2021届全品高考复习方案：第12讲 函数模型及其应用
2021年高考数学总复习：函数模型及其应用
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[解题技法] 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先 建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实 际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是 否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况 的答案．
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[知识梳理]
1．常见的8种函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； (5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c 为常数，a≠0，b>0，
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考点二 应用所给函数模型解决实际问题 [师生共研过关]
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[例1] (1)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且
每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品
数Q的函数，K(Q)＝40Q－
1 20
Q2，则总利润L(Q)的最大值是
________万元．
(2)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒
2．三种函数模型的性质
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性质
函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上 的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐 随x的增大，逐
渐表现为与y轴 渐表现为与x轴
12、函数模型及其应用(含答案)
12函数模型及其应用1.七类常见函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：4.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．5．解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．练习一1.有一组试验数据如表所示：A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案 B解析根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.3.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)答案2500解析设围成的矩形的长为x m，则宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)＝－14(x－100)2＋2500.当x＝100时，S max＝2500 m2.4．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )答案 B解析当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.5．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )答案 D解析 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ， 则AD ＝8－2x2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)， 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D. 6.某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f (t )表示学生注意力指标．该小组发现f (t )随时间t (分钟)的变化规律(f (t )越大，表明学生的注意力越集中)如下：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－600≤t ≤10，34010<t ≤20，－15t ＋64020<t ≤40(a >0且a ≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 解 (1)由题意得，当t ＝5时，f (t )＝140， 即100·a510－60＝140，解得a ＝4. (2)因为f (5)＝140，f (35)＝－15×35＋640＝115， 所以f (5)>f (35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中． (3)①当0<t ≤10时，由(1)知，f (t )＝100·4t 10－60≥140，解得5≤t ≤10；②当10<t ≤20时，f (t )＝340>140恒成立； ③当20<t ≤40时，f (t )＝－15t ＋640≥140， 解得20<t ≤1003. 综上所述，5≤t ≤1003. 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟． 7．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元答案 A解析 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎨⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5，故选A.8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 由题意得⎩⎨⎧e b＝192，e22k ＋b＝48，即⎩⎨⎧e b ＝192，e11k＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．9．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)如图，作PQ ⊥AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD， 所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}． (2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年答案 B解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.11．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法：①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10；③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5<P A <5.5(注：lg 2≈0.3)． 则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)答案 ③解析 当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg n A ＝lg 2＋5.又lg 2≈0.3，∴P A ≈5.3，则5<P A <5.5，即③正确．12．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎨⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156<x ≤20，x ∈Z .(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．13.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.14．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100答案 C解析 对于A 中的函数，当x ＝3或4时，误差较大．对于B 中的函数，当x ＝4时误差较大．对于C 中的函数，当x ＝1,2,3时，误差为0，x ＝4时，误差为10，误差很小．对于D 中的函数，当x ＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C 中的函数误差最小．15．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似地满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为( )A ．4000只B ．5000只C ．6000只D ．7000只答案 C 解析 当x ＝1时，由3000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y ＝3000×log 3(7＋2)＝6000，故选C.15.某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．无法判断盈亏情况C ．没有盈利也没有亏损D ．略有亏损答案 D解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．16．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 D解析 设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年后，绿化面积g (x )＝a (1＋18%)x ，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y ，则y ＝f (x )＝g x a＝(1＋18%)x ＝1.18x ，因为y ＝1.18x 为底数大于1的指数函数，故可排除A ，C ，当x ＝0时，y ＝1，可排除B ，故选D.17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.答案 8解析 由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216h ，∴h ＝8.令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 8，∴t ＝8.18．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0. 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2， 即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？ 解 (1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5. (2)由题知，f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250， 依题意得⎩⎨⎧ x ≥20，200－x ≥20，解得20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)． 令t ＝x ，则t 2＝x ，t ∈[25，65]， y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．。
2021年新课标新高考数学复习课件：§3.8 函数模型及函数的综合应用
解析 (1)前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,k≠0,将点(1,10)和点(10,3
0)代入函数解析式得
10 30
k b, 10k
b,
解得k=
20 9
,b=
70 9,所以y=源自20 9x+
70 9
,则当x=6
时,y=190 .
9
(2)①根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故
9x-2x2 6-x
=15-2 (6-x)
9 6-x
≤15-12=3,
当且仅当x=3时取等号.故Tmax=3,此时x=3.
(ii)当1≤c<3时,由T'= 2x2 -24x 54 = 2(x-3)(x-9) >0知,函数T=9x-2x2 在[1,c]上
(6-x)2
(6-x)2
6-x
例2 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会 产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:
P=
1 6-x
,1
2 3
,x
c
x
c,
(其中c为小于6的正常数).
(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其
①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
解题导引 (1)根据图象信息,确定函数解析式. (2)由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故空闲率为1-
m
x .建立函数模型后,利用函数的最值求羊群年增长量的最大值.
2.9 函数模型及其应用 2021年高考数学复习优化一轮用书文数
考点1
考点2
考点3
考点4
-34-
2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的 最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.
1.解应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还 要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”),学生常常由 于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错.
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较
大的实际问题. ( √ )
(4)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈ (4,+∞)时,恒有
h(x)<f(x)<g(x). ( √ )
(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)增长速度越来越
快的形象比喻. ( √ )
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x. 所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是 y=100×(1+1.2%)x.
考点1
考点2
考点3
考点4
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(2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万). 所以10年后该城市人口总数约为112.7万. (3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,
-11-
考点1
考点2
考点3
考点4
解:由题意知S(t)=g(t)f(t),
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间的关系是 二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函 数模型,利用二次函数的图象与单调性解决.
