第9章 Multiple Regression Analysis 多元回归分析之模型设定和数据问题
多元回归分析
三、线型回归模型的若干设定 • 线性关系之设定（linearity） • 共线性之设定（collinearity）: 自变量间不可具有高度的线 性关系
• 残差值服从正态分布
13
• 残差值的条件期望值为零 （zero conditional mean of ）:的多元 回归方程式中，多元回归系数 b1完全是由 x1与 y 的值所决定， x2 而且不受 的影响
b1
ˆ ˆ x x y y ˆ x x
1 1 2 1 1
7
• 标准回归系数（Beta Coefficient）:
*
yx
sx byx s y
8
–平均而言，当 x 每增加一个 标准差时，y就增加（或减 少） * yx 个标准差” –比较那一个自变数对依变 数有较大的影响力
9
•
2）: 回归模型的解释力（R
多 元判定系数（Coefficient of Multiple Determination），其 计算方式与二元回归模型的 R2 相同
10
• “调整后的R2”（adjusted R2）
k N 1 2 R R N 1 N k 1 – N 样本数 – K 自变数的数目
2
11
二、多元回归分析 的假设检定 • 与前述相同 –双尾检定 –单尾检定（将 Sig. 除以二 即为p/2）
表示 y 的条件期望值是所有 的线性组合
x
14
•残差值变异相等之设定 （homoscedasticity 或 heteroscedasticity）
15
多元回归分析
1
多元回归分析 （multivariate regression analysis）
第9章多元线性回归-PPT精品文档
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
多元线性回归模型、回归方程与估计的回 归方程 回归方程的拟合优度与显著性检验 多重共线性问题及其处理 利用回归方程进行预测 虚拟自变量的回归 用Excel和SPSS进行回归分析
统 计 学
(第三版)
2019
作者 贾俊平
统计学
STATISTICS (第三版)
统计名言
上好的模型选择可遵循一个称为奥 克姆剃刀(Occam’s Razor)的基本原 理：最好的科学模型往往最简单， 且能解释所观察到的事实。
——William Navidi
9-2 2019年8月
第 9 章 多元线性回归
b1，b假定其他变量不变，当 xi 每变 动一个单位时，y 的平均变动值
9 - 10
2019年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
估计的多元线性回归的方程
(estimated multiple linear regression equation)
9 - 11 2019年8月
9.1 多元线性回归模型 9.1.2 参数的最小二乘估计
统计学
STATISTICS (第三版)
参数的最小二乘估计
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ 。即 达到最小来求得 b 0 1 2 k
2 2 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ ) (y y ˆ Q( b ) e i i i 最小 0 1 2 k i 1 i 1 n n
多元回归分析
• ……如此重复进行，直至留下的所有自变量的偏回归都显著，
即得最优多元线性回归方程。
如何确定自变量的相对重要性
• 偏回归系数bi本身并不能反映自变量的相对重要性，其原因 有二： • ①bi是带有具体单位的，单位不同则无从比较； • ②即使单位相同，若Xi的变异度不同，也不能比较。 • 路径系数(path coefficient，记作pi)：即对bi进行标准化，
的估计值不够稳定，而回归系数的计算值也会有很大误差。
LOGO
• 共线性的诊断
–容忍度（ tolerance ）
– Ti＝ 1-Ri2，容忍度的值介于0至1间。
–Ri2是自变量与其它自变量间的多元相关系数的平方，
即模型中其它自变量对这个变项的有效解释能力。 –自变量的Ri2值太大，即容忍度太小，表示此变量与其 它自变量间有共线性问题。
2
(3· 1)
y j b0 b1 x1 j b2 x2 j bm xmj e j
(3· 2)
• 一个m元线性回归方程可假定为：
ˆ b0 b1 x1 b2 x 2 bm x m y
(3· 3)
b0是x1、x2、…、xm 都为0时y 的点估计值；b1是by1· 23…m 的简
