2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷(附解析)
2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题及答案
机密★本科目考试启用前2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数 学 试 卷第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，则U A =ð（ ） A ．{}1,3B ．{}2,3C ．{}1,4D ．{}3,42．不等式20x >的解集是（ ） A ．{}0x x =B ．{}0x x ≠C ．{}0x x >D ．{}0x x <3．函数()1f x x =-的零点是（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．24．在平面直角坐标系xOy 中，角α以O 为顶点，以Ox 为始边，终边经过点()1,1-，则角α可以是（ ） A ．4πB ．2π C ．34πD ．π5．已知三棱柱111ABC A B C -的体积为12，则三棱锥111A A B C -的体积为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．86．已知1sin 2α=，则()sinα-=（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．27．lg100=（ ） A ．－100B ．100C ．－2D ．28．如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列向量中，与OA 相等的是（ ） A ．DOB ．EOC ．FOD ．CO9．下列函数中，在R 上为增函数的是（ ） A ．()f x x =- B ．()2f x x =C ．()2xf x =D ．()cos f x x =10．已知向量()2,1a =，(),2b m =．若a b ∥，则实数m =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．611．已知a ，b ∈R ，且2a b +=．当ab 取最大值时，（ ） A ．0a =，2b =B ．2a =，0b =C ．1a =，1b =D ．1a =-，3b =12．将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则()f x =（ ） A ．()2log 1x +B ．21log x +C ．()2log 1x -D ．21log x -+13．四棱锥P ABCD -如图所示，则直线PC （ ） A ．与直线AD 平行 B ．与直线AD 相交 C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线14．在ABC △中，1a =，1b =，c =C ∠=（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°15．已知a ，b ∈R ，则“0a b ==”是“0a b +=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则a b -=（ ）A ．2BC ．D ．317．已知函数()f x =()y f x =的图象经过原点，则()f x 的定义域为（ ）A ．[)0,+∞B ．[),0-∞C ．[)1,+∞D ．[),1-∞18．某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．11619．已知函数()21,022,0xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则()f x 的最小值是（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－120．某校学生的体育与健康学科学年成绩s 由三项分数构成，分别是体育与健康知识测试分数a ，体质健康测试分数b 和课堂表现分数c ，计算方式为20%40%40%s a b c =⨯+⨯+⨯．学年成绩s 不低于85时为优秀，若该校4名学生的三项分数如下：则体育与健康学科学年成绩为优秀的学生是（ ） A ．甲和乙B ．乙和丙C ．丙和丁D ．甲和丁第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分。
2020年高考数学北京卷附答案解析版
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ π Day）．历史上，求圆周率 π 的方法有
多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切
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无法判断正检验电荷在 P 点和在Q 点的电势能的大小，故 D 错误。故选B。 8.【答案】B 【解析】AB.小磁针发生偏转是因为带负电荷的橡胶圆盘高速旋转形成电流，而电流周围有磁场，磁场会对 放入其中的小磁针有力的作用，故 A 错误，B 正确； C.仅改变圆盘的转动方向，形成的电流的方向与初始相反，小磁针的偏转方向也与之前相反，故 C 错误； D.仅改变圆盘所带电荷的电性，形成的电流的方向与初始相反，小磁针的偏转方向也与之前相反，故 D 错 误。故选B。
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 p0 ，假设该校一年级有 500 名男生和
300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p1 ，试比
答
较 p0 与 p1 的大小．（结论不要求证明）
题
19.已知函数 f x 12 x2 ．
（Ⅰ）求曲线 y f x 的斜率等于2 的切线方程；
为了能研究摩擦力随时间的变化曲线故物块一直要处于静止状态则向左的摩擦力一直与向右轻绳的拉力平衡图乙是向右轻绳的拉力随时间变化曲线故图乙也可以反映摩擦力随时间变化的曲线由图可乙知向右轻绳的拉力先增大后减小最后趋于不变故物块先受静摩擦力作用后受滑动摩擦力作用所以不需要让木板保持匀速运动故ab错误
毕业学校
④甲企业在0,t1 ,t1,t2 ,t2 ,t3 这三段时间中，在0,t1 的污水治理能力最强．
2020年普通高等学校招生统一考试(北京卷)数学-含答案详解
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2020年普通高等学校招生统一考试（北京卷）数学副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A ={−1,0,1,2}，B ={x|0<x <3}，则A⋂B =．( ) A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1,2}D. {1,2}2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i ⋅z =．( ) A. 1+2iB. −2+iC. 1−2iD. −2−i3. 在(√x −2)5的展开式中，x 2的系数为．( ) A. −5B. 5C. −10D. 10……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为．( )A. 6+√3B. 6+2√3C. 12+√3D. 12+2√35. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为．( ) A. 4B. 5C. 6D. 76. 已知函数f(x)=2x −x −1，则不等式f(x)>0的解集是．( ) A. (−1,1) B. (−∞,−1)∪(1,+∞) C. (0,1)D. (−∞,0)∪(1,+∞)7. 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP8. 在等差数列{a n }中，a 1=−9，a 5=−1.记T n =a 1a 2…a n (n =1,2,…)，则数列{T n }．( )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项9. 已知α,β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α=kπ+(−1)k β”是“sin α=sin β”的．( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是．( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 3n (sin 30∘n +tan 30∘n )B. 6n (sin 30∘n +tan 30∘n ) C. 3n (sin 60∘n+tan 60∘n)D. 6n (sin 60∘n+tan 60∘n)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 函数f(x)=1x+1+lnx 的定义域是 ．12. 若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为 ．13. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在[t 1,t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中，在[0,t 1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ．14. 已知双曲线C:x 26−y 23=1，则C 的右焦点的坐标为 ；C 的焦点到其渐近线的距离是 ．15. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ；PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。
北京市2020年高中数学合格性考试模拟试卷及答案
2020年北京市普通高中学业水平合格性考试数 学 模 拟 试 卷1. 考生要认真填写考场号和座位序号。
2. 本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一部分 选择题 （每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的 1．若集合{2,0,1,2}A =-，{0,1}B =，则A B ⋂= ( ) A ．{0,1} B ．{2,0,1}- C ．{0,2} D ．{2,0,1,2}- 2．已知向量(3,4)OA =-，(5,3)OB =，则AB 等于( ) A ．(8,1)- B ．(8,1)- C. 7(1,)2 D. 7(4,)23．经过点(3，a )，(－2,0)的直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，则a 的值为( ) A.52 B.25 C. 10 D ．－10 4．下列函数中是偶函数的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝|3－x |C ．y ＝x 2＋2，x ∈(－3,3] D ．23y x=-5．12x y -=的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(0,1)∪(1，＋∞)6．一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为01至50号，为了了解他们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( ) A ．放回抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法D ．系统抽样法7.直线l 经过(－2,2)且与直线y ＝x ＋6在y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为( )A ．x ＋2y ＋6＝0B ．x －2y －6＝0C ．2x －y ＋6＝0D ．2x －y －6＝08. 在平行四边形ABCD 中，AB →＋CA →＋BD →＝( )A.AB →B.BC →C.CD →D.BA → 9. 21－ 12 log 23的值等于( )A.23 B ．23 C.233 D ．210.函数y ＝x－2在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值为( )A.14 B ．－1 C ．4D ．－411.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%12.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，则a 2＋a ·b ＝( )A ．10 B.10 C ．7D. 4913.已知三角形的边长分别为4,5，61，则它的最大内角的度数为( )A ．150°B ．120°C ．135°D ．90°14.若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或015.面积为Q 的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( )A ．πQB ．2πQC ．3πQD ．4πQ16.若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4D ．1.517.sin ⎝⎛⎭⎫－14π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－20π3的值为( ) A.－3＋12B.3－12 C.3＋12D.－3－1218.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 19.函数3,(1)5,(1)x x y x x +≤⎧=⎨-+>⎩的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．620. 设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β21.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.1522.已知cos α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( ) A.5213 B.7213 C.17226D.722623．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，如果a cos B ＝b cos A ， 那么△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形24.如图所示的是某种植物蔓延的面积y (m 2)与时间x (月)的关系：y ＝a x ，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月植物蔓延的面积就会超过30 m 2；③植物蔓延从4 m 2到12 m 2需要经过1.5个月；④植物蔓延每个月增加的面积都相等；⑤若植物蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所经过的时间分别为x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＝x 3.其中正确的是( )A ．①②B ．①②⑤C ．①②③④D ．②③④⑤25. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，那么三棱锥111B A D C -的体积为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．1826．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a -b )·b ＝0，则<a , b >为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°27. A 、B 、C 三家销售同一型号的定价为a 万元的汽车。
2020年北京市中考一模数学试卷及解析
