等差数列与等比数列基本量的问题-高考数学考点专题突破

专题18 等差数列与等比数列基本量的问题

【自主热身，归纳提炼】

1、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＝2，S 2＋S 4＝1，则a 10＝________． 【答案】. 8

【解析】：思路分析 列方程组求出a 1和d ，则a 10＝a 1＋9d.

设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2，2a 1＋d ＋4a 1＋6d ＝1，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.所以a 10＝a 1＋9d ＝8.

2、 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为________． 【答案】： －9

解后反思 解法1利用等差数列基本量；解法2利用等差数列的性质：①等差数列项数与项数的关系：在等差数列{a n }中，若m ，n ，p ，q ∈N *

且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；②等差数列任两项的关系：在等差数列{a n }中，若m ，n ∈N *

且其公差为d ，则a m ＝a n ＋(m －n )d .

3、在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________． 【答案】： 3

【解析】：由a 8＝a 6＋6a 4得a 2q 6

＝a 2q 4

＋6a 2q 2

，则有q 4

－q 2

－6＝0，所以q 2

＝3(舍负)，又q>0，所以q ＝3，则a 3＝a 2q ＝ 3.

解后反思 等差、等比数列基本量的计算是高考常考题型，熟练掌握等差、等比数列的通项公式和前n 项和

公式是解题的关键，值得注意的是等比数列的通项公式的推广“a n ＝a m q

n －m

(n>m)”的应用．

4、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3＝－198，a 4－a 2＝－15

8，则a 3的值为________．

【答案】：. 9

4

【解析】：思路分析 两个已知等式均可由a 3和公比q 表示． 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧S 6

S 3＝1＋q 3

＝－198，a 3

⎝ ⎛⎭⎪⎫q －1q ＝－158

，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－3

2，

a 3

＝94.

5、记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m 的值为________． 【答案】： 6 【解析】：由S 2m －1＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1＋a 2m －12·(2m －1)＝[a 1＋(m －1)d](2m －1)＝(2m －1)a m

得，110＝10(2m －1)，解得m

＝6.

6、已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4，a 3，6a 5成等差数列，且a 3＝3a 2

2，则S 3＝________． 【答案】：. 13

27

【解析】：设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，则q>0，且a 1>0，由4a 4，a 3，6a 5成等差数列，得2a 3＝4a 4＋6a 5，即2a 3＝4a 3q ＋6a 3q 2，解得q ＝13.又由a 3＝3a 2

2，解得a 1＝13，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝13＋19＋127＝

13

27. 7、知

{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若32a =，1264S S =，则9a 的值为 ▲ ．

【答案】2或6 【解析】由

1264S S =，当1,q =左边=12224,⨯=右边=

显然不成立，所以1q ≠，则有

，因为

1

01a q

≠-，

所以

,即

，所以6

3q =或

1q =-，所以

.

【易错警示】若用到等比数列的前

n 项公式，要讨论公比是否为1；方程两边，若公因数不为0，可以同时

约去，若不确定是否为0，要移项因式分解，转化成乘积为0的形式再求解，否则会漏解.

8、《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升． 【答案】：. 1322

【解析】：设该等差数列为{a n }，则有S 4＝3，a 9＋a 8＋a 7＝4，即

a 8

＝4

3，则有⎩⎪⎨⎪⎧

4a 1

＋4×32d ＝3，a 1

＋7d ＝4

3

，即

⎩

⎪⎨⎪

⎧

4a 1＋6d ＝3，a 1＋7d ＝43，解得a 1＝13

22

.

9、 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *

，总有S n ≤S k ，则k 的值是________．

10、若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ．

【答案】：．8

【解析】： 因为a 3－a 1＝2，所以，即

()1q >

所以，设

，即2

1q t =+，

所

以

，当

且仅当1t =

，即q =

.

【问题探究，变式训练】

例1、已知公差为d 的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3

的值为________． 【答案】：. 17

9

【解析】：设等差数列{a n }的首项为a 1，则由S 5S 3＝3得5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，所以d ＝4a 1，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝17

9

.

【变式1】、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若

3613S S =，则69

S

S = ． 【解析】 由

361

3S S =，得633S S =，由S 3，S 6- S 3，S 9- S 6成等差数列， 故S 6- S 3 = 2S 3，S 9- S 6 = 3S 3 = S 6，解得69S S =1

2

．

【变式2】、 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若

5101

3

S S =，则520S S = ．

【解析】 由

5101

3

S S =，得1053S S =，由S 5，S 10- S 5，S 15- S 10，S 20- S 15成等差数列， 故S 10- S 5 = 2 S 5，S 15- S 10 = 4S 5，S 20- S 15 = 8S 5， 所以，1557S S =，20515S S =，故

520115

S S =． 【变式3】、 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51020a a +=，则

20

10

S S = ．