r11 2，…，M )组成的相关矩阵： r21 R (rij ) M M r M1 r12 r22 rM 2 r1M r2 M rMM
• 求得其逆矩阵：
c11 c 21 c M1 c12 c 22 c M2 M c1 M c2 c MM
LOGO
• 常态性： – 假说如下所示：
定性资料分析和定量资料分析
离散趋势分析(dispersion tendency analysis)：用一个特别的数值来反映一组 数据相互之间的离散程度。
中文系 78 79 80 81 82 平均分80 数学系 65 72 80 88 95 平均分80 英语系35 78 89 98 100 平均分80
2
S (xi X )
4、阐释模式(elaboration model)：所关心 的是两个变量之间的关系，是一种通过引 进并控制第三变量，来进一步了解和探讨 原来两变量之间关系性质的统计分析方法。 三种类型：因果分析、阐明分析、条件分 析。
复相关分析(multiple correlation analysis)：以一个统计值来简化多个自变 量与一个因变量之间关系的统计分析方法。
第九章 定量资料分析和定性资 料分析
一、定量资料
1.资料审核(data auditing)：研究者对所收 集的原始资料/问卷进行初步的审阅、校对， 剔除乱填、空白和严重缺答的废卷，使得 原始资料具有较好的准确性、完整性和真 实性。
两方面的内容：一是检查出问卷资料中的 问题，二是重新向被调查者核实。
A3你的文化程度：小学 √ 初中 高中 大学 1
3、单变量统计分析：
a.描述统计：帮助简化资料的方法，包括集 中趋势分析和离散趋势分析
集中趋势分析(central tendency analysis)： 用一个典型值或代表值来反映一பைடு நூலகம்数据的 一般水平，或者说反映这组数据向这个典
型X 值 集n中x 的情况X。平均xff数：nxf
定量资料分析方法与定性资料分析方法的 区别：1.分析程序与技术的标准化程度不同； 2.资料分析的开始点不同，后者贯穿研究的 过程，前者是一个特定阶段；3.与社会理论 的关系上不同，前者多用于检验理论或假 设，后者多用于建构理论；4.分析的方式和 所用的工具不同。
多元Logistic回归分析
data eg7_1a;
input y x wt @@; cards;
11 7
1 0 13
0 1 46 0 0 229 ; run; proc logistic descending ;
model y=x ;
weight wt;
run;
SAS程序
16
第十六页，编辑于星期五：五点 十七分。
The LOGISTIC Procedure
1、什么是Logistic 回归分析？
研究因变量y取某个值的概率变量p与自 变量x的依存关系。
p=p(y=1|x)=f(x)
8
第八页，编辑于星期五：五点 十七分。
2、Logistic回归分析的分类
• 按数据的类型：
Logistic回归分析
– 非条件logistic回归分析（成组数据）
– 条件logistic回归分析（配对病例-对照数据）
Ratio
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
INTERCPT 1 -2.8688 0.2851 101.2408
0.0001
..
X
1
0.9860 0.4959 3.9542 0.0468
2.069569 2.681
18
第十八页，编辑于星期五：五点 十七分。
结果： 参数估计： a=-2.869 (p=0.0001),
b= 0.986 (p=0.0468). 模型检验： χ2=3.576, df=1, p=0.0586
2、自变量birthwt 的回归系数在统计意义上不等于0 (p=0.0001)，因此，OR=0.996在统计意义上不等于1。
OR=0.996 说明新生儿出生体重每增加一个单位(g)，患
BPD病的机会就会减少大约0.4% 。即患bpd病的概率 随新生儿出生体重的增加而下降。
多元回归分析-推断
经典线性模型
o 正态性假定是最强的一个假定，它意味着零条件均值和同 方差性是成立的。
o 如果正态性假定成立，那么OLS估计量将服从特定的分布 ，从而可以进行统计推断
o 简单地看，误差项度量了影响被解释变量的多种因素的作 用之和，根据中心极限定理，它应该近似地服从正态分布 。当然，这是一个很不严格的解释，很多情况下正态性假 定都不成立。事实上，如果样本容量足够大，那么误差项 是否服从正态分布并不很重要，这将在第5讲讨论
linear model, CLM）
对 于 总 体 回 归 函 数Y 0 1 X1 k X k u
