高中数学：合情推理与演绎推理
合情推理和演绎推理之间的联系和差异-高中数学知识点讲解
合情推理和演绎推理之间的联系和差异1．合情推理和演绎推理之间的联系和差异【知识点的认识】合情推理：“合乎情理”的推理，包括归纳推理和类比推理．①归纳推理：特殊→一般，部分→整体②类比推理：特殊→特殊演绎推理：又称为“逻辑推理”，从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．形式为：一般→特殊区别：（1）合情推理前提为真，结论可能为真，是或然性推理；演绎推理前提为真，结论亦为真，是必然性推理．（2）合情推理中的归纳、类比是“开拓型”和“发散型”的思维方法，虽然结论未必正确，但有创造性，对科学发现有帮助；演绎推理是“收敛型”或“封闭型”的思维方法，虽然结论一定正确，但不能取得突破性进展，形式化程度比合情推理高．联系：合情推理和演绎推理二者相辅相成，就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理．【命题方向】常以选择、填空题形式出现，属于基础题，注意弄清合情推理和演绎推理之间的区别和联系．例：给出下面几个推理：①由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；④由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．其中是演绎推理的序号是．分析：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，结果①是一个归纳推理，③是一个类比推理，②④是演绎推理．解答：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；这是一个归纳推理，故①不选；由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；是一个演绎推理，故选②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；这是一个类比推理，故不选③由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．这是一个演绎推理，故选④总上可知②④符合要求，故答案为：②④点评：本题考查演绎推理的特点，考查归纳推理和类比推理的特点，本题是一个基础题，这种题目不用计算，只要根据几个推理的特点得到正确结论即可．。
高中数学 选修1-2 4.合情推理与演绎推理
4.合情推理与演绎推理教学目标 班级______姓名_________1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.理解演绎推理的意义，掌握演绎推理的基本模式，能进行简单推理.3.了解合情推理与演绎推理的区别和联系.教学过程一、合情推理.1.归纳推理：（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理；或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.【B A ⊆，且A 具有特征P ⇒B 具有特征P 】（2）特征：部分⇒整体；个别⇒一般.（3）举例：①铜、铁、铝等金属能导电⇒一切金属都能导电；②哥德巴赫猜想：336+=；538+=；5510+=；......8631391002+=......⇒任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.2.类比推理：（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）.【A 、B 具有相同性质P ，且A 具有特征Q ⇒B 具有特征Q 】（2）特征：相似⇒相似.（3）举例：①加法运算与乘法运算都满足交换律，且加法运算满足结合律⇒乘法运算满足结合律； ②平面内和空间内，平行于同一条直线的两条直线相互平行，且平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行⇒空间内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.3.合情推理：根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.（1）归纳推理与类比推理都属于合情推理；（2）合情推理能帮我们猜测和发现结论，能为我们提供证明的思路和方向；（3）一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.二、演绎推理.1.定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理，称为演绎推理.【B A ⊇，且A 具有特征P ⇒B 具有特征P 】2.特征：一般⇒特殊；整体⇒部分.3.举例：①所有的金属都能导电，铀是金属⇒铀能导电；②所有奇数都不能被2整除，101是奇数⇒101不能被2整除.4.结构：演绎推理三段论：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.（应用三段论解决问题时，若大前提是显而易见的，则可省略）5.在演绎推理中，只要大前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的。
高中数学《第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理...》851PPT课件
注：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式.包 括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出 的判断．
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2.1.2 演绎推理
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例6.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是 垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.
（1）大前提……已知的一般原理（2）小前提……所研究的特殊情况 （3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断
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2.1.2 演绎推理
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演绎推理是从一般到特殊，即全体
概括个体，即：肯定(否定)了全体，就肯
定(否定)了个体。
只要前提和推理形式正确，则推理所得结论也是正 确的。
思考：
因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，…大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形，…………小前提 所以菱形是正多边形………………………………结 论 （1）上面推理形式正确吗？ （2）推理的结论正确吗？为什么？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
证明:因为有一个内角是直角的三角形是直角
三角形,
大前提
C ED
在△ABD中,AD⊥BC,即∠ADB=900 小前提
所以△ABD是直角三角形 同理△AEB是直角三角形
结论
A
M
B
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 小前提
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2.1.2 演绎推理
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例7:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1）内是增函数.
