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2020年吉林省长春市中考数学试卷

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2020学年吉林省长春市中考试题数学及答案解析

2020学年吉林省长春市中考试题数学及答案解析

2020年吉林省长春市中考试题数学一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1.-15的绝对值是( )A.-1 5B.1 5C.-5D.5解析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.答案：B.2.长春市奥林匹克公园即将于2020年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为( )A.0.25×1010B.2.5×1010C.2.5×109D.25×108解析：2500000000用科学记数法表示为2.5×109.答案：C.3.下列立体图形中，主视图是圆的是( )A.B.C.D.解析：A、圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；B、圆柱的柱视图是矩形，故 B错误；C、圆台的主视图是梯形，故C错误；D、球的主视图是圆，故D正确.答案：D.4.不等式3x-6≥0的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.解析：3x-6≥0，3x≥6，x≥2，在数轴上表示为答案：B.5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为( )A.44°B.40°C.39°D.38°解析：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°-54°-48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=12×78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°.答案：C.6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为( )A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺解析：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴1.5150.5x=，解得x=45(尺).答案：B.7.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上).为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为( )A.800sinα米B.800tanα米C.800 sinα米D.800tanα米解析：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=ACAB，∴AB=800tan tanACαα=.答案：D.8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=kx(x＞0)的图象上，若AB=2，则k的值为( )A.4B.22C.2D.2解析：作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=2AB=22，BD=AD=CD=2，再利用AC⊥x轴得到C(2，22)，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值.答案：A.二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9.比较大小：10_____3.(填“＞”、“=”或“＜”)解析：∵32=9＜10，∴10＞3.答案：＞.10.计算：a2·a3=_____.解析：根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可. 答案：a5.11.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，3)、(n，3)，若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为_____.(写出一个即可)解析：由直线y=2x与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，在其内任取一数即可得出结论.答案：2.12.如图，在△ABC中，AB=AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD.若∠A=32°，则∠CDB的大小为_____度.解析：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=12∠ACB=37°.答案：37.13.如图，在▱ABCD中，AD=7，3，∠B=60°.E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为_____.解析：当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，∵AE⊥BC，AB=23，∠B=60°.∴AE=3，BE=3，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF=BC=AD=7，∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20.答案：20.14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上.过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1，则A′C的长为_____.解析：解方程x2+mx=0得A(-m，0)，再利用对称的性质得到点A的坐标为(-1，0)，所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′(1，2)，接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长.答案：3.三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.先化简，再求值：22111xx x-+--，其中5解析：根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.答案：22111 xx x-+--=2211 xx-+-=211xx--=()()111x xx+--=x+1，当x=5-1时，原式=5-1+1=5.16.剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率.(图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B)解析：列表得出所有等可能结果，然后根据概率公式列式计算即可得解答案：列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的4种结果，所以抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率为49.17.图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上.在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上.要求：(1)所画的两个四边形均是轴对称图形.(2)所画的两个四边形不全等.解析：利用轴对称图形性质，以及全等四边形的定义判断即可.答案：如图所示：18.学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠.结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润.(1)求每套课桌椅的成本；(2)求商店获得的利润.解析：(1)设每套课桌椅的成本为x元，根据利润=销售收入-成本结合商店获得的利润不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)根据总利润=单套利润×销售数量，即可求出结论.答案：(1)设每套课桌椅的成本为x元，根据题意得：60×100-60x=72×(100-3)-72x，解得：x=82.答：每套课桌椅的成本为82元.(2)60×(100-82)=1080(元).答：商店获得的利润为1080元.19.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D.已知⊙O的半径为6，∠C=40°.(1)求∠B的度数.(2)求AD的长.(结果保留π)解析：(1)根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；(2)根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可.答案：(1)∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；(2)连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴AD的长为1006101803ππ⨯=.20.某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查.该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：20 21 19 16 27 18 31 29 21 2225 20 19 22 35 33 19 17 18 2918 35 22 15 18 18 31 31 19 22整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：(1)上表中众数m的值为_____；(2)为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励.如果想让一半左右的工人能获奖，应根据_____来确定奖励标准比较合适.(填“平均数”、“众数”或“中位数”)(3)该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手.若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数.解析：(1)根据条形统计图中的数据可以得到m的值；(2)根据题意可知应选择中位数比较合适；(3)根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数.答案：(1)由图可得，众数m的值为18；(2)由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适；(3)300×11231230+++++=100(名)，答：该部门生产能手有100名工人.21.某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口.从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口.储存罐内的水泥量y(立方米)与时间x(分)之间的部分函数图象如图所示.(1)求每分钟向储存罐内注入的水泥量.(2)当3≤x ≤5.5时，求y 与x 之间的函数关系式.(3)储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是_____立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为_____分钟.解析：(1)体积变化量除以时间变化量求出注入速度； (2)根据题目数据利用待定系数法求解；(3)由(2)比例系数k=4即为两个口同时打开时水泥储存罐容量的增加速度，则输出速度为5-4=1，再根据总输出量为8求解即可.答案：(1)每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5分钟； (2)设y=kx+b(k ≠0)把(3，15)(5.5，25)代入15325 5.5k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得43k b =⎧⎨=⎩∴当3≤x ≤5.5时，y 与x 之间的函数关系式为y=4x+3(3)由(2)可知，输入输出同时打开时，水泥储存罐的水泥增加速度为4立方米/分，则每分钟输出量为5-4=1立方米；只打开输出口前，水泥输出量为 5.5-3=2.5立方米，之后达到总量8立方米需需输出8-2.5=5.5立方米，用时5.5分钟∴从打开输入口到关闭输出口共用的时间为：5.5+5.5=11分钟.22.在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C、D重合)，连结BE.【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.(1)求证：BE=FG.(2)连结CM，若CM=1，则FG的长为_____.【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG.若CM=3，则四边形GMCE的面积为_____.解析：感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；探究：(1)判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；(2)利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论.答案：感知：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CBE，在△ABF和△BCE中，90BAF CBEAB BCABC BCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABF≌△BCE(ASA)；探究：(1)如图②，过点G作GP⊥BC于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB，∴PG=BC，同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，在△PGF和△CBE中，90PGF CBEPG BCPFG ECB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△PGF≌△CBE(ASA)，∴BE=FG，(2)由(1)知，FG=BE，连接CM，∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，∴BE=2CM=2，∴FG=2.应用：同探究(2)得，BE=2ME=2CM=6，∴ME=3，同探究(1)得，CG=BE=6，∵BE⊥CG，∴S四边形CEGM=12CG×ME=12×6×3=9.23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A、B重合)，作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段DC的长；(2)当点Q与点C重合时，求t的值；(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值.解析：(1)先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；(2)利用AD+DQ=AC，即可得出结论；(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；(4)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论.答案：(1)在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，∴3，∵PD⊥AC，∴∠ADP=∠CDP=90°，在Rt△ADP中，AP=2t，∴DP=t，AD=APcosA=2t×33，∴CD=AC-AD=23-3t(0＜t＜2)；(2)在Rt△PDQ中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A，∴PA=PQ，∵PD⊥AC，∴AD=DQ，∵点Q和点C重合，∴AD+DQ=AC，∴2×3t=23，∴t=1；(3)当0＜t≤1时，S=S△PDQ=12DQ×DP=12×3t×t=32t2；当1＜t＜2时，如图2，CQ=AQ-AC=2AD-AC=23t-23=23(t-1)，在Rt△CEQ中，∠CQE=30°，∴CE=CQ·tan∠CQE=23(t-1)×3=2(t-1)，∴S=S△PDQ-S△ECQ=12×3t×t-12×23(t-1)×2(t-1)=-33t2+43t-23，∴S=223013343()(231)2 t tt t t⎧≤⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜；(4)当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3，∴∠PGF=90°，PG=12PQ=12AP=t，AF=12AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t，∴AP+PF=2t+2t=2，∴t=12；当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，∴∠QMN=90°，AN=12AC=3，QM=12PQ=12AP=t，在Rt△NMQ中，NQ=23cos303MQt=︒，∵AN+NQ=AQ，23323t t+=，∴t=34，当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，∴BF=12BC=1，PE=12PQ=t，∠H=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H，∴BH=BF=1，在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，∴AH=AP+PH=AB+BH，∴2t+2t=5，∴t=5 4，即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为12秒或34秒或54秒.24.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E(点A 在点D的左侧)，经过E、D两点的函数y=-12x2+mx+1(x≥0)的图象记为G1，函数y=-12x2-mx-1(x＜0)的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G.设矩形ABCD的周长为L.(1)当点A的横坐标为-1时，求m的值；(2)求L与m之间的函数关系式；(3)当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；(4)设G在-4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当32≤y0≤9时，直接写出L的取值范围.解析：(1)求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题；(2)利用对称轴公式，求出BE的长即可解决问题；(3)由G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，推出抛物线G2的顶点M(-m，12m2-1)在线段AE上，利用待定系数法即可解决问题；(4)分两种情形讨论求解即可；答案：(1)由题意E(0，1)，A(-1，1)，B(1，1)把B(1，1)代入y=-12x2+mx+1中，得到1=-12+m+1，∴m=1 2.(2)∵抛物线G1的对称轴x=-m-1=m，∴AE=ED=2m，∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，∴AD=BC=4m，AB=CD=2，∴L=8m+4.(3)∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，∴抛物线G2的顶点M(-m，12m2-1)在线段AE上，∴12m2-1=1，∴m=2或-2(舍弃)，∴L=8×2+4=20.(4)①当最高点是抛物线G1的顶点N(m，12m2+1)时，若12m2+1=32，解得m=1或-1(舍弃)，若12m2+1=9时，m=4或-4(舍弃)，又∵m≤2，观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，②当(2，2m-1)是最高点时，3219 22mm⎧≤-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得2≤m≤5，综上所述，1≤m≤5，∴12≤L≤44.。

2020年吉林省长春市中考数学试题(解析版)

2020年吉林省长春市中考数学试题(解析版)

2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×1053．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费元．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为度．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为千米/时，a的值为．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．2020年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.2【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．故选：A．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．【解答】解：x≥3﹣2，x≥1，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝【分析】根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4【分析】设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，∴OB＝3，AB＝2，设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，∴△PCD∽△ACB，∴，∵AP＝2PC，∴，∴PD＝，CD＝1﹣c，∴OD＝OC+CD＝1+c，∴P（1+c，），把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得k＝c，∵0≤c≤3∴，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费（30m+15n）元．【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．【解答】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为72度．【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．【解答】解：正五边形的一个外角＝＝72°．故答案为：72．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．【分析】利用勾股定理求出AC，证明∠C＝45°，根据S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB计算即可．【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2＝a2+7．当a＝时，原式＝（）2+7＝9．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【分析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？【分析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价＝总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．【分析】（1）由平行四边形性质得OB＝OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；（2）由（1）得OE＝OF，则OE＝2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，在△OEB和△OFD中，，∴△OEB≌△OFD（AAS），∴OE＝OF；（2）解：由（1）得：OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵BE⊥AC，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是2018年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为7天，平均数为8天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为89%（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【分析】（1）从折线统计图可得答案；（2）利用中位数、众数的意义分别计算即可；（3）分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；（4）根据空气质量的等级天数进行判断即可．【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43﹣30＝13天；2016年，51﹣43＝8天；2017年，65﹣51＝14天；2018年，123﹣65＝58天；2019年，126﹣123＝3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为40千米/时，a的值为480．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480；（2）运用待定系数法解得即可；（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．（2）证明∠QFP＝∠FPQ即可解决问题．（3）证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF＝m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA＝DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG＝GQ＝FQ＝PF，∵QF＝QP，∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，∴∠DQD′＝30°，∵∠D′＝90°，∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，∴＝＝．故答案为．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．【分析】（1）根据AB＝4，构建方程求解即可．（2）分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出EC即可．（3）求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围．（4）分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P 在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin A＝，cos A＝，如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C＝，∴EC＝PC•cos C＝（7﹣5t）＝﹣3t．（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC•sin C＝（7﹣5t）＝﹣4t，∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，∴﹣4t＝5t﹣，解得t＝．∵△PDQ是锐角三角形，∴观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QM交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，∴BN＝NH，在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，∴QG＝PQ＝t，在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，解得t＝．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，过点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．∵QM∥BC，DM＝PM，∴DH＝2PK，在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），∴PK＝PQ＝（7﹣5t），在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，∵DH＝2PK，∴t＝2×（7﹣5t），解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），则2a﹣（﹣1）＝2，即可得出结果；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；（4）易证直角边为EF与FG，由抛物线的对称轴为x＝a，A（0，﹣1），则AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，PP′＝2（a+1），则﹣2a＝2×2（a+1），即可得出结果；当点P 在FG边上时，求出PP′＝2，则﹣2a＝4，即可得出结果．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，∴点A的坐标为：（0，﹣1）；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得：2＝1﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A（0，﹣1），∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，∴2a﹣（﹣1）＝2，解得：a＝；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，如图3所示：∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，整理得：（a+1）2＝2，解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合题意舍去）；综上所述，a的值为或﹣1﹣；（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），∴直角边为EF与FG，∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），∴AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，如图4所示：则x p＝﹣1，∵EA＝OA＝1，∴点P在对称轴x＝a的左侧，∴PP′＝2（a+1），∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝2×2（a+1），解得：a＝﹣；当点P在FG边上时，如图5所示：则y p＝a﹣1，∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，解得：x1＝a+，x2＝a﹣，∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝4，解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）；综上所述，a的值为﹣或﹣．第31页（共31页）。

吉林省长春市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)

吉林省长春市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)

吉林省长春市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A. =1B. -1.5C. -3D. -4.2【答案】C【考点】数轴及有理数在数轴上的表示【解析】【解答】解：根据题意可知，墨水遮盖区域的数在-4和-2之间∴数字可能为-3.故答案为：C.【分析】根据数轴上有理数的大小和顺序进行判断即可。

2.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A. 79×103B. 7.9×104C. 0.79×105D. 4ab【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：79000用科学记数法表示为7.9×104故答案为：B.【分析】根据科学记数法的含义，表示得到数字即可。

3.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A. B.C. D.【答案】A【考点】几何体的展开图【解析】【解答】解：由分析知：四棱柱的侧面展开图是四个矩形组成的图形．故选：A．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形图进行解答即可．4.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】 D【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集【解析】【解答】解：∵x+2≥3∴x≥1∴在数轴上表示正确的为D.故答案为：D.【分析】根据题意，解出不等式的解集，在数轴上进行表示即可。

