2007-2008(1)期末考试试卷(B)(概率统计)
2007级理工科概率统计期末考试试题B机答案
B 卷 第 1页 共2页华侨大学07～08学年第一学期《概率统计》期末考试试卷(B 卷) 考试日期：2008年 月 日上午8：30－10：30一、填空题（每空3分，共30分）1. 已知随机事件A ，B 有概率7.0)(=A P ，8.0)(=B P ，条件概率6.0)|(=A B P ，则=⋃)(B A P ．2. 社会上定期发行某中奖劵，中奖率为p .某人每次购买一张，若没有中奖，接着再买一张，直到中奖为止，X 为总共购买的奖券张数，则对1,2,k = ，==)(k X P ，EX = .3. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K=),(y x f ⎩⎨⎧≤≤≤≤-其它。
,0;0,10),1(x y x x y K 4. 设随机变量Y X ,满足 ()4,()1,D X D Y ==28)23(=-Y X D ，则XY ρ= ． 5. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .6. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，3211)22(3ˆX k X kX -++=μ是μ的无偏 估计量，则常数=k .7. 设随机变量()~0,2X U ，则2X Y =的概率密度函数为 . 8. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得 样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为 .9. 原假设0H 为真时，作出拒绝0H 的决策，称为犯第 类错误.B 卷 第 2页 共2页二、(10分) 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一件合格品被误认为是次品的概率是0.02；一件次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.三、(10分) 学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分.根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占10％、70％、20％.现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率.四、(15分) 设二维随机变量( X , Y )的联合密度函数为：⎩⎨⎧+∞<<<<=+-.,0,0,10,),()(他其y x be y x f y x试求(1)常数b ； (2) X 和Y 各自的边缘密度函数；(3)函数),max(Y X U =的分布函数.五、(15分) 设总体X 的概率密度为(1),(0,1),(,)0,(0,1),x x f x x θθθ⎧+∈=⎨∉⎩ 其中1θ>-为未知参数.已知12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本.求：(1)未知参数θ的矩估计量；(2)未知参数θ的最大似然估计量；(3))(X E 的最大似然估计量.六、(10分)国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量，它在区间[2000,4000]（单位：吨）上服从均匀分布，若每出售一吨，可得外汇3万美元，如销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元，问应组织多少货源，才能使平均收益最大？七、(10分) 某电子产品的一个指标服从正态分布，从某天生产的产品中抽取15个产品，测得该指标的样本均值为2.60，样本标准差为1.20．(1) 取显著性水平α =0.05，问是否可以认为该指标的平均值显著地不等于2？ (2) 求该指标的方差的置信水平为0.95的置信区间．附常用分布的分布表值：(2)0.9772Φ= 9680.0)856.1(=Φ 0.0250.05 1.96, 1.645z z ==1448.2)14(025.0=t , ()0.0515 1.7531t = 629.5)14(,119.26)14(2975.02025.0==χχB 卷 第 3页 共2页华侨大学07-08第一学期 概率统计期末考试（B 卷）答案一、填空题：（每空3分，共30分）1．62.0； 2．()11k p p --⋅，1p； 3．24； 4．0.5； 5．0.9544； 6．4；7．⎩⎨⎧<<=；他其)(0,)40(/25.0)(y yy f 8．上限为 15.2630； 9．一．二、【10分】设A 为被查后认为是合格品的事件，B 为抽查的产品为合格品的事件. …………… 2分9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ，…………… 4分.998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P…………… 4分三、【10分】 设i X 为第i 位学生的得分)100,2,1( =i ，则总得分∑==1001i i X X ，且9.1)(=i X E29.0)(=i X D 199.1100)(=⨯=X E29.0100)(⨯=X D …………… 6分由中心极限定理，)29190180()29190200()200180(-Φ--Φ=<<X P 936.01)856.1(2=-Φ= ……… 4分四、【15分】（本大题(1)-(2)小题各6分，(3)小题3分）(1)()()101,x y f x y dxdy dx bedy+∞+∞-+-∞==⎰⎰⎰()1101x y b e dx e dy b e +∞---==-⎰⎰,故111b e-=-(2)()()10,01,10,xx y X e be dy x f x e-+∞-+-⎧= <<⎪=-⎨⎪ ⎩⎰其它，B 卷 第 4页 共2页()()10,0,0,x y y Y bedx e y f y -+-⎧= <⎪=⎨⎪ ⎩⎰其它.(3) 由于()()(),X Y f x y f x f y =⋅，因此X 和Y 相互独立，故()()()()()()(),U X Y F u P U u P X u Y u P X u P Y u f u f u =≤=≤≤=≤≤=⋅从而当u <时，()0U F u =.当01u ≤<时，()()()()211.1u uuU X Y e F u f x dx f y dy e---==-⎰⎰当1u ≥时，()()()101uuU X Y F u f x dx f y dy e -==-⎰⎰，综上()()210,0,1,1,11,.u U u u e F u u e e u --- <⎧⎪-⎪= 0≤<⎨-⎪⎪- 1≤⎩X 与Y相互独立，因为)()(),(y f x f y x f Y X =. …………… 本大题每小题各5分五、【15分】（1） 矩估计量12ˆ1XX θ-=- …………… 6分 （2）极大似然估计量11ˆ11ln ni i X n θ==--∑…………… 6分 （3）)(X E 的极大似然估计量∑=-=++=ni in X X E 11ln 112ˆ1ˆ)(ˆθθ …………… 3分六、【10分】B 卷 第 5页 共2页设组织t 吨货源时，收益为()()3,,3,,3,4,.t t X t t X t W X X t X X t X t X t >⎧ >⎧⎪==⎨⎨-- ≤- ≤⎪⎩⎩又()~2000,4000X U ，则()1,20020000,.X x f x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它 …………… 4分从而()()()()2400020004374000200020001000tt t X t x t t t E W X W x f x dx dx dx t +∞-∞-==+=-+-⎰⎰⎰，易知当()()70500t dE W X tdt=-=即3500t =时，平均收益最大.故应组织3500吨货源. ……… 6分七、【10分】(1)设2:,2:10≠=μμH H，则(14)X Y t =，且拒绝域D 为:1448.2)14(15/2025.0=>-=t S X T1.93652.1448X =≈<， 因此不能拒绝0H ，不可以认为该指标的平均值显著地不等于2； …………… 5分 (2)因为222(1)(14)n S χσ- ，令2220.9750.0252(1)(14)(14)n S χχσ-<<则该指标的方差的置信水平为0.95 的置信区间为22220.0250.975(1)(1),(0.7719,3.5815)(14)(14)n S n S χχ⎛⎫--= ⎪⎝⎭． …………… 5分。
概率论(2007-2008上)试题1
2007 /2008 学年（上）学期期末考试试卷《 概率论与数理统计 》试卷（ 卷）(0.025(1.645)0.95,(1.96)0.975,(15) 2.13,t Φ=Φ==注:参考数据)0.050.0250.05(15) 1.753,(16) 2.12,(16) 1.746t t t ===一（10分） 某工厂有三部机器 A 、B 、C ，它们的产品分别占全部产品的25%、35%、40%，相应的废品率分别是5%、4%、2%。
今从全部产品中任取一个，试求它是废品的概率。