目录2020年北京市海淀区中考一模数学试卷 (2)2020年北京市延庆区中考一模数学试题 (11)2020年北京市房山区中考一模数学试卷 (21)2020年北京市朝阳区中考一模数学试卷 (31)2020年北京市密云区中考一模数学试题 (39)2020年北京市平谷区中考一模数学试题 (48)2020年北京市丰台区中考一模数学试题 (59)2020年北京市通州区中考一模数学试卷 (67)2020年北京市海淀区中考一模数学试卷答案 (77)2020年北京市延庆区中考一模数学试题答案 (85)2020年北京市房山区中考一模数学试卷答案 (96)2020年北京市朝阳区中考一模数学试卷答案 (104)2020年北京市密云区中考一模数学试题答案 (110)2020年北京市平谷区中考一模数学试题答案 (117)2020年北京市丰台区中考一模数学试题答案 (124)2020年北京市通州区中考一模数学试卷答案 (130)一、选择题（共8小题；共40分）1. −2的相反数是( )A. 2B. −2C. 12D. −122. 下列几何体中，主视图为矩形的是( )A. B.C. D.3. 北京故宫有着近六百年的历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大关．将19000000用科学记数法可表示为( )A. 0.19×108B. 0.19×107C. 1.9×107D. 19×1064. 北京大兴国际机场于2019年6月30日完美竣工，如图是世界著名建筑设计大师扎哈设计的机场成体俯视图的示意图．下列说法正确的是( )A. 这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形B. 这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形C. 这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形5. 将抛物线y=2x2向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是( )A. y=2x2+3B. y=2x2−3C. y=2(x−3)2D. y=2(x+3)2OA，则6. 如图，AB与⊙O相切于点B，连接AO并延长，交⊙O于点C，连接BC，若OC=12∠C等于( )A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘7. 若实数m，n，p，q在数轴上的对应点的位置如图所示，且n与q互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα>cosα，则点M所在的线段可以是( )A. AB和CDB. AB和EFC. CD和GHD. EF和GH二、填空题（共8小题；共40分）9. 若√x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．，则AC=．10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=2，且tanA=1311. 分解因式：ab2−ac2=．12. 若一个多边形的每个外角都是40∘，则该多边形的边数为．13. 某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室．为了解初三年级学生的答疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为．14. 如图，在平行四边形ABCD中，延长CD至点E，使DE=DC，连接BE又AC于点F，则BFFE 的值是．15. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为．16. 如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形．下面四个结论中：①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上；②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上；③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上；④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上．所有正确结论的序号是 ．三、解答题（共12小题；共156分）17. 计算：(−2)0+√12−2sin30∘+∣∣−√3∣∣．18. 解不等式组：{3(x −1)<2x,2x +1>x−12.19. 如图，已知等边三角形 ABC ，延长 BA 至点 D ，延长 AC 至点 E ，使 AD =CE ，连接 CD ，BE ．求证：△ACD ≌△CBE ．20. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2−2x +2m −1=0．（1）当 m =−1 时，求此方程的根；（2）若此方程有两个实数根，求 m 的取值范围．21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC =60∘，∠BAD 的平分线交 CD 于点 E ，交 BC 的延长线于点 F ，连接 DF ．（1）求证：△ABF 是等边三角形；（2）若 ∠CDF =45∘，CF =2，求 AB 的长度．22. 致敬，最美逆行者！ 病毒虽无情，人间有大爱，2020 年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30 个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省抗击疫情，据国家卫健委的统计数据，截至 3 月 1 日，这 30 个省（区、市）累计派出医务人员总数多达 38478 人，其中派往湖北省除武汉外的其他地区的医务人员总数为 7381 人．a ．全国 30 个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（数据分成 6 组：100≤x <500，500≤x <900，900≤x <1300，1300≤x <1700，1700≤x <2100，2100≤x <2500）；b．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数在900≤x<1300这一组的是：919，997，1045，1068，1101，1159，1179，1194，1195，1262．根据以上信息回答问题：（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数．A．不到3万人B．在3万人到3.5万人之间C．超过3.5万人（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是，其中医务人员人数超过1000人的省（区、市）共有个．（3）据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．习近平总书记回信勉励北京大学援鄂医疗队全体“90后”党员中指出：“在新冠肺炎疫情防控斗争中，你们青年人同在一线英勇奋战的广大疫情防控人员一道，不畏艰险、冲锋在前、舍生忘死，澎显了青春的蓬勃力量，交出了合格答卷．”小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．小华还了解到除全国30个省（区、市）派出38478名医务人员外，军队派出了近四千名医务人员，合计约4.2万人．请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人?（写出计算过程，结果精确到0.1）23. 在平面直角坐标系xOy中，直线x=3与直线y=12x+1交于点A，函数y=kx(k>0,x>0)的图象与直线x=3，直线y=12x+1分别交于点B，C．（1）求点A的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数y=kx(k>0,x>0)的图象在点B，C之间的部分与线段AB，AC围成的区域（不含边界）为W．①当k=1时，结合函数图象，求区域W内整点的个数；②若区域W内恰有1个整点，直接写出k的取值范围．24. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．25. 某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队．这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分，积分均为正整数．这五个队完成所有比赛后得到如下的积分表．根据上表回答下列问题：（1）第一组一共进行了场比赛，A队的获胜场数x为；（2）当B队的总积分y=6时，上表中m处应填，n处应填；（3）写出C队总积分p的所有可能值为：．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+m的顶点为A．（1）当m=1时，直接写出抛物线的对称轴；（2）若点A在第一象限，且OA=√2，求抛物线的解析式；,m+1)，C(2,2)，若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出（3）已知点B(m−12m的取值范围．27. 已知∠MON=α，A为射线OM上一定点，OA=5，B为射线ON上一动点，连接AB，满足∠OAB，∠OBA均为锐角．点C在线段OB上（与点O，B不重合），满足AC=AB，点C关于直线OM的对称点为D，连接AD，OD．（1）依题意补全图1．（2）求∠BAD的度数（用含α的代数式表示）；（3）若tanα=3，点P在OA的延长线上，满足AP=OC，连接BP，写出一个AB的值，使4得BP∥OD，并证明．28. A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部，若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角，如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角，在平面直角坐标系xOy中．（1）如图2，⊙O的半径为5，A(0,−5)，B(4,3)是⊙O上两点．①已知P1(1,0)，P2(0,3)，P3(−2,1)，在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB关于⊙O的内直角的是；②若在直线y=2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．（2）点E是以T(t,0)为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D在点T 的右边）．现有点M(1,0)，N(0,n)，对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE 关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．2020年北京市延庆区中考一模数学试题一、选择题（共8小题；共40分）1. 最近，科学家发现了一种新型病毒，其最大直径约为0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示为( )A. 1.2×10−3B. 1.2×10−4C. 1.2×104D. 12×1032. 下列各组图形中，△AʹBʹCʹ与△ABC成中心对称的是( )A. B.C. D.3. 下列立体图形的主视图、左视图、俯视图都一样的是( )A. B.C. D.4. 若分式1x+2有意义，则x的取值范围是( )A. x>−2B. x<−2C. x=−2D. x≠−25. 数轴上A，B，C，D四点中，有可能在以原点为圆心，以√6为半径的圆上的点是( )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D6. 如图所示，△ABC中AB边上的高线是( )A. 线段DAB. 线段CAC. 线段CDD. 线段BD7. 下列实数中，无理数的个数是( )①0.333；②17；③√5；④π；⑤ 6.18118111811118⋯⋯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 如图，在⊙O中，点C在优弧AB⏜上，将弧BC⏜沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为√5，AB=4，则BC的长是( )A. 2√3B. 3√2C. 5√32D. √652二、填空题（共8小题；共40分）9. 因式分解：a3−9a=．10. 如果a+b=2，那么代数式(1+2ba−b )⋅a−ba2+2ab+b2的值是．11. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=100∘，则∠1+∠2+∠3+∠4=．12. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于G，若AG:GE=3:1，则EC:BC=．13. 把光盘、含60∘角的三角板和直尺如图摆放，AB=2，则光盘的直径是．14. 将含有30∘角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，将三角板绕原点O顺时针旋转75∘，若OA=4，则点A的对应点Aʹ的坐标为．15. 如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米．16. 小明的爸爸想给妈妈送张美容卡作为生日礼物，小明家附近有 3 家美容店，爸爸不知如何选择，于是让小明对 3 家店铺顾客的满意度做了调查：（说明：顾客对于店铺的满意度从高到低，依次为 3 个笑脸，2 个笑脸，1 个笑脸）小明选择将 （填“A”、“B”或“C”）美容店推荐给爸爸，能使妈妈获得满意体验可能性最大．三、解答题（共12小题；共156分）17. 计算：√12−3tan30∘−(1−π)0+∣1−√3∣．18. 解不等式组：{x −1<3(x −3),x ≥x+52.19. 关于 x 的一元二次方程 mx 2+2x −1=0 有两个不相等的实数根．（1）求 m 的取值范围； （2）若方程的两个根都是有理数，写出一个满足条件的 m 的值，并求出此时方程的根． 20. 已知，如图，点 A 是直线 l 上的一点．求作：正方形 ABCD ，使得点 B 在直线 l 上（要求保留作图痕迹，不用写作法）． 请你说明，∠BAD =90∘ 的依据是什么?21. 四边形 ABCD 中，∠A =∠B =90∘，点 E 在边 AB 上，点 F 在 AD 的延长线上，且点 E 与点F 关于直线 CD 对称，过点 E 作 EG ∥AF 交 CD 于点 G ，连接 FG ，DE ．（1）求证：四边形DEGF是菱形；（2）若AB=10，AF=BC=8，求四边形DEGF的面积．22. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=5，BD=3，求线段BF的长．(m≠0) 23. 在平面直角坐标系xOy中，将点A(2,4)向下平移2个单位得到点C，反比例函数y=mx 的图象经过点C，过点C作CB⊥x轴于点B．（1）求m的值；（2）一次函数y=kx+b(k<0)的图象经过点C，交x轴于点D，线段CD，BD，BC围成的区域（不含边界）为G；若横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①b=3时，直接写出区域G内的整点个数．②若区域G内没有整点，结合函数图象，确定k的取值范围．24. 为了发展学生的数学核心素养，培养学生的综合能力，某市开展了初三学生的数学学业水平测试．在这次测试中，从甲、乙两校各随机抽取了30名学生的测试成绩进行调查分析．收集数据：甲校948277767788908885868889849287888053899191866875948476698392乙校836491887192889286617891849292747593825786898994838481947290整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：成绩80分及以上为优秀，60∼79分为合格，60分以下为不合格）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：学校平均数中位数众数甲校83.48688乙校83.2（1）请你补全表格；（2）若甲校有300名学生，估计甲校此次测试的优秀人数为；（3）可以推断出校学生成绩的比较好，理由为．25. 如图，AB是⊙O的弦，AB=5cm，点P是弦AB上的一个定点，点C是弧AB上的一个动点，连接CP并延长，交⊙O于点D．小明根据学习函数的经验，分别对AC，PC，PD长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程．（1）对于点C在弧AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，PC，PD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 AC/cm00.37 1.00 1.82 2.10 3.00 3.50 3.91 5.00PC/cm 1.000.810.690.75 1.26 2.11 2.50 3.00 4.00PD/cm 4.00 5.00 5.80 6.00 3.00 1.90 1.50 1.32 1.00在AC，PC，PD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；（2）请你在同一平面直角坐标系xOy中，画（1）中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当PC=PD时，AC的长度约为cm；②当△APC为等腰三角形时，PC的长度约为cm．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)过点A(1,0)．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y=−x+4与y轴交于点B，与该抛物线的对称轴交于点C，现将点B向左平移一个单位到点D，如果该抛物线与线段CD有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．27. 如图1，在等腰直角△ABC中，∠A=90∘，AB=AC=3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α(0∘<α<360∘)，如图2．（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3中，画出当α=45∘时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若AD=1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．28. 对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B(2,2)．（1）已知点D(1,0)，正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1r2；（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l:y=√3x+b；若存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．2020年北京市房山区中考一模数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 2019年9月25日正式通航的北京大兴国际机场，为4F级国际机场、大型国际枢纽机场．距北京大兴国际机场官方微博显示，2019年北京大兴国际机场共完成旅客吞吐量313.82万人次，保障航班约21000架次，货邮吞吐量7375.53吨，航班放行正点率达96%以上．将21000用科学记数法表示应为( )A. 2.1×104B. 21×103C. 0.21×105D. 2.1×1032. 一副直角三角板有不同的摆放方式，下图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是( )A. B.C. D.3. 