5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A. sinA=BDAB B. cosA=ABADC. tanA=ADBDD. sinA=ADAB【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：根据题意可知，在直角三角形ABD中，求∠A可由以下方法求得①sinA=BDAB②cosA=ADAB③tanA=BDAD故答案为：A.【分析】根据题意，结合锐角三角函数的定义，表示得到∠A的式子，进行判断即可得到答案。

2020年吉林省长春市中考数学试卷 (解析版)

2020年吉林省长春市中考数学试卷 (解析版)

2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5--C．3-D． 4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．3⨯D．50.7910⨯7.9107910⨯B．47.910⨯C．53．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒7．（3分）如图，在ABC∆中，90BAC∠=︒，AB AC>．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是()A．BDN CDN∠=∠B．2ADC B∠=∠C．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 元． 10．（3分）分解因式：24a -= ．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 度．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 （结果保留)π．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB 为边画ABC ∆． 要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C 在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5∠的值．OF=，求tan OBEBE=，220．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．20142019-年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 千米/时，a 的值为 ． （2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP =时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则ADAB= ．23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值． （2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5-C．3-D． 4.2-解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于4-，-，且小于2因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．30.7910⨯D．57.910⨯⨯C．57910⨯B．47.910解：79000这个数用科学记数法表示为：47.910⨯．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．故选：A．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．解：32x-，1x，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=解：在Rt ABD∆中，90ADB∠=︒，则sinBDAAB=，cosADAAB=，tanBDAAD=，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒解：222040BOC BDC ∠=∠=⨯︒=︒， 18040140AOC ∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．7．（3分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC >．按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ； ②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连结CD ． 下列说法不一定正确的是( )A ．BDN CDN ∠=∠B ．2ADC B ∠=∠ C ．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒解：由作图可知，MN 垂直平分线段BC ， DB DC ∴=，MN BC ⊥，BDN CDN ∴∠=∠，DBC DCB ∠=∠， 2ADC B DCB B ∴∠=∠+∠=∠， 90A ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒， 290B ACD ∴∠+∠=︒，故选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 解：点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ， 3OB ∴=，2AB =，设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ， 则3BC c =-，//PD AB ，OC c =， PCD ACB ∴∆∆∽， ∴PD CD CPAB CB CA==，2AP PC =， ∴1233PD CD c ==-， 23PD ∴=，113CD c =-， 213OD OC CD c ∴=+=+，2(13P c ∴+，2)3，把2(13P c +，2)3代入函数(0)ky x x =>中，得2439k c =+， 03c∴223k ， 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 (3015)m n + 元． 解：根据单价⨯数量=总价得，(3015)m n +元， 故答案为：(3015)m n +．10．（3分）分解因式：24a -= (2)(2)a a +- ． 解：24(2)(2)a a a -=+-．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 1 ．解：关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根， ∴△0=，2(2)40m ∴--=，1m ∴=，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 72 度． 解：正五边形的一个外角360725︒==︒． 故答案为：72．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 2π- （结果保留)π．解：2AB CB ==，90ABC ∠=︒，22222222AC AB BC ∴=+=+=45C BAC ∴∠=∠=︒，245(22)12223602ACBCAD S S S ππ∆⋅⋅∴=-=-⨯⨯=-阴扇形，故答案为2π-．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为72．解：点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)， 4AB ∴=，抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且122CD AB ==，∴设点C 的坐标为(,2)c ，则点D 的坐标为(2,2)c +，2212c h c +==+， ∴抛物线232[(1)]2c c k =--++，解得，72k =． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =． 解：原式26962a a a =-++- 27a =+．当2a =时，原式2(2)79=+=．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC∆．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：36080203x x-=，解得：2x=，经检验，2x=是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5BE=，2OF=，求tan OBE∠的值．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OB OD∴=，BE AC⊥，DF AC⊥，90OEB OFD∴∠=∠=︒，在OEB∆和OFD∆中，OEB OFDBOE DOF OB OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，() OEB OFD AAS∴∆≅∆，OE OF∴=；（2）解：由（1）得：OE OF =， 2OF =， 2OE ∴=， BE AC ⊥， 90OEB ∴∠=︒，在Rt OEB ∆中，2tan 5OE OBE BE ∠==． 20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表． 20142019-年长春市空气质量级别天数统计表根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是 2018 年． （2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天，平均数为 天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年， 故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为5972+=，因此中位数是7天， 这6年的“重度污染”的天数的平均数为1315591586+++++=天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为： 2015年，433013-=天； 2016年，51438-=天； 2017年，655114-=天； 2018年，1236558-=天； 2019年，1261233-=天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为12365100%89%65-⨯≈， 故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 40 千米/时，a 的值为 ．（2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80240÷=（千米/时）； 4062480a =⨯⨯=，故答案为：40；480；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)， ∴2806480k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得100120k b =⎧⎨=-⎩， y ∴与x 之间的函数关系式为100120y x =-；（3）两车相遇前：80100(2)240100x +-=-，解得135x =； 两车相遇后：80100(2)240100x +-=+，解得235x =， 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时． 22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP=时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则ADAB=35．【解答】（1）证明：如图①中，四边形ABCD是矩形，90A ADA∴∠=∠'=︒，由翻折可知，90DA E A∠'=∠=︒，90A ADA DA E∴∠=∠'=∠'=︒，∴四边形AEA D'是矩形，DA DA='，∴四边形AEA D'是正方形．（2）解：结论：PQF∆是等腰三角形．理由：如图②中，四边形ABCD是矩形，//AB CD ∴，QFP APF ∴∠=∠，由翻折可知，APF FPQ ∠=∠，QFP FPQ ∴∠=∠，QF QP ∴=，PFQ ∴∆是等腰三角形．（3）如图③中，四边形PGQF 是菱形，PG GQ FQ PF ∴===，QF QP =，PFQ ∴∆，PGA ∆都是等边三角形，设QF m =，60FQP ∠=︒，90PQD ∠'=︒，30DQD ∴∠'=︒，90D ∠'=︒，1122FD DF FQ m ∴'===，332QD D F '='=， 由翻折可知，32AD QD ='=，PQ CQ FQ m ===， 52AB CD DF FQ CQ m ∴==++=， ∴332552m AD AB m ==． 35． 23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值．（2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．解：（1）当点P 与B 重合时，54t =，解得45t =． （2）在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，4AB =，3BC =，2222435AC AB BC ∴=+=+=，3sin 5A ∴=，4cos 5A =， 如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，cos 4AE AP A t ==， 54EC t ∴=-．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PEC ∆中，75PC t =-，3cos 5C =， 321cos (75)355EC PC C t t ∴==-=-．（3）当PDQ ∆是等腰直角三角形时，则PE DE =，如图④中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，sin 3PE PA A t ==，54256DE AC AE CD t t t =-----=-，PE DE =，356t t ∴=-，59t ∴=． 如图⑤中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PCE ∆中，428sin (75)455PE PC C t t ==-=-， 3212(75)555DE CD CE t t t =-=--=-， ∴28214555t t -=-， 解得5945t =． 观察图象可知满足条件的t 的值为509t <<或497455t <<．（4）如图⑥中，当点P 在线段AB 上，//QM AB 时，过点Q 作QG AB ⊥于G ，延长QN 交BC 于N ，过点D 作DH BC ⊥于H ． ////PB MN DH ，PM DM =，BN NH ∴=，在RtPQG 中，26PQ PE t ==，42455QG PQ t ∴==，在Rt DCH ∆中，3655HC DC t ==， 242463555BC BH CH t t t =+=++=， 解得518t =． 如图⑦中，当点P 在线段BC 上，//QM BC 时，点点D 作DH BC ⊥于H ，过点P 作PK QM ⊥于K ．//QM BC ，DM PM =，2DH PK ∴=，在Rt PQK ∆中，82(75)5PQ PE t ==-， 324(75)525PK PQ t ∴==-， 在Rt DCH ∆中，4855DH DC t ==， 2DH PK =，∴8242(75)525t t =⨯-， 解得65t =， 综上所述，满足条件的t 的值为518或65． 24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．解：（1）当0x =时，2211y x ax =--=-，∴点A 的坐标为：(0,1)-；（2）将点(1,2)代入221y x ax =--，得：2121a =--，解得：1a =-，∴函数的表达式为：221y x x =+-，2221(1)2y x x x =+-=+-，∴抛物线的开口向上，对称轴为1x =-，如图1所示：∴当1x >-时，y 随x 的增大而增大；（3）抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，顶点坐标为：2(,1)a a --， 当0a >时，对称轴在y 轴右侧，如图2所示：0x ，∴最低点就是(0,1)A -，图象的最低点到直线2y a =的距离为2，2(1)2a ∴--=，解得：12a =； 当0a <，对称轴在y 轴左侧，顶点2(,1)a a --就是最低点， 如图3所示：22(1)2a a ∴---=，整理得：2(1)2a +=，解得：11a =--21a =-；综上所述，a 的值为12或1--； （4）0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -， ∴直角边为EF 与FG ，抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，(0,1)A -， 2AA a ∴'=-，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则1p x =-，1EA OA ==，∴点P 在对称轴x a =的左侧，2(1)PP a ∴'=+，2AA PP '='，222(1)a a ∴-=⨯+， 解得：23a =-； 当点P 在FG 边上时，如图5所示：则1p y a =-，2211x ax a ∴--=-，解得：1x a =+，2x a =，(PP a a ∴'=+--= 2AA PP '='，224a a a∴-=+，解得：14 3a=-，20a=（不合题意舍去）；综上所述，a的值为23-或43-．。

吉林省长春市2020年中考数学试卷

吉林省长春市2020年中考数学试卷

吉林省长春市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1. ( 2分) 如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A. =1B. -1.5C. -3D. -4.22. ( 2分) 为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3. ( 2分) 下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A. B. C. D.4. ( 2分) 不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.5. ( 2分) 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点D．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（）A. B. C. D.6. ( 2分) 如图，是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，则的大小为（）A. B. C. D.7. ( 2分) 如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点B和点C 为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线，与边相交于点D，连结．下列说法不一定正确的是（）A. B.C. D.8. ( 2分) 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，点C是线段上的点，连结．点P在线段上，且．函数的图象经过点P．当点C在线段上运动时，k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共6题；共6分）9. ( 1分) 长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费________元．10. ( 1分) 分解因式：________.11. ( 1分) 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是________．12. ( 1分) 正五边形的一个外角的大小为________度．13. ( 1分) 如图，在中，，，以点C为圆心，线段的长为半径作，交的延长线于点D，则阴影部分的面积为________（结果保留）．14. ( 1分) 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线（h、k为常数）与线段交于C、D两点，且，则k的值为________．三、解答题（共10题；共100分）15. ( 5分) 先化简，再求值：，其中．16. ( 5分) 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为、，图案为“保卫和平”的卡片记为B）17. ( 5分) 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．要求：a.在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；b.三个图中所画的三角形的面积均不相等；c.点C在格点上．18. ( 5分) 在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19. ( 10分) 如图，在中，O是对角线、的交点，，，垂足分别为点E、F．（1）求证：．（2）若，，求的值．20. ( 8分) 空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气．下图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014—-2019年长春市空气质量级别天数统计表：2014-2019年长春市空气质量为“达标”和“优”的天数折线统计图：根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是________年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为________天，平均数为________天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是________年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为________（精确到）．（空气质量为“优”=[（今年空气质量为优的天数-去年空气质量为优的天数）÷去年空气质量为优的天数]×100％（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21. ( 11分) 已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为________千米/时，a的值为________．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22. ( 11分) （教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．（1）（问题解决）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点A落在边上，点A的对应点为，折痕为，点E在上．求证：四边形是正方形．（2）（规律探索）由（问题解决）可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点P在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．（3）（结论应用）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为，点G在上．要使四边形为菱形，则________．23. ( 20分) 如图①，在中，，，．点P从点A出发，沿折线AB- BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发,沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动.当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点2，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ.设点P的运动时间为t秒.。

2020-2021年吉林省长春市中考数学试题(解析版)

2020-2021年吉林省长春市中考数学试题(解析版)

