量子力学导论第8章答案

第八章 自旋
8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。

解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：x
σ
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=0110 设x σ的本征矢（在z σ表象中）为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛b a ，则有⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a λ0110
可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。

,1=λ 则;
b a = ,1-=λ 则b a -=
利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为
,1=λ
;1121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,1-=λ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-1121 。

8.2) 在z σ表象中，求n ⋅σ的本征态，()ϕϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin n
是()ϕθ,方向的单位矢.
解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为
x σ
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=0110， y σ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=00
i i ， z
σ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=1001
（1） 因此， z z y y x x n n n n n σσσσσ++=⋅=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
-+-=-θθθθ
ϕϕ
cos sin sin cos i i z y x
y x z e
e
n in
n in n n （2）
设n σ的本征函数表示为Φ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=b a ，本征值为λ，则本征方程为
()0=-φλσn
，即 0cos sin sin cos =⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----b a e e
i i λθθθλ
θϕ
ϕ
（3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。

对于1=λ，代回（3）式，可得
x
y x y x x i i n in n in n n e e
b a
--=++==-=--112sin 2cos cos 1sin ϕϕ
θθ
θθ
归一化本征函数用()ϕθ,表示，通常取为
()⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=ϕ
θθ
ϕθφi e 2sin 2cos ,1或⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-222sin 2cos ϕ
ϕ
θθi i e e （4）
后者形式上更加对称，它和前者相差因子2
ϕi e
-，并无实质差别。

若用n
的直角坐标分量来表示，可以取为
()
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=
y
x z z in n n n n 11211φ或()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---z
y x z n in n n 1121
（4’） 如1±≠z n ，二者等价（仅有相因子的差别）。

若()1,0,0=n ，应取前者；若()1,0,0-=n
，应取后者。

对于,1-=λ类似地可以求得
x y x y x x i i n in n in n n e e
b
a +--
=+--=-=--=--112
cos 2sin sin cos 1ϕϕ
θθ
θ
θ ()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=
-ϕ
θθ
ϕθφi e 2cos 2sin ,1或⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--222cos 2sin ϕ
ϕ
θθi i e e （5） 或 ()
()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=
-z y x z n in n n n 1121
1φ或
()()⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛+---y x z z in n n n 1121
（5’） 若()1,0,0=n ，取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-101φ; 若()1,0,0-=n
，取⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-011φ。

8.3) 在z s 本征态()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=012
1z s χ下，求()2
x s ∆和()2
y s ∆。

解：()2
x s ∆()
2
2
2
x x x
x s s s s -=-=
但 42
2
=x s （常数矩阵），
()0010110
01
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=
x s ， ∴ ()
2
x s ∆42
=，类似有()2
y s ∆42
=。

8.4) （a ）在z s 本征态2
1χ下，求n ⋅σ的可能测值及相应的几率。

（b ）同第2题，若电子处
于1+=⋅n σ的自旋态下，求σ的各分量的可能测值及相应的几率以及σ的平均值。

解：（a ）利用8.2）题求得n σ的本征函数，容易求出：在自旋态⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=012
1χ中，1=n σ的几率为 ()z n +=
=12
12
cos
2
2
2
1
1θ
χφ （1）
1-=n σ的几率为
()z n -=
=-12
12
s i n
2
2
2
1
1θ
χφ （2）
（b ）在自旋态1φ()1=n σ态，1=z
σ
的几率为
()z n +=
=12
12
cos
2
2
1
2
1θ
φχ （3）
1-=z σ的几率为：
()z n -=
=--12
12
s i n
2
2
1
2
1θ
φχ （4）
z
σ
()()()z z z n n n =
-⋅-+⋅+=112
1
112
1
[或 z
σ
()z n ==-=-⨯+⨯=θθ
θ
θ
θ
c o s 2
s i n
2
c o s
12
s i n
12
c o s
2
2
2
2
（5’）]
考虑到 z z y y x x n n n n σσσσ++=，
σ各分量以及n
各分量在n σ的构造中地位对称，所以利用式（3）、（4）、（5），作z y x ,,轮换，就可推论出以下各点：
1±=x
σ
的几率为
()x n ±12
1， （6）
x x n =σ （7） 1±=y
σ
的几率为
()y
n ±12
1 （8）
y y
n =σ
（9）
将式（5）、（7）、（9）合并写成矢量形式如下：
自旋态1φ()1=n σ中， n = （10）
类似地，容易算出：自旋态1-φ()1-=n σ中， n -= （11）
解二：（a ）在1=z σ自旋态2
1χ中，n σ的可能测值为本征值;1±设相应的几率为+w 及-w ，则
()-+-+-=-⨯+⨯=w w w w n 11σ （12）
由于 z z y y x x n n n n σσσσ++= （13） 考虑到在z
σ
的本征态中x
σ
和y
σ
的平均值为0，z
σ
的平均值即为其本征值，因此在2
1χ态下，
θσσcos 1==⋅==z z z z n n n n （14）
由式（12）、（14），并利用1=+-+w w ，就可求出
()z n w +=
+12
1，
()z n w -=
-12
1 （15）
此即解一中的式（1）、（2）。