考点1
考点2
高考数学一轮复习 第12讲 函数模型及其应用课件 理 北师大版
答案
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第12讲 函数模型及其应用
双
向
—— 链接教材 ——
固 基
1．[教材改编] 已知函数模型①y＝0.25x；②y＝log2x＋1；
础 ③y＝1.002x.随着 x 的增大，增长速度的大小关系是________．
[答案] ③>①>②
[解析] 根据指数函数、幂函数、对数函数的增长速度 关系可得．
时是增长的，但是增长的速度越来越缓慢，底数越大越
明显．( )
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第12讲 函数模型及其应用
双
向
固 基
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
础
[解析] (1)根据二次函数性质知当 a>0 时，f(x)在[－2ba，
＋∞)上是增长的，其导函数 f′(x)＝2ax＋b，因此增长速度 是变化的．
(2)根据指数函数性质得，在 a>0，b>1 的情况下是增 长的，其导函数是 f′(x)＝(aln b)·bx，由于 aln b>0，故其增 长的速度很快，且底数越大增长越快．
且增长速度是变化的．( )
(2)指数型函数模型 f(x)＝a·bx＋c(a，b，c 为常数，
a≠0，b>0，且 b≠1)，这个函数在 a>0，b>1 的情况下是
增长的，而且增长的速度很快，且底数越大增长速度越
快．( )
(3)对数型函数模型 f(x)＝mlogax＋n(m，n，a 为常数， m≠0，a>0，且 a≠1)，这个函数模型在 m>0，底数 a>1
第12讲 函数模型及其应用
双
向 固
3.实际问题中的函数建模
《高考直通车》2021届高考数学一轮复习备课手册：第12课指数函数
第12课 指数函数一、教学目标1．理解指数函数的概念、图像和性质；2．能利用函数图像的平移与对称变换争辩指数函数的图像；3．会利用换元法及分类争辩的数学思想和方法，求解一些简单函数的值域。
二、基础学问回顾与梳理 1、下列函数是指数函数吗？①()23x f x =⋅；②xx f 13)(=；③13)(+=x x f ；④)2,1()1()(≠>-=a a a x f x【教学建议】本题主要是挂念同学复习、理解指数函数的概念。
（1）教学时，老师可让同学说明理由。
结合本题，强调定义重在形式，并且迁移指出高中阶段学习的三大初等函数（幂、指、对）都是形式上的定义。
（2）对于④，要引导同学审题，“)(x f ”意味着函数的自变量为x ，而a 是一个常数，符合指数函数的定义，复习时还可连续追问假如)(x f 是R 上的单调减函数，那么a 的取值范围如何？（教材P52练习1）。
2、对于函数x y 2=、xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21、xy 10=（1）它们各自具有哪些性质？它们在平面直角坐标系中图像如何？（2）xy 2=与xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21的图像有什么关系？x y 2=与xy 10=的图像的相对位置如何？【教学建议】本题改编自课本P50探究问题，主要是复习指数函数的图像和性质。
通过这一组问题，可以挂念同学理解争辩指数函数图像和性质的关键点——“看底数与1的大小关系”。
教学时要强调图像的重要性（指出函数性质的记忆可以通过图像完成）；通过（2）可引导同学总结出指数函数图像当a 变化时的记忆规律以及函数)1,0(≠>=a a a y x与)1,0(1≠>⎪⎭⎫⎝⎛=a a a y x图像的关系。
3、对于函数12+=x y 、22-=x y 、121-=+x y（1）它们各拘束平面直角坐标系中图像与xy 2=的关系如何？ （2）它们各自有哪些性质？【教学建议】本题改编自课本例题3。
教学时，可引导同学从数式特点和图像变换的基本原理两个角度理解，如对于函数12+=x y ，与指数函数xy 2=比较，可设计以下两个问题：（1）从数式特点看，当函数值相等时，自变量的值之间有什么关系？ （2）从图像变换角度来看，把指数函数xy 2=看做)(x f ，那么函数12+=x y 如何表示？另外，对于这些函数所具有的性质不建议用复合函数思想解决，要指导同学养成良好习惯：能画出图像的函数性质，可以从图像上轻松而精确 地得到。
全国文数第12课 函数模型及其应用
37
两组题讲透
数学低段
第12课 第（8）题
P49
38
两组题讲透
数学低段
第12课 第（8）题
P49
39
两组题讲透
数学低段
第12课 第（8）题
P49
40
数学低段
第12课 小积累
P50
41
两组题讲透
数学低段
第12课 第（9）题
P50
42
两组题讲透
数学低段
第12课 第（9）题
数学低段
第11-12课 第 12 题 P18
96
课 后 提 分 练 11 12 B
数学低段
第11-12课 第 12 题 P18
97
课 后 提 分 练 11 12
数学低段
第11-12课 第 13 题 P18
98
课 后 提 分 练 11 12
数学低段
第11-12课 第 13 题 P18
课后提分练 11-12 A组 第1题
第5题 第9题
B组 第13题
第2题 第7题
第3题 第8题
第4题 第9题
第5题
第2题 第6题 第10题 第14题
第3题 第7题 第11题
第4题 第8题 第12题
目录
2
一张图学透
数学低段
第12课 一张图学透
常见的函 数模型
3
一张图学透
数学低段
第12课 一张图学透
数学低段
第12课 第（1）题
P47
8
两组题讲透 D
数学低段
第12课 第（1）题
P47
9
数学低段
第12课 方法便笺
P48
【高三】2021届高考数学函数模型及其应用知识归纳复习教案
【高三】2021届高考数学函数模型及其应用知识归纳复习教案 3.函数模型及其应用知识归纳1．求解函数应用问题的思路和方法2.功能建模的基本过程误区警示在解决函数应用问题时，关键环节是检查问题。
检查问题时：一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；二是将书面语言正确准确地翻译成数学语言言，用数学表达式加以表示；第三，找出给定的条件和需要解决的问题过何种数学模型加以解决；四是严格按照各种数学模型的要求进行推理运算算，并对运算结果作出实际解释．3.对常见功能模型的理解（1）一次函数模型（其增长特点是直线上升（的系数），通过图象可很直观地认识它）、二次函数型、正反比例函数型（2）指数函数模型：可以用指数函数表示的函数模型。
它的增长特征是，随着自变量的增加，函数值的增长速度越来越快。
它通常被生动地称为“指数爆炸”。
（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。
（4）幂函数模型：可以用幂函数表示的函数模型。
它的增长取决于价值的变化。
公共二次函数模型。
（5）分式（“勾”）函数模型：形如的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。
四、典型分析题型1：正比例、反比例、一次函数型和二次函数型例1。
当一件商品的原价为每件1元时，每天可以卖出M件。
现在，在降价X个百分点（即X%）后，销售量增加了Y个百分点，日销售量是原来的k倍。
（1）设y=nx，其中n是大于1的常数，试将k写成x的函数；（2）当销售量最大时，求X的值（结果可用n的公式表示）；（3）当n＝2时，要使销售额比原来有所增加，求x的取值范围。
解决方案：（1）根据主题的含义，有一个（1-x%）×M（1+y%）=Kam，替换y=NX并简化它（2）由（1）知当时，k值最大。
因为销售额为amk，所以此时销售额也最大，且销售额最大为元。
2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分12函数模型及其应用
2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分12函数模型及其应用1．往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，那么他应付邮费( ) A．3.20元B．2.90元C．2.80元 D.2.40元解析：由题意得20×3＜72.5＜20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A.答案：A2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：A．y＝2x B.y＝x2－1C．y＝2x－2 D.y＝log2x解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x ＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.答案：D3．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案D.答案：D4．[xx·北京]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟 B.3.75分钟C．4.00分钟 D.4.25分钟解析：由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图像过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.812 5，所以当t ＝3.75分钟时，可食用率p 最大．故选B.答案：B5．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt ，假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶中的水只有a 8升，则m 的值为( )A ．8B.10 C ．12D.15 解析：由已知条件可得a e 5n ＝a 2，e 5n ＝12.由a e nt ＝a 8，得e nt ＝18，所以t ＝15，m ＝15－5＝10.答案：B6．国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2 800元 B.3 000元C ．3 800元 D.3 818元解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 (x ≤800)，(x －800)×14% (800＜x ≤4 000)，11%·x (x ＞4 000).如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420.∴x ＝3 800(元).答案：C7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝__________，经过5小时，1个病毒能繁殖为__________个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ，∴k ＝2ln2.