MLR.1 参 数 的 线 性 性 ： 回 归 模型 对 于 参 数 而 言 是 线 性的 MLR.2 样 本 的 随 机 性 ： 样 本 是从 总 体 中 随 机 抽 样 得 到的 MLR.3 不 存 在 完 全 共 线 性 ； 每个 解 释 变 量 具 有 一 定 变异
o 正态性假定意味着，对于给定的一组解释变量的取值，被 解释变量服从正态分布。即：
Y | X1,, Xk ~ N (0 1X1 k Xk , 2 )
4
经典线性模型
经典线性模型
概 率 密 度
X：受教育年限 Y：工资
正态分布
Y
PRF
X
5
OLS估计量的性质
经典线性模型OLS估计量的性质（证明见课本p765，附录E.3）
2
SSTj (1
R
2 j
)
,
2
1 nk
1
2
ui
6
二、t检验
1. t检验 2. 对于参数的一个线性约束的检验
7
t检验
对单个参数的假设检验（参看“关于t检验的说明”以及课本附录C.6
多元回归分析
Multi Regression
22
Adjusted R2
在迴歸分析中，如果自變項的個數很多，有時 候就要用調整後的判定係數代替原先的判定係 數，因為增加新的自變項後，均會使R2變大。
「Adjusted R2」為調整後的判定係數：
SSE 2 2 n k 1 1 n 1 (1 R 2 ) Adjusted R R a 1 SST n k 1 n 1
平均平方和MS SSR MSR k SSE MSE n k 1
F F MSR MSE
ˆ Note: 殘差 ei yi yi ,i 1, 2,, n
K為預測變數個數(不含β0)
Multi Regression 18
模式檢定(1)
迴歸分析之假說檢定包括總檢定與邊際檢定兩種。 總檢定： – 目的在探討迴歸模式中的所有斜率係數是否全部 為0。 – 當斜率係數不全為0時，Y與(X1,X2,…,XK)才具有 某種程度的函數關係 。 – 總檢定之虛無假說與對立假說可列示如下： H0: j=0，對所有j H1: j0，對某些j (j=1,2,…,K) – 檢定統計量: F=MSR/MSE
2 iid
或
Y1 1 X11 X1k 0 1 Y2 1 X21 X2k 1 2 Yn 1 Xn1 Xnk k n
Yn1 Xn(k1)β(k1)1 ε n1
Multi Regression
17
迴歸分析 ―變異數分析表
變異來源 迴歸 隨機 總和 平方和SS
ˆ ˆ SSR y 2 (Y Y ) 2
SSE e 2 (Y Y ) 2
多元回归分析 ppt课件
ppt课件
3
汽车销售
若公司管理人员要预测来年该公 司的汽车销售额y时，影响销 售额的因素---广告宣传费x1
还有个人可 支配收入x2, 价格x3
ppt课件
4
研究地区经济增长GDP，受劳动力投入人数 x1影响!
还有：资本要素Ｘ２，科 技水平Ｘ３的影响
ppt课件
5
多元回归应用
25.96732 2.85478 0.01449
Lower 95% 57.58835 -48.57626 17.55303
Upper 95%
555.46404 -12.237392
130.70888
多元回归方程
Sales 306.526- 24.975(Prci e) 74.131(Advertising)
Sales 306.526- 24.975(Prci e) 74.131(Advertising) 306.526- 24.975(5.50) 74.131(3.5) 428.62
预测销量为 428.62 pies
ppt课件
注意：单位百元，$350 意味 X2 = 3.5
24
模型的Ｆ检验 系数的Ｔ检验 拟合度检验－－决定系数
描述因变量 y 依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xk 和误差项 的方程，称为多元回归模型
y 0 1x1 2 x2 k xk
β0 ，β1，β2 ，，βk是参数
是被称为误差项的随机变量
包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系所解释
的变异性
价格 Price
($) 5.50 7.50 8.00 8.00 6.80 7.50 4.50 6.40 7.00 5.00 7.20 7.90 5.90 5.00 7.00
多元回归分析：估计
更多关于R2
考虑从一个解释变量开始，然后加入第二个。 OLS性质：最小化残差平方和。 如果OLS恰好使第二个解释变量系数取零，那
么不管回归是否加入此解释变量，SSR相同。 如果OLS使此解释变量取任何非零系数，那么
加入此变量之后，SSR降低了。 实际操作中，被估计系数精确取零是极其罕见
的，所以，当加入一个新解释变量后，一般来 说，SSR会降低。
那么所有系数的OLS估计量都有偏。
