高中数学必修5不等式知识点总结与题型归纳经典学案学案

§不等式与不等关系

1）用不等式表示不等关系

引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤

引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%

2.3%f p ≤⎧⎨

≥⎩

问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

问题2：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高元，销售量就可能相应

减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5

(80.2)0.1

x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

…

2.5

(80.2)200.1

x x --

⨯≥

问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢

解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;

（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。

要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪

⎨≥⎪

⎪≥⎩

§不等式与不等关系

\

回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a b a c b c >⇒±>±

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若,0a b c ac bc >>⇒> （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若,0a b c ac bc ><⇒<

1、不等式的基本性质：

证明以上的不等式的基本性质

证明：1）∵(a ＋c)－(b ＋c)＝a －b ＞0，∴a ＋c ＞b ＋c 2）()()0a c b c a b +-+=->，∴a c b c +>+． *

实际上，我们还有,a b b c a c >>⇒>，（证明：∵a ＞b ，b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a －b)＋(b －c)＞0，即a －c ＞0，∴a ＞c ．于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）,a b b c a c >>⇒> （2）a b a c b c >⇒+>+

（3）,0a b c ac bc >>⇒> （4）,0a b c ac bc ><⇒< 2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1）,a b c d a c b d >>⇒+>+； （2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；

（3

）0,,1n n

a b n N n a b >>∈>⇒>>

[

证明：

1）∵a ＞b ，∴a ＋c ＞b ＋c ． ①,∵c ＞d ，∴b ＋c ＞b ＋d ．②,由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ．

2）

bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭

⎬⎫

>⇒>>>⇒>>0,0,

3）反证法）假设n

n b a ≤

，则：若

a b a b

<⇒<=

⇒=这都与b a >矛盾， ∴n

n b a >

．

[范例]：

例1、已知0,0,a b c >><求证 c c a b >。 证明：以为0a b >>，所以ab>0,10ab >。于是 11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a >,由c<0 ，得c c a b

> 3.随堂练习1

#

2、在以下各题的横线处适当的不等号：

(1)（3＋2）2 ６＋26；（2）（3－2）2 （6－1）2； （3

；(4)当a ＞b ＞0时，log 21a log 2

1b

答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜

[补充例题]

例2、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。 解：由题意可知： @

（a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８）＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4）

随堂练习2

1、 比较大小：（1）（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2 （2）2

2

56259x x x x ++++与

4.小结

学习不等式的性质，并用不等式的性质证明一些简单的不等式，研究如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论

-

§一元二次不等式及其解法

2.新课

1）一元二次不等式的定义

象2

50x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2）探究一元二次不等式2

50x x -<的解集 怎样求不等式（1）的解集 探究：

（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系

<

容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==,二次函数有两个零点：120,5x x == 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集

画出二次函数2

5y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2

50x x ->； 当0

50x x -<；

所以，不等式2

50x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

3）探究一般的一元二次不等式的解法

：

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：2

2

0,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或 一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2

<0的解集 总结讨论结果：

（l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2

=0的判别式ac b 42

-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a<0可以转化为a>0

分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2

<0的解集 一元二次不等式()0002

2

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：