∴y ＝e 2t ln2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln2＝210＝1 024.答案：2ln2 1 0248．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了______km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9， 0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1， 3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8.由y ＝22.6，解得x ＝9.答案：99．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为__________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486.答案：30 cm 、20 cm10．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧248－x －1(0≤x ≤4)，7－12x (4＜x ≤14).若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3(克/升)，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？解析：(1)由题意知k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫248－2－1＝3，得k ＝1. (2)因为k ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 968－x －4(0≤x ≤4)，28－2x (4＜x ≤14)，则当0≤x ≤4时，由968－x－4≥4，解得8＞x ≥－4，所以此时0≤x ≤4. 当4＜x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12，所以此时4＜x ≤12. 综上可知0≤x ≤12，若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟．B 级 能力提升练11．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元． (1)求证：生产a 千克该产品所获得的利润为100a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解析：(1)证明：生产a 千克该产品所用的时间是a x 小时，∵每一小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元，∴获得的利润为100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ×a x 元． 因此生产a 千克该产品所获得的利润为100a ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元． (2)生产900千克该产品获得的利润为90 000·⎝⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元，1≤x ≤10.设f (x )＝－3x 2＋1x ＋5,1≤x ≤10.则f (x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋112＋5，当且仅当x ＝6取得最大值． 故获得最大利润为90 000×6112＝457 500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元．12．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋k x －8＋5(0＜x ＜6)，14(x ≥6)，)已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解析：(1)由题意可得：L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋k x －8＋2，0＜x ＜6，11－x ，x ≥6，因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k 2－8＋2， 解得k ＝18. (2)当0＜x ＜6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[2(8－x )＋188－x ]＋18≤－22(8－x )·188－x＋18＝6. 当且仅当2(8－x )＝188－x，即x ＝5时取得等号． 当x ≥6时，L ＝11－x ≤5.所以当x ＝5时，L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．21225 52E9勩Rq 39809 9B81 鮁39362 99C2 駂9L37492 9274 鉴38107 94DB 铛40702 9EFE 黾F29624 73B8 玸21502 53FE 叾25159 6247 扇。
2021年浙江高考数学复习课件：2.8 函数模型及综合应用
4.幂函数模型:能用幂函数型函数表达的函数模型,其增长情况由xn中n的取
值而定,常见的有二次函数模型.
5.“对勾”函数模型:形如f(x)=x+
a x
(a>0,x>0)的函数模型在现实生活中也
有着广泛的应用,常利用“基本不等式”解决,有时利用函数的单调性求解
最值.
6.解函数应用题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数
学知识,建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下:
例 (2019湖北荆州质量检查(一),20)为响应国家提出的“大众创业,万众 创新”的号召,小李大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市 场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为5万元,每年生产x万件,
需另投入流动成本为C(x)万元,且C(x)=
1 2
x2
4x,0
x
8,
11x
49
-35,x
8,
每件产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年
销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量为多少万件时,小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大
为127 万元.
8
利润是多少?
解析 (1)因为每件产品售价为10元, 所以x万件产品的销售收入为10x万元,
依题意得,当0<x<8时,P(x)=10x-
1 2
x2
通用版高考数学一轮复习2.12函数模型及其应用课件文
课前自修区
基础相对薄弱，一轮复习更需重视 基础知识的强化和落实
课堂讲练区
考点不宜整合太大，挖掘过深 否则会挫伤学习的积极性
课时跟踪检测
课 前自 修区
一、基础知识批注——理解深一点
性质
函数
在(0，＋∞) 上的增减性
y ＝ a x (a >1)
单调递增
y＝ log ax(a>1)
0.99 0.01
2.01 0.98
3.98 2.00
课 堂讲 练区
考点一 二次函数、分段函数模型
月份 一月份 二月份 三月份
用气量 4 m3 25 m 3 35 m 3
煤气费 4元 14 元 19 元
考点二 指数函数、对数函数模型
单调递增
y＝xn (n >0)
单调递增
增长速度
越来越快
， 随x的增大，
逐渐表现为与 逐渐表现为与
y轴平行
x轴平行
随n 值变化
而各有不同
值的比较
存在一个x0 ，当x> x0 时，有log ax< xn < ax
二、基础小题强化——功底牢一点
x
0.50
y
－0.99
考点3.9 函数模型及其应用(解析版)-备战2021年高考数学(理)考点手册
考点3.9 函数模型及其应用1．几类函数模型2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤．提示解函数应用题的步骤1．（2020•山东）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(20.69)ln ≈ A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【答案】B【解析】把0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，可得0.38r =，0.38()t I t e ∴=， 当0t =时，(0)1I =，则0.382t e =， 两边取对数得0.382t ln =，解得21.80.38ln t =≈． 故选B ．2．（2020•新课标Ⅲ）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( )(193)ln ≈ A ．60 B ．63 C ．66 D ．69【答案】C【解析】由已知可得0.23(53)0.951t K K e --=+，解得0.23(53)119t e --=， 两边取对数有0.23(53)19t ln --=-， 解得66t ≈， 故选C ．3．（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为1M ，月球质量为2M ，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++． 设rRα=．由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为( ) ABCD【答案】D 【解析】rR α=．r R α∴=， r 满足方程：121223()()M M MR r R r r R+=++． ∴3453221333(1)M M ααααα++=≈+，r R α∴==． 故选D ．4．（2020•上海）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为qv x=，x 为道路密度，q 为车辆密度．801100135(),040()3(40)85,4080xx v f x k x x ⎧⎪-<<==⎨⎪--+⎩． （1）若交通流量95v >，求道路密度x 的取值范围；（2）已知道路密度80x =，交通流量50v =，求车辆密度q 的最大值． 【解析】（1）qv x=，v ∴越大，x 越小， ()v f x ∴=是单调递减函数，0k >，当4080x 时，v 最大为85，于是只需令801100135()953x ->，解得803x <，故道路密度x 的取值范围为80(0,)3．