组合数学 第三章容斥原理和鸽巢原理习题
组合数学例题和知识点总结
组合数学例题和知识点总结组合数学是一门研究离散对象的组合结构及其性质的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解组合数学中的重要知识点。
一、排列组合排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
组合则是指从给定的元素集合中取出若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
例题 1：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的公式，＼（A_{5}＾3 ＝ 5×4×3 ＝ 60\）（种）例题 2：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行组合，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的公式，＼（C_{5}＾3 ＝＼frac{5×4×3}｛3×2×1} ＝10\）（种）知识点总结：1、排列数公式：＼（A_{n}＾m ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1)＼）2、组合数公式：＼（C_{n}＾m ＝＼frac{n!｝｛m!（n m)！｝＼）二、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例题 3：在一个班级中，有 20 人喜欢数学，15 人喜欢语文，10 人既喜欢数学又喜欢语文，求喜欢数学或语文的人数。
解：设喜欢数学的集合为 A，喜欢语文的集合为 B，则喜欢数学或语文的人数为＼（｜A ∪ B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A ∩ B| ＝ 20 ＋ 15 10＝ 25\）（人）知识点总结：容斥原理的一般形式：＼（｜＼cup_{i=1}＾｛n} A_i| ＝＼sum_{i=1}＾｛n} ｜A_i| ＼sum_{1\leq i ＜ j\leq n} ｜A_i ∩ A_j| ＋＼sum_{1\leq i ＜ j ＜ k\leq n} ｜A_i ∩ A_j∩ A_k| ＋（－1)＾｛n 1} ｜A_1 ∩ A_2 ∩ ∩ A_n|＼）三、鸽巢原理鸽巢原理也叫抽屉原理，如果有 n ＋ 1 个物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。
鸽巢问题数学试题及答案
鸽巢问题数学试题及答案试题：1. 鸽巢原理是数学中的一个基本概念，它描述了当把n+1个物品放入n个容器中时，至少有一个容器会包含两个或更多的物品。
请简述鸽巢原理的基本概念。
2. 假设有10个乒乓球被随机放入9个盒子中，根据鸽巢原理，至少有几个盒子会包含至少2个乒乓球？3. 某班级有40名学生，如果将他们随机分配到6个不同的兴趣小组中，根据鸽巢原理，至少有几个兴趣小组会包含至少8名学生？4. 鸽巢原理在实际生活中的应用有哪些？请列举至少两个例子。
5. 鸽巢原理的数学表达式是什么？请用数学公式表示。
答案：1. 鸽巢原理，又称抽屉原理，是数学中的一个基本定理，它指出如果把多于容器数量的物品放入有限数量的容器中，那么至少有一个容器会包含多于一个的物品。
这个原理在组合数学、概率论和算法设计等领域有着广泛的应用。
2. 根据鸽巢原理，如果有10个乒乓球被放入9个盒子中，那么至少有一个盒子会包含至少2个乒乓球。
这是因为10除以9的商是1余1，所以至少有一个盒子会包含1+1=2个乒乓球。
3. 如果40名学生被随机分配到6个兴趣小组中，根据鸽巢原理，至少有一个兴趣小组会包含至少8名学生。
这是因为40除以6的商是6余4，所以至少有一个兴趣小组会包含6+1=7名学生，但因为余数是4，所以实际上至少有一个兴趣小组会包含8名学生。
4. 鸽巢原理在实际生活中的应用非常广泛，例如：- 在统计学中，鸽巢原理可以用来估计一个群体中至少具有某种特征的个体数量。
- 在计算机科学中，鸽巢原理可以用于设计哈希表，确保在最坏情况下，哈希表的冲突数量不会超过某个阈值。
5. 鸽巢原理的数学表达式可以表示为：如果有\( n \)个物品放入\( m \)个容器中，且\( n > m \)，则至少有一个容器包含的物品数不少于\( \lceil \frac{n}{m} \rceil \)，其中\( \lceil \cdot\rceil \)表示向上取整。
鸽巢原理经典例题及解析
鸽巢原理经典例题及解析鸽巢原理，也称为抽屉原理，是组合数学中的一个基本概念。
它指的是，如果有n+1个物体放入n个盒子中，那么至少有一个盒子会放入两个或以上的物体。
这个概念类似于我们熟知的“抽屉放东西”的现象，即如果有n个抽屉，放入n+1个东西，则至少有一个抽屉中会放入两个或以上的东西。
鸽巢原理是比较直观且易于理解的，它在解决组合数学中的问题时经常被使用。
下面我们将通过几个经典例题，来进一步理解鸽巢原理的应用。
例题1：从1到10的整数中选择6个数，至少存在两个数，使得它们的和或差能被11整除。
证明这个结论。
解析：我们需要选择6个数，我们可以利用鸽巢原理来解决这个问题。
首先，我们观察到，我们有5个余数，因为1到10的整数除以11的余数是0到10。
如果我们选择6个数，那么至少有两个数的余数是相同的，因为有6个数，但只有5个余数。
假设我们选择的两个数的和或差能被11整除，那么它们的余数必然相等，于是我们就证明了这个结论。
例题2：有20盒饼干，其中19盒都装有正数个饼干，而只有1盒装有0个饼干。
证明，如果我们从这20盒中选择11个盒子，那么至少有两个盒子是包含饼干的。
解析：我们假设每个盒子都是0个饼干，那么我们需要选择11个盒子，因为只有1个盒子是包含饼干的，所以我们无论如何选择都无法找到两个盒子都包含饼干。
但是根据鸽巢原理，我们知道，如果我们选择了11个盒子，至少有两个盒子是包含饼干的。
所以，我们证明了这个结论。
例题3：有N个正整数，它们的和是2N-1，证明至少有一个整数是1。
解析：我们假设所有的正整数都不是1，那么我们可以得到每个正整数至少是2。
这样，我们所有的正整数加起来至少是2N，而不是2N-1，与题目条件矛盾。
所以，我们证明了结论至少有一个整数是1。
鸽巢原理的应用非常广泛，可以用于解决各种数学问题和概率问题。
