第二次八校联考数学试卷(理)

鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中
荆州中学襄樊四中襄樊五中孝感高中
2011届高三第二次联考
数学试题（理科）
命题学校：黄冈中学命题人：张卫兵袁小幼
考试时间：2011年3月24日下午15 : 00〜17 : 00
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1 •若集合A=｛x| X = .：］x
2 -2,x R｝, B 二｛1,m｝，若A B，则m 的值为（）
C. -1 或2 D . 2或.2
2•设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a4 =9,a^11，则S9等于（）
A. 180 B . 90 C. 72 D. 10
3 .在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它
1
4个小长方形的面积和的―，且样本容量为100,则正中间的一组的频数为（
4
A. 80 B . 0.8 C . 20 D . 0.2
4.若满足条件C =60 ', AB =$3 , BC =a的ABC有两个，那么a的取值范围是
A
•
(1,.2)B・( .2, .3) C • (3,2)D• (1,2)
5 •复数2 - i与复数1在复平面上的对应点分别是A、B，则/ AOB等于
3 i
JI JI
A B. C.D.
6432
x _0
2 2
6.已知x, y满足约束条件3x，4y_4，则x y的最小值是（）
y -0
4 16 4
A .
B .
C .
D . 1
5 25 3
7 . 2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“ 0000
到
“9999共10000个号码•公司规定：凡卡号的后四位带有数字“ 6或“ 8的一律作为金兔
卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中金兔卡”的个数为（）
湖北省人校
A • 2000B• 4096 C • 5904 D • 8320
&有三个命题①函数 f (x) = In x • x「2的图像与x轴有2个交点；②函数y二x-1（x_0）
的反函数是y =(x _1)2(x _ _1)；③函数y 9-x 的图象关于目轴对称.其中
|x +4 | + | x _3|
真命题是( )
A .①③
B .②C.③ D .②③
9 •若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原
点，则OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是( )
A .点B.线段C.圆弧D.抛物线的一部分
10 .已知点G是ABC的重心，点P是：GBC内一点，若AP 二，AB …〔AC，则■ - 的
取值范围是( )
1
A . (一,1)
2B. (2,1)
3
C. (1,一)
2
D. (1,2)
二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上.)
11. _____________________________________________________________ 二项式(丄-2x2)9展开式中，除常数项外，各项系数的和为___________________________________ .
x
12.边长是2,2正三角形ABC内接于体积是4 3二的球0 ,则球面上的点到平面ABC的最大距离为
__________________ .
13•函数f (x) =cos Q「)(0厂：：：2二)，在区间(-二，二)上单调递增，则实数：的取值范围3为 ____________ .
2 2
14•已知过椭圆笃笃=1(a b 0)的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若a b AF =2FB，则椭圆的离心率是______________ .
15•在数学中所有”一词，叫做全称量词，用符号“一”表示；存在”一词，叫做存在量词，
2
x _ 3x 亠3
用符号"T ” 表示.设f(x)二------------------- (x 2) , g(x)二a x(a 1,x 2).①若
x—2
-i沧三(2,…)，使f (x0) = m成立，则实数m的取值范围为_______________________ ；②若一捲•(2, •：：) , X2 • (2,=)使得f (为)=g(X2),则实数a的取值范围
为 __________ .
三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
16.(本小题满分12分) 已知a =(cosx sin x,sin x) , b = (cosx -sin x,2cos x).
(I)求证：向量a与向量b不可能平行；
(n)若a b =1，且x.二［一恵,0］，求x的值.
17.(本小题满分12分)
已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查.
(I)若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；
(n)若男学生考前心理状态好的概率为0.6,女学生考前心理状态好的概率为0.5 , ■表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P「=1)及E ■.
18.(本小题满分12分)
如图所示，在正方体ABCD - A B1GD1 中，AB = a , E为棱AD r中点.
(I)求二面角E - AC -B的正切值；
(n)求直线AG到平面EAC的距离.
19.(本小题满分12分)
3 已知｛a n｝是正数组成的数列，其前n项和2S n "2 a n(n. N*)，数列｛g｝满足b =
2 ・N*).
6 i 3即(n
(I)求数列｛a n｝、｛b n｝的通项公式；
⑴若C nZn N*)，数列心的前n项和为T n，求n imT-.
20.(本小题满分13分)
若圆C过点M (0,1)且与直线I : y - -1相切，设圆心C的轨迹为曲线E , A、B为曲
线E上的两点，点P(0,t)(t 0)，且满足AP —PB(，1).
(I)求曲线E的方程；
1
(H)若t =6，直线AB的斜率为一,过A、B两点的圆N与抛物线在点A处有共同的
2
切线，求圆N的方程；
(川)分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q,若点Q恰好在直线l上，求
证：t与QA QB均为定值.
21.(本小题满分14分) 已知函数f (x) =ax • In x, a ：= R .
(I)当a = -1时，求f (x)的最大值；
(n)对f (x)图象上的任意不同两点P1(x1, y1) > P； (x2, y2)(0 ：： % ：： x2)，证明f (x)图象
上存在点F0(x o,y o)，满足为：：：x o ：：：X2，且f (x)图象上以F0为切点的切线与直线RF2平行；
(川)当a二时，设正项数列｛a n｝满足，a n1=f(a n)( n・N *)，若数列｛a^｝是递减数
2
列，求a1的取值范围.。