（2）把80x =，50v =代入()(40)85v f x k x ==--+中， 得504085k =-+，解得78k =．801100135(),04037(40)85,40808x x x x q vx x x x x ⎧-<<⎪⎪∴==⎨⎪--+⎪⎩， ①当040x <<时，801100135()1003x v =-<，100404000q vx =<⨯=．②当4080x 时，q 是关于x 的二次函数，271208q x x =-+，对称轴为4807x =，此时q 有最大值，为2748048028800()12040008777-⨯+⨯=>． 综上所述，车辆密度q 的最大值为288007． 5．（2020•上海）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】（1）投放点1(120,0)ω，2(60,0)ω，60(10)f 表示与(10,0)B 距离最近的投放点（即2)ω的距离，所以60(10)|6010|50f =-=，同理分析，60(80)|6080|20f =-=，60(95)|12095|25f =-=， 由题意得，60(){|60|f x x =-，|120|}min x -， 则当|60||120|x x --，即90x 时，60()|60|f x x =-；当|60||120|x x ->-，即90x >时，60()|120|f x x =-； 综上60|60|,90()|120|,90x x f x x x -⎧=⎨->⎩；（2）由题意得(){||t f x t x =-，|120|}min x -，所以||,0.5(120)()|120|,0.5(120)t t x x t f x x x t -+⎧=⎨->+⎩，则()t f x 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以222113(120)603600244S t t t t =+-=-+，由题意，(60)S S <，即2360360027004t t -+<，解得2060t <<，即垃圾投放点2ω建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利．6．（2019•上海）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解析】（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2） 6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>， 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增，令6.44200.1136357876.60531200001te ->+，解得50.68t >，∴当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．7．（2017•上海）根据预测，某地第*()n n N ∈个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+=⎨-+⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【解析】（1）4515,1310470,4n n n a n n ⎧+=⎨-+⎩，5n b n =+41511520a ∴=⨯+= 42521595a =⨯+= 435315420a =⨯+= 4104470430a =-⨯+= 1156b =+= 2257b =+= 3358b =+= 4459b =+=∴前4个月共投放单车为12342095420430965a a a a +++=+++=，前4个月共损失单车为1234678930b b b b +++=+++=，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为96530935-=．（2）令n n a b ，显然3n 时恒成立， 当4n 时，有104705n n -++，解得46511n， ∴第42个月底，保有量达到最大．当4n ，{}n a 为公差为10-等差数列，而{}n b 为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为442142430506473953542395354287822222a ab b ++++⨯+-⨯=⨯+-⨯=．4241688008736S =-⨯+=．87828736>，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．8．（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【解析】（Ⅰ）当19n =时，19200,193800,1919200(19)500,195005700,19x x y x x x x ⨯⎧⎧==⎨⎨⨯+-⨯>->⎩⎩（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06， 更换的易损零件数为17个频率为0.16， 更换的易损零件数为18个频率为0.24， 更换的易损零件数为19个频率为0.24又更换易损零件不大于n 的频率为不小于0.5．则19nn ∴的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件， 所须费用平均数为：1(7019200430020480010)4000100⨯⨯+⨯+⨯=（元) 假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件， 所须费用平均数为1(904000104500)4050100⨯+⨯=（元) 40004050<∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．1．（2020•梅河口市校级模拟）“开车不喝酒，喝酒不开车．”近日，公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表示的函数模型0.540sin()13,02()39014,2x x x f x ex π-⎧+<⎪=⎨⎪+⎩，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：15 2.71ln ≈，30 3.40)(ln ≈)表：车辆驾驶人员血液酒精含量阈值80A．5h B．6h C．7h D．8h【答案】B【解析】由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令0.59014202xex-⎧+<⎨⎩，故0.51152xex-⎧<⎪⎨⎪⎩，所以2152 2.71 5.42x ln>≈⨯=，故选B．2．（2020•碑林区校级模拟）咖啡产品的经营和销售如何在中国开拓市场是星巴克、漫咖啡等欧美品牌一直在探索的内容，而2018年至今中国咖啡行业的发展实践证明了以优质的原材料供应以及大量优惠券、买赠活动吸引消费者无疑是开拓咖啡的中国市场的最有效的方式之一．若某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元/杯，其原材料成本为7元/杯，营销成本为5元/杯，且品牌门店提供如下4种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2）3.8折优惠券，每人限用一次；（3）买2杯送2杯，每人限用两次；（4）买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数．每位消费者都可以用以上4种优惠方式中选择不多于2种使用．现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于()人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利．A．28B．29C．30D．31【答案】C【解析】由题意知，咖啡产品原价为30 元/杯，成本为12 元/杯，优惠方式（1）免单购买，每购买1杯该品牌门店亏损12元；优惠方式（2）每杯售价11.4元，每购买1杯该品牌店亏损0.6元； 优惠方式（3）和（4）相当于5折购买，每购买1杯该品牌门店盈利3元； 我们只需要考虑最优的购买方式，每位后勤工作人员能选择2种优惠方式， 必然包含优惠方式（1），可以免单购买5杯咖啡，该品牌门店因此亏损60元， 最优的购买方式是不包含原价购买任何一杯咖啡(11.4530111.42154⨯+⨯>⨯+⨯，说明只要用原价购买1杯咖啡，哪怕最大程度利用3.8折优惠，花费也一定会超过搭配使用（2）（4）优惠购买咖啡），故显然该品牌门店必须按照优惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利， 故技术人员人数一定多于52025+=人；技术人员在2629-人时，免单购买5杯咖啡+买5送5购买20杯咖啡 3.8+折购买14杯咖啡，该品牌门店依旧亏损；技术人员为30人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡十买5送5购买20杯咖啡十买2送2购买4杯咖啡 3.8+折购买1杯咖啡，该品牌门店盈利324600.6114⨯--=元； 由于11.40.6>⨯ 4， 故技术人员超过30人时，该品牌门店能保证持续盈利． 故选C ．3．（2020•道里区校级四模）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log (1)SC W N=+．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升至4000，则C 大约增加了( )附：20.3010lg ≈ A ．10% B ．20% C ．50% D ．100%【答案】B 【解析】当1000SN= 时，2log 1000C W =， 当4000SN= 时，2log 4000C W =， 因为22log 40004000322 3.60201.2log 1000100033lg lg lg +==≈≈， 所以将信噪比SN从1000提升至 4000，则C 大约增加了20%，故选B ．4．（2020•吉林四模）某品牌牛奶的保质期y （单位：天）与储存温度x （单位：C)︒满足函数关系(0,1)kx b y a a a +=>≠，该品牌牛奶在0C ︒的保质期为270天，在8C ︒的保质期为180天，则该品牌牛奶在24C ︒的保质期是( ) A ．60天 B ．70天C ．80天D ．90天【答案】C【解析】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C)︒满足函数关系(0,1)kx b y a a a +=>≠，该品牌牛奶在0C ︒的保质期为270天，在8C ︒的保质期为180天， ∴08270180k b k b a a++⎧=⎨=⎩，解得823k a =，∴该品牌牛奶在24C ︒的保质期：248332()()270803k b k b y a a a +==⨯=⨯=（天)．