4
更一般的情形
假设总体模型
• 满足假定MLR.1~MLR.4。但我们遗漏了 变量x3，并估计了模型
• 假设X2和X3无关， X1和X3相关。 • 是β1的一个有偏估计量，但 是否有偏
？
更一般的情形
此时，我们通常假设X1和X2无关。
当X1和X2无关时，可以证明：
差项u的条件方差都是一样的。
▪ 如果这个假定不成立，我们说模型存在异方
差性。
OLS估计量的方差（续）
用x表示(x1, x2,…xk)
假定Var(u|x) = s2，也就意味着Var(y| x) = s2
假定MLR.1-5共同被称为高斯－马尔可夫假定 (Gauss-Markov assumptions)
效应） OLS的性质 什么时候简单回归和多元回归的估计值
相同 OLS的无偏性
多元回归分析：估计（2） Multiple Regression Analysis: Estimation
(2)
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
1
本章大纲
使用多元回归的动因 普通最小二乘法的操作和解释 OLS估计量的期望值 OLS估计量的方差 OLS的有效性：高斯－马尔科夫定理
multiple linear regression analysis
multiple linear regression analysis多元线性回归分析是一种常用的统计学方法，用于研究多个自变量对一个因变量的影响。
该方法用于预测因变量的数值，可以为实际问题提供解决方案。
在本文中，将详细介绍多元线性回归分析的步骤。
1. 收集数据多元线性回归分析的第一步是收集数据。
这些数据包括自变量和因变量。
理论上，多元线性回归分析要求样本量大于自变量的数量，这将确保所得到的回归系数精确可靠。
2. 检查数据的质量在进行多元线性回归分析之前，确保您的数据没有缺失项和异常值。
缺失数据会导致分析的准确性下降，异常值则会降低回归分析的可靠性。
因此，在开始分析之前，应先对数据进行处理。
3. 确定自变量和因变量在进行多元线性回归分析时，需要确定哪些变量是自变量，哪些变量是因变量。
自变量通常是研究者感兴趣的，因变量是需要预测的变量。
为了准确地确定这些变量，需要根据问题的定义进行分析。
4. 确定模型选择适当的模型是多元线性回归分析的关键步骤之一。
通常，使用最小二乘法来确定回归系数，这意味着选择那些能够最小化残差平方和的系数。
其次，利用方差分析来确定整个模型的有效性和显著性。
这样做可以告诉我们，我们是否可以使用已经选定的自变量来准确预测因变量，或者是否需要添加或删除自变量。
5. 检查数据的正确性在建立好模型之后，需要检查回归分析的正确性。
使用拟合优度来检查建立的模型与实际观测结果之间的吻合度。
如果拟合优度高，则表示模型可以有效地预测因变量。
6. 预测因变量完成上述步骤后，就可以利用模型来预测因变量了。
这通常是多元线性回归分析的最终目的。
预测结果的准确性取决于模型的正确性和数据的准确性。
总的来说，多元线性回归分析是一项复杂的统计学工作，需要仔细的实验设计和数据分析。
但是，对于那些需要研究对因变量的影响的变量的人来说，它是一个强有力的分析工具。
仔细按照上述步骤进行分析，可以确保得出准确可靠的结果。
多元回归分析 Multiple Regression Analysis
500
500
400
400
Y 300
200
Y 300
200
100
100
12
12
X1 22
32
14131211109
8 76
X2
5
4
22
X1
32
有一个交互作用的多元回归
14131211109
8
7 65
X2
4
Multiple Regression with an Interaction
• Y = a + b1X1 + b2X2 + b3X1X2 • 这个交互作用使得平面发生弯曲.
• 现有的Xs已经都找全了吗 ，是否有落下的X 变量 variables?
• 可以根据此回归方程预测某些数值吗?
• 对于这些预测来说，置信度如何?
回归分析是分析和改进阶段的瑞士军刀！ Regression is the Swiss Army Knife for the Analyze and Improve Phases!
多于两个Xs的多元回归Multiple Regression
• 因为是多维空间(4D or greater)，就不能展示散点图. • 回归方程equation,
Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn. • 同样的，a是截距Y-intercept ，b 是斜率slopes • 回归方程的得出依然依靠是残差平方和的最小值.