2020年长春市初中毕业学业水平考试数学一、选择题（本大题共8小题）1. 如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）A. 1-B. 1.5-C. 3-D. 4.2-【答案】C【解析】【分析】根据数轴上数的特点，在-2和-4之间的数即为答案；【详解】由题可得，黑墨遮盖的数字在-2和-4之间，符合条件的数字只有-3．故答案选C ．【点睛】本题主要考查了数轴的应用，准确分析是解题的关键．2. 为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 37910⨯B. 47.910⨯C. 50.7910⨯D. 57.910⨯ 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】根据四棱柱是由四个大小相同的长方形和两个全等的正方形构成的解答即可.【详解】四棱柱的侧面是由四个同样大小的长方形围成的，故选：A .【点睛】此题考查了简单几何体的侧面展开图，正确掌握几何体的构成是解题的关键.4. 不等式23x +≥的解集在数轴上表示正确的是（ ） A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】 先求出不等式的解集，再根据数轴的特点表示解集即可.【详解】解：23x +≥，解得1≥x ，在数轴上表示解集为：，故选：D . 【点睛】此题考查了求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，掌握数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键.5. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B ，塔身中心线AB 与垂直中心线AC 的夹角为A ∠，过点B 向垂直中心线AC 引垂线，垂足为点D ．通过测量可得AB 、BD 、AD 的长度，利用测量所得的数据计算A ∠的三角函数值，进而可求A ∠的大小．下列关系式正确的是（ ）A. sin BD A AB =B. cos AB A AD =C. tan AD A BD =D. sin AD A AB= 【答案】A【解析】确定A ∠所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；【详解】由题可知，△ABD 是直角三角形，90BDA ∠=︒，sin BD A AB ∴=，cos AD A AB=,tan BD A AD =． ∴选项B 、C 、D 都是错误的，故答案选A ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．6. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，20BDC ∠=︒，则AOC ∠的大小为（ ）A. 40︒B. 140︒C. 160︒D. 170︒【答案】B【解析】【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.【详解】∵20BDC ∠=︒,∴∠BOC=2∠BDC=40°，∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，故选：B .【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，邻补角的定义.7. 如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC >．按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连结CD ．下列说法不一定正确的是（ ）A. BDN CDN ∠=∠B. ADC 2B ∠=∠C. ACD DCB ∠=∠D. 290B ACD ∠+∠=︒【答案】C【解析】【分析】 利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】解：由作图可知，MN 垂直平分线段BC ，DB DC ∴=，MN BC ⊥，BDN CDN ∴∠=∠，DBC DCB ∠=∠，2ADC B DCB B ∴∠=∠+∠=∠，90A ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，290B ACD ∴∠+∠=︒，故选项A ，B ，D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()3,2，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2=AP PC ．函数()0ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是（ ）A. 02k <≤B. 233k ≤≤C. 232k ≤≤D. 834k ≤≤ 【答案】C【解析】【分析】设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ，由PCD ACB △∽△，用c 表示P 点坐标，再求得k 关于c 的解析式，最后由不等式的性质求得k 的取值范围．【详解】解：点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，3OB ∴=，2AB =，设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ，则3BC c =-，//PD AB ，OC c =，PCD ACB ∴△∽△， ∴PD CD CP AB CB CA==，2AP PC =，∴1233PD CD c ==-， 23PD ∴=，113CD c =-， 213OD OC CD c ∴=+=+， 2(13P c ∴+，2)3， 把2(13P c +，2)3代入函数(0)k y x x=>中，得 2439k c =+， 03c∴223k ， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出k 关于c 的解析式．二、填空题（本大题共6小题）9. 长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费___________元．【答案】()3015m n +【解析】【分析】根据单价×数量=总价，用代数式表示结果即可．【详解】解：根据单价×数量=总价得，共需花费()3015m n +元，故答案为：()3015m n +．【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量=总价是解题的关键，注意当代数式是多项式且后面带单位时，代数式要加括号．10. 分解因式：24x -= ．【答案】()()+22x x -．【解析】【分析】先把式子写成x 2-22，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．【详解】x 2-4=x 2-22=（x+2）（x-2）．故答案为()()22x x +-.【点睛】此题考查的是利用公式法因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．11. 若关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=有两个相等的实数根，则m 的值是__________．【答案】1【解析】【分析】因为关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=有两个相等的实数根，故240b ac -= ，代入求解即可.【详解】根据题意可得：()2-2-4=0m 解得：m=1故答案为：1【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与方程的根的关系是关键. 12. 正五边形的一个外角的大小为__________度．【答案】72【解析】【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角的度数为：360725︒=︒， 故答案为：72．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键．13. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为___________（结果保留π）．【答案】2π- 【解析】【分析】利用勾股定理求出AC ，证明45C ∠=︒，根据ACB CAD S S S =-△阴扇形计算即可．【详解】解：2AB CB ==，90ABC ∠=︒，22222222AC AB BC ∴=+=+45C BAC ∴∠=∠=︒，245(22)12222ACB CAD S S S ππ⋅⋅∴=--⨯⨯=-△阴扇形， 故答案为2π-．【点睛】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()4,2．若抛物线23()2y x h k =--+（h 、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为_________．【答案】72【解析】【分析】 根据题意，可以得到点C 的坐标和h 的值，然后将点C 的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k 的值，本题得以解决．【详解】解：点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)，4AB ∴=， 抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且122CD AB ==， ∴设点C 的坐标为(,2)c ，则点D 的坐标为(2,2)c +，2212c h c +==+， ∴抛物线232[(1)]2c c k =--++， 解得，72k =． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题（本大题共10小题）15. 先化简，再求值：()()23231a a -+-，其中2a =【答案】27a +，9【解析】【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．【详解】解：原式2269627a a a a =-++-=+， 当2a =22)79=+=． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解． 16. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A、2A，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【答案】树状图见解析，1 9【解析】【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画树状图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，∴P（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）19 =．【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17. 图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【答案】见详解（答案不唯一）【解析】【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图①面积为12；图②面积为1；图③面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．18. 在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？ 【答案】2万斤 【解析】 【分析】由题意设该村企去年黑木耳的年销量为x 万斤，则今年黑木耳的年销量为3x 万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x 万斤 依题意得80360203x x+= 解得：2x =经检验2x =是原方程的根，且符合题意． 答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19. 如图，在ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：OE OF =．（2）若5BE =，2OF =，求tan OBE ∠的值． 【答案】（1）见解析1；（2）25【解析】 【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得OD OB =，由ASA 证得DFO BEO ∆∆≌，即可得出结论； （2）根据题意由（1）得OE=OF ，则OE=2，在Rt △OEB 中，由三角函数定义即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：在ABCD 中，OD OB = ∵BE AC ⊥，DF AC ⊥ ∴DF BE ∥ ∴FDO EBO ∠=∠ 又∵DOF BOE ∠=∠ ∴()DFO BEO ASA ∆∆≌∴OE OF =（2）∵OE OF =，2OF = ∴2OE = ∵BE AC ⊥ ∴90OEB ∠=︒在Rt OBE ∆中，5BE =，2tan 5OE OBE BE ∠==. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．20. 空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气．下图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014—-2019年长春市空气质量级别天数统计表：2014-2019年长春市空气质量为“达标”和“优”的天数折线统计图：根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是_________年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为__________天，平均数为________天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是_________年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为___________（精确到1%）．（空气质量为“优”=[（今年空气质量为优的天数-去年空气质量为优的天数）÷去年空气质量为优的天数]×100％（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【答案】（1）2018；（2）7，8；（3）2018，89%；（4）2018年空气质量好，2018年达标天气天数最多【解析】【分析】（1）根据折线统计图中各年的“达标”天数比较即可得到答案；（2）根据统计表解答；（3）依次计算每年的空气质量为“优”增加的天数即可得到答案，利用公式计算增长率；（4）根据统计中空气质量为“达标”的天数最多的年份解答.【详解】（1）从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数分别为：245、236、288、276、325、306，故答案为：2018；（2）从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数由小到大重新排列为：1、5、5、9、13、15，所以中位数为5972+=，平均数为1559131586+++++=，故答案为：7、8；（3）从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数依次增加的天数为：43-30=13，51-43=8，65-51=14，123-65=58，126-123=3，故增加天数最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为58100%89%65⨯≈， 故答案为：2018，89%；（4）2018年空气质量好，2018年达标天气天数最多.【点睛】此题考查了统计知识，正确理解统计表的意义，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键. 21. 已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为_________千米/时，a 的值为____________． （2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 【答案】（1）40，480；（2）100120y x =-；（3）135小时或235小时【解析】 【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a=240×2=480； （2）根据题意直接运用待定系数法进行分析解得即可；（3）由题意分两车相遇前与相遇后两种情况分别列方程解答即可．【详解】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40（千米/时）； a=40×6×2=480， 故答案为：40；480；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 由图可知，函数图象过点()2,80，()6,480，所以2806480k b k b +=⎧⎨+=⎩解得100120k b =⎧⎨=-⎩所以y 与x 之间的函数关系式为100120y x =-； （3）两车相遇前：()801002240100x +-=- 解得：135x =两车相遇后：()801002240100x +-=+ 解得：235x =答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22. 【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形． 【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的A DE ∆'为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】（3）在图②中，当QC QP =时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则ADAB=___________．【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，见解析；（3）3 5【解析】【分析】（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析证明即可．（2）根据题意证明∠QFP=∠FPQ即可解决问题．（3）由题意证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．【详解】解：（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADA′=90°，由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°，∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA=DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP=∠APF，由翻折可知，∠APF=∠FPQ，∴∠QFP=∠FPQ，∴QF=QP，∴△PFQ 是等腰三角形． （3）如图③中，∵四边形PGQF 是菱形， ∴PG=GQ=FQ=PF ， ∵QF=QP ，∴△PFQ ，△PGQ 都是等边三角形，设QF=m ， ∵∠FQP=60°，∠PQD ′=90°， ∴∠DQD ′=30°， ∵∠D ′=90°， ∴1133222FD DF FQ m QD D F m '==='='=，， 由翻折可知，3AD QD PQ CQ FQ m ='====，， ∴52AB CD DF FQ CQ m ==++=， ∴332552AD AB m ==． 故答案为：35． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23. 如图①，在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值． （2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ 为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC 的一条直角边平行时，直接写出t 的值． 【答案】（1）45t =；（2）54t -或2135t -；（3）509t <<或497455t <<；（4）518或65.【解析】 【分析】（1）由题意直接根据AB=4，构建方程进行分析求解即可；（2）由题意分两种情形：当点P 在线段AB 上时，首先利用勾股定理求出AC ，再求出AE 即可解决问题．当点P 在线段BC 上时，在Rt △PCE 中，求出CE 即可；（3）根据题意求出两种特殊情形下△PDQ 是等腰直角三角形时t 的值，即可求解当△PDQ 为锐角三角形时t 的取值范围；（4）根据题意分两种情形：如图7，当点P 在线段AB 上，QM ∥AB 时以及如图8，当点P 在线段BC 上，QM ∥BC 时，分别求解即可．【详解】解：（1）当点P 与点B 重合时，54t =．解得45t =． （2）在Rt ABC ∆中，4AB =，3BC =，所以5AC =，3sin 5A =，4cos 5A =． 如图3，当点P 在AB 上时，在Rt APE ∆中，cos 4AE AP A t =⋅=． 所以54CE AC AE t =+=-．如图4，当点P 在BC 上时，在Rt PCE ∆中，75PC t =-，3cos sin 5C A ==． 所以321cos (75)355CE PC C t t =⋅=-=-． （3）先考虑临界值等腰直角三角形PDQ ，那么PE DE =． 如图5，当点P 在AB 上时，在Rt APE ∆中，sin 3PE AP A t =⋅=．而54256DE AC AE CD t t t =--=--=-， 由PE DE =，得356t t =-．解得59t =． 如图6，当点P 在BC 上时，在Rt PCE ∆中，428sin (75)455PE PC C t t =⋅=-=-． 而3212(75)555DE CD CE t t t =-=--=-， 由PE DE =，得28214555t t -=-，解得4945t =．再数形结合写结论．当PDQ ∆为锐角三角形时，509t <<，或497455t <<．（4）t 的值为518或65． 如图7，当点P 在AB 上时，延长QM 交BC 于点N ． 作QG AB ⊥于G ，作DH BC ⊥于H ． 由QMAB ，M 是PD 的中点，可知N 是BH 的中点．在Rt PQG ∆中，26PQ PE t ==，所以42455QG PQ t ==． 在Rt DCH ∆中，3655HC DC t ==． 由242463555BC BH HC HC t t t =++=++=，解得518t =． 如图8，当点P 在BC 上时，作PK QM ⊥于K ． 由QM BC ∥，M 是PD 的中点，可知2DH PK =．在Rt PQK ∆中，882(75)55PQ PE PC t ===-，所以324(75)525PK PQ t ==-． 在Rt DCH ∆中，4855DH DC t ==．由2DH PK =，得8242(75)525t t =⨯-，解得65t =．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题. 24. 在平面直角坐标系中，函数221y x ax =--（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点()1,2时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x ≤时，若函数221y x ax =--（a 为常数）图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG 三个顶点的坐标分别为()1,1E --、()1,1F a --、()0,1G a -．当函数221y x ax =--（a 为常数）的图象与EFG 的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P '（P '与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP ''=，直接写出a 的值．【答案】（1）()0,1A -；（2）221y x x =+-，当1x >-时，y 随x 的增大而增大；（3）1a =-12a =；（4）23a =-或43- 【解析】【分析】（1）由题意可知当x=0时，代入221y x ax =--，进行求解即可得出结果；（2）根据题意先求出函数的表达式，进而得出抛物线的开口向上，对称轴为x=-1，则当x ＞-1时，y 随x 的增大而增大；（3）由题意分0a >，那么对称轴在y 轴右侧以及0a <，那么对称轴在y 轴左侧两种情况，依次建立含a 的方程分别进行求解即可；（4）根据题意分当点P 在EF 边上时以及当点P 在FG 边上时两种情况，进而求得PP ′并利用2AA PP ''=，建立含a 的方程分别进行求解即可.【详解】解：（1）当0x =时，2211y x ax =--=-，所以()0,1A -． （2）将点()1,2代入2211y x ax =--=-，得2121a =--，解得1a =-． 所以2221(1)2y x x x =+-=+-如图1所示，抛物线的开口向上，对称轴为1x =-．因此当1x >-时，y 随x 的增大而增大．（3）抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为x a =，顶点坐标为()2,1a a --． 如图2，如果0a >，那么对称轴在y 轴右侧，最低点就是()0,1A -．已知最低点到直线2y a =的距离为2，所以()212a --=．解得12a =． 如图3，如果0a <，那么对称轴在y 轴左侧，顶点()2,1a a --就是最低点． 所以()2212a a ---=．整理，得()212a +=．解得1a =3），或1a =-+．（4）23a =-，或43-． 抛物线221y x ax =--的对称轴为x a =，()0,1A -，所以2AA a '=-．①如图4，当点P 在EF 边上时，1p x =-．因为1EA OA ==，所以点P 在对称轴x a =的左侧．所以()21PP a '=+．由2AA PP ''=，得()241a a -=+．解得23a =-． ②如图5，当点P 在FG 边上时，1p y a =-．解方程2211x ax a --=-，得2x a a a =±+．所以22PP a a '=+．由2AA PP ''=，得224a a a -=+．解得43a =-，或0a =（舍去）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．。

2020年吉林长春中考数学试卷(解析版)