故选C ．5．（2020•成都模拟）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示．则观赛场地的面积最大值为( )A ．2400mB ．2C ．2600mD ．2800m【答案】D【解析】由题意矩形的另两个顶点在半圆轴上时，矩形面积才能取得最大值，OD =， 设矩形在半圆板直径上的一边长为2x ，θ角如图所示，则x θ=，另一边的长为CD θ=， 矩形面积为1600sin cos 800sin2S θθθ==，当290θ=︒即45θ=︒时，也即长为40︒=，宽为4520︒=时，矩形面积最大． 最大面积是2800m ． 故选D ．6．（2020•茂名二模）在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图．圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用．山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示．以该木塔底层的边AB 作方形，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等．以塔底座的边作方形，作方圆图，会发现方圆的切点D 正好位于塔身和塔顶的分界．经测量发现，木塔底层的边AB 不少于47.5米，塔顶C 到点D 的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是( )1.414)≈A ．66.1米B ．67.3米C ．68.5米D ．69.0米【答案】B【解析】设该木塔的高度为h，则由图可知，47.5 1.41467.165h =⨯=（米)．同时CDh=，19.967.91.41412h∴==≈-（米)． 即木塔的高度h 约在67.165米至67.9米之间，结合选项，可得B ． 故选B ．7．（2020•漳州三模）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量x 克与食客的满意率y 的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型bx c y ae +=来拟合y 与x 的关系，根据以下数据：可求得y 关于x 的回归方程为( )A ．0.043 4.291x y e -=B ．0.043 4.291x y e +=C ．0.043 4.2911100x y e-=D ．0.043 4.2911100x y e+=【答案】D【解析】可令(100)Y ln y =， 因为1(12345)35x =++++=，1(4.34 4.36 4.44 4.45 4.51) 4.425Y =++++=．所以Y 关于x 的回归直线过点(3,4.42)， 又0.043 4.2911(100)0.043 4.291100x y e Y ln y x +=⇔==+， 0.043 4.2911(100)0.043 4.291100x y e Y ln y x -=⇔==-， 0.043 4.2910.043 4.291(100)(100)0.043 4.291100x x y e Y ln y ln e x ln ++=⇔===++， 0.043 4.2910.043 4.291(100)(100)0.043 4.291100x x y e Y ln y ln e x ln --=⇔===-+， 把(3,4.42)代入上面4个解析式检验可知只有0.043 4.291Y x =+过点(3,4.42)， 故选D ．8．（2020•济南模拟）“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即11()1nii i a an -=--∑．国内生产总值()GDP 被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，如表是我国20152019-年GDP 数据：根据表中数据，20152019-年我国GDP 的平均增长量为( ) A ．5.03万亿 B ．6.04万亿 C ．7.55万亿 D ．10.07万亿【答案】C【解析】设2015年国内生产总值为168.89a =万亿，则依次274.64a =万亿， 383.20a =万亿，491.93a =万亿，599.09a =万亿．20152019-年我国GDP 的平均增长量为：(74.6468.89)(83.2074.64)(91.9383.20)(99.0991.93)4-+-+-+-5.758.568.737.1630.27.5544+++===万亿．答：20152019-年我国GDP 的平均增长量为7.55万亿． 故选C ．9．（2020•厦门模拟）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v （单位：/)m s ，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3log 100Q成正比．当1/v m s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为890．则当2/v m s =时，其耗氧量的单位数为( ) A ．2670 B ．7120 C ．7921 D ．8010【答案】C 【解析】v 与3log 100Q成正比，比例系数设为k ， 可得3log 100Q v k =， 当1v =时，890Q =， 即有31log 8.9k =， 即8.9log 3k =， 则当2v =时，32log 100Q k =，即8.938.92log 3log log 100100Q Q==， 则28.9100Q=， 可得7921Q =， 故选C ．10．（2020•张家口二模）为彻底打赢脱贫攻坚战，2020年春，某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富，若该农户计划种植冬瓜和茄子，总面积不超过15亩，帮扶资金不超过4万元，冬瓜每亩产量10000斤，成本2000元，每斤售价0.5元，茄子每亩产量5000斤，成本3000元，每斤售价1.4元，则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为( ) A ．4万元 B ．5.5万元 C ．6.5万元 D ．10万元【答案】B【解析】设冬瓜和茄子的种植面积分别为x ，y 亩，总利润z 万元， 则目标函数(0.5100002000)(1.450003000)z x x y y =-+- 300040001000(34)x y x y =+=+，线性约束条件为1520003000400000,0x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩，即152340,0x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩，作出可行域如图，由152340x y x y +=⎧⎨+=⎩可得510x y =⎧⎨=⎩，即(5,10)A ，平移直线:340l x y +=，可知直线l 经过点(5,10)A 时， 即5x =，10y =时，z 取得最大值5.5万元． 故选B ．11．（2020•合肥三模）某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为91550(110)nm nm m -=，测得某时刻频移为99.03010(1/)h ⨯，则该时刻高铁的速度约等于( )A ．320/km hB ．330/km hC ．340/km hD ．350/km h【答案】D【解析】3sin ϕ-==故9 1.00049.03010v⨯=，即9.03故349982.48v ≈米/小时350/km h ≈．故选D．12．（2020•成都模拟）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为4π的扇形空地OPQ 的内部修建一平行四边形观赛场地ABCD ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为( )A ．2200mB ．2400(2mC ．21)mD ．21)m【答案】D【解析】如图，作DE OP ⊥，CF OP ⊥，垂足分别为E 、F ，则平行四边形面积即为矩形EFCD 的面积，设POC θ∠=，由题4POQ π∠=，则CD DE OE θ===，sin )EF OF OE θθ=-=-，所以矩形EFCD 面积sin )202sin 400(sin 2cos 21)S θθθθθ=-=+-)4πθ=+，其中(0,)4πθ∈，则2(44ππθ+∈，3)4π，所以当8πθ=时，矩形EFCD 面积最大，最大值为1)，此时平行四边形ABCD 的面积也取得最大值． 故选D ．13．（2020•房山区二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，经过t 分钟后物体的温度C θ︒可由公式010()kt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80C ︒的物体，放在20C ︒的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40C ︒，则k 约等于( )（参考数据：3 1.099)ln ≈ A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3【答案】D【解析】由题意可得：44020(8020)k e -=+-， 413k e -∴=，两边取对数可得：143 1.0993k ln ln -==-=-，1.0990.34k ∴=≈． 故选D ．14．（2020•山东模拟）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式112||(2)T q l d dλλλ=+，其中玻璃的热传导系数31410λ-=⨯焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数42 2.510λ-=⨯焦耳/（厘米度），△T 为室内外温度差，q 值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是( ) A ．A 型 B ．B 型C ．C 型D ．D 型【答案】D 【解析】设1122(2)2162l y d l d l d d λλλλ=+=+=+， 48.8A y ∴=，64.6B y =，49C y =，64.8D y =， A C B D y y y y ∴<<<，1λ和|△|T 均为正常数，A CB D q q q q ∴>>>，D ∴型玻璃保温效果最好．故选D ．15．（2020•辽宁模拟）人们通常以分贝（符号是)dB 为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10110xf x lg-=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为( )A ．