可能存在的错误有：不会分析ABC ∆中的边角关系合理利用正、余弦定理求c 或sin C ，sin A 的值；在求c 或sin C ，sin A 及在BCD ∆中利用正弦定理求BD 的过程中计算错误. 【难度属性】中.18.（1）【考查意图】本小题以直三棱柱为载体，考查直线与平面垂直的性质及判定等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想.【解法综述】只要根据直三棱柱的性质，结合已知条件确定点P 的位置，再利用直线与平面垂直的性质及判定定理进行证明，便可解决问题.思路一：先由直三棱柱的性质及AC BC ⊥得到AC ⊥平面11BCC B ，从而有1C P AC ⊥，所以要使1PC AP ⊥，只需11C P B C ⊥即可，然后以此为条件进行证明即可.思路二：同思路一得到，要使1PC AP ⊥，只需11C P B C ⊥即可.然后以11C P B C ⊥为条件求得132B P =，再证明当132B P =时1PC AP ⊥即可. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据已知条件正确找到点P ；证明过程逻辑混乱. 【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查多面体的体积、直线与平面垂直的性质等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等. 【解法综述】将所求多面体分割成两个三棱锥进行求解.思路：把多面体111A B C PA 分割为三棱锥111A A B C -和三棱锥11A B PC =，分别计算体积并求和.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能将所求多面体正确割补成易于计算体积的几何体；体积公式记忆错误或计算错误. 【难度属性】中.19.（1）【考查意图】本小题以某疾病Ⅰ型患者的初次患病年龄的分布情况为载体，考查频数分布表、概率的意义等基础知识，考查数据处理能力和应用意识，考查统计与概率思想. 【解法综述】只要读懂频数分布表，结合概率的意义即可求解.思路：从频数分布表统计出样本中Ⅰ型患者的人数和Ⅰ型患者中初次患病年龄小于40岁的人数，再根据概率的意义，即可估计所求事件的概率.【错因分析】考生可能存在的错误有：计算错误. 【难度属性】易.（2）（i ）【考查意图】本小题以某疾病的类型与地域、初次患病年龄的相关性问题为载体；考查22⨯列联表、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想.【解法综述】只要读懂频数分布表，便可正确填写22⨯列联表，再根据表中数据比较两者相应的ad bc -或a bc d-的大小，便可直接判断哪个变量与该疾病类型有关联的可能性更大. 思路：从频数分布表分别统计出甲地、乙地Ⅰ型患者的频数，甲地、乙地Ⅱ型患者的频数，Ⅰ型患者中低龄患者、高龄患者的频数，Ⅱ型患者中低龄患者、高龄患者的频数，正确填入对应的列联表即可；再根据表中数据比较两者相应的ad bc -或a bc d-的大小，便可直接判断哪个变量与该疾病类型有关联的可能性更大.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能从频数分布表中获取相关数据正确填写列联表；不能根据列联表中数据的含义作出正确判断. 【难度属性】易.（2）（ii ）【考查意图】本小题以某疾病的类型与初次患病年龄的相关性问题为载体，考查独立性检验等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想. 【解法综述】只要正确计算2K 的观测值，对照临界值表即可正确判断.思路：只要正确理解2K 公式中a ，b ，c ，d ，n 的含义，并代入公式计算，再将计算结果对照临界值表，即可判断.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理解2K 计算公式中a ，b ，c ，d 及n 的含义或者计算出错；虽然正确求出2K 的观测值，但不能正确理解临界值表中数据的含义导致判断错误.【难度属性】中.20.（1）【考查意图】本小题以轨迹问题为载体，考查直线与圆的位置关系、动点轨迹方程的求法、抛物线定义及其标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想.【解法综述】只要将直线与圆的相切关系转化为代数关系，即通过直线法列出动点坐标满足的方程并化简，便可求得轨迹方程；或者由直线与圆的相切关系，结合抛物线定义得出轨迹方程.思路一：设动点M 的坐标(),x y ，由直线与圆的相切关系得到12MF y =+，化简即可. 思路二：设以MF 为直径的圆的圆心为C ，切点为D ，作直线'l ：12y =-，过M 作MI x ⊥轴于点l ，延长MI 交'l 于点H ，根据梯形中位线性质、圆的切线性质等平面几何知识可推出MF MH =，结合抛物线定义，即可求得轨迹方程.【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂得将几何关系转化为代数关系，或者转化出错；含根式、绝对值的代数关系整理出错；无法借助平面几何知识将已知条件转化为满足抛物线定义的几何关系. 【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以证明几何关系为载体，考查直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想等.【解法综述】只要利用直线与抛物线的位置关系，通过联立方程，并将有关点的坐标与相应方程的解建立对应关系，进而将几何关系转化为代数关系并加以证明.思路：先根据抛物线方程求出点T 的坐标，求出抛物线在T 处的切线方程，并得到直线OT 的斜率，从而设出直线l 的方程，进而求出点N 的坐标，再根据两点间的距离公式求出NT ；然后将l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出NA NB ⋅，即可得证.