【精品】高中数学选修1-1_抛物线及其标准方程 讲义+巩固练习_提高

抛物线及其标准方程
【学习目标】
1．知识与技能：
（1）理解抛物线的定义，画出图形，并掌握其标准方程；
（2）利用定义求标准方程，焦点，准线；
（3）掌握简单运用．
2．过程与方法：
（1）根据抛物线特征选择不同解决方法；
（2）从具体情境中抽象出抛物线模型；
（3）用数学的思维和方法解决生活中与抛物线相关的问题．
3．情感态度与价值观：
在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处．
【要点梳理】
要点一：抛物线的定义
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F）的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
要点诠释：
（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一个顶点，一定直线，一个定值．（2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上，若F在l上，抛物线变为过F且垂直与l的一条直线．
（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．
要点二：抛物线的标准方程
1．标准方程的推导
（1）建系：
如图，以过F且垂直于l的直线为x轴，垂足为K，以FK的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy．
（2）设点：
设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2
p x =-． 设点M （x ，y ）是抛物线上任意一点． （3）列式：
点M 到l 的距离为d ．由抛物线的定义，抛物线就是集合
{|||}P M MF d ==，
22()||22
p p
x y x -+=+． （4）化简：
将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>． ①
方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2
p ，其准线方程是2
p x =-．
2． 抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
要点诠释：
①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-．
一般情况归纳：
方程
图象的开口方向
焦点 准线
2
y kx =
0k >时开口向
右
(,0)4k
4
k x =-
0k <时开口向
左
2
x ky =
0k >时开口向
上
(0,)4
k 4
k y =-
0k <时开口向
下
要点三：求抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程一般有两种形式： （1）定义法，直接利用定义求解． （2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x 轴上的抛物线方程统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．
要点诠释：
①从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．
②在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，应先“定位”，再“定量”，即可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p ，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．
【典型例题】
类型一：抛物线的定义
例1． 已知抛物线的焦点为（3，3），准线为x 轴，求抛物线的方程．
【思路点拨】从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论
【解析】设M （x ，y ）为抛物线上的任意一点，
则由抛物线的定义，得||y =， 两边平方，整理得21
36
y x x =-+ ∴所求抛物线的方程为2136
y x x =-+． 【总结升华】
（1）当抛物线的顶点不在原点，对称轴不是坐标轴时，我们只能根据定义求抛物线的方程．
（2）本题中抛物线方程2136
y x x =-+是非标准方程，可以化简为()2
2
3=63x y ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，它是由抛物线2=6x y 沿向量2
=33a ⎛⎫
⎪⎝⎭，平移
（即先向右平移3个单位，再向上平移23
个单位）后而得到的.
举一反三：
【变式1】【变式2】过点A(3，0)与y轴相切的圆的圆心轨迹为 ()
A．圆B．椭圆C．直线D．抛物线
【答案】D
设P为轨迹上一点，则P到A的距离等于P到y轴的距离，
所以P的轨迹为以A为焦点，y轴为准线的抛物线．
【变式2】到点A(－1，0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________．
【答案】y2＝8－8x
设动点坐标为(x，y)，由题意得|3|
x
=－，化简得y2＝8－8x．例2．平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
【思路点拨】求动点的轨迹方程，可以用坐标法直接求解，也可以用几何法求解．
【解析】
解法一：设P点的坐标为（x，y）||1
x
=+，
两边平方并化简得y2=2x+2|x|．
∴24,0, 0,0, x x
y
x ≥
⎧
=⎨
<
⎩
即点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）或y=0（x＜0）．
解法二：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，
由于点F（1，0）到y轴的距离为1，
故当x＜0时，直线y=0上的点适合条件；
当x≥0时，原命题等价于点P到点F（1，0）与到直线x=―1的距离相等，
故点P在以F为焦点，x=―1为准线的抛线物上，其轨迹方程为y2=4x．
故所求动点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）或y=1（x＜0）．
【总结升华】求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解．举一反三：
【高清课堂：抛物线线的方程358821例2】
【变式1】若点M到定点F（4，0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M的
轨迹方程．
【答案】216y x =
【变式2】若动圆P 与定圆C :223)1x y ++=（相外切，且与直线:2l x =相切，求动圆圆心P 的
轨迹方程．
【答案】212y x =- 类型二：抛物线的标准方程
例3．求过点(3,2)-的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： 【解析】∵点(3,2)-在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左