10B ．100C ．1000D ．10000【答案】D【解析】由题意，可知当声音强度的等级为90dB 时，有121090110xlg -⨯=⨯， 即129110xlg -=⨯，则91210110x-=⨯， 此时对应的强度9123101010x --=⨯=， 当声音强度的等级为50dB 时，有121050110xlg -⨯=⨯，即125110xlg -=⨯，则51210110x-=⨯， 此时对应的强度5127101010x --=⨯=，90dB ∴的声音与50dB 的声音强度之比为33(7)471010101000010-----===．故选D ．16．（2020•茂名二模）某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：（1）若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；（3）若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠． 某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元； 方案二：一次性付款购买．若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省( )元 A ．540 B ．620 C ．640 D ．800【答案】C【解析】由题意可得，方案一中第一次付款2880元时， 28802000>，∴该款饲料的原价享受了9折优惠，则其原价为288032000.9=元；第二次付款4850元时，50000.94500⨯=，且48504500>，∴其原来的价格为48504500500055000.7-+=元．∴分两次购买饲料的原价为320055008700+=元．方案二：若一次性付款，则应付款为：50000.9(87005000)0.77090⨯+-⨯=元， 方案二比方案一节省(28804850)7090640+-=元． 故选C ．17．（2020•武汉模拟）5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log (1)SC W N=+．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了( ) A ．10% B ．30% C ．50% D ．100%【答案】A 【解析】将信噪比SN从1000提升至2000时，C 大约增加了 222222(12000)(11000)2001100110.9679.96710%(11000)10019.967Wlog Wlog log log Wlog log +-+--=≈≈+，故选A ．18．（2020•威海一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为( ) A ． 1.510 B ．1.5C ． 1.5lgD ． 1.510-【答案】A【解析】设日本地震所释放出的能量是1E ，汶川地震所释放出的能量是2E ， 则1 4.8 1.5918.3lgE =+⨯=，2 4.8 1.5816.8lgE =+⨯=，18.3110E ∴=，16.8210E =；∴1.51210E E ==． 故选A ．19．（2020•道里区校级一模）某商场每天的食品销售额x （万元）与该商场的总销售额y （万元）具有相关关系，且回归方程为ˆ9.7 2.4yx =+．已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为( ) A ．110B ．19C ．18D ．17【答案】A【解析】商场每天的食品销售额x （万元）与该商场的总销售额y （万元）的线性回归方程为ˆ9.7 2.4yx =+， ∴当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为9.78 2.480y =⨯+=， ∴该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：818010=， 故选A ．20．（2020•运城一模）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，⋯⋯，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为( )A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米【答案】D【解析】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{}n a ，且1100a =，110q =，0.1n a =， ∴乌龟爬行的总距离为4111000.1101101190110n n a a qS q-⨯--===--， 故选D ．21．（2020•桥西区校级模拟）2019年国际泳联游泳锦标赛在韩国光州举行，最终中国队收获16枚金牌，位列金牌榜第振奋人心！在这届国际游泳锦标赛的200米男子自由泳决赛中，中国某游泳名将的成绩是1分44.93秒，若该名将游泳时每划的距离略低于自身的身高（整个过程视为匀速，且每划的距离视为近似相等），则他在这次决赛中前20秒的总划数可能为( ) A ．15 B ．21 C ．27 D ．33【答案】B【解析】这名游泳名将每秒钟划水的距离约为2002001.96044.93105≈=+，若20秒的总划数为21，则平均每秒钟的划数为1.05， 则1.91.811.05≈，符合每划的距离略低于自身的身高这条件，而其他选项不符合条件． 故选B ．22．（2020•重庆模拟）为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度，某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱贫的户数占当年贫困户总数的比）为70%，2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加户数占2019年贫困总户数的比）及该项目的脱贫率见表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的( )倍． A ．75B ．477350C ．487350D ．3728【答案】B【解析】2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的45%96%45%90%10%90%47770%350⨯+⨯+⨯=倍． 故选B ．23．（2020•荆门模拟）我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( ) A ．多821斤 B ．少821斤 C ．多13斤D ．少13斤【答案】A【解析】设十等人得金从高到低依次1a ，2a ，⋯⋯，10a ，则{}n a 为等差数列， 设公差为d ，则由题意可知123891043a a a a a a ++=⎧⎨++=⎩；243a ∴=，91a =，921721a a d -∴==-； 198821a a d ∴-=-=． 即等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多821斤． 故选A ．24．（2020•衡阳一模）衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y （单位：万元）随经营利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%．下列函数模型中，符合该点要求的是( )（参考数据：1001.015 4.432≈，11 1.041)lg ≈ A ．0.04y x = B ． 1.0151x y =-C ．tan(1)19xy =-D ．11log (310)y x =-【答案】D【解析】对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>，不符合题意； 对于函数： 1.0151x y =-，当100x =时， 3.4323y =>，不符合题意； 对于函数：tan(1)19xy =-，不满足递增，不符合题意；对于函数：11log (310)y x =-，满足(6x ∈，100]，增函数， 且11log y 1111(310010)log 290log 13313⨯-=<=， 结合图象，15y x =与11log y = (310)x -的图象如图所示：符合题意， 故选D ．25．（2020•湖北模拟）众所周知，银行的运营方式一直是个谜，但去银行存款却又是一个十分实际的问题，所以理解清楚银行的运营方式对我们进入社会大展手脚是一个帮助．某人拟去附近的一家银行存款，得知该银行对于数额非特别巨大的存款有如下两种存款方案（单次存款金额不得少于100元）:[方案一]定期存款策略：固定存款年，年利率为3%，存满一年后本金与利息作为下一年的本金继续实行存款策略．若中途取出存款则会扣除全部利息并收取550-元依本金数额而定的手续费（从存款中扣除），具体扣费措施见附表．若一年内存在两次取出存款，则该人在这一年内将被计入不诚信档案．当该人被计入不诚信档案后，收取的手续费将增加至四倍．[方案二]活期存款策略：年利率为1%，可以随时存取款并且不扣除利息以及手续费． [手续费附表] 5[]500N⨯1000]1000N -45 [补充内容]①年利率是指，理论上存款一年后获得的利息（即银行通过利用存款人的存款资金进行理财而获得盈利后对存款人的账户相应地存入一定数额的报酬）与一年前的本金的比值．若存款不满一年，获得的利息将按照存款时间与一年的比值乘以利率及本金来计算． ②注：[]x 表示大于等于x 的最小整数．如[3.4]4= 则以下说法中正确的序号组合是( )。
【步步高】2021届高考数学总温习 函数模型及其应用学案 理 北师大版(1)