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会求抛物线在点T 处的切线；不会求OT 的斜率，从而不会设出直线l 的方程；在消元、化简的过程中计算出错. 【难度属性】难.21.（1）【考查意图】本小题以含对数函数的初等函数为载体，考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.【解法综述】只要掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则、导数与函数单调性的关系和含参数一元二次不等式的解法，便可解决问题.思路：先求得()f x 的定义域为()0,+∞，再求得()222ax x a f x x -+=，然后对()22u x ax x a =-+的符号进行分类讨论.先直接判断当0a ≤时()0u x >，即()'0f x >，从而得到()f x 的单调区间；再对0a >的情况结合一元二次方程的判别式及一元二次函数的图象，进一步分为01a <<和1a ≥两种情况进行讨论，分别求得()f x 的单调区间.【错因分析】考生可能存在的错误有：求导函数出错；求根计算错误；分类讨论错误.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以函数的零点问题为载体，考查利用导数研究函数的极值和零点等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等.【解法综述】只要掌握导数与函数的极值关系、零点存在定理等知识，结合函数的单调性合理选取含零点的区间的端点值，即可解决问题.思路一：先根据（1）的结论得到12a =时()f x 的单调性，结合函数的图象特征，根据()10f =可判断()f x 的极大值与极小值的符号，并在(0,2和()2+∞分别取点并判断其对应的函数值的符号，如计算()3f e -，()3f e 的值，结合零点存在定理即可证明.思路二：根据0x >，将方程()0f x =等价变形为214ln 0x x x --=，问题转化为研究函数()214ln g x x x x =--的零点.先求得()'24ln 4g x x x =--，再通过构造()24ln 4h x x x =--研究()'g x 的单调性与极值，结合函数()24ln 4h x x x =--的图象特征，并在()0,1和()2,+∞分别取点并判断其对应的函数值的符号，如计算1h e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1h ，()2h e 等，判断出()'g x 在()0,1和()2,+∞各有一个零点，分别记为1x ，2x ，再判断()g x 在()10,x ，()12,x x ，()2,x +∞的单调性，以下解题思路同思路一.【错因分析】考生可能存在的错误有：没有注意到()10f =，无法判断()f x 极值符号；不会通过特殊值找到函数的零点；重新构造函数求导后无法求得其导函数的零点，不会研究其导函数的性质，因此思路受阻.【难度属性】难.22.（1）【考查意图】本小题以直线和圆为载体，考查直线的极坐标方程、参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.【解法综述】只要能写出极坐标系中简单图形的极坐标方程，能进行极坐标和直角坐标的互化，能进行参数方程和普通方程的互化，便可解决问题.思路：首先，结合图形易得直线l 的极坐标为()R θαρ=∈.其次，先将M 的参数方程化为普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式将M 的普通方程化为极坐标方程，便可得到正确答案.【错因分析】考生可能存在的错误有：极坐标的概念不清晰，在求1l 的极坐标方程时，忽略R ρ∈的限制导致错误；直角坐标与极坐标的互化错误.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以两点间的距离为载体，考查极坐标的几何意义、韦达定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.【解法综述】只要明确极坐标中ρ，θ的几何意义，并能正确进行三角恒等变换，便可以解决问题.思路：根据极坐标的几何意义，OA ，OB ，OC ，OD 分别是点A ，B ，C ，D 的极径，从而可利用韦达定理得到：OA OB OC OD +++1234ρρρρ=+++()2cos sin αα=+2cos sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，把问题转化为求三角函数的最值问题，易得所求的最大值为2+.【错因分析】考生可能存在的错误有：不熟悉极坐标的几何意义，无法将问题转化为A ，B ，C ，D 四点的极径之和；无法由1l ，2l 及M 的极坐标方程得到()122cos sin ρραα+=+，34ρρ+2cos sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；在求1234ρρρρ+++的最值时，三角恒等变形出错.【难度属性】中.23.（1）【考查意图】本小题以含绝对值不等式为载体，考查含绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等.【解法综述】根据解集特征判断a 的符号，并结合含绝对值不等式的解法，求得()33g x -≥-的解集，根据集合相等即可求出a 的值.思路：先将()33g x -≥-转化为32a x -≥-，再根据不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4得出0a <，从而得到()33g x -≥-的解集为223,3a a ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦，进而由232234a a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得2a =-. 