二（10分）已知1()(),3P A P B == 1(),6P A B = 求(),().P AB P A B三（15分）设袋中有2个白球和3个黑球，每次从其中任取1个球，直至取到黑球为止，分别就（1）不放回取球与（2）有放回取球两种情形计算取球次数的数学期望、方差与标准差。
四（15分）设二维连续随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(2),(,)0,x y Ce f x y -+⎧=⎨⎩0;.x y <<其它 求：（1）常数C ；（2）概率(3)P X Y +≤；(3)判断X 与Y 是否独立。
五（10分）某工厂有300台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q 千瓦。
由于工艺等原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。
试问：需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.975?六（10分）设123456,,,,,X X X X X X 是来自总体2(0,3)N 的样本，试求统计量21232456()()X X X Y X X X ++=+- 所服从的分布。
七（15分）求下列点估计：（1） 设总体X 的密度函数为||1(,)2x f x e θθθ-=，0θ>是未知参数；12,,,n X X X 是来自X 的一个样本，12,,,n x x x 是其相应的样本观测值，试求参数θ的最大似然估计量；（8分） （2）设总体X 的概率密度函数为：1,01,(;)0,x x p x θθθ-⎧<<=⎨⎩其它.。
概率统计期末考试试卷2008(1)B
华南农业大学期末考试试卷（B 卷）2008—2009学年第一学期 考试科目：概率论与数理统计考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（'63⨯=18分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________.2. 四个人独立地破译一份秘密，已知各人能译出的概率分别为15、13、14和16，则密码能被破译的概率为___________。
3. 已知随机变量X 服从 [2，6] 上的均匀分布，则(34)P X <<=__________。
4. 设X 为随机变量，且1EX =-，3DX =，则2(32)E X +=___________。
5.12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，若统计量1ni i i a X μ==∑是总体均值EX 的无偏估计量，则1ni i a ==∑_________。
6. 设总体1(0,1),,,n XN X X 为总体X 的简单随机样本，则21234X X X X ⎛⎫- ⎪+⎝⎭服从__________分布。
二、选择题（'63⨯=18分）1. 设两事件A 与B 互斥，且()0P A >，()0P B >，则（ ）正确。
(A) A 与B 互斥 (B) A 与B 互容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=2. 设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y =（ ）（A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -.（C ）3()5X y F +. （D ）31()5X yF --. 3. 设12,X X 是随机变量，其分布函数分别为12(),()F x F x ，为使12()()()F x aF x bF x =+是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值 中应取（ ）（A ）32,55a b ==-. （B ）22,33a b ==.（C ）13,22a b =-=. （D ）13,22a b ==.4. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P 010.40.6Y P则有（ ）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y == （C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y ==5.设总体均值为μ，方差为2σ，n 为样本容量，下式中错误的是（ ） (A) ()0E X u -= (B) 2()D Xnσμ-=(C) 22()1S E σ= (D) (0,1)N6. 下列统计量中哪个是回归统计检验的统计量（ ）(A) 2u α (B) 2t α (C) (1,)F r n r α-- (D) (1,2)F n α-三、（7分）一汽车沿一街道行驶，要经过3个有信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿信号显示的时间相等，求此汽车首次遇到红灯前已通过的路口数X 的分布列、数学期望、方差。
完整word版,2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题-2007
北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试题学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请将答案写在答题本上并写明题号与详细解题过程。
考试时间120分钟。
考试日期：2008年1月10日一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？二、 （15分）在数 14159263.=π的前800位小数中, 数字93210,,,,, 各出现的次数记录如下检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.=α）三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数.四、（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数.五、（15分）设}),({0≥t t N 是强度为3的泊松过程，求（1）})(,)(,)({654321===N N N P ；（2）})(|)({4365==N N P ；（3）求协方差函数),(t s C N ，写出推导过程。
六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，一步转移概率矩阵为 121414201335250P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求}|,,,,{202021054321======X X X X X X P ；（2）求}|{122==+n n X X P ；（3）证明此链具有遍历性（不必求其极限分布）。
2007-2008-1概率统计A试卷B
华中农业大学本科课程期末考试试卷考试课程：概率论与数理统计A 试卷类型：B学年学期：2007-2008-1 考试日期：2008-01- 题 号 一 二 三 四 五 六 七八总 分得 分 评卷人 一、 单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案， 并将其字母代号写在该题【 】内。
答案错选或未选者，该题 不得分。
每小题3分，共15分。
）1．在假设检验问题中，原假设为 H 0，备择假设为 H 1，则成为犯第一 类错误的是A. H 0 不真，接受H 0；B. H 0 为真，接受H 1；C. .H 0 不真，接受H 1；D. H 0 为真，接受H 0.【 B 】2．如果X 与 Y 满足D (X +Y )=D (X Y )，则必有 A. X 与Y 相互独立； B. X 与 Y 不相关； C. D (Y )＝0 ； D. D (X )D (Y )＝0.【B 】3． 设 4 3 2 1 , , , X X X X 相互独立， 且服从同一分布， 1 EX 存在， 43 21 X X X X Y = 则 ) (Y E ＝ A.1；B. －1；C.0；D.2.【 C 】4．设 X 与 Y 是两个连续型随机变量它们的概率密度分别为 ) ( 1 x f 和 ) ( 2 x f ，则A. ) ( ) ( 2 1 x f x f + 必为某一随机变量的概率密度；B.)] ( ) ( [212 1 x f x f + 必为某一随机变量的概率密度； C. ) ( ) ( 2 1 x f x f - 必为某一随机变量的概率密度； D. ) ( ) (2 1 x f x f × 必为某一随机变量的概率密度． 【 B 】5．设随机变量X 服从参数为l 的泊松分布，且知 1 )] 2 )( 1 [( = - - X X E ， 则l ＝ A. 1； B.2； C.3；D.4.【 A 】本题 得分※※※ 班级姓名学号※※※………………………………… 装 ……………………………… 订 ……………………………… 线 …………………………………二、填空题（将答案写在该题横线上。
概率论与数理统计2007—2008学年第一学期期末考试试卷及参考答案与评分标准
