级数求和的常用方法.docx

1.7 方程式法 (3)1.8 原级数转化为子序列求和 (3)1.9 数项级数化为函数项级数求和 (3)1.10 化数项级数为积分函数求原级数和 (4)1.11 三角型数项级数转化为复数系级数 (4)1.12 构造函数计算级数和 (5)1.13 级数讨论其子序列 (5)1.14 裂项法求级数和 (6)1.15 裂项+分拆组合法 (7)1.16 夹逼法求解级数和 (7)2 函数项级数求和 (8)2.1 方程式法 (8)2.2 积分型级数求和 (8)2.3 逐项求导求级数和 (9)2.4 逐项积分求级数和 (9)2.5 将原级数分解转化为已知级数 (10)2.6 利用傅里叶级数求级数和 (10)2.7 三角级数对应复数求级数和 (11)2.8 利用三角公式化简级数 (12)2.9 针对2.7 的延伸 (12)2.10 添加项处理系数 (12)2.11 应用留数定理计算级数和 (13)2.12 利用Beta 函数求级数和 (14)参考文献 (15)级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性•1数项级数求和1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和.s=naι n(^d= n(ai,其中a1为首项，d为公差12 2证明：s=a∣ +a2+...+a n①，s=a n+...+a2+a1②①+②得：2s=(a a n)+ a2+a n-1 +...+(a n+a1)因为等差级数a1■ a n=...=a n+a1所以S = n(a1∙ an)此证明可导出一个方法“首尾相加法”见 1.2.21.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和.例1：求C n l■ 3c1■ 5C n... (2n ∙ 1)c：.解：C0■ 3C n ■ 5c2... ■ (2n 1)c∩，s = (2n∙ 1)c：^ ...5C n '3c∩' C n ,两式相加得：2s=(2n 2)(C∩ ...c2C n C∩^(Π 1) 2n 1,即：c0 3c1 5c∏ ... (2Π 1)C∏=(Π 1)2n.1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.当q=1，s ^na j当q ≠ 1，s=a(I L),其中印为首项，q为公比.1-q证明：当q=1 ,易得s=na1，当q ≠ 1, s=a1 +a1q1+...+a1q n4①，qs=a1q+a1q2+...+a1q n②，①-②得(^q)^a^a I q n.可以导出一种方法“错位相减”见下 1.41.4错位相减法此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比 为等差或等比级数求和例2：计算2；「. 解： S 冷22》…彎①,2s=1∣ J2'.笋②，②-①得：1 1C〃丄;2k-1 」2k —1,丄」 2 2n — 1 彳丄 2n ' 2n 一11 2n-1s=2s - s=1 百 kI kn 1 —2n3石 —， 心 2kJLy2k2k 2nI 12n2心2nIim S=3.n—二1.5蕴含型级数相消法此类型级数本身各项之间有蕴含关系， 通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项， 从而化简级数求和.n例 3:计算 V ('一i -2、、i 1 ■ ■ 6).i 1解：将各项展开可得: S =(1 -2丿2 " J 3) ( .2 -24) ■... (. n -2 ■ 2 n . n) ■ ( . n _1 . .2 . 1) ∙ (”f n - 2 . n ■ 1~4n - 2)1.6有理化法求级数和对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理, 以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和 .QQ例 4：计算 n …(n —1)( n； nF解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项 _______ 1 rlJ n(n +1)(亦 + J n +1)级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为1.1.7方程式法此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和 .准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才 能求出级数和.例 5:计算 q cos0+q 2 cos20+...+q n cosn 日，其中 q 弋1 .q ,再与原级数四则运算后化=1 -、一2-、而+、、n 2.2 所以 Iim S = 1-/2 .对其分母有理化得: __TJn +1 _需1..n(n 1)(n J n 1) 分母有理化 --,则原级数可以采用本文中的X n(n 1) 、n n 1 1.5 “蕴含型1n解：记 s=q cos τ∣ q 2 cos2j ... q n cos n ：I= ' q k coskτ∣k=1两边同时乘以2q cosr 得nn2q cosT ∙s=f 2q k+1 COS nCOSk 于 二 q k+1 ∣cos(k +1 ) +cos ( k -1) «.∣k=1k=1即：2q cos0∙s= (q n+1cos(n+1) β +s —q cos ∈∣)+(q 2+q 2s —q n 甩 CoSn ∈∣)解此方程得：_ q nq2cosn 日-q n ^cos(π +1^ +qcos 日-q 2 S= 2 1 +q -2qcos 日1.8原级数转化为子序列求和若下列条件成立⑴：(1)当n 「：时级数的通项a n > 0 (2)级数各项没有破坏次序的情况而得QQ新序列J bn 收敛于原级数n 4例 6：计算1+1+( 3-1)+4+1+( 1-1)+丄+1 1 1解：；Iim a n =0 ,应用欧拉公式1+ + ■... ■= c ln n ∙ e n ,其中C 为欧拉常数，n二 2 3 nZ 、彳 1 1 1 d 1 1 e n — 0(’)s=1+ +—+…+-1- — -...