实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论有( )A. a>bB. b>0C. ∣c∣>∣b∣D. b+d>04. 下列四种网络运营商的徽标中，符合轴对称图形特征的为( )A. B.C. D.5. 如果m−n=5，那么代数式(m2+n2mn −2)⋅mnm−n的值是( )A. −15B. 15C. −5D. 56. 若一个多边形每个内角均为120∘，则该多边形是( )A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形7. 某景区乘坐缆车观光游览的价目表如下：缆车类型两人车(限乘2人)四人车(限乘4人)六人车(限乘6人)往返费用80元120元150元某班20名同学一起来该景区游玩，都想坐缆车观光游览，且每辆缆车必须坐满，那么他们的费用最低为( )A. 530元B. 540元C. 580元D. 590元8. 在关于n的函数S=an2+bn中，n为自然数．当n=9时，S<0；当n=10时，S>0．则当S的值最小时，n的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（共8小题；共40分）9. 若二次根式√x−1有意义，则x的取值范围是．10. 分解因式：m3−4m=．11. 举出一个m的值，说明命题“代数式2m2−1的值一定大于代数式m2−1的值”是错误的，那么这个m的值可以是．12. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB−∠PCD=∘（点A，B，C，D，P是网格线交点）．13. 明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作．其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇?”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶?”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为．14. 已知第一组数据：12，14，16，18的方差为S12；第二组数据：32，34，36，38的方差为S22；第三组数据：2020，2019，2018，2017的方差为S32，则S12，S22，S32的大小关系是S12S22S32（填“>”，“=”或“<”）．15. 如图，AC是⊙O的弦，AC=6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC=60∘，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是．16. 平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，E 是边 AB 上的一个动点（不与 A 、 B重合）连接 EO 并延长，交 CD 于点 F ，连接 AF ，CE ，下列四个结论中：①对于动点 E ，四边形 AECF 始终是平行四边形；②若 ∠ABC <90∘，则至少存在一个点 E ，使得四边形 AECF 是矩形；③若 AB >AD ，则至少存在一个点 E ，使得四边形 AECF 是菱形；④若 ∠BAC =45∘，则至少存在一个点 E ，使得四边形 AECF 是正方形．以上所有正确说法的序号是 ．三、解答题（共12小题；共156分）17. 计算：∣∣−√8∣−(π−3)0+2cos45∘+(13)−1．18. 解不等式组：{3(x −1)>x +1,x+52<x. 19. 下面是小方设计的“作一个 30∘ 角”的尺规作图过程．已知：直线 AB 及直线 AB 外一点 P ．求作：直线 AB 上一点 C ，使得 ∠PCB =30∘．作法：① 在直线 AB 上取一点 M ；② 以点 P 为圆心，PM 为半径画弧，与直线 AB 交于点 M ，N ；③ 分别以 M ，N 为圆心，PM 为半径画弧，在直线 AB 下方两弧交于点 Q ．④ 选接 PQ ，交 AB 于点 O ． ⑤ 以点 P 为圆心，PQ 为半径画弧，交直线 AB 于点 C 且点 C 在点 O 的左侧．则 ∠PCB 就是所求作的角．根据小方设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵PM=PN=QM=QN，∴四边形PMQN是．∴PQ⊥MN，PQ=2PO（）．（填写推理依据）=．（填写数值）∵在Rt△POC中，sin∠PCB=POPC∴∠PCB=30∘．20. 已知：关于x的方程x2+4x+2m=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．21. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k的图象与一次函数y=2x−1的图象交于A，B两x点，已知A(m,−3)．（1）求k及点B的坐标；（2）若点C是y轴上一点，且S△ABC=5，直接写出点C的坐标．22. 经过举国上下抗击新型冠状病毒的斗争，疫情得到了有效控制，国内各大企业在2月9日后纷纷进入复工状态．为了了解全国企业整体的复工情况，我们查找了截止到2020年3月1日全国部分省份的复工率，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了一些信息：a．截止3月1日20时，全国已有11个省份工业企业复工率在90%以上，主要位于东南沿海地区，位居前三的分别是贵州（100%）、浙江（99.8%）、江苏（99%）．b．各省份复工率数据的频数分布直方图如图1（数据分成6组，分别是40<x≤50；50<x≤60；60<x≤70；70<x≤80；80<x≤90）．c．如图2，在b的基础上，画出扇形统计图．d．截止到2020年3月1日各省份的复工率在80<x≤90这一组的数据是：81.383.98487.689.49090e．截止到2020年3月1日各省份的复工率的平均数、中位数、众数如下：日期平均数中位数众数截止到2020年3月1日80.79m50,90请解答以下问题：（1）依据题意，补全频数分布直方图．（2）扇形统计图中50<x≤60这组的圆心角度数是度（精确到0.1）．（3）中位数m的值是．（4）根据以上统计图表简述国内企业截止3月1日的复工率分布特征．23. 如图，矩形ABCD，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E．过点D作DH⊥BE于H，G为AC中点，连接GH．（1）求证：BE=AC．（2）判断GH与BE的数量关系并证明．24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以AC为直径作⊙O交AB于点D，线段BC上有一点P．（1）当点P在什么位置时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点，补全图形并说明理由；，AD=3时，求⊙O半径．（2）在（1）的条件下，当BP=√10225. 如图1，在弧MN和弦MN所组成的图形中，P是弦MN上一动点，过点P作弦MN的垂线，交弧MN于点Q，连接MQ．已知MN=6cm，设M，P两点间的距离为x cm，P，Q两点间的距离为y1cm，M，Q两点间的距离为y2cm小轩根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cmx/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24m 5.486上表中m的值为．（保留两位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy（图2）中，函数y1的图象如图，请你描出补全后的表中y2各组数值所对应的点(x,y2)，并画出函数y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△MPQ有一个角是30∘时，MP的长度约为cm．（保留两位小数）26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1交y轴于点P．的值；（1）过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ=4，求ba（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W．若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围．27. 如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，点M为BC中点．点P为AB边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90∘，得到线段PE，连接EC．（1）当点P与点A重合时，如图2．①根据题意在图2中完成作图；②判断EC与BC的位置关系并证明．（2）连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EM=EC，并证明．28. 如图1，平面上存在点P，点M与线段AB．若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点．已知点P(0,1)，点A(−2,−1)，点B(2,−1)．（1）在点O(0,0)，C(−2,1)，D(3,0)中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是；（2）点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标x K的取值范围；x+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接写出m的（3）已知点M(m,−1)，若直线y=12取值范围．2020年北京市朝阳区中考一模数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 自2020年1月23日起，我国仅用10天左右就完成了总建筑面积约为113800平方米的雷神山医院和火神山医院的建设，彰显了“中国速度”．将113800用科学记数法表示应为( )A. 1.138×105B. 11.38×104C. 1.138×104D. 0.1138×1062. 如图是某几何体的三视图，该几何体是( )A. 圆锥B. 球C. 长方体D. 圆柱3. 实数 a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是 ( )A. aB. bC. cD. d4. 一个不透明的袋中装有 8 个黄球，m 个红球，n 个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列 m 与 n 的关系一定正确的是 ( ) A. m =n =8B. n −m =8C. m +n =8D. m −n =85. 如果 a =√3−1，那么代数式 (1+1a−1)÷aa 2−1 的值为 ( ) A. 3B. √3C.√33D. √3−26. 如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD ，垂足为 E ，CD =4，tanC =12，则 AB 的长为 ( )A. 2.5B. 4C. 5D. 107. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA=40∘，则下列结论错误的是( )A. ∠ABC=70∘B. ∠BAD=80∘C. CE=CDD. CE=AE8. 生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．日均可回收物回收量(千吨)1≤x<22≤x<33≤x<44≤x<55≤x≤6合计频数12b3m频率0.050.10a0.151表中3≤x<4组的频率a满足0.20≤a≤0.30．下面有四个推断：①表中m的值为20；②表中b的值可以为7；③这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x<5组；④这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．所有合理推断的序号是( )A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①③④二、填空题（共8小题；共40分）有意义，则x的取值范围是．9. 若分式1x−210. 分解因式：2x2+8x+8=．11. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，则DE=．BC12. 如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB∠COD（填“>”，“=”或“<”）．13. 如图，∠1∼∠6是六边形ABCDEF的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∘．14. 用一个a的值说明命题“若a为实数，则a<2a”是错误的，这个值可以是a=．15. 某地扶贫人员甲从办公室出发，骑车匀速前往A村走访群众，出发几分钟后，扶贫人员乙发现甲的手机落在办公室，无法联系，于是骑车沿相同路线匀速去追甲．乙刚岀发2分钟，甲也发现自己手机落在办公室，立刻原路原速骑车返回办公室，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回办公室，甲继续原路原速赶往A村．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．有下列三个说法：①甲出发10分钟后与乙相遇；②甲的速度是400米/分；。
2019年北京市普通高中学业水平合格性考试数学试卷(整理含答案)
2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数 学 试 卷考生须知1. 考生要认真填写考场号和座位序号。
2. 本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{01}A =，，{11}B =-，，那么A B 等于A. {01}，B. {11}-，C. {0}D. {110}-，，2. 已知向量(11)=，a ，(12)=，b ，那么+a b 等于 A. (01)-， B. (12)，C. (23)，D. (32)，3. 过点(3,0)A 和(0,2)B 的直线的方程为 A. 2360x y --= B. 3240x y +-= C. 2+360x y -=D. 240x y +-=4. 函数=lg(+2)y x 的定义域是A. [)2+∞， B . ()2+∞， C. ()0+∞， D. ()2+∞-，5. 如果幂函数()=f x x α的图象经过点()4,2，那么α的值是A. 2-B. 2C. 12-D.126. 在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于 A.2B.6 C. 22 D. 37. 2018年10月24日，我国超级工程——港珠澳大桥正式通车运营，它是世界上最长的跨海大桥，全长55千米，采用Y 型线路，连接香港、珠海和澳门三地. 如果从甲、乙、丙三位同学中任选一位同学前往港珠澳大桥参观，那么甲同学被选中的概率为A.13B.12C.23D. 18.为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》，我市提出：到2020年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上. 某学校现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180，那么这所学校的初中学生人数为A. 800B. 900C. 1000D. 11009. 化简sin()+πα为 A. sin -αB. sin αC. cos -αD. cos α10. 如果直线20x y -=与直线10x my +-=垂直，那么m 的值为 A. 2-B. 12-C.12D. 211. 已知向量(2,1)=-a ，(1,)m =b , 且2a =b ，那么m 的值为 A. 2-B. 21-C.12D. 212. 直线310x y -+=的倾斜角的度数是 A. 30B ．45C. 60D ．9013. 已知直线l 经过点(1,1)P ，且与直线20x y -+=平行，那么直线l 的方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-=C. 0x y -=D. 40x y +-=14. 函数零点的涵义是 A. 一个点B. 函数图象与x 轴的交点的横坐标C. 函数图象与x 轴的交点D. 函数图象与y 轴的交点的纵坐标15.在函数1y x=，2y x =，2xy =，3log y x =中，奇函数是A. 1y x=B. 2y x =C. 2x y =D. 3log y x =16.在相距4千米的A ,B 两点分别观测目标点C ,如果75CAB ︒∠=,60CBA ︒∠=,那么A ,C 两点间的距离是A. 22千米B. 23千米C. 26千米D. (2+23)千米17. 已知角α的终边经过点(5,12)P ，那么sin α的值是A.512B.125C.513D.121318.已知直线+20l x y +=：和圆22(1)(1)1C x y -++=：，那么圆心C 到直线l 的距离是A.12B. 1C.2 D. 219. 函数2()2sin f x x =的最小正周期是A.2π B. πC. 2πD. 4π20. 计算021+log 24⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果为 A. 3B.54C. 2D. 121.已知两条直线m ，n 和平面α，且m α⊥，要得到结论m n ∥，还需要添加一个已知条件，这个条件应是①n ⊥α，②n α∥，③n ⊂α，④n ⊄α中的A. ①B. ②C. ③D. ④22. 已知函数1,0()=2,0.x f x x x ⎧⎨-<⎩≥，如果()=4f m ，那么实数m 的值为A. 1B. 2-C. 8-D. 12-23. 将函数2sin y x =的图象向左平移6π个单位，所得图象的函数表达式是 A ．2sin()6y x π=+B. 2sin()6y x π=-C. sin(2)6y x π=-D. sin(2)6y x π=+24.