2007-2008学年第一学期期末考试试卷考试科目：概率论与数理统计 得 分：学生所在系： _________ 姓名 ______________ 学 号：______________________（考期：2008年1月22日，闭卷，可用计算器）一、 （15分）一串0,1数字（独立同分布）组成的序列中1的概率p 代表了某种有用的 信息，由于某种原因需要对其保密。
现对该串数字进行随机加密，对序列中的每一个数字抛 一枚硬币（每次正面出现的概率为〃），若抛出的为正面，则原序列的数字不变，若抛出的 为反面，则原序列中相应的数字由工变成1-工（即0变成1, 1变成0）。
加密后的序列可 以公布，其中1的概率p*可以估计出来。
若知道〃的值，就可以从加密后的序列中的1的频 率为〃*计算出原序列的p,所以〃称为“密钥”。
（1） 现己知p = 0.7 ,如果“密钥” "=0.4,试求p ；（2） 试说明为什么均匀硬币（7 = 0.5）不适合用来加密。
二、 （15 分）设随机变量 X 满足：| X |< 1, P （X = -1） = 1/8, P （X = 1） = 1/4 ,而且, X 在（-1, 1）内任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。
试求：（1） X 的概率分布函数F （x ） = P （X < x ）；（2）X 取负值的概率； （3） X 的数学期望项X ）。
三、（20分）二维随机变量（X,F ）的密度函数为:（1）试求系数A = ? ； （2） X 与Y 是否独立?（3）试求Z = X + Y 的密度函数心（z ）；(4) 试求W (X|X + y = l)of(x, y)=（而-（35）3 > 0, > > 0)其他四、（20分）设样本（X“X2，・・・,X〃）抽自正态总体X ~N（", 1）,々为未知参数（1）试求0 = P（X>2）的极大似然估计0"（结果可用（D（.）的形式表示）;（2）写出日的（1一。
青岛理工大学概率统计期末试卷—B(附答案)
学号：姓名：班级：..........................................................密.......................................................封...........................................................线..........................................................专业本科各专业年级2007级班2008~2009学年第 1 学期概率论与数理统计课程期末试卷试卷类型：B 卷青岛理工大学试卷纸共 4 页第 1 页试题要求：1、试题后标注本题得分；2、试卷应附有评卷用标准答案，并有每题每步得分标准；3、试卷必须装订，拆散无效；4、试卷必须..........................................................密.......................................................封..........................................................线....................................................................................................................密.......................................................封..........................................................线....................................................................................................................密.......................................................封..........................................................线..........................................................2008年下学期概率统计试卷(B)参考答案1. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 发生, B , C 中至少有一个不发生表示为(空1) .2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y . 则P {Y =2}=(空2) . 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4} =41×(0+21+31+41)=4813. 3. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 则常数c = (空3) . 概率}0|1{≠<X X P =(空4) .解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++=所以3516c =. 所求概率为P {X <1| X 0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 4. 设随机变量X , Y 的数学期望分别是2和-4, 方差分别是1和4, 而相关系数为0.5. 则根据切比雪夫不等式估计{|2|P X Y +≥12}=(空5) .解 {2}2()()22(4)E X Y E X E Y +=+=⨯+-=,{2}4()()22Cov(,)D X Y D X D Y X Y +=+-⨯840.5124=-⨯⨯⨯=. 所以, {|2|P X Y +≥12}≤2411236=. 5. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)X N μσ 的样本, 且Y 1231134X X kX =++为μ的无偏估计量, 则常数k =(空6) . 解 要求1231111()3434E X X kX k μμμμ++=++=, 解之, k =512.1.设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A) ()()()P A P AB P AB =+. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C) ()()()P A B P A P B -=-. (D) ()()()P AB P A P B =.解 由文氏图易知本题应选(D).2. 设事件A 与B 独立, 则下面的结论中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()()()P P P B =. (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).3. 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为随机变量X 的分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A) 0()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-. (C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).4. 设随机变量X 服从标准正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=. 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A) /2u α . (B) 1/2u α- . (C) (1)/2u α-. (D) α-1u . 解 答案是(C).5. 设连续型随机变量X 的概率密度为f (x ), 则31Y X =+的概率密度为g (y )为( ).(A)111()333f y -. (B) 3(31)f y +. (C) 3()1f y +. (D) 1133()f y -.解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). 6. 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布，则().E X np =(C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.解 )1,1(~-U X , 则3112212)()(22==-=a b X D . 选(B). 7. 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.解 X 与 Y 相互独立是随机变量X 与Y 不相关的充分条件,而非必要条件. 选(D). 8. 已知X 1,X 2,…,X n 是来自总体2(,)X N μσ 的样本, 则下列结论中正确的是( ).(A) ().E X n μ= (B) 2().D X σ=(C) 22().E S σ= (D) 以上全不对.