-- 2 33n 2 n= ln3n-lnn ■ e 3n - e n ， Iim S = In3. n字1.9数项级数化为函数项级数求和数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相 应原级数的和.例7:求级数和—n # 1 *3 ∙5 ∙...( 2n-1)o0IS(X)=V 1 x 2n4由函数敛散性知识可知其收敛域为n/ ∙3∙5 ・...(2n-1)Iim S 二qcos^ -q 21 q 2-2qcos^1 19-3解：建立函数项级数1S(X) -xs(x) =1 ,且易知S(O)=0，解此常微分方程得:(-==),将函数项级数逐项求导可得:OaS(X)= 1 'n#12n -2X1 *3 ∙5 *...((2n-3Ocl 1 X Xn^ 1 *3 ∙5 ∙...((2n-1x 2n4 =1 xs(x)， 由此可知s( x)满足微分方程1解：记S —7 n +k1*n1dx1 + x=In2 . 1.11三角型数项级数转化为复数系级数将三角型数项级数转化为复数域上的级数， 由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数 系级数进而求原级数和.例9⑺: 设 S = q cosO +q 2 cos20 +... +q n cosn8 ,求 S .n解：由于 S =二 q k coskv ,令 z = qe i r = q(cosv is in V)为复数，其中 k = 0,1,2...k 吕 Z k =q k e ik =q k (cosk v i Sink^),其中 k =1,2.∙∙,得: z n1 1 -znz k =1+z Z 2 ... z n =1 q(cos^ isin 寸) q 2(cos2^ isin2丁)+k =0q 3(cos3^ isin3R+...+q n (cosisinn 1) =I qCOSr q 2cos2v q 3cos3v...+q n cosnτl i(qSin τl q 2 Sin 2二...q n Sinnr )而另一方面1-z n 1 1「q n 1(cos(n+1) i sin(n+1) ) _ 1---- ----------------------- ----------1 -Z1 -q(cos^ isin^) 1-2qcos^ q 2{ 1 —qcos 日-q nd1cos(n 十1)日 +q nd2 cos(n 十1)日 CoS 日 +q n ^Sin(n 十 1)Tsin 日1 +i Il qSin 丁 - q n 2cos(n 1) Sin V - q n 1 sin(n 1户 q n 2sin(n 1户 CoS j }取实部对应原级数和即得：1 1-2q C0S 丁 '(1 _q CoSV - q n 1 cos(n 1户'q n 2 cosn^)即:1 1-2q CoSd q 2(1 -qcosv -q n 1 cos(n 1尸 q n1cos-1 2qcos^-q 2)2当L ,且q<1时呀=普皑1χ2x 丄t 2 人、 、 2 1 It 2S(X) =e 2 O e 2 dt ,令X =1则可以求出原级数和：s = e 2 Q e 2dt .1.10 化数项级数为积分函数求原级数和将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造 积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将 n 与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与 积分式子的桥梁•例8:计算Jk 4分子分母同时除以n 构造分割1.12 构造函数计算级数和将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统 一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数， 选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法例10⑺：请计算下面的级数式子：记S= (1-t ) (- 2 > +t +1 t+1 t 3+1解：构造函数式子：e^x1f(X)Sej U 此函数在单调递减.ed(1 e )A --由于 0 R d X 「0 -T^d --In(I e WE ，令 h - -I nt ,满足 ItimItim ln t =01 —e 山吆1 —e 山∙⅛ e 」Iim h' f (kh) =Iim h' f(kh) X dx = I n2. h 0 h k 吕 h 0 h 心OeI1.13级数讨论其子序列引理⑴：数列｛S n ｝收敛的充分必要条件是｛ξ1｝的任一子序列都收敛且有相同的极限.特别的：数列 ｛S n ｝收敛于S 的充分必要条件是两个互补的子列｛S 2n ｝ , ｛S 2n4｝,收敛于同一极限.推广可得：定理[1]:若 级数J a n 通项满足当n 时，a n > 0 (收敛判别的必要条件)，J a n 收敛于S 的充分必要条件是: n 壬 n 二1 部分和｛S n ｝的一个子序列｛S np ｝收敛于S ,其中P 满足：P 是某个正整数P =1，2，,将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级数任意添加括号得到的级数和收敛于 原级数和原理，通过求各个子序列之和求解原级数和， 关键在于如何分解原级数为不同子序列， 然而 子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和 1.6的“原级数转化为子序列求和”是 不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例 题.2n 兀 O o CoS例11⑹：计算： 宀n& 2nt n t n 1...),其中 t > 1-.Inth1 -t =1「e1 -e1dLh ，t kInUk(e ) (e~lnt )k 1 .hke e 」k.1二 f(kh). 