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2020年吉林长春中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）．A. B. C. D.2.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为平方米的新少年宫，预计年月正式投入使用．这个数用科学记数法表示为（ ）．A. B. C. D.3.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）．A. B.C. D.4.不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）．A. B.C. D.5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点，通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）．垂直中心线塔身中心线A.B.C.D.6.如图，是⊙的直径，点、在⊙上，，则的大小为（ ）．A.B.C.D.7.如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连接．下列说法不一定正确的是（ ）．A.B.C.D.8.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连结．点在线段上，，函数（）的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张元，儿童票每张元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费 元．10.分解因式： ．11.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 .12.正五边形的一个外角的大小为 度．13.如图，在中，，，以点为圆心，线段的长为半径作，交的延长线于点，则阴影部分的面积为 （结果保留）．14.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．xyO三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.先化简，再求值：，其中．16.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为、，图案为“保卫和平”的卡片记为）17.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．要求：图图图（）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形．（）三个图中所画的三角形的面积均不相等．（）点在格点上．18.在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了元．预计今年的销量是去年的倍，年销售额为万元．已知去年的年销售额为万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？（1）（2）19.如图，在平行四边形中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．求证：．若，，求的值．20.空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气．下图是长春市从年到年的空气质量级别天数的统计图表．（1）（2）（3）（4）空气质量级别天数年份优良轻度污染中度污染重度污染严重污染年长春市空气质量级别天数统计表空气质量为达标的天数空气质量为优的天数年份天数（天）年长春市空气质量为达标和优的天数折线统计图根据上面的统计图表回答下列问题：长春市从年到年空气质量为“达标”的天数最多的是 年．长春市从年到年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天，平均数为 天．长春市从年到年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到）．你认为长春市从年到年哪一年的空气质量好？请说明理由．空气质量为优的天数的年增长率今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数21.（1）（2）（3）已知、两地之间有一条长千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示．时千米甲车的速度为 千米/时，的值为 ．求乙车出发后，与之间的函数关系式．当甲、乙两车相距千米时，求甲车行驶的时间．（1）（2）22.【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．图【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形，现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．图图（3）【结论应用】在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上，要使四边形为菱形，则．（1）（2）（3）（4）23.如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒．图当点与点重合时，求的值．用含的代数式表示线段的长．当为锐角三角形时，求的取值范围．如图②，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．图24.在平面直角坐标系中，函数（为常数）的图象与轴交于点．【答案】解析:设数轴上被墨水遮盖的数为，则由题意可知：．（1）（2）（3）（4）求点的坐标．当此函数图象经过点时，求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．当时，若函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为，求的值．设，三个顶点的坐标分别为、、．当函数（为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点．过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 (与不重合)，过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，直接写出的值．C1.选项：，故错误；选项：，故错误；选项：，故正确；选项：，故错误．故选．解析:科学记数法：．故选．解析:四棱柱的侧面展开图是四个矩形，所以只有符合题意．故选．解析:，在数轴上表示为：故选．解析:∵于点，∴在中，，故答案为：．B 2.A 3.D 4.B 5.解析:∵为⊙的直径，点、在⊙上，，∴，∴．故选．解析:∵点的坐标为，轴，∴点的坐标为，∵点是线段上的点，设点的坐标是，则，过点作轴于点，如下图所示，则有，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，故点坐标为，点坐标为，∵点在函数（）的图象上，∴，即，随的增大而增大，B 6.C 7.C 8.∵，∴，故答案选．9.解析:由题意得，共需花费：（元）．故答案为：．10.解析:因式分解：故答案为：．11.解析:∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：．12.解析:∵（度），∴正五边形每个外角的大小是度．故答案为：．13.解析:∵，且，∴，且，∴．故答案为：．解析:由题可知：∵，，，∴，∵令，∴，解得：，，∵，∴，，∴，，∴．解析:原式，当时，原式．解析:方法一：树状图如下：阴影面积14.．15.．16.第一张第二张开始（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）．方法二：列表法如下表：第一张结果第二张（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）．解析:答案不唯一，示例如图一：图图图图一图①中，，故为钝角三角形；图②中，，故为直角三角形；图③中，，，，故为锐角三角形．故符合题意．如图二所示：画图见解析．17.（1）图图图图二在图①中，延长，过点作垂足为，则，，则的面积为；在图②中，过点作于点，则，，则的面积为；在图③中，取格点，，，则，，，，，，则的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，所以的面积；，故符合题意．解析:设该村企去年黑木耳的年销量为万斤，依题意得，解得：，经检验是原方程的根，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为万斤．解析:在平行四边形中，，万斤．18.（1）证明见解析．（2）．19.（2）（1）（2）（3）∵，，∴，∴，又∵，∴≌，∴．∵，，∴，∵，∴，在中，，．解析:年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，∴达标天数最多的是年．故答案为：．“重度污染”天数从小到大排列：，，，，，，∴中位数：，平均数：．故答案为：；．由折线统计图可知：（1）（2） ; （3） ; （4）年．20.（4）（1）（2）（3）年：天，年：天，年：天，年：天，年：天，∴天数增加最多的是年，增长率：．故答案为：；．年空气质量好．因为年达标天数最多．解析:由题意可知：甲出发两小时，经过的路径为，∴，∴甲车的速度为千米时，甲车行驶完两地需：小时，∴对应的时间刚好为小时，∵是两车行驶的总路程，∴，故答案为：；．设与之间的函数关系式为，由图可知，函数图象过点，，所以，解得，所以与之间的函数关系式为．两车相遇前：，解得：，两车相遇后：，解得：，答：当甲、乙两车相距千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．（1） ;（2）．（3）小时或小时．21.甲（1）（2）（3）解析:在矩形中，，由翻折得：，∴，∴四边形是矩形，又∵，∴矩形是正方形．在矩形中，，∴，由翻折得：，∴，∴，∴是等腰三角形．设，由（）可知：为等腰三角形，，∴，又∵四边形为菱形，∴，∴，∴为等边三角形，∴，（1）证明见解析．（2）是，证明见解析．（3）22.（1）（2）∴，由折叠可知：，，∴，∴在中，，，，∴，∴，由折叠可得：，，∴，∵四边形为矩形，∴，∴．故答案为：．解析:当点与点重合时，．解得．在中，，，所以，，．如图，图当点在上时，在中，．（1）．（2）．（3）或．（4）或．23.（3）（4）所以．如图，图当点在上时，在中，，，所以．先考虑临界值等腰直角三角形，那么．如图，图当点在上时，在中，．而，由，得，解得．如图，图当点在上时，在中，．而，由，得，解得．再数形结合写结论：当为锐角三角形时，或．如图，图当点在上时，延长交于点．作于，作于．由，是的中点，可知是的中点．在中，，所以．在中，，由，得．如图，图当点在上时，作于．由，是的中点，可知．在中，，所以．在中，，由，得，解得．∴的值为或．24.（1）．（1）（2）（3）解析:当时，，所以．将点代入，得，解得．所以（如图所示）．图抛物线的开口向上，对称轴为．因此当时，随的增大而增大．抛物线的对称轴为，顶点坐标为．图如图，如果，那么对称轴在轴右侧，最低点就是．已知最低点到直线的距离为，所以．解得．如图，如果，那么对称轴在轴左侧，顶点就是最低点．（2），．（3）或．（4）或．（4）图所以．整理，得．解得（如图），或（舍去正值）．抛物线的对称轴为，，所以．图①如图，当点在边上时，．因为，所以点在对称轴的左侧，所以．由，得．解得．图②如图，当点在边上时，．解方程，得，所以．由，得．解得，或（舍去）．综上：或．。

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．
23．（10 分）如图①，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点 P 从点 A 出发，沿折线 AB﹣BC 以每秒 5 个单位长度的速度向点 C 运动，同时点 D 从点 C 出发，沿 CA 以每秒 2 个单位长度的速度向 点 A 运动，点 P 到达点 C 时，点 P、D 同时停止运动．当点 P 不与点 A、C 重合时，作点 P 关于直线 AC 的对称点 Q，连结 PQ 交 AC 于点 E，连结 DP、DQ．设点 P 的运动时间为 t 秒． （1）当点 P 与点 B 重合时，求 t 的值． （2）用含 t 的代数式表示线段 CE 的长． （3）当△PDQ 为等腰直角三角形时，求 t 的取值范围．
8
C．
D． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得． 【解答】解：x≥3﹣2， x≥1， 故选：D． 5．（3 分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点 B，塔身中心线 AB 与垂 直中心线 AC 的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线 AC 引垂线，垂足为点 D．通过测量可得 AB、BD、 AD 的长度，利用测量所得的数据计算∠A 的三角函数值，进而可求∠A 的大小．下列关系式正确的是 （）
（1）甲车的速度为
千米/时，a 的值为
．
（2）求乙车出发后，y 与 x 之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距 100 千米时，求甲车行驶的时间．
5
22．（9 分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 121 页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
年．
（2）长春市从 2014 年到 2019 年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为
天，平均数为

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2020年吉林省长春市中考数学试卷 (解析版)2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（共8小题）1.（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．-1 B．-1.5 C．-3 D．-4.22.（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．这个数用科学记数法表示为()A．79×10³ B．7.9×10⁴ C．0.79×10⁵ D．7.9×10⁵3.（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A． B． C． D．4.（3分）不等式x+2<3的解集在数轴上表示正确的是()A． B． C． D．5.（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是()A．XXX6.（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为()A．40° B．140° C．160° D．170°7.（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与XXX相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是()A．∠BDN=∠CDN B．∠ADC=2∠B C．∠ACD=∠DCB D．2∠B+∠ACD=90°8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP=2PC，函数y=kx+1．当点C 在线段OB上运动时，k的取值范围是()k (x>0)的图象经过A．<k2 B．2<k3 C．2<k2/3 D．8<k4/3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费____元．10.（3分）分解因式：a²-4=____．11.若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + m$ 有两个相等的实数根，则实数 $m$ 的值为多少？12.正五边形的一个外角的大小为多少度？13.如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC=90^\circ$，$AB=BC=2$，以点 $C$ 为圆心，线段 $CA$ 的长为半径作$AD$，交 $CB$ 的延长线于点 $D$，则阴影部分的面积为多少（结果保留 $\pi$）？14.如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(0,2)$，点 $B$ 的坐标为 $(4,2)$。

吉林省长春市2020版中考数学试卷C卷

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吉林省长春市2020版中考数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共6题；共12分)1. （2分） 12的平方根是（）A .B .C .D .2. （2分）某种禽流感病毒变异后的直径为0.00000012米，将这个数写成科学记数法是（）A . 1.2×10﹣5B . 0.12×10﹣6C . 1.2×10﹣7D . 12×10﹣83. （2分）下列四边形不是轴对称图形的是（）A . 正方形B . 矩形C . 菱形D . 平行四边形4. （2分）(2012·资阳) 如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（）A .B .C .D .5. （2分）本学期的五次数学测试中，甲、乙两同学的平均成绩一样，方差分别为1.2、0.5，由此可知（）A . 甲比乙的成绩稳定B . 乙比甲的成绩稳定C . 甲乙两人的成绩一样稳定D . 无法确定谁的成绩更稳定6. （2分）若用简便方法计算19992 ，应当用下列哪个式子？（）A .(2000 -1)2B . (2000 -1)(2000+1)C . (1999 -1)(1999+1)D . (1999+1)2二、填空题： (共10题；共11分)7. （1分）(2017·薛城模拟) 20170+2|1﹣sin30°|﹣（）﹣1+ =________．8. （1分）函数y=中，自变量x的取值范围是________ .9. （1分）在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数________10. （1分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AE，则tan∠1=________．11. （1分）(2016·庐江模拟) 如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，AD与OC交于点E，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③∠CDE=∠COD；④2CD2=CE•AB．其中正确结论的序号是________（在横线上填上你认为所有正确结论的代号）．12. （1分）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，F是边BC上的动点，且DF⊥AB，EF⊥AC．则四边形ADFE 的面积最大值是________．13. （1分）在平面直角坐标系中，有一条线段AB，已知点A（﹣2，0）和B（0，2），平移线段AB得到线段A1B1 ．若点A的对应点A1的坐标为（1，3），则线段A1B1的中点坐标是________14. （2分）已知关于x的一元二次方程x2+px﹣6=0的一个根为2，则p=________，另一根是________．15. （1分）如图：在△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，且∠C=90°，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________16. （1分）如果A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1________y2（填“＜”或者“＞”）三、解答题 (共10题；共95分)17. （15分） (2020八下·襄阳开学考) 计算：（1）（2）（3）18. （8分）(2019·东城模拟) 某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10≤x＜20，20≤x ＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x≤70）：c．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x＜40这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为________分；（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有________人，其中单程不少于60分钟的有________人．19. （10分） (2017九上·宁波期中) 甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．20. （5分） (2016九上·芦溪期中) 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？21. （10分）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．22. （5分） (2020九上·遂宁期末) 某风景区内有一古塔AB，在塔的北面有一建筑物，当光线与水平面的夹角是30°时，塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD；而当光线与地面的夹角是45°时，塔尖A在地面上的影子E与墙角C有15米的距离（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度（结果保留根号）．23. （7分） (2015九上·应城期末) 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3）、B（3，3）、C（4，2）．（1）请在图中作出经过点A、B、C三点的⊙M，并写出圆心M的坐标；（2）若D（1，4），则直线BD与⊙M ．A . 相切B . 相交．24. （10分）(2017·泾川模拟) 如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB=，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．（1）求直线l的表达式；（2）若反比例函数y= 的图象经过点P，求m的值．25. （10分）(2019·锡山模拟) 已知：PA= ，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小.26. （15分）(2018·温州模拟) 如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分别交x轴、AC于点E、F，点P是射线DE上一动点，过点P作AC的平行线MN 交x轴于点H，交抛物线于点M，N（点M位于对称轴的左侧）.设点P的纵坐标为t..（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标.（2）当点P位于EF的中点时，求点M的坐标.（3）① 点P在线段DE上运动时，当时，求t的值.参考答案一、选择题： (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题： (共10题；共11分)7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共10题；共95分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-2、26-1、26-2、26-3、。

2020年吉林省长春市中考数学试卷(有详细解析)

2020年吉林省长春市中考数学试卷(有详细解析)

