蔡氏混沌电路的分析与仿真

蔡氏混沌电路分析与仿真
1 蔡氏电路
混沌理论自20世纪70年代以来已成为许多不同学科领域的研究热点。

粗略地说，混沌是发生在确定性系统中的一种不确定行为，或类似随机的行为。

混沌运动是另一种非周期运动。

混沌的一个显著特点是：状态变量的波形对状态变量的初始值极为敏感，或者说初始值对波形有重大影响。

混沌现象广泛的存在于非线性电路中，其中比较典型并已得到深入研究的电路是二阶非自治铁磁谐振电路和称为蔡氏电路的三阶自治电路。

蔡氏电路是著名的非线性混沌电路，结构简单，但却出现双涡卷奇怪吸引子和极其丰富的混沌动力学行为。

近二十年来，通过人们对蔡氏电路的深入研究和探索，发现蔡氏电路呈现出丰富的混沌动力学行为，蔡氏电路已在保密通信领域获得了一定的应用。

蔡氏电路如图1所示，它是一个三阶自治电路，由两个线性电容、一个线性电感、一个线性电阻和一个电压控制型的非线性电阻元件构成。

非线性电阻的伏安特性如图2所示。

u C2
R
R
+
-
u
R 图1 蔡氏电路
R
图2 压控型非线性电阻伏安关系
2 基本分析
对图1所示蔡氏电路推导其状态方程，分别以u C1, u C2和i L为变量列写KCL和KVL方程，其方程组如下所示：
221
21
12
2
10
C C C L C C C R L C du u u C i dt R u u du C i R dt di u L dt -⎧+=⎪⎪⎪-⎪=+⎨
⎪⎪=-⎪⎪⎩
式中，i R = g(u R )。

整理上述各式，且令u C1=x, u C2=y, i L =z ，取电路中各参数的值为L=7/100 H, C 1=1/9 F, C 2=1 F, R 0=1 Ω, k 0= -8/7, k 1= -5/7。

方程可变换为标准的蔡氏方程，即为：
[()]dx
a y f x dt dy
x y z dt dz
by dt ⎧=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-⎪⎩
其中，
10101
01()...........(1)()............................(1)() (1)
m x m m x f x m x x m x m m x +-≥⎧⎪
=≤⎨⎪--≤-⎩
式中，a=9, b=100/7, m 0= -1/7, m 1=2/7。

3 计算机仿真
蔡氏电路的三个状态方程式在状态空间的三个子空间为
D 1= {(x, y, z) │ x ≥1} D 0= {(x, y, z) ││x │≤1} D -1= {(x, y, z) │ x ≤-1}
在状态空间的三个子空间内分别具有唯一平衡点，平衡点如下：
P + = (1.5, 0, -1.5) ∈ D 1 Q = (0, 0, 0) ∈ D 0 P - = (-1.5, 0, 1.5) ∈ D -1
对于平衡点P +和P -，两个平衡点具有相同的状态方程，其平衡点处的雅克比矩阵为：
18/7
901110100/70A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
利用Matlab 求解其相应的特征根，可以得到方程在平衡点P +和P -处的特征值为一个实
数值和一对共轭复数值。

其中一个实数值为：
3.9421P λ=-
而一对共轭复数值为：
0.1854 3.0470P P j j σω±=±
可见λP < 0，而σP >0。

对于平衡点Q ，则有：
9/7
901110100/70A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
在相应的平衡点Q 处的特性值也为一个实数值和一对共轭复数值。

其中实数值为：
0 2.2174λ=
而一对共轭复数值为：
000.9658 2.7112j j σω±=-±
可见λ0 > 0，而σ0 < 0。

因此，所有的平衡点P +、Q 、P - 均为鞍焦点。

取初始值为（0.025，-0.022，0.8），应用Matlab 进行仿真，其相图和时域波形图如下所示，Matlab 仿真程序见附录。

图3 蔡氏电路的各平面相图以及时域波形
4 结论
蔡氏电路所代表的非线性动力学系统的确是混沌系统。

该系统具有丰富的混沌动力学行为。

仿真结果验证了蔡氏电路在震荡过程中出现双涡卷混沌吸引子。

奇怪吸引子宏观景象上，在平衡点附近分别形成空洞，呈现出双涡卷混沌奇怪吸引子。

可以看出其双涡卷混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出彼此排斥的趋势，并以指数速率相互分离。

双涡卷混沌吸引子的轨线在特定的吸引域内具有遍历性和混合性。

蔡氏电路正确地揭示了自然界的一种工程物理现象的非线性机理。

由于非线性电路中混沌解的特殊性，分析研究混沌的方法主要有：（1）使用计算机对非线性电路进行数值计算，从得到的相图和时域波形等来判别混沌特征的信息；（2）对电路直
接进行实验，在实验中对混沌现象进行观察和分析。

利用系统平衡点处的线性化矩阵，可以定性分析系统的动力学行为，以便寻找能使系统产生混沌的参数。

参考文献
1.刘崇新, 非线性电路理论及应用（M）, 西安：西安交通大学出版社，2007.
2.邱关源, 电路（第5版）（M），高等教育出版社，2006.
附：MATLAB仿真程序
本Matlab仿真程序由一个主文件和两个函数文件构成，主文件内的程序如下：options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-4]);
[t,x]=ode45(@mysolve,[0 100],[0.025 -0.022 0.8],options);
subplot(2,3,1);plot(x(:,1),x(:,2));title('x-y平面相图');
subplot(2,3,2);plot(x(:,1),x(:,3));title('x-z平面相图');
subplot(2,3,3);plot(x(:,2),x(:,3));title('y-z平面相图');
subplot(2,3,4);plot(t,x(:,1));title('x时域波形');
subplot(2,3,5);plot(t,x(:,2));title('y时域波形');
subplot(2,3,6);plot(t,x(:,3));title('z时域波形');
两个函数文件内的程序如下：
function dx=mysolve(t,x)
a=9; b=100/7;
dx=zeros(3,1);
dx(1)=a*(x(2)-f(x(1)));
dx(2)=x(1)-x(2)+x(3);
dx(3)=-b*x(2);
end
function y=f(x)
m0=-1/7;
m1=2/7;
if x>=1
y=m1*x+(m0-m1);
else if x<=-1
y=m1*x-(m0-m1);
else
y=m0*x;
end
end
end。