当抛物线开口方向左时，
设所求的抛物线方程为22y px =-（0p >）， ∵过点(3,2)-，∴222(3)p =-⋅-， ∴23p =，∴243
y x =-， 当抛物线开口方向上时，
设所求的抛物线方程为22x py =（0p >）， ∵过点(3,2)-，∴2322p =⨯， ∴94p =，∴292
x y =，
∴所求的抛物线的方程为243y x =-或292
x y =， 对应的准线方程分别是13x =，98
y =-．
【总结升华】求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P ．
举一反三：
【变式1】已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(3,23)M -，求它的标准方程．
【答案】23
x y =． 【变式2】抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是
6，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝－2x
B ．y 2＝－4x
C ．y 2＝2x
D ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x
【答案】 B
【变式3】求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点(-2，3)；
（2）焦点在直线3x -4y -12=0上； （3）准线过点(2，3)；
（4）焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点的距离等于5． 【答案】（1）243
x y =；
（2）若焦点为（4，0），则y 2=16x ；若焦点为（0，-3），则x 2=-12y ； （3）准线为x =2，则y 2= -8x ；准线为y =3，则x 2= -12y ； （4）x 2=-8y ．
例4． 抛物线218
y x ＝－的焦点是________，准线方程是__________． 【思路点拨】将抛物线化为标准形式，写出准线方程． 【答案】（0，-2）； 2y =， 【解析】218
y x ＝－可化为2=8x y －，
所以其焦点坐标为（0，-2），准线为2y =．
【总结升华】已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，先看抛物线方程是否是标准方程，若不是，需化方程为标准方程．依据标准方程，
(1)由一次项的符号确定抛物线的开口方向，可得焦点和准线的位置；
(2)由一次项的系数确定2p(大于0)的值，求出p ，进而得到．由此可得焦点坐标和准线方程． 举一反三：
【变式1】抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是 ( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 【答案】C
【变式2】在抛物线y 2＝2px (p >0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线的焦点坐标为_______.
【解析】由抛物线的定义可知，
2p ＋4＝5，所以2
p
＝1. 所以该抛物线的焦点坐标为(1，0).
类型三：抛物线中的定（最）值问题
例5. 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点．点A (－2，4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|P A |的值最小．
【思路点拨】如图所示，根据抛物线的定义把PF 转化为PQ ，使折线段P A ，PQ 的两端点A ，Q 分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A ，P ，Q 三点共线时距离达到最小．
【答案】1
22P ⎛⎫
⎪⎝
⎭
－，
【解析】∵点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 内部，如上图所示，
设抛物线的准线为l ，过P 作PQ ⊥l 于Q ，过A 作AB ⊥l 于B . 由抛物线的定义可知|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |. 当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，|PF |＋|P A |的值最小， 此时点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12
，
故当点P 的坐标为1
22⎛⎫
⎪⎝
⎭
－，)时，|PF |＋|P A |的值最小．
【总结升华】确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最短时的位置，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移，转变为(1)的情形即可. 举一反三：
【变式】若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，为使得|P A |＋|PF |取得最小值，则P 点坐标为 ( )
A ．(0，0)
B ．(1，1)
C ．(2，2) D. 112⎛⎫
⎪⎝⎭
，
【答案】C
【解析】由抛物线定义，|PF |等于点P 到抛物线准线的距离|PP ′|，如图所示，
因此，当且仅当点P 、A 、P ′在同一条直线上时，有|PF |＋|P A |＝|PP ′|＋|P A |最小， 此时点P 的纵坐标等于A 点纵坐标，即y ＝2， 故此时P 点坐标为(2，2)．故选C.
类型四：抛物线的实际应用
例6． 一种卫星接收天线的轴截面如图所示．卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径为4．8 m ，深度为0．5 m ，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将应用题转化为数学问题，利用抛物线的有关知识加以解决．
【解析】如图，建立直角坐标系，则A (0．5，2．4)．
设抛物线的标准方程是 y 2=2px (p >0)．
将A (0．5，2．4)代入得2．42=2p ×0．5，解得p =5．76． 所以，所求抛物线为y 2=11．52x ，焦点坐标为(2．88，0)． 【总结升华】关键是确定抛物线的方程． 举一反三：
【变式】一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．
【解析】以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为24
a
a
⎛⎫- ⎪⎝
⎭，，如图所示．
设隧道所在抛物线方程为x 2＝my （m <0），
则2
=24a a m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
∴m ＝－a .
即抛物线方程为x 2＝－a y .
将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ， 即y ＝－
0.82
a
， 欲使卡车通过隧道，应有y －(－4
a )>3，即4
a －
0.82
a
>3，
∵a >0，∴a >12.21，
∴a 的最小整数值应取13.