学案12函数模型及其应用导学目标：1.了解指数函数、对数函数和幂函数的增加特点．明白直线上升、指数增加、对数增加等不同函数类型增加的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍利用的函数模型)的普遍应用．自主梳理1．三种增加型函数模型的图象与性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的单调性增长速度图象的变化随x增大逐渐表现为与____平行随x增大逐渐表现为与____平行随n值变化而不同2.三种增加型函数之间增加速度的比较(1)指数函数y＝a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)在区间(0，＋∞)上，不管n比a大多少，尽管在x的必然范围内a x会小于x n，但由于y＝a x的增加速度________y ＝x n的增加速度，因此总存在一个x0，当x>x0时有________．(2)对数函数y＝log a x(a>1)与幂函数y＝x n (n>0)对数函数y＝log a x(a>1)的增加速度，不论a与n值的大小如何总会________y＝x n的增加速度，因此在概念域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________．由(1)(2)能够看出三种增加型的函数尽管均为增函数，但它们的增加速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有_____________________．3．函数模型的应用实例的大体题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)成立确信性的函数模型解决问题；(3)成立拟合函数模型解决实际问题．4．函数建模的大体程序自我检测1．以下函数中随x 的增大而增大速度最快的是 ( )A ．v ＝1100e xB ．v ＝100ln xC ．v ＝x 100D ．v ＝100×2x2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)别离为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．假设该公司在这两地共销售15辆车，那么能取得的最大利润为( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.513．(2020·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)能够表示为( ) A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510]4．(2020·湘潭月考)某工厂6年来生产某种产品的情形是：前三年年产量的增加速度愈来愈快，后三年年产量维持不变，那么该厂6年来这种产品的总产量C 与时刻t (年)的函数关系图象正确的选项是( )5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止饮酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通平安，某地依照《道路交通平安法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少通过________小时，才能开车？(精准到1小时)探讨点一 一次函数、二次函数模型例1 (2020·阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总本钱y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式能够近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均本钱最低，并求最低本钱；(2)假设每吨产品平均出厂价为40万元，那么昔时产量为多少吨时，能够取得最大利润？最大利润是多少？ 变式迁移1 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全数租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每一个月需要保护费150元，未租出的车每辆每一个月需要保护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 探讨点二 分段函数模型例2 据气象中心观看和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时刻t (h) 的函数图象如下图，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部份的面积即为t (h)内沙尘暴所通过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 转变的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判定这场沙尘暴是不是会侵袭到N 城，若是会，在沙尘暴发生后多长时刻它将侵袭到N 城？若是可不能，请说明理由．变式迁移2 某市居民自来水收费标准如下：每户每一个月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部份每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量别离为5x,3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)假设甲、乙两户该月共交水费26.4元，别离求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 探讨点三 指数函数模型例3 诺贝尔奖发放方式为：每一年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给别离在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有利奉献的人，每一年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并依照所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试依照f (x )的表达式判定网上一那么新闻“2020年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是不是为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)变式迁移3 (2020·商丘模拟)现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时割裂一次，即由1个细胞割裂成2个细胞，按这种规律进展下去，通过量少小时，细胞总数能够超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)1．解许诺用问题的程序归纳为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，成立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义． 2．考查函数模型的知识表此刻以下几个方面： (1)利用函数模型的单调性比较数的大小；(2)比较几种函数图象的转变规律，证明不等式或求解不等式； (3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题． (总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1．在某种新型材料的研制中，实验人员取得了以下一组实验数据．现预备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x2C ．y ＝12(x 2－1)D ．y ＝2.61cos x2．拟定甲地到乙地通话m 分钟的费f (m )＝1.06×(0.5×[m ]＋1)(单位：元)，其中m >0，[m ]表示不大于m 的最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m ∈[0.5,3.1]时，函数f (m )的值域是( )A ．{1.06,2.12,3.18,4.24}B ．{1.06,1.59,2.12,2.65}C ．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18}D ．{1.59,2.12,2.65}3．(2020·秦皇岛模拟)某商店出售A 、B 两种价钱不同的商品，由于商品A 持续两次提价20%，同时商品B持续两次降价20%，结果都以每件23元售出，假设商店同时售出这两种商品各一件，那么与价钱不升不降时的情形比较，商店盈利情形是 ( )A ．多赚约6元B ．少赚约6元C ．多赚约2元D ．盈利相同4．国家规定个人稿费纳税方法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部份的14%纳税；超过4 000元的按全数稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，那个人应得稿费(扣税前)为( ) A ．4 000元 B ．3 800元 C ．4 200元D ．3 600元5．(2020·沧州月考)生产必然数量的商品的全数费用称为生产本钱，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产本钱为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A ．18万件 B ．20万件 C ．16万件D ．8万件6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增加率为b,2020年产生的垃圾量为a t ，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2021年的垃圾量为__________t.7．(2020·金华十校3月联考)有一批材料能够建成200 m 长的围墙，若是用此批材料在一边靠墙的地址围成一块矩形场地，中间用一样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图)，那么围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食物加工厂对饼干采纳两种包装，其包装费用、销售价钱如下表所示：那么以下说法中正确的选项是①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多． 三、解答题(共38分)9．(12分)(2020·湖南师大附中仿真)设某企业每一个月生产电机x 台，依照企业月度报表知，每一个月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地知足以下关系：m ＝92x －14，n ＝－14x 2＋5x ＋74，当m －n ≥0时，称不亏损企业；当m －n <0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．(1)企业要成为不亏损企业，每一个月至少要生产多少台电机？ (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严峻，最大亏损额为多少？10．(12分)某单位用2 160万元购得一块空地，打算在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，若是将楼房建为x (x ≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)11．