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，如果1,3,30b c B ︒===，那么角A 的度数是 A. 30︒或60︒B. 45︒或60︒C. 30︒或90︒D. 45︒或120︒25.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱11,AB C D 上的动点，那么三棱锥F CDE -的体积为A. 16D 1C 1B 1A 1DCBAEF[ B. 13C. 12D.2326. 已知边长为3的正方形ABCD ，点E 满足2DE EC =，那么AE AC ⋅等于 A. 6B. 9C. 12D. 1527.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署. 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是A.10万人B. 12万人C. 14万人D. 16万人第二部分 解答题（共19分）28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解：（Ⅰ）1(0)2sin 2=162f π==⨯；因为 =||T ω2π=π，且0ω>， 所以 2ω=.（Ⅱ） 画出函数2sin(2)6y x π=+在[,]63ππ-上的图象，由图象 可知，当6x π=-时，函数()f x的最小值min ()1f x =-.下表列出了某些数学知识： 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念 ,2ααπ±π±的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象 三角函数的周期性 正弦函数、余弦函数在区间 [0,2]π上的性质 同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间(,)22ππ-上的性质 两角差的余弦公式函数sin()y A x+ωϕ=的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式 半角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 积化和差、和差化积公式 请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.1π3y x-1O2-π6π629. （本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”. 30. （本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O ：222(0)x y r r +=>与直线12l x =-：和22l x =：分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且AC BC ⊥, AC BC =,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.”该同学解答过程如下：1B 1A 1FECA解答：因为 圆O :222(0)x y r r +=>与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，所以 24 2.r r ==， 所以 22 4.x y +=由题意可设(2,),(2,)A m B n -，因为 AC BC ⊥，点C 的坐标为(1,0)-， 所以 0AC BC ⋅=，即3mn =-. ① 因为 ||||AC BC =， 所以 2219m n +=+. 化简得 228.m n -= ②由①②可得 824,mn =-223324,m n -= 所以 223830m mn n +-=. 因式分解得 ()()3+30,m n m n -= 所以 3,n m =或3.m n =-解得 3,1,m n =-⎧⎨=⎩或3,1,m n =⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标为(0,1)-或(0,1). 所以 线段AB 的中点不在圆O 上.请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程. 31. （本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa （≤≤）（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006af x x x=+200400x （≤≤）.问：当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷答案及评分参考[说明]1. 第一部分选择题，机读阅卷.2. 第二部分解答题. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.第一部分 选择题 (共81分)第二部分 解答题 (共19分)28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x 的值．”该同学解答过程如下：下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.解答：弧度制的概念，三角函数的周期性，函数sin y x =的图象，正弦函数在区间［0，2π］上的性质，参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响. ……5分 29.（本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”.解答：① EF AC ∥；② 1AA AB ⊥；③ AB ⊥平面11AAC C ；④ “线线垂直”； ⑤ “线面垂直”.（每空1分，共5分）30.（本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O :222(0x y r r +=>）与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且,AC BC AC BC ⊥=,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.” 该同学解答过程如下：0AC BC ⋅=，即||||AC BC =，219m +=化简得 228.m n -=请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程.解答： 3mn =-不对. …………1分 由 0AC BC ⋅=，即 3mn =. ①因为 ||||AC BC =，点C 的坐标为(1,0)-,所以=化简得 228m n -=. ②由①②解得 3,1,m n =⎧⎨=⎩ 或3,1.m n =-⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标(0,2)或(0,2)-.所以 线段AB 的中点在圆O 上. …………5分31.（本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa ≤≤）（（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006a f x x x=+200400x ≤≤（）.问:当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？解答：任取[]12,200400x x ∈，，不妨设21x x >，令210x x x ∆=->，于是 2221212113181318()()+0.0006+0.0006a a y f x f x x x x x ⎛⎫∆=-=- ⎪⎝⎭ ()()()211221211213180.0006+=a x x x x x x x x x x --+-()()211212120.00061318=x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦. 因为 1200400x ≤≤，2200400x ≤≤，所以 12400+800x x <<，1240000160000x x <<. 所以 12240.000696x x <<.所以 12120.0006768009600x x x x <+<().又因为34a ≤≤，所以 395413185272a ≤≤.所以 121243280.0006728461318x x x x a <+<()-.所以 ()12120.000613180x x x x a +->.因为 210x x ->，120x x >，所以 ()()211212120.000613180x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦>. 于是当 210x x x ∆=->时， 21()()0y f x f x ∆=->， 所以 函数()f x 在定义域[]200400，上是单调递增函数. 所以 当200x =时，函数()f x 有最小值.故运行的平均速度是200km/h 时，单程运行一次总费用最小. …………4分。
2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试及参考答案
2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试化 学 试 卷可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Cl 35.5 Fe 56第一部分选择题(共50分)在下列各题的4个选项中,只有1个选项符合题意。
( 每小题2分,共50分) 1.对抗疫情离不开化学。
下列抗疫物资中,主要成分不．属于．．有机物的是2. A.CH 4B.C 2H 4C.CH 3ClD.C 2H 5OH3.下列物质中,属于电解质的是A.FeB.NaClC.稀盐酸D.Na 2SO 4溶液4.当光束通过下列分散系时,能观察到丁达尔效应的是A.KCl 溶液B.Fe(OH)3胶体C.KOH 溶液D.Na 2SO 4溶液5.下列化合物中,含离子键的是A.H 2OB.KClC.Cl 2D.CH 46.下列元素的原子半径最大的是A.NaB.AlC.SiD.Cl化学试卷 第1页(共8页)7.下列关于物质分类的叙述中,不正确．．．的是 A.H 2SO 4属于酸 B.Ba(OH)2属于碱 C.SO 2属于氧化物D.氨水属于纯净物8.下列关于化学反应与能量的说法中,不正确．．．的是 A.Al 与盐酸的反应属于放热反应 B.化学反应总是伴随着能量的变化C.当反应物的总能量高于生成物的总能量时,反应向环境放出能量D.Ba(OH)2·8H 2O 与NH 4Cl 的反应属于放热反应 9.下列关于氨气性质的描述中,不正确．．．的是 A.黄绿色气体B.有刺激性气味C.相同条件下密度比空气的小D.极易溶于水10.2020年5月1日起,《北京市生活垃圾管理条例》正式施行。
下列可回收物中,主要成分属于合金的是A.塑料瓶B.废报纸C.罐头盒D.旧衣服A.氯气B.氯水C.氯化钠D.氯化氢12.一定温度下,在恒容密闭容器中发生反应：2NO 2(g) N 2O 4 (g) 。
当NO 2、N 2O 4的浓度不再变化时,下列说法不正确．．．的是 A.NO 2全部转化为N 2O 4 B.该反应已达化学平衡状态 C.正、逆反应速率相等,但不等于零 D.容器中气体颜色不再发生变化13.稀土被称为“工业黄金”和“新材料之母”,稀土资源在我国有丰富的储量。
2022年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题(含答案)
2022年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数 学 试 卷考 生 须 知 1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题(共81分)；第二部分为解答题，4个小题(共19分)3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：锥体的体积公式V =13Sℎ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 第一部分(选择题共60分)一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{2,1,0,2},{0,1,2}A B =--=，则A B =A ．{2,1}--B ．{2,0}-C ．{0,1}D ．{0,2} 2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，则z =A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i - 3．()sin 45-︒=A ．22B ．22-C ．12D ．12- 4．已知函数2(),f x x x =∈R ，则A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()f x 既是奇函数又是偶函数D ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数5．sin cos θθ= A ．1sin 22θ B ．1cos 22θ C ．sin 2θ D ．cos2θ6．函数()y f x =的图象如图所示，则不等式()0f x >的解集为A ．(1,0)-B ．()0,1C ．(1,2)D ．(2,3)7．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为A ．0.24B ．0.14C ．0.06D ．0.018．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是A ．()f x x =B ．1()f x x =C ．2()log f x x =D ．()sin f x x =9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形．若14,3AB AC AA ===，则该直三棱柱的体积为A ．6B ．12C ．18D ．2410．已知向量(1,0),(1,1)a b ==，则a b ⋅=A ．0B ．1C ．2D ．311．“四边形ABCD 为矩形”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．函数2()log (3)f x x =-的定义域为A ．(3,)+∞B ．(0,)+∞C ．(3),-∞D ．(,0)-∞ 13．如图，已知四边形ABCD 为矩形，则AB AD +=A ．BDB ．DBC ．ACD ．CA14．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“*”表示乙组同学．。
北京市2020年高中数学合格性考试模拟试卷及答案
2020年北京市普通高中学业水平合格性考试数 学 模 拟 试 卷1. 考生要认真填写考场号和座位序号。
2. 本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一部分 选择题 （每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的 1．若集合{2,0,1,2}A =-，{0,1}B =，则A B ⋂= ( ) A ．{0,1} B ．{2,0,1}- C ．{0,2} D ．{2,0,1,2}- 2．已知向量(3,4)OA =-，(5,3)OB =，则AB 等于( ) A ．(8,1)- B ．(8,1)- C. 7(1,)2 D. 7(4,)23．经过点(3，a )，(－2,0)的直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，则a 的值为( ) A.52 B.25 C. 10 D ．－10 4．下列函数中是偶函数的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝|3－x |C ．y ＝x 2＋2，x ∈(－3,3] D ．23y x=-5．12x y -=的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(0,1)∪(1，＋∞)6．一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为01至50号，为了了解他们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( ) A ．放回抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法D ．系统抽样法7.直线l 经过(－2,2)且与直线y ＝x ＋6在y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为( )A ．x ＋2y ＋6＝0B ．x －2y －6＝0C ．2x －y ＋6＝0D ．2x －y －6＝08. 在平行四边形ABCD 中，AB →＋CA →＋BD →＝( )A.AB →B.BC →C.CD →D.BA → 9. 21－ 12 log 23的值等于( )A.23 B ．23 C.233 D ．210.函数y ＝x－2在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值为( )A.14 B ．－1 C ．4D ．－411.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%12.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，则a 2＋a ·b ＝( )A ．10 B.10 C ．7D. 4913.已知三角形的边长分别为4,5，61，则它的最大内角的度数为( )A ．150°B ．120°C ．135°D ．90°14.若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或015.面积为Q 的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( )A ．πQB ．2πQC ．3πQD ．4πQ16.若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4D ．1.517.sin ⎝⎛⎭⎫－14π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－20π3的值为( ) A.－3＋12B.3－12 C.3＋12D.－3－1218.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 19.函数3,(1)5,(1)x x y x x +≤⎧=⎨-+>⎩的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．620. 设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β21.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.1522.已知cos α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( ) A.5213 B.7213 C.17226D.722623．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，如果a cos B ＝b cos A ， 那么△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形24.如图所示的是某种植物蔓延的面积y (m 2)与时间x (月)的关系：y ＝a x ，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月植物蔓延的面积就会超过30 m 2；③植物蔓延从4 m 2到12 m 2需要经过1.5个月；④植物蔓延每个月增加的面积都相等；⑤若植物蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所经过的时间分别为x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＝x 3.其中正确的是( )A ．①②B ．①②⑤C ．①②③④D ．②③④⑤25. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，那么三棱锥111B A D C -的体积为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．1826．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a -b )·b ＝0，则<a , b >为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°27. A 、B 、C 三家销售同一型号的定价为a 万元的汽车。