证: 满成立足的对函于数任意f(xx1),,x是2∈区D,间若Dx上1<的x2,增有函f(数x1.)<f(x2大) 前提
高三数学证明题推理方法
高三数学证明题推理方法数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。
下面就是小编给大家带来的高三数学证明题推理方法，希望大家喜欢!一、合情推理1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论;2.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。
在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。
二、演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。
三、直接证明与间接证明直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。
综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(或顺推证法、由因导果法)。
分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法。
间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
四、数学归纳法数学上证明与自然数 N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
一、分类记忆法遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。
例如求导公式有 18 个，就可以分成四组来记： (1)常数与幂函数的导数(2 个); (2)指数与对数函数的导数(4 个); (3)三角函数的导数(6 个); (4)反三角函数的导数(6 个)。
高中数学《第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理...》843PPT课件
满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2) 成立的函数f(x),是区间D上的增函数.
大前提
任取x1,x2 ∈(-∞,1） 且x1<x2 ,
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x1<x2所以 x2-x1>0
小前提
3、结论--------- 根据一般原理，对特殊情况做 出的判断
例如，刚才的例子中
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
因为tan 三角函数, 所以 tan 是周期函数
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
一般性的原理 特殊情况 结论
大前提 小前提 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理
因为2007是奇数,
特殊情况
所以2007不能被2整除. 结论
二、演绎推理的“三段论”
“三段论”是演绎推理的一般形式，包括： 1、大前提------ 已知的一般性原理； 2、小前提------ 所研究的特殊情况；
4、演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重
要思维过程．但数学结论、证明思路等的发
现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会 证明，也要学会猜想．
演绎推理
把“函数y x2 x 1的图象是一条抛物线” 恢复成三段论。
解：二次函数的图象是一条抛物线
函数y x2 x 1是二次函数
（大前提）
（小前提）
_高中数学第二章推理与证明1
• 4．其他演绎推理形式 • (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”． • (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系
，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等． • 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理
形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以 供学生扩展知识面．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行 一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．
重点难点
• 重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． • 难点：演绎推理的应用．
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
• (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有 性质P，S是M的一个子集，那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或 小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段 论，把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提．
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理． • (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对
角线相互垂直． • (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则
此两角不是对顶角． • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能
环小数，所以e是无理数． • [答案] (1)a＝－8，(2)无限不循环小数都是无理数
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案一、教学目标1. 让学生理解合情推理与演绎推理的定义及意义。
2. 培养学生运用合情推理与演绎推理解决数学问题的能力。
3. 引导学生掌握合情推理与演绎推理的基本方法。
二、教学内容第一章：合情推理1. 合情推理的定义及分类2. 合情推理的方法：归纳推理、类比推理、归纳猜想3. 合情推理在数学中的应用第二章：演绎推理1. 演绎推理的定义及分类2. 演绎推理的方法：演绎法、反证法、归纳法3. 演绎推理在数学中的应用三、教学方法1. 采用讲授法讲解合情推理与演绎推理的基本概念和方法。
2. 通过例题展示合情推理与演绎推理在数学问题解决中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养学生的合作能力。
四、教学步骤1. 引入新课：介绍合情推理与演绎推理的定义及意义。
2. 讲解合情推理：讲解归纳推理、类比推理、归纳猜想的方法，并通过例题展示其在数学中的应用。
3. 讲解演绎推理：讲解演绎法、反证法、归纳法的方法，并通过例题展示其在数学中的应用。
4. 练习与巩固：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结合情推理与演绎推理的方法及应用，引导学生思考如何在生活中运用这些方法。
五、教学评价1. 课后作业：检查学生对合情推理与演绎推理方法的掌握情况。
2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们的学习进度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度及合作能力。
4. 期中期末考试：全面评估学生对选修内容的掌握情况。