【错因分析】考生可能存在的错误有：无法判断a 的符号导致无从入手；不等式()33g x -≥-的解集求错；不会根据集合相等求出a 的值.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以不等式恒成立问题为载体，考查含绝对值不等式、绝对值三角不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等.【解法综述】通过分离参数将含参数的绝对值不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，或将不等式转化为两个函数图象的位置关系，均能求出a 的取值范围.思路一：当0x =时，易得()()f x g x ≥对任意实数a 成立；当0x ≠时，将()()f x g x ≥转化为21x a x -+≤，再通过分段讨论确定函数()()210x h x x x-+=≠的最小值，从而得到a 的取值范围.思路二：当0x =时，易得()()f x g x ≥对任意实数a 成立；当0x ≠时，将()()f x g x ≥转化为21x a x -+≤，再利用绝对值三角不等式得到()()210x h x x x-+=≠的最小值，从而得到a 的取值范围.思路三：当0a ≤时，10a x -<，20x -≥，得到21x a x -≥-成立；当0a >时，不等式()()f x g x ≥等价于函数()2f x x =-的图象恒不在函数()1g x a x =-的图象的下方，从而根据这两个函数图象的位置关系便可得到a 的取值范围.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能通过合理分类简化问题；不会通过分离参数转化问题；无法分段讨论去绝对值或利用绝对值三角不等式确定函数()()210x h x x x -+=≠的最小值；不能将不等式转化为两个函数图象的位置关系进行求解.【难度属性】中.。
2018年高考理科数学4月调研测试卷(附参考答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷 理科数学理科数学测试卷共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集U R =，集合{1012}A =-， ， ， ，2{|log 1}B x x =<，则()U A B =I （A ）{12}，（B ）{102}-， ，（C ）{2}（D ）{10}-，（2）复数z 满足(12i)3i z +=+，则=z（A ）1i - （B ）1i +（C ）1i 5- （D ）1i 5+ （3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73=a ，123=S ，则=10a（A ）10 （B ）28（C ）30（D ）145（4）“1cos 22α=”是“ππ()6k k Z α=+∈”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知定义域为I 的偶函数()f x 在(0)+∞， 上单调递增，且0x I ∃∈，0()0f x <，则下列函数中符合上述条件的是（A ）2()||f x x x =+（B ）()22x xf x -=-（C ）2()log ||f x x =（D ）43()f x x-=（6）已知向量a r ，b r 满足||3a b -=r r 且(01)b =-r ， ，若向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，则||a =r（A ）2 （B）（C ）4（D ）12（7）中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“ ”处应填入 （A ）221a Z -∈ （B ）215a Z -∈ （C ）27a Z -∈（D ）23a Z -∈C（8）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，两个圆的半径都是1，且圆心12O O ，均在对方的圆周上，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 （A（B（C）10π36-（D）8π36（9）设函数6cos y x =与5tan y x =的图象在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图象于点B ，则线段AB 的长度为（A（B（C（D）（10）某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是 （A ）18 （B）8+（C ）24（D）12+（11）已知双曲线22221(00)x ya b a b-=>>， 的左右焦点分别为12F F ， ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线 的右支交于点Q ，若1PF Q ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率是 （A（B ）2（C（D（12）已知函数()ln f x x a =+，()1g x ax b =++，若0x ∀>，()()f x g x ≤，则ba的最小值是 （A ）1e +（B ）1e -（C ）1e -（D ）12e -第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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福建省2018届高三数学4月质检试卷（理科有答案）2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A．B．C．D．2.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A．的图象关于直线对称B．的最小正周期为C．的图象关于点对称D．