2020年吉林省长春市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A. −1B. −1.5C. −3D. −4.22.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为()A. 79×103B. 7.9×104C. 0.79×105D. 7.9×1053.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A. B. C. D.4.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D.通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是()A. sinA=BDAB B. cosA=ABADC. tanA=ADBDD. sinA=ADAB6.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为()A. 40°B. 140°C. 160°D. 170°7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是()A. ∠BDN=∠CDNB. ∠ADC=2∠BC. ∠ACD=∠DCBD. 2∠B+∠ACD=90°8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC.点P在线段AC上，且AP=2PC，函数y=kx(x>0)的图象经过点P.当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是()A. 0<k≤2B. 23≤k≤3 C. 23≤k≤2 D. 83≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费______元．10.分解因式：a2−4=______．11.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是______．12.正五边形的一个外角的大小为______度．13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作AD⏜，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为______(结果保留π)．14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的(x−ℎ)2+k(ℎ、k为常数)与坐标为(4,2).若抛物线y=−32AB，则k的值为______．线段AB交于C、D两点，且CD=12三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.先化简，再求值：(a−3)2+2(3a−1)，其中a=√2．四、解答题（本大题共9小题，共102.0分）16.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．(图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B)17.图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：(1)在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；(2)三个图中所画的三角形的面积均不相等；(3)点C在格点上．18.在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19.如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．(1)求证：OE=OF．(2)若BE=5，OF=2，求tan∠OBE的值．20.空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014−2019年长春市空气质量级别天数统计表空气质量级别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：(1)长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是______年．(2)长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为______天，平均数为______天．(3)长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是______年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为______(精确到1%)．(空气质量为“优”的天数的增长率(4)你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21.已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y(千米)与甲车行驶的时间x(时)之间的函数关系如图所示．(1)甲车的速度为______千米/时，a的值为______．(2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．(3)当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22.【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1.把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD(AB>AD)，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处(点Q在点C的左侧)，如图②，折痕为PF，点F 在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC=QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与=______．点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则ADAB23.如图①，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3.点P从点A出发，沿折线AB−BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P 不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ.设点P的运动时间为t秒．(1)当点P与点B重合时，求t的值．(2)用含t的代数式表示线段CE的长．(3)当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．(4)如图②，取PD的中点M，连结QM.当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与y轴交于点A．(1)求点A的坐标．(2)当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．(3)当x≤0时，若函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象的最低点到直线y=2a的距离为2，求a的值．(4)设a<0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a−1)、G(0,a−1).当函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P.过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′(P′与P不重合)，过点A 作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′.若AA′=2PP′，直接写出a的值．答案和解析1.C解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于−4，且小于−2，因此备选项中，只有选项C符合题意，2.B解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．3.A解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．4.D解：x≥3−2，x≥1，5.A解：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，则sinA=BDAB ，cosA=ADAB，tanA=BDAD，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；6.B解：∵∠BOC=2∠BDC=2×20°=40°，∴∠AOC=180°−40°=140°．7. C解：由作图可知，MN 垂直平分线段BC ， ∴DB =DC ，MN ⊥BC ，∴∠BDN =∠CDN ，∠DBC =∠DCB ， ∴∠ADC =∠B +∠DCB =2∠B ， ∵∠A =90°，∴∠ADC +∠ACD =90°， ∴2∠B +∠ACD =90°， 故选项A ，B ，D 正确，8. C解：∵点A 的坐标为(3,2)，AB ⊥x 轴于点B ， ∴OB =3，AB =2，设C(c,0)(0≤c ≤3)，过P 作PD ⊥x 轴于点D ， 则BC =3−c ，PD//AB ，OC =c ， ∴△PCD∽△ACB ， ∴PD AB=CD CB=CP CA，∵AP =2PC ， ∴PD 2=CD 3−c =13，∴PD =23，CD =1−13c ， ∴OD =OC +CD =1+23c ， ∴P(1+23c,23)，把P(1+23c,23)代入函数y =kx (x >0)中，得k=23+49c，∵0≤c≤3∴23≤k≤2，9.(30m+15n)解：根据单价×数量=总价得，(30m+15n)元，10.(a+2)(a−2)解：a2−4=(a+2)(a−2)．11.1解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴(−2)2−4m=0，∴m=1，12.72解：正五边形的一个外角=360°5=72°．13.π−2解：∵AB=CB=2，∠ABC=90°，∴AC=√AB2+BC2=√22+22=2√2，∴∠C=∠BAC=45°，∴S阴=S扇形CAD−S△ACB=45⋅π⋅(2√2)2360−12×2×2=π−2，14.72解：∵点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)，∴AB=4，∵抛物线y=−32(x−ℎ)2+k(ℎ、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB=2，∴设点C的坐标为(c,2)，则点D的坐标为(c+2,2)，ℎ=2c+22=c+1，∴抛物线2=−32[c−(c+1)]2+k，15.解：原式=a2−6a+9+6a−2=a2+7．当a=√2时，原式=(√2)2+7=9．16.解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．17.解：如图所示：即为符合条件的三角形．18.解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：3603x −80x=20，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB=∠OFD=90°，在△OEB和△OFD中，{∠OEB=∠OFD ∠BOE=∠DOF OB=OD，∴△OEB≌△OFD(AAS)，∴OE=OF；(2)解：由(1)得：OE=OF，∵OF=2，∴OE=2，∵BE⊥AC，∴∠OEB=90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE=OEBE =25．20.2018 7 8 2018 89%解：(1)从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；(2)将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为5+92=7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为13+15+5+9+1+56=8天，故答案为：7，8；(3)前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43−30=13天；2016年，51−43=8天；2017年，65−51=14天；2018年，123−65=58天；2019年，126−123=3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为123−6565×100%≈89%，故答案为：2018，89%；(4)从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21. 40 480解：(1)由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40(千米/时)； a =40×6×2=480， 故答案为：40；480；(2)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ， 由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)， ∴{2k +b =806k +b =480，解得{k =100b =−120，∴y 与x 之间的函数关系式为y =100x −120；(3)两车相遇前：80+100(x −2)=240−100，解得x =135；两车相遇后：80+100(x −2)=240+100，解得x =235，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．22. √35(1)证明：如图①中，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A =∠ADA′=90°，由翻折可知，∠DA′E =∠A =90°，∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA=DA′，∴四边形AEA′D是正方形．(2)解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠QFP=∠APF，由翻折可知，∠APF=∠FPQ，∴∠QFP=∠FPQ，∴QF=QP，∴△PFQ是等腰三角形．(3)如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG=GQ=FQ=PF，∵QF=QP，∴△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°，∴∠DQD′=30°，∵∠D′=90°，∴FD′=DF =12FQ =12m ，QD′=√3D′F =√32m ，由翻折可知，AD =QD′=√32m ，PQ =CQ =FQ =m ，∴AB =CD =DF +FQ +CQ =52m ， ∴AD AB=√32m 52m =√35． 故答案为√35．23. 解：(1)当点P 与B 重合时，5t =4，解得t =45．(2)在Rt △ABC 中，∵∠B =90°，AB =4，BC =3， ∴AC =√AB 2+BC 2=√42+32=5， ∴sinA =35，cosA =45，如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt △APE 中，AE =AP ⋅cosA =4t ， ∴EC =5−4t ．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt △PEC 中，PC =7−5t ，cosC =35， ∴EC =PC ⋅cosC =35(7−5t)=215−3t ．(3)当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE=DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE=PA⋅sinA=3t，∵DE=AC−AE−CD−5−4t−2t=5−6t，∵PE=DE，∴3t=5−6t，∴t=5．9如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE=PC⋅sinC=45(7−5t)=285−4t，∵DE=CD−CE=2t−35(7−5t)=5t−215，∴285−4t=5t−215，解得t=5945．观察图象可知满足条件的t的值为0<t<59或4945<t<75．(4)如图⑥中，当点P在线段AB上，QM//AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QN交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB//MN//DH，PM=DM，∴BN=NH，在RtPQG中，PQ=2PE=6t，∴QG=45PQ=245t，在Rt△DCH中，HC=35DC=65t，∵BC=BH+CH=245t+245t+65t=3，解得t=518．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM//BC时，点点D 作DH ⊥BC 于H ，过点P 作PK ⊥QM 于K ． ∵QM//BC ，DM =PM ， ∴DH =2PK ，在Rt △PQK 中，PQ =2PE =85(7−5t)， ∴PK =35PQ =2425(7−5t)， 在Rt △DCH 中，DH =45DC =85t ， ∵DH =2PK ， ∴85t =2×2425(7−5t)，解得t =65，综上所述，满足条件的t 的值为518或65．24. 解：(1)当x =0时，y =x 2−2ax −1=−1，∴点A 的坐标为：(0,−1)；(2)将点(1,2)代入y =x 2−2ax −1， 得：2=1−2a −1， 解得：a =−1，∴函数的表达式为：y =x 2+2x −1， ∵y =x 2+2x −1=(x +1)2−2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x =−1，如图1所示： ∴当x >−1时，y 随x 的增大而增大；(3)抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为：x =a ，顶点坐标为：(a,−a 2−1)，当a>0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A(0,−1)，∵图象的最低点到直线y=2a的距离为2，∴2a−(−1)=2，；解得：a=12当a<0，对称轴在y轴左侧，顶点(a,−a2−1)就是最低点，如图3所示：∴2a−(−a2−1)=2，整理得：(a+1)2=2，解得：a1=−1−√2，a2=−1+√2(不合题意舍去)；或−1−√2；综上所述，a的值为12(4)∵a<0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a−1)、G(0,a−1)，∴直角边为EF与FG，∵抛物线y=x2−2ax−1=(x−a)2−a2−1的对称轴为：x=a，A(0,−1)，∴AA′=−2a，当点P在EF边上时，如图4所示：则x p=−1，∵EA=OA=1，∴点P在对称轴x=a的左侧，∴PP′=2(a+1)，∵AA′=2PP′，∴−2a=2×2(a+1)，；解得：a=−23当点P在FG边上时，如图5所示：则y p=a−1，∴x2−2ax−1=a−1，解得：x1=a+√a2+a，x2=a−√a2+a，∴PP′=a +√a 2+a −(a −√a 2+a)=2√a 2+a ， ∵AA′=2PP′， ∴−2a =4√a 2+a ， 解得：a 1=−43，a 2=0(不合题意舍去)； 综上所述，a 的值为−23或−43．。