Scatter Plot of Y vs. X1 and X2
Best Fitted Plane, Y = a + (b1)(X1) + (b2)(X2)
multivariate regression analysis
multivariate regression analysis多元回归分析是一种常用的统计分析方法，它可以用于研究因变量与多个自变量之间的关系。
在现实生活中，很多问题都涉及到多个因素的影响，如经济学、医学、心理学等领域，多元回归分析可以帮助我们理解这些因素之间的相互作用。
在多元回归分析中，我们通常需要先建立一个数学模型，然后利用已知数据对模型进行拟合和检验。
最常用的多元回归模型是线性回归模型，其基本形式可以表示为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βpxp + ε其中，y是因变量，x1，x2，…，xp是自变量，β0，β1，β2，…，βp是回归系数，ε是误差项。
回归系数是用来描述自变量对因变量的影响程度的，而误差项则表示模型无法完全解释的因素。
通过对数据的分析，我们可以利用最小二乘法求解回归系数，从而得到一个可靠的模型。
多元回归分析可以帮助我们进行预测和推断。
对于预测问题，我们可以利用已知的自变量预测因变量的值。
比如，在经济学中，我们可以利用多元回归分析预测某个国家的经济增长率。
对于推断问题，我们可以分析自变量与因变量之间的关系，从而得到一些结论。
比如，在医学研究中，我们可以利用多元回归分析研究某种药物对患者的治疗效果，从而得到一些治疗建议。
当然，多元回归分析也存在一些问题和限制。
首先，我们需要确定自变量与因变量之间的关系是真实存在的，否则得到的结果可能是无意义的。
其次，我们需要注意自变量之间的相关性，如果自变量之间存在高度相关性，可能会导致结果不稳定。
此外，多元回归分析也需要注意模型的解释性，我们需要确保模型的解释性良好，才能得到有意义的结论。
总之，多元回归分析是一种强大的统计工具，可以帮助我们理解自变量与因变量之间的关系，并进行预测和推断。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的自变量和合适的模型，同时注意解释性和稳定性等问题，才能得到可靠的结果。
多元回归分析
二项分类 变量
如性别，用一个变量表示，一般可赋值 为0和1，或1和2。
bio-psycho-social medical model。 生物——心理—— 社会 （人文环境、自然环境）
中医学医学模式： 人体——自然——社会心理（天人一体）
大气污染问题研究
现代工业社会，大气污染对人类的生理和 心理带来非常严重的危害，1952年12月的 伦敦烟雾事件夺去了四千多人的生命。
经逐步选择后, 固然克服了共线性 的麻烦, 同时也丢失一部份可利用的信 息,故将高度相关的几个变量的信息综 合起来参与回归是个好办法, 即进行 主成分回归分析.
3、异常点诊断
当散点图中出现了极端离群的点时,应考 虑其是否为异常的情况.
y=b0+b1x1+b2x2+…….bpxp (2) 独立 n个个体之间互相独立； (3) 正态 给定X1, X2, …, Xp的数
值后, 相应的y值服从正态分布； (4) 等方差 当X1,X2,…,Xp的数值变
动时,相应的y有相同的方差。
三、筛选变量的方法
在多元线性回归分析中，研究者往往是 根据自己的经验或借鉴他人的研究结果 选定若干个自变量，这些自变量对因变 量的影响作用是否都有统计学意义还有 待于考察。通过多元性线回归分析，常 常会发现其中有很多自变量对因变量的 影响无意义。
1、定性变量的数值化
在医学研究中，常常会遇到各种不 同的指标，如年龄、性别、病情、疗效 等。统计学上称为随机变量,简称变量.