解 选(C).9. 设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 则下列结论中正确的是( ).(A) X +Y 服从标准正态分布. (B) X 2+Y 2服从2χ分布.(C) X 2和Y 2都服从2χ分布. (D)22X Y服从F 分布.解 因为随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 但X 与Y 不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对, 故选(C).10. 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .(A) X 和S 2. (B) X 和211()nii X nμ=-∑. (C) μ和σ2. (D) X 和211()nii X X n=-∑.解 选(D).三、(10分)在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球取自第二箱的概率. 解 以A 表示“取得的球是白球”，i H 表示“取得的球来自第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. ...................... 4分 (1) 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. ............ 4分(2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==. .................. 2分 四、(10分) 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它 求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)11{}22P Y X ≤≤；(3) X 与Y 是否独立？并说明理由. 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩ ............................. 2分当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰; 当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它 ............................... 2分(2) {}{}11311322161122442≤，≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. ............................. 4分 (3) 因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠,所以X 与Y 是否独立. …………………………………2分 五、(10分)设随机变量(X , Y )的分布律为若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 和协方差Cov(X ,Y ). 解 首先，由∑∑∞=∞==111i j ijp得4.0=+b a . 其次，由0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，得3.0=b . 进而1.0=a . ...................................................... 2分由此可得边缘分布律于是 4.14.026.01)(=⨯+⨯=X E , 5.05.015.00)(=⨯+⨯=Y E .故 Cov(,)()()()0.8 1.40.50.1X Y E XY E X E Y =-=-⨯=. ...................... 4分六、(10分)设某种商品每周的需求量X 是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量,而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一整数. 该经销商店每销售一单位该种商品可获利500元; 若供大于求则削价处理, 每处理一单位该种商品亏损100元; 若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每一单位商品仅获利300元. 为实现该商店所获利润期望值不小于9280元的目标, 试确定该经销商店对该种商品的进货量范围.解 设进货量为a 单位, 则经销商店所获利润为500300()300200,30,500100()600100,10.a a X a X a a X M X a X X a X a +-=+<=--=-⎧⎨⎩≤≤≤ ............ 4分 需求量X 的概率密度为()1,1030,200,.f x x =⎧<<⎪⎨⎪⎩其它 ........................... 2分 由此可得利润的期望值为30301010111()(600100)(300200)202020a a a aE M M dx x a dx x a dx =-++=⎰⎰⎰ .............. 2分 21535052502a a =-++依题意, 有21535052502a a -++≥9280,即21535040302a a -+≤0, 解得623≤a ≤26. 故期望利润不少于9280元的进货量范围为21单位~26单位. ................................................................ 2分七、(10分) 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为e ,0,(,)0,0,x x f x x λλλ->=⎧⎨⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求：(1) 未知参数λ的矩估计量; (2) 极大似然估计量.解 因为E (X )=1λ =X , 所以λ的矩估计量为1ˆXλ=. ................................ 4分 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… ,X n 的一组观测值, 则似然函数11nii inxx nni L eeλλλλ=--=∑==∏, ...................... 2分取对数1ln ln ()ni i L n x λλ==-∑.令1d ln 0,d ni i L n x λλ==-=∑ 得λ的极大似然估计值为1ˆx λ=,λ的极大似然估计量为1ˆX λ=. 4分八、(12分)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布(,1)N μ, 从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40cm.(1) 取显著性水平α=0.05时, 是否可以认为μ=41？ (2) 求μ的置信水平为0.95的置信区间;(3) 问题(1)和(2)的条件与结论之间有什么关系? 解 (1) 提出假设 H 0: μ=μ0=41; H 1:μ≠μ0 . ................................... 2分 对于α=1-0.95= 0.05, 选取检验统计量X z =拒绝域为|z |>z 0.025=1.96 ............... 2分代入数据n =16, x =40, σ=1, 得到||x z ===4>1.96. 所以拒绝原假设, 不能认为μ=41 2分(2) 已知x =40, σ =1,α = 0.05, 查表可得0.025 1.96,z z α==所求置信区间为22()(40 1.96,40 1.96),x z x αα+=(39.51,40.49).= ..... 4分(3) 假设检验中的显著性水平α=0.05与置信区间估计的置信水平0.95满足关系0.95=1-α； .. 1分μ的双侧假设检验的接受域与μ的置信水平为0.95的置信区间相同...................... 1分 注意：题目参考数据: t 0.025(24)=2.0639, t 0.025(23)=2.0687, t 0.05(24)=1.7109, t 0.05(23)=1.7139z 0.025=1.96, z 0.05=1.65。
南昌航空大学概率论期末考试 2007—2008第一学期
2007—2008第一学期一、填空题（每空2分，共16分）1．某地区成年人患结核病的概率为015.0，患高血压的概率为08.0。
设这两种病的发生是相互独立的，则该地区内任一成年人同时患为两种病的概率为0012.0。
2．一批产品中有10个正品和2个次品，现随机抽取两次，每次取一件，取后不放回，则第二次取出的是次品的概率是6/1。
3．设C B A ,,为三个随机事件，41)()()(===C P B P A P ，)()(AC P AB P = 61)(==BC P ，0)(=ABC P ，则=⋃⋃)(C B A P 41。