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2020年吉林省长春市中考数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A. −1B. −1.5C. −3D. −4.22.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为()A. 79×103B. 7.9×104C. 0.79×105D. 7.9×1053.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A. B. C. D.4.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D.通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是()A. sinA=BDAB B. cosA=ABADC. tanA=ADBDD. sinA=ADAB6.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为()A. 40°B. 140°C. 160°D. 170°7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是()A. ∠BDN=∠CDNB. ∠ADC=2∠BC. ∠ACD=∠DCBD. 2∠B+∠ACD=90°8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC.点P在线段AC上，且AP=2PC，函数y=kx(x>0)的图象经过点P.当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是()A. 0<k≤2B. 23≤k≤3 C. 23≤k≤2 D. 83≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费______元．10.分解因式：a2−4=______．11.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是______．12.正五边形的一个外角的大小为______度．13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作AD⏜，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为______(结果保留π)．14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2).若抛物线y=−32(x−ℎ)2+k(ℎ、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.先化简，再求值：(a−3)2+2(3a−1)，其中a=√2．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．(图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B)17.图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：(1)在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；(2)三个图中所画的三角形的面积均不相等；(3)点C在格点上．18.在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19.如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．(1)求证：OE=OF．(2)若BE=5，OF=2，求tan∠OBE的值．20.空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014−2019年长春市空气质量级别天数统计表空气质量级别天数优良轻度污染中度污染重度污染严重污染年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：(1)长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是______年．(2)长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为______天，平均数为______天．(3)长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是______年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为______(精确到1%)．×(空气质量为“优”的天数的增长率=今年空气质量为“优”的天数−去年空气质量为“优”的天数去年空气质量为ext“优ext”的天数100%)(4)你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21.已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y(千米)与甲车行驶的时间x(时)之间的函数关系如图所示．(1)甲车的速度为______千米/时，a的值为______．(2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．(3)当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22.【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1.把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD(AB>AD)，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处(点Q在点C的左侧)，如图②，折痕为PF，点F 在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC=QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与=______．点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则ADAB23.如图①，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3.点P从点A出发，沿折线AB−BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P 不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ.设点P的运动时间为t秒．(1)当点P与点B重合时，求t的值．(2)用含t的代数式表示线段CE的长．(3)当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．(4)如图②，取PD的中点M，连结QM.当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与y轴交于点A．(1)求点A的坐标．(2)当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．(3)当x≤0时，若函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象的最低点到直线y=2a的距离为2，求a的值．(4)设a<0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a−1)、G(0,a−1).当函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P.过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′(P′与P不重合)，过点A 作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′.若AA′=2PP′，直接写出a的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于−4，且小于−2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提．2.【答案】B【解析】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】A【解析】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．故选：A．根据四棱柱的侧面展开图是矩形图进行解答即可．本题考查了几何体的展开图，此题应根据四棱柱的侧面展开图，进行分析、解答．4.【答案】D【解析】解：x≥3−2，x≥1，故选：D．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5.【答案】A【解析】解：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，则sinA=BDAB ，cosA=ADAB，tanA=BDAD，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．6.【答案】B【解析】解：∵∠BOC=2∠BDC=2×20°=40°，∴∠AOC=180°−40°=140°．故选：B．先利用圆周角定理得到∠BOC=40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7.【答案】C【解析】解：由作图可知，MN 垂直平分线段BC ， ∴DB =DC ，MN ⊥BC ，∴∠BDN =∠CDN ，∠DBC =∠DCB ， ∴∠ADC =∠B +∠DCB =2∠B ， ∵∠A =90°，∴∠ADC +∠ACD =90°， ∴2∠B +∠ACD =90°， 故选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8.【答案】C【解析】解：∵点A 的坐标为(3,2)，AB ⊥x 轴于点B ， ∴OB =3，AB =2，设C(c,0)(0≤c ≤3)，过P 作PD ⊥x 轴于点D ， 则BC =3−c ，PD//AB ，OC =c ， ∴△PCD∽△ACB ， ∴PDAB =CDCB =CPCA ，∵AP =2PC ， ∴PD 2=CD 3−c =13， ∴PD =23，CD =1−13c ， ∴OD =OC +CD =1+23c ，∴P(1+23c,23)，把P(1+23c,23)代入函数y =kx (x >0)中，得 k =23+49c ，∵0≤c ≤3∴23≤k ≤2， 故选：C ．设C(c,0)(0≤c≤3)，过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出k关于c的解析式．9.【答案】(30m+15n)【解析】解：根据单价×数量=总价得，(30m+15n)元，故答案为：(30m+15n)．根据单价×数量=总价，用代数式表示结果即可．本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量=总价，是列代数式的前提．10.【答案】(a+2)(a−2)【解析】解：a2−4=(a+2)(a−2)．有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．11.【答案】1【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴(−2)2−4m=0，∴m=1，故答案为：1．由于关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．12.【答案】72【解析】解：正五边形的一个外角=360°5=72°．故答案为：72．根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键．13.【答案】π−2【解析】解：∵AB=CB=2，∠ABC=90°，∴AC=√AB2+BC2=√22+22=2√2，∴∠C=∠BAC=45°，∴S阴=S扇形CAD−S△ACB=45⋅π⋅(2√2)2360−12×2×2=π−2，故答案为π−2．利用勾股定理求出AC，证明∠C=45°，根据S阴=S扇形CAD−S△ACB计算即可．本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14.【答案】72【解析】解：∵点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)，∴AB=4，∵抛物线y=−32(x−ℎ)2+k(ℎ、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB=2，∴设点C的坐标为(c,2)，则点D的坐标为(c+2,2)，ℎ=2c+22=c+1，∴抛物线2=−32[c−(c+1)]2+k，解得，k=72．根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线，即可得到k 的值，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15.【答案】解：原式=a2−6a+9+6a−2=a2+7．当a=√2时，原式=(√2)2+7=9．【解析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．本题考查了整式的混合运算−化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．16.【答案】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：如图所示：即为符合条件的三角形．【解析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．本题考查了作图−应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格画出符合条件的三角形．18.【答案】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：3603x −80x=20，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．【解析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB=∠OFD=90°，在△OEB和△OFD中，{∠OEB=∠OFD ∠BOE=∠DOF OB=OD，∴△OEB≌△OFD(AAS)，∴OE=OF；(2)解：由(1)得：OE=OF，∵OF=2，∴OE=2，∵BE⊥AC，∴∠OEB=90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE=OEBE =25．【解析】(1)由平行四边形性质得OB=OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；(2)由(1)得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．20.【答案】2018 7 8 2018 89%【解析】解：(1)从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；(2)将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为5+92=7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为13+15+5+9+1+56=8天，故答案为：7，8；(3)前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43−30=13天；2016年，51−43=8天；2017年，65−51=14天；2018年，123−65=58天；2019年，126−123=3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为123−6565×100%≈89%，故答案为：2018，89%；(4)从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少． (1)从折线统计图可得答案；(2)利用中位数、众数的意义分别计算即可；(3)分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；(4)根据空气质量的等级天数进行判断即可．本题考查统计图表的意义，理解统计图表中数据之间的关系是正确解答的关键． 21.【答案】40 480【解析】解：(1)由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40(千米/时)； a =40×6×2=480， 故答案为：40；480；(2)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ， 由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)， ∴{2k +b =806k +b =480，解得{k =100b =−120，∴y 与x 之间的函数关系式为y =100x −120；(3)两车相遇前：80+100(x −2)=240−100，解得x =135；两车相遇后：80+100(x −2)=240+100，解得x =235，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．(1)根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a =240×2=480；(2)运用待定系数法解得即可；(3)分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22.【答案】√35【解析】(1)证明：如图①中，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A =∠ADA′=90°，由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°，∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA=DA′，∴四边形AEA′D是正方形．(2)解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠QFP=∠APF，由翻折可知，∠APF=∠FPQ，∴∠QFP=∠FPQ，∴QF=QP，∴△PFQ是等腰三角形．(3)如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG=GQ=FQ=PF，∵QF=QP，∴△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°，∴∠DQD′=30°，∵∠D′=90°，∴FD′=DF=12FQ=12m，QD′=√3D′F=√32m，由翻折可知，AD=QD′=√32m，PQ=CQ=FQ=m，∴AB=CD=DF+FQ+CQ=52m，∴ADAB =√32m52m=√35．故答案为√35．(1)根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．(2)证明∠QFP =∠FPQ 即可解决问题．(3)证明△PFQ ，△PGA 都是等边三角形，设QF =m ，求出AB ，AD(用m 表示)即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)当点P 与B 重合时，5t =4，解得t =45．(2)在Rt △ABC 中，∵∠B =90°，AB =4，BC =3， ∴AC =√AB 2+BC 2=√42+32=5， ∴sinA =35，cosA =45，如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt △APE 中，AE =AP ⋅cosA =4t ， ∴EC =5−4t ．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt △PEC 中，PC =7−5t ，cosC =35， ∴EC =PC ⋅cosC =35(7−5t)=215−3t ．(3)当△PDQ 是等腰直角三角形时，则PE =DE ， 如图④中，当点P 在线段AB 上时，在Rt△APE中，PE=PA⋅sinA=3t，∵DE=AC−AE−CD−5−4t−2t=5−6t，∵PE=DE，∴3t=5−6t，∴t=59．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE=PC⋅sinC=45(7−5t)=285−4t，∵DE=CD−CE=2t−35(7−5t)=5t−215，∴285−4t=5t−215，解得t=5945．观察图象可知满足条件的t的值为0<t<59或4945<t<75．(4)如图⑥中，当点P在线段AB上，QM//AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QN交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB//MN//DH，PM=DM，∴BN=NH，在RtPQG中，PQ=2PE=6t，∴QG=45PQ=245t，在Rt△DCH中，HC=35DC=65t，∵BC=BH+CH=245t+245t+65t=3，解得t=518．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM//BC时，点点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．∵QM//BC，DM=PM，∴DH=2PK，在Rt△PQK中，PQ=2PE=85(7−5t)，∴PK=35PQ=2425(7−5t)，在Rt△DCH中，DH=45DC=85t，∵DH=2PK，∴85t =2×2425(7−5t)， 解得t =65，综上所述，满足条件的t 的值为518或65．【解析】(1)根据AB =4，构建方程求解即可．(2)分两种情形：当点P 在线段AB 上时，首先利用勾股定理求出AC ，再求出AE 即可解决问题．当点P 在线段BC 上时，在Rt △PCE 中，求出EC 即可． (3)求出两种特殊情形△PDQ 是等腰直角三角形时，t 的值即可判断．(4)分两种情形：如图⑥中，当点P 在线段AB 上，QM//AB 时．如图⑦中，当点P 在线段BC 上，QM//BC 时，分别求解即可．本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)当x =0时，y =x 2−2ax −1=−1， ∴点A 的坐标为：(0,−1)；(2)将点(1,2)代入y =x 2−2ax −1， 得：2=1−2a −1， 解得：a =−1，∴函数的表达式为：y =x 2+2x −1， ∵y =x 2+2x −1=(x +1)2−2， ∴抛物线的开口向上，对称轴为x =−1，如图1所示：∴当x >−1时，y 随x 的增大而增大；(3)抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为：x =a ，顶点坐标为：(a,−a 2−1)， 当a >0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x ≤0， ∴最低点就是A(0,−1)， ∵图象的最低点到直线y =2a 的距离为2， ∴2a −(−1)=2， 解得：a =12； 当a <0，对称轴在y 轴左侧，顶点(a,−a 2−1)就是最低点，如图3所示：∴2a −(−a 2−1)=2， 整理得：(a +1)2=2， 解得：a 1=−1−√2，a 2=−1+√2(不合题意舍去)； 综上所述，a 的值为12或−1−√2；(4)∵a <0，Rt △EFG三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a −1)、G(0,a −1)， ∴直角边为EF 与FG ， ∵抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为：x =a ，A(0,−1)， ∴AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则x p =−1， ∵EA =OA =1，∴点P 在对称轴x =a 的左侧， ∴PP′=2(a +1)， ∵AA′=2PP′，∴−2a =2×2(a +1)， 解得：a =−23；当点P 在FG 边上时，如图5所示： 则y p =a −1，∴x 2−2ax −1=a −1，解得：x 1=a +√a 2+a ，x 2=a −√a 2+a ，∴PP′=a +√a 2+a −(a −√a 2+a)=2√a 2+a ， ∵AA′=2PP′，∴−2a =4√a 2+a ，解得：a 1=−43，a 2=0(不合题意舍去)； 综上所述，a 的值为−23或−43．【解析】(1)当x =0时，代入y =x 2−2ax −1，即可得出结果；(2)将点(1,2)代入y =x 2−2ax −1，得a =−1，则函数的表达式为y =x 2+2x −1，由y =x 2+2x −1=(x +1)2−2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x =−1，则当x >−1时，y 随x 的增大而增大；(3)抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为x =a ，顶点坐标为(a,−a 2−1)，当a >0时，对称轴在y 轴右侧，最低点就是A(0,−1)，则2a −(−1)=2，即可得出结果；当a <0，对称轴在y 轴左侧，顶点(a,−a 2−1)就是最低点，则2a −(−a 2−1)=2，即可得出结果；(4)易证直角边为EF 与FG ，由抛物线的对称轴为x =a ，A(0,−1)，则AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，PP′=2(a +1)，则−2a =2×2(a +1)，即可得出结果；当点P 在FG 边上时，求出PP′=2√a 2+a ，则−2a =4√a 2+a ，即可得出结果．本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．。

长春市2020年部编人教版中考数学试题有答案

长春市2020年部编人教版中考数学试题有答案

2020年长春市初中毕业生学业考试数 学本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页。

全卷满分120分．考试时间为120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．5-的相反数是（A ）15-． （B ）15． （C ）5-． （D ）5． 2．吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人”45 000多名.45 000这个数用科学记数法表示为（A ）34510⨯ （B ）44.510⨯． （C ）54.510⨯． （D ）50.4510⨯．3．右图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（A ） （B ） （C ） （D ）4．不等式组226x x +⎧⎨-⎩的解集在数轴上表示正确的是（A ） （B ）（C ） （D ）5.把多项式269x x -+分解因式，结果正确的是（A ）2(3)x -． （B ）2(9)x -．（C ）(3)(3)x x +-． （D ）(9)(9)x x +-．6．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°.将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △''A B C ，点A 在边'B C 上，则∠'B 的大小为（A ）42°． （B ）48°．（C ）52°． （D ）58°．(第6题)7．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ．若OA =2,∠P =60°，则»AB 的长为（A ）23π． （B ）π． （C ）43π． （D ）53π．(第7题) (第8题)(第3题) ＞0 ≤08.如图，在平面直角坐标系中，点P （1，4）、Q （m ,n ）在函数(0)k y x x =>的图象上， 当1m >时，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点A 、B ；过点Q 分别作x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点C 、D . Q D 交PA 于点E ，随着m 的增大，四边形A C Q E 的面积（A ）减小． （B ）增大． （C ）先减小后增大． （D ）先增大后减小．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：3()ab = ．10．关于x 的一元二次方程220x x m ++=有两个相等的实数根，则m 的值是 ．11．如图，在△ABC 中，AB >AC .按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；作直线MN 交AB 于点D ；连结CD ．若AB =6,A C =4,则△ACD 的周长为 ．(第11题) (第12题) (第13题)12．如图，在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的对称中心与原点重合,顶点A 的坐标为(-1,1),顶点B 在第一象限．若点B 在直线3y kx =+上,则k 的值为 ．13．如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是»AB 上一点.若∠OAB=25°,∠OCA=40°，则∠BOC 的大小为 度． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形O A B C 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为 （4，3）.D 是抛物线26y x x =-+上一点，且在x 轴上方.则△BCD 的最大值为 ．(第14题)三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：(2)(2)(4)a a a a +-+-，其中14a =．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字0，1，2.每个小球除数字不同外其余均相同.小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字.用画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．17.（6分）A 、B 两种型号的机器加工同一种零件，已知A 型机器比B 型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B 型机器加工300个零件所用时间相同.求A 型机器每小时加工零件的个数.18．（6分）某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了n 名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图．根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）求n 的值.（2）根据统计结果，估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人数.n 名学生一年的课外阅读量的人数条形统计图(第18题)19．（7分）如图，为了测量长春解放纪念碑的高度AB ，在与纪念碑底部B 相距27米的C 处，用高1.5米的测角仪DC 测得纪念碑顶端A 的仰角为47°，求纪念碑的高度．（结果精确到0.1米.）【参考数据：sin 470.731︒=，cos470.682︒=，tan 47 1.072︒=】(第19题)20.（7分）如图．在□ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF =BE .E F 与CD 交于点G .（1）求证：BD ∥EF .（2）若23DG GC =,BE =4,求EC 的长.(第20题)21．（9分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发.甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地.设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x(时），y与x之间的函数图象如图所示.（1）求甲车从A地到达B地的行驶时间.（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程.(第21题)22．（9分）感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°.易知：DB=DC.探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°.求证：DB=DC.应用：如图③，四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°,DB=DC=a,则AB-AC=____．（用含a的代数式表示）图①图②图③(第22题)23．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°.点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFGH.设点E运动的时间为t秒.（1）求线段EF的长.（用含t的代数式表示）（2）求点H与点D重合时t的值；（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式；（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点'O.当'OO∥AD时，t的值为______；当'OO⊥AD时，t的值为______.(第23题)24.（12分）如图，在平面直角坐标系中.有抛物线2(3)4y a x =-+和2()y a x h =-.抛物 线2(3)4y a x =-+经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B .P 是抛物线2(3)4y a x =-+上一点，且在x 轴上方.过点P 作x 轴的垂线交抛物线2()y a x h =-于点Q .过点Q 作PQ 的垂线交抛物线2()y a x h =-于点'Q (不与点Q 重合)，连结'PQ .设点P 的横坐标为m .（1）求a 的值.（2）当抛物线2()y a x h =-经过原点时，设△'PQQ 与△OAB 重叠部分图形的周长为l .①求'PQ QQ 的值. ②求l 与m 之间的函数关系式.（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、Q 、'Q 为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h 的值.(第24题)2020长春市中考数学题参考答案一、选择题1.D2.B3.C4.C5.A6.A7.C8.B二、填空题9.a³b³ ； 10.1 ； 11.10 ；12.﹣2；13.30；14.15三、解答题15.原式＝a－4＋4a－a²＝4a－4当a＝时，原式＝﹣316.甲0 1 2结果乙0 0 1 21 12 32 23 4∴P（取出的两个小球上的数字之和为3）＝17.解：设A型机器每小时加工零件x个，由题意，得解得：x＝80经检验：x＝80是原方程的解，且符合题意.答：A型机器每小时加工零件80个.19.解：过D作直线DE∥BC与AB交于点E，△ADE中，tan∠ADE＝tan47°＝＝＝1.072AE≈28.9 EB＝1.5 ∴AB＝30.4评分说明：（1）计算过程中写成“＝”或“≈”均不扣分.（2）计算过程中加单位不扣分，结果不写单位不扣分.20.解（1）□ABCD中，AD∥BCDF∥BE，DF∥BE∴DBEF为平行四边形∴BD∥EF（2）△DFG≌△ECGEC＝6.21.（1）180÷1.5＝120千米/时300÷120＝2.5时甲车从A地到达B地行驶了2.5小时（2）设所求函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），将点（2.5,300），（5.5,0）代入，得解得 ∴y ＝﹣100x ＋550（2.5≤x≤5.5）（2）（300－180）÷1.5＝80（千米/时）300÷80＝3.75（时）当x ＝3.75时，y 甲＝175.答：乙车到达时，甲车距离A 地175千米.22.探究：在AB 边上取点E ，作∠AED ＝∠C∵AD 平分∠BAC∴∠CAD ＝∠EAD∵AD ＝AD ，∠AED ＝∠C，∴△ACD≌△AED∴DC ＝DE∵∠C＋∠B ＝180°，∠AED ＝∠C∠AED ＋∠DEB＝180°∴∠DEB＝∠B∴DE ＝DB∴DB ＝DC.应用：23.（1）EF ＝（2）t ＝（3）S ＝（4）t ＝4；t ＝3. （3）、①、380≤<t 时， 22352133t t t t S =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=②、438≤<t ，()332324328323235222-+-=--=t t t t S 、矩形EFHG 的对角线EH 与FG 相交于点O ’，当OO ’∥AD 时，t 的值为 8 。