在单调递增3.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以，，，，为顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．123B．91C．-120D．-1525.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（）A．120B．84C．56D．286.已知函数.命题：的图象关于点对称；命题：若，则.则在命题：，：，：和：中，真命题是（）A．，B．，C．，D．，7.如图，在平面直角坐标系中，质点，间隔3分钟先后从点出发，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为（）A．37.5分钟B．40.5分钟C．49.5分钟D．52.5分钟8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（）A．3200元B．3400元C．3500元D．3600元10.已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点.若四边形的面积等于7，则的方程为（）A．B．C．D．11.已知，，，四点均在以点为球心的球面上，且，，.若球在球内且与平面相切，则球直径的最大值为（）A．1B．2C．4D．812.已知函数在上的值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数满足，则．14.若，满足约束条件，则的最小值为．15.已知双曲线：的右焦点为，左顶点为.以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，的一个内角为，则的离心率为．16.在平面四边形中，，，，，则的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.18.如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2.（1）若点在线段上，且，证明：；（2）记平面与平面的交线为.若二面角为，求与平面所成角的正弦值.19.如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：残差平方和0.0005910.000164总偏差平方和0.006050（1）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i）估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款）征收方式见下表：契税（买方缴纳）首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为1.5%；面积144平方米以上或非首套为3%增值税（卖方缴纳）房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征个人所得税（卖方缴纳）首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征参考数据：，，，，，，，.参考公式：相关指数.20.椭圆：的右顶点为，右焦点为，上、下顶点分别是，，，直线交线段于点，且.（1）求的标准方程；（2）是否存在直线，使得交于，两点，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，说明理由.21.已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）若，求证：当时，.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），，为过点的两条直线，交于，两点，交于，两点，且的倾斜角为，. （1）求和的极坐标方程；（2）当时，求点到，，，四点的距离之和的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数，.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若当时，，求的取值范围.2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学答题分析一、选择题1-5:BDADB6-10:BACCC11、12：DA二、填空题13.-414.615.16.三、解答题17.（1）【考查意图】本小题以与的关系为载体，考查递推数列、等差数列的定义及通项公式及等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等.【解法综述】只要掌握与的关系、等差数列的定义及通项公式即可顺利求解.思路：由通过赋值得到：当时，.从而当时，，并注意到，所以是首项为，公差为的等差数列，进而求得.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会通过赋值由得到，从而无从求解；或没有注意到，思维不严密导致解题不完整.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以数列求和为载体，考查错位相减法、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.【解法综述】只要掌握错位相减法、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式便可顺利求解.思路：因为是由等差数列与等比数列的对应项的积组成的数列，所以可用错位相减法求和，在解题过程中要注意对的取值进行分类讨论.【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂得根据数列通项的特征选择错位相减法求和，从而无从下手；用错位相减法求和时计算出错；没有对的取值进行分类讨论导致解题不完整等.【难度属性】中.18.