4．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=其它,011|,|)(x x x f ，则=)(X E 0 。
5．已知1)(=X E ，2)(=Y E ，3)(=XY E ，则Y X ,的协方差=),Cov(Y X 1 。
6．设总体X 服从参数为λ的指数分布，其中λ未知，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，则λ的矩估计为∑==n i i X n 11ˆλ。
7．设总体X 服从正态分布),(2σμN ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，2S 为样本方差，且)1(~222-n cS χσ，则常数=c 1-n 。
8．设随机变量Y X ,相互独立，)(~12n X χ，)(~22n Y χ，则随机变量~//21n Y n X ),(21n n F 。
二、有两箱同类型的零件，第一箱装30只，其中10只一等品，其它为次品；第二箱装40只，其中18只一等品，其它为次品。
现从两箱中任取一箱，然后再从该箱中任取一只零件。
1）求此零件是一等品的概率；2）若已知取出的是一等品，问该零件取于第二箱的概率。
（12分）用i A )2,1(=i 表示第i 箱的产品，用B 表示取到一等品，则5.0)()(21==A P A P ，31)|(1=A B P ，209)|(2=A B P 1）12047)()|()()|()(2211=+=A P A B P A P A B P B P 2）4727)()()|()()()|(2222===B P A P A B P B P B A P B A P 。
2007—2008学年概率论第一学期期终考试及参考答案
¯ ∼ N (0, 1), X ¯ − 1 ∼ N (−1, 1). (2) X 7. (1) E (X ) =
θ , θ +1
ˆ MM = θ
¯ X ¯; 1−X n i =1
(2) ln L(θ) = n ln θ + (θ − 1)
ln Xi , θ MLE = −
n i=1
n . ln Xi
1
上
专业
海
班级
海
事
姓名
大
学
学号
试
卷
得分
概率论与数理统计(卷A): 20080114
本试卷共8大题(第1, 2, 5, 6题每题10分, 第3, 4, 7, 8题每题15分) 可能用到的分位点表如下: z0.05 = 1.645 z0.0025 = 1.960 t0.025 (27) = 2.0518 t0.05 (27) = 1.7033 t0.025 (28) = 2.0484 t0.025 (29) = 2.0452 t0.05 (29) = 1.6991 t0.05 (13) = 1.7709 F0.025 (11, 16) = 211) = 3.28 F0.025 (7, 6) = 5.70 F0.025 (6, 7) = 5.12 1. 设A, B为两事件, 已知P(A) = 0.3, P( B) = 0.5, 计算: (1) 若A, B相互独立, 求P(A ∪ B); ¯ ). (2) 若P(A| B) = 0.4, 求P(A| B
3 8. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 从两条自动化流水线上分别抽取样 本(X1 , · · · , X12 )与(Y1 , · · · , Y17 ), 观测后算得 x ¯ = 10.6(g), y ¯ = 9.5(g), s2 1 = 2.4, 2 s2 = 4.7, 假 设 这 两 条 流 水 线 上 灌 装 的 番 茄 酱 的 重 量 分 别 服 从 正 态 分 2 2 2 布N (µ1 , σ2 1 )与 N (µ2 , σ2 ), 且相互独立. µ1 , σ1 , µ2 , σ2 均未知. 求:
2007—2008 概率论与数理统计(B)
梅三#111光棍文印室 单面6分/张 双面8分/张 打印资料 复印课本 胶装电话：134 **** **** Q ：124 111 2484（可发过来） 量大从优！欢迎光临松1#520打印室《概率论与数理统计》B 试卷 第1页共 4页河南理工大学 2007—2008 学年第 2 学期概率论与数理统计 试卷考试方式：闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 80 %复查总分 总复查人一、填空题（每小题5分，共25分）1．设,21)(,31)(==B P A P 且B A ⊂，则)(B A P = 。
2．设随机变量x ～Ｎ(1,4)，8413.0)1(=Φ，则事件“31≤≤x ”的概率为 。
3．n x x x ,,,21 ，为来自两点分布),1(p b 的样本，则当n 很大时，其样本均值X 近似服从 分布。
4．设A 、B 为任意两个随机事件，则=++++)})()()((B A B A B A B A P 。
5．设n x x x ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，X ～N ),(2σμ，∑==n i i X n X 11，212)(11X X n S n i i --=∑=，若2σ已知，则μ的置信度为α-1（其中10<<ε）的双侧置信区间为 。
二、选择题（每小题5分，共25分）1．设P(A)=a,P(B)=b,P(A ∪B)=C ，则)(B A P 为（ ） （A ）a(1-b) （B ）a-b （C ）c-b （D ）a(1-c)2．设X ～N （1，1）其概率密度函数为)(x f ，分布函数)(x F ，则有（ ）（A ）5.0}0{}0{=≥=≤x P x P （B ）),(),()(+∞-∞∈-=x x f x f （C ）5.0}1{}1{=≥=≤x P x P（B）),(),()(+∞-∞∈-=x x F x F3．设X 、Y 是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为)()(y F x F y x =，则),min(Y X Z =的分布函数)(Z F 是（ ）。
华农-2007-2008概率论与数理统计期末试卷解答
华南农业大学2007第一期概率统计试卷参考答案一. 选择题（'53⨯=15分） 1. D 2.B 3. B 4. C 5.A 二. 填空题（'53⨯=15分）1．243e -或0.1804； 2．2(1)1Φ-或0.7；3/2(1)n α-； 4．2(10)n χ； 5．3.0202； 三. (10分)解 设B ＝{此人感染此病}，A 1，A 2，A 3分别表示此人选自甲、乙、丙三个地区 由已知，有1()0.2P A =，2()0.5P A =，3()0.3P A =，1()0.06P B A =，2()0.04P B A =，3()0.03P B A =（1）由全概率公式有112233()()()()()()()0.20.060.50.040.30.030.041P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式有 112()()0.20.0612()0.2927.()0.04141P A P B A P A B P B ⨯===≈答：从三个地区任意抽取一人，感染此流行病的概率为0.041；若已知此人染病，此人来自乙地区的概率约为0.2927. ………………… 四.(12分)解 (1) 11-22p X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭=1201212121arcsin 3x ππ-==⎰（2）当x <-1时 ()00xF X dx -∞==⎰当11x -≤<时1111()0arcsin arcsin 12xxF x dx xx ππ--∞-=+==+-⎰⎰当x 1≥时11111111()00arcsin 122xF x dx dxdx xπ--∞--=+==+=⎰⎰⎰故X 分布函数为0,111()arcsin ,1121,1x F x x x x π<-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≤⎪⎩五（16分） 解 （1）()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰当0x <时，(,)0f x y =，从而()X f x ＝0.当0x ≥时3434300()(,)0123()3x y x y x X f x f x y dy dy e dy e e e +∞+∞----+∞--∞-∞==+=-=⎰⎰⎰33,0()0,0x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩ 同理44,0()0,0y Y e y f y y -⎧≥=⎨<⎩（2）由（1）求出的两个边缘密度函数表达式可知，对于一切x ，y ，有(,)()()X Y f x y f x f y =则可证明X 与Y 相互独立. （3）21(01,02)(,)P X Y f x y dxdy<≤<≤=⎰⎰210()()Y X f y dy f x dx=⋅⎰⎰21430214383432.x x x x e dy e dxeee e ------=⋅=--=--⎰⎰六.（10分）解 令X 表示取到正品之前已经取出的废品的数，则X 的可能取值为0，1，2，X 的分布律为8{0}10P X ==，288{1}10945P X ==⋅=，2181{2}109845P X ==⋅⋅=，所以88120121045459EX =⨯+⨯+⨯=， 2222881401210454515EX =⨯+⨯+⨯=224488().1581405DX EX EX =-=-=七．（10分） 解 设该次考试的考生成绩为X ，则2(,)XN μσ，把从X 中抽取的容量为n =26的样本均值记为X ，样本标准差为S .本题是在显著水平0.05α=下检验假设 01:70,:70.H H μμ=≠ 由于2σ未知，用t 检验法. 当H 0为真时，统计量/2(1)T t n α=≥-，由0.02526,66.5,15,(25) 2.060n X S t ====算得 1.19 2.060T =<，所以统计量T 未落入拒绝域中，从而接受H 0，即在显著水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. 八．（12分） 解 ()101(1)2E X x x dx ββββ+=+=+⎰ 由()12X E X ββ+==+知矩估计量为1ˆ21Xβ=-- ()1(1),010,nn i i i x x L βββ=⎧+<<⎪=⎨⎪⎩∏其它 ()1ln ln(1)ln ni i L n x βββ==++∑令()1ln ln 01ni i L nx βββ=∂=+=∂+∑ 故极大似然估计量为 11ln nii nxβ=-=-∑。
