直线与圆的综合

第7讲直线与圆综合题

直线与圆的位置关系是高考常考的知识内容

•对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它

们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题

(如类似阿氏圆一类问题)，体现用代数方

法研究几何问题的思想.对这类问题的考查，一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线及与点(直 线、圆)的位置关系判定问题等，解答此类问题，注重 圆的特征直角三角形”是关键.同时直线

与圆的综合问题还可能会考查轨迹问题(隐形圆)

、与直线、圆有关的定点定值及与圆有关的最值

问题等次类问题综合性较强，除了几何问题代数化，有时通过准确作图，充分挖掘几何图形中所 隐含的条件，利用几何知识也能使问题较为简捷地得到解决. 【自主热身、归纳提炼】

1.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x + 2y — 3= 0被圆(x — 2)2

+ (y + 1)2

= 4截得的弦长为 ____________ 解析圆心为(2 , — 1)，半径r = 2.

2.若直线3x - 4y -m = 0与圆x 2

y 2

2x -4y - 4=0始终有公共点，则实数

是 _________ .

解 因为(x+1)2

+(y —2)2

=1，所以由题意得：3*

4

沃

2

-W 1,化简得m — 5兰5即0打10.

5

3. ( 2017南京)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线ax + y — 2= 0与圆心为 C 的圆(x — 1)2

+ (y —

a )2= 16相交于A B 两点，且△ ABC 为直角三角形，则实数 a 的值是 _______________ .

解析 圆心C (1, a ),半径r =4,因为△ ABC 为直角三角形，

所以圆心C 到直线AB 的距离d =2j2，即=2屁 ，解得a =-1 .

7 a 2

+1

4.在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0 ( m R)相切的所

有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ____________ .

解析 由直线 mx- y — 2m- 1 = 0得n(x — 2) — (y + 1) = 0，故直线过点(2，— 1).

当切线与过(1，0)，(2，— 1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有 r = ,1+ 1= 2，

故所求圆的标准方程为(x — 1)2

+ y 2

= 2.

5. ( 2017 •苏北四市)已知A,B 是圆C 1： x 2

y 2

=1上的动点，AB 二门，P 是圆

圆心到直线的距离

|2 + 2；：； — 1

/+ 4

—3|

m 的取值范围

所以弦长为

5 ，

C2 ： (x -3)2■ (y -4)2=1 上的动点，则"P A "PB的取值范围为

解析 将问题特殊化，所求问题与两圆的具体位置无关，只与其相对位置有关,

故问题可转化为圆 G : x 2

y 2

=1与C 2, ： (x -5)2 • y 2

S'lAfexct 咚wfP 疋岌址=帀孑方厂■豈竽凹詔 当月心r~wy er 4瘩时"二"就匚 朵询呻

解那：边L 幾：吐寸邸=0「列劫賣践曲胆叙二

A 6

=审普［宀s 令X 枇硝护呷. 汕 甲L 禺时也谕节幽即操危呵匙建羸启总叭 呦网 甫缶z 幷狡简推*

变式i (动圆)

(2017 苏大信息卷)已知直线 I : x 3y ^0 ,圆 C ： x 2

• y 2

-2ax-2ay =1-2a 2

(a ・0),

/中相应问题，这样易于解决

如图，当AB _x 轴，且AB 与点P 位于较近一侧时, 此时, PA PB =2 (5 =7

=2X (5+3)=13

max

2

同理，求得P

所以PA+PB 的取值范围为[7,13].

PB x 2

y 2 =1求两圆上的两点间距离的范围） 【典例探究、形成方法】 直线与圆相交中的面积问题 例1 （动直线）

动直线y =k （x —、.2）与曲线y = 1 _x 2相交于 A ，B 两点, 得最大值时，k 的值为 ____________ .

解析1易得直线y = k （x - . 2）过定点C G. 2, 0）,

曲线y 二1「X 2表示圆X 2 ■ y 2 = 1的上半圆，

1 兀

S AOB OA OB sinAOB ，当一 AOB 时，

： 2 2

O 为坐标原点，当：AOB 的面积取

AOB 的面积取得最大值，如图作OH — AB ，在R AB 中，A ^ ＜：'AO 2 BO 2二空2，

则OH ，又在Rt OHC 中,

—

兀

0C = 2，所以 OCH 二；,

6

小 兀 5兀 贝V k = tan( ) = tan - =

6 6

x

PA PB 取得最小值,

或设设AB 的中点为M 3

，故答案为

3

过原点的直线l i与直线|垂直，l i与圆C交于M N两点，则当△ CMN勺面积最大时，圆心C 的坐标为_______________ .

解析圆C (x—a $ +(y —a 2 =1，直线h：3x —y=0，当CMLCN时，△ CMN勺面积最大，此时C到I i的距离为返，则里g =亚,a=^，圆心C (逅,—).

2 ^0 2 2 2 2

变式2(动直线+动圆)

在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C : x2 y^2m^ -4y 52-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A,B两点，若△ ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围

为__________ .

解析圆的标准方程为(x-m)2• (y - 2)2 = 32，则圆心C(m,2)，半径r =4.2 ,

1 2

S r sin. ACB =16 sin. ACB，当 / ACB= 90°寸S 取最大值16 ,

2

此时△ ABC为等腰直角三角形，AB » 2r =8，则C到AB距离=4,所以4W PC ：：： 4、2 ,

即4< x (m-3)222 :: 4、2，所以16< (m -3)2 22：：32，即12< (m -3)2：： 28 ,

解得3 2. 3< m ：： 3 2 .7 或3-2.7 :: m< 3 - 2,

因为点P(3,0)在圆C : x2 y2「2mx「4y m2-28 = 0 内,

所以PC = .(m -3)222：：4,2，即(m -3)2：： 28，即一2 . 7 ：： m - 3 ：： 2. 7 . 定点、定值及恒成立问题