2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷B带讲解
2022年12月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷B 考生须知 1. 考生要认真填写考场号和座位序号。
2. 本试卷分为两个部分，第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 第一部分 选择题一、选择题.本部分共20小题，每小题3分，共60分. 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{}2022,1,0,1-=M ，集合P 满足M P ＝{}2022，则一定有（ ）A ．M ＝PB ．P ∈2022C ．P ∉2022D ．M ∉2022 B【解答】解：已知集合M ，P 满足M P ＝{}2022，∴P 中必然包含元素2022由元素与集合的关系得P ∈2022故选：B ．2．函数x x x f 2411)(-++=的定义域为（ ） A ．[﹣1，2]B ．（﹣1，2]C ．[2，+∞）D ．[1，+∞）B【解答】解：由题意得：，解得：﹣1＜x ≤2，故选：B ．3．若36221144a a a -=+-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ∈RB ．a ＝0C ．a ＞D ．a ≤D 【解答】解：由()336262212112144a a a a a -=-=-=+-，可得2a ﹣1≤0，即21≤a ．∴实数a 的取值范围是21≤a ．故选：D ．4.指数函数y ＝f （x ）的图象过点（2，4），则f （3）的值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．1B【解答】解：设指数函数y ＝f （x ）＝a x ，a ＞0且a ≠1；由f （x ）的图象过点（2，4），即a 2＝4，解得a ＝2；所以f （x ）＝2x ，所以f （3）＝23＝8．故选：B ．5．与角﹣390°终边相同的最小正角是（ ）A ．﹣30°B ．30°C ．60°D ．330°D【解答】解：﹣390°＝﹣2×360°+330°，即与角﹣390°终边相同的最小正角是330°，故选：D ．6．为了得到函数1cos()26y x π=-的图象，只需要将函数1cos 2y x =图象上所有的点()A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度 C 【详解】11cos()cos ()2623y x x ππ=-=-，∴把函数1cos 2y x =的图形向右平移3π个单位可得到函数1cos()26y x π=-．7．下列不等式中，正确的是（ ）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则a +c ＞b +dB ．若a ＞b ，则a +c ＜b +cC ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdD ．若a ＞b ，c ＞d ，则d b c a > A 【解答】解：对于A 选项，若a ＞b ，c ＞d ，由不等式的基本性质可得a +c ＞b +d ，A 选项正确；对于B 选项，若a ＞b ，则a +c ＞b +c ，B 选项错误；对于C 选项，取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣2，d ＝﹣3，则ac ＜bd ，C 选项错误；对于D 选项，取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣2，d ＝﹣3，则db c a <，D 选项错误． 故选：A ．8．函数y ＝x 2﹣2x +3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，+∞） C ．【解答】解：作出函数f （x ）的图象，如图所示，当x ＝1时，y 最小，最小值是2，当x ＝2时，y ＝3，函数f （x ）＝x 2﹣2x +3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是[1，2]．故选：C ．9．设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝（x 2﹣1）+（x +1）i 为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 C【解答】解：由于复数z ＝（x 2﹣1）+（x +1）i 为纯虚数，则， 解得x ＝1，故“x ＝1”是“复数z ＝（x 2﹣1）+（x +1）i 为纯虚数”的充要条件．故选：C ．10．已知向量)sin ,1(θ=a ，)cos ,1(θ-=b ，则“43πθ=”是“b a ∥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 A【解答】解：当43πθ=时，)22,1(=a ，)22,1(--=b ，∵，∴b a ∥，故充分性成立， 向量)sin ,1(θ=a ，)cos ,1(θ-=b ，b a ∥则cos θ＝﹣sin θ，解得tan θ＝﹣1，)(243Z k k ∈+=ππθ或)(247Z k k ∈+=ππθ，故必要性不成立， 故“43πθ=”是“b a ∥”的充分不必要条件． 故选：A ．11．已知复数z 满足zi 2021＝4i 2022﹣3i 2023，则z ＝（ ）A ．4+3iB ．4﹣3iC ．3+4iD ．3﹣4i C【解答】解：∵i 2＝﹣1，i 4＝1，∴i 2021＝（i 4）505•i ＝i ，同理可得，i 2022＝﹣1，i 2023＝﹣i ，∵zi 2021＝4i 2022﹣3i 2023，∴iz ＝﹣4+3i ，即． 故选：C ．12．已知tan 2θ=，则tan()(4πθ+= ) A ．15 B ．23 C ．1- D ．3-D 【详解】因为tan 2θ=，所以tan 121tan()341tan 12πθθθ+++===---． 13．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80，则n 为（ ）A ．16B ．96C ．192D ．112C【解答】解：由题意，因为200：1200：1000＝1：6：5，所以女学生中抽取总人数的，故N ＝80÷＝192． 故选：C ．14．下列说法正确的是（ ）A ．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B ．夹在圆柱两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C ．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D ．通过圆台侧面一点，有无数条母线C【解答】解：如果以直角三角形的斜边旋转，不是圆锥，A 不正确；夹在圆柱两个平行截面间的几何体还是一个旋转体，平面与底面不平行，不是旋转体，不正确；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，符合根据圆台的定义，正确；通过圆台侧面一点，有无数条母线，显然不正确，因为只有一条母线． 故选：C ．15．下列事件中，是随机事件的是（ ）A ．守株待兔B ．瓮中捉鳖C ．水中捞月D ．水滴石穿 A【解答】解：对于A ，“守株待兔”有可能发生，又可能不发生，是随机事件，对于B ，“瓮中捉鳖”一定会发生，是必然事件，对于C ，“水中捞月”不可能发生，是不可能事件，对于D ，“水滴石穿”一定会发生，是必然事件，故选：A ．16．在ABC ∆中，2a =，1b =，3C π=，那么ABC ∆的面积等于( ) A ．12 B ．22 C ．32 D ．1C 【详解】2a =，1b =，3C π=，ABC ∴∆的面积等于13321222⨯⨯⨯=． 17.已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ．则下列结论不正确的是（ ）A ．CD ∥平面P AFB ．DF ⊥平面P AFC ．CF ∥平面P ABD ．CF ⊥平面P ADD【解答】解：∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ．则AF ∥CD ，由线面平行的判定定理，可得CD ∥平面PAF ，故A 正确；DF ⊥AF ，DF ⊥PA ，由线面垂直的判定定理可得DF ⊥平面PAF ，故B 正确；CF ∥AB ，由线面平行的判定定理，可得CF ∥平面PAB ，故C 正确；CF 与AD 不垂直，故D 中，CF ⊥平面PAD 不正确；故选：D ．18．若不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0的解集为R ，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤2B ．﹣2＜a ≤2C ．﹣2＜a ＜2D ．a ＜2B【解答】解：∵不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ＜4的解集为R ，①当a ﹣2＝0，即a ＝2时，不等式为0＜4恒成立，故a ＝2符合题意；②当a ﹣2≠0，即a ≠2时，不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ＜4的解集为R ，即不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0的解集为R ， 则⎩⎨⎧<-⨯---=∆<-0)4()2(4)2(4022a a a ，解得﹣2＜a ＜2， 故﹣2＜a ＜2符合题意．综合①②可得，实数a 的取值范围是（﹣2，2]．故选：B ．19．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C【解答】解：设池底长和宽分别为a ，b ，成本为y ，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m ， ∴底面面积S ＝ab ＝4，y ＝20S+10[2（a+b ）]＝20（a+b ）+80，∵a+b ≥2＝4， ∴当a ＝b ＝2时，y 取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故选：C ．20．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A．①②③B．①③C．②③D．①B【解答】解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．其连续5天的日平均温度均不低于22．②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定．③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．如22，25，25，26，32 这组数据的均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，故③对；则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．故选：B．第二部分非选择题（共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分21．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d＞c；②a+b＝c+d；③a+d＜b+c，则a，b，c，d按照从小到大的次序排列为．a＜c＜d＜b【解答】解：∵a+b＝c+d，∴a＝c+d﹣b，∵a+d＜b+c，∴c+d﹣b+d＜b+c，∴2d＜2b，即d＜b，∵d＞c，a+d＜b+c，∴a＜b，∵a+b＝c+d，b＞d，∴a＜c，∴a＜c＜d＜b，故答案为：a＜c＜d＜b．22．若200辆汽车通过某一路段的时速频率分布直方图如图所示，则时速在区间[50，60）内的汽车大约有 辆． 60【解答】解：由已知可得样本容量为200，又∵数据落在区间的频率为0.03×10＝0.3∴时速在[50，60]的汽车大约有200×0.3＝60故答案为6023．不等式x 2﹣2x ﹣3＞0的解集是 ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}【解答】解：由x 2﹣2x ﹣3＞0，得（x +1）（x ﹣3）＞0，解得x ＜﹣1或x ＞3．所以原不等式的解集为{x |x ＜﹣1或x ＞3}．24．已知函数2log ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+⎩，则1(())2f f 的值为___________ 32【详解】函数2log ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+⎩，211()log 122f ∴==-， 113(())(1)2122f f f -=-=+=． 三、解答题共4小题，共28分。
2020年北京市第一次普通高中学业水平考试合格性考试数学试卷(含答案)
2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷参考公式：锥体的体积公式V=13Sℎ，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．第一部分选择题(每小题3分，共81分)在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A=1，2，3，B=3，4，5，，那么集合A∪B等于A．∅B．3C．{1，2，4，5} D．1，2，3，4，5 2．函数f x=x−1的定义域是A． −∞，1B．0，1C．1，+∞ D．R3．如果指数函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)的图象经过点2，4，那么a的值是A．2B．2 C．3 D．44．将函数y=sin x的图象向右平移π3个单位，所得图象对应的函数表达式是A．y=sin x−π3B．y=sin x+π3C．y=cos x−π3D．y=cos x+π35．在平行四边形ABCD中，AB+AD等于A．AC B．BD C．BC D．CD6．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P 3，4，那么sinα的值是A．35B．34C．45D．437．已知向量a=1，−12，b=2，m ，且a//b，那么实数m的值是A．−1B．−12C．12D．18已如直线l 1：y =12x ，l 2：y =ax +2，且l 1⊥l 2，那么实数a 的值是A ．−2B ．−12C ．12D ．29．如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱B ，BC ，CD ，CC 1所在的直线中，与直线BC 1成异面直线的是A ．直线ABB ．直线BCC ．直线CDD ．直线CC 110．计算1612+log 24的结果是A ．6B ．7C ．8D ．10 11．在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》、《我爱你，中国》、《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查．该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人．现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为A ．30B ．31C ．32D ．33 12．计算tan5π4的结果是 A ．−1 B ．− 22 C ． 22 D ．113．某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是A ．14B ．13C ．12D ．34 14．计算cos69∘cos24∘+sin69∘sin24∘的结果是A ．12B ． 22C ． 32D ．115．经过点 1，0 ，且斜率为2的直线的方程是A ．2x −y +2=0B ．2x −y −2=0C ．x −2y +1=0D ．x −2y −1=0。
