4第三章 样本特征数1 体育统计学 教学课件
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该组数据的中位数在第三项与第四项之间， 故，即该组数据的中位数
X& =（10.68+10.84）/2=10.76m。
2020/6/17
b. 众数（mode）：样本观测值在频数分布表 中频数最多的那一组的组中值，一般记为X ˆ 。
求解一组数据的众数一般应先列出频数分布表 ，再依据众数定义求得。
c.几何平均数：是样本观测值的连乘积，并以 样本观测值的总数为次数开方求得。
n 1
二、 标准差的计算 a. 直接求法（n<45）
• 求出变量和 x 和变量平方和 x 2 。
• 根据标准差的计算式求得S，其计算式为：
s x2 x2 /n n1
2020/6/17
上式的推导过程为：
x x 2 x2 2 xx x 2
因为x
n
x
,
x 2=nx 2,所 以
x
x 2
x x
n
2020/6/17
b.简捷求法 当样本含量较大时，可借助频数分布表 来计算算术平均数。计算式为： x Ac A为假设平均数，C为偏差。
2020/6/17
求平均数的两个规则： 规则1：若每个原始观察值都加上或减去某一常数
T，可得到一组新数据 x1',x2 ',L ,xn ' ， 若以新
的数据求解原始观察值的平均数，则有：
0
0
0
6 9.0~ 26
9.15
1
26 26
7 9.3~ 12
9.45
2
24 48
8 9.6 ~ 4
9.75
3
12 36
9 9.9 ~ 3
10.05
4
12 48
10 10.2 ~ 1
10.35
5
5 25
∑
2020/6/17
Fra Baidu bibliotek
150
-26 402
求解步骤： • 计算组中值。 • 确定假设均数。可取任何一个常数，但为计算
x x' T 或x x' T
x 为原始观察值平均数，x ' 为新数据平均数
。
2020/6/17
规则2：若每个原始观察值都乘上或除以某一常 数T，可得到一组新数据 x1',x2 ',L ,xn ' ， 若 以新的数据求解原始观察值的平均数，则有：
x = x ' /T，或 x x 'T
例4：150名学生的60成绩（单位：s）的频数分 布表见表1，用简洁求法求其算术平均数。
采用简洁法求得的算术平均数有一定的偏差
，因为在计算过程中，以各组的组中值近 似地作为该组对象某指标的原始数据，但
偏差不大，且随着样本量的增大，精度会提高。
2020/6/17
第二节 离中位置量数
一、离中位置量数的概念和种类 • 概念
离中位置量数：描述一群性质相同的观察值的 离散程度的统计指标。 • 种类
第三章 样本特征数
2020/6/17
根据样本含量奇偶数情况，中位数的 计算需采用不同的计算法：
中位数的项数计算式为：
Om
n 1 2
当样本含量为奇数时，则位于中间的
数即中位数；当样本含量为偶数是，则
以中间两项的平均数为中位数。
2020/6/17
例1：（样本含量为奇数）
有7位运动员的纵跳成绩（单位：cm）为： 68.1 60.2 63.5 69.9 66.2 68.8 67.1，试求 该组数据的中位数。
求其绝对差。
2020/6/17
c.平均差：样本中所有观测值与平均数绝对差距 的平均数。求解公式为：
n
xi x
平均差= i1 n
求解上例中的平均差。
2020/6/17
d.方差：所有观测值与其均数的差的平方和的均 数，是统计中最常用、最重要的指标。求解公 式为：
2 x2
N
式中 2 为方差， 为总体均数，N为总体中的个 体数目。
2020/6/17
而在很多情况下只能用样本的均数和方差代替总 体均数和方差，因此公式变为：
s2 x x2
n 1 式中 S2 为样本方差，n-1为自由度。 方差能较全面地反映数据的离散程度。
2020/6/17
e. 标准差：为了统一单位，将方差开方，便得到标准 差。求解公式为：
s x x 2
常见的离中位置量数有：全距、绝对差、平均 差、方差和标准差。 a. 全距（Range）：即两极差，最大值与最小值
之差。求解公式为：Rxmaxxmin
全距容易受极值的影响。
2020/6/17
b.绝对差：所有样本观测值与其平均数的 绝对差之和。求解公式为：