通过以上例题的解析，我们可以更好地理解鸽巢原理的含义和应用。
在实际问题中，我们可以利用鸽巢原理巧妙地解决一些问题，提高问题求解的效率和准确性。
六年级下册数学试题鸽巢问题含答案人教版
鸽巢问题知识点：鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此,也称为狭利克雷原理。
把3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。
类似的,如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。
鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。
如：将4支铅笔放入3个笔筒，总有一个笔筒至少有2支铅笔，“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。
鸽巢原理（二）：如果把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。
如：把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。
我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣,可以得到鸽巣原理最简单的表达形式物体个数÷鸽巣个数=商……余数至少个数=商+1摸同色球计算方法：①要保证摸出同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。
物体数＝颜色数×（相同颜色数－1）＋1②极端思想（最坏打算）：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。
1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业求证：这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业。
2、班上有50名学生，将书分给大家,至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
3、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？4、把红、白、蓝三种颜色的球各10个放到一个袋子里，至少取多少个球，可以保证取到3个颜色相同的球。
组合数学课件--第三章第四节鸽巢原理
如果 A B
则结果成立。否则：
令： Y A \ (A B), Z B \ (A B)
Y和Z就是满足条件的两个集合。
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3.13 鸽巢原理举例
例3.13.7 X是9个不同正整数的集合，E是 X的子集，S(E)是集合E的元素和。n是X的元素 的最大值。
求n的值，使X至少存在两个集合A和B，使 S(A)=S(B)。
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3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于等于3的整数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1}中存在一数被n除尽。
首先这是n-1个奇数，假如n是偶数时，不可能 成立；
当n=4时，数列为{1，3，7}不可能被4除尽。
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3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于1的奇数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1,2n-1}中至少存在一数被 n除尽。
解：
X的任意子集的元素之和小于X的所有子集 的数目时！
设E是X的任意子集。 S(E)≤n+(n-1)+(n-2)+…+(n-8)=9n-36 也就是说X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36
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3.13 鸽巢原理举例
X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36 X的非空子集的数目？ C(9,1)+C(9,2)+…+C(9,9) =29-1=511
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3.14 鸽巢原理的推广
例3.14.9：随意地给正十边形的10个顶点编 上号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,求证：必有一个顶 点及与之相邻的两顶点之和不小于17。
证明：以A1,A2,A3,…,A10表示正十边形的10 个顶点，
六 鸽巢原理习题
容斥原理与鸽巢原理1、 求介于1~500之间整数的个数，附加条件分别为：（1）能被3和5整除，但不能被7整除；（2）不能被5、6、8整除。
2、 求下列两方程的整数解的个数：123123123123(1) 12;06,07,03;(2) 15;17,07,2 5.x x x x x x x x x x x x ++=≤≤≤≤≤≤++=≤≤≤≤≤≤3、 求多重集{,3,5,7}S x y z w =∞⋅⋅⋅⋅的10-组合的个数。
4、 生产A 、B 、C 三种产品要用到1、2、3三种原料。
一种产品用一种原料，但产品A 不能用2、3作原料，B 不能用2作原料，C 不能用1作原料。
求原料安排方案数。
5、 求多重集122{,,,}n S a a a =⋅ 的全排列个数，要求在排列中相同的元素不相邻。
6、 设1122{,,,}n n S k a k a k a =⋅⋅⋅ ，记m N 为将S 的所有元素放入标记为1~m 的m 个盒子的方法数。
（1）求m N ；（2）若要求盒子非空，再求方法数。
7、 n 个人参加一宴会，会前每人寄放一顶帽子，会后每人于醉中随便取一顶戴上，求无人戴上自己原来帽子的概率。