（1）【考查意图】本小题以平面图形的翻折问题为载体，考查直线与平面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，考查化归与转化思想. 【解法综述】只要理清图形翻折前后相关要素的关系，掌握直线与平面垂直的判定定理及直线与平面垂直的性质，便可解决问题.思路：先在图1中连结，根据得到，从而有，，即在图2中有，，所以得到平面，进而得到.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理清图形翻折前后相关要素的关系，未能在图1中作出线段，从而无从下手；由于对直线与平面垂直的判定及性质理解不清导致逻辑混乱.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查二面角、直线与平面所成角、公理3、直线与平面平行的判定定理与性质定理、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.【解法综述】只要掌握二面角的定义，会正确作出平面与平面的交线，或能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将直线与平面所成角转化为平行于的直线与平面所成角，并通过建立适当的空间直角坐标系利用向量方法解决直线与平面所成角的计算问题，便可顺利求解.思路一：延长，交于点，连接，根据公理3得到直线即为，再根据二面角定义得到.然后在平面内过点作交于点，并以为原点，分别为，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得与平面所成角的正弦值.思路二：分别在，上取点，，根据线段的长度及位置关系得到，且，从而得到四边形为平行四边形，进而证得，将直线与平面所成角转化为直线与平面所成角.根据二面角定义得到.然后在平面内过点作交于点，并以为原点，分别为，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得与平面所成角的正弦值.【错因分析】考生可能存在的错误有：无法利用公理3确定直线的位置，或不能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将所求角转化为平行于的直线与平面所成角，导致无从下手；不能根据二面角的定义求得；不能根据题意建立适当的空间直角坐标系；在求解过程中点的坐标或法向量等计算错误.【难度属性】中.19.（1）【考查意图】本小题以购房问题为背景，以散点图、相关指数为载体，考查回归分析等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想等.【解法综述】只要理解相关指数的意义便可通过简单估算解决问题.【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂相关指数的意义导致判断错误.【难度属性】易.（2）（i）【考查意图】本小题以估算购房金额为载体，考查回归分析、函数等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.考查学生在复杂的问题情境中获取有用信息分析问题和解决问题的能力.【解法综述】通过散点图确定2018年6月对应的的取值，代入（1）中拟合效果更好的模型，并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.思路：由（1）的结论知，模型的拟合效果更好，通过散点图确定2018年6月对应的的取值为18，代入并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据散点图得到2018年6月对应的的取值为18，导致2018年6月当月在售二手房均价预测错误；不能从大量复杂的文字和图表中获取有用信息，混淆买方缴纳契税与卖方缴纳的相关税费；不能合理分类导致错误.【难度属性】中.（2）（ii）【考查意图】本小题以估算可购房屋最大面积问题为载体，考查函数与不等式等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查函数与方程思想等.【解法综述】首先直观估算100万可购买的最大面积的大致范围，再利用（2）（i）中相应的结论求解.思路：首先通过估算得到，90平方米的购房金额小于100万而100平方米的房款大于100万，从而判断100万（i）可购买的面积在90至100平方米之间，便可利用（2）中相应的结论求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会估算出100万可购买房屋的最大面积在90至100平方米之间，导致无从下手；未先估算100万可购买房屋的最大面积所在的范围，根据（2）（i）中的函数解析式逐一计算，使得解题过程繁杂导致计算出错.【难度属性】中.20.（1）【考查意图】本小题以椭圆为载体，考查直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想等.【解法综述】只要掌握直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质，能将线段的长度关系转化为向量关系，或利用平面几何知识进行转化，从而得到，，满足的方程，便可求得椭圆的标准方程.思路一：先分别求出直线，的方程，再求得的坐标.然后将转化为，得到，再结合，便可求得，，，从而得到椭圆的标准方程为.思路二：利用椭圆的对称性得到，将转化为，得到，再结合，便可求得，，，从而得到椭圆的标准方程为. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不能将转化为，或不能利用椭圆的对称性得到，将转化为，导致无从下手. 【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以探索性问题为载体，考查椭圆的简单几种性质、直线与圆锥曲线的位置关系、三角形垂心的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.