n
绝对差xi x i1
例：有一批数据： 7，5，6，9，6，4，8，3
简便，选取频数最多组的组中值。本例取 A=8.85。 • 求组序差。组序差的的计算公式为：
d各组的组中值A I
d为组序差，I为组距。
• 求新变量的和：fd26
• 求新变量的平均数： x'' ffd1 5 20 60.173
2020/6/17
• 求原始变量的平均数
xAx''IA ffdI8.83s
x2 2 x 2 n
n
n
x
2
x2
x 2
n
2020/6/17
• 例：某班学生部分同学的铅球测试成绩 （单位：米）如下： 6.4，7.7，6.5，5.0，5.2，8.5，6.8， 6.6 求其标准差。
2020/6/17
b. 简捷求法（n≥45) 简捷求法需要将原始数据经过频数分布表整理 的情况下才能使用。其特点与算术平均数的求 法类同。
如果样本量较小，可以直接将连乘积开方；若
样本量nlg 较G 大，1 n则(lg 采x取1 对lg 数x2 方 法L计算lg：xn)
2020/6/17
例3：（求解几何平均数）
有3人的引体向上成绩（单位：次）为: 2 , 20 , 25 ，则其几何平均数为：
G32202510
2020/6/17
二、 算术平均数的计算 a. 直接求法 当样本含量是小样本时（n<45），可采 用算术平均数的数学定义式直接求解：
解：
Om
n1714 22
该组数据中的第四项为67.1cm， 即该组数据的中位数为67.1cm。
2020/6/17
例2：（样本含量为偶数）
有6位运动员的铅球成绩（单位：m）为： 10.20，10.35， 11.05， 10.84，10.68，10.92 ，试求该组数据的中位数。
解：Omn216213.5
2020/6/17
表1 150名学生60m跑成绩频数分布表
组序 组限 频数 组中值 组序差d fd fd2
号
（f）
1 7.5~ 2
7.65
-4
-8 32
2 7.8~ 8
7.95
-3
-24 72
3 8.1~ 21
8.25
-2
-42 84
4 8.4~ 31
8.55
-1
-31 31
5 8.7~ 42
8.85=A
X& =（10.68+10.84）/2=10.76m。
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b. 众数（mode）：样本观测值在频数分布表 中频数最多的那一组的组中值，一般记为X ˆ 。
求解一组数据的众数一般应先列出频数分布表 ，再依据众数定义求得。
c.几何平均数：是样本观测值的连乘积，并以 样本观测值的总数为次数开方求得。
n 1
二、 标准差的计算 a. 直接求法（n<45）
• 求出变量和 x 和变量平方和 x 2 。
• 根据标准差的计算式求得S，其计算式为：
s x2 x2 /n n1
2020/6/17
上式的推导过程为：
x x 2 x2 2 xx x 2
因为x
n
x
,
x 2=nx 2,所 以
x
x 2
x x
n
2020/6/17
b.简捷求法 当样本含量较大时，可借助频数分布表 来计算算术平均数。计算式为： x Ac A为假设平均数，C为偏差。
2020/6/17
求平均数的两个规则： 规则1：若每个原始观察值都加上或减去某一常数
T，可得到一组新数据 x1',x2 ',L ,xn ' ， 若以新
的数据求解原始观察值的平均数，则有：
0
0
0
6 9.0~ 26
9.15
1
26 26
7 9.3~ 12
9.45
2
24 48
8 9.6 ~ 4
9.75
3
12 36
9 9.9 ~ 3
10.05
4
12 48
10 10.2 ~ 1
10.35
5
5 25
∑
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Fra Baidu bibliotek
150
-26 402
求解步骤： • 计算组中值。 • 确定假设均数。可取任何一个常数，但为计算
x x' T 或x x' T
x 为原始观察值平均数，x ' 为新数据平均数
。
2020/6/17
规则2：若每个原始观察值都乘上或除以某一常 数T，可得到一组新数据 x1',x2 ',L ,xn ' ， 若 以新的数据求解原始观察值的平均数，则有：