8、 在上题中，假设会前每人寄放一顶帽子和一把雨伞，会后每人也随便取一顶帽子和一把雨伞。
分别求出下列两种情况出现的次数：（1）无人取到他原来的任何一样东西；（2）无人恰好取到他原来的两样东西。
9、 求{1,2,,}S n = 的全排列个数——记为n Q ，要求在排列中不出现12,23,,(1)n n - 这些模式。
10、 求{1,2,,}S n = 的圆排列的个数。
要求排列中不出现12,23,,(1),1n n n - 这样的模式（顺时针方向看）。
11、n 对夫妇(3)n ≥围桌而坐，且男女间隔，夫妇相离，求不同的方法数。
12、在边长为1的正三角形区域内任意取5点，证明一定有两点，它们的距离不超过12。
13、 某一生产铁盘的工厂，由于设备和技术的原因，只能将生产的铁盘的重量控制在a克到0.1a +克之间。
第3章容斥原理和鸽巢原理
容斥原理
定理3.2
| A1 A2 An | | S | | Ai | | Ai A j |
i 1 1 i j n n 1 i j k n
| Ai A j Ak |
( 1)n | A1 A2 An |
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容斥原理
作为上述法则的第一个推广：令 S 是一个有限集 合， P1, P2 是 S 中每个的元素可能具有的两个性 质。 A1 ，A2 分别表示S中具有性质P1， P2的元素 的集合，那么有
A1 A2 S A1 A2 A1 A2
更一般地，设P1, P2，…，Pn是S中每个的元素可 能具有的 n 个性质。令 Ai(i=1,2,…,n) 是 S 中具有性 质Pi的元素的集合，则有
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3 250 166 100 83 50 33 16 366
2018/11/13 11
容斥原理
例3.5 求由a, b, c, d四个字符构成的n位符号串中， a, b, c至少出现一次的符号串的数目。 证 设 A1 , A2 , A3分别表示不出现a, b, c的n位符号串 的集合。则
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容斥原理
例 3.4 N={1,2,…,500} ，求 N 中能被 2 ， 3 ， 5 整除的 数的个数。
解 设 A1 , A2 , A3 分别为被2、3、5整除的数的集合。 那么有
500 A1 250 2 m m m m m 0 1 2 3 (1) m
离散数学复习资料试卷习题与答案
离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18。
证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点，且这三个点构成的三角形面积小于18。
# 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。
证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +，从k a 开始上升子序列最长的长度为k x ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k k x y 。
若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列，那么,k k x n y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个，则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ，由于i j a a ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >，则i y 至少比j y 大1，这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾。
故原命题成立。
#3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。
解： 设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ， 1=⋂⋂C B A ，进而有C B A A C C B B A C B A C B A ⋂⋂+⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃601658202533=+---++= 故有4060100=-=⋃⋃-=⋃⋃C B A U C B A即}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。
组合数学课件--第三章第三节广义的容斥原理
3.6 广义的容斥原理
求只参加了数学课的人数？ 解：设M为修数学课的学生集合；P为修 物理课的学生集合；C为修化学课的学生集合， 单修一门数学，即修数学而不修物理和 化学的学生数；可如下表示：
M PC
4
3.6 广义的容斥原理
M PC
( M P) ( M C )
M
P
关于M互为补集 因此：只参加数学课 学习的人数有
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
3.6 广义的容斥原理
定理3.3.4 广义容斥原理的证明
(m) (m) C (m 1, m) (m 1) C (m 2, m) (m 2) ...
1 2 m m1 m 2
n
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3.6 广义的容斥原理
例3.6.2 设N={1,2,3,…,14},4个集合 A1,A2,A3,A4。 A1={2,5,8,12,13,}； A2={1,3,5,6,7,8,10,12,14}； A3={1,4,5,7,12,13}； A4={1,4,5,7,12,14}。
a在 (m)中计算了多少次 ?
C (t , m)
a在 (m 1)中计算多少次？
C (t , m 1)
....................................................