北京市第一次普通高中2019_2020学年高二数学学业水平考试合格性考试试题含解析
【答案】A
【解析】
【分析】
直接由向量加法 平行四边形法则即可得结果.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则可得 ，
故选：A.
6. 在平面直角坐标系 中，角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦函数的定义计算．
某同学的解答过程如下：
解答：因为圆 的圆心坐标为 ，且与 轴相切，
由直线垂直斜率乘积为 解方程可得答案．
【详解】因为直线 ， ，且 ，
所以 ， ．
故选：A
【点睛】方法点晴：斜率存在的两直线：垂直的充要条件是斜率乘积为 ，平行的充要条件是斜率相等且纵截距不等．
9. 如图，正方体 的棱 ， ， ， 所在的直线中，与直线 成异面直线的是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
问题2：在（2）的证明过程中，设置了三个空格.请从下面给出的四个选项中，为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.
① ；② ；③ 平面 ；④ .
【答案】问题1：直线与直线平行；直线与平面平行；问题2： ； 平面 ； .
【解析】
【分析】
（1）利用线面平行的判断定理，补全过程；（2）利用线线，线面的垂直关系补全条件.
25. 已知函数 如果 ，那么实数 的值是（ ）
北京市2020年第一次普通高中学业水平考试合格性考试数学试题 Word版
北京市2020年第一次普通高中学业水平考试合格性考试数学试题 Word版2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生需认真填写考场号和座位序号。
2.本试卷共8页，分为两个部分，第一部分为选择题，共27个小题（共81分）；第二部分为解答题，共4个小题（共19分）。
3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，试卷上作答无效。
第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：锥体的体积公式V=Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
第一部分选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合A={1,2,3}，B={3}，那么集合A-B的结果为：A。
∅B。
{3}C。
{1,2,4,5}D。
{1,2,3,4,5}2.函数f(x)=x-1的定义域是：A。
(-∞,1]B。
[0,+∞)C。
[1,+∞)D。
R3.如果指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2,4)，那么a的值是：A。
2B。
2C。
3D。
44.将函数y=sin x的图象向右平移π/3个单位，所得图象对应的函数表达式是：A。
y=sin(x-π/3)B。
y=sin(x+π/3)C。
y=cos(x-π/3)D。
y=cos(x+π/3)5.在平行四边形ABCD中，AB+AD等于：A。
ACB。
BDC。
BCDD。
CD6.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,4)，那么sinα的值是：A。
3/5B。
4/5C。
5/4D。
3/47.已知向量a=(1,-2)，b=(2,m)，且a·b=0，那么实数m的值是：A。
-1B。
-1/2C。
1/2D。
18.已知直线A。
-1/2B。
-1C。
-2D。
29.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CD，C1D1所在的直线中，与直线BC1成异面直线的是：A。
2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,2},{0,1,2}A B =-=，则A B ＝（ ） A ．{－1，0，2} B ．{0，1，2} C ．{－1，0，1} D ．{－1，0，1，2} 【答案】D【分析】由集合并集概念求得结果即可. 【详解】由题知，{}1,0,1,2A B ⋃=-. 故选：D.2．已知复数134i z =-，223i z =-+，则12z z +=（ ） A ．1i - B ．5i - C ．17i - D ．5i +【答案】A【分析】根据复数加法运算求得结果.【详解】由题知，()()123243i 1i z z +=-+-+=- 故选：A3．函数2()log f x x =的定义域是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】B【分析】利用真数大于直接求解【详解】由题意0x >，故函数2()log f x x =的定义域是(0,)+∞ 故选：B4．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A ．2y x B ．y =C ．2xy =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性判断可得出结论.【详解】函数2y x 、y =2xy =在()0,∞+上均为增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上为减函数.故选：D.5．下列各点中，在函数()21x f x =-的图象上的点是（ ） A ．（0，0） B ．（0，1） C ．（1，0） D ．（1，2）【答案】A【分析】直接代入计算可得.【详解】解：因为()21xf x =-，所以()00210f =-=，故函数过点()0,0.故选：A.6．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．10 B ．20C ．30D ．40【答案】C【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.【详解】解：因为高一年级共有300名学生，占高一、高二这两个年级共500名的30035005=， 则采用分层抽样的方法抽取50人中，应抽取高一年级学生的人数为350305⨯=人.故选：C.7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则AB BC +=（ ） A ．AC B ．CA C ．BD D ．DB【答案】A【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得； 【详解】解： AB BC AC故选：A8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()4,3，则cos α=（ ） A ．45-B ．45 C ．34-D ．34【答案】B【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果. 【详解】解：角α以Ox 为始边，终边经过点()4,3，∴4cos 5α==. 故选：B.9．函数()||1f x x =-的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】令()||10f x x =-=求解. 【详解】令()||10f x x =-=， 解得 1x =±，所以函数()||1f x x =-的零点个数是2， 故选：C10．已知a R ∈，则“1a >”是“0a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两者的推出关系，结合充要条件的概念分析即可． 【详解】若1a >，则0a >成立， 若0a >，无法推出1a >， 故1a >是0a >的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查逻辑思维能力，属于基础题． 11．sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（ ）A ．12 B C D ．1【答案】A【分析】逆用两角和的正弦公式求值. 【详解】原式()1sin 2010sin 302=︒+︒=︒= 故选：A12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．9【答案】B【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果. 【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ，则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B13．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（ ） A ．0.08 B ．0.18 C ．0.25 D ．0.72【答案】D【分析】根据独立事件乘法公式求解【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为0.90.80.72⨯= 故选：D14．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b ＝（ ） A．B．C．D．【答案】C【分析】利用正弦定理直接求解【详解】由正弦定理4sin sin sin sin a b a Bb A B A=∴===故选：C15．不等式x （x －1）＜0的解集为（ ） A ．{01}xx <<∣ B ．{10}xx -<<∣ C ．{0x x <∣或1}x > D ．{1xx <-∣或0}x > 【答案】A【分析】根据一元二次方程的两个根，解得一元二次不等式的解集. 【详解】方程()10x x -=有两个根0,1， 则不等式()10x x -<的解集为{}01x x << 故选：A16．在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则c ＝（ ） A ．2 B．C ．4D ．6【答案】B【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】2222cos 416812c a b ab C =+-=+-=∵，c ∴=故选：B17．函数()3sin cos f x x x =的最大值为（ ） A ．1 B ．12C ．2D ．32【答案】D【分析】由二倍角公式可得()3sin 22f x x =，结合正弦函数的值域即可得结果【详解】∵()33sin cos sin 22f x x x x ==，∴函数()3sin cos f x x x =的最大值是32.故选：D.18．已知224a b >>，则（ ） A ．a ＞b ＞2 B ．b ＞a ＞2 C ．a ＜b ＜2 D ．b ＜a ＜2【答案】A【分析】利用指数函数单调性解不等式即可 【详解】222422a b a b >>=∴>> 故选：A19．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则·a b ＝（ ）A ．3B ．C ．6D ．12【答案】C【分析】从图中读出向量模长和夹角，按照数量积运算公式求得结果. 【详解】由图知，322a b ==，，两向量的夹角为45°，则··cos ,3226a b a b a b ==⨯⨯= 故选：C20．在信息论中，设某随机事件发生的概率为p ，称21log p为该随机事件的自信息．若随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”这一事件的自信息为（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】首先求出“正面朝上”的概率，再代入计算可得；【详解】解：随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”的概率12p =， 所以22211log log log 2112p===，故“正面朝上”这一事件的自信息为1； 故选：C 二、填空题21．已知a ，b 是实数，且a ＞b ，则－a ________－b （填“＞”或“＜”）． 【答案】＜【分析】根据不等式的性质计算可得； 【详解】解：因为a b >，所以a b -<- 故答案为：<22．已知向量a ＝（1，m ），b ＝（2，4）．若//a b ，则实数m ＝________． 【答案】2【分析】根据向量平行关系求得参数. 【详解】由//a b 知，124m=，解得m =2. 故答案为：223．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面．给出下列三个命题： ①如果m ∥n ，m ⊥α，那么n ⊥α； ②如果m ⊥α，m ⊥β，那么α//β； ③如果α⊥β，m ∥β，那么m ⊥α． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】①②【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由线面垂直的性质可判断②；由面面垂直的性质可判断③【详解】解：对于①，由m ∥n ，m ⊥α，可得n ⊥α，所以①正确； 对于②，由m ⊥α，m ⊥β，可得α//β，所以②正确；对于③，由α⊥β，m ∥β，可得直线m 与平面α可平行，可能相交但不垂直，可能垂直，还有可能直线m 在平面α内，所以③错误， 故答案为：①② 三、双空题24．已知函数1()f x x x=+，则f (x )是________函数（填“奇”或“偶”）；f (x )在区间（0，＋∞）上的最小值是________． 【答案】奇 2【分析】根据奇函数定义判断函数奇偶性；利用基本不等关系求得最小值.【详解】由题知，1()()f x x f x x-=--=-，故()f x 是奇函数；(0,)x ∈+∞时，1()2f x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 则()f x 的最小值为2. 故答案为：奇；2. 四、解答题25．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）写出f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（1）2π ；（2）最小值为． 【分析】（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得最值.【详解】解：（1）f (x )的最小正周期为2π． （2）因为02x π， 所以444x πππ--．所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当44x ππ-=-，即x ＝0时，f (x )取得最小值当44x ππ-=，即2x π=时，f (x )所以f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为26．阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）求f （－2）与f （2）的值； （2）求f (x )的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f （2）＝ ② ． （2）因为x ≤0时，有f (x )＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f (x )在(,0]-∞上的最大值为 ③ ．又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且 ④ ，所以f (x )在（0，＋∞）上的最大值为1． 综上，f (x )的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”）．【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ． 【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3． 又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且()11f =，所以()f x 在()0,∞+上的最大值为1． 综上，()f x 的最大值为3．27．如图，在三棱锥O －ABC 中，OA ，OB ，OC 两两互相垂直，OA ＝OB ，且D ，E ，F 分别为AC ，BC ，AB 的中点． （1）求证：DE ∕∕平面AOB ； （2）求证：AB ⊥平面OCF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）D，E分别为AC，BC的中点，得DE AB∕∕，从而证明DE∕∕平面AOB；⊥，由题易（2）OA，OB，OC两两互相垂直，得：OC⊥平面AOB，从而得出OC AB ⊥从而证明AB⊥平面OCF．知AB OF【详解】解：（1）在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，所以DE∥AB．又因为DE⊄平面AOB，所以DE∥平面AOB．（2）因为OA＝OB，F为AB的中点，所以AB⊥OF．因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB．所以AB⊥OC．所以AB⊥平面OCF．28．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m（m为正整数）．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m-个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n次检测后，才能确定标记为“x”的人是唯一感染者．（1）写出n的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．n=；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39．【答案】（1）7【分析】（1）由图可计算得到n的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227n ∴=+++=；（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021+⨯=次检测即可；若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中； 此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919+⨯=次检测；∴此时两组共需21938⨯=次检测；∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测.综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。