六、教学内容第三章：合情推理与演绎推理的综合应用1. 合情推理与演绎推理在数学证明中的应用2. 合情推理与演绎推理在数学问题解决中的应用3. 合情推理与演绎推理在数学探究活动中的应用第四章：常见的错误与误解1. 合情推理与演绎推理中的常见错误2. 如何避免合情推理与演绎推理中的错误与误解3. 正确评价合情推理与演绎推理的结果七、教学方法1. 通过案例分析，让学生了解合情推理与演绎推理在实际应用中的重要性。
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案第一章：合情推理概述1.1 推理的定义与分类引导学生理解推理的定义介绍合情推理与演绎推理的区别与联系举例说明合情推理在数学中的应用1.2 合情推理的方法介绍归纳推理、类比推理、归纳猜想等合情推理方法通过具体例子讲解各种合情推理方法的步骤与特点引导学生掌握合情推理的方法并能够运用到实际问题中第二章：演绎推理的基本形式2.1 演绎推理的定义与特点引导学生理解演绎推理的定义与特点强调演绎推理的逻辑严密性与结论的必然性2.2 演绎推理的基本形式介绍演绎推理的三段论形式及其结构引导学生理解假言推理、选言推理等演绎推理的基本形式通过例题讲解各种演绎推理形式的应用与解题步骤第三章：演绎推理的应用3.1 演绎推理在数学证明中的应用引导学生理解演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在证明题中的应用与步骤3.2 演绎推理在解决实际问题中的应用介绍演绎推理在解决实际问题中的应用范围与方法通过具体例子讲解演绎推理在实际问题解决中的步骤与技巧第四章：合情推理与演绎推理的综合应用4.1 合情推理与演绎推理的综合案例分析提供综合案例，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行分析与解答引导学生理解合情推理与演绎推理在不同情境下的作用与重要性4.2 合情推理与演绎推理的综合练习提供综合练习题目，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行解答引导学生通过练习巩固合情推理与演绎推理的知识与技能第五章：推理能力培养5.1 推理能力的培养方法介绍推理能力的培养方法与技巧引导学生掌握推理能力的培养方法并能够运用到实际学习中5.2 推理能力的学习与应用提供推理能力的学习与应用题目，要求学生进行练习与解答引导学生通过练习与应用提高自己的推理能力并能够运用到实际问题中第六章：数学归纳法与合情推理6.1 数学归纳法的概念与步骤介绍数学归纳法的定义与基本步骤通过具体例子讲解数学归纳法的应用与解题技巧6.2 数学归纳法在合情推理中的应用引导学生理解数学归纳法在合情推理中的作用与重要性提供合情推理题目，要求学生运用数学归纳法进行解答与证明第七章：演绎推理与数学证明7.1 演绎推理在数学证明中的作用强调演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在数学证明中的应用与步骤7.2 演绎推理在证明题中的综合应用提供证明题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习巩固演绎推理在数学证明中的知识与技能第八章：逻辑推理与演绎推理8.1 逻辑推理的基本概念介绍逻辑推理的定义与基本概念强调逻辑推理在演绎推理中的重要性8.2 逻辑推理在演绎推理中的应用提供演绎推理题目，要求学生运用逻辑推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习与应用提高逻辑推理在演绎推理中的能力第九章：演绎推理与问题解决9.1 演绎推理在问题解决中的作用强调演绎推理在问题解决中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在问题解决中的应用与步骤9.2 演绎推理在实际问题解决中的综合应用提供实际问题题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与解决引导学生通过练习与应用提高演绎推理在问题解决中的能力第十章：总结与提高10.1 合情推理与演绎推理的总结对本课程的合情推理与演绎推理进行总结与回顾强调合情推理与演绎推理在数学学习与问题解决中的重要性10.2 推理能力的进一步提高提供推理能力提高的练习与题目，要求学生进行解答与实践引导学生通过练习与实践不断提高自己的推理能力，并能够运用到实际学习中。
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案一、教学目标1. 让学生理解合情推理与演绎推理的定义及其相互关系。
2. 培养学生运用合情推理与演绎推理解决问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 合情推理与演绎推理的定义及特点。
2. 合情推理与演绎推理在数学中的应用。
3. 合情推理与演绎推理的练习题解析。
三、教学重点与难点1. 合情推理与演绎推理的定义及其相互关系。
2. 运用合情推理与演绎推理解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解合情推理与演绎推理的定义、特点及应用。
2. 运用案例分析法，分析实际问题中的合情推理与演绎推理。
3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生了解合情推理与演绎推理的概念。
2. 讲解合情推理与演绎推理的定义、特点及相互关系。
3. 案例分析：分析实际问题，展示合情推理与演绎推理的应用。
4. 练习题解析：讲解练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的理解和心得。
6. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调合情推理与演绎推理在数学及生活中的重要性。
7. 布置作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学策略与手段1. 运用多媒体教学，通过动画、图片等形式展示合情推理与演绎推理的过程，增强学生的直观感受。
2. 设计丰富的教学活动，如游戏、竞赛等，激发学生的学习兴趣。
3. 创设问题情境，引导学生主动探究，培养学生的独立思考能力。
七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对合情推理与演绎推理的理解程度。
2. 练习题：评估学生运用合情推理与演绎推理解决问题的能力。
3. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，评价其合作学习的能力。
八、教学案例案例一：通过分析一道数学题，引导学生运用合情推理与演绎推理求解。
案例二：以生活中的问题为背景，让学生运用合情推理与演绎推理寻找解决方案。
数学：2.1.1《合情推理与演绎推理-合情推理》PPT课件
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和( 简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然 数。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中 国的王元证明了“1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。
即:偶数＝奇质数＋奇质数
第五页，编辑于星期日：十二点 一分。
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
高中数学合情推理与演绎推理
合情推理是从已知的 结论推测未知的结论， 发现与猜想的结论都 要经过进一步严格证 明．
演绎推理是由一般到 特殊的推理，它常用 来证明和推理数学问 题，注意推理过程的 严密性，书写格式的 规范性．
归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是 高考的热点，归纳、类比推理大多数出现 在填空题中，为中、低档题．演绎推理大 多数出现在解答题中，为中、高档题 目．在知识的交汇点处命题，背景新颖的 创新问题，常考常新，值得重视．
34.
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自 主
(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin
落 实 ·
cos(30°－α)＝34.
固
基
证明如下：
础