吉林省长春市2020版中考数学试卷(II)卷

吉林省长春市2020版中考数学试卷(II)卷

吉林省长春市2020版中考数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本题有15小题，每小题4分，共60分） (共10题；共40分)1. （4分）(2016·龙岗模拟) 下列计算错误的是（）A . a2•a=a3B . （ab）2=a2b2C . （a2）3=a5D . ﹣a+2a=a2. （4分）如图，根据三视图，判断组成这个物体的块数是（）A . 6B . 7C . 8D . 93. （4分） (2018七上·龙岩期中) 中国的陆地面积约为9600000km．将9600000用科学记数法表示应为（）A . 96×106B . 96×105C . 9.6×107D . 9.6×1064. （4分） (2019八上·长兴期末) 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A . 3cm．4cm．8cmB . 8cm，7cm，15cmC . 5cm，5cm，11cmD . 11cm，12cm，13crn5. （4分）下列说法正确的是（）A . 为了解我国中学生课外阅读的情况,应采用全面调查的方式B . 一组数据1,2,5,5,5,3,3的中位数和众数都是5C . 抛掷一枚硬币100次,一定有50次“正面朝上”D . 甲组数据的方差是0.03,乙组数据的方差是0.1,则甲组数据比乙组数据稳定6. （4分） (2020八上·天桥期末) 篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负一场扣1分。

某队在8场比赛中得到12分，若设该该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（）A .B .C .D .7. （4分）(2018·遵义模拟) 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=（）A . 2B . 2C .D .8. （4分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A 落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（）A . ＋1B . +1C . 2.5D .9. （4分）(2017·威海) 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y= （k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（）A . y=B . y=C . y=D . y=10. （4分）(2017·丹东模拟) 如图，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个二、填空题 (共6题；共30分)11. （5分）(2017·徐州模拟) 因式分解：2a2﹣8=________．12. （5分） (2017九上·哈尔滨月考) ________．13. （5分） (2016九上·萧山月考) 现有4种物质：①HCl；②NaOH；③H2O；④NaCl，任取两种混合能发生化学变化的概率为________．14. （5分）(2017·隆回模拟) 在圆的内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：3：4，则∠D 的度数是________°．15. （5分） (2019七上·确山期中) 按图中规矩摆放三角形，按照摆放规律．第（n）个图形中三角形的个数为________（用含n的代数式表示）16. （5分）(2017·兰州模拟) 如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD 交于点F，则△AFD与四边形DFEC的面积之比是________．三、解答题 (共8题；共80分)17. （8分）(2017·青海) 计算：﹣22+（﹣π）0+|1﹣2sin60°|18. （8分）若，求分式的值．19. （8分）某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB，河流两岸AC，BD互相平行，河流对岸有两棵树A和C，且A、C之间的距离是60m，他们在D处测得∠BDC=36°，前行140米后测得∠BPA=45°，请根据这些数据求出河流的宽度．（结果精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81）20. （8分） (2017八下·荣昌期中) 已知一次函数的图象a过点M（﹣1，﹣4.5），N（1，﹣1.5）（1）求此函数解析式，并画出图象；（2）求出此函数图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标；（3）若直线a与b相交于点P（4，m），a、b与x轴围成的△PAC的面积为6，求出点C的坐标．21. （10.0分）(2017·萍乡模拟) 国家环保局统一规定，空气质量分为5级．当空气污染指数达0﹣50时为1级，质量为优；51﹣100时为2级，质量为良；101﹣200时为3级，轻度污染；201﹣300时为4级，中度污染；300以上时为5级，重度污染．某城市随机抽取了2015年某些天的空气质量检测结果，并整理绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：（1）本次调查共抽取了________天的空气质量检测结果进行统计；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为________°；（4）如果空气污染达到中度污染或者以上，将不适宜进行户外活动，根据目前的统计，请你估计2015年该城市有多少天不适宜开展户外活动．（2015年共365天）22. （12分） (2015八下·泰兴期中) 如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．（1）求证：△CBG≌△CDG；（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．23. （12分） (2016九上·台州期末) 在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y= x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y= （k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？24. （14.0分）(2017·裕华模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．线段CM的长度记作y甲，线段BP的长度记作y乙， y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示．（1）由图2可知，点M的运动速度是每秒________ cm，当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？在图2中反映这一情况的点是________；（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM= S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（本题有15小题，每小题4分，共60分） (共10题；共40分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共30分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共80分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、21-4、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、24-4、。

2020年吉林省长春市中考数学试卷及答案解析

2020年吉林省长春市中考数学试卷及答案解析

2020年长春市初中毕业学业水平考试数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）A .1-B . 1.5-C .3-D . 4.2-2.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用.79000这个数用科学记数法表示为（ ） A .37910⨯B .47.910⨯C .50.7910⨯D .57.910⨯3.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）A .B .C .D .4.不等式23x +≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）A .B .C .D .5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示.设塔顶中心点为点B ，塔身中心线AB 与垂直中心线AC 的夹角为A ∠，过点B 向垂直中心线AC 引垂线，垂足为点D .通过测量可得AB 、BD 、AD 的长度，利用测量所得的数据计算A ∠的三角函数值，进而可求A ∠的大小.下列关系式正确的是（ ）A .sin BD A AB=B .cos ABA AD=C .tan ADA BD=D .sin ADA AB=6.如图，AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，20BDC ∠=︒，则AOC ∠的大小为（ ）A .40︒B .140︒C .160︒D .170︒7.如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC >.按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连结CD .下列说法不一定正确的是（ ）A .BDN CDN ∠=∠B .2ADC B ∠=∠ C .ACD DCB ∠=∠D .290B ACD ∠+∠=︒8.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()3,2，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC .点P 在线段AC 上，且2AP PC =.函数()0ky x x=>的图象经过点P .当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是（ ）A .02k <≤B .233k ≤≤ C .232k ≤≤ D .834k ≤≤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元.若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费___________元.10.分解因式：24a -=_________.11.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为_________.12.正五边形的一个外角的大小为__________度.13.如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为___________（结果保留π）.14.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()4,2.若抛物线23()2y x h k =--+（h 、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为_________.三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.先化简，再求值：()()23231a a -+-，其中a =16.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率.（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为B ）17.图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB 为边画ABC ∆. 要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C 在格点上.18.在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元.预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元.已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？ 19.如图，在ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F .（1）求证：OE OF =.（2）若5BE =，2OF =，求tan OBE ∠的值.20.空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染.级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大.空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气.下图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表.2014—-2019年长春市空气质量级别天数统计表2014-2019年长春市空气质量为“达标”和“优”的天数折线统计图根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是_________年.（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为__________天，平均数为________天.（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是_________年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为___________（精确到1%）.（空气质量为“优”“”“”100%“”今年空气质量为优的天数-去年空气质量为优的天数=去年空气质量为优的天数）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由.21.已知A、B两地之间有一条长240千米的公路.甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地.两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示.（1）甲车的速度为_________千米/时，a的值为____________.（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式.（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间.22.【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容.【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上.求证：四边形AEA D '是正方形.【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的A DE '∆为等腰三角形.现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由.【结论应用】在图②中，当QC QP =时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上.要使四边形PGQF 为菱形，则ADAB=___________. 23.如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =.点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动.当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ .设点P 的运动时间为t 秒.（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值. （2）用含t 的代数式表示线段CE 的长.（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围.（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM .当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值. 24.在平面直角坐标系中，函数221y x ax =--（a 为常数）的图象与y 轴交于点A .（1）求点A 的坐标.（2）当此函数图象经过点()1,2时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围. （3）当0x ≤时，若函数221y x ax =--（a 为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值.（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为()1,1E --、()1,1F a --、()0,1G a -.当函数221y x ax =--（a 为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P .过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P '（P '与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '.若2AA PP ''=，直接写出a 的值.参考答案一、选择题1.C2.B3.A4.D5.A6.B7.C8.C二、填空题9.()3015m n + 10.()()22a a +- 1l .1m = 12.72 13.2π- 14.72三、解答题15.原式2269627a a a a =-++-=+；当a =279=+=16.树状图如下：P（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）19 =.列表法如下表：P（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）9=. 17.答案不唯一18.设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤依题意得80360203x x+=解得：2x=经检验2x=是原方程的根，且符合题意.答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤.19.（1）证明：在ABCD中，OD OB=∵BE AC⊥，DF AC⊥∴DF BE∴FDO EBO∠=∠又∵DOF BOE∠=∠∴()DFO BEO ASA∆∆≌∴OE OF=（2）∵OE OF =，2OF =∴2OE = ∵BE AC ⊥∴90OEB ∠=︒在Rt OBE ∆中，5BE =，2tan 5OE OBE BE ∠== 20.（1）2018； （2）7，8； （3）2018，89%（4）2018年空气质量好，2018年达标天气天数最多.（答案不唯一） 21.（1）40，480；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 由图可知，函数图象过点()2,80，()6,480，所以2806480k b k b +=⎧⎨+=⎩解得100120k b =⎧⎨=-⎩所以y 与x 之间的函数关系式为100120y x =-. （3）两车相遇前：()801002240100x +-=- 解得：135x =两车相遇后：()801002240100x +-=+ 解得：235x =答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时. 22.【问题解决】证明：在矩形ABCD 中，90A ADA '∠=∠=︒由翻折得：90DA E A '∠=∠=︒∴90A ADA DA E ''∠=∠=∠=︒ ∴四边形AEA D '是矩形 又∵AD A D '= ∴矩形AEA D '是正方形 【探索规律】PQF ∆是等腰三角形理由：在矩形ABCD 中，ABCD ∴APF PFQ ∠=∠由翻折得：APF FPQ ∠=∠∴PFQ FPQ ∠=∠ ∴FQ PQ =∴PQF ∆是等腰三角形23.（1）当点P 与点B 重合时，54t =.解得45t =. （2）在Rt ABC ∆中，4AB =，3BC =，所以5AC =，3sin 5A =，4cos 5A =. 如图3，当点P 在AB 上时，在Rt APE ∆中，cos 4AE AP A t =⋅=. 所以54CE AC AE t =+=-.如图4，当点P 在BC 上时，在Rt PCE ∆中，75PC t =-，3cos sin 5C A ==. 所以321cos (75)355CE PC C t t =⋅=-=-. （3）先考虑临界值等腰直角三角形PDQ ，那么PE DE =. 如图5，当点P 在AB 上时，在Rt APE ∆中，sin 3PE AP A t =⋅=. 而54256DE AC AE CD t t t =--=--=-， 由PE DE =，得356t t =-.解得59t =. 如图6，当点P 在BC 上时，在Rt PCE ∆中，428sin (75)455PE PC C t t =⋅=-=-. 而3212(75)555DE CD CE t t t =-=--=-， 由PE DE =，得824555t t -=-，解得4945t =.再数形结合写结论.当PDQ ∆为锐角三角形时，509t <<，或537505t <<.（4）t 的值为518或65. 考点伸展 第（4）题的思路如下：如图7，当点P 在AB 上时，延长QM 交BC 于点N . 作QG AB ⊥于G ，作DH BC ⊥于H .由QM AB ，M 是PD 的中点，可知N 是BH 的中点.在Rt PQG ∆中，26PQ PE t ==，所以42455QG PQ t ==. 在Rt DCH ∆中，3655HC DC t ==. 由242463555BC BH HC HC t t t =++=++=，解得518t =. 如图8，当点P 在BC 上时，作PK QM ⊥于K .由QM BC ，M 是PD 的中点，可知2DH PK =.在Rt PQK ∆中，882(75)55PQ PE PC t ===-，所以324(75)525PK PQ t ==-. 在Rt DCH ∆中，4855DH DC t ==. 由2DH PK =，得8242(75)525t t =⨯-，解得65t =.24.（1）当0x =时，2211y x ax =--=-，所以()0,1A -. （2）将点()1,2代入2211y x ax =--=-，得2121a =--.解得1a =-. 所以2221(1)2y x x x =+-=+-（如图1所示）.抛物线的开口向上，对称轴为1x =-.因此当1x >-时，y 随x 的增大而增大.（3）抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为x a =，顶点坐标为()2,1a a --.如图2，如果0a >，那么对称轴在y 轴右侧，最低点就是()0,1A -. 已知最低点到直线2y a =的距离为2，所以()212a --=.解得12a =.如图3，如果0a <，那么对称轴在y 轴左侧，顶点()2,1a a --就是最低点. 所以()2212a a ---=.整理，得()212a +=.解得1a =3），或1a =-+.（4）23a =-，或43-. 考点伸展第（4）题可以这样思考：抛物线221y x ax =--的对称轴为x a =， ()0,1A -，所以2AA a '=-.①如图4，当点P 在EF 边上时，1p x =-.因为1EA OA ==，所以点P 在对称轴x a =的左侧.所以()21PP a '=+. 由2AA PP ''=，得()241a a -=+.解得23a =-. ②如图5，当点P 在FG 边上时，1p y a =-.解方程2211x ax a --=-，得x a =所以PP '=.由2AA PP ''=，得2a -=. 解得43a =-，或0a =（舍去）.。