a在 (t )中计算了C (t , t )次
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3.6 广义的容斥原理
设a包含在t个集合中,A1,A2,...,At，t>m,
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3.6 广义的容斥原理
l C (t , m) C (t , m 1)C (m 1, m) C (t , m 2)C (m 2, m) ... (1)t m C (t , t )C (t , m)
李凡长版 组合数学课后习题答案 习题2
第二章 容斥原理与鸽巢原理1、1到10000之间（不含两端）不能被4，5和7整除的整数有多少个？ 解 令A={1,2,3,…,10000}，则 |A|=10000.记A 1、A 2、A 3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除的整数集合，则有：|A 1| = L 10000/4」=2500,|A 2| = L 10000/5」=2000,|A 3| = L 10000/7」=1428,于是A 1∩A 2 表示A 中能被4和5整除的数,即能被20 整除的数，其个数为| A 1∩A 2|=L 10000/20」=500；同理， | A 1∩A 3|=L 10000/28」=357,| A 2∩A 3|=L 10000/35」=285,A 1 ∩A 2 ∩ A 3 表示A 中能同时被4,5,7整除的数，即A 中能被4,5,7的最小公倍数lcm(4,5,6)=140整除的数，其个数为| A 1∩A 2∩A 3|=L 10000/140」= 71.由容斥原理知，A 中不能被4，5，7整除的整数个数为||321A A A ⋂⋂= |A| - (|A 1| + |A 2| +|A 3|) + (|A 1∩A 2| + |A 1∩A 3| +|A 3∩A 2|) - |A 1∩A 2∩A 3| = 51432、1到10000之间（不含两端）不能被4或5或7整除的整数有多少个？ 解 令A={1,2,3,…,10000}，记A 1、A 2、A 3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除的整数集合，A 中不能被4，5，7整除的整数个数为||321A A A ⋃⋃ = |A| - ||321A A A ⋂⋂ - 2 = 10000 - L 10000/140」- 2 = 99273、1到10000之间（不含两端）能被4和5整除，但不能被7整除的整数有多少个？解 令A 1表示在1与10000之间能被4和5整除的整数集，A 2表示4和5整除，也能被7整除的整数集。
鸽巢问题经典例题10道
鸽巢问题经典例题10道鸽巢问题是一个经典的组合数学问题，它涉及到抽屉原理和排列组合知识。
以下是鸽巢问题的经典例题 10 道:1. 将 4 只鸽子放入 3 个鸽巢中，每个鸽巢至少放入一只鸽子，问至少有几个鸽巢要放入两只鸽子？答案：至少有两个鸽巢要放入两只鸽子，即 6 只鸽子放入 3 个鸽巢中，至少有一个是有两个鸽巢放入两只鸽子的情况。
2. 将 9 只鸽子放入 5 个鸽巢中，每个鸽巢至少放入一只鸽子，问至少有几个鸽巢要放入两只鸽子？答案：至少有三个鸽巢要放入两只鸽子，即 9 只鸽子放入 5 个鸽巢中，至少有一个是有三个鸽巢放入两只鸽子的情况。
3. 将 6 个苹果放入 3 个抽屉中，每个抽屉至少放入一个苹果，问至少有几个抽屉要放入两个苹果？答案：至少有两个抽屉要放入两个苹果，即 6 个苹果放入 3 个抽屉中，至少有一个是有两个抽屉放入两个苹果的情况。
4. 将 4 个男生和 3 个女生组成一个班级，要求每个男生和女生都坐在同一座位上，问至少需要多少种不同的座位安排方式？答案：至少需要 6 种不同的座位安排方式，即 4 个男生和 3 个女生组成一个班级，要求每个男生和女生都坐在同一座位上，可以分为两种情况:1) 三个女生坐在同一座位上，四个男生坐在其他座位上，需要安排 2 个座位;2) 四个女生坐在同一座位上，三个男生坐在其他座位上，需要安排 3 个座位。
5. 将 3 个红球和 4 个白球放入 5 个抽屉中，每个抽屉至少放入一个球，问至少有几个抽屉要放入两个红球或两个白球？答案：至少有两个抽屉要放入两个红球或两个白球，即 3 个红球和 4 个白球放入 5 个抽屉中，至少有一个是有两个抽屉放入两个红球或两个白球的情况。
6. 将 9 个红球和 6 个白球放入 7 个抽屉中，每个抽屉至少放入一个球，问至少有几个抽屉要放入两个红球或两个白球？答案：至少有两个抽屉要放入两个红球或两个白球，即 9 个红球和 6 个白球放入 7 个抽屉中，至少有一个是有两个抽屉放入两个红球或两个白球的情况。
组合数学练习题
组合数学练习题第一章 排列组合1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？ 2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
3, n 对夫妇,要求排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？围一圆桌而坐且要求每对夫妇坐在一起,又有多少种方案?4, 有16名选手，其中6名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？ 5, 从1到10这10个正整数中每次取出一个并登记，然后放回，连续取5次，得到一个由5个数字组成的数列。
按这种方式能够得到多少个严格递减数列？能够得到多少个不减数列？6,证明 ()∑=n k k n kC 1,＝12-n n 。
第二章 母函数与递推关系1, 设平面内有n 条直线两两相交，且无三线共点。
问这样的n 条直线把平面分割成多少个不重叠的区域？2, 求下列递推关系的一般解：（1）11425,2.n n n a a a -⎧-=⨯⎨=⎩； （2） 1201693,1, 3.n n n n a a a a a --⎧-+=⎨==⎩。
3, 求解下列递推关系: (n -1)a n -(n-2)a n -1-2a n -2=0(n ≥2), a 0=0,a 1=1.4, 设有2个红球，1个黑球，2个白球，问(1)有多少种不同的选取方法，试加以枚举？(2),从中任取3个，有多少种不同的取法？5, 用{1, 3,6,8}组成的3、6出现偶数次的4位数的个数是多少?6, 求由直线x+2y=n 与坐标轴围成的三角形内(含边界)整点的个数S n第三章 容斥原理与鸽巢原理1,求由1、2、3、4组成的10位数中，1、3、4都至少出现一次的数的个数。
第3章 容斥原理与鸽巢原理
(1) n A1 A2 ... An 1
16
3.2 容斥原理
A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An
Ai Aj (n 2)!, i 1, 2,..., n, i j
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3.3 容斥原理举例
每个元素都不在原来位置的排列数为
A1 A2 ... An n ! C (n,1)(n 1)! C (n, 2)(n 2)! (1) n C (n, n)1! 1 1 n 1 n !(1 (1) ) 1! 2! n!