多元回归分析MultipleRegressionAnalysis
多元（複）迴歸分析（Multiple Regression Analysis）1、利用OLS（ordinary least squares）來做多元迴歸可能是社會學研究中最常用的統計分析方法。
利用此法的基本條件是應變項為一個分數型的變項（等距尺度測量的變項），而自變項之測量尺度則無特別的限制。
當自變項為類別變項時，我們可依類別數（k）建構k-1個數值為0與1之虛擬變項（dummy variable）來代表不同之類別。
因此，如果能適當的使用的話，多元迴歸分析是一相當有力的工具。
2、多元迴歸分析主要有三個步驟：─第一、利用單變項和雙變項分析來檢視各個準備納入複迴歸分析的變項是否符合OLS線性迴歸分析的基本假定。
─選定迴歸模式，並評估所得到的參數估計和適合度檢定（goodness of fit）。
─在我們認真考慮所得到的迴歸分析結果前，應做殘餘值（residuals）之診斷分析（diagnosis）。
但通常我們是先確定迴歸模式之設定（specification）是否恰當後，才會做深入之殘餘值分析。
3、迴歸分析的第一步是一一檢視每個即將納入迴歸分析模式的變項。
首先，我們必須先確定應變項有足夠的變異（variability），而且是接近常態分配（迴歸係數的估計並不要求應變項是常態分配，但對此估計做假設測定時，則是要求殘餘值應為常態分配。
而應變項離開常態分配的狀態很遠時，殘餘值不是常態分配的可能性增大）。
其次，各自變項也應該有適當的變異，並且要瞭解其分配之形狀和異常的個案（outlying cases；outliers）。
我們可用直方圖（histogram）和Normal P-P（probability plot）圖等來測定應變項是否拒絕其為常態分配的假設，以及是否有異常之個案。
同樣的，我們可用直方圖和其他單變項之統計來檢視各個自變項之分配形狀、程度，以及異常個案等。
在SPSS中，我們可用Analyze內的Descriptive Statistics中的Explore來得到上述之統計和圖。
多元回归分析
高 中 0 1 0
原 變 項
高：1 中：2 低：3
1 0 0
：可 ：可
『是』 是 『 是』 是
迴歸診斷
一、殘差的檢定 主要診斷其常態分配及獨立性 二、離群值 (outlier) 及具影響力觀察值 (influential observation) 的檢出 主要在發現特殊的觀察體 三、共線性的檢定 診斷自變項相依程度，避免迴歸係數標準誤、 預測值變異數膨脹
異矩陣，也就是有線性相依的情形。
5. 條件指數(conditional index; CI) ：
λ 是由（X’X）所求之特徵值 CI：30～100 中度共線性 CI：100以上 高度共線性
6. 變異數比例 ：由（X’X）所求之特徵向量，若在任一
列中有任兩變項以上之係數非常接近1者，表有共線性
Unstandardized Predicted Value
圖2-1 殘差及預測值交叉散布圖
一、殘差常態性及等分散性檢定
常態機率分布圖
檢定殘差是否為常態分配
Normal P-P Plot
1.00
.2
Detrended N.50
Expected Cum Prob
迴歸的用途
用途： 解釋： 說明自變項與依變項間的關連強度及 關連方向 預測： 使用迴歸方程式，利用已知的自變數 預測未知的依變數 Ex：自－國三數學模擬考成績 依－基測數學成績
簡單迴歸
簡單迴歸方程式：
b：迴歸的原始加權係數 原始加權係數，又稱斜率 (slope) 原始加權係數 a：常數項 (constant)，又稱截距 (intercept) 常數項 ：由X所預測的數值，與真正的Y變數有差距， 差距(殘差，residual)
multiple regression analysis gee -回复
multiple regression analysis gee -回复什么是多元回归分析（Multiple Regression Analysis Gee）？使用这种分析方法的主要目的是什么？如何进行多元回归分析？如何解读结果并形成结论？这篇文章将为您逐步解答这些问题。
多元回归分析（Multiple Regression Analysis Gee）是一种统计方法，用于探索依赖变量与多个自变量之间的关系。
该方法旨在确定自变量对依赖变量的影响，并控制其他潜在变量的影响。
多元回归分析在各个学科领域中都得到了广泛应用，无论是社会科学中的经济学、社会学和心理学，还是自然科学中的物理学和生物学等。
这种方法可以帮助研究者理解变量之间的相互作用以及它们对依赖变量的贡献。
进行多元回归分析的第一步是确定哪些变量作为自变量和依赖变量。
自变量可以是连续变量或分类变量，而依赖变量通常是一个数量化的变量。
接下来，收集相关数据，并确保数据的质量和完整性。
在进行多元回归分析之前，需要进行一些前提检验。
一种常见的检验是检查自变量之间的相关性，以避免多重共线性问题。
如果自变量之间存在高度相关性，可能会干扰对依赖变量的解释。
开始进行多元回归分析时，需要选择一个合适的回归模型。
这可以是线性模型，也可以是非线性模型。
线性模型假设自变量和依赖变量之间存在线性关系，而非线性模型则允许更复杂的关系。
在确定回归模型后，可以使用最小二乘法来估计模型的参数。
这将为每个自变量提供一个回归系数，代表该自变量与依赖变量之间的关系。
此外，回归模型还提供了一个常数项，表示当所有自变量为零时的依赖变量的预期值。
接下来，需要对回归结果进行解释和解读。