x = x ' /T，或 x x 'T
例4：150名学生的60成绩（单位：s）的频数分 布表见表1，用简洁求法求其算术平均数。
采用简洁法求得的算术平均数有一定的偏差
，因为在计算过程中，以各组的组中值近 似地作为该组对象某指标的原始数据，但
偏差不大，且随着样本量的增大，精度会提高。
2020/6/17
第二节 离中位置量数
一、离中位置量数的概念和种类 • 概念
离中位置量数：描述一群性质相同的观察值的 离散程度的统计指标。 • 种类
第三章 样本特征数
2020/6/17
根据样本含量奇偶数情况，中位数的 计算需采用不同的计算法：
中位数的项数计算式为：
Om
n 1 2
当样本含量为奇数时，则位于中间的
数即中位数；当样本含量为偶数是，则
以中间两项的平均数为中位数。
2020/6/17
例1：（样本含量为奇数）
有7位运动员的纵跳成绩（单位：cm）为： 68.1 60.2 63.5 69.9 66.2 68.8 67.1，试求 该组数据的中位数。
求其绝对差。
2020/6/17
c.平均差：样本中所有观测值与平均数绝对差距 的平均数。求解公式为：
n
xi x
平均差= i1 n
求解上例中的平均差。
2020/6/17
d.方差：所有观测值与其均数的差的平方和的均 数，是统计中最常用、最重要的指标。求解公 式为：
2 x2
N
式中 2 为方差， 为总体均数，N为总体中的个 体数目。
2020/6/17
而在很多情况下只能用样本的均数和方差代替总 体均数和方差，因此公式变为：
s2 x x2
n 1 式中 S2 为样本方差，n-1为自由度。 方差能较全面地反映数据的离散程度。
2020/6/17
e. 标准差：为了统一单位，将方差开方，便得到标准 差。求解公式为：
s x x 2
常见的离中位置量数有：全距、绝对差、平均 差、方差和标准差。 a. 全距（Range）：即两极差，最大值与最小值
之差。求解公式为：Rxmaxxmin
全距容易受极值的影响。
2020/6/17
b.绝对差：所有样本观测值与其平均数的 绝对差之和。求解公式为：
n
绝对差xi x i1
例：有一批数据： 7，5，6，9，6，4，8，3
简便，选取频数最多组的组中值。本例取 A=8.85。 • 求组序差。组序差的的计算公式为：
d各组的组中值A I
d为组序差，I为组距。
• 求新变量的和：fd26
• 求新变量的平均数： x'' ffd1 5 20 60.173
2020/6/17
• 求原始变量的平均数
xAx''IA ffdI8.83s
x2 2 x 2 n
n
n
x
2
x2
x 2
n
2020/6/17
• 例：某班学生部分同学的铅球测试成绩 （单位：米）如下： 6.4，7.7，6.5，5.0，5.2，8.5，6.8， 6.6 求其标准差。
2020/6/17
b. 简捷求法（n≥45) 简捷求法需要将原始数据经过频数分布表整理 的情况下才能使用。其特点与算术平均数的求 法类同。
如果样本量较小，可以直接将连乘积开方；若
样本量nlg 较G 大，1 n则(lg 采x取1 对lg 数x2 方 法L计算lg：xn)
2020/6/17
例3：（求解几何平均数）
有3人的引体向上成绩（单位：次）为: 2 , 20 , 25 ，则其几何平均数为：
G32202510
2020/6/17
二、 算术平均数的计算 a. 直接求法 当样本含量是小样本时（n<45），可采 用算术平均数的数学定义式直接求解：
解：
Om
n1714 22
该组数据中的第四项为67.1cm， 即该组数据的中位数为67.1cm。
2020/6/17
例2：（样本含量为偶数）
有6位运动员的铅球成绩（单位：m）为： 10.20，10.35， 11.05， 10.84，10.68，10.92 ，试求该组数据的中位数。
解：Omn216213.5
2020/6/17
表1 150名学生60m跑成绩频数分布表
组序 组限 频数 组中值 组序差d fd fd2
号
（f）
1 7.5~ 2
7.65
-4
-8 32
2 7.8~ 8
7.95
-3
-24 72
3 8.1~ 21
8.25
-2
-42 84
4 8.4~ 31
8.55
-1
-31 31
5 8.7~ 42
8.85=A