概率论与数理统计(理工)B
上海金融学院2007 ——2008 学年，第二学期课程代码：1333007502 《概率论与数理统计（理工）》课程期末考试试卷本试卷系B卷，采用闭卷、方式，集中考试，考试时只能使用简单计算器(无存储功能)（请将横线上不需要的文字用红笔划去）交教务处时间: 年月日送印时间: 年月日试题内容分布情况命题教师签字___________ 教研室主任签字___ _______ 院（系、部）领导签字_____ ___上 海 金 融 学 院20 07 ——20 08 学年 第 二 学期 《概率论与数理统计（理工）》课程 代码：1333007502 集中考试 考试形式： 闭卷 考试用时: 120 分钟考试时只能使用简单计算器(无存储功能)试 题 纸 一.选择题（每小题2分，共10分） 1.A.B.是二个随机事件则P(A-B)__________A.P(A)-P(B)B.P(A)-P(AB)C.P(A)+P(B)-P(AB)D.P(A)+P(AB)-P(B) 2.A.B 相互独立 P(A)=0.5,P(AB)=0.25则P(B)= A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.0.453.设()()E XY E X EY =⋅则以下结论正确的是 A.,X Y 不相关 B.1X Y ρ⋅= C.1X Y ρ⋅=- D. ,X Y 独立4.袋中有8个球，其中3个红球5个黄球，任取3球，则1黄2红的概率P= A.23538⋅ B.23538⋅ C.123538C C C⋅ D.213538C C C⋅5.Z ~U(0,5)则t 的二次方程42420t xt x +++=有实根的概率为 A.12B.23C.35D.45二.填空题（每小题3分，共30分） 1.设P(A)=1411() P ()32P B A A B ==则()P A B =2.三次独立试验中事件A 至少出现一次的概率为1927则P （A ）=3.X ~b(n,p)且8, 1.6EX D X ==则n= ，p=4.X ~N(3,4)则p(2<X <4)=5.设X ~1001 0()1000 x 0xe xf x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则P(X ≤)=6.设23x 0x 1~()0 X f x ⎧≤≤=⎨⎩其它则P(X>E X)=7.设X ~N(2μσ，)且EX=3,DX=1则57P ()22X <<=8. 12,θθ∧∧均为总体X 的未知参数θ的无偏估计量，则12θθ∧∧比有效指9.X ~1 0<x<1(,)0 x f x λλλλ-⎧⋅=⎨⎩（>1）其它，12n ,X X X 是X 的样本，则λ的钜估计量λ∧=10.某种新药有效率为0.4，1000人使用此药，应用中心极限定理，有效人数超过420人的概率，P X>420（）= 三.计算题（每题12分，共60分）1.盒中有10个零件其中4个一级品，6个二级品，每次取一个，取二次（不放回），设0 X ⎧=⎨⎩第一次取到一级品1 第一次取到二级品0 Y 1 ⎧=⎨⎩第二次取到一级品第二次取到二级品求（1）X Y （，）的联合分布律 （2）求E ,Y D Y (3)求cov X Y （，）2.有三个盒子，甲盒中有2个红球4个白球，乙盒中有4个红球2个白球，丙盒中有3个红球3个白球，任取一盒，任取一球。
2007年概率统计期末考试试卷
2005级本科班概率统计期末考试试卷一、（20分）计算下列各题1.（10分）甲、乙、丙三台车床加工同样的零件，生产出废品的概率分别为0.03, 0.02, 0.04, 现将加工出来的零件混在一起，并且已知甲、乙、丙生产的零件数之比为3：2：1，任取一零件，1）求取出零件为废品的概率。
2）若取出的零件为废品，问是乙车床加工的概率。
2．(10 分)已知R.V . X 的分布函数为(),F x A Barctgx x =+ -∞<<+∞1）求系数,A B . 2）求2Y X =的概率密度。
二、（30分）计算下列各题1．（10分）盒子中装有3只黑球，2只红球和2只白球，在其中任取4 只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数。
求1）(,)X Y 的联合分布律；2）X ，Y 的边缘分布律；3）{}2P X Y +≤.2．（12分）二维..(,)R V X Y 联合密度函数为()01(,)0A x y x y f x y +≤≤≤⎧=⎨⎩其他 1）求常数A. 2）求,X Y 的边缘密度函数。
3）,X Y 是否独立，为什么？4) 求()E XY .3．（8分）设..,R V X Y 相互独立，其密度函数分别为201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩，，其他， 0()0y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他 求Z X Y =+的密度函数。
三、（20分）计算下列各题1. （10分）设总体X 服从几何分布1{}(1),1,2,x P X x p p x -==-=，其中01p <<是未知参数，12,,,n X X X 是总体X 的容量为n 的样本，12,,,n x x x 为其观测值，求p 的极大似然估计。
2．（10分）已知某种液体存储罐的爆压指标X 服从正态分布2(,)N μσ，抽测7只存储罐，得爆压数据如下：548，549，550，545，550，551，545, 如果2σ未知，问爆压指标均值549μ=是否成立？(0.05)α=附：0.0250.025(6) 2.4469,(7) 2.3646.t t ==四、填空（30分）1．设111(),(),(),324P A P B P AB === 则()_____,P AB =()P A B =___ . 2. 设离散型..R V X 的分布律{},01,k k p P X k bλλ===<<1,2,,k = 则______.b = 3．(,)X B n p ,() 2.4,() 1.44,E X D X ==则____.p =4．,X Y 相互独立，()4,()3,D X D Y ==则(32)________.D X Y -=5．(,)X Y 的密度函数为2221(,)2x y f x y e π+-=，则{P X Y <+< ____________________.=（用标准正态分布函数()x Φ表示） 6．12,,,n X X X 是来自总体(0,6)U 的样本，1001i i Y X ==∑，由切比雪夫不等式{260340}_________.P Y <<≥7．总体212(,),,,,n X N X X X μσ为取自总体X 的样本. 11,ni i X X n ==∑则21()_______.n i i E X X =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ 8．2,X S 分别是正态总体2(0,)N σ的样本均值和样本方差，样本容量为n ，则统计量22_______.nX S9．总体212(,),,,,n X N X X X μσ为取自总体X 的样本, 若2σ已知，则μ的置信度为1α-的置信区间为 .。
概率统计期末考试试卷07-08
考试课程： 班级： 姓名： 学号：------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 1 页共 1 页且53}0|2{===X Y P 。
求1）常数b a ,；2）判定X 与Y 是否独立，为什么？7已知连续型随机变量),(Y X 的概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它情况00,40),(x y x Ax y x f ，求：1）常数A ；2）边缘概率密度)(x f X 。
8 设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是来自总体X 的样本，总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它情况010),(x x x f θθθ，其中θ未知，且0>θ。