两个集合并集的元素个数：
A B A B A B
U A
A B
B
9
3.2 容斥原理
定理： A B C A B C A B
| AC | B C A B C
证明：
根据
A B C ( A B) C A B C ( A B) C
定理：设 A1, A2 ,..., An 是有限集合，则
A1 A2 ... An Ai Ai Aj + Ai Aj Ak ...
i 1 i 1 j i i=1 j>i k>j n n n
(1) n 1 A1 A2 ... An
B
A B C
C
11
3.2 容斥原理
• 【例】一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已 知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修 数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20 人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这 学校共有多少学生？ • （解）令：M为修数学的学生集合； • • P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
容斥原理应用与鸽巢初步
(10,5)
13
例 第二类Stirling数的展开式
• 例 第二类Stirling数的展开式 • S(n,m)的组合意义: 将n个有标志的球放入m个无区别的 盒子,而且无一空盒的方案数. mn • n个球有区别，m个盒子有区别，有空盒 m! S ( n , m) • n个球有区别，m个盒子有区别，无空盒 • • • • • n个球有区别，m个盒子无区别，有空盒 n个球有区别，m个盒子无区别，无空盒 n个球无区别，m个盒子有区别，有空盒 n个球无区别，m个盒子有区别，无空盒 n个球无区别，m个盒子无区别，有空盒
P3 = | A1∩A2 ∩A3 |+ | A1∩A2 ∩A4 |+ | A1∩A3 ∩A4 |+ | A2∩A3 ∩A4 |
Q3 | A1 A2 A3 A4 | | A1 A2 A3 A4 | | A1 A2 A3 A4 | | A1 A2 A3 A4 |
例 三论错排问题 错排问题对应的是n×n的棋盘的主对角线 上的格子是禁区的布子问题。
C= · · ·
n n
n! －r1(n－1)! ＋ r2(n－2)!－· · · ＋(－1)nrn
令 rk ( ) k n k n 错排的方案数: n ! (1) (k )(n k )! n! n! n k 1 C ( n , i )( n i )! ( n i )! k 1 ( n i )! i ! i! n ! (1) Dn k! k 0
( 1) n 1 A1
A2
(4)
... An 1 An
A1
A2
n i 1
...
An N A1
第3章 容斥原理与鸽巢原理
解：令S={· · · a, b, c},则S的10组合数为
10 3 1 12 10 2 66
| A2 A3 A5 A7 | 120 | A2 | | A3 | | A5 | | A7 | | A2 A3 | | A2 A5 | | A2 A7 | | A3 A5 | | A3 A7 | | A5 A7 | | A2 A3 A5 | | A2 A3 A7 | | A2 A5 A7 | | A3 A5 A7 | | A2 A3 A5 A7 | 120 (60 40 24 17 ) ( 20 12 8 8 5 3) (4 2 1 1) 27
定理：设A1,A2,…,An是n个有限集合，则
| A1 A2 ... An | | Ai | | Ai Aj |
i 1 i 1 j i
n
n
| Ai Aj Ak | ...
i 1 j i k j
n
( 1)n 1 | A1 A2 ... An |
120 120 | A2 A3 | 20, | A2 A5 | 2 5 12, 2 3 120 120 | A2 A7 | 8, | A3 A5 | 3 5 8, 2 7 120 120 | A3 A7 | 5, | A5 A7 | 5 7 3, 3 7 120 120 | A2 A3 A5 | 4, | A2 A3 A7 | 2 3 7 2, 2 3 5 120 | A2 A5 A7 | 1, 2 5 7
第三章(一)容斥原理【4学时】
i 1 n
n
A i
i 1 j i k>j
n
A Aj i ...