2021年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2021年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷参考公式：锥体的体积公式13VSh =，其中S 为锥体的表面积，h 为锥体的高。
第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}{}1,0,2,0,1,2A B =-=，则A B =（A ）{}1,0,2-（B ）{}0,1,2（C ）{}1,0,1-（D ）{}1,0,1,2-【答案】D .【考点】集合运算。
【解析】∵A B 是集合A 与集合B 的所有元素构成的集合，故A B = {}1,0,1,2-。
（2）已知复数1234,23z i z i =-=-+，则12z z +=（A ）1i -（B ）5i -（C ）17i -（D ）5i+【答案】A .【考点】复数的四则运算。
【解析】由已知可得12z z +=()()()342332431i i i i -+-+=-+-+=-。
（3）函数()2log f x x =的定义域是（A ）()1,-+∞（B ）()0,+∞（C ）()1,+∞（D ）()2,+∞【答案】B .【考点】对数函数的定义域。
【解析】由对数函数的真数部分大于0可得()2log f x x =的定义域是()0,+∞.（4）下列函数中，在区间()0,+∞上单调递减的是（A ）2y x=（B ）y =（C ）2xy =（D ）12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D .【考点】函数的单调性。
【解析】幂函数y x α=在0α>时为增函数，由此易知2y x =和y =在()0,+∞单调递增。
指数函数x y a =，当1a >时为定义域上的增函数，当01a <<时为定义域上的减函数，由此可知2xy =在()0,+∞单调递增，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减。
（5）下列给点中，在函数()21x f x =-的图象上的点是（A ）()0,0（B ）()0,1（C ）()1,0（D ）()1,2【答案】A .【考点】函数图象与函数方程的关系。
2020北京第一次普通高中学业水平合格性考试数学
2020北京第一次普通高中学业水平合格性考试数 学参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.第一部分 选择题（每小题分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合{}123A =，，，{}345B =，，，那么集合A B 等于A. ∅B ．{}3C ．{}1,2,4,5D ．{}1,2,3,4,52. 函数()f x = A.(,1]-∞B. [0,)+∞C. [1,)+∞D. R3. 如果指数函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)的图象经过点(2,4)，那么a 的值是B ．2C ．3D ．44.将函数sin y x =的图象向右平移π3个单位，所得图象对应的函数表达式是 A ．πsin()3y x =-B. πsin()3y x =+C. πcos()3y x =-D. πcos()3y x =+5. 在平行四边形ABCD 中，AB AD +等于 A ．ACB ．BDC ．BCD ．CD6.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴3V Sh =S h 3重合，终边经过点(3,4)P ，那么sin α的值是A ．35B ．34C ．45D ．437.已知向量1(1,)2=-a ，(2,)m =b ，且ab ，那么实数m 的值是A ．1-B ．12-C ．12D ．18.已知直线11:2l y x =，2:2l y ax =+，且12l l ⊥，那么实数a 的值是A. 2-B. 12-C. 12D. 29. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，BC ，CD ，1CC 所在的直线中，与直线1BC 成异面直线的是A. 直线ABB. 直线BCC. 直线CDD. 直线1CC10. 计算12216log 4+的结果是 A. 6B. 7C. 8D. 1011.在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》、《我爱你，中国》、《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查. 该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人. 现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为A ．30B ．31C ．32D ．3312.计算5πtan4的结果是A. 1-B.D. 113. 某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是 A. 14B. 13C. 12D. 3414.计算cos69cos24sin69sin24︒︒+︒︒的结果是 A. 12B.2D. 115. 经过点(1,0)，且斜率为2的直线的方程是 A. 220x y -+= B. 220x y --= C. 210x y -+=D. 210x y --=16. 已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，a 与b 夹角为30︒，那么⋅a b 等于 A. 1-D. 217. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，12A A AB AC ===，那么三棱锥1A ABC -的体积是A. 43B. 83C. 4D. 818. 已知ABC △中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，AC BC 等于 A. 1C. 2D. 419. 函数2()log 2f x x =-的零点的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 320. 已知两条直线m ，n 和平面α，那么下列命题中正确的是A. 若m α⊥，n α⊥，则mnB ．若m α，n α，则m nC ．若m n ⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若mn ，n α，则m α⊥21. 如图，给出了偶函数()f x 的部分图象，那么(2)f 等于 A. 3-B. 1-C. 1D. 322.圆221x y +=的圆心到直线20x y -+=的距离是C. 2D. 23. 已知直线l 经过(1,0)-，两点，那么直线l 的倾斜角的大小是 A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒24. 圆22(1)1x y +-=与圆22(1)1x y -+=的公共点的个数是A. 0B. 1C. 2D. 325.已知函数,0,()1,0.x x f x x x⎧⎪=⎨<⎪⎩≥ 如果()2f m =-，那么实数m 的值是A. 8-B. 2-C. 12-D. 126. 如果函数2()2f x x ax =-在区间[0,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是A. (,0]-∞B. (1,0]-C. (0,1]D. [0,)+∞27. 2007年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃煤、工业、扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施. 2008年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效果. 2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《2013-2017年清洁空气行动计划》，治理成效显著.上图是2000年至2018年可吸入颗粒物、细颗粒物、二氧化氮、二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是 A. 2013年到2018年，空气中可吸入颗粒物的年日均值逐年下降 B. 2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降C. 2000年到2018年，空气中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米D. 2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年第二部分 解答题(共19分)28．（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()cos f x x x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]6π-π上的最大值．”该同学解答过程如下：29. （本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，并回答问题.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，E ，F 分别是棱BC ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF平面PAB ；（Ⅰ）求证：EF BC ⊥．解答：（Ⅰ）证明：在PBC △中，因为 E ，F 分别是BC ，PC 的中点， 所以 EFPB ．因为 EF ⊄平面PAB ,PB ⊂平面PAB , 所以 EF平面PAB ．（Ⅰ）证明：在三棱锥P ABC -中，因为 PA ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以 ___．因为 AB BC ⊥，且PA AB A =，所以 ___．因为 PB ⊂平面PAB ， 所以 ___． 由（Ⅰ）知EFPB ，所以 EF BC ⊥．问题1：在（Ⅰ）的证明过程中，证明的思路是先证___，再证___．问题2：在（Ⅰ）的证明过程中，设置了三个空格. 请从下面给出的四个选项中,为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.①PA BC ⊥； ②PA AC ⊥； ③BC ⊥平面PAB ； ④BC PB ⊥．30. （本小题满分5分）已知圆C 的圆心坐标为(2,0)，且与y 轴相切，直线:4l y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，求||MN . 某同学的解答过程如下：（Ⅰ）指出上述解答过程中的错误之处； （Ⅰ）写出正确的解答过程.31. （本小题满分4分）2019年1月11日下午，探月工程传来捷报，嫦娥四号任务取得圆满成功，在人类历史上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘察，首次实现了月球背面与地球的测控通信，在月球背面留下了人类探月的第一行足迹，开启了人类探索宇宙奥秘的新篇章.某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣. 通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V （单位: 千米/秒）满足lnm MV W M+=，其中W （单位: 千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，m （单位：吨）表示它装载的燃料质量，M （单位：吨）表示它自身的质量（不包括燃料质量）.（Ⅰ）某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒. 当它装载100吨燃料时，求该单级火箭的最大速度；（精确到0.1）（Ⅰ）根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9. 如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由. （参考数据：无理数e 2.71828=⋅⋅⋅，ln3 1.10≈）。
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学含答案
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（答案在最后）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.24.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,25.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C .关于y 轴对称D.关于直线y x =对称8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.1610.已知函数(),01,0x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+ B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6C.3π4D.5π615.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.316.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.1618.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.219.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项① A.R B.()(),00,∞-+∞U ② A.()fx - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=-.故选：D.3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =，即函数()()21f x x x =+的零点为0，故选：B4.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,2【答案】C 【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴-=-.故选：C.5.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<-或1x >，所以原不等式的解集为{1x x <-或1}x >.故选：D6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =-互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称.故选：B.8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时，a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=.故选：A.10.已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x=>，故由()02f x =，得001122,x x =∴=，故选：A11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===，由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +-+-===-⨯⨯,而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =-+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =-在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%【答案】B 【解析】【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，中位数为40.3%40.6%40.45%2+=.故选：B14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6 C.3π4D.5π6【答案】C 【解析】【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=- ,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4.故选：C.15.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x -≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .故选：D.18.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=，故选：C19.