求 1）θ的矩估计量；2）θ的极大似然估计量。
三 应用题（每小题8分，共16分）1 已知某种材料的抗压强度),(~2σμN X ，现随机地抽取9个试件进行抗压试验（单位Pa 510），测得样本均值50.457=X ，样本方差22.35=s ，求总体均值μ的95％的置信区间。
（注：8331.1)9(,2622.2)9(,8595.1)8(,306.2)8(05.0025.005.0025.0====t t t t ）2 在正常的生产条件下，某产品的测试指标总体),(~200σμN X ，其中22023.0=σ，后来改 变生产工艺出了新产品，假设新产品的测试指标总体仍为X ，且已知),(~2σμN X ，从新产品 中随机抽取10件，测得样本标准差33.0=s 。
试在显著水平05.0=α下检验方差2σ是否变大？ （注：483.20)10(,919.19)9(,307.18)10(2025.0205.0205.0===χχχ，023.19)9(2025.0=χ）四 证明题（共6分）设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是来自总体X 的一个样本，设μ=EX ，2σ=DX ，2,S X 是样本均值和样本方差，证明：统计量 221)(S nX -是2μ的无偏估计。
07~08学年一期末考试试题B答案
概率论与A 2007~2008学年第一学期《概率论与数理统计A 》期末试题（B ）答案一、简单计算（每个题5分，共25分）1. 设B A ,为两事件，且p A P =)(，)()(AB P B A P =，求)(B P . 解：由于)(1)()(B A P B A P B A P -== …………2分 而)()()()(AB P B P A P B A P -+= …………2分 所以)()()()(1)()(AB P AB P B P A P B A P B A P =+--==即1)()(=+B P A P因而p A P B P -=-=1)(1)( …………1分2. 设随机变量X 的分布律为613121201-i p X ，而53-=X Y ，求 Y 的分布函数. 解：由于613121201-i p X ，所以613121158--i p Y …………2分所以Y 的分布函数为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤--<=.1,1,15,65,58,21,8,0)(y y y y y F Y …………3分3. 设总体)4,5(~N X 中随机抽取一容量为25的样本，求样本均值X 落在4.2到5.8之间的概率.解: 由于)4,5(~N X , 所以)254,5(~N X ………2分 所以9544.0129772.01)2(2)8.52.4(=-⨯=-Φ=<<X P………3分4. 设9名足球运动员在比赛前的脉搏（12秒）次数为11 13 12 13 11 12 12 13 11假设脉搏次数X 服从正态分布，12=X , 42=σ，求μ的置信水平为0.95的置信区间. 解：由于12=X , 42=σ，05.0=α，μ的置信区间为),(22n Z X n Z X σσαα+-…………3分即为)3067.13,6933.10(. …………2分5. 设总体X 服从泊松分布，1210,,,X X X 是来自X 的样本，求参数λ的矩估计.解: 由于)(~λP X ,所以λ=)(X E 而∑==101101i i X X …………2分 所以由矩估计的思想得: X X E =)( …………2分参数λ的矩估计为:∑==101101ˆi i X λ …………1分概率论与数理统计A 试题 班级 姓名 学号 第2 页 二、计算题（每题6分，共30分）1. 设离散型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=.2,,21,32,11,,1,0)(x b a x a x a x x F 且21)2(==X P .（1）求常数b a ,；（2）求X 的分布律. 解: (1)由分布函数的性质得1=+b a ,而且21)2(==X P …………2分 所以21322)32(=-+=--+b a a b a ,则65,61==b a . …………1分 (2)X 的分布律为i X p -112111632 …………3分2. 已知随机变量),1(~),,1(~p B Y p B X ，而Y X ,相互独立. （1）求),max(Y X U =的分布律；（2）求Y X V +=的分布律． 解: 联合分布律: 22)1()1()1()1,1()0,1()1,0()0,0(),(p p p p p p p Y X ij --- …………2分 ),max(Y X U =的分布律为: 22)1(1)1(10p p p U i --- …………2分 Y X V +=的分布律为: 222)(2)1(210p p p p p V i -- …………2分3. 已知随机变量)4,3(~U X ，求X e Y =的概率密度函数. 解：X e Y =的反函数y y h ln )(= …………2分 其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<='⋅=.,0,,1)())(()(43其它e y e y y h y h f y f X Y …………4分4. 设总体X 服从指数分布，参数为θ，12,,,n X X X 是来自X 的样本，求θ的最大似然估计量．解：由于)(~θe X ，则n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本， 似然函数为 ∑===-=-∏n i i i x n n i x ee L 11111θθθθ …………3分 而 ∑=--=n i i x n L 11ln ln θθ …………1分 01ln 12=+-=∑=n i i xn d L d θθλ,所以 X =θˆ. …………2分5. 设4321,,,X X X X 是来自正态总体)2,0(2N 的简单随机样本，243221)43()2(X X b X X a Y -+-=，若统计量Y 服从2χ分布，则常数b a ,分别为多少？统计量Y 的自由度为多少？解：由于)100,0(~43)20,0(~24321N X X N X X -- 所以)1,0(~)2(21N X X a - ，所以201=a …………3分 )1,0(~)43(43N X X b -，所以1001=b . …………2分 所以)2(~2χY ，其自由度为2. …………1分概率论与数理统计A 试题 班 姓 学号 第 3 页 三、（9分）设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 %20%,35%,45，各厂的产品的次品率分别为%5%,2%,4，现从中任取一件，（1）求取到的是次品的概率；（2）经检验发现取到的产品是次品，求该产品是甲厂生产的概率. 解:设事件)3,2,1(=i A i 分别表示任取一件产品,该产品来自于甲、乙、丙厂, 设事件B 表示取到的是次品． (1))|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= ………2分 05.02.002.035.004.045.0⨯+⨯+⨯= 035.0= ………2分 (2) 514.0035.004.045.0)()|()()|(111=⨯==B P A B P A P B A P ………5分 四、（12分）设随机变量X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=.,0,21,1,10,)(其它x x x x x f （1）求随机变量X 的分布函数；（2）令53+-=X Y ，求XY ρ；（3）判断Y X ，独立性. 解： ⎰∞-=x X dt t f x F )()( ………2分 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+-=-+<≤=≤=⎰⎰⎰.2,1,21,121,10,2,0,0211020x x x x dt t tdt x x tdt x x x …………6分（2）由于53+-=X Y ，根据相关系数的性质，易得1-=XY ρ.………2分（3）由于01≠-=XY ρ，所以Y X ，不独立.………2分五、（12分） 设随机变量),(Y X 在区域G 上服从均匀分布，G 为y 轴，x 轴与直线13+-=x y 所围城的区域. （1）求),(Y X 的联合概率密度及边 缘概率密度；（2）求)2(≤+Y X P .解: (1) 由题意知⎩⎨⎧∈=.,0;),(,6),(其它G y x y x f (2)分 ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧<<+-==⎰+-.,0;310,6186130其它x x dy x ………4分⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧<<+-==⎰--.,0;10,226310其它y y dx y………4分(2) 1),()2(==≤+⎰⎰Gdxdy y x f Y X P………2分概率论与数理统计A 试题 班级 姓 学 第 4 页 六、（12分）设421,,,X X X 是来自正态总体),(2σμN 的样本．其中σμ,未知，设有估计量)(31)(6143211X X X X T +++= 43212743X X X X T +-+= 421343X X X T +-= (1) 指出321,,T T T 中哪个是μ的无偏估计; (2) 在上述μ的无偏估计中指出哪一个较为有效. 解:由于μ=+++=)(31)(61)(43211EX EX EX EX T E ………2分 μ=+-+=43212743)(EX EX EX EX T E ………2分 0434213=+-=EX EX EX ET ………2分 所以21,T T 是μ的无偏估计. ………1分 (2) 243211185)(91)(361)(σ=+++=DX DX DX DX T D ………2分 2432127549169)(σ=+++=DX DX DX DX T D ………2分 因为)()(21T D T D <,所以1T 比2T 更有效. ……1分 95.0)65.1(=Φ, 975.0)96.1(=Φ, 9772.0)2(=Φ, 8413.0)1(=Φ, 017.36)25(2025.0=χ, 42.36)24(2025.0=χ。