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
高
α考 体 验
· 明 考 情
＝
1－cos 2
2α ＋
1＋cos（620°－2α） －sin
【思路点拨】
从特殊②计算结果为
3 4
，观察每个三角
函数式中三角函数名称与角的变化规律，归纳出一般性结
论；然后利根用据演(1绎)的推计理算进结行果证，将明该．同学的发现推
广为三角恒等式，并证明你的结论．
【尝试解答】 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝
01
归纳推理和类比推理的共同特点和区别是什么？
02
【提示】 共同点：两种推理的结论都有待于证明．
03
不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
二．演绎推理所获得的结论一定可靠吗？
【提示】 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命 题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的 前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实 的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的， 但是错误的前提可能导致错误的结论．
新课标人教A版高中数学选修2-2 2.1合情推理与演绎推理
§2.1 合情推理与演绎推理【知识要点】1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．观察、比较→联想、类推→猜想新结论2．演绎推理模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．【试一试】1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32 C．33 D．272. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理() A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确4．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n.②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β.③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．35．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于() A．28 B．76 C．123 D．1996．观察下列不等式：1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为________．考点一 类比推理例1.给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”；④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”．其中类比结论正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4变式.在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为____________”．考点二 归纳推理例2.观察下列等式12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为________．变式.下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．考点三 演绎推理例3.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝n 2－n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝______.例4.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .【巩固训练】1．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足 f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )3．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a ∈R ，结论是：a 2>0，那么这个演绎推理出错在( )A ．大前提B ．小前提C ．推理过程D ．没有出错4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B ._∴a <b ，其中，画线部分是演绎推理的( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．三段论 6．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12 7．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n 8．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πab9．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是( )A ．25B ．250C ．55D ．13310．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0,1}(i ＝0,1,2)，传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0⊕a 1，h 1＝h 0⊕a 2，⊕运算规则为0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11 010B ．01 100C ．10 111D ．00 01111．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2012－5＝( )A ．1 009×2 011B ．1 009×2 010C ．1 009×2 009D ．1 010×2 01112．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 13．在平面内有n (n ∈N *，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (5)的值是________，f (n )的表达式是________．14．在圆中有结论：如图所示，“AB 是圆O 的直径，直线AC ，BD 是圆O 过A ，B 的切线，P 是圆O 上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PO 2＝PC ·PD ”．类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴，直线AC ，BD 是椭圆过A ，B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P 的切线，则有____________．”15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(－1)n ·2a n －2(n ≥3，n ∈N *)，其前n 项和为S n .(1)a 2n ＋1关于n 的表达式为________；(2)观察S 1，S 2，S 3，S 4，…S n ，在数列{S n }的前100项中相等的项有________对．。
高中数学选修2《合情推理与演绎推理》课件
【推理】
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程. 合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解 决问题的思路和方向的作用; 演绎推理则具有证明结 论, 整理和建构知识体系的作用.