+ Ai A j Ak
i=1 j>i
( 1) n 1 A A2 ... An 1
(4)
证明过程参见P122，采用数学归纳法
§3.2 容斥原理
例3.2
§3.1 容斥原理
令：M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
M 170, P 130, C 120, M P 45 M C 20, P C 22, M P C 3
§3.1 容斥原理
M PC M P C M P M M C P C M P C 170 130 120 45 20 22 3 336
§3.4 棋盘多项式和有限制排列
r1( )=1， r1( )=0， r2(
§3.1 容斥原理
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 A
A {x | x U 且x A} ,有
(a) A B A B
(b) A B A B
§3.1 容斥原理
DeMogan定理的推广：设 A1, A2 ,..., An是U的子集
§3.4 棋盘多项式和有限制排列
棋盘多项式和有限制排列
1. 有限制排列
例 4个x ，3个y，2个z的全排列中，求 不出现xxxx，yyy，zz图象的排列。 解 设出现xxxx的排列的集合记为A1， |A1|= 6! =60;
设出现yyy的排列的集合记为A2，
鸽巢问题经典例题10道
鸽巢问题经典例题10道鸽巢问题是一种组合数学中的经典问题，也被称为鸽笼原理。
它源于一个直观的问题：如果在一个有限的鸽巢中放入超过鸽巢数量的鸽子，必定会有至少一个鸽巢中放入了多只鸽子。
在具体的问题中，鸽子可以表示为对象，而鸽巢可以表示为容器。
鸽巢问题的核心思想是，如果将多个对象放入少量的容器中，那么必然会有其中某一个容器中放入了多个对象。
以下是鸽巢问题的经典例题及其解析：1. 有五个鸽巢，但有六只鸽子，证明至少有一个鸽巢有两只鸽子。
假设每个鸽巢最多只能放一只鸽子，那么最多只能放五只鸽子。
然而，我们有六只鸽子，所以至少有一个鸽巢有两只鸽子。
2. 在一群人中，证明至少有两个人生日相同。
假设有365天的一年中有365个鸽巢（代表每天），而有超过365人。
根据鸽巢原理，至少有一个鸽巢中有两个人，也就是至少有两个人生日相同。
3. 在一副标准的扑克牌中，证明至少有五张牌的花色相同。
一副标准扑克牌共有52张牌，而有四种花色（鸽巢）。
根据鸽巢原理，如果我们从这副牌中选择了五张牌，那么至少有两张牌的花色相同。
4. 在一群人中，证明至少有两人的朋友数量相同。
假设一群人中的每个人代表一个鸽子，而每个人的朋友数量代表一个鸽巢。
如果我们有超过鸽巢数量的人（鸽子），那么根据鸽巢原理，至少有两个人的朋友数量相同。
5. 在一个装有11个苹果和5个橙子的框中，证明至少有一个水果箱中有两种水果。
假设我们有两种鸽子，分别代表苹果和橙子，而水果箱代表鸽巢。
如果我们将这16个水果放入11个水果箱（鸽巢）中，根据鸽巢原理，至少有一个水果箱中有两种水果。
6. 在一个装有50个球的袋子中，有10个红球、20个蓝球和20个绿球。
证明至少要从袋子中取出几个球，才能确保至少有两个颜色相同的球。
假设我们将红球、蓝球和绿球分别看作三种鸽子，而袋子中的球看作鸽巢。
根据鸽巢原理，如果我们从袋子中取出多于三种鸽巢数量的球，那么至少有两个颜色相同的球。
因此，取出四个球即可确保至少有两个颜色相同的球。
鸽巢原理练习题
（一）基础练习题1、填一填：（1）水东小学六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至少有（）名学生的生日是在二月份的同一天。
（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球，那么一定有1个同学至少投进了（）个球。
（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（）只鸡要放进同1个鸡笼里。
（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（）本书，才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。
2、解决问题。
（1）（易错题）六（1）班有50名同学，至少有多少名同学是同一个月出生的？（2）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不少于6支？（二）拓展延伸题1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球？2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只，一次至少取出多少只可以保证每种颜色至少有1只？3、六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为100分，全班最低分是75。