概率统计2007-2008期末试题
m in (,)Z X Y =的分布函数()Z F z 为 1[1()][1X Y F x F y ---；),max(Y X Z =的分布函数()Z F z 为)()(y F x F Y X1.二维正态分布的密度函数为：]))())((2)([)1(21exp(121),(2222212121212221σμσσμμρσμρρσπσ-+-------=y y x x y x f 设随机变量),(Y X 密度函数2222),(yy x x Aey x f -+-=，+∞<<∞-y x ,。
试求：（1）常数A ；（2）条件密度函数)|(|x y f X Y1)1(21,2)1(,2)1(21,121,022221221222121=-=-=--===σρσσρρσρρσπσμμA可得：21,1,21,121====ρσσπA ，)2/1;1,2/1;0,0(~),(N Y X21)(xX ex f -=π，从而：2)(|1)(),()|(y x X X Y ex f y x f x y f --==π+∞<<∞-y 。
（其中+∞<<∞-x ）2. 二维随机向量(,)~(0,1;0,1;0)X Y N ，相关系数为0，从而，X 与Y 不相关。
二维正态分布不相关的充要条件为相互独立。
（1）由全概率公式 ()()()()()P A P B P A B P B P A B =+ （2）由贝叶斯公式得所求概率为()()()P A B P BA P A =()()480.1404()342P B P A B P A ==≈注：切贝雪夫不等式和中心极限定理是近年来经常考的内容。
如：（1）设随机变量序列 ，，21X X相互独立，且~0.50.5k X ⎛⎝⎭证明：0ε∀>，有0|)(11|lim11=⎪⎭⎫⎝⎛≥-∑∑==∞+→nk nk k kn X E nXnP ε；（2）某工厂的产品的次品率为0.1，从中任意抽取200件，问次品数不多于18件的概率为多少？（用中心极限定理计算）。
0708概率论与数理统计试题B答桉暨南大学慨率论期末考试试卷
暨 南 大 学 考 试 试 卷一、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）1. 在某一随机试验中，事件A 与B 相互独立，且2.0)(,3.0)(==B P A P 则=)(B A P 0.24 。
2. 设随机变量ξ的密度函数为⎩⎨⎧∈=其它0),0(2)(A x x x ϕ，则常数A = 1 。
3. 设随机变量ξ与η相互独立，且3,2==ηξE E ，则=+-)(ξηηξE 5 。
4. 设n X X X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，则当=C 21+n 时，∑=ni i X niC 1是μ的无偏估计。
5. 已知二元随机变量),(ηξ的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++=.,04,0),sin()12(),(其它；πϕy x y x y x则ξ的边缘概率密度为) 0()84 0 X x x x ππϕ⎧++≤≤⎪=⎨⎪⎩其它或表为1)[c o s c o s ()] 0()44 0 X x x x x ππϕ⎧+-+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它。
二、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1. 设)(x F 是随机变量ξ的分布函数，则下列结论中正确的是（ D ）(A ) 1)(0<<x F (B) 0)(≤x F (C ) 1)(≥x F (D) 1)(0≤≤x F2. 某人打靶的命中率为8.0，现独立地射击5次，那么5次射击中命中2次的概率为（ D ）(A ) 2.08.02⨯ (B) 28.0 (C) 4.08.02⨯ (D) 22350.80.2C ⨯⨯3. 若事件E 与F 互不相容，且6.0)(,3.0)(==F P E P ，则=+)(F E P （ B ） (A) 3.0 (B) 9.0 (C) 18.0 (D) 6.04. 随机变量ξ的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它]2,0[21)(x x ϕ，则=ξξE D （ B ） (A) 0 (B)31 (C)41 (D) 15. 设n X X X ,,,21 是总体),(2σμN 的样本，则∑==ni i X n X 11服从（ A ）分布。
07~08学年一期末考试试题B答案
概率论统2007～2008学年第一学期《概率论与数理统计A 》期末试题（B )答案一、简单计算（每个题5分，共25分)1. 设B A ,为两事件,且p A P =)(，)()(AB P B A P =，求)(B P 。
解：由于)(1)()(B A P B A P B A P -== …………2分 而)()()()(AB P B P A P B A P -+= …………2分 所以)()()()(1)()(AB P AB P B P A P B A P B A P =+--== 即1)()(=+B P A P因而p A P B P -=-=1)(1)( …………1分 2。
设随机变量X 的分布律为613121201-i p X ，而53-=X Y ，求Y的分布函数.解：由于613121201-i p X ,所以613121158--i p Y (2)分所以Y 的分布函数为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤--<=.1,1,15,65,58,21,8,0)(y y y y y F Y…………3分3。
设总体)4,5(~N X 中随机抽取一容量为25的样本，求样本均值X 落在4.2到5.8之间的概率。
解： 由于)4,5(~N X ， 所以)254,5(~N X (2)分所以9544.0129772.01)2(2)8.52.4(=-⨯=-Φ=<<X P (3)分4。
设9名足球运动员在比赛前的脉搏（12秒)次数为11 13 12 13 11 12 12 13 11假设脉搏次数X 服从正态分布，12=X ， 42=σ，求μ的置信水平为0.95的置信区间。
解：由于12=X , 42=σ,05.0=α,μ的置信区间为),(22nZ X nZ X σσαα+- (3)分即为)3067.13,6933.10(。
…………2分 5。
设总体X 服从泊松分布，1210,,,X X X 是来自X 的样本，求参数λ的矩估计.解： 由于)(~λP X ，所以λ=)(X E而∑==101101i i X X …………2分统计A 试题 班级 姓名 学号 第2 页二、计算题（每题6分，共30分）1. 设离散型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=.2,,21,32,11,,1,0)(x b a x a x a x x F且21)2(==X P 。
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1）求 应满足的条件；2）若 与 相互独立，求 的值。
7已知连续型随机变量 的概率密度函数 ，求：
1）常数 ；2）边缘概率密度 。
8 设 是来自总体 的样本，总体 的概率密度函数为
，其中 未知，且 。求
1） 的矩估计量；2） 的极大似然估计量。
三 应用题（每小题8分，共16分）
显著水平 下这批元件是否合格？
（注： ， ）
四 证明题（共6分）
设 是来自总体 的一个样本，设 ， ，其中
， ，证明： 。
3
满 分
7分
得 分
4
满 分
7分
得 分
5
满 分
7分
得 分
6
满 分
7分
得 分
7
满 分
7分
得分
8
满 分
7分
得 分
三、应用题
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满 分
8分
得 分
2
满 分
8分
得 分
四 证明题
满 分
6分
得 分
1 已知某种材料的抗压强度 ，现随机地抽取9个试件进行抗压试验（单位
），测得样本均值 ，样本方差 。已知 ，求总体均值 的
95％的置信区间。（注： ）
2某中电子元件要求其寿命不得低于10小时，今在生产的一批元件中随机抽取25件，测得其
寿命的平均值为10.2小时，样本标准差为0.5小时，设元件寿命总体服从正态分布，问在