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,【答案】C 【解析】【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =-，所以10a -≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a -=--=-∈-.故选：C.20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷= ,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650--=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．【答案】2【解析】【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.【答案】<【解析】【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b -<-，所以23a b -+<-+，即23a b -<-.故答案为：<23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.【答案】①.()0,1（答案不唯一）②.()0,2（答案不唯一）【解析】【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=r r r r可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=r r r r即可，如()()0,1,0,2b c ==r r ，此时b c≠r r 故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k=与()()1y g x x x ==+的交点个数即可.【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确；对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确；对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=，作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨-+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增，故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】25.π26.最大值为2，最小值为-2【解析】【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】由2π2ππ2T ω===，知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤，令2x θ=，则0πθ≤≤，函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1-＃，所以2()2f x -≤≤，即函数()f x 在π[0,2上的最大值为2，最小值为-2.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项①A.RB.()(),00,∞-+∞U ② A.()f x - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<【答案】ABABA 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22xxf x -=+的定义域为R ，故A 正确；②由于()2()2xx x x f f --=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x -<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴->，故A 正确.27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当1i =时，451,561,561,963-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当2i =时，341,853,451,891-=--=-=--=-，共三个1-，一个3；任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3，则13i i a a +-=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反；因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=-，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---，分三种情况：（i ）若11i i a a +-=-，且11i i b b +-=-，则10i i +∆∆=-；（ii ）若11i i a a +-=-，且13i i b b +=-，则14i i +∆-=-∆；（iii ）若13i i a a +-=，且11i i b b +-=-，则14i i +∆∆=-；均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”；类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”；所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3.其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c ->-=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c ->，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =--=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++-=-=-，则111,1k k k k a a b b ++-=--=-，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。
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2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.第一部分 选择题（每小题分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{}123A =，，，{}345B =，，，那么集合A B 等于A. ∅B ．{}3C ．{}1,2,4,5D ．{}1,2,3,4,52. 函数()1f x x =-的定义域是 A. (,1]-∞B. [0,)+∞C. [1,)+∞D. R3. 如果指数函数()x f x a =(0a >，且1a ≠)的图象经过点(2,4)，那么a 的值是 A.2 B ．2C ．3D ．44. 将函数sin y x =的图象向右平移π3个单位，所得图象对应的函数表达式是 A ．πsin()3y x =-B. πsin()3y x =+C. πcos()3y x =-D. πcos()3y x =+5. 在平行四边形ABCD 中，AB AD +等于A ．ACB ．BDC ．BCD ．CD6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P ，那么sin α的值是A ．35B ．34C ．45D ．437. 已知向量1(1,)2=-a ，(2,)m =b ，且ab ，那么实数m 的值是A ．1-B ．12-C ．12D ．113V Sh =S h 38. 已知直线11:2l y x =，2:2l y ax =+，且12l l ⊥，那么实数a 的值是 A.2-B. 12-C.12D. 29. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，BC ，CD ，1CC 所在的直线中，与直 线1BC 成异面直线的是A. 直线ABB. 直线BCC. 直线CDD. 直线1CC10. 计算12216log 4+的结果是A. 6B. 7C. 8D. 1011. 在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》、《我爱你，中国》、《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查. 该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人. 现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为A ．30B ．31C ．32D ．3312. 计算5πtan4的结果是 A.1-B. 22-C.22D. 113. 某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是A.14B.13C.12D.3414. 计算cos69cos24sin69sin24︒︒+︒︒的结果是A.12B.22C.32D. 115. 经过点(1,0)，且斜率为2的直线的方程是A. 220x y -+=B. 220x y --=C. 210x y -+=D. 210x y --=16. 已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，a 与b 夹角为30︒，那么⋅a b 等于A.1-B.2C. 3D.217. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，12A A AB AC ===，那么三棱锥1A ABC -的体积是A. 43B.83C.4D. 818. 已知ABC △中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，2AC =，那么BC 等于 A. 1B.3 C.2D.419. 函数2()log 2f x x =-的零点的个数是A. 0B. 1C.2D. 320. 已知两条直线m ，n 和平面α，那么下列命题中正确的是A. 若m α⊥，n α⊥，则m nB ．若m α，n α，则m nC ．若m n ⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若mn ，n α，则m α⊥21. 如图，给出了偶函数()f x 的部分图象，那么(2)f 等于A. 3-B.1-C. 1D. 322. 圆221x y +=的圆心到直线20x y -+=的距离是A.22B.2C.2 D. 2223. 已知直线l 经过(1,0)-，(0,3)两点，那么直线l 的倾斜角的大小是A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒24. 圆22(1)1x y +-=与圆22(1)1x y -+=的公共点的个数是A. 0B. 1C.2D. 325. 已知函数,0,()1,0.x x f x x x⎧⎪=⎨<⎪⎩≥ 如果()2f m =-，那么实数m 的值是A. 8-B.2-C. 12-D. 126. 如果函数2()2f x x ax =-在区间[0,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是A. (,0]-∞B. (1,0]-C. (0,1]D. [0,)+∞27. 2007年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃煤、工业、扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施. 2008年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效果. 2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《2013-2017年清洁空气行动计划》，治理成效显著.上图是2000年至2018年可吸入颗粒物、细颗粒物、二氧化氮、二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是A. 2013年到2018年，空气中可吸入颗粒物的年日均值逐年下降B. 2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降C. 2000年到2018年，空气中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米D. 2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年第二部分 解答题(共19分)28．（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()3sin cos f x x x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]6π-π上的最大值．”该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）因为 ()3sin cos f x x x =+，所以 31()2(sin cos )22f x x x =+ 2(sin cos cos sin )66x x ππ=+ π2sin()6x =+．所以 221T π==π． 所以 函数()f x 的最小正周期是2π．（Ⅱ）因为 6x π-π≤≤，所以 7066x π+≤≤π． 所以 当62x ππ+=时，函数πsin()6y x =+的最大值是1．所以 当3x π=时，函数()f x 的最大值是2． 写出该同学在解答过程中用到了下表中的哪些数学知识．(写出5个即可) 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念 2ααπ±π±，的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数sin cos tan y x y x y x ===，，的图象 三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间[02]π，上的性质同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间()22ππ-，上的性质两角差的余弦公式 函数sin()y A x+ωϕ=的实际意义 两角差的正弦、正切公式 两角和的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响阅读下面题目及其证明过程，并回答问题.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，E ，F 分别是棱BC ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF平面PAB ；（Ⅱ）求证：EF BC ⊥．解答：（Ⅰ）证明：在PBC △中，因为E ，F 分别是BC ，PC 的中点，所以 EFPB ．因为 EF ⊄平面PAB ,PB ⊂平面PAB , 所以 EF平面PAB ．（Ⅱ）证明：在三棱锥P ABC -中，因为PA ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以 ___．因为 AB BC ⊥，且PA AB A =，所以 ___． 因为PB ⊂平面PAB ，所以 ___． 由（Ⅰ）知EFPB ，所以 EF BC ⊥．问题1：在（Ⅰ）的证明过程中，证明的思路是先证___，再证___．问题2：在（Ⅱ）的证明过程中，设置了三个空格. 请从下面给出的四个选项中,为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.①PA BC ⊥； ②PA AC ⊥； ③BC ⊥平面PAB ； ④BC PB ⊥．已知圆C 的圆心坐标为(2,0)，且与y 轴相切，直线:4l y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，求||MN .某同学的解答过程如下：解答：因为 圆C 的圆心坐标为(2,0)，且与y 轴相切，所以 圆C 的半径是2.所以 圆C 的方程是22(2)4x y -+=.因为 直线:4l y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，联立方程组 22(2)4,4,x y y x ⎧-+=⎨=-+⎩ 解得 111,3,x y =⎧⎨=⎩ 或 225,1.x y =⎧⎨=-⎩ 不妨设 (1,3)M ，(5,1)N -，所以 22||(51)(13)42MN =-+--=.（Ⅰ）指出上述解答过程中的错误之处； （Ⅱ）写出正确的解答过程.31. （本小题满分4分）2019年1月11日下午，探月工程传来捷报，嫦娥四号任务取得圆满成功，在人类历史上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘察，首次实现了月球背面与地球的测控通信，在月球背面留下了人类探月的第一行足迹，开启了人类探索宇宙奥秘的新篇章. 某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣. 通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V （单位: 千米/秒）满足lnm MV W M+=，其中W （单位: 千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，m （单位：吨）表示它装载的燃料质量，M （单位：吨）表示它自身的质量（不包括燃料质量）.（Ⅰ）某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒. 当它装载100吨燃料时，求该单级火箭的最大速度；（精确到0.1）（Ⅱ）根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9. 如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由. （参考数据e 2.71828=⋅⋅⋅，ln3 1.10≈）。