【巩固练习】
一、选择题
1．将抛物线24y x =绕顶点逆时针方向旋转90︒后，所得抛物线的准线方程是（ ） A. 116y = B. 116y =- C. 116x =- D. 116
x = 2．抛物线22y px =过点(2,4)A ，F 是其焦点，又定点(8,8)B -，那么||:||AF BF =（ ）
A.1:4
B.1:2
C.2:5
D.3:8
3．抛物线21(0)y x m m =
<的焦点坐标是( ) A.(0,)4m
B. (0,)4m -
C. 1(0,
)4m D. 1(0,)4m - 4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果
直线AF 的斜率是|PF |＝( )
A ．4
B ．8
C ．
D ．16
5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12
B ．1
C ．2
D ．4
6．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )
A ．20
B ．8
C ．22
D ．24
二、填空题
7．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是__________．
8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为__________．
9．到点A (－1，0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是__________．
10．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 的坐标为(0，2)，若线段F A 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为__________．
三、解答题
11．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离是5.
（1）求抛物线方程和m 值．
（2）求抛物线的焦点和准线方程．
12．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (-3，M )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程与M 的值．
13．点M 到直线y +5=0的距离比它到点N (0，4)距离大1，求点M 的轨迹方程．
14．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．
15．一抛物线拱桥跨度为52 m ，拱顶离水面6.5 m ，一竹排上载有一宽4 m ，高6 m 的大木箱，问竹排能否安全通过？
【答案与解析】
1．【答案】D ；
【解析】∵ 抛物线214x y =的焦点为1(0,)16，旋转后顶点为1(,0)16-，准线为116
x =.
2．【答案】C ；
【解析】将点(2,4)A 的坐标代入22y px =，得4p =，
∴抛物线方程为28y x =， 焦点(2,0)F ，已知(8,8)B -， ∴2222)08()28()04()22(||||--+--+-=BF AF =5
2104=.
3. 【答案】A ；
【解析】∵x 2＝My (M <0)，∴2p ＝－M ，p ＝2
m -
， 焦点坐标为(0,)2p -，即(0,)4m .
4. 【答案】B ；
【解析】如图，设准线l 与x 轴的交点为H ，
由直线AF 的斜率为－3，得∠AFH ＝60°，∠F AH ＝30°，∴∠P AF ＝60°. 又由抛物线的定义知|P A |＝|PF |，
∴△P AF 为等边三角形，
由|HF |＝4得|AF |＝8，
∴|PF |＝8.
5. 【答案】 C
【解析】本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．
抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝2p -
，由题意知，3＋2
p ＝4，p ＝2.
6. 【答案】 A
【解析】 设P (x 0，12)，则x 0＝18，
∴|PF |＝x 0＋2p ＝20.
7.【答案】y 2＝4x 和x 2＝－12y 【解析】因为点(1，－2)在第四象限，所以满足条件的抛物线的标准方程是y 2＝2p 1x (p 1>0)或x 2＝－2p 2y (p 2>0)．将点(1，－2)分别代入上述两个方程，解得p 1＝2，p 2＝14.因此满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y 2＝4x 和x 2＝－12y .
8. 【答案】 3
【解析】
32p c ==，∴p ＝3.
9．【答案】 y 2＝8－8x
【解析】 设动点坐标为(x ，y )，
由题意得22(1)x y ++＝|x －3|，
化简得y 2＝8－8x .
10．【答案】32 【解析】抛物线的焦点F 的坐标为(2p ，0)，线段F A 的中点B 的坐标为(4p ，1)，代入抛物线方程得
1＝2p ×4p ，解得p ＝2，
故点B 的坐标为(24
，1)， 故点B 到该抛物线准线x 22232.
11.【解析】(1)设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F(－2p ，0)，准线方程x ＝2p . 由抛物线定义知，点M 到焦点距离等于5，即点M 到准线距离等于5，
则3＋2
p
＝5，∴p ＝4，
∴抛物线方程为y 2＝－8x ，
又点M (－3，m )在抛物线上，
∴m 2＝24，∴m ＝
±
∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝
±(2)∵p ＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2，0)，准线方程是x ＝2.
12. 【解析】
设抛物线的方程为y 2=-2p x ， p |MF |35p 42
=+=∴=，， 所以抛物线的方程为
y 2=-8x ，
2m 24,∴=m =±
13. 【解析】
法一：设M (x
，y )为所求轨迹上任一点，则 y 51,y 4+=∴+=，
2x 16y ∴=即为所求.
法二：由题知M 到直线y =-4的距离等于它到N 的距离， 所以M 的轨迹是抛物线，焦点为N (0，4)，准线为y =-4， ∴x 2=16y.
14. 【解析】∵点M 到对称轴的距离为6，
∴设点M 的坐标为(x ，6)．
∵点M 到准线的距离为10，
∴262102px p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
，解得92x p =⎧⎨=⎩，或118x p =⎧⎨=⎩，， 故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x .
当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .
15. 【解析】如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，B(2，y)，由262＝－2px×(－6.5)，得p＝52，
∴抛物线方程为x2＝－104y.
当x＝2时，4＝－104y，y＝
1
26 -，
∵6.5
1
26
->6，∴能通过．。