合情推理又分归纳推理与类比推理.
问题1. 观察以下几个一元二次方程的根与常数 项, 你有什么发现? 5x2+2x+3=0, 5x2+2x-3=0, x2+x+1=0, x2+x-1=0, 2x2-3x+4=0, 2x2-3x-4=0. 问题2. 观察下面几个偶数的分解, 你有什么发现? 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11. 方程 5x2+2x+3=0, x2+x+1=0, 2x2-3x+4=0 无实根; 方程 5x2+2x-3=0, x2+x-1=0, 2x2-3x-4=0 有二不 等实根. 由问题 1 猜测: 一元二次方程中, 常数项为正时, 方程无实根; 常数项为负时, 方程有两不等实根.
归纳推理可以发现新事实, 获得新结论.
【课时小结】
2. 归纳推理的基本思路
(1) 在部分对象中寻找相同点. 如问题 1, 2. (2) 在部分对象中分析运行结果的相同点. 如例1, 例4. (3) 在部分对象中寻找相关关系. 如练习第2题.
习题 2.1 A组 第 1、2、3 题.
习题 2.1 A 组 2an 1. 在数列{an}中, a1=1, an+1 = (nN*), 试 2 + an 猜想这个数列的通项公式. 解: a1=1. 2a1 21 2 = = . a2 = 2 + a1 2 + 1 3 2 2 2a2 1 3 = . = a3 = ∴猜想: 2 2 2 + a2 2 + 3 an = 2 . n+1 1 2 2a3 2 2 = . = a4 = 2 + a3 2 + 1 5 2 2 2 1 2 2 观察前 4 项: a1 = 1 = , a2 = , a3 = = , a4 = . 2 3 2 4 5
最新人教版高中数学选修2-2第二章《合情推理与演绎推理》教材梳理
庖丁巧解牛知识²巧学一、合情推理1.归纳推理由某类事件的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者是由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).要点提示①归纳推理的前提是已知的几个特殊现象,归纳所得的结论是尚属于未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.知识拓展归纳推理的步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.深化升华①归纳推理的实质是由部分到整体、由个别到一般.②应用归纳推理获得的新结论,一般只能作为猜想,虽然猜想是否正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.2.类比推理由两类对象具有某些类似的特征和已知其中一类对象的某些特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).方法点拨①类比推理实质是由特殊到特殊的推理.②运用类比推理常常要先寻找合适的类比对象,我们可以从不同角度出发确定类比对象,基本原则是根据当前的实际,选择适当的类比对象.知识拓展类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题.3.合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.深化升华①合情推理是指“合乎情理”的推理,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜想和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思想和方向.②一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了.③合情推理的过程概括为:二、演绎推理1.演绎推理从一般性原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,演绎推理又称为逻辑推理.深化升华①演绎推理是由一般到特殊的推理.②数学中的证明主要是通过演绎推理来进行的.2.三段论推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.(2)“三段论”可以表示为:大前提:M是P小前提:S是M结论:S是P.(3)公理化方法:尽可能少地选择原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理法.公理化方法的精髓是:利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.深化升华①利用集合知识说明“三段论”:若集合M的所有元素都有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.②应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提,但为了叙述简洁,如果大前提是显然的,则可以省略.知识拓展假言推理①定义:如果一个推理规则能用符号表示为“如果p q,p真,则q真”,那么这种推理规则叫做假言推理.假言推理的本质是,通过验证结论的充分条件为真,判断结论为真.②假言推理的步骤:确定命题p能够推出命题q;判断命题p是否为真,如果p为真,则q为真.知识拓展关系推理①定义:如果一个推理规则可以用符号表示为“如果a≥b,b≥c,则a≥c”,那么这种推理规则叫做关系推理.