高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结(可编辑修改word版)

(x - 6)2 + y 2 (x + 6)2 + y 2 m - 1 2 圆锥曲线

1. 圆锥曲线的两定义：

椭圆中，与两个定点 F 1 ，F 2 的距离的和等于常数2a ， 且此常数 2a 一定要大于 F 1F 2 ，当常数等于 F 1F 2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ，当常数小于 F 1 F 2 时，无轨 迹；双曲线中，与两定点 F 1 ，F 2 的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1 F 2 |， 定义中的“绝对值”与 2a ＜|F 1 F 2 |不可忽视。若2a ＝|F 1 F 2 |，则轨迹是以 F 1 ，F 2 为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1 F 2

|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 - = 8 表示的曲线是

（答：双曲线的左支）

2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1） 椭圆：焦点在 x 轴上时 x a 2 + y 2

b 2 = 1（ a > b > 0 ），焦点在 y 轴上时 y a

2

+ x 2 b 2 ＝1（ a > b > 0 ）。方程 Ax 2 + By 2 = C 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且 A ，B ，C 同号，A≠B）。 若 x , y ∈ R ，且3x 2 + 2 y 2 = 6 ，则

x + y 的最大值是 ， x 2 + y 2 的最小值是

（答：

5, 2 ）

（2） 双曲线：焦点在 x 轴上： x a 2 - y 2

b 2 =1，焦点在 y 轴上： y a

2

- x 2 b 2 ＝1（ a > 0, b > 0 ）。方程 Ax 2 + By 2 = C 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且 A ，B 异号）。

如设中心在坐标原点O ，焦点 F 1 、 F 2 在坐标轴上，离心率e = 则 C 的方程为 （答： x 2 - y 2 = 6 ）

的双曲线 C 过点 P (4,- 10) ， （3） 抛物线： 开口向右时 y 2 = 2 px ( p > 0) ， 开口向左时 y 2 = -2 px ( p > 0) ， 开口向上时 x 2 = 2 py ( p > 0) ，开口向下时 x 2 = -2 py ( p > 0) 。

3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1） 椭圆：由 x 2 , y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如 已知方程 x + y 2

2 - m = 1表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 m 的取值范围是 （ 答： (-∞,-1) (1, 3) ） 2

（2） 双曲线：由 x 2 , y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3） 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中， a 最大， a 2 = b 2 + c 2 ，在双曲线中， c 最大， c 2 = a 2 + b 2 。

4. 圆锥曲线的几何性质：

x 2 y 2 （1） 椭圆（以 + a 2 b 2

= 1（ a > b > 0 ）为例）：①范围： -a ≤ x ≤ a , -b ≤ y ≤ b ；②焦点：

两个焦点(±c , 0) ；③对称性：两条对称轴 x = 0, y = 0 ，一个对称中心（0,0），四个顶点(±a , 0), (0, ±b ) ，

2 2

2 2

2

2 b

其中长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b ；④准线：两条准线 x = ± a c

越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。

； ⑤离心率： e = c ，椭圆⇔ 0 < e < 1，e

a 如（1）若椭圆 x 5

+ y 2 m = 1的离心率e =

10 ，则 m 的值是 （答：3 或 25 ）； 5 3 （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为

（答： 2 ）

x 2

y 2

（2） 双曲线（以 a 2

- = 1（ a > 0, b > 0 ）为例）：①范围： x ≤ -a 或 x ≥ a , y ∈ R ；②焦点：

b 2 两个焦点(±

c , 0) ；③对称性：两条对称轴 x = 0, y = 0 ，一个对称中心（0,0），两个顶点(±a , 0) ，其 中实轴长为 2 a ，虚轴长为 2 b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为

x 2 - y 2

= k , k ≠ 0 ；④准线：两条准线 x = ± a c ； ⑤离心率： e = c ，双曲线⇔ e > 1 ，等轴双曲线

a

⇔ e = ，

e 越小，开口越小， e 越大，开口越大；⑥两条渐近线： y = ± x 。 a

（3） 抛物线（以 y 2 = 2 px ( p > 0) 为例）：①范围： x ≥ 0, y ∈ R ；②焦点：一个焦点 p ( , 0) 2

，其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴 y = 0 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④

准线：一条准线 x = - p

； ⑤离心率： e = 2

c ，抛物线⇔ e = 1 。

a 如设a ≠ 0, a ∈ R ，则抛物线 y = 4ax 2

的焦点坐标为

（答： (0, 1

16a

) ）

； x 2

y 2

x 2 y 2

5、点 P (x 0 , y 0 ) 和椭圆 + = 1（ a > b > 0 ）的关系：（1）点 P (x 0 , y 0 ) 在椭圆外⇔ 0 + 0 > 1；

a 2

b 2 x 2 y 2 a 2 b 2

x 2

y 2

（2）点 P (x , y ) 在椭圆上⇔ 0 + 0 ＝1；（3）点 P (x , y ) 在椭圆内⇔ 0 + 0 <

1 0

a 2

b 2

0 0

a 2

b 2

6. 直线与圆锥曲线的位置关系：

（1） 相交： ∆ > 0 ⇔ 直线与椭圆相交； ∆ > 0 ⇒ 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一

定有∆ > 0 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故∆ > 0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； ∆ > 0 ⇒ 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ∆ > 0 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故∆ > 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2） 相切： ∆ = 0 ⇔ 直线与椭圆相切； ∆ = 0 ⇔ 直线与双曲线相切； ∆ = 0 ⇔ 直线与抛物线相 切；

（3） 相离： ∆ < 0 ⇔ 直线与椭圆相离； ∆ < 0 ⇔ 直线与双曲线相离； ∆ < 0 ⇔ 直线与抛物线相离。

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直

2 2 2 2