已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。
六（2）班至少有多少名同学？《数学广角──鸽巢原理》同步试题一、填空1．把一些苹果平均放在3个抽屉里，总有一个抽屉至少放入几个呢？请完成下表：2．研究发现，在抽屉原理的问题中，“抽屉”至少放入物体数的求法是用物体数除以（）数，当除得的商没有余数时，至少放入的物体数就等于（）；当除得的商有余数时，至少放入的物体数就等于（）。
3．箱子中有5个红球，4个白球，至少要取出（）个才能保证两种颜色的球都有，至少要取（）个才能保证有2个白球。
4．将红、黄、蓝三种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，要保证取出的帽子有两种颜色，至少应取出（）顶帽子；要保证三种颜色都有，则至少应取出（）顶；要保证取出的帽子中至少有两顶是同色的，则至少应取出（）顶。
二、选择1．把25枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（）枚。
A.6B.7C.8D.92．某班有男生25人，女生18人，下面说法正确的是（）。
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11 证 设m个盒子的球的个数是a1,…,am， 各不相等，且有0≤a1＜a2＜·＜am．则有 · · a2≥1、am≥m－1，故
1 ∑ai≥1+2+…+m－1＝－m(m－1) 2 i=1 1 与n<－m(m－1)相矛盾！ 2
m
所以必有两个盒子的球数相等． （题目）
第三章习题解答 12 解 ( 1 ) 方案数＝(n－1)！· 2 ( 2 ) 设第i个单位的代表相邻的方案集为 Ai，i＝1,2 , … ,n． n n | ∩Ai |＝ ∑ (－1 ) k∑ | ∩ Ai | i=1
第三章习题解答 4 解 ( a ) 从n个元素中取k个元的组合， n－m n－m 总含指定的m个元的组合数为( k－m )=( n－k ) 设这m个元为a1，a2，…，am，Ai为不含ai的 组合(子集)，i=1，…，m． n－1 ｜Ai｜= ( k ) n－ l ｜Ai1∩ Ai2∩···∩ Ail｜＝( k)
第三章习题解答
13. 一书架有m层，分别放置m类不同 种类的书，每层n册。先将书架上的图书 全部取出清理。清理过程要求不打乱所 有的类别。试问 （1）m类书全不在各自原来层次上 的方案数有多少？ （2）每层的n本书都不在原来位置 上的方案数等于多少？ （3）m层书都不在原来层次，每层 n本书也不在原来位置上的方案数又有多 解：... 少？
第三章习题解答
若有３点占满一行，则３点重心是整点； 有３点占满一列，则３点重心是整点； 若存在一组均匀分布，则有3点重心是整点． 由上表可知，若只有8个点，也不能保证有 ３点的重心是整点．（因为若每个格子都有 ２点，则只占有４个格子，无法保证上面的 要求） 下面假设存在９个点，其中任３点的 重心都不是整点．
第三章习题解答 则这9个点，至少占有 为每格中最多有2个点，否则有3个点的重 5 心为整点），每行最多有２格，又－=3 2 所以每行都有点． 同理，每列都有点．
9 －＝5个格子（因 2
不妨设第一行2点，第二行2点，第三行1点 前2 行有两种模式： 或 这样第三行的点无论在哪一列都构成占满
y1 y2 y3
2
y1 －2 y3
k x2 x3 l y2 y3
是整数．
（题目）
第三章习题解答 17 解 设(x，y)是整点，每个分量模3后有 如下表的结果：
(0，0) (0，1) (1，0) (1，1) (2，0) (2，1) (0，2) (1，2) (2，2)
若有３个点模３后的结果落在上表中的同 一格中，则这３个点的重心是整点．
解：...
第三章习题解答
9. 把从1到326的326个整数任意分为5个 部分，试证其中有一部分至少有一个数 是某两个数之和，或是另一个数的两倍。 解：...
第三章习题解答
10. A、B、C三种材料用作产品I、II、 III的原料，但要求I禁止用B、C作原料， II不能用B作原料，III不允许用A作原料， 问有多少种安排方案？（假定每种材料 只做一种产品的原料） 解：...
kD m－k
n
( 3 ) Dm Dn
（题目）
第三章习题解答 14 证 每列有(m+1)行，只有m种颜色，故 一列中必有两格同色．同色的２个格子的行 m+1 m+1 号有( 2 )种取法．有m种色，故有m( 2 ) 种同色模式，现有m( m+1 ) +1列，必有两列 2 的同色模式相同．即由这两列的对应行上有 ４个格子同色，正好是一个矩形的４个角上 的格子．得证． (题目)
第三章习题解答
14. (m 1) 行
m 1 m 2 1
列 的格子同 m
种颜色着色，每格赵一种颜色，其中必 有一个4角同色的矩形。 解：...
第三章习题解答
15. 两名教师分别对6名学生同时进行两 门课程的面试（每名教师各管一门课程） 每名学生每门面试的时间都是半个小时， 共有多少不同的面试顺序？ 解：...
解：...