【解法综述】只要能通过假设存在满足题意的直线，根据是的垂心，得到，进而确定直线的斜率，由此设出直线的方程并与椭圆方程联立；再根据是的垂心，得到，将其转化为或，并结合韦达定理，便可得到结论.思路：先假设存在满足条件的直线，由垂心的性质可得，从而得到直线的斜率，由此可设的方程为，，，再将的方程与椭圆方程联立得到及，.将转化为或，即，从而求出的值，并根据的取值范围检验得到结论.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据是的垂心得到及，导致无从下手；在消元、化简的过程中计算出错；未检验导致解题不完整等.【难度属性】中.21.（1）【考查意图】本小题以含指数函数的初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.【解法综述】只要掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则、导数与函数单调性的关系和含参数一元二次不等式的解法，便可解决问题.思路：求得，对的符号进行讨论.先讨论的情况，再对的情况结合的图象和判别式进一步分成三种情况进行讨论，即可求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：求导函数出错；求根计算错误或两根大小关系判断错误；分类讨论错误或不完整.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以不等式证明为载体，考查利用导数研究函数的极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力和创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等.【解法综述】只要掌握利用导数研究函数性质的基本思路，具备较强的运算求解能力、推理论证能力和一定的创新意识，并能灵活运用数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，便可解决问题.思路一：将的取值分成，两部分进行讨论，对于的情形可直接根据（1）的结论进行证明：对于的情形，将所证不等式转化为证明的最大值小于零，再利用得到，进而得到，通过分析法转化为证明函数在恒小于零.思路二：通过变换主元将改写成关于的函数，将求证不等式转化为证明，再利用分析法进一步转化为证明，然后构造，证明的最小值大于零即可.思路三：同思路一得到，通过分析法转化为求证函数在恒大于1.思路四：同思路一得到，通过分析法转化为求证函数在恒小于零.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会对参数的取值进行合理分类；不会通过消元将函数最值转化为仅关于极值点的表达式；不能变换主元对问题进行合理转化；不会根据题意构造恰当的函数.【难度属性】难.22.（1）【考查意图】本小题以直线和圆为载体，考查直线的极坐标方程、参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.【解法综述】只要能写出极坐标系中简单图形的极坐标方程，能进行极坐标和直角坐标的互化，能进行参数方程和普通方程的互化，便可解决问题.思路：首先，结合图形易得直线的极坐标为.其次，先将的参数方程化为普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式将的普通方程化为极坐标方程，便可得到正确答案.【错因分析】考生可能存在的错误有：极坐标的概念不清晰，在求的极坐标方程时，忽略的限制导致错误；直角坐标与极坐标的互化错误.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以两点间的距离为载体，考查极坐标的几何意义、韦达定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.【解法综述】只要明确极坐标中，的几何意义，并能正确进行三角恒等变换，便可以解决问题.思路：根据极坐标的几何意义，，，，分别是点，，，的极径，从而可利用韦达定理得到：，把问题转化为求三角函数的最值问题，易得所求的最大值为.【错因分析】考生可能存在的错误有：不熟悉极坐标的几何意义，无法将问题转化为，，，四点的极径之和；无法由，及的极坐标方程得到，；在求的最值时，三角恒等变形出错.【难度属性】中.23.（1）【考查意图】本小题以含绝对值不等式为载体，考查含绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等.【解法综述】根据解集特征判断的符号，并结合含绝对值不等式的解法，求得的解集，根据集合相等即可求出的值.思路：先将转化为，再根据不等式的解集为得出，从而得到的解集为，进而由得.【错因分析】考生可能存在的错误有：无法判断的符号导致无从入手；不等式的解集求错；不会根据集合相等求出的值.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以不等式恒成立问题为载体，考查含绝对值不等式、绝对值三角不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等.【解法综述】通过分离参数将含参数的绝对值不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，或将不等式转化为两个函数图象的位置关系，均能求出的取值范围.思路一：当时，易得对任意实数成立；当时，将转化为，再通过分段讨论确定函数的最小值，从而得到的取值范围.思路二：当时，易得对任意实数成立；当时，将转化为，再利用绝对值三角不等式得到的最小值，从而得到的取值范围.思路三：当时，，，得到成立；当时，不等式等价于函数的图象恒不在函数的图象的下方，从而根据这两个函数图象的位置关系便可得到的取值范围.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能通过合理分类简化问题；不会通过分离参数转化问题；无法分段讨论去绝对值或利用绝对值三角不等式确定函数的最小值；不能将不等式转化为两个函数图象的位置关系进行求解. 【难度属性】中.。