②关系推理的步骤:确定原式a和式子b存在的关系a≥b;论证式子b和c存在关系b≥c,从而推出a≥c.知识拓展完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.例如,对所有的n(3≤n<+∞),证明n边形的内角和为(n-2)π就是完全归纳推理.3.合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式.从推理形式上看,合情推理是由局部到整体、个别到一般的推理(归纳),或是由特殊到特殊的推理(类比);而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下,得到的结论一定正确.方法点拨在数学中,证明命题的正确性,都是用演绎推理,而合情推理不能用作证明. 问题²探究问题1 类比平面向量和空间向量,列出它们相似(相同)的性质.思路:从平面向量和空间向量的定义、运算法则、运算律、数量积、共线,共面以及向量基本定理等几个方面来进行类比.探究:(1)从定义的角度考虑:平面向量:平面内既有大小又有方向的向量;空间向量:空间内既有大小又有方向的向量. (2)从运算法则的角度考虑:两个平面向量相加的三角形法则和平行四边形法则在空间中仍成立.始点相同的三个不共面的向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量,这是平面向量加法的平行四边形法则在空间的推广.(3)从运算律、数量积的角度考虑,平面向量和空间向量是相同的.运算律:①a+b=b+a(加法交换律);②(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律);③λ(a+b)=λa+λb(数乘分配律).数量积的性质:①a²e=|a|cos〈a,e〉(e是单位向量);②a⊥b a²b=0;③|a|2=a²a.数量积的运算律:①(λa)²b=λ(a²b);②a²b=b²a(交换律);③a²(b+c)=a²b+a²c(分配律).(4)从向量共线,共面的角度考虑:共线向量定理:向量b与a(a≠0)共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得b=λa.共面向量定理:如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y,使p=x a+y b.(5)从向量基本定理的角度考虑:平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2表示平面向量的一组基底. 空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对于空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=x a+y b+z c,其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a、b、c都叫基向量. 问题2 将三角形与四面体进行类比,你能想出几种类比呢?思路:可以取三角形为类比源,由三角形的已知知识预测和发现关于四面体的某些新命题. 探究:第一,三角形的内角平分线交于一点,这一点是三角形的内切圆的圆心.于是得到类比猜想:四面体各个面所成二面角的平分面交于一点,该点为四面体内切球的球心.第二,三角形的三条中线交于一点,这一点是三角形的重心,并分各条中线成2∶1两部分.由此得到类比猜想:四面体的四条中线(顶点与相对面三角形重心的连线)交于一点,该点是四面体的重心,且分各中线成2∶1两部分.第三,直角三角形的三边之间有关系c2=a2+b2.由此猜想:三个侧面两两垂直的四面体的各面面积之间有关系D2=A2+B2+C2.问题3 从A地出发到河边饮完马再到B地去,在河边哪个地方饮马可使路途最短?如图2-1-1所示.图2-1-1思路:先作点A关于MN的对称点A′,连结BA′,交MN于P,则P点即为所求.探究:用演绎法证明如下:如图2-1-1所示,在MN上取一点P′(异于点P),则AP ′=P ′A ′,AP=PA ′,从而AP ′+P ′B=A ′P ′+P ′B>A ′P+PB=AP+PB. 由此可知:A 到B 经P 点距离最短. 典题²热题例1设平面内有n 条直线(n ≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)=___________;当n>4时,f(n)=___________. 思路解析:f(2)=0,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…, f(n)-f(n-1)=n-1.累加得f(n)=f(2)+2+3+4+…+n-1=2)]1(2)[2(-+-n n =21(n+1)(n-2).答案:521(n+1)(n-2) 深化升华 本小题考查观察、分析、归纳推理、累加求通项等知识,是一个很灵活的题目. 例2在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=nn a a +22(n ∈N *),猜想这个数列的通项公式.思路分析:根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项.然后总结归纳其中的规律,写出通项.