（b ）在式（14）中，θ是z 轴和n 的夹角。

z 轴和n 的选取是任意的。

完全可以将原来的z 轴作为新的n
轴，而原来的n
取作新的z 轴。

由此可知：在1=n σ的自旋态中，z σ的平均值仍为θcos ，即z n 。

再令z y x ,,轮换，
即得自旋态1φ()1=n σn = （10）
在1φ态下σ各分量的取值大部分当然均为1±，其几率也可估照（a ）中计算而写出，即
1±=x
σ的几率为()x n ±121 （6）
1±=y
σ
的几率为
()y
n ±121 （8）
1±=z σ的几率为
()z n ±12
1 （3，4）
8.5) 证明y x
i x i z
z
e
e σλσ
λσλσ
λσ
⋅-⋅=-2sin 2cos （λ为常数）[量Ⅱ]
8.7）由两个非全同粒子（自旋均为2
）组成的体系，设粒子间相互作用表为21s s A H ⋅= （不考虑轨迹运动）。

设初始时刻（0=t ）粒子1自旋“向上”()211=z s ，粒子2自旋“向下”()212-=z s 。

求时刻()0>t 时，
(a) 粒子1自旋向上的几率（答：()2cos
2
At ，取1= ）
(b) 粒子1和2的自旋向上的几率（答：0） (c) 总自旋s=0和1的几率（答：都是21）
(d) 求和的平均值（答：02211====y x y x s s s s ，At s z cos 2
11=，At s z cos 2
12-
=）。

解：从求体系的自旋波函数入手，由于
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⋅=232221s A s s A H （1）
易见总自旋s 是守恒量，所以定态波函数可以选为2
s 、z s 的共同本征函数，按照总自旋量子数s 的不同取值，本征函数和能级为
⎭
⎬⎫
-====43,
,
0,4,
,100011A E s A E s s
M χχ （2）
0=t 时，体系的自旋态为
()()()()00102
1210χχβαχ+=
= （3）
因此，0>t 时波函数为
()t
iE t
iE e
e
t 0100102
12
1--+
=
χχχ （4）
即 ()()()()()[]()()()()[]34
21212
121212
1i A i A t e e t αββααββαχ-+
+=
-
()()()()42sin 212cos 21iAt e At i At ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=αββα （4’） (a ）由式（4’）可知，在时刻t ，粒子1自旋“向上”［同时粒子2自旋“向下”，相当于()()21βα项］的几率为⎪⎭
⎫
⎝⎛2cos 2
At 。

(b)粒子1和2自旋均“向上”［相应于()()21αα，式（4’）中没有这种项］的几率为0。

这是容易理解的。

因为总自旋z s 为守恒量，而体系初态0=z s ，所以任何时刻z s 必为0，不可能出现两个粒子均“向上”()1=z s 的情形。

(c)由式（4）可知，总自旋量子数s 取1和0的几率相等，各为21。

由于2
s 守恒，这个几率不随时间改变 (d)利用式（4’）容易算出1s 和2s 的平均值为
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎬⎫
-=-==⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=
====
cos 21,cos 212sin 2cos 21 ,01222
12211。

At s s At At At s s s s s t
z
t
z
t
z t
y
t x
t y t
x （5）。