一个常见的指标是回归系数的统计显著性。
如果回归系数的p值小于某个设定的显著性水平（通常为0.05），则可以说该自变量对依赖变量的影响是显著的。
此外，还可以计算回归模型的拟合优度，例如R方值。
R方值介于0和1之间，越接近1表示模型对数据的拟合越好。
多元线性回归分析 Multiple Regression
应 用 • 标准化偏回归系数的假设检验 • H0: β ’i=β ’j (i=j) • H1: β ’i=β ’j
t
b b
' i
' j
Sb' b'
i
~ t (n 3)
j
S b ' b '
i j
2(1 R ) ( n 3)(1 rij )
2
应 用
• 根据较易测得的自变量推算不易测得的应 变量 • 如由身高、体重 推算 体表面积
Y=
y1 y2 … ym
b0 B = b1 … bm
回归效果的检验
• 建立了回归方程后，需要进行假设性检验
整个模型的假设检验 各回归参数的假设检验
整个模型的假设检验
• 建立检验假设和备择假设
H0 : β 1=…β m =0 , H1 : β
1
,…,β m不全为0
整个模型的假设检验
• 方差分析
U/m F ~ F (m, n m 1) Q /(n m 1)
基本概念
• 多元（重）线性回归方程 描述2个或2个以上自变量Xi与1个应变量Y的 统计关系的线性方程。 自变量阶数为1的多元线性回归方程被称为 一阶线性回归方程。 Y（hat）=b0+b1x1+b2 x2 +…+bmxm
基本内容
• 从具有n个样品的m个自变量与1个应变量的样本 观测数据出发，建立Xi与Y关系的线性回归方程表 达式； Y（hat）=b0+b1x1+b2 x2 +…+bmxm • 对所建立的多元线性回归方程进行假设检验： 各β i（i=1 2 ….m）不全等于0 ； • 对每一变量进行假设检验： H0：某一β J不等于0 ； • 应用：描述、预报与控制。
多元回归分析
基本介绍
Hale Waihona Puke 通常影响因变量的因素有多个，这种多个自变量影响一个因变量的问题可以通过多元回归分析来解决。例如， 经济学知识告诉我们，商品需求量Q除了与商品价格P有关外，还受到替代品的价格、互补品的价格，和消费者收 入等因素，甚至还包括商品品牌Brand这一品质变量（品质变量不能用数字来衡量，需要在模型中引入虚拟变量） 的影响。多元回归分析应用的范围更加广泛。由于线性回归分析比较简单和普遍，下面首先介绍多元线性回归， 在线性分析基础上，逐步引入虚拟变量回归和一类能够变换成线性回归的曲线回归模型 。
多元回归分析
数理统计方法
目录
01 基本介绍
03 引进虚拟变量
02 多元回归模型 04 曲线回归
多元回归分析（Multiple Regression Analysis）是指在相关变量中将一个变量视为因变量，其他一个或 多个变量视为自变量，建立多个变量之间线性或非线性数学模型数量关系式并利用样本数据进行分析的统计分析 方法。另外也有讨论多个自变量与多个因变量的线性依赖关系的多元回归分析，称为多元多重回归分析模型（或 简称多对多回归）。
感谢观看
当虚拟变量的引入形式只影响回归方程的截距，我们称为加法模型。引入虚拟变量的另外一种形式是乘法模 型，这时引入虚拟变量后并不影响模型的截距，而是影响了斜率。当然，在模型设定时也可能同时引入加法和乘 法，同时改变模型的截距和斜率。
曲线回归
前面我们在模型中都假定Y和之间是线性关系，从广义的线性角度来讲，下面所讲的曲线模型是通过变量替换 而转化成线性的模型。表1列出了常用的可以通过变量替换而转化成线性的曲线模型 。
多元回归模型
多元回归模型的数学形式 设因变量为Y，影响因变量的k个自变量分别为，假设每一个自变量对因变量Y的影响都是线性的，也就是说， 在其他自变量不变的情况下，Y的均值随着自变量的变化均匀变化，这时我们把 称为总体回归模型，把称为回归参数。回归分析的基本任务是： 任务1：利用样本数据对模型参数作出估计。 任务2：对模型参数进行假设检验。 任务3：应用回归模型对因变量（被解释变量）作出预测。 模型的基本假定 为了保证多元回归分析的参数估计、统计检验以及置信区间估计的有效性，与一元线性回归分析类似，我们 需要对总体回归模型及数据作一些基本假定。 假定1：随机误差项的概率分布具有零均值，即。 假定2：随机误差项的概率分布对于不同的自变量表现值而言，具有同方差。
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P289: 1. 异方差的出现可以看成是模型的错误设定，但不影响有偏性和一致性，还
可以通过WLS来减轻； 2. 本章讨论u与xi的相关性，如果相关，称xi为外生变量，为什么？ 3. 当被忽略的自变量为其他变量的函数时，将产生函数形式误设这一问题。 4. 何谓函数形式误设？
P290:2个误设案例，一个是忽略了二次项，一个是忽略了交叉项。
也可能是没有用LOG形式；
回顾第三章 P85 假设3不成立的几种情况，
函数形式误设的后果P290EXP.9.1-阅读
4
Functional Form Misspecification 函数形式误设
A multiple regression model suffers from functional form misspecification when it does not properly account for the relationship between the dependent and the observed explanatory variables.