解:{a n }中,a 1=1,a 2=322211=+a a ,a 3=,42212222==+a a a 4=522233=+a a ,…. ∴{a n }的通项公式为a n =12+n . 证明:∵a 1=1,a n+1=211221122+=+=+∴+n n n n n n a a a a a a ∴21111=-+n n a a . 即数列{n a 1}是以11a =1为首项,公差为21的等差数列.na 1=1+21(n-1)=21(n+1),a n =12+n .例3已知在△ABC 中,不等式π9111≥∠+∠+∠C B A ,在四边形ABCD 中,不等式π2161111≥∠+∠+∠+∠D C B A 成立, 在五边形ABCDE 中,不等式π32511111≥∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ,猜想在n 边形A 1A 2…A n 中,有怎样的不等式成立? 思路分析:根据已知特殊的值: πππ3252169、、,…,总结归纳出一般性的规律:π)2(2-n n (n ≥3).s解:在n 边形A 1A 2…A n 中,π)2(1111121321-≥∠+∠++∠+∠+∠-n n A A A A A n n (n ≥3). 拓展延伸 平面内有n 条直线,其中任何两条都不平行,任何三条不过同一点,试归纳它们的交点的个数.解:n=2时,交点的个数f(2)=1. n=3时,交点的个数f(3)=3. n=4时,交点的个数f(4)=6. n=5时,交点的个数f(5)=10. 猜想归纳:f(n)=21n(n-1)(n ≥2). 深化升华 运用归纳推理可以去发现一些新的几何命题,再运用相关的方法证明它的真假,这是数学发明,创新的一条途径.例4已知在Rt △ABC 中,若∠C=90°,则cos 2A+cos 2B=1;在立体几何中,给出四面体性质的猜想.思路分析:考虑到平面中的图形是直角三角形,所以我们在空间选取有3个面两两垂直的直四面体P —A ′B ′C ′,且三个面分别与面A ′B ′C ′所成的二面角为α、β、γ.解:如图212所示,在Rt △ABC 中,cos 2A+cos 2B=(c b )2+2222)(cb ac a +==1. 于是把结论类比到四面体P —A ′B ′C ′中,我们猜想,三棱锥P-A ′B ′C ′中,若三个侧面PA ′B ′,PB ′C ′,PC ′A ′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α、β、γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.图2-1-2深化升华 类比推理应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,归纳,提出猜想.拓展延伸 在Rt △ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径r=222b a +.把上面的结论推广到空间,写出相似的结论.解:我们同样取空间有三条侧棱两两垂直的四面体A —BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,则此三棱锥外接球的半径R=2222c b a ++.例5设a 1,a 2,a 3,…,a n ,…均为自然数,称a 1++++43211a a a 为无穷连分数,例如2=(2-1)+1=1+++++=+2121211121,这里a 1=1,a n =2(n ∈N *,n ≥2).请你与上式类似地将3写成无穷连分数,并写出a n .思路分析:本题给出了无穷连分数的定义以及范例,依定义仿范例,即可解决问题. 解:3=1+(3-1)=1+13111121311121311132+++=-++=++=++++++=-+++=211121111)13(21111同时有a 1=a 2n =1,a 2n+1=2(n ∈N *).深化升华 对有些提供了范例的信息迁移型创新题,解答时可根据所给的信息与所求的问题的相似性,运用类比推理,使问题得以解决,另外在解有些信息迁移型创新题时,也可类比旧的问题的解决方法,依照它解决新信息中的问题. 例6试将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行;(2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;(3)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数;(4)等差数列的通项公式具有形式a n =pn+q(p,q 是常数),数列1,2,3,…,n 是等差数列,所以数列1,2,3,…,n 的通项具有a n =pn+q 的形式.思路分析:分清三段论的大前提、小前提、结论是解题的关键. 解:(1)大前提:太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行; 小前提:冥王星是太阳系里的大行星; 结论:冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行. (2)大前提:所有导体通电发热; 小前提:铁是导体; 结论:铁通电时发热.(3)大前提:一次函数是单调函数; 小前提:函数y=2x-1是一次函数; 结论:y=2x-1是单调函数.(4)大前提:等差数列的通项公式具有形式a n =pn+q; 小前提:数列1,2,3,…,n 是等差数列;结论:数列1,2,3,…,n 的通项具有a n =pn+q 的形式.