(14分)(2020·鄂州模拟)某宾馆有相同标准的床位100张，依照体会，当该宾馆的床价(即每张床天天的租金)不超过10元时，床位能够全数租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了取得较好的效益，该宾馆要给床位一个适合的价钱，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必需高于支出，而且高出得越多越好．假设用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．(1)把y 表示成x 的函数，并求出其概念域；(2)试确信该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？ 答案 自主梳理1．增函数 增函数 增函数 愈来愈快 愈来愈慢 相对平稳 y 轴 x 轴 2.(1)快于 a x >x n (2)慢于 log a x <x n a x >x n >log a x自我检测1．A [由e>2，知当x 增大时，1100e x 增大更快．]2．B [依题意，可设甲销售x 辆，那么乙销售(15－x )辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x ) ＝－0.15x 2＋3.06x ＋30 (x ≥0)． ∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．]3．B [每10个人能够推选1个，(x mod 10)>6能够再推选一个，即若是余数(x mod 10)≥7相当于给x 多加了3，因此能够多一个10出来．]4．A 5．5解析 设x 小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL ，那么有0.3·⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ≤0.09，即⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ≤0.3. 估算或取对数计算，得5小时后，能够开车． 课堂活动区例1 解 (1)每吨平均本钱为y x(万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2x 5·8 000x－48＝32，当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均本钱最低为32万元． (2)设年取得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15×(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可取得最大利润1 660万元．变式迁移1 解 (1)租金增加了600元，因此未租出的车有12辆，一共租出了88辆． (2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50 －⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150 ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.答 当每辆车月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大为307 050. 例2 解 (1)由图象可知： 当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)， ∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上，可知S ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30. ∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．变式迁移2 解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5.因此甲户用水量为5x ＝7.5吨， 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．例3 解题导引 指数函数模型的应用是高考的一个要紧内容，常与增加率相结合进行考查．在实际问题中有人口增加、银行利率、细胞割裂等增加问题能够用指数函数模型来表示．通常可表示为y ＝a (1＋p )x (其中a 为原先的基础数，p 为增加率，x 为时刻)的形式．解 (1)由题意知：f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)·6.24%＝f (1)×(1＋3.12%)，f (3)＝f (2)×(1＋6.24%)－12f (2)×6.24%＝f (2)×(1＋3.12%)＝f (1)×(1＋3.12%)2， ∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x －1(x ∈N *)．(2)2020年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2020年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相较少了约14万美元，是假新闻．变式迁移3 解 现有细胞100个，先考虑通过1,2,3,4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为 12×100＋12×100×2＝32×100； 2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100； 4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100； 可见，细胞总数y 与时刻x (小时)之间的函数关系为： y ＝100×(32)x ，x ∈N *，由100×(32)x >1010，得(32)x >108， 两边取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2， ∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45， ∴x >45.45.答 通过46小时，细胞总数超过1010个．课后练习区1．B [通过查验可知，y ＝log 2x 较为接近．]2．B [当0.5≤m <1时，[m ]＝0，f (m )＝1.06；当1≤m <2时，[m ]＝1，f (m )＝1.59；当2≤m <3时，[m ]＝2，f (m )＝2.12；当3≤m ≤3.1时，[m ]＝3，f (m )＝2.65.]3．B [设A 、B 两种商品的原价为a 、b ，则a (1＋20%)2＝b (1－20%)2＝23⇒a ＝23×2536，b ＝23×2516，a ＋b －46≈6元．] 4．B [设扣税前应得稿费为x 元，那么应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 0<x ≤800，x －800×14% 800<x ≤4 000，11%·x x >4 000.若是稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，因此稿费应在800～4 000元之间， ∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800.]5．A [利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142， 当x ＝18时，L (x )有最大值．]6．a (1＋b ) a (1＋b )5解析 由于2020年的垃圾量为a t ，年增加率为b ，故下一年的垃圾量为a ＋ab ＝a (1＋b ) t ，同理可知2020年的垃圾量为a (1＋b )2t ，…，2021年的垃圾量为a (1＋b )5 t.7．2 500 m 2解析 设所围场地的长为x ，那么宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋200－x 22 ＝2 500 m 2，等号当且仅当x ＝100时成立．8．②④9．解 (1)由已知，m －n ＝92x －14－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋5x ＋74 ＝14x 2－12x －2.……………………………………………………………………………(3分)由m －n ≥0，得x 2－2x －8≥0，解得x ≤－2或x ≥4.据题意，x >0，因此x ≥4.故企业要成为不亏损企业，每一个月至少要生产4台电机．………………………………(6分)(2)假设企业亏损最严峻，那么n －m 取最大值．因为n －m ＝－14x 2＋5x ＋74－92x ＋14＝－14[]x －12－9＝94－14(x －1)2.………………………………………………………(9分) 因此当x ＝1时，n －m 取最大值94， 现在m ＝92－14＝174. 故当月总产值为174万元时，企业亏损最严峻，最大亏损额为94万元．………………(12分) 10．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)．…………(5分)∵f (x )＝560＋48(x ＋225x )≥560＋48·2x ·225x＝560＋48×30＝2 000.……………(10分) 当且仅当x ＝225x时，上式取等号，即x ＝15时，f (x )min ＝2 000. 因此楼房应建15层．……………………………………………………………………(12分)11．解 (1)依题意有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100x －575 x ≤10，[100－x －10×3]x －575 x >10，……………………………………………(4分) 由于y >0且x ∈N *， 由⎩⎪⎨⎪⎧100x －575>0，x ≤10. 得6≤x ≤10，x ∈N *. 由⎩⎪⎨⎪⎧x >10，[100－x －10×3]x －575>0 得10<x ≤38，x ∈N *，因此函数为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100x －575 x ∈N *，且6≤x ≤10，－3x 2＋130x －575 x ∈N *，且10<x ≤38， 概念域为{x |6≤x ≤38，x ∈N *}．…………………………………………………………(6分)(2)当x ＝10时，y ＝100x －575 (6≤x ≤10，x ∈N *)取得最大值425元，……………(8分) 当x >10时，y ＝－3x 2＋130x －575，当且仅当x ＝－1302×－3＝653时，y 取最大值，但x ∈N *，因此当x ＝22时，y ＝－3x 2＋130x －575 (10<x ≤38，x ∈N *)取得最大值833元．(12分)比较两种情形，可知当床位定价为22元时净收入最多．……………………………(14分)。