x影响y的更合理的方式是百分比的形式（用log形式），还是绝对量的 形式？
Does it make more (quadratic) or with
xs2en(isneteforarctthioendse)roivrattoivbeeoffixxe1 dto?
vary
with
x1
x1的用系）数，更还合是理固的定形不式变是？随x1变化（二次形式），随x2变化（交互作
1986年的服刑时间，单位：月
7
Example: Modeling Crime 例子：对犯罪建模
Explanatory variables 解释变量
Qemp86 # quarters employed, 1986 1986年被雇佣季度数 inc86 legal income, 1986, $100s 1986年合法收入，单位：百美元 black =1 if black 如果是黑人，black=1 hispan =1 if Hispanic 如果是西班牙裔，hispan=1
以前被定罪比例
联合F显著；
avgsen avg sentence length, mos. 平均判刑期限，单位：月
3.二次项加入，模型的解读变得困 难，可能有更深刻的实际意义
tottime time in prison since 18, mos.
18岁以来的服刑时间，单位：月
Ptime86 mos. in prison during 1986
Multiple Regression Analysis P289 多元回归分析之模型设定和数据问题
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
Specification and Data Problems 模型设定和数据问题
1
Chapter Outline 本章大纲
Dependent variable: 被解释变量： 解读：
Narr86, # times arrested, 1986 （1986年被捕次数）
1.为什么加入二次项，因为水平项 T检验很显著；
Explanatory Variables： 解释变量：2.加入变量的二次项后，原先的水
pcnv proportion of prior convictions 平变量系数变化很大；同时二次项
Missing Data, Nonrandom Samples, and outliers 数据缺失、非随机样本和离群点-讨论额外的数据问题
2
Functional Form 函数形式
How do we know if we’ve gotten the right functional form for our model?
一种方法：向模型加入任何重要变量的二次项，进行一个联 合显著性检验。-加入二次项，对二次项系数联合显著性F检验通
过时，显示的症状往往是误设，如误将对数模型为水平模型。另外 经济数据中，二次项可以解决大部分非线性问题-P290
6
Example: Modeling Crime 例子：对犯罪建模-P292
Functional Form misspecification 函数形式误设-讨论模型误设的结果-P289
Using Proxy variables for unobserved explanatory variables 对观测不到的变量使用代理变量-讨论用代理变量来减轻 有偏性
Properties of the OLS Under Measurement Error 有测量误差的OLS性质-推导和解释
3
Functional Form (continued) 函数形式（续）
First, use economic theory to guide you
首先，用经济理论的指导
Think about the interpretation
考虑它的解释
Does it make more sense for x to affect y in percentage (use logs) or absolute terms?
误设一个模型的函数形式可能产生严重的后果。我们得到的 局部效应的估计量可能有偏或不一致。
One way out: to add quadratic terms of any significant variables to a model and to perform a joint test of significance.
当一个多元回归模型不能正确地说明被解释 变量和观察到的解释变量之间的关系时， 此模型存在函数形式误设问题。
5
Functional Form Misspecification 函数形式误设
Misspecifying the functional form of a model can have serious consequences. We may obtain biased or Байду номын сангаасnconsistent estimators of the partial effects.