深化升华 分清楚“三段论”中的大前提、小前提、结论,要抓住它们的定义,即大前提——已知的一般原理;小前提——所研究的特殊情况;结论——根据一般原理,对特殊情况作出判断.例7用三段论证明:x 2+3>3x.思路分析:证明本例所依据的是:a-b>0⇔a>b.小前提是证明:(x 2+3)-3x>0,这是证明本例的关键.解:∵(x 2+3)-3x=(x-23)2+43≥43>0, ∴根据“三段论”,得x 2+3>3x.深化升华 由于本例所依据的大前提a-b>0⇔a>b 很明显,因此在证明过程中往往将其省略掉了.例8求证函数y=1212+-x x 是奇函数,且在定义域上是增函数.思路分析:本题在证明过程中使用了三段论推理,假言推理等推理规则.解:y=1221122)12(+-=+-+xx x 所以f(x)的定义域为x ∈R . f(-x)+f(x)=(1-122+-x )+(1-122+x )=2-(122+x +122+-x) =2-(1222121+∙++x x x )=2-12)12(2++xx =2-2=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2. 则f(x 1)-f(x 2)=(1-1221+x )-(1-1222+x )=2(1222+x -1221+x ) =2²)12)(12(221221++-x x x x . 由于x 1<x 2,从而022,222121<-<x x x x ,所以f(x 1)<f(x 2),故f(x)为增函数.例9(2005全国高考 )设f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x=8π. (1)求φ;(2)求y=f(x)的单调增区间;(3)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切. (1)解:∵x=8π是函数y=f(x)的图象的对称轴,∴sin(2³8π+φ)=±1. ∴4π+φ=k π+2π,k ∈Z . ∵-π<φ<0,∴φ=43π-.(2)解:由(1)知φ=43π-,因此y=sin(2x-43π-).由题意得2k π-2π≤2x 43π-≤2k π+2π,k ∈Z .∴函数y=sin(2x-43π-)的单调增区间为［k π+8π,k π+85π］,k ∈Z .(3)证明:∵|y ′|=|［sin(2x-43π-)］′|=|2cos(2x-4π)|≤2,∴曲线y=f(x)的切线斜率的取值范围为［-2,2］. 而直线5x-2y+c=0的斜率为25>2, ∴直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-43π-)的图象不相切. 深化升华 第三问考查直线与三角函数图象的位置关系,很有新意.把函数值域、导数、斜率有机地联系在一起,是一道灵活的好题.。
高中数学 2.1.1《合情推理与演绎推理》课件 新人教选修2-2
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
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例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆 的情况下加以推广,即要求得到一个更一般 的命题,而已知命题应成为所推广命题的一 个特例,推广的命题为----设--圆---的---方--程---为---①-------(b-x≠---a-d-)-)2-+,-(则-y---由-b-)①-2-=-r式-2-与减---②去--(②-x---式-c-)可-2-+-得(--y上---d述-)-2-两=-r-圆-2-（-的-a-≠对---称c-或-轴-----
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谢谢大家
2023/5/16
生产计划部
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统称为合情推理。
合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向
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例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下
列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1.每次只能移动1个金属片;
2.较
大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属
片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析
的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
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练:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V
和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.