第三章习题解答
5.设有3个7位的2进制数
a1a2 a3a4 a5 a6 a7 b1b2b3b4b5b6b7 c1c2 c3c4 c5c6 c7
试证存在整数i和j， i j 7使得下列 1 之一必然成立。
ai a j bi b j , ai a j ci c j bi b j ci c j
k l－1 ( k－1)= | ∩Ai i=1 k j=1 k ＝∑(－1) j( j=0 l
|= (
j
s=1 k+l－1 ) l
l
+ ∑ (－1) ∑
k) j
{i1,…,ij}∈￠(k , j)
｜∩ Ais ｜
s=1
j
(
k－j+l－1 ) l
第三章习题解答 l个相同的球放入n个不同的盒子里，指定 的m个盒子为空，其他盒子不空的方案数 为( l－1 )
第三章习题解答 10 解 按题意可得如下的带禁区的棋盘 其中有阴影的表示禁区． A B C 禁区的棋子多项式为： Ⅰ R( ) Ⅱ
=R( ) R( ) Ⅲ =(1+x)(1+3x+x2 ) =1+4x+4x2+ x 3 故方案数＝3!－4· 2!+4 · 1!－1 · 0!＝1 （题目）
第三章习题解答
＝∑ (－1)
k=0 k=0 n I∈￠( n ,k) i∈I
n
k(
n ) k
(2n－k－1)! 2
k
（题目）
第三章习题解答 13 解 ( 1 )方案数＝Dm( n! )
(2) ∑(
k=0 m
1 令Dn＝n!(1－－ m 1! m ) k m
+
1 1 －－·±－) · n! · 2!
Dk (n!)
(
n－m n－k
)＝｜∩ Ai｜
m
n ＝( k m
)+
i=1 m
＝∑(－1)
l l∑ ∑ (－1) ｜∩ Aij {i1,…,il}∈￠(m , l) l=1 j=1 l( m) ( n－ l ) k k
｜
第三章习题解答 ( b )令k＝n－m．l个相同的球放入k个不同 l－1 的盒子里．每盒不空的方案数为( k－1 )． 设Ai为第i个盒子为空的方案集，i=1,2,…,k. j k－1+l－1 ), | ∩ A | = ( k－j+l－1) | Ai |= ( is
1．解 设Ai为甲与第i个朋友相遇的会议 集，i＝1，…，6．则 6 6 ｜∪Ai｜＝12 ( 1 ) －6 ( 2 )＋4 ( 6 ) 3 －3 ( 6 )＋2 ( 6 )－( 6 ) 4 5 ＝28
6
故甲参加会议数为
28＋5＝33 （题目）
第三章习题解答
２ 解 设A3：被3整除的数的集合 A5：被5整除的数的集合 A7：被7整除的数的集合
（题目）
第三章习题解答
8 证 整数的个位数的可能取值为０，１， …，９．共１０种可能．11个整数中必有 ２个数的个位数相同，即这两个数之差能 被１０整除．
（题目）
第三章习题解答
９ 证 用反证法。设存在划分 P1∪P2∪P3∪P4∪P5＝[1，326]，Pi中无数 是两数只差． 326 5 ＝66，则有一Pi中至少有66个数， A＝{ a1 ,…,a66} ，a1＜a2＜·＜a66 ， · · 以下按书上174页的例题证明可得．(题目)
l 1 (b) n m 1 n m n m j l 1 , (1) j l j 0
nm j
第三章习题解答
m l 1 m l m l (c ) m 1 m m 1 ml ml l m 2 (1) m l
| Ai |= Ni－| Ai |
m+ i
i=0,1, … ,l．
l
| A0 |=N0 －| A0 | =N0－| A1 |=N0－(N1－|A1| =N0－N1+N2－…+(－1) Nl (题目）
第三章习题解答 5 证 显然，每列中必有两数字相同，共 3 有( 2 )种模式，有０或１两种选择．故共 有( 3 )· 2种选择． ( 3 )· 2=6．现有7列， 2 2 7 = 2．即必有２列在相同的两行选择相 － 6 同的数字，即有一矩形，四角的数字相等．
第三章习题解答
3. n代表参加会议，试证其中至少有2 人各自的朋友数相等。
解：...
第三章习题解答
4. 试给出下列等式的组合意义
m m n l n m l (a) n k (1) l k , n k m l 0
所以 ｜A7∩A5∩A3｜ ＝｜A3∩A5｜－ ｜A7∩A5∩A3｜ ＝
500 3· 5 500 － ＝33－4＝29 3· 7 5·
（题目）
第三章习题解答 3 解 每个人的朋友数只能取0，1，…， n－1．但若有人的朋友数为0，即此人和其 他人都不认识，则其他人的最大取数不超 过n－2．故这n个人的朋友数的实际取数只 n 有n－1种可能．n－1＝２，所以至少有２人 的朋友数相等． （题目）
第三章习题解答 15 第一门课的顺序有6!种 第二门课的顺序有： 1 1 1 1 1 D6＝6! ( －－－＋－－－＋－ )＝265 2! 3! 4! 5! 6! 解
古总顺序有6!×265种． （题目）
第三章习题解答 16 解 任一点的坐标（a , b）只有如下４ 种可能：(奇数，偶数)、(奇数，奇数)、 (偶数，奇数)、(偶数，偶数)。因而5个点 中必有两个点模2的格式一样．设 2｜(x1－x2)，2｜(y1－y2)即x1－x2＝2k y1－y2＝２l，则三角形面积 1 1 1 1 1 S△＝－ x1 x2 x3 ＝－ 0 － x x1 1 ＝ 0 1 1 x x 2