高中数学凸函数在高考中的应用专题辅导

2、已知正实数 满足 ，求证：
提示：考查函数 。因 ，故该函数为下凸函数，利用下凸函数的琴生不等式可得。
设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任何 和实数 ，有 ，则称f(x)是D上的下凸函数。
设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任何 和实数 有 ，则称f(x)是D上的上凸函数。
（3）凸函数的切线定义（引自华东师大编写《数学分析》）：
设函数 在（a，b）内可导，若曲线 位于其每点处切线的上方，则称曲线是向下凸的；
A. 0B.1C. 2D. 3
分析：在凸函数的代数定义中，令 得到严格上凸函数的条件 ，本题考查的就是凸函数的定义，显然在以上四个函数中，只有 在（0，1）上是严格上凸的。
例2苏教版课本探究题（1）对于任意的 ，若函数 ，试比较 与 的大小关系；（2）对于任意的 ，若函数 ，试比较 与 的大小关系；
①如果函数f(x)在区间D上是上凸函数，则对于区间内的任意 ，有 ，当且仅当 时，等号成立。
②如果函数f(x)在区间上是下凸函数，则对于区间内的任意 ，有 ，当且仅当 时，等号成立。
在最近几年的高考中，对凸函数的考查以各种形式出现。
例1（2005年湖北省高考试题）在 这四个函数中，当 时，使 恒成立的函数的个数是（）
分析：由图像可知，函数 也是严格的下凸函数，则 ；函数 是严格的上凸函数，则 。
与此类似，1994年全国文科试卷，考查了一道有关凸性的题：已知函数 （ 且 ），若 ，判断 与 的大小，并加以证明。
例3（2005年北京试题）对于函数f(x)定义域中任意 ，有如下结论：
（1） ；
（2）
（3） ；
（4） 。当 时，上述结论中正确结论的序号是___________。
（2）证明：考查正弦函数 ，在（0， ）上为凸函数，由上凸函数的琴生不等式得
即
（3）证明：考查函数 ，其二阶导数 ，故其为下凸函数，所以
例6（2005年全国高考题压轴题）
（1）设函数 ，求f(x)的最小值；
（2）设正数 满足 ，求证：
分析：本题第二小问是这几年中考考查函数的凸性比较难的一道题，很多杂志都给出了用数学归纳法等方法解决此问的解法，其实这道题的命题背景是利用函数的凸性，源自文库合琴生不等式证明不等式的问题，在此仅证（2）。
分析：本题是考查函数 的性质，其中④涉及函数的凸性，函数 是严格上凸的，则应满足 ，本题结论为②③。
例4（2005年孝感一模试题）已知四个函数（1） ，（2） ，（3） （4） ，其中满足性质 的函数有__________个。
分析：本题考查的是函数凸性的一般定义，不妨令 ，则 ，以上条件变形为 ，即函数下凸的条件，注意到一次函数即是上凸的，又是下凸的，所以本题（1）（2）（3）（4）都满足条件。
高中数学凸函数在高考中的应用专题辅导
田祚鹏
函数是高中数学中的边缘知识点，在苏教版高一新教材中由指数函数和对数函数中的两道探究拓展题（ ）涉及，在人教版中由 的探索与研究阅读材料涉及。在近两年的高考中，全国各地的高考题和模拟题对函数的这一性质都有所考查。
凸函数的定义有几何定义、代数定义、切线定义等几种形式
证明：（2）考查函数 ，则 ，由凸函数的导数定义，知函数 为下凸函数，由下凸函数的琴生不等式得
因为 代入得
即
整理得：
其实，我们可以编拟出很多这种利用函数的凸性，结合凸函数的琴生不等式构造的不等式，在此编写两则，供读者参考。
1、设 。证明：
（1）
（2）
提示：考查函数 ，其中（ ）上为上凸函数；考查 ，其在（ ）上也为上凸函数，利用上凸函数的琴生不等式可得。
（1）凸函数的几何定义（引自人教版高一数学教材 ）
函数 ，任意 ，如果函数 在区间 上的图像总是在线段 的下方，我们就说函数的图像在区间D上是下凸的，这样的函数叫下凸函数；
函数 ，任质 ，如果函数 在区间 上的图像总是在线段 的上方，我们就说函数的图像在区间D上是上凸的，这样的函数叫上凸函数。
（2）凸函数的代数定义
例5证明以下等式
（1）若a、b、c为正实数，求证：
（2）在△ABC中，求证：
（3）设 ，证明：
分析：本例是几个典型的构造凸函数证明不等式的问题，解决这一类问题的关键是要构造合理的凸函数。
证明：（1）考查函数 ，其二阶导数 ，故其为下凸函数。由下凸函数的琴生不等式得 即
而函数 单调递增，故
而 ，两式联立即得。
设函数 在（a，b）内可导，若曲线 位于其每点处切线的下方，则称曲线是向上凸的。
（4）两个定理
定理1：设函数 在（a，b）内可导，则曲线 在（a，b）内是向下（上）凸的充要条件是导函数 （a，b）内递增（递减）；
定理2：设函数 在（a，b）二阶可导，则曲线 在（a，b）内是向下（上）凸的充要条件是
（5）琴生不等式