【最新人教版初中数学精选】2020年吉林省长春市中考数学试卷.doc

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2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．32．（3分）据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个数用科学记数法表示为（）A．67×106 B．6.7×105C．6.7×107D．6.7×1083．（3分）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式组的解集为（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1 D．x＜35．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）A．54°B．62°C．64°D．74°6．（3分）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b7．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交OA 的延长线于点D，则∠D的大小为（）A．29°B．32°C．42°D．58°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：DC=3：1．若函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．（3分）计算：×=．10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是．11．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为．12．（3分）如图，则△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC=4，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则的长为．（结果保留π）13．（3分）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH 都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C 的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为．三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（6分）先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．16．（6分）一个不透明的口袋中有一个小球，上面分别标有字母a，b，c，每个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图（或列表）的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．17．（6分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）18．（7分）某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．19．（7分）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．20．（7分）某校八年级学生会为了解本年级600名学生的睡眠情况，将同学们某天的睡眠时长t（小时）分为A，B，C，D，E（A：9≤t≤24；B：8≤t＜9；C：7≤t＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6）五个选项，进行了一次问卷调查，随机抽取n名同学的调查问卷并进行了整理，绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）求n的值；（2）根据统计结果，估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数．21．（8分）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．（1）甲车间每小时加工服装件数为件；这批服装的总件数为件．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．22．（9分）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE=BC．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为．23．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC 上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q 在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2时t的值．24．（12分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．2020年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）（2020•长春）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．3【分析】根据相反数的定义即可求出3的相反数．【解答】解：3的相反数是﹣3故选A．【点评】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．2．（3分）（2020•长春）据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个数用科学记数法表示为（）A．67×106 B．6.7×105C．6.7×107D．6.7×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：67000000这个数用科学记数法表示为6.7×107．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2020•长春）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】观察选项中的图形，确定出作为正方体表面展开图的即可．【解答】解：下列图形中，可以是正方体表面展开图的是，故选D【点评】此题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图是解题关键．4．（3分）（2020•长春）不等式组的解集为（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1 D．x＜3【分析】先求出每个不等式的解集，再求出每个解集的公共部分即可．【解答】解：解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为x≤1，故选C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．5．（3分）（2020•长春）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE ∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）A．54°B．62°C．64°D．74°【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠AED=54°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=54°，∵∠A=62°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，故选C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．6．（3分）（2020•长春）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b【分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长﹣边长2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．【解答】解：依题意有3a﹣2b+2b×2=3a﹣2b+4b=3a+2b．故这块矩形较长的边长为3a+2b．故选：A．【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的关系．7．（3分）（2020•长春）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为（）A．29°B．32°C．42°D．58°【分析】作直径B′C，交⊙O于B′，连接AB′，则∠AB′C=∠ABC=29°，由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC=54°，接下来，由切线的性质可证明∠OCD=90°，最后在Rt△OCD中根据两锐角互余可求得∠D的度数．【解答】解：作直径B′C，交⊙O于B′，连接AB′，则∠AB′C=∠ABC=29°，∵OA=OB′，∴∠AB′C=∠OAB′=29°．∴∠DOC=∠AB′C+∠OAB′=58°．∵CD是⊙的切线，∴∠OCD=90°．∴∠D=90°﹣58°=32°．故选B．【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠ABC=∠OAB′=29°是解题的关键．8．（3分）（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：DC=3：1．若函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（）A．B．C．D．【分析】根据平行四边形的性质得出点B的横坐标，再由DB：DC=3：1得出点C的横坐标，由∠BAO=60°，得∠COD，即可得出点C坐标，即可得出k的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（﹣4，0），∴BC=4，∵DB：DC=3：1，∴B（﹣3，OD），C（1，OD），∵∠BAO=60°，∴∠COD=30°，∴OD=，∴C（1，），∴k=，故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．（3分）（2020•长春）计算：×=．【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：×=；故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则=是本题的关键，是一道基础题．10．（3分）（2020•长春）若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是4．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣4a=0，解之即可得出a值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，解得：a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．11．（3分）（2020•长春）如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为6．【分析】由a∥b∥c，可得=，由此即可解决问题．【解答】解：∵a∥b∥c，∴=，∴=，∴EF=6，故答案为6．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确应用平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．12．（3分）（2020•长春）如图，则△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC=4，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则的长为．（结果保留π）【分析】先根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠B的度数，再代入弧长公式计算即可．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）=40°，∵AB=4，∴的长为=．故答案为．【点评】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．13．（3分）（2020•长春）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD 和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为10．【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可．【解答】解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2∴BF=BG﹣BF=6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB===10．故答案是：10．【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．14．（3分）（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为（﹣2，﹣3）．【分析】根据等腰直角三角形，可得AB的长，再根据锐角三角函数，可得AD，BD的长，再根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得P点坐标，根据中点坐标公式，可得答案．【解答】解：如图，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得BC=4．由∠BAC=90°，AB=AC，得AB=2，∠ABD=45°，∴BD=AD=2，A（4，3），设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得，解得，AB的解析式为y=x﹣1，当y=1时，x=1，即P（1，0），由中点坐标公式，得x A′=2x P﹣x A=2﹣4=﹣2，y A′=2y A′﹣y A=0﹣3=﹣3，A′（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形得出AB的长是解题关键．三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（6分）（2020•长春）先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=3a3+6a2+3a﹣2a2﹣4a﹣2=3a3+4a2﹣a﹣2，当a=2时，原式=24+16﹣2﹣2═36．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（6分）（2020•长春）一个不透明的口袋中有一个小球，上面分别标有字母a，b，c，每个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图（或列表）的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球的标号相同的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种，则P==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（6分）（2020•长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出BC的长．【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）．即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．18．（7分）（2020•长春）某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．【分析】首先设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，根据题意可得等量关系：750元购进的跳绳个数﹣900元购进的排球个数=30，依此列出方程，再解方程可得答案．【解答】解：设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，依题意得：﹣=30，解方程，得x=15．经检验：x=15是原方程的根，且符合题意．答：跳绳的单价是15元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．19．（7分）（2020•长春）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD 内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．【分析】由菱形的性质有BC=CD，∠BCD=∠A=110°，根据旋转的性质知CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，于是得到∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，根据全等三角形的判定证得△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵菱形ABCD，∴BC=CD，∠BCD=∠A=110°，由旋转的性质知，CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF，∴∠F=∠E=86°．【点评】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，由旋转的性质得到CE=CF，∠ECF=∠BCD是解题的关键．20．（7分）（2020•长春）某校八年级学生会为了解本年级600名学生的睡眠情况，将同学们某天的睡眠时长t（小时）分为A，B，C，D，E（A：9≤t≤24；B：8≤t＜9；C：7≤t＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6）五个选项，进行了一次问卷调查，随机抽取n名同学的调查问卷并进行了整理，绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）求n的值；（2）根据统计结果，估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数．【分析】（1）将各频数相加即可；（2）先计算不足7小时（即最后两组：D和E组），两组的百分比，与总人数600的积就是结果．【解答】解：（1）n=12+24+15+6+3=60；（2）（6+3）÷60×600=90，答：估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数为90人．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．21．（8分）（2020•长春）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．（1）甲车间每小时加工服装件数为80件；这批服装的总件数为1140件．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．【分析】（1）根据工作效率=工作总量÷工作时间，即可求出甲车间每小时加工服装件数，再根据这批服装的总件数=甲车间加工的件数+乙车间加工的件数，即可求出这批服装的总件数；（2）根据工作效率=工作总量÷工作时间，即可求出乙车间每小时加工服装件数，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合工作结束时间，即可求出乙车间修好设备时间，再根据加工的服装总件数=120+工作效率×工作时间，即可求出乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）根据加工的服装总件数=工作效率×工作时间，求出甲车间加工服装数量y 与x之间的函数关系式，将甲、乙两关系式相加令其等于1000，求出x值，此题得解．【解答】解：（1）甲车间每小时加工服装件数为720÷9=80（件），这批服装的总件数为720+420=1140（件）．故答案为：80；1140．（2）乙车间每小时加工服装件数为120÷2=60（件），乙车间修好设备的时间为9﹣（420﹣120）÷60=4（时）．∴乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=120+60（x﹣4）=60x﹣120（4≤x≤9）．（3）甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=80x，当80x+60x﹣120=1000时，x=8．答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时．【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据数量关系，找出乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）根据数量关系，找出甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式．22．（9分）（2020•长春）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE=BC．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：AC=BD．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为．【分析】【探究】利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状；【应用】（1）同【探究】的方法判断出EF=AC，即可判断出EF=FG，即可得出结论；（2）先判断出S △BCD =4S △CFG ，同理：S △ABD =4S △AEH ，进而得出S四边形EFGH =，再判断出OM=ON ，进而得出S 阴影=S 四边形EFGH 即可．【解答】解：【探究】平行四边形．理由：如图1，连接AC ，∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=AC ，同理HG ∥AC ，HG=AC ，综上可得：EF ∥HG ，EF=HG ，故四边形EFGH 是平行四边形．【应用】（1）添加AC=BD ，理由：连接AC ，BD ，同（1）知，EF=AC ，同【探究】的方法得，FG=BD ，∵AC=BD ，∴EF=FG ，∵四边形EFGH 是平行四边形，∴▱EFGH 是菱形；故答案为AC=BD ；（2）如图2，由【探究】得，四边形EFGH 是平行四边形，∵F ，G 是BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG=BD ，∴△CFG ∽△CBD ， ∴， ∴S △BCD =4S △CFG ，同理：S △ABD =4S △AEH ，∵四边形ABCD 面积为5，∴S △BCD +S △ABD =5，∴S △CFG +S △AEH =，同理：S △DHG +S △BEF =，∴S 四边形EFGH =S 四边形ABCD ﹣（S △CFG +S △AEH +S △DHG +S △BEF ）=5﹣=，设AC 与FG ，EH 相交于M ，N ，EF 与BD 相交于P ，∵FG ∥BD ，FG=BD ，∴CM=OM=OC ，同理：AN=ON=OA ，∵OA=OC ，∴OM=ON ，易知，四边形ENOP ，FMOP 是平行四边形，∴S 阴影=S 四边形EFGH =， 故答案为．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解【探究】的关键是判断出HG∥AC ，HG=AC ，解【应用】的关键是判断出S 四边形EFGH =，是一道基础题目．23．（10分）（2020•长春）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA 方向以每秒个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q 也随之停止．设点P运动的时间为t秒．（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q 在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2时t的值．【分析】（1）利用勾股定理先求出AC，根据AQ=AC﹣CQ即可解决问题；（2）分两种情形列出方程求解即可；（3）①分三种情形a、如图1中，当0≤t≤时，重叠部分是四边形PEQF．b、如图2中，当＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．C、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．分别求解即可；②分两种情形a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．分别列出方程即可解决问题；【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，∴AC===8，∵CQ=t，∴AQ=8﹣t（0≤t≤4）．（2）①当PQ∥BC时，=，∴=，∴t=s．②当PQ∥AB时，=，∴=，∴t=3，综上所述，t=s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行．（3）①如图1中，a、当0≤t≤时，重叠部分是四边形PEQF．S=PE•EQ=3t•（8﹣4t﹣t）=﹣16t2+24t．b、如图2中，当＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．S=S四边形PEQF﹣S△PFN=（16t2﹣24t）﹣•[5t﹣（8﹣t）]•[5t﹣（8﹣t0]=﹣．C、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．S=S四边形PBQF﹣S△FNM=t•[6﹣3（t﹣2）]﹣•[t﹣4（t﹣2）]•[t﹣4（t﹣2）]=﹣t2+30t﹣24．②a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．则有（4﹣4t）：（4﹣t）=1：2，解得t=s，b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，∴（4t﹣4）：（4﹣t）=1：3，解得t=s，综上所述，当t=s或s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．24．（12分）（2020•长春）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x ﹣，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【解答】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+得m2﹣4m+=，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣．当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣=，解得：m=2+或m=2﹣．综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣．②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为．当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=．综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最。

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2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×1053．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费元．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为度．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份2014 30 215 73 28 13 62015 43 193 87 19 15 82016 51 237 58 15 5 02017 65 211 62 16 9 22018 123 202 39 0 1 02019 126 180 38 16 5 0 根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为千米/时，a的值为．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P 不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．2020年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．故选：A．【点评】本题考查了几何体的展开图，此题应根据四棱柱的侧面展开图，进行分析、解答．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．【解答】解：x≥3﹣2，x≥1，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝【分析】根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4【分析】设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，∴OB＝3，AB＝2，设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，∴△PCD∽△ACB，∴，∵AP＝2PC，∴，∴PD＝，CD＝1﹣c，∴OD＝OC+CD＝1+c，∴P（1+c，），把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得k＝c，∵0≤c≤3∴，故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出k关于c的解析式．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费（30m+15n）元．【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．【解答】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．【点评】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量＝总价，是列代数式的前提．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△＝0，此题难度不大．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为72度．【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．【解答】解：正五边形的一个外角＝＝72°．故答案为：72．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．【分析】利用勾股定理求出AC，证明∠C＝45°，根据S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB计算即可．【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB ＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，∴2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2＝a2+7．当a＝时，原式＝（）2+7＝9．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【分析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格画出符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？【分析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价＝总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．【分析】（1）由平行四边形性质得OB＝OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；（2）由（1）得OE＝OF，则OE＝2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，在△OEB和△OFD中，，∴△OEB≌△OFD（AAS），∴OE＝OF；（2）解：由（1）得：OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵BE⊥AC，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE ＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份2014 30 215 73 28 13 62015 43 193 87 19 15 82016 51 237 58 15 5 02017 65 211 62 16 9 22018 123 202 39 0 1 02019 126 180 38 16 5 0 根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是2018年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为7天，平均数为8天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为89%（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【分析】（1）从折线统计图可得答案；（2）利用中位数、众数的意义分别计算即可；（3）分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；（4）根据空气质量的等级天数进行判断即可．【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43﹣30＝13天；2016年，51﹣43＝8天；2017年，65﹣51＝14天；2018年，123﹣65＝58天；2019年，126﹣123＝3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．【点评】本题考查统计图表的意义，理解统计图表中数据之间的关系是正确解答的关键．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为40千米/时，a的值为480．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480；（2）运用待定系数法解得即可；（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．（2）证明∠QFP＝∠FPQ即可解决问题．（3）证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF＝m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA＝DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG＝GQ＝FQ＝PF，∵QF＝QP，∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，∴∠DQD′＝30°，∵∠D′＝90°，∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，∴＝＝．故答案为．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P 不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．【分析】（1）根据AB＝4，构建方程求解即可．（2）分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出EC即可．（3）求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围．（4）分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin A＝，cos A＝，如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C＝，∴EC＝PC•cos C＝（7﹣5t）＝﹣3t．（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，。

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