代入题目中的级数式子得:lim(1-t )( t 1-t t 2 t+1 t 2 1t 3 t 3 1 +t n t n- 1...) =(^2)=42nn:COS解：记S咅,由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛•按幅度角的讨论将级数分解为:心 2A ={ n ∣n=3k,k=0,1,2...} ， A 2={n ∣n=3k+1,k=0,1,2 …} ， A 3 = {n ∣ n = 3k +2,k = 0,1,2 .・.}.2n 兀 2n 兀 2n 兀 2n兀 则： 各= 住 + £+n 3-r ∖ 1 1<Λl 1<Λl 1r ∖ 1 1n 卫 2 n ^A 2 n ∙iA?2 n ΞA32针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间相差一个相同的整数， 裂项后各 项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数， 其余新级数照此可 求出，从而原级数和可以求出. 裂项一般形式：11—( —-^^),此处 m n.(X m)(x+ n) n -m X m X n1n_(n 1)L( n 2) Oo=Σk =O2π J COS-■ 工+' cos(二+ )3 3k i ：；2Z 12π(1+ — cos ——2 3 1 kcos( i +))"(飞)3k=022nnCOS3 2n-1 例12：解：记a n_______ 1一 n ∣Jn 1)Jn 2)a n1 (n 1)( n 2)nI针对 1—同理采用裂项法记k±k (k +1)b n1 n(n 1) 1 1 n 11-丄则1=n n 1kd k(k 1)(1- 3)()+•••+(1-n1 1Iim lim[1- ] =1 ,所以n'zk(k 1) n 「 n 1nlim 'n — '' k 11k(k 1)(k 2) JIim 「[11]=2 —心 k(k 1) (k 1)(k2) 1 k(k 1)11.15 裂项+分拆组合法k 卫 2 k =O1.14 裂项法求级数和OO S 八n 4 裂项后后面项可以消去前面项部分1将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分拆重新组合级数，由新级数返回 求原级数和.□0例13：计算n.心(n+1)(n+2)( n+3)解：'n⅛ n⅛- n⅛ 1 n+1)爲)(n+3)NmN≡m=°'所以 N ms m N ^4⅛ ,即 nl,m-n m⅛2函数项级数求和函数项级数和依据未知数X 的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和 2.1 方程式法类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和 .23456例15：计算函数项级数 S(X^IX^^-^- ；'〒社 '...解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为::，3'X'I逐项求导得 S(X) =V X X 2...即：s '(x) =V XS(X)T s(0) =1 2OCi.∖ Σn An(n+1)( n+2)( n+3)J 「(丄—-23 n4 n+1 n +25 ::n+3ri(n+1)(n+2)(n+3)1(1 2)-5(1-1r 1 3 2 3 3 4 641.16 夹逼法求解级数和 在数学分析中运用夹逼法则求解极限, 原级数，最后两逼近级数和等于原级数和在求极限和中我们也可以借鉴此方法， 运用两个级数逼近例14⑹：设m 为一给定的正整数，求 1厂 2. m丄[丄•丄•丄丄2mm-1 m 1 m-2 m 2 -1 1 (^^ —1 ]1 2m 「1 n zm 1n m n)1 2m2m⅛-T丄丄丄N m 2mN 2m1V -2m 且 N-:时,N 2m N+1Hm^m N 厂 N +1=0,且3 4m 2X2解此微分方程得: X S(X) =e 2 ( 0e 上^2dt 1).m ： !；N — 22 n =1 mm- nm ：!Nm -1解： Sm N2 222n ±m学 m —n n =I m 一 n2.2 积分型级数求和积分型级数求和显然直接求和会带来困难， 通常积分也积不出来，所以要转化，将积分式子化简 是个想法，通过变量替换等积分技术化简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面 我们看个例题.(2k 1加-21 Sin x-cosx |[ e ==——dx.2k二 Si nx解：因为χw(2kιr,(2k+1)兀)，作变量替换x = 2k^+t 得:X t t(2k 1^e7 ∣sinx -cosx ∣dx =二「^ 2)∣sint —cost ∣dt =e 七'e二怡"cost |dt 叱 .si nx,si nt 一 0.sint再根据：4 |sint - cost I 4Sin 't 、e 2 dt - e 2( . sint)dt C 得: √si ntJSi nttt|sint -cost4 3Sint -cost ’丄 二 P Sin t - cost Ii∙ + dt = -"2 dt 匸e 2dt =ZSin tVSin t 4 ■. Sint丄 __ 二 J _______ _t ___ 二 J-2e 2 - Sint ∣Q 4 -2e 2 .sint ∖- = -2e 2Sint I Q 4 -2e 2 JSint 匸 4e 8 ；sintc = 248e 8442.3逐项求导求级数和根据幕级数逐项求导收敛半径不